高斯小学奥数含答案三年级(上)第20讲 等差数列初步

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“数列”就是一列数，也就是一些数排成一列．“等差”，就是差相等，也就是相邻两数的差都相等．特别要注意的是，类似于1，2，3，2，1，2，3，2，1，…和1，0，1，0，1，0，…的数列，虽然相邻两个数的差都相等，但这样的数列不是等差数列，因为在同一个等差数列中，必须要么每一项都比前一项大，要么每一项都比前一项小，不能出现既有后一项比前一项大，又有后一项比前一项小的情况．

在等差数列中，称第1个数为第1项，第2个数为第2项，第3个数为第3项，……依此类推． 我们把等差数列第1项称为首项，最后1项称为末项，数列中所有数的个数称为项数，而相邻两项的的差则被称为公差．

在等差数列中，首先要寻找这四个关键量（即首项、末项、项数和公差）之间的关系．请看下图：

在上图中，你能看出第3项比第1项大几个公差吗？ 第5项比第2项大几个公差呢？ 第7项比第1项大几个公差呢？ 第17项比第9项大几个公差呢？

在等差数列中，第n 项与第m 项之间相隔m n -个公差．

首项 第2项 第3项 第4项 第5项 +公差

+公差

+公差

+公差

+公差

末项

…… 第二十讲 等差数列初步

如下图所示：

更重要的是，首项其实就是第1项，末项就是第“项数”项，那么首项和末项之间相隔的公差个数就等于()1-项数．由此，我们就知道末项减去首项等于()1-项数个公差的和，因此

()1=+-⨯末项首项项数公差

由此可以得到等差数列的通项公式：

()1=+-⨯末项首项项数公差

同时我们还可以得到以下这些公式：

()1=--⨯首项末项项数公差 ()()1=-÷-公差末项首项项数 ()1=-÷+项数末项首项公差

在运用这些公式时，有一个共同的关键点：某两项之间相差的公差的个数．抓住这个关键点，很多问题便能迎刃而解．

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例题1

（1）一个等差数列共有13项．每一项都比它的前一项大2，并且首项为33，那么末项是多少？ （2）一个等差数列共有13项．每一项都比它的前一项小2，并且首项为33，那么末项是多少？ 分析:本题中的首项和末项相差了几个公差？是首项大还是末项大呢？

练习1

一个等差数列共有10项．每一项都比它的前一项大1，并且首项为21，那么末项是多少？

例题2

（1）一个等差数列共有10项．每一项都比它的前一项大7，并且末项为125，那么首项是多少？ （2）一个等差数列共有10项．每一项都比它的前一项小7，并且末项为125，那么首项是多少？ 分析:本题中的首项和末项相差了几个公差？是首项大还是末项大呢？

…第m 项… …第n 项…

第1项

末项

相隔m n -个公差

练习2

一个等差数列共有12项．每一项都比它的前一项小4，并且末项为56，那么首项是多少？

例题3

（1）一个等差数列首项为7，第10项为61，那么这个等差数列的公差等于多少？

（2）一个等差数列第4项为7，第10项为61，那么这个等差数列的公差等于多少？

分析：第1项与第10项之间相差几个公差？第4项与第10项之间相差几个公差？7又与61差了几？相当于几个公差？

练习3

一个等差数列第5项为25，第16项为91，那么这个等差数列的公差等于多少？

例题4

（1）一个等差数列首项为5，末项为93，公差为8，那么这个等差数列一共有多少项？

（2）一个等差数列第3项为50，末项为130，公差为8，那么这个等差数列一共有多少项？

分析：首项和末项之间差几？相当于几个公差？公差的数量和项数是什么关系？

练习4

已知等差数列2、9、16、23、30，……那么709是其中的第几项？

例题5

一个等差数列的首项为11，第10项为200，这个等差数列的公差等于多少？第19项等于多少？305是第几项？

分析：第1项与第10项之间相差几个公差？与第19项呢？305又与200差了几？相当于几个公差？例题6

下面的各算式是按规律排列的：11，23，35，17，29，311，113，215，317，……请写出其中所有结果为98的算式．

分析：每个算式的第一个数有什么周期规律？第二个数是什么数列？分别求出第98个数是几？

课堂内外

高斯生平

高斯，生于不伦瑞克，卒于哥廷根，德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家．1799年高斯于黑尔姆施泰特大学因证明代数基本定理获博士学位．从1807年起担任格丁根大学教授兼格丁根天文台台长直至逝世．高斯和牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家．高斯是近代数学奠基者之一，在历史上影响之大，可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列，有“数学王子”之称．18岁的高斯发现了质数分布定理和最小二乘法．通过对足够多的测量数据的处理后，可以得到一个新的、概率性质的测量结果．在这些基础之上，高斯随后专注于曲面与曲线的计算，并成功得到高斯钟形曲线（正态分布曲线）．其函数被命名为标准正态分布（或高斯分布），并在概率计算中大量使用．高斯的肖像已经被印在从1989年至2001年流通的10德国马克的纸币上．

高斯（Johann Carl Friedrich Gauss）（1777年4月30日－1855年2月23日），生于不伦瑞克，卒于哥廷根，德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家．高斯被认为是最重要的数学家，并拥有“数学王子”的美誉．

1792年，15岁的高斯进入布伦瑞克（Braunschweig）学院．在那里，高斯开始对高等数学作研究．独立发现了二项式定理的一般形式、数论上的“二次互反律”（Law of Quadratic Reciprocity)、质数分布定理（prime number theorem)及算术几何平均(arithmetic-geometric mean)．1795年高斯进入哥廷根大学．1796年，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结果，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》．

1855年2月23日清晨，高斯于睡梦中去世．

作业

1.一个等差数列共有10项．每一项都比它的前一项大2，并且末项为75，那么首项是几？

2.一个等差数列共有10项．每一项都比它的前一项小2，并且末项为75，那么首项是几？

3.一个等差数列首项为13，第9项为29，这个等差数列的公差为几？第20项为几？

4.一个等差数列的第5项为47，第15项为87，这个等差数列的公差等于几？63是第几项？