考研资料(矩阵合同)

二次型的标准型
定理 : 若 f = XTA X 是数域 K 上的二次型 则存在 K 上可逆矩阵 C 及变量替换 X = C Y, 使得二次型 g = YT ( CTA C ) Y 只含平方项, 只含平方项 这样的二次型 g 称为 f 的 标准型. 标准型
对称矩阵的合同标准型 对称矩阵的合同标准型
L a1n x1 x L a2n 2 M M L ann xn
对称矩阵
每个 n 元二次型 f 都可以唯一地写成 f ( x1 , x2 ,…, xn ) = XTA X 的形式, 是对称矩阵, 变元列向量. 的形式, A 是对称矩阵, X 变元列向量. 只需将平方项系数依次写在主对角线上, 只需将平方项系数依次写在主对角线上, 交叉项系数对分后对称地写在矩阵相应 位置上. 位置上.
• 三元二次型 : 三元二次型
f ( x1 , x2 , x3 ) = a11 x1 + a22 x2 + a33 x3
2 2
2
+ 2 a12 x1 x2 + 2 a13 x1 x3 + 2 a23 x2 x3
a11 a = [ x1 x2 x3 ] 12 a13
a12 a22 a23
2 2
2
• 三次齐次多项式 ( 三次型 ) :
x + 7z − y z
3 3 2
• 三元二次型 : 三元二次型
பைடு நூலகம்
f ( x1 , x2 , x3 ) = a11 x1 + a22 x2 + a33 x3
2 2
2
+ 2 a12 x1 x2 + 2 a13 x1 x3 + 2 a23 x2 x3
a11 a = [ x1 x2 x3 ] 12 a13
a13 x1 x a23 2 a33 x3
每个 n 元二次型 f 都可以唯一地写成 f ( x1 , x2 ,…, xn ) = XTA X
a11 a 12 = [ x1 x2 L xn ] M a1n
a12 a22 M a2n
a12 a22 a23
a13 x1 x a23 2 a33 x3
• 三元二次型 : 三元二次型
f ( x1 , x2 , x3 ) = a11 x1 + a22 x2 + a33 x3
2 2
2
+ 2 a12 x1 x2 + 2 a13 x1 x3 + 2 a23 x2 x3
f = x1 + 4 x2 + x3 − 4 x1 x2 − 8 x1 x3 − 4 x2 x3
2 2 2
1 − 2 − 4 x1 − 2 4 − 2 x = [ x1 x2 x3 ] 2 − 4 − 2 1 x3
令X=QY
= [ y1 y2 y3 ]
2 2
2
+ 2 a12 x1 x2 + 2 a13 x1 x3 + 2 a23 x2 x3
a11 a = [ x1 x2 x3 ] 12 a13
a12 a22 a23
a13 x1 x a23 2 a33 x3
• 三元二次型 : 三元二次型
x1 − 1 / 2 − 1 x = x 1 + x 0 2 2 3 x3 0 1
λ = 5 特征子空间的一组基为
− 1 − 1 2 ,α = 0 α1 = 2 1 0
1 − 2 − 4 x1 − 2 4 − 2 x = [ x1 x2 x3 ] 2 − 4 − 2 1 x3
解 : 先求 A 的特征多项式
λ −1 | λI − A | = 2 4
2
2
4
λ− 4 2 2 λ −1
= ( λ − 5) ( λ + 4)
λ1 A=Q
λ2
QT O λn
A 的合同标准型.
λ 1 ,L , λ n 为 A 的实特征值 .
例: 求正交替换 X = Q Y 将二次型 f 化标准型
f = x1 + 4 x2 + x3 − 4 x1 x2 − 8 x1 x3 − 4 x2 x3
2 2 2
作业： 作业：
§5.7 1 (1) (3), 2, 4, 7; §6.1 2, 3 (1) (3), 7, 8, 11 §6.3 4, 6(1)(2), 7(2), 14
注：§5.7 1 要求计算二次型 XTA X 在 单位球面上的最大, 最小值, 单位球面上的最大 最小值 在何处取到 ? 要求写出二次型的规范型, 惯性指数. §6.1 8 要求写出二次型的规范型 惯性指数
λ = − 4 特征子空间的一组标准 正交基
2 1 η3 = 1 , 3 2
1 − 5 2 Q = [ η1 η 2 η 3 ] = 5 0
4 − 45 2 − 45 5 45
2 3 1 3 2 3
,
1 − 2 − 4 5 0 0 − 2 4 − 2 = Q 0 5 0 Q T A= − 4 − 2 1 0 0 − 4
y1 简称变量替换: 简称变量替换 y 2 , X = C Y , C 是 n 阶可逆矩阵 Y = 阶可逆矩阵, M 新变量 Y = C -1 X yn
• 将 X = C Y 代入 n 元二次型 元二次型, f ( x 1 , x 2 , … , x n ) = XT A X = ( C Y )T A ( C Y ) = YT CT A C Y 还是对称 矩阵吗? 矩阵吗?
对称矩阵的合同分类问题 对称矩阵的合同分类问题
对称矩阵在合同分类下被划分成 全体 n 阶对称矩阵在合同分类下被划分成 一个个等价类 . • 在每一合同类中选一个 ‘好’ 的 ‘ 标准 ’ 的 对称矩阵 ( 合同标准型 ) 作为这个类的代表 ; • 合同标准型的计算 ; • 判断两个对称矩阵是否合同 判断两个对称矩阵是否合同.
定理: 上的对称矩阵, 定理: 若 A 是数域 K上的对称矩阵 上的对称矩阵 则存在 K 上的可逆矩阵 C , 使得 CT A C 是对角矩阵. 合同标准型 标准型) 是对角矩阵 ( 称为 A 的合同标准型
对称矩阵(二次型)的标准型不唯一. 注: 对称矩阵(二次型)的标准型不唯一 但标准型对角线上非零元 (平方项非 平方项非 零系数)个数唯一 等于对称矩阵的秩. 个数唯一, 零系数 个数唯一 等于对称矩阵的秩
类似的, 解 A X = −4 X , 得 λ = −4
特征子空间的一组基
2 1 α3 = 2
λ = 5 特征子空间的一组标准 正交基为
− 1 − 4 1 1 η1 = 2 , η2 = −2 5 45 0 5
第六章 二次型
1 2 3 二次型与它的标准型 实二次型与它的规范型 正定二次型与正定矩阵
用矩阵表示函数
• 二次齐次多项式 ( 二次型 ) :
x1 + 4 x2 + x3 − 4 x1 x2 − 8 x1 x3 − 4 x2 x3
2 2 2
5 y1 + 5 y2 − 4 y3
2 2
2
z1 + z 2 − z 3
高等代数（I） 高等代数（ Advanced Linear Algebra
• 大课
周三 3,4 节 周五 1,2 节
理教 105 理教 105
• 习题课
周三 9,10 节 文史 201 三教 101
期末考试
2010 年 1 月 8 日 (周五 下午 2:00 周五) 周五 三教 503 505 507
二次型的等价与矩阵的合同
• 如果存在变量替换 X = C Y, 将二次型 f = XTA X 变为 g = YT B Y , 二次型 f 与 g 等价. 等价. • 如果存在可逆矩阵 C , 使得 B = CTA C 合同. 则称矩阵 A 与 B 合同 则称
• 二次型 f = XTA X 与 g = YTB Y 等价 合同. ⇔ f 、g 的对称矩阵 A 与 B 合同. • 二次型的等价满足反身性, 对称性 传递性 二次型的等价满足反身性 对称性, 传递性, 是全体二次型上的等价关系 . • 类似的 合同关系也是全体 n 阶矩阵上的 类似的, 等价关系. 等价关系
a11 a = [ x1 x2 x3 ] 12 a13
a12 a22 a23
a13 x1 x a23 2 a33 x3
• 三元二次型 : 三元二次型
f ( x1 , x2 , x3 ) = a11 x1 + a22 x2 + a33 x3
1 − 2 − 4 y1 T Q y Q −2 4 −2 2 − 4 − 2 1 y3
f = x1 + 4 x2 + x3 − 4 x1 x2 − 8 x1 x3 − 4 x2 x3
Q AQ = D
T
作变量的正交替换 X = Q Y ( Q是正交矩阵 )
1 − 5 x1 y1 x = Q y = 2 2 2 5 x3 y3 0 4 − 45 2 − 45 5 45 2 3 y1 1 y2 3 2 y3 3
每个 n 元二次型 f 都可以唯一地写成 f ( x1 , x2 ,…, xn ) = XTA X 的形式, 是对称矩阵, 变元列向量. 的形式, A 是对称矩阵, X 变元列向量. 称为二次型的矩阵. 对称矩阵 A 称为二次型的矩阵. 一一对应 二次型 f
↔
对称矩阵 A
• 对 n 元二次型 元二次型, f ( x 1 , x 2 , … , x n ) = XT A X 我们常做的操作是变量的非退化线性替换, 我们常做的操作是变量的非退化线性替换
(C A C ) = C A (C ) = C A C
T T T T T T T
C A C 是对称矩阵
T
• 将 X = C Y 代入 n 元二次型 元二次型, f ( x 1 , x 2 , … , x n ) = XT A X = ( C Y )T A ( C Y ) = YT CT A C Y 得到 Y 的二次型 g = YT B Y , 其对称矩阵 是 B = CT A C .
A 的特征值为 λ = 5 (代数二重 ), − 4 .
对特征值 λ = 5, 解 ( 5 I − A ) X = 0 :
4 2 4 1 1/ 2 1 2 1 2 → 0 0 0 4 2 4 0 0 0
得 x1 = −1 / 2 x2 − x3 , x2 , x3 自由变量
x1 + x2 + x3 ≅ y1 + 2 y2 + 3 y3
2 2 2 2 2
2
化标准型的三种方式: 化标准型的三种方式
• 实对称矩阵正交对角化 ( 正交替换 ) ; 若 C 是正交矩阵 变量替换 X = C Y 是正交矩阵, 变量替换 称为正交替换 称为正交替换 , 此时 Y = CT X
是实对称矩阵, 若 A 是实对称矩阵, 存在正交矩阵 Q , 使得
f ( x1 , x2 , x3 ) = a11 x1 + a22 x2 + a33 x3
2 2
2
+ 2 a12 x1 x2 + 2 a13 x1 x3 + 2 a23 x2 x3
a11 a = [ x1 x2 x3 ] 12 a13
a12 a22 a23
a13 x1 x a23 2 a33 x3