高斯小学奥数含答案三年级(上)第20讲 等差数列初步

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“数列”就是一列数,也就是一些数排成一列.“等差”,就是差相等,也就是相邻两数的差都相等.特别要注意的是,类似于1,2,3,2,1,2,3,2,1,…和1,0,1,0,1,0,…的数列,虽然相邻两个数的差都相等,但这样的数列不是等差数列,因为在同一个等差数列中,必须要么每一项都比前一项大,要么每一项都比前一项小,不能出现既有后一项比前一项大,又有后一项比前一项小的情况.
在等差数列中,称第1个数为第1项,第2个数为第2项,第3个数为第3项,……依此类推. 我们把等差数列第1项称为首项,最后1项称为末项,数列中所有数的个数称为项数,而相邻两项的的差则被称为公差.
在等差数列中,首先要寻找这四个关键量(即首项、末项、项数和公差)之间的关系.请看下图:
在上图中,你能看出第3项比第1项大几个公差吗? 第5项比第2项大几个公差呢? 第7项比第1项大几个公差呢? 第17项比第9项大几个公差呢?
在等差数列中,第n 项与第m 项之间相隔m n -个公差.
首项 第2项 第3项 第4项 第5项 +公差
+公差
+公差
+公差
+公差
末项
…… 第二十讲 等差数列初步
如下图所示:
更重要的是,首项其实就是第1项,末项就是第“项数”项,那么首项和末项之间相隔的公差个数就等于()1-项数.由此,我们就知道末项减去首项等于()1-项数个公差的和,因此
()1=+-⨯末项首项项数公差
由此可以得到等差数列的通项公式:
()1=+-⨯末项首项项数公差
同时我们还可以得到以下这些公式:
()1=--⨯首项末项项数公差 ()()1=-÷-公差末项首项项数 ()1=-÷+项数末项首项公差
在运用这些公式时,有一个共同的关键点:某两项之间相差的公差的个数.抓住这个关键点,很多问题便能迎刃而解.
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例题1
(1)一个等差数列共有13项.每一项都比它的前一项大2,并且首项为33,那么末项是多少? (2)一个等差数列共有13项.每一项都比它的前一项小2,并且首项为33,那么末项是多少? 分析:本题中的首项和末项相差了几个公差?是首项大还是末项大呢?
练习1
一个等差数列共有10项.每一项都比它的前一项大1,并且首项为21,那么末项是多少?
例题2
(1)一个等差数列共有10项.每一项都比它的前一项大7,并且末项为125,那么首项是多少? (2)一个等差数列共有10项.每一项都比它的前一项小7,并且末项为125,那么首项是多少? 分析:本题中的首项和末项相差了几个公差?是首项大还是末项大呢?
…第m 项… …第n 项…
第1项
末项
相隔m n -个公差
练习2
一个等差数列共有12项.每一项都比它的前一项小4,并且末项为56,那么首项是多少?
例题3
(1)一个等差数列首项为7,第10项为61,那么这个等差数列的公差等于多少?
(2)一个等差数列第4项为7,第10项为61,那么这个等差数列的公差等于多少?
分析:第1项与第10项之间相差几个公差?第4项与第10项之间相差几个公差?7又与61差了几?相当于几个公差?
练习3
一个等差数列第5项为25,第16项为91,那么这个等差数列的公差等于多少?
例题4
(1)一个等差数列首项为5,末项为93,公差为8,那么这个等差数列一共有多少项?
(2)一个等差数列第3项为50,末项为130,公差为8,那么这个等差数列一共有多少项?
分析:首项和末项之间差几?相当于几个公差?公差的数量和项数是什么关系?
练习4
已知等差数列2、9、16、23、30,……那么709是其中的第几项?
例题5
一个等差数列的首项为11,第10项为200,这个等差数列的公差等于多少?第19项等于多少?305是第几项?
分析:第1项与第10项之间相差几个公差?与第19项呢?305又与200差了几?相当于几个公差?例题6
下面的各算式是按规律排列的:11,23,35,17,29,311,113,215,317,……请写出其中所有结果为98的算式.
分析:每个算式的第一个数有什么周期规律?第二个数是什么数列?分别求出第98个数是几?
课堂内外
高斯生平
高斯,生于不伦瑞克,卒于哥廷根,德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家.1799年高斯于黑尔姆施泰特大学因证明代数基本定理获博士学位.从1807年起担任格丁根大学教授兼格丁根天文台台长直至逝世.高斯和牛顿、阿基米德,被誉为有史以来的三大数学家.高斯是近代数学奠基者之一,在历史上影响之大,可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列,有“数学王子”之称.18岁的高斯发现了质数分布定理和最小二乘法.通过对足够多的测量数据的处理后,可以得到一个新的、概率性质的测量结果.在这些基础之上,高斯随后专注于曲面与曲线的计算,并成功得到高斯钟形曲线(正态分布曲线).其函数被命名为标准正态分布(或高斯分布),并在概率计算中大量使用.高斯的肖像已经被印在从1989年至2001年流通的10德国马克的纸币上.
高斯(Johann Carl Friedrich Gauss)(1777年4月30日-1855年2月23日),生于不伦瑞克,卒于哥廷根,德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家.高斯被认为是最重要的数学家,并拥有“数学王子”的美誉.
1792年,15岁的高斯进入布伦瑞克(Braunschweig)学院.在那里,高斯开始对高等数学作研究.独立发现了二项式定理的一般形式、数论上的“二次互反律”(Law of Quadratic Reciprocity)、质数分布定理(prime number theorem)及算术几何平均(arithmetic-geometric mean).1795年高斯进入哥廷根大学.1796年,19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结果,就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》.
1855年2月23日清晨,高斯于睡梦中去世.
作业
1.一个等差数列共有10项.每一项都比它的前一项大2,并且末项为75,那么首项是几?
2.一个等差数列共有10项.每一项都比它的前一项小2,并且末项为75,那么首项是几?
3.一个等差数列首项为13,第9项为29,这个等差数列的公差为几?第20项为几?
4.一个等差数列的第5项为47,第15项为87,这个等差数列的公差等于几?63是第几项?
5.如图所示,有一堆按规律摆放的砖.从上往下数,第1层有1块砖,第2层有5块砖,第3层有9
块砖,…….按照这个规律,第19层有多少块砖?
第二十讲 等差数列初步
1. 例题1
答案:(1)57;(2)9 详解:如下图:
2. 例题2 答案:(1)62;(2)188 详解:如下图:
3. 例题3
答案:(1)6;(2)9 详解:如下:
4. 例题4
答案:(1)12;(2)13 详解:如下:
5. 例题5
答案:21;389;15 详解:如下图:
总差:93588-= 公差数:88811÷= 项数:11112+= 总差:1305080-= 公差数:80810÷= 项数:101213++=
总差:61754-=
公差数:1019-=(个) 公差:5496÷= 总差:61754-=
公差数:1046-=(个) 公差:5469÷=
_62_,……, 125 ① ⑩
_188_,……, 125 ① ⑩
差1019-=(个)公差
9763⨯= 12563188+=
差1019-=(个)公差
9763⨯= 1256362-= 33, 35, 37,……,_57_ ① ○13
差13112-=个公差
12224⨯=
332457+=
33, 31, 29,……,_9_ ① ○13
差13112-=(个)公差
12224⨯=
33249-=
6. 例题6
答案:197+;395+
详解:可能是1___98+=,2___98+=,3___98+=,则等差数列中可能是97、96、95,排除96,若为95,应是等差数列1、3、5……中的第48项,对应的周期数列1、2、3、1、2、3、……第48个数为3,395+等于98,所以这个算式395+.若为97,也满足,是197+. 7. 练习1
答案:30
简答:如下图:
8. 练习2
答案:100
简答:如下图:
9. 练习3 答案:6
简答:如下:
10. 练习4
答案:102
简答:项数=()709271102-÷+=. 11. 作业1
答案:57
总差:912566-=
公差数:16511-=(个) 公差:66116÷= __, ……, 56 ① ○12
差12111-=(个)公差
11444⨯=
5644100+=
21, 22, 23,……,_30_ ① ○21 差1019-=(个)公差
919⨯= 21930+=
第1项到第10项:1019-=(个)公差 总差:20011189-= 公差:189921÷=
总差:30511294-= 公差数:2942114÷=(个) 14115+=(个)
200 ,……, ____ ⑩ ○19 差19109-=(个)公差
921189⨯= 200189389+=
简答:公差为2,首项与末项相差1019-=个公差,首项为759257-⨯=. 12.
作业2 答案:93
简答:首项与末项相差1019-=个公差,首项为759293+⨯=. 13.
作业3
答案:2;51
简答:第9项与首项相差918-=个公差,公差为(2913)82-÷=.第20项为13(201)251+-⨯=. 14.
作业4
答案:4,9
简答:第15项与第5项相差10个公差,公差为(8747)104-÷=.(6347)44-÷=,63与第5项差4个公差,所以是第9项. 15.
作业5 答案:73
简答:每层的砖数构成一个等差数列,首项是1,公差是4.第19项为118473+⨯=.。

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