§4.2换元积分法(第二类换元法)
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§ 换元积分法(第二类)
Ⅰ 授课题目(章节):
§ 换元积分法 (第二类换元积分法)
Ⅱ 教学目的与要求:
1.了解第二类换元法的基本思想
2.掌握几种典型题的第二类换元积分法解法 Ⅲ 教学重点与难点:
重点:第二换元法中的三角代换及根式代换 难点:积分后的结果进行反代换 Ⅳ 讲授内容:
第一类换元积分法的思想是:在求积分()g x dx ⎰
时 如果函数g (x )可以化为[()]()f x x ϕϕ'的
形式 那么
()
()[()]()[()]()
()u x g x dx f x x dx f x d x f u du ϕϕϕϕϕ='==⎰⎰⎰⎰
()F u C =+[()]F x C ϕ=+
所以第一换元积分法体现了“凑”的思想.把被积函数凑出形如[()]()f x x ϕϕ'函数来.对于某些函数第一换元积分法无能为力,例如⎰
-dx x a 22.对于这样的无理函数的积分我们就得用今天要
学习的第二类换元积分法。
第二类换元的基本思想是选择适当的变量代换)(t x ψ=将无理函数()f x 的积分
()f x dx ⎰化为
有理式[()]
()f t t ψψ'的积分[()]()f t t dt ψψ'⎰。即
()[()]()f x dx f t t dt ψψ'=⎰⎰
若上面的等式右端的被积函数[()]
()f t t ψψ'有原函数()t Φ,则[()]()()f t t dt t C ψψ'=Φ+⎰,
然后再把()t Φ中的t 还原成1
()x ψ-,所以需要一开始的变量代换)(t x ψ=有反函数。
定理2 设)(t x ψ=是单调、可导的函数,且0)(≠ψ't ,又设)()]([t t f ψ'ψ有原函数()t Φ,则
⎰⎰+ψΦ=+Φ=ψ'ψ=-C x C t dt t t f dx x f )]([)()()]([)(1
分析 要证明
1
()[()]f x dx x C ψ
-=Φ+⎰,只要证明1[()]x ψ-Φ的导数为()f x ,
1[()]d d dt x dx dt dx ψ-ΦΦ=⋅ , ?dt dx
= 证明 )(t x ψ
=
单调、可导,∴
()x t ψ=存在反函数)(1x t -=ψ,且
)(1
1t dt
dx dx dt ψ'== 11[()][()]()()()d d dt x f t t f x dx dt dx t ψψψψ-Φ'Φ=⋅==' )]([1x -ψΦ∴是)(x f 是一个原函数⎰+ψΦ=-C x dx x f )]([)(1.
第二换元法,常用于如下基本类型 类型1:被积函数中含有
22x a -(0>a ),可令t a x sin =(并约定(,)22
t ππ
∈-
)则
t a x a cos 22=-,tdx a dx cos =,可将原积分化作三角有理函数的积分.
例1 求
⎰
-dx x a 22
)0(>a
解 令t a x sin = ,(,)22
t ππ
∈-
,则t a x a cos 22=- tdt a dx cos = 2
2
cos cos a x dx a ta tdt ∴-=⎰
⎰22
2
11(cos 2)sin 22224
a a a t dt t t C =+=++⎰
2222
2sin cos arcsin 2222
a a a x x t t t C a x C a =++=+-+. 借助下面的辅助三角形把sin t ,cos t 用x 表示.
例2 求
⎰
-dx x
x 2
24
解 令t x sin 2=,(,)22
t ππ
∈-
,则t x cos 242=-,tdt dx cos 2=
2
224sin 1cos22cos =42cos 24t t tdt dt t x
-∴=⋅-⎰⎰
=(22cos2)2sin 2t dt t t C -=-+⎰ 222sin cos 2arcsin
422
x x t t t C x C
=
-+=--+ 类型2:被积函数中含有
)0(2
2>+a x a 可令 t a x tan = 并约定(,)22
t ππ
∈-
,则t a x a sec 22=+;tdt a dx 2sec = ;可将原积分化为三角有理函数的积分.
例3 求
⎰
+2
2
a
x dx )0(>a
解 令t a x tan =,)2
,2(π
π-
∈t ,则22sec x a a t +=,2sec dx a tdt = 2
2
sec tdt x a
∴=+⎰
⎰ln sec tan t t C =++
22221ln
ln x a x
C x x a C a a
+=++=+++.
例4 求
⎰+2
2
4x
x
dx
解 令t x tan 2=,)2
,2(π
π-
∈t 242sec x t +=,tdt dx 2sec 2=
222
2
2sec 4tan 2sec 4t dt t t x
x ∴=⋅+⎰1cos 22sin 2cos 1sec 14tan 4t t t
t dt dt t ==⎰⎰
2
221cos 111114sin 4sin 4sin 4sin 4t x dt d t C C t t t x
+===-⋅+=-⋅+⎰⎰ 例5求
⎰+22)9(x dx
(分母是二次质因式的平方)
解 令t x tan 3=,则t x 2
2
sec 99=+, tdt dx 2
sec 3=
22
2243sec 1cos (9)81sec 27dx t dt tdt x t ==+⎰⎰⎰