高中数学轴定区间动 轴动区间定专题辅导

轴定区间动

轴动区间定 祁正红

二次函数在闭区间上的最值分为两种情况，一种是轴定区间动，另一种是轴动区间定，不论哪种情况，都可分为对称轴在区间左侧，在区间内，在区间右侧三种情况来分类讨论，下面利用数形结合给出)0a (c bx ax y 2≠++=在[m ，n]上的最值。只讨论0a >的情形。

（1）对称轴在区间左侧，即m a

2b <-

时，)m (f y ),n (f y min max ==。 （2）对称轴在区间内，即n a

2b m ≤-≤时，)a 2b (f y )},n (f ),m (f max{y min max -== （3）对称轴在区间右侧，即n a 2b >-时，)n (f y ),m (f y min max == 一、轴定区间动

设二次函数1x 4x )x (f 2--=在[t ，t+2]上的最小值为)t (g ，试求函数)t (g y =的最小值。 解：5)2x (1x 4x )x (f 22--=--=的图像对称轴方程为2x =，图像开口向上。

（1）当5)2(f )t (g ,2t 0,2t 2t ],2t ,t [2-==≤≤+≤≤+∈时也就是即；

（2）当2t >时，对称轴在]2t ,t [+左侧，]2t ,t [)x (f +在上是增函数，故1t 4t )t (f )t (g 2--==；

（3）当22t <+时，即]2t ,t [)x (f ,0t +<在时上是减函数，5t 1)2t (4)2t ()2t (f )t (g 22-=-+-+=+=。

综合上面讨论，)t (g 的解析式为：

⎪⎩⎪⎨⎧<-≤≤->--=)

0t (,5t )

2t 0(,5)2t (,1t 4t )t (g 22 所以5)t (g -最小值为。

二、轴动区间定

已知函数1ax 2x )x (f 2++=在区间]2,1[-上最大值为4，求a 的值。

解：222a 1)a x (1ax 2x )x (f -++=++=。

图像是开口向上的抛物线，对称轴方程为直线a x -=。

（1）]2,1[)x (f ,1a ,1a ->-<-在时即上单调递增，41a 44)2(f )]x (f [max =++==，解得：1a 41a >-=与矛盾，故舍去。

（2）2a 1≤-≤-，即1a 2≤≤-时，最小值在顶点处取得，最大值在两端点处得到。 若1a 44)2(f )x (f max ++==， 得4

1a -= 若41a 21)1(f )x (f max =+-=-=，得1a -=。 所以1a ,4

1

a -=-=，均符合题意。

（3）]2,1[)x (f ,2a ,2a --<>-在时即上单调递减，,41a 21)1(f )x (f max =+-=-= 1a -=得与2a -<矛盾，舍去。

综合上述：41a -=或1a -=