空间解析几何-第3章-常见的曲面2

➢ 抛物面
➢ 椭圆抛物面 ➢ 双曲抛物面
二次曲面的定义： 三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面．
相应地平面被称为一次曲面．
讨论二次曲面形状的截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面
相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌．
以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．
§3.5.1 椭球面
x2
y2
即 a2
1
h2 c2
b2
1
h2 c2
1
x
,从而椭圆焦点坐标为
y
0,
a2 b2
1
h2 c2
,
z h.
z h.
消去参数
h
x2
得
a2
b2
z2 c2
1,
y 0.
二、双叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
双叶双曲面
特别的a=b时
x2 y2 z2 a2 b2 c2
o
y
用平行于坐标面的平面截割
(2)用y = h 截曲面
x2 Cyh： a2
z2 c2
0，
y h.
③当 h ＝b 时
截线为直线
(0 , b , 0)
单叶双曲面： x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
用y = h 截曲面
①当 h b 时
②当 h b 时
③当 h ＝b 时
x2 Cyh： a2
1
z 0
—xoy面上的 椭圆叫做腰 椭圆
y2
b
2
z2 c2
1
x 0
—yoz面 上的双曲 线
x2
a
2
z2 c2
1
—xoz面上
y 0
的双曲线
2020/9/28
有共同的虚 轴和虚轴长
5 平截线
用平行于坐标面的平面截割
z
(1)用z = h 截曲面
x2 Czh： a2
y2 b2
1＋
h2 c2
1 为旋转双曲面
z
oy x
双叶双曲面的性质
1 对称性（symmetric）
双叶双曲面关于三坐标轴（叫做主平面），三坐标面（叫 做主轴）及原点（中心）对称，原点为其对称中心
z 2 与坐标轴的交点及截距 (vertex and intercept)
（1）双叶双曲面与x轴、y轴不交，而与
z轴交于（0，0，±c），此为其实顶点.
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
(a 0,b 0, c 0)
1.对称性：
•主平面:三坐标平面 •主轴:三坐标轴 •中心:坐标原点
2.顶点:(±a,0,0),(0,±b,0),(0,0,±c) 轴:2a,2b,2c ( ) 半轴:a,b,c 截距:±a, ±b, ±c
3.范围： x a, y b, z c
①用z = 0 截曲面
无交点
②用y = 0 截曲面
z2 Cy0： c2
x2 a2
1， 双曲线
y 0.
③用x = 0 截曲面
x
z2 Cx0： c2
y2 b2
1，双曲线
x 0.
z
o
y
5 平截线
（1）用 z h h c 截曲面
①当 h c时, 交点坐标0,0, c
②当 h c时, 截线为椭圆
椭球面与双曲面都是中心二次曲面，它们的方程可以写成
统一的形式：Ax2 By2 Cz2 1, ABC 0.
（1）
当三平方项系数 A, B,C 均为正时，（1）表示椭球面；
当三平方项系数 A, B,C 中有两项为正，另一项为负，（1） 表示单叶双曲面；
当三平方项系数 A, B,C 中只有一项为正，另两项为负，（1） 表示双叶双曲面；
A B C
试问当 取异于 A, B,C 的各种数值时，它表示怎样的曲面？
分析：
ⅰ）当 A , B ,C 都取正，即 C 时，表示椭球面； ⅱ）当 A , B ,C 中有一项为负，即 C B 时，表示单叶双曲面； ⅲ）当 A , B ,C 中有两项为负， 即 B A 时，表示双叶双曲面； ⅳ）当 A , B ,C 都取负，即 A 时，不表示任何图形.
1、椭圆抛物面
x2 a2
用平行于xoy坐标面的平面截割椭球面，得截线的方程为：
x2
a
2
y2 b2
1
h2 c2
(5)
z h
h c ，(5)无图形；
h c
h c
，(5)表示两个点 (0,0,c) ； (5)表示一个椭圆，两半轴长分别为
a
1
h2 c2
b 1 h2 c2
由于h是变化的，(5)表示一族椭圆，椭圆面可以看成由 一个椭圆变动而生成的，其在变动中始终保持所在的平 面与坐标面xoy平行.
而当 A, B,C 均为负时，方程（1）不表示任何图形，或者称 它为虚曲面.
例如当 A 0, B 0,C 0 时，方程（1）可改写为
x2 y2 z2 1 , a2 b2 c2
其中 1
a2
1 A, b2
B,
1 c2
C ，这是单叶双曲面的标准方程.
例 给定方程
x2 y2 z2 1 A B C 0 ,
双曲面和锥面任意接近。
z
o
y
§3.5.3 抛物面
z
•椭圆抛物面
•双曲抛物面
x
o
y
2020/9/28
1、椭圆抛物面
方程： x2 y2 z( p与q同号)
2 p 2q
设p、q>0,则 z 0 图形在xoy平面上方
与xoy面的交线 c0
x2 : 2 p
y2 2q
0
为点（0，0，0）
z 0
与平面 z z0 ( 0)交线
3 图形的范围
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
z
由方程 x2 y2 1 知，即曲面存在于椭圆柱面
a2 b2
x2 a2
y2 b2
1
之外，从而曲面与z轴无交点，
并且在xoy面的上,下半空间延到无穷远.
o
y
x
4 主截线
与三坐标平面z = 0，y = 0和x = 0交于三条曲线
x2
a
2
y2 b2
z 0
x2
xOz面
:
a
2
z2 c2
1
y 0
y2
yOz面
:
b2
z2 c2
1
x 0
椭球面的主截线（主椭圆）
z 椭球面
o
x
y
5.平截线：
z
x2 y2 z2 1
a2 b2 c2
用z = h截曲面 用y = m截曲面 用x = n截曲面
c
o a
by
x
椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化，因此椭球面 可以看成是由一个椭圆的变动（大小位置都改变）而产生.
(2)用y = h 截曲面
x2 Cyh： a2
z2 c2
1
h2 b2
，
y h.
②当 h b 时
截线为双曲线
用平行于坐标面的平面截割
z
(2)用y = h 截曲面
x2 Cyh： a2
z2 c2
1
h2 b2
，
y h.
③当 h ＝b 时
x2 Cyh： a2
z2 c2
0，
x
y h.
截线为直线
O x
y
用平行于坐标面的平面截割
(2)用y = h 截曲面
x2 Cyh： a2
z2 c2
1
h2 b2
，
y h.
①当 h b 时
截线为双曲线
用平行于坐标面的平面截割
(2)用y = h 截曲面
x2 Cyh： a2
z2 c2
1
h2 b2
，
y h.
②当 h b 时
x
截线为双曲线
z
o
y
用平行于坐标面的平面截割
空间解析几何
第3章 常见的曲面2
2020/9/28
本章主要内容
1 柱面
2 锥面
3 旋转曲面
4 曲线与曲面的参数方程
5 椭球面
6
双曲面（单叶双曲面，双叶双曲面）
五种典型的 二次曲面
7 抛物面（椭圆抛物面，双曲抛物面）
8 二次直纹面
9 作图
§3.5 五种典型的二次曲面
➢ 椭球面
➢ 双曲面
➢ 单叶双曲面 ➢ 双叶双曲面
椭球面的几种特殊情况：
(1) a b,
x2 a2
y2 a2
z2 c2
1
旋转椭球面
由椭圆
x a
2 2
z2 c2
1绕
z 轴旋转而成．
y 0
方程可写为
x2 y2 a2
z c
2 2
1
旋转椭球面与椭球面的区别：
与平面 z z1 ( | z1 | c)的交线为圆.
截面上圆的方程
x
2
y2
a c
4.主截线：
平行截割用法坐：标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察
其交线（即截口）的形状，然后加以综合，从而了解曲面 的全貌。
截口是曲面与平面的交线
椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
与三个坐标面的交线
椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
与三个坐标面的交线
x2
xOy面
:
a
2
y2 b2
1
oy
（2）用x=0,y=0代入，得曲线在z轴上的 x
截距，而在x,y轴上无截距.
3 图形范围
x2 a2
y2 b2
，1易cz知22
z2 c2
1，即0
或z c z c
所以曲面分成两叶，一叶在 z c 的上方，另一叶在 z c
平面的下方，曲面在面的上半空间下半空间延伸到无穷。
z
oy x
4 主截线
:
b2
z2 c2
1,
x 0
o
b
y
绕虚轴（即 z 轴）旋转形成的x .
单叶旋转双曲面
例 用一组平行平面 z h （ h 为任意实数）截割单叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1a
b 得一族椭圆，求这些椭圆焦点的轨迹.
分析：
这一族的椭圆方程为
x2
源自文库
a2
y2 b2
1
h2 c2
,
z h,
x2 Czh： a2
y2 b2
h2 c2
1,
z h.
结论：双叶双曲面可看作由 一个椭圆的变动（大小位置 都改变）而产生，该椭圆在 变动中，保持所在平面与 x
xOy 面平行，且两轴的端点
分别在两定双曲线上滑动.
z
o
y
（2）用 y t截曲面
截线为双曲线
z2 Cyt： c2
x2 a2
1
t2 b2
变为
x2 y2 b2
z2 c2
1.
此时的单叶双曲面是双曲线
o
b
y
y2
:
b2
z2 c2
1,
x 0
绕虚轴（即 z 轴）旋转形成的.
单叶旋转双曲面是单叶双曲面的特殊情形.
z
当 a b时, 方程
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
变为
x2 y2 z2 1.
b2
c2
此时的单叶双曲面是双曲线
y2
（1）单叶双曲面与x，y轴分别交于（±a，0，0），
（0，±b，0）而与z轴无实交点.
上述四点称为单叶双曲面的实顶点，
z
而与z轴的交点（0，0，±ci）
称为它的两个虚交点. （2）截距：分别用y=0,z=0和x=0,z=0，
o
y
代入得x,y轴上的截距为: x a ，y b ； x 在z轴上没有截距.
双曲面及其渐进锥面
双叶：x 2 y 2 z 2 1
a2 b2 c2
渐进锥面：x 2
a2
y2 b2
z2 c2
0
单叶：x a
2 2
y2 b2
z2 c2
1
在平面上，双曲线有渐进线。
相仿，单叶双曲面和双叶双曲面 有渐进锥面。
用z=h去截它们，当|h|无限增大 时，
双曲面的截口椭圆与它的渐进锥
面 的截口椭圆任意接近，即： x
z2 c2
1
h2 b2
，
y h.
x2 Cyh： a2
z2 c2
1
h2 b2
，
y h.
x2 Cyh： a2
z2 c2
0，
y h.
注：在直角坐标系下，方程
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
与
x a
2 2
y2 b2
z2 c2
1
所表示的图形也是单叶双曲面.
z 当 a b时,
方程
x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
§3.5.2 双曲面
单叶双曲面 z
双叶双曲面 z
oy x
oy x
一、单叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
单叶双曲面
1 对称性（symmetric）
关于三坐标平面对称； 关于三坐标轴对称； 关于坐标原点对称，
（0，0，0）为其对称中心.
2 顶点、与坐标轴的交点和截距 (vertex and intercept)
, 椭圆
z h.
O
结论：单叶双曲面可看作由一
个椭圆的变动（大小位置都改
x
y
变）而产生，该椭圆在变动中，
保持所在平面与xOy 面平行，
且两对顶点分别在两定双曲线
上滑动.
用平行于坐标面的平面截割
z
(2)用y = h 截曲面
x2 Cyh： a2
z2 c2
1
h2 b2
，
y h.
①当 h b时
截线为双曲线
2 2
(c
2
z12 ).
z z1
(2) a b c,
x2 a2
y2 a2
z2 a2
1
球面
方程可写为 x2 y2 z2 a2.
三、椭球面的参数方程
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
x a cos cos
y z
b cos c sin
sin
2
2
,
0
2
应用实例： 上海科技城椭球体玻璃幕墙
,
y t.
x
z
o
y
（3）用 x t 截曲面
截线为双曲线
z2 Cxt： c2
y2 b2
1
t2 a2
,
x t.
x
z
o
y
注：在直角坐标系下，方程
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
与
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
所表示的图形也是双叶双曲面.
五 单叶双曲面和双叶双曲面的方程的识别：
1°两种双曲面的方程的左边都是x，y，z的平方项，有正 有负，右边是1或－1.
把方程的右边都化成1，则左边有两项正，一项负的， 就表示单叶双曲面. 而左边有两项负，一项正的，就表示 双叶双曲面.
把方程的左边都化成两项正，一项负，则右边是1的就 表示单叶双曲面，而右边是－1的，就表示双叶双曲面.
2°绘图时要注意区分“实轴”和“虚轴”，并且保证对坐 标轴的标注要符合右手系的原则.