计数原理与概率

计数原理与概率、随机变量及其分布
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．把红桃、黑桃、方块、梅花四张纸牌随机发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得一张，事件“甲分得梅花”与事件“乙分得梅花”是 ( ) A ．对立事件 B ．不可能事件 C ．互斥但不对立事件 D ．以上答案均不对
2．有四个游戏盘，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖，小明希望中奖，他应当选择的游戏盘为 ( )
3．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为 ( ) A ．14 B ．24 C ．28 D ．48 4．(2009·辽宁高考)从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其
中男、女医生都有，则不同的组队方案共有 ( ) A ．70种 B ．80种 C ．100种 D ．140种 5．(2009·重庆高考)⎝⎛⎭⎫x 2＋2
x 8的展开式中x 4的系数是 ( ) A ．16 B ．70 C ．560 D ．1 120
6．若A 、B 为一对对立事件，其概率分别为P (A )＝4x ，P (B )＝1
y ，则x ＋y 的最小值为( )
A ．9
B ．10
C ．6
D ．8
7．]从数字0,1,2,3,5,7,8,11中任取3个分别作为Ax ＋By ＋C ＝0中的A ，B ，C (A ，B ，C 互不相等)的值，所得直线恰好经过原点的概率为 ( ) A.41335 B.18 C.528 D.38
8．在区域⎩⎨⎧
x ＋y －2≤0，x －y ＋
2≥0，
y ≥0
内任取一点P ，则点P 落在单位圆x 2＋y 2＝1内的概率为( )
A.π2
B.π8
C.π6
D.π
4
9．]在(x 2－1
x
)n 的展开式中，常数项为15，则n ＝ ( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
10．用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是 ( ) A ．40 B ．60 C ．80 D ．10
11．口袋中有4个白球，n 个红球，从中随机地摸出两个球，这两个球颜色相同的概率大于0.6，则n 的最小值为 ( ) A ．13 B ．14 C ．15 D ．16
12．[理]若从数字0,1,2,3,4,5中任取三个不同的数作为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的系数，则
与x 轴有公共点的二次函数的概率是 ( ) A.1750 B.1350 C.12 D.15 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上) 13．在平面直角坐标系xOy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投的点落在E 中的概率是__________．
14．[理](2009·广东高考)已知离散型随机变量X 的分布列如下表．若E (X )＝0，D (X )＝1，
则a ＝________，b ＝________.
15．(2010·安徽师大附中模拟)a ＝0
π⎰ (sin x ＋cos x )d x 则二项式(a x －1
x )6展开式中含x 2
的项的系数是________．
16．已知中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线为mx －y ＝0，若m 在集合
{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任意取一个值，使得双曲线的离心率大于3的概率是________． 三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤)
17.袋中装着标有数学1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小
球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用ε表示取出的3个小球上的最大数字，求：（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
(2)随机变量ε的概率分布和数学期望； (3)计分介于20分到40分之间的概率．
18．(本小题满分12分)如图，已知AB 是半圆O 的直径，AB ＝8，M 、N 、
P 是将半圆圆周四等分的三个分点．
(1)从A 、B 、M 、N 、P 这5个点中任取3个点，求这3个点组成直角 三角形的概率；
(2)在半圆内任取一点S ，求三角形SAB 的面积大于82的概率．
19．[理](本小题满分12分)某车间准备从10名工人中选配4人到某生产线工作，为了安全
生产，工厂规定：一条生产线上熟练工人数不得少于3人．已知这10名工人中有熟练工8名，学徒工2名． (1)求工人的配置合理的概率；
(2)为了督促其安全生产，工厂安全生产部门每月对工人的配备情况进行两次抽检，求两次检验得到的结果不一致的概率．
20．[理](本小题满分12分)用红、黄、蓝、白、橙五种不同颜色的鲜花布置如图所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色的鲜花，相邻区域使用不同颜色的鲜花.
(1)求恰有两个区域用红色鲜花的概率；
(2)记花圃中红色鲜花区域的块数为X ，求X 的分布列及其数学期望．
21．[理](本小题满分12分)(2009·陕西高考)某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用X
表示．据统计，随机变量X 的概率分布如列下： (1)求a 的值和X 的数学期望；
(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率.
22．[理](本小题满分14分)3个球，
每次取一个，记事件A ＝“恰有一个红球”，事件B ＝“第3个是红球”． 求：(1)不放回时，事件A 、B 的概率； (2)每次抽后放回时，A 、B 的概率．
1.解析：四张纸牌分发给四人，每人一张，甲和乙不可能同时分得梅花，所以是互斥事件，但也有可能丙或丁分得梅花，故不是对立事件． 答案：C
2.解析：A 游戏盘的中奖概率为
38，B 游戏盘的中奖概率为1
3
，C 游戏盘的中奖概率为222(2)4(2)4
r r r ππ
--=
，D 游戏盘的中奖概率为221r r ππ= ，A 游戏盘的中奖概率最大．
答案：A
3.解析：法一：4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男两种情况，故不同的选派方案种数为
C 12·C 34＋C 22·
C 2
4＝2×4＋1×6＝14. 法二：从4男2女中选4人共有C 46种选法，4名都是男生的选法有C 44种，故至少有1名女生的选派方案种数为C 46－C 44＝15－1＝14.答案：A
4.解析：分恰有2名男医生和恰有1名男医生两类，从而组队方案共有：C 25×C 14＋C 15×C 24
＝70种． 答案：A
5.解析：由二项展开式通项公式得T k ＋1＝C k 8(x 2)8－k ⎝⎛⎭
⎫2x k ＝2k C k 8x 16－3k .由16－3k ＝4，得k ＝4，则x 4的系数为24C 48＝1 120. 答案：D
6.解析：由已知得4x ＋1y ＝1(x >0，y >0)，∴x ＋y ＝(x ＋y )(4x ＋1
y )＝5＋(4y x ＋x y )≥9.答案：A
7.解析：P ＝7×68×7×6＝1
8
.答案：B
8.解析：区域为△ABC 内部(含边界)，则概率为
P
=2.14
2
ABC S S π
π∆==⨯半圆 答案：D
9.解析：对于二项式的展开式问题，关键要考虑通项，第k ＋1项T k ＋1＝C k n 2()
n k x
－·(－
1x )k ＝C k n 23(1)k n k x －－应有2n －3k ＝0，∴n ＝3k 2，而n 是正整数，故k ＝2,4,6….结合题目给的已知条件，常数项为15，验证可知k ＝4，n ＝6.答案：A
10.解析：若个位数是偶数，当2在个位时，则1在十位，共有A 22A 22＝4(个)， 当2不在个位时，共有A 12·
A 12·A 22·A 22＝16(个)， 所以若个位是偶数，有4＋16＝20个六位数． 同理，若个位数是奇数，有20个满足条件的六位数， 因此，这样的六位数的个数是40.答案：A
11.解析：由已知条件可得C 24＋C 2
n
C 2n ＋4
>0.6， 解之得n >12或n <1(舍去)，∴n 的最小值为13.
答案：A
12.解析：若从0,1,2,3,4,5中任选三个数作为二次函数的系数，对应二次函数共有C 15A 2
5＝
100个，其中与x 轴有公共点的二次函数需满足b 2≥4ac ，当c ＝0时，a ，b 只需从1,2,3,4,5中任选2个数字即可，对应的二次函数共有A 25个，当c ≠0时，若b ＝3，此时满足条件的(a ，c )取值有(1,2)，(2,1)有2种情况；当b ＝4时，此时满足条件的(a ，c )取值有(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)有4种情况；当b ＝5时，此时满足条件的(a ，c )取值有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(3,2)有8种情况，即共有20＋2＋4＋8＝34种情况满足题意，故其概率为34100＝1750.
答案：A
13.解析：如图：区域D 表示边长为4的正方形ABCD 的内部(含边界)，区域E 表示单位圆及其内部，因此P =
2
1.44
16
ππ
⨯=
⨯
答案：
16
π 14.解析：由题意⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋
b ＋
c ＋1
12
＝1，
－a ＋c ＋1
6＝0，
a ·1＋c ·1＋112
×22
＝1，
解得a ＝512，b ＝c ＝1
4
. 答案：
512 14
15.解析：a ＝0
π
⎰ (sin x ＋cos x )d x ＝(sin x －cos x )|π0＝(sin π－cos π)－(sin0－cos0)
＝(0＋1)－(0－1)＝2. 又∵T r ＋1＝C r 6(a x )6r
a
－ (－
1x
)r ＝C r 6 6r a － (－1)r x (6－r 2－r 2)＝C r 6 6r a － (－1)r 3r x －. 由3－r ＝2，解r ＝1，
∴x 2项的系数为－C 16a 5＝－192.
答案：－192
16.解析：由题意知m ＝b
a ，e ＝1＋m 2，仅当m ＝1或2时，1<e <3，∴e >3时的概率P
＝79.答案：79
解：（I ）解法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A ，
则3111
52223
102
()3
C C C C P A C ⋅⋅⋅==
解法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A ”，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B ，则事件A 和事件B 是互斥事件，因为
1215283
101
()3
C C C P B C ⋅⋅==，所以12()1()133P A P B =-=-=． （II ）由题意ξ有可能的取值为：2，3，4，5．
211222223101(2);30C C C C P C ξ⋅+⋅===211242423
102
(3);15C C C C P C ξ⋅+⋅=== 211262623103(4);10C C C C P C ξ⋅+⋅===2112
82823
108
(5);15
C C C C P C ξ⋅+⋅===
因此ε的数学期望为2345301510153
E ε=⨯+⨯+⨯+⨯= （Ⅲ）“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为C ，则
2313
()("3""4")("3")("4")151030P C P P P εεεε=====+==+=
或
18.解：(1)从A 、B 、M 、N 、P 这5个点中任取3个点，一共可以组成10个三角形：ABM 、
ABN 、ABP 、AMN 、AMP
、ANP 、BMN 、BMP 、BNP 、MNP ，其中是直角三角形的只有ABM 、ABN
、ABP 3个， 所以这3个点组成直角三角形的概率P ＝
310
. (2)连结MP ，取线段MP 的中点D ，则OD ⊥MP ， 易求得OD ＝22，
当S 点在线段MP 上时，S △
ABS =
1
2
× 所以只有当S 点落在阴影部分时，三角形SAB 面积才能大于 S 阴影=S 扇形OMP -S △OMP =
12×2π×42-1
2
×42=4π-8， 所以由几何概型公式得三角形SAB 的面积大于P =
482
.82ππππ
--= 19.解：(1)一条生产线上熟练工人数不得少于3人有C 48＋C 38C 1
2种选法．
工人的配臵合理的
概率C 48＋C 38C 1
2
C 4
10＝1315
. (2)两次检验是相互独立的，可视为独立重复试验，因两次检验得出工人的配臵合理的概率均为13
15
，故“两次检验得出的结果不一致”即两次检验中恰有一次是合格的概率
为C 12
1315(1－1315)＝52225
. 20.解：(1)设M 表示事件“恰有两个区域用红色鲜花”，如图，当区域A 、D 同色时，共有5×4×3×1×3＝180种；
当区域A 、D 不同色时，共有5×4×3×2×2＝240种；
因此，所有基本事件总数为：180＋240＝420种． 它们是等可能的．
又因为A 、D 为红色时，共有4×3×3＝36种； B 、E 为红色时，共有4×3×3＝36种；
21.解：(1)由概率分布的性质有0.1＋0.3＋2a ＋a ＝1， 解得a ＝0.2. ∴X 的概率分布列为
∴E (X )＝0×0.1＋1×0.3＋2×0.4＋3×0.2＝1.7.
(2)设事件A 表示“两个月内共被投诉2次”；事件A 1表示“两个月内有一个月被投诉2次，另外一个月被投诉0次”；事件A 2表示“两个月内每个月均被投诉1次”． 则由事件的独立性得
P (A 1)＝C 12P (X ＝2)P (X ＝0)＝2×0.4×0.1＝0.08， P (A 2)＝[P (X ＝1)]2＝0.32＝0.09， ∴P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＝0.08＋0.09＝0.17.
故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17.
22.解：(1)由不放回抽样可知，第一次从6个球中取一个，第二次只能从5个球中取一个，第三次从4个球中取一个，基本事件共6×5×4＝120个，又事件A 中含有基本事件3×2×4×3＝72个，(第一个是红球，则第2,3个是黄球，取法有2×4×3种，第2个是红球和第3个是红球取法一样多)， ∴P (A )＝
72120＝3
5
. 第3次取到红球对前两次没有什么要求，
因为红球数占总球数的1
3
，每一次取到都是随机地等可能事件，
∴P(B)＝1 3.
(2)由放回抽样知，每次都是从6个球中取一个，有取法63＝216种，事件A含基本事件3×2×4×4＝96种．
∴P(A)＝96
216＝
4
9.
第三次抽到红球包括B1＝{红，黄，红}，B2＝{黄，黄，红}，B3＝{黄，红，红}，B4
＝{红，红，红}四种两两互斥的情形，P(B1)＝2×4×2
216＝
2
27，P(B2)＝
4×4×2
216＝
4
27，
P(B3)＝4×2×2
216＝
2
27，
P(B4)＝2×2×2
216＝
1
27，
∴P(B)＝P(B1)＋P(B2)＋P(B3)＋P(B4)
＝2
27＋
4
27＋
2
27＋
1
27＝
1
3.。