§4.2换元积分法(第二类换元法)

合集下载
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

§ 换元积分法(第二类)

Ⅰ 授课题目(章节):

§ 换元积分法 (第二类换元积分法)

Ⅱ 教学目的与要求:

1.了解第二类换元法的基本思想

2.掌握几种典型题的第二类换元积分法解法 Ⅲ 教学重点与难点:

重点:第二换元法中的三角代换及根式代换 难点:积分后的结果进行反代换 Ⅳ 讲授内容:

第一类换元积分法的思想是:在求积分()g x dx ⎰

时 如果函数g (x )可以化为[()]()f x x ϕϕ'的

形式 那么

()

()[()]()[()]()

()u x g x dx f x x dx f x d x f u du ϕϕϕϕϕ='==⎰⎰⎰⎰

()F u C =+[()]F x C ϕ=+

所以第一换元积分法体现了“凑”的思想.把被积函数凑出形如[()]()f x x ϕϕ'函数来.对于某些函数第一换元积分法无能为力,例如⎰

-dx x a 22.对于这样的无理函数的积分我们就得用今天要

学习的第二类换元积分法。

第二类换元的基本思想是选择适当的变量代换)(t x ψ=将无理函数()f x 的积分

()f x dx ⎰化为

有理式[()]

()f t t ψψ'的积分[()]()f t t dt ψψ'⎰。即

()[()]()f x dx f t t dt ψψ'=⎰⎰

若上面的等式右端的被积函数[()]

()f t t ψψ'有原函数()t Φ,则[()]()()f t t dt t C ψψ'=Φ+⎰,

然后再把()t Φ中的t 还原成1

()x ψ-,所以需要一开始的变量代换)(t x ψ=有反函数。

定理2 设)(t x ψ=是单调、可导的函数,且0)(≠ψ't ,又设)()]([t t f ψ'ψ有原函数()t Φ,则

⎰⎰+ψΦ=+Φ=ψ'ψ=-C x C t dt t t f dx x f )]([)()()]([)(1

分析 要证明

1

()[()]f x dx x C ψ

-=Φ+⎰,只要证明1[()]x ψ-Φ的导数为()f x ,

1[()]d d dt x dx dt dx ψ-ΦΦ=⋅ , ?dt dx

= 证明 )(t x ψ

=

单调、可导,∴

()x t ψ=存在反函数)(1x t -=ψ,且

)(1

1t dt

dx dx dt ψ'== 11[()][()]()()()d d dt x f t t f x dx dt dx t ψψψψ-Φ'Φ=⋅==' )]([1x -ψΦ∴是)(x f 是一个原函数⎰+ψΦ=-C x dx x f )]([)(1.

第二换元法,常用于如下基本类型 类型1:被积函数中含有

22x a -(0>a ),可令t a x sin =(并约定(,)22

t ππ

∈-

)则

t a x a cos 22=-,tdx a dx cos =,可将原积分化作三角有理函数的积分.

例1 求

-dx x a 22

)0(>a

解 令t a x sin = ,(,)22

t ππ

∈-

,则t a x a cos 22=- tdt a dx cos = 2

2

cos cos a x dx a ta tdt ∴-=⎰

⎰22

2

11(cos 2)sin 22224

a a a t dt t t C =+=++⎰

2222

2sin cos arcsin 2222

a a a x x t t t C a x C a =++=+-+. 借助下面的辅助三角形把sin t ,cos t 用x 表示.

例2 求

-dx x

x 2

24

解 令t x sin 2=,(,)22

t ππ

∈-

,则t x cos 242=-,tdt dx cos 2=

2

224sin 1cos22cos =42cos 24t t tdt dt t x

-∴=⋅-⎰⎰

=(22cos2)2sin 2t dt t t C -=-+⎰ 222sin cos 2arcsin

422

x x t t t C x C

=

-+=--+ 类型2:被积函数中含有

)0(2

2>+a x a 可令 t a x tan = 并约定(,)22

t ππ

∈-

,则t a x a sec 22=+;tdt a dx 2sec = ;可将原积分化为三角有理函数的积分.

例3 求

+2

2

a

x dx )0(>a

解 令t a x tan =,)2

,2(π

π-

∈t ,则22sec x a a t +=,2sec dx a tdt = 2

2

sec tdt x a

∴=+⎰

⎰ln sec tan t t C =++

22221ln

ln x a x

C x x a C a a

+=++=+++.

例4 求

⎰+2

2

4x

x

dx

解 令t x tan 2=,)2

,2(π

π-

∈t 242sec x t +=,tdt dx 2sec 2=

222

2

2sec 4tan 2sec 4t dt t t x

x ∴=⋅+⎰1cos 22sin 2cos 1sec 14tan 4t t t

t dt dt t ==⎰⎰

2

221cos 111114sin 4sin 4sin 4sin 4t x dt d t C C t t t x

+===-⋅+=-⋅+⎰⎰ 例5求

⎰+22)9(x dx

(分母是二次质因式的平方)

解 令t x tan 3=,则t x 2

2

sec 99=+, tdt dx 2

sec 3=

22

2243sec 1cos (9)81sec 27dx t dt tdt x t ==+⎰⎰⎰

相关文档
最新文档