结构优化设计的准则法

σ [ 1 , 2 ,
3）计算应力比矩阵
μ [ 1 , 2 , 11 /[ 1 ], 12 /[ 1 ], , 1L /[ 1 ] /[ ], /[ ], , /[ ] 2L 2 , L ] 21 2 22 2 [ ij ] n1 /[ n ], n 2 /[ n ], , nL /[ n ]
N1 N2 N3 N4 N 5
A1(0) 10000 (0) A2 10000 A3(0) 0 ; 10000 (0) A4 14140 A5(0)
• 计算应力比
i(0)
i(0) i
需根据 计算的应力为拉应力或压应力取 (0) 相应的许用应力 。 i 和 两者 符号要一致，可取绝对值进行计算。
i i
1 1.43 1.43 2 3 0 ; 1.43 4 4.04 5
3）迭代计算
μ
(0)

1 (0) 2[ A1(0) ]2 2 A1(0) A2
2 (0) (0) A2 2 A1 2 (0) 2 A 1 2 1 4 (0) 2(2 2) A2 3 3
A(0)
A 1 (0) A2 1 (0) A3 1 ; (0) 1 A 4 1 A(0) 5
(0) 1
• 根据平衡条件，求出各杆内力：
N1 10000 N 10000 2 N N3 0 ; N 10000 4 14140 N5
2.满应力准则法中一些概念 1）满应力
结构元件的应力达到容许应力或临界应力。
2）工况
结构是在多种荷载作用下，每一种荷载我们称为 一种工况。
3）应力比
元件的工作应力与容许应力之比。
i i /[ i ]
3.满应力计算（应力比法） 下面我们以桁架为例，介绍满应力准则法。
设桁架是由n个杆件组成的，受到L种工况 的荷载作用： 设第i 杆在第j 工况下的内力为 Nij(i=1,2,…，n; j=1,2,…,l),第i杆在各种工 况下的最大内力为 Nimax，最小重量设计可归结 为：求设计变量
0.9898 0.0144
1.0001 0.9898
0.0001 0.0101
2.8141
满足精度要求的设计：
0.9898 A(96) 0.0144
W 2.8141 l
如果继续一直迭代下去：
1 A 0 本题的数学模型：
其中第三元件的断面面积按计算为0，小 于规定的最小尺寸 Amin 0.8 ，因此应 取 Amin 0.8 。
• 对于静定结构，由于其内力不随元件断 面尺寸的改变而改变，故只需进行一次 修正设计 ，各元件的工作应力便都达到 许用应力值，或元件的尺寸取为规定的 最小尺寸。各杆的断面尺寸不能取得比 上述尺寸小，否则将不满足强度要求或 几何约束条件。因此，满应力设计对静 定结构而言，就是最轻质量设计。
A A1 A2
An
T
使桁架重量 W i Ai li
i 1
n
最小
1）假设桁架各杆初始截面积为：
X [ x1, x2 , , xn ] [ A1, A2 , , An ]
T T
2）进行结构分析，计算各杆轴力，得到 应力矩阵。
N11 , N12 , , N1L N , N , , N 21 22 2L , NL] [ N ij ] N n1 , N n 2 , , N nL
1 3
2）结构重量作为目标函数；
A [ A1, A2 ]T
W l (2 2 A1 A2 )
结构分析：
N
A1 A2 2 A12 P 1 2 2 A1 2 A1 A2 2 A1 A2 P 1 2 A12 2 A1 A2 A1 A2 P 1 2 A12 2 A1 A2
我们可以利用图解法求解：
W A2 2 2 A1 l
这是一族平行线，其斜率：
dA2 2 2 dA1
(a )
第1个约束方程的约束界面：
A2 2 A12 P 1 [ ] 2 A1 P 1 ) (2 2 A1
2
P 1
2 A1
其斜率：
dA2 dA1 (2 2 A1 [ ] P 1
σ
A2 2 A1 P1 2 2 A1 2 A1 A2 A1 P1 2 2 A1 2 A1 A2 2 A2 P 1 2 2 A1 2 A1 A2
应力比矩阵：
A2 2 A1 2 2 A 1 2A 1 A2 2 A1 μ 2 A12 2 A1 A2 A2 2 A12 2 A1 A2
收敛判别
1 i 0.1
(0) 1 1
迭代计算
A [ A
(1)
2 A
(0) 2
2 ] 1 [ 2
T
2 1 ]
T
设计变量
cm2

0.707 0.414
1
0.707 0.414 0.094 0.227 0.0541 0.1847
结构优化设计的准则法
第2章 结构优化设计的准则法
准则优化法的基本概念： 从结构力学原理出发，规定一些优化必须满 足的准则，然后根据这些准则建立达到优化设 计的迭代公式的方法。 最优化方法是最先发展起来的一种结构优 化设计方法，从上一世纪50年代开始应用于工 程结构设计。
• 满应力准则法、齿形法、能量准则法等 • 优点：收敛速度快，与优化问题的规模关 系不大,重分析次数与设计变量数目没有直 接关系 • 缺点：有局限性，适用于结构布局及几何 形状已定的情况，设计是接近最优。
初始方案为：
P 1 [ ] P 1 [ ] P 1 [ ]
A2 2 A1 1 2 A1 2 2 A1 2 A1 A2 4 A2 3
A [1,1]
T
0.1
A2 2 A1 1 μ 2 A1 2 2 A1 2 A1 A2 4 A2 3
4.超静定结构
例1.2：三杆桁架如图，进行最轻重量设计。两种工况： （1 ） P P2 0N 1 20000N （2 ） P P2 20000N 1 0N
[ ] 15000Pa [ ] 20000Pa
解：1）分析由于对称性及工况的 对称，优化结果显然 A A ；
(0) (0) (0) • 修正初始设计向量 A A(0) * i A * i i i i i
A1 1.43 1.43 A 1.43 1.43 2 (0) (0) A A3 A * 0 0.8 A 1.43 1.43 4 4.04 4.04 A5
……
W (l )
3.8284
A
(0)
1 1
0.707 A 0.414
(1)
1.094 0.774 1.0541 0.8153
……
2.414
A
(2)
0.7735 0.3204
2.5081
……
……
A
(96)
• 满应力设计地解法不是按事后的结果来判 断是否达到最优，而是先行确定所谓优的 准则，严格来讲，它并不是最优设计。
• 一般来说，只有静定结构在单一荷载作用 下，满应力设计才可能是最轻设计（由于 静定结构的的特点决定）；而超静定结构 的情况就完全不同了，由于超静定结构各 构件的内力与构件截面尺寸有关，每次调 整截面后，将产生内力重分布。近似解。
N [ N1 , N 2 ,
式中：N ij为在第j种工况的作用下，第i根杆件的轴力。 进而求得各杆应力：
N11 / A1 , N12 / A1 , , N1L / A1 N / A , N / A , , N / A 21 2 22 2 2L 2 , L ] [ ij ] N / A , N / A , , N / A nL n n1 n n 2 n
2-1结构优化设计的满应力准则法
1.满应力设计基本思想
从结构力学的原理出发，以满应力为其准则，使杆件 的材料能够得到充分利用的一种方法。
其设计思想就是对一个既定的结构布局，通过调整构 件的断面尺寸，源自文库各构件承受荷载的能力得以充分发 挥。具体地，对布局已定的结构在多种荷载作用下， 使结构的每个构件至少在一种荷载情况下的应力达到 容许应力，此时就认为结构重量是最轻的。
式中：ij 为在第j种工况的作用下，第i根杆件的应力比。
我们来分析应力比取值情况：
ij 1 说明此杆的应力大于许用应力，需要增加 此杆的截面积； ij 1 说明此杆的应力小于许用应力，需要减小 此杆的截面积； 可见可以选择 ij 作为调整各杆截面积的 依据。
4）形成应力比列阵 1 2
[ ] 2)(2 A1 ( P 1
[ ]
[ ]
P 1
2 2 A12 )
[ ]
2 A1 )
(b)
求（a）、(b)方程组：
6A 6
2 1
n
i max ij
1 j L
5）调整方案及收敛判别 若 否则 Ai i Ai
1 i
A A
*
6）把调整方案作为初始方案 A [ A1 A2 迭代。转2）继续迭代。
An ]T 重新
图中ε 是事先指定 的小正数。 对于静定桁架， 各杆的内力与杆 件的截面积无关， 因此，上面的迭 代公式只要一次 迭代。
对于超静定结构， 是一个重复迭代 的过程。
1.静定结构
例1.1 以5杆桁架为例。 外力 P 10000 许用拉应力 7000 许用压应力 3500
杆断面最小尺寸 Amin 0.8 求各截面最小尺寸并使 结构最轻
a
① ④
a
⑤
②
③
P 10000
• 首先假定一个初始设计（静定结构可以 不必这样做，但为了和静不定结构设计 统一，假定初始断面面积为1），设初 始向量为：
()
可见退化为静定结构。
minW ( A) l (2 2 A1 A2 )
A2 2 A1 P1 [ ] 2 2 A1 2 A1 A2 A1 P1 [ ] 2 s.t. 2 A1 2 A1 A2 2 A2 P1 [ ] 2 2 A1 2 A1 A2 A1 , A2 0,