分数指数幂(一)

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探要点、究所然
探究点一 ：根式
反思与感悟 n
对于式子 a ，要特别注意 n 的奇偶性，当 n 为奇数时 an＝a；当 n
n
n
n
为偶数时， an＝|a|，否则容易导致错误的产生．
探要点、究所然
探究点一 ：根式
跟踪训练 1
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求下列各式的值： 4
4
(1) －10 ；(2) 3－π ；(3) 3a－33(a≤1)．
是什么呢？
答 y＝2x.
思考 3 正整数指数幂的意义是什么？
n * n
答 a (n∈N )的意义为：a ＝
a a a
n个
探要点、究所然
探究点一 ：根式
思考 4 什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？
答
如果 x2＝a， 那么 x 称为 a 的平方根． 如果 x3＝a， 那么 x 称为 a 的立方根． 根
探要点、究所然
探究点一 ：根式
思考 7
n
根据 n 次方根的意义，可得：( a) ＝a，即( a) ＝a 肯定成立， an表示 n
n
n
n
n
n
n
a 的 n 次方根， 等式 a ＝a 一定成立吗？如果不一定成立， 那么 an等于什么？
n
答
n 为奇数， an＝a， n
a n a ＝|a|＝ －a
第 3 章 指数函数、对数函数和幂函数
3.1 指数函数
3.1.1
分 数 指 数 幂（一）
本节知识目录
明目标、知重点 探究点一 根式
填要点、记疑点 分 数 指 数 幂(-) 探要点、究所然
探究点二
利用根式的性质化简 或求值 有限制条件的根式的 化简
当堂测、查疑缺
探究点三
明目标、知重点
1.理解n次方根与根式的概念. 2.正确运用根式运算性质化简、求值.
填要点、记疑点
(3)a 的 n 次方根的表示 n 的奇偶性 a 的 n 次方根的表示符号 n a 的取值范围
n 为奇数 n 为偶数
a
a∈R [0，＋∞)
n ± a
填要点、记疑点
2.根式的性质 (1) 0＝ 0 (n∈N*，且 n>1)； (2)( a)n＝ a (n∈N*，且 n>1)； (3) an＝a(n 为大于 1 的奇数)； a≥0 a n n (4) a ＝|a|＝ -a (n 为大于 1 的偶数)． a<0 n n n
填要点、记疑点
(2)a 的 n 次实数方根的定义：一般地，如果一个实数 x 满足 xn＝a(n>1，n∈N*)，那么 称 x 为 a 的 n次实数方根 ．当 n 为奇数时，正数的 n 次实数方根是一个 正数 ，负
n
数的 n 次实数方根是一个 负数 ，这时，a 的 n 次实数方根只有一个，记作 x＝
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解 (1) －102＝|－10|＝10；
4 (2) 3－π4＝|3－π|＝π－3； (3) 3a－33＝3a－3. 3
探要点、究所然
探究点二 ：利用根式的性质化简或求值
例2
a－1 化简：( a－1) ＋ 1－a ＋ 1－a3＝________.
3.了解分类讨论思想在解题中的应用．
填要点、记疑点
1．根式及相关概念 (1)平方根与立方根的概念：如果 x2＝a，那么 x 称为 a 的 平方根 ；如果 x3＝a， 那么 x 称为 a 的 立方根 ． 根据平方根、 立方根的定义， 正实数的平方根有 两 个， 它们互为相反数，一个数的立方根 只有一个 ．
探要点、究所然
[情境导学] 我们在初中学习了平方根、立方根，那么有没有四次方根、五次方根，……，N 次 方根呢？答案是肯定的，这就是本节我们要研究的问题：指数与指数幂的运算．
探要点、究所然
探究点一 ：根式
思考 1 某种细胞分裂时， 由 1 个分裂成 2 个， 2 个分裂成 4 个， 4 个分裂成 8 个， ……
n
n 为偶数，
a≥0 . a<0
探要点、究所然
探究点一 ：根式
例1 求下列各式的值： 3 4 2 3 (1)( 3) ；(2) －8 ；(3) －24； (4) a－b2(a<b)．
解 (1)( 3)2＝3；
(2) －83＝－8； (3) －24＝|－2|＝2；
(4) a－b2＝|a－b|＝b－a.
如果分裂一次需要 10 min，那么，1 个细胞 1 h 后分裂成多少个细胞？
答 因 1 h＝6×10 min， 所以当 x＝6 时， y＝26＝64，即 1 个细胞 1 h 后分裂成 64 个细胞．
探要点、究所然
探究点一 ：根式
思考 2 假设细胞分裂的次数为 x，相应的细胞的个数为 y，则 y 与 x 的函数关系
据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如 4 的 平方根为± 2，负数没有平方根，一个数的立方根只有一个，如－8 的立方根为 －2；零的平方根、立方根均为零．
探要点、究所然
探究点一 ：根式
思考 5
答
类比 a 的平方根及立方根的定义，如何定义 a 的 n 次实数方根？
一般地，如果一个实数 x 满足 xn＝a(其中 n>1，且 n∈N*)，那么称 x 为 a
的 n 次实数方根．
探要点、究所然
探究点一 ：根式
思考 6 类比平方根、 立方根， 猜想： 当 n 为奇数时， 一个数的 n 次方根有多少个？ 当 n 为偶数时呢？ 答 当 n 为奇数时，正数的 n 次实数方根是一个正数，负数的 n 次实数方根是
一个负数，此时 a 的 n 次实数方根只有一个，记为 x＝ a； 当 n 为偶数时，正数的 n 次实数方根有两个，它们互为相反数，这时，正数 a 的正的 n 次实数方根用符号 a表示，负的 n 次实数方根用符号－ a表示，它们 n 可以合并写成± a(a>0)形式； 0 的 n 次实数方根等于 0(无论 n 为奇数，还是为偶数)； 式子 a叫做根式，其中 n 叫做根指数，a 叫做被开方数． n n n n
a；
当 n 为偶数时，正数的 n 次实数方根有 两 个，它们互为 相反数 ，这时，正数 a 的正的 n 次实数方根用符号 合并写成 子
n
n
a 表示，负的 n 次实数方根用符号 n a 表示，它们可以
n a (a>0)形式；0 的 n 次实数方根等于 0(无论 n 为奇数，还是为偶数)；式
a 叫做根式，其中 n 叫做 根指数 ，a 叫做 被开方数 ．