济南大学高等数学C(一)5定积分及其应用-疑难解答

第六章 定积分及其应用

习题6-1 定积分的概念

下列定积分：利用定积分的定义计算.1

⎰2

1;

)1(-dx x

[]等分个分点，把区间中插入在闭区间解：n n 12,1.10-- ,211210=<<<<<=--n n x x x x x

.3)1(2Δn n x i =--= ).,,2,1(31n i i n

x i =+-=

[]，所以因为中取右端点为在每个区间

x x f i n

x ξx x i i i i =+-==-)(.31,.210.3

)31(ΔΔ)(111∑∑∑===⋅+-==n

i i n i i i n i i n

i n x ξx ξf .2

)1(939393Δ)(212121+⋅+-=+-=+-=∑∑∑===n n n i n i n x ξf n i n

i i n

i i 即{})Δ(232)1(93lim Δ)(lim .312102

10

n i i n i n

i i λx max λn n n x ξf xdx ≤≤∞→=→-==⎥⎦⎤⎢⎣

⎡+⋅+-==∑⎰其中⎰1

0.)2(dx e x

[]等分个分点，把区间中插入在闭区间解：n n 11,0.10-

,101210=<<<<<=-n n x x x x x

.1Δn x i = ).,,2,1(0n i n

i n i x i ==+=

[]，所以因为中取右端点为在每个区间

x i i i i e x f n

i x ξx x ===-)(.,.210.1ΔΔ)(111∑∑∑===⋅==n

i n

i i n i ξi n i i n

e x e x ξ

f i

.1

)1(1)(1

Δ)(111211

--⋅=

++++=

-=∑n n

n

n n

n n

n

i n

i i e e e n

e e e e n

x ξf 即{})Δ(11

)

1(1lim Δ)(lim .3111101

00

n i i n n

n i n

i i λx

x max λe e e e n x ξf dx e ≤≤∞

→=→=-=--⋅==∑⎰其中，说明下列等式：

利用定积分的几何意义.2

;12110⎰=x xd ）（ ;412102

⎰=-πx d x ）（

⎰-=π

πx sinxd ；）（03 ⎰⎰-=20

22

.24ππ

πx cosxd x cosxd ）（

角形的面积，故表示如图所示的直角三

）解：（⎰1

021x xd

.x xd 1212

1

21

0=⋅⋅=

⎰ ⎰-102

4112圆的面积，故表示如图所示）（x d x

.41411102

2⎰=⋅⋅=-ππx d x ⎰-π

πx x sinxd 轴上方为正面积，的面积，其中表示如图所示阴影部分

）（3轴下方为负面积，故x ⎰-=π

πx sinxd .0

⎰-2224π

πx cosxd 倍，面积的的面积，它是第一象限表示如图所示阴影部分

）（⎰⎰-=20

22

.2πππx cosxd x cosxd 故

习题6-2 定积分的性质

积分的大小：比较下列各题中的两个.2

;,11

0421021dx x I dx x I ⎰⎰==）（ ;,22

1422

121dx x I dx x I ⎰⎰==）（

;)(ln ,ln 34

332431dx x I dx x I ⎰⎰==）（ ;)1ln(,41

02101dx x I dx x I ⎰⎰+==）（

.)1(,51

021

01dx x I dx e I x ⎰⎰+==）（ ，

只有有限个成立的解：)"(",10)1(42x x x x =≥∴≤≤ ,,42是连续函数又x x .,211

04102I I dx x dx x >>⎰⎰即故

是连续函数，

，又只有有限个成立的4242,)"(",21)2(x x x x x x =≤∴≤≤ .,212

142

12I I dx x dx x <<⎰⎰即故

是连续函数，

，又33)(ln ,ln )(ln ln ,1ln ,43)3(x x x x x x <∴>∴≤≤ .

,)(ln ln 214

334

3I I dx x dx x <<⎰⎰即故

.

,)1ln(),

10()1ln(,0)0()()(10),10(111

)(,)1ln()()4(211

01

0I I dx x dx x x x x f x f x f x x x

x f x x x f ><+∴≤<<+=<≤≤<<-+=

'-+=⎰⎰即即单调递减，故时，故当则设.,1,)1(,0)5(21I I e x x x n l x x >∴<+∴<+>时

[]，证明：上连续在及设)(,)()(3b a b a x g x f .< [].0)(,0)(,0)(,)1(>≡/≥⎰b

a dx x f x f x f

b a 则且上，若在

[][].0)(,,0)(,0)(,)2(≡=≥⎰x f b a dx x f x f b a b

a 上，则在且上，若在

[][]).

()(,,)()(),()(,)3(x g x f b a dx x g dx x f x g x f b a b

a b

a ≡=≤⎰⎰上，在则

且上，若在

[]⎰≥∴≥b

a dx x f x f

b a ,

0)(,0)(,)1(上，在证明：

，假设⎰=b

a dx x f 0)(上，

知在由],[)2(b a ，0)(≡x f 矛盾，

这与0)(≡/x f .0)(⎰>∴b

a dx x f ，假设反证法0)())(2(≡/x f ，则至少存在一点

],[b a ξ∈，使得0)(≠ξf ，0)(≥x f ，0)(>∴ξf []上连续，在b a x f ,)( 的区间

包含ξ∴

，],[],[21b a c c ⊆ ，可设0)(>x f ],[21c c x ∈

，

易知：

⎰>21

0)(c c dx x f ， ，，而⎰⎰≥≥1

2

0)(0)(c a

b

c dx x f dx x f ⎰⎰⎰⎰>++=∴b

a c a c c b

c dx x f dx x f dx x f dx x f 1

2

1

2

.

0)()()()(

矛盾，这与⎰=b

a dx x f 0)(

[].0)(,≡∴x f b a 上，假设不成立，即在

，令)()()()3(x f x g x F -=，],[)()(b a x x g x f ∈≤ .0)(≥∴x F

，且⎰⎰⎰=-=b a b a b

a dx x f dx x g dx x F 0)()()( ,0)()2(≡x F 知由

).()(x f x g ≡即