浙教版初中数学初三中考总复习：圆综合复习--巩固练习(提高)

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浙教版初中数学培优讲义九年级第三章《圆的基本性质》全章复习与巩固—知识讲解(提高) 学生版

浙教版-数学-九年级上册-《圆》综合练习

浙教版-数学-九年级上册-《圆》综合练习-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One13.1 圆【基础巩固】1．到定点O的距离为3 cm的点的集合是以点_______为圆心，_______为半径的圆．2．已知矩形ABCD的边AB＝3 cm，AD＝4 cm．(1)若以点A为圆心，4 cm长为半径作⊙A，则点B在⊙A_______，点C在⊙A_______，点D在⊙A_______，AC与BD的交点O在⊙A_______；(2)若作⊙A，使B、C、D三点至少有一个点在⊙A内，至少有一点在⊙A外，则⊙A的半径r的取值范围是_______．3．若⊙O的半径是4 cm，OP＝2 cm，则点P到圆上各点的距离中最短距离为_______，最长距离为_______．4．两等圆⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，且⊙O1经过圆心O2，则∠O1AB＝_______．5．已知AB为⊙O的直径，P为⊙O上任意一点，则点P关于AB的对称点P'与⊙O的位置关系为 ( )A．在⊙O内 B．在⊙O外 C．在⊙O上 D．不能确定6．下列说法中，正确的是 ( )A．两个半圆是等弧B．同圆中优弧与半圆的差必是劣弧C．长度相等的弧是等弧D．同圆中优弧与劣弧的差必是优弧7．下列说法中，正确的是( )A．弦是直径B．半圆是弧C．过圆心的线段是直径D．圆心相同半径相同的两个圆是同心圆8．顺次连接圆内两条相交直径的4个端点，围成的四边形一定是( )A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，若以点C为圆心，CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC的长等于 ( )A．53 B．5 C．52 D．610．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BOC＝110°，AD∥OC，则∠AOD等于 ( )A．70° B．60° C．50° D．40°11．如图，在⊙O中，D、E分别为半径OA、OB上的点，且AD＝BE点C为AB上一点，连接CD、CE、CO，∠AOC＝∠BOC．求证：CD＝CE．12．如图，⊙O的半径OA、OB分别交弦CD于点E、F，且CE＝DF．求证：△OEF是等腰三角形．13．如图，CD是⊙O的直径，∠EOD＝84°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，求∠A的度数．【拓展提优】14．已知点P到圆上各点的距离中最短距离为2cm，最长距离为6 cm，则⊙O 的半径为_______．15．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是AC的中点，若OD＝4，则BC ＝_______．16．在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2．下列说法中不正确的是( )A．当a<5时，点B在⊙A内 B．当1<a<5时，点B在⊙A内C．当a<1时，点B在⊙A外 D．当a>5时，点B在⊙A外17．如图，AD是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，P为上任意一点，若AD＝5，则四边形ACBP周长的最大值是 ( )A．15 B．20 C．15＋52 D．15＋5518．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有( )A．6条 B．8条 C．10条 D．12条19．已知：如图，BD、CE是△ABC的高，M为BC的中点，试说明点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆上．20．对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离不大于这个圆的半径，那么称图形A被这个圆所覆盖．例如，图中的三角形被一个圆所覆盖，回答问题：(1)边长为1 cm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是多少？(2)边长为1 cm的正三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是多少？(3)半径为1 cm的圆被边长为a的正方形所覆盖，a的最小值是多少？(4)半径为1 cm的圆被边长为a的正三角形所覆盖，a的最小值是多少？21．如图，在□ABCD中，∠BAD为钝角，且AE⊥BC，AF⊥CD．(1)求证：A、E、C、F四点共圆；(2)设线段BD与(1)中的圆交于点M、N．求证：BM＝ND．参考答案【基础巩固】1．O 3 cm2．(1)内外上内 (2)3<r<53．2 cm 6 cm4．30°5．C6．B7．B8．C9．A10．D11．略12．略13．28°【拓展提优】14．4cm或2 cm15．816．A17．C18．B19．略20．(1)2 21．略。

浙教版九年级数学上册练习：3.1 圆

3.1 圆（巩固练习）姓名班级第一部分1、在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，AC=3，BC=4，若以C为圆心，以3为半径作⊙C，则点A在⊙C，点B在⊙C，点D在⊙C.2、⊙O的半径为13，圆心O到直线l的距离d=OD=5. 在直线l上有三点P、Q、R，且PD=12，QD=11，RD=13，则点P在⊙O，点Q在⊙O，点R在⊙O.3、如图，CD是⊙O的直径，∠EOD=84°，AE交⊙O于B，且AB=OC，求∠A的度数.4、已知，如图，大圆的弦AB交小圆于C、D. 求证：AD=BC.第二部分1. 下列结论正确的是…………………………………………………………………（）A. 弦是直径B. 弧是半圆C. 半圆是弧D. 过圆心的线段是直径2. 圆上各点到圆心的距离都等于 .3.若经过圆上两点的最长线段长为6，则此圆的面积为 .4.已知⊙O 的面积为16π，若AO =5，则点A 在⊙O （填“内”、“上”或“外”）.5. 写出图2中的一条优弧： .6. 写出图2中的所有弦： .7. 已知⊙O 的半径为7cm ，若OP =3cm ，则点P 在；若OP =7cm ，则点P 在；若OP =10cm ，则点P 在 .8. 已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，过C 作CD ⊥AB 于点D ，延长CD 至E ，使DE =CD ，那么点E 的位置是在⊙O .9. 已知，如图，OA ，OB 为⊙O 的半径，C ，D 分别为OA ，OB 的中点．求证：∠A =∠B .10. 由于过度采伐森林和破坏植被，我国某些地区多次受到沙尘暴的侵袭. 近A 市气象局测得沙尘暴中心在A 市正东方向400km 的B 处，正在向西北方向转移（如图所示），距沙尘暴中心300km 的范围内将受到影响．问A 市是否会受到这次沙尘暴的影响？C参考答案第一部分4、已知，如图，大圆的弦AB交小圆于C、D. 求证：AD=BC.【证明】连结OA、OB.∵OA=OB，∴∠A=∠B.又∵OC=OD，∴∠ODC=∠OCD.∴△AOD≌△BOC，∴AD=BC.第二部分1. 下列结论正确的是…………………………………………………………………（）A. 弦是直径B. 弧是半圆C. 半圆是弧D. 过圆心的线段是直径答案：C2. 圆上各点到圆心的距离都等于.答案：半径3.若经过圆上两点的最长线段长为6，则此圆的面积为.答案：9π4.已知⊙O的面积为16π，若AO=5，则点A在⊙O（填“内”、“上”或“外”）.答案：外5. 写出图2中的一条优弧：.答案：填ADC，ACD，BDC，BCD，CAD中的一条即可.6. 写出图2中的所有弦：.答案：AB，BC，BD，CD7. 已知⊙O的半径为7cm，若OP=3cm，则点P在；若OP=7cm，则点P在；若OP=10cm，则点P在.答案：内上外8. 已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过C作CD⊥AB于点D，延长CD至E，使DE=CD，那么点E的位置是在⊙O.答案：上9. 已知，如图，OA，OB为⊙O的半径，C，D分别为OA，OB的中点．求证：∠A=∠B.证明：∵OA=OB，C，D分别为OA，OB的中点，∴OD=OC，又∵∠O=∠O，∴△AOD≌△BOC，∴∠A=∠B.10. 由于过度采伐森林和破坏植被，我国某些地区多次受到沙尘暴的侵袭. 近A市气象局测得沙尘暴中心在A市正东方向400km 的B处，正在向西北方向转移（如图所示），距沙尘暴中心300km 的范围内将受到影响．问A市是否会受到这次沙尘暴的影响？解：作AC⊥BD于C.∵∠ABD=45°，AB=400km，∴AC=，即A会受到这次沙尘暴的影响.C。

备战中考数学(浙教版)巩固复习圆的基本性质(含解析)

备战中考数学（浙教版）巩固复习圆的基本性质（含解析）一、单选题1.假如弧长为6π的弧所对的圆心角为60°，那么这条弧所在的圆的半径是（）A.18B.12C.36D.62.已知线段QP，AP=AQ，以QP为直径作圆，点A与此圆的位置关系是（）A.点A在圆内 B.点A在圆上 C.点A在圆外 D.不能确定3.如图，正六边形螺帽的边长是2cm，那个扳手的开口a的值应是()A.cmB.C.D.1cm4.如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝2cm，F是弦BC的中点，∠ABC ＝60°．若动点E以2cm/s的速度从A点动身沿着A→B→A方向运动，设运动时刻为t(s)(0≤t＜3)，连接EF，当△BEF是直角三角形时，t(s)的值为()A.B.1C.或1D.或1或5.若正多边形的一个外角为60°，则那个正多边形的中心角的度数是（）A.30°B.60°C.90°D.120°6.下列结论错误的是（）A.圆是轴对称图形B.圆是中心对称图形 C.半圆不是弧 D.同圆中，等弧所对的圆心角相等7.如图，在半圆的直径上作4个正三角形，如这半圆周长为C1 ，这4个正三角形的周长和为C2 ，则C1和C2的大小关系是（）A.C1＞C2B.C1＜C2C.C1=C2D.不能确定8.如图，三角形ABC内接于圆O，AH BC于点H，若AC=8，AH =6，圆O的半径OC=5，则AB的值为（）.A.5B.C.7D.9.下列结论正确的是（）A.通过圆心的直线是圆的对称轴 B.直径是圆的对称轴C.与圆相交的直线是圆的对称轴D.与直径相交的直线是圆的对称轴10.如图，D是弧AC的中点，则图中与∠ABD相等的角的个数是()A.4个B.3个C.2个D.1个11.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠C=15°，则∠BOC =（）.A.60°B.45°C.30°D.15°二、填空题12.如图，在半径为4cm的⊙O中，劣弧AB的长为2πcm，则∠C=__ ______度．13.如图，三角板ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，三角板绕直角顶点C逆时针旋转，当点A的对应点A′落在AB边的起始位置上时即停止转动，则点B转过的路径长为________（结果保留π）．14.已知扇形的半径为3，扇形的圆心角是120°，则该扇形面积为___ _____．15.如图，A、B、C、D是圆上的点，∠1=70°，∠A=40°则∠C=___ _____度．16.已知扇形的圆心角为120°，弧长等于一个半径为5cm的圆的周长，则扇形的面积为________．17.如图，半径为2的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则图中阴影部分的面积是________.18.如图，点A、B、C在⊙O上，∠A=50°，则∠BOC度数为______ __．19.已知正六边形的边心距为，则那个正六边形的边长为_______ _．三、解答题20.“不在同一直线上的三点确定一个圆”．请你判定平面直角坐标系内的三个点A(2，3)，B(－3，－7)，C(5，11)是否能够确定一个圆．21如图，BM是⊙O的直径，四边形ABMN是矩形，D是⊙O上的点，DC⊥AN，与AN交于点C，己知AC=15，⊙O的半径为30，求的长．四、综合题22.已知点在⊙上，，仅使用无刻度的直尺作图（保留痕迹）（1）在图①中画一个含的直角三角形；（2）点在弦上，在图②中画一个含的直角三角形.答案解析部分一、单选题1.【答案】A【考点】弧长的运算【解析】【解答】解：∵l=，∴r==18，故选A．【分析】依照弧长公式l=进行运算即可．2.【答案】D【考点】点与圆的位置关系【解析】【解答】设以QP为直径的圆为⊙O，则⊙O的半径为QP，假如OA＞QP，那么点A在⊙O外；假如OA＝QP，那么点A在⊙O上；假如OA＜QP，那么点A在⊙O内；∵题目没有告诉OA与QP的大小关系，∴以上三种情形都有可能.故选D.【分析】设以QP为直径的圆为⊙O，要判定点A与此圆的位置关系，只需比较OA与⊙O的半径大小即可.3.【答案】A【考点】正多边形和圆【解析】【解答】连接AC ，过B作BD⊥AC于D；∵AB=BC，∴△ABC是等腰三角形，∴AD=CD；∵此多边形为正六边形，∴∴∠ABD= =60°∴∠BAD=30°，AD=AB·cos30°=∴a= cm故选A【分析】连接AC，作BD⊥AC于D；依照正六边形的特点求出∠ABC的度数，再由等腰三角形的性质求出∠BAD的度数，由专门角的三角函数值求出AD的长，进而可求出AC的长．4.【答案】D【考点】圆周角定理【解析】【分析】若△BEF是直角三角形，则有两种情形：①∠BFE=90°，②∠BEF=90°；在上述两种情形所得到的直角三角形中，已知了BC边和∠B的度数，即可求得BE的长；AB的长易求得，由AE=AB-BE即可求出A E的长，也就能得出E点运动的距离，依照时刻=路程÷速度即可求得t的值．【解答】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°；Rt△ABC中，BC=2，∠ABC=60°；∴AB=2BC=4cm；①当∠BFE=90°时；Rt△BEF中，∠ABC=60°，则BE=2BF=2cm；故现在AE=AB-BE=2cm；∴E点运动的距离为：2cm，故t=1s；因此当∠BFE=90°时，t=1s；②当∠BEF=90°时；同①可求得BE=0.5cm，现在AE=AB-BE=3.5cm；∴E点运动的距离为：3.5cm，故t=1.75s；③当E从B回到O的过程中，在运动的距离是：2（4-3.5)=1cm，则时刻是：1.75+=．综上所述，当t的值为1s或1.75s和s时，△BEF是直角三角形．故选：D．【点评】此题要紧考查了圆周角定理以及直角三角形的判定和性质，同时还考查了分类讨论的数学思想5.【答案】B【考点】正多边形和圆【解析】【解答】解：∵正多边形的一个外角为60°，∴正多边形的边数为=6，其中心角为=60°．故选B．【分析】依照正多边形的外角和是360°求出正多边形的边数，再求出其中心角．6.【答案】C【考点】圆的认识【解析】【解答】A、圆是轴对称图形，说法正确；B、圆是中心对称图形，说法正确；C、半圆不是弧，说法错误；D、同圆中，等弧所对的圆心角相等，说法正确；故选：C【分析】依照圆既是轴对称图形，也是中心对称图形，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧，进行分析．7.【答案】B【考点】圆的认识【解析】【解答】解：设半圆的直径为a，则半圆周长C1为：aπ+a，4个正三角形的周长和C2为：3a，∵aπ+a＜3a，∴C1＜C2故选B．【分析】第一设出圆的直径，然后表示出半圆的周长与三个正三角形的周长和，比较后即可得到答案．8.【答案】D【考点】三角形的外接圆与外心【解析】试题分析：作直径AE，连接CE，∴∠ACE=90°，∵AH⊥BC，∴∠AHB=90°，∴∠ACE=∠ADB，∵∠B=∠E，∴△ABH∽△AEC，∴，∴AB= ，∵AC=24，AH=18，AE=2OC=26，∴AB=故选：D．9.【答案】A【考点】圆的认识【解析】【解答】A、通过圆心的直线是圆的对称轴，因此A正确；B、直径所在的直线为圆的对称轴，因此B错误；C、与圆相交的直线不一定是圆的对称轴，因此C错误；D、与直径相交的圆心的直线是圆的对称轴，因此D错误．故选A．【分析】利用直径所在的直线为圆的对称轴对各选项进行判定．10.【答案】B【考点】圆周角定理【解析】【分析】圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，均等于所对圆心角的一半。

浙江杭州市九年级数学上册第二十四章《圆》知识点复习(提高培优)

一、选择题1．如图，AC 为半圆的直径，弦3AB =，30BAC ∠=︒，点E 、F 分别为AB 和AC 上的动点，则BF EF +的最小值为（）A ．3B ．332C ．3D ．332+ 2．下列说法：（1）三点确定一个圆；（2）直径所对的圆周角是直角；（3）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；（4）相等的圆心角所对的弧相等；（5）圆内接四边形的对角互补．其中正确的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．下列说法正确的是（）A ．在同圆或等圆中，如果两条弧相等，则它们所对的圆心角也相等B ．三点确定一个圆C ．平分弦的直径垂直于这条弦D ．90°的圆心角所对的弦是直径4．如图，分别以AB,AC 为直径的两个半圆，其中AC 是半圆O 的一条弦，E 是弧AEC 中点，D 是半圆ADC 中点.若DE=2,AB=12，且AC˃6，则AC 长为（）A ．6+2B ．8+2C ． 6+22D ．8+22 5．已知△ABC 的外心为O ，连结BO ，若∠OBA=18°，则∠C 的度数为（）A ．60°B ．68°C ．70°D ．72°6．如图，ABC 的三个顶点都在5×5的网格（每个小正方形的边长均为1个单位长度）的格点上，将ABC 绕点B 顺时针旋转到A B C '''的位置，且点A '、C '仍落在格点上，则线段AB 扫过的图形的面积是（）平方单位（结果保留）A ．254πB ．134π C ．132π D ．136π 7．下列说法正确的有（） ①垂直平分弦的直线经过圆心；②平分弦的直径一定垂直于弦；③相等的圆周角所对的弧相等；④等弧所对的弦相等；⑤等弦所对的弧相等A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 8．已知⊙O 的直径为6，圆心O 到直线l 的距离为3，则能表示直线l 与⊙O 的位置关系的图是（） A ． B ．C ．D ．9．下列命题中，正确的是（）A ．平面上三个点确定一个圆B ．等弧所对的圆周角相等C ．三角形的外心在三角形的外面D ．与某圆一条半径垂直的直线是该圆的切线10．如图，在⊙O 中，OA BC ⊥，35ADB ∠=︒．则AOC ∠的度数为（）A ．40︒B ．55︒C ．70︒D ．65︒11．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，点C 为BD 的中点．若50A ∠=︒，则B 的度数是（）A ．50︒B ．55︒C ．60︒D ．65︒ 12．已知圆锥的底面半径为3cm ，母线长为6cm ，则圆锥的侧面积是（） A ．18cm 2 B ．218cm π C ．27cm 2 D ．227cm π 13．如图，△ABC 内接于☉O ，若☉O 的半径为6，∠A=60°，则BC 的长为（）A ．2πB ．4πC ．6πD ．8π14．在△ABC 中，∠ACB 为锐角，分别以AB ，AC 为直径作半圆，过点B ，A ，C 作弧BAC ，如图所示．若AB=4，AC=2，图中两个新月形面积分别为S 1，S 2，两个弓形面积分别为S 3，S 4，S 1-S 2=14π，则S 3-S 4的值是( )A ．294πB ．234πC ．114πD ．54π 15．在扇形中，∠AOB =90°，面积为4πcm 2，用这个扇形围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径为 ( )A ．1cmB ．2cmC ．3nD ．4cm二、填空题16．如图，点A ，B ，C 在圆O 上，54ACB ∠=︒，则ABO ∠的度数是______．17．已知O 的直径10AB =cm ，CD 是O 的弦，AE CD ⊥，垂足为点E ，BF CD ⊥，垂足为点F ，且8CD =cm ，则BF AE -的长为________cm ．18．如图，直线AB 、CD 相交于点,30O AOC ∠=︒，半径为1cm 的⊙P 的圆心在直线AB 上，且与点O 的距离为8cm ，如果⊙P 以2cm/s 的速度，由A 向B 的方向运动，那么_________秒后⊙P 与直线CD 相切.19．如图，△ABC 中，∠A=60°，若O 为△ABC 的内心，则∠BOC 的度数为______度．20．如图，正五边形ABCDE 内接于⊙O ，点F 在DE 上，则∠CFD ＝_____度．21．如图，把边长为12的正三角形ABC 纸板剪去三个小正三角形（阴影部分），得到正六边形DEFGHK ，则剪去的小正三角形的边长为__________________．22．如图，在扇形AOB 中90AOB ∠=︒，正方形CDEF 的顶点C 是AB 的中点，点D 在OB 上，点E 在OB 的延长线上，当正方形CDEF 的边长为22时，则阴影部分的面积为________．23．如图，若∠BOD ＝140°，则∠BCD=___________ ．24．小红在手工制作课上，用面积为215cm π，半径为15cm 的扇形卡纸，围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为_______cm ．25．湖州南浔镇河流密如蛛网，民间有“千步一桥”之说．如图，某圆弧形桥拱的跨度AB =12米，拱高CD =4米，则该拱桥的半径为____米．26．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，∠AOC=30°，半径为1cm 的的圆心P 在射线OA 上，且与点O 的距离为6cm ，以1cm/s 的速度沿由A 向B 的方向移动，那么与直线CD 相切时，圆心P 的运动时间为 _____．三、解答题27．如图，已知O 的直径AB ⊥弦CD 于点E ，且E 是OB 的中点，连接CO 并延长交AD于点F.⊥；（1）求证：CF ADAB=，求CD的长．（2）若1228．已知△ABC，请按以下要求完成本题：（1）请作出△ABC的外接圆⊙O（尺规作图，保留作图痕迹）；（2）若在△ABC中，∠ABC=70°，∠ACB=40°，⊙O的直径AD交CB于E，则∠DEC= ．29．如图，已知A、B、C、D四点都在⊙O上．（1）若∠ABC=120°，求∠AOC的度数；（2）在（1）的条件下，若点B是弧AC的中点，求证：四边形OABC为菱形．30．如图，AB为⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，P是⊙O外一点，AC⊥PD于点E，AD 平分∠BAC．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若3∠BAC=60°，求⊙O的半径．。

2022年春浙教版九年级数学中考一轮复习《圆》综合复习训练题(附答案)

2022年春浙教版九年级数学中考一轮复习《圆》综合复习训练题（附答案）1．如图，CB为⊙O的切线，点B为切点，CO的延长线交⊙O于点A，若∠A＝25°，则∠C的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°2．如图，BC是⊙O的直径，A，D是⊙O上的两点，连接AB，AD，BD，若∠ADB＝70°，则∠ABC的度数是（）A．20°B．70°C．30°D．90°3．如图，在⊙O中，∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，则∠ABO的度数为（）A．70°B．55°C．45°D．35°4．如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上位于直径AB两侧的点，连接AC，AD，BD，CD，若⊙O的半径是13，BD＝24，则sin∠ACD的值是（）A．B．C．D．5．如图，点P是以AB为直径的半圆上的动点，CA⊥AB，PD⊥AC于点D，连接AP，设AP＝x，P A﹣PD＝y，则下列函数图象能反映y与x之间关系的是（）A．B．C．D．6．如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝60°，∠C＝70°，OB＝9，则的长为．7．如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，连接BD，半径OE⊥BC，连接EA，EA⊥BD于点F．若OD＝2，则BC＝．8．如图，AC是⊙O的直径，B，D是⊙O上的点，若⊙O的半径为3，∠ADB＝30°，则的长为．9．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，边长AB＝2，则扇形AOB的面积为．10．如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且点B是的中点，BD交OC于点E，∠AOC ＝100°，∠OCD＝35°，那么∠OED＝．11．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，以AB为直径的⊙O交AC，BC于点E，D，连接DE，F是CD上一点，满足∠CEF＝∠CDE．（1）求证：EF是⊙O的切线．（2）过点D作DG⊥AB于点G，AG＝8，BG＝2，求AC的长．12．如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB交⊙O于点H，E是BC上的一点，且BE＝BF，连接DE．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若BF＝2，DH＝，求⊙O的半径．13．如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，以点A为圆心、AB的长为半径的⊙A恰好经过BC的中点E，连接DE，AE，BD，AE与BD交于点F．（1）求证：DE与⊙A相切．（2）若AB＝6，求BF的长．14．如图，△ABC内接于⊙O，AD与BC是⊙O的直径，延长线段AC至点G，使AG＝AD，连接DG交⊙O于点E，EF∥AB交AG于点F．（1）求证：EF与⊙O相切．（2）若EF＝2，AC＝4，求扇形OAC的面积．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，以AD为直径的⊙O与边BC相切于点E，与边AC相交于点G，且＝，连接GO并延长交⊙O于点F，连接BF．（1）求证：①AO＝AG．②BF是⊙O的切线．（2）若BD＝6，求图形中阴影部分的面积．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC上一点，过B，C，D三点的⊙O交AB 于点E，连接ED，EC，点F是线段AE上的一点，连接FD，其中∠FDE＝∠DCE．（1）求证：DF是⊙O的切线．（2）若D是AC的中点，∠A＝30°，BC＝4，求DF的长．17．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为点E，以AE为直径的⊙O与边CD 相切于点F，连接BF交⊙O于点G，连接EG．（1）求证：CD＝AD+CE．（2）若AD＝4CE，求tan∠EGF的值．18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点O在△ABC的内部，⊙O经过B，C 两点，交AB于点D，连接CO并延长交AB于点G，以GD，GC为邻边作▱GDEC．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若点B是的中点，⊙O的半径为2，求的长．19．如图，M，N是以AB为直径的⊙O上的点，且＝，弦MN交AB于点C，BM平分∠ABD，MF⊥BD于点F．（1）求证：MF是⊙O的切线；（2）若CN＝3，BN＝4，求CM的长．20．如图，点M是矩形ABCD的边AD延长线上一点，以AM为直径的⊙O交矩形对角线AC于点F，在线段CD上取一点E，连接EF，使EC＝EF．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若cos∠CAD＝，AF＝6，MD＝2，求FC的长．21．如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，连接AE，AD，DE，过点A 作射线交BE的延长线于点C，使∠EAC＝∠EDA．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若CE＝AE＝2，求阴影部分的面积．22．如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过点A的切线与CD的延长线相交于点P．且∠APC＝∠BCP（1）求证：∠BAC＝2∠ACD；（2）过图1中的点D作DE⊥AC，垂足为E（如图2），当BC＝6，AE＝2时，求⊙O的半径．23．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，直线MN与⊙O相切于点C，过点B作BD ⊥MN于点D．（1）求证：∠ABC＝∠CBD；（2）若BC＝4，CD＝4，则⊙O的半径是．24．如图，点P为正方形ABCD的对角线AC上的一点，连接BP并延长交CD于点E，交AD的延长线于点F，⊙O是△DEF的外接圆，连接DP．（1）求证：DP是⊙O的切线；（2）若tan∠PDC＝，正方形ABCD的边长为4，求⊙O的半径和线段OP的长．参考答案1．解：如图：连接OB，∵∠A＝25°，∴∠COB＝2∠A＝2×25°＝50°，∵BC与⊙O相切于点B，∴∠OBC＝90°，∴∠C＝90°﹣∠BOC＝90°﹣50°＝40°．故选：D．2．解：连接AC，如图，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵∠ACB＝∠ADB＝70°，∴∠ABC＝90°﹣70°＝20°．故选：A．3．解：连接OA、OC，∵∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，∴∠AOB＝2（∠ADC+∠BAC）＝70°，∵OA＝OB（都是半径），∴∠ABO＝∠OAB＝（180°﹣∠AOB）＝55°．故选：B．4．解：∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∵⊙O的半径是13，∴AB＝2×13＝26，由勾股定理得：AD＝10，∴sin∠B＝＝＝，∵∠ACD＝∠B，∴sin∠ACD＝sin∠B＝，故选：D．5．设：圆的半径为R，连接PB，则sin∠ABP＝，∵CA⊥AB，即AC是圆的切线，则∠P AD＝∠PBA＝α，则PD＝AP sinα＝x×＝x2，则y＝P A﹣PD＝﹣x2+x，图象为开口向下的抛物线，故选：C．6．解：连接OA，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠C＝70°，∴∠OAB＝∠OAC﹣∠BAC＝70°﹣60°＝10°，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝10°，∴∠AOB＝180°﹣10°﹣10°＝160°，则的长＝＝8π，故答案为：8π．7．解：∵OD⊥AC，∴AD＝DC，∵BO＝CO，∴AB＝2OD＝2×2＝4，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵OE⊥BC，∴∠BOE＝∠COE＝90°，∴＝，∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC＝90°＝45°，∵EA⊥BD，∴∠ABD＝∠ADB＝45°，∴AD＝AB＝4，∴DC＝AD＝4，∴AC＝8，∴BC＝＝＝4．故答案为：4．8．解：由圆周角定理得，∠AOB＝2∠ADB＝60°，∴∠BOC＝180°﹣60°＝120°，∴的长＝＝2π，故答案为：2π．9．解：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，∴∠AOB＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴OA＝OB＝AB＝2，∴扇形AOB的面积＝＝，故答案为：．10．解：连接OB．∵＝，∴∠AOB＝∠BOC＝50°，∴∠BDC＝∠BOC＝25°，∵∠OED＝∠ECD+∠CDB，∠ECD＝35°，∴∠OED＝60°，故答案为60°．11．（1）证明：如图，连接OE，∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠EDB＝180°，∵∠CDE+∠EDB＝180°，∴∠A＝∠CDE，∵∠CEF＝∠CDE，∴∠A＝∠CEF，∴EF∥AB，∴∠FEO＝∠AOE，∵AO＝EO，∠BAC＝45°，∴∠OAE＝∠OEA＝45°，∴∠OEF＝∠AOE＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴OE⊥EF，∵OE为⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；（2）解：如图，连接OD，过点C作CM⊥AB于点M，∵DG⊥AB，∴∠DGO＝90°，∵AB＝AG+BG＝8+2＝10，∴OD＝OB＝5，∴OG＝OB﹣BG＝5﹣2＝3，在Rt△DGO中，DG＝＝＝4，在△BDG和△BCM中∠BGD＝∠BMC＝90°，∴tan B＝＝＝2，∴CM＝2BM，∵∠AMC＝90°，∠BAC＝45°，∴AM＝CM＝2BM，∵AB＝AM+BM＝10，∴AM＝CM＝，在Rt△AMC中，∠AMC＝90°，∴AC＝＝．12．（1）证明：如图1，连接DF，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AD∥BC，∠DAB＝∠C，∵BF＝BE，∴AB﹣BF＝BC﹣BE，即AF＝CE，∴△DAF≌△DCE（SAS），∴∠DF A＝∠DEC，∵AD是⊙O的直径，∴∠DF A＝90°，∴∠DEC＝90°∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC＝90°，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：如图2，连接AH，∵AD是⊙O的直径，∴∠AHD＝∠DF A＝90°，∴∠DFB＝90°，∵AD＝AB，DH＝，∴DB＝2DH＝2，在Rt△ADF和Rt△BDF中，∵DF2＝AD2﹣AF2，DF2＝BD2﹣BF2，∴AD2﹣AF2＝DB2﹣BF2，∴AD2﹣（AD﹣BF）2＝DB2﹣BF2，∴，∴AD＝5．∴⊙O的半径为．13．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AB＝CD，∵EC＝EB，∴BC＝2BE＝2CE，∵AD＝2AB，∴AB＝BE，∴AB＝BE＝AE，∴△ABE是等边三角形，∴∠ABE＝∠AEB＝60°，∵AB∥CD，∴∠C＝180°﹣∠ABE＝120°，∵CD＝AB，AB＝BE＝CE，∴CD＝CE，∴∠CED＝（180°﹣∠C）＝30°，∴∠AED＝180°﹣∠AEB﹣∠CED＝90°，∴DE⊥AE，∵AE是⊙A的半径，∴DE与⊙A相切．（2）如图，作BM⊥AE于M．∵△AEB是等边三角形，∴AE＝AB＝6，∵AD∥BC，∴△ADF∽△EBF，∴＝＝2，∴AF＝2EF，∴AF＝AE＝4，∵BM⊥AE，BA＝BE，∴AM＝ME＝AE＝3，∴FM＝1，BM＝＝＝3，在Rt△BFM中，BF＝＝2．14．（1）证明：如图1，连接OE，∵OD＝OE，∴∠D＝∠OED，∵AD＝AG，∴∠D＝∠G，∴∠OED＝∠G，∴OE∥AG，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵EF∥AB，∴∠BAF+∠AFE＝180°，∴∠AFE＝90°，∵OE∥AG，∴∠OEF＝180°﹣∠AFE＝90°，∴OE⊥EF，∴EF与⊙O相切；（2）解：如图2，连接OE，过点O作OH⊥AC于点H，∴CH＝，∵∠OHF＝∠HFE＝∠OEF＝90°，∴四边形OEFH是矩形，∴，在Rt△OHC中，OC＝＝＝4，∵OA＝AC＝OC＝4，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC＝60°，∴S扇形OAC＝＝．15．解：（1）证明：①如图1，连接OE，∵⊙O与BC相切于点E，∴∠OEB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠OEB，∴AC∥OE，∴∠GOE＝∠AGO，∵，∴∠AOG＝∠GOE，∴∠AOG＝∠AGO，∴AO＝AG；②由①知，AO＝AG，∴∠AO＝OG＝AG，∴△AOG是等边三角形，∴∠AGO＝∠AOG＝∠A＝60°，∴∠BOF＝∠AOG＝60°，由①知，∠GOE＝∠AOG＝60°，∴∠EOB＝180°﹣∠AOG﹣∠GOE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠FOB＝∠EOB，∵OF＝OE，OB＝OB，∴△OFB≌△OEB（SAS），∴∠OFB＝∠OEB＝90°，∴OF⊥BF，∵OF是⊙O的半径，∴BF是⊙O的切线；（2）如图2，连接GE，∵∠A＝60°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝30°，∴OB＝2OE，设⊙O的半径为r，∵OB＝OD+BD，∴6+r＝2r，∴r＝6，∴AG＝OA＝6，AB＝2r+BD＝18，∴AC＝AB＝9，∴CG＝AC﹣AG＝3，由（1）知，∠EOB＝60°，∵OG＝OE，∴△OGE是等边三角形，∴GE＝OE＝6，根据勾股定理得，CE＝＝＝3，∴S阴影＝S梯形GCEO﹣S扇形OGE＝（6+3）×﹣＝．16．解：（1）连接BD，∵∠ACB＝90°，点B，D在⊙O上，∴BD是⊙O的直径，∠BCE＝∠BDE，∵∠FDE＝∠DCE，∠BCE+∠DCE＝∠ACB＝90°，∴∠BDE+∠FDE＝90°，即∠BDF＝90°，∴DF⊥BD，又∵BD是⊙O的直径，∴DF是⊙O的切线．（2）如图，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，∴AB＝2BC＝2×4＝8，∴＝4，∵点D是AC的中点，∴，∵BD是⊙O的直径，∴∠DEB＝90°，∴∠DEA＝180°﹣∠DEB＝90°，∴，在Rt△BCD中，＝＝2，在Rt△BED中，BE＝＝＝5，∵∠FDE＝∠DCE，∠DCE＝∠DBE，∴∠FDE＝∠DBE，∵∠DEF＝∠BED＝90°，∴△FDE∽△DBE，∴，即，∴．17．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵AE⊥BC，∴AD⊥OA，∵AO是⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线，又∵DF是⊙O的切线，∴AD＝DF，同理可得CE＝CF，∵CD＝DF+CF，∴CD＝AD+CE．（2）解：连接OD，AF相交于点M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC．∵AD＝4CE，∴设CE＝t，则AD＝4t，∴BE＝3t，AB＝CD＝5t，∴在Rt△ABE中，AE＝＝4t，∴OA＝OE＝2t，∵DA，DF是⊙O的两条切线，∴∠ODA＝∠ODF，∵DA＝DF，∠ODA＝∠ODF，∴AF⊥OD，∴在Rt△OAD中，tan∠ODA＝，∵∠OAD＝∠AMD＝90°，∴∠EAF＝∠ODA，∵，∴∠EGF＝∠EAF，∴∠ODA＝∠EGF，∴tan∠EGF＝．18．解：（1）DE是⊙O的切线；理由：连接OD，∵∠ACB＝90°，CA＝CB，∴∠ABC＝45°，∴∠COD＝2∠ABC＝90°，∵四边形GDEC是平行四边形，∴DE∥CG，∴∠EDO+∠COD＝180°，∴∠EDO＝90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）连接OB，∵点B是的中点，∴＝，∴∠BOC＝∠BOD，∵∠BOC+∠BOD+∠COD＝360°，∴∠COB＝∠BOD＝135°，∴的长＝＝π．19．证明：（1）连接OM，∵OM＝OB，∴∠OMB＝∠OBM，∵BM平分∠ABD，∴∠OBM＝∠MBF，∴∠OMB＝∠MBF，∴OM∥BF，∵MF⊥BD，∴OM⊥MF，即∠OMF＝90°，∴MF是⊙O的切线；（2）如图，连接AN，ON∵＝，∴AN＝BN＝4∵AB是直径，＝，∴∠ANB＝90°，ON⊥AB∴AB＝＝4∴AO＝BO＝ON＝2∴OC＝＝＝1∴AC＝2+1，BC＝2﹣1∵∠A＝∠NMB，∠ANC＝∠MBC ∴△ACN∽△MCB∴∴AC•BC＝CM•CN∴7＝3•CM∴CM＝20．（1）证明：连接OF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD+∠DCA＝90°，∵EC＝EF，∴∠DCA＝∠EFC，∵OA＝OF，∴∠CAD＝∠OF A，∴∠EFC+∠OF A＝90°，∴EF⊥OF，∵OF是半径，∴EF是⊙O的切线；（2）连接MF，∵AM是直径，∴∠AFM＝90°，在Rt△AFM中，cos∠CAD＝＝，∵AF＝6，∴＝，∴AM＝10，∵MD＝2，∴AD＝8，在Rt△ADC中，cos∠CAD＝＝，∴＝，∴AC＝，∴FC＝﹣6＝21．（1）证明：连接OA，过O作OF⊥AE于F，∴∠AFO＝90°，∴∠EAO+∠AOF＝90°，∵OA＝OE，∴∠EOF＝∠AOF＝AOE，∵∠EDA＝AOE，∵∠EAC＝∠EDA，∴∠EAC＝∠AOF，∴∠EAO+∠EAC＝90°，∵∠EAC+∠EAO＝∠CAO，∴∠CAO＝90°，∴OA⊥AC，∴AC是⊙O的切线；（2）解：∵CE＝AE＝2，∴∠C＝∠EAC，∵∠EAC+∠C＝∠AEO，∴∠AEO＝2∠EAC，∵OA＝OE，∴∠AEO＝∠EAO，∴∠EAO＝2∠EAC，∵∠EAO+∠EAC＝90°，∴∠EAC＝30°，∠EAO＝60°，∴△OAE是等边三角形，∴OA＝AE，∠EOA＝60°，∴OA＝2，∴S扇形AOE＝＝2π，在Rt△OAF中，OF＝OA•sin∠EAO＝2＝3，∴S△AOE＝AE•OF＝3＝3，∴阴影部分的面积＝2π﹣3．22．（1）证明：作DF⊥BC于F，连接DB，∵AP是⊙O的切线，∴∠P AC＝90°，即∠P+∠ACP＝90°，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，即∠PCA+∠DAC＝90°，∴∠P＝∠DAC＝∠DBC，∵∠APC＝∠BCP，∴∠DBC＝∠DCB，∴DB＝DC，∵DF⊥BC，∴DF是BC的垂直平分线，∴DF经过点O，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∵∠BDC＝2∠ODC，∴∠BAC＝∠BDC＝2∠ODC＝2∠OCD；（2）解：∵DF经过点O，DF⊥BC，∴FC＝BC＝3，在△DEC和△CFD中，，∴△DEC≌△CFD（AAS）∴DE＝FC＝3，∵∠ADC＝90°，DE⊥AC，∴DE2＝AE•EC，则EC＝＝，∴AC＝2+＝，∴⊙O的半径为．23．（1）证明：连接OC，∵MN为⊙O的切线，∴OC⊥MN，∵BD⊥MN，∴OC∥BD，∴∠CBD＝∠BCO．又∵OC＝OB，∴∠BCO＝∠ABC，∴∠CBD＝∠ABC．；（2）解：连接AC，在Rt△BCD中，BC＝4，CD＝4，∴BD＝＝8，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CDB＝90°，∵∠ABC＝∠CBD，∴△ABC∽△CBD，∴＝，即＝，∴AB＝10，∴⊙O的半径是5，故答案为5．24．（1）连接OD，∵正方形ABCD中，CD＝BC，CP＝CP，∠DCP＝∠BCP＝45°，∴△CDP≌△CBP（SAS），∴∠CDP＝∠CBP，∵∠BCD＝90°，∴∠CBP+∠BEC＝90°，∵OD＝OE，∴∠ODE＝∠OED，∠OED＝∠BEC，∴∠BEC＝∠OED＝∠ODE，∴∠CDP+∠ODE＝90°，∴∠ODP＝90°，∴DP是⊙O的切线；（2）∵∠CDP＝∠CBE，∴tan，∴CE＝，∴DE＝2，∵∠EDF＝90°，∴EF是⊙O的直径，∴∠F+∠DEF＝90°，∴∠F＝∠CDP，在Rt△DEF中，，∴DF＝4，∴＝＝2，∴，∵∠F＝∠PDE，∠DPE＝∠FPD，∴△DPE∽△FPD，∴，设PE＝x，则PD＝2x，∴，解得x＝，∴OP＝OE+EP＝．。

浙教版初中数学九年级圆周角—巩固练习(基础)

圆周角—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1．（2016•张家界）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦．若∠OBC=60°，则∠BAC的度数是（）A．75°B．60°C．45°D．30°2.如图所示，∠1，∠2，∠3的大小关系是（）．A．∠1>∠2>∠3 B．∠3>∠1>∠2 C．∠2>∠1>∠3 D．∠3>∠2>∠13．如图，AC是⊙O的直径，弦AB∥CD，若∠BAC=32°，则∠AOD等于( )．A．64°B．48°C．32°D．76°4．如图，弦AB，CD相交于E点，若∠BAC=27°，∠BEC=64°，则∠AOD等于( )．A．37°B．74°C．54°D．64°（第3题图）（第4题图）（第5题图）5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=138°，则它的一个外角∠DCE等于( )．A．69°B．42°C．48°D．38°6．△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（）A．80°B．160°C．100°D．80°或100°二、填空题7.在同圆或等圆中，两个圆心角及它们所对的两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么_ _________．8.（2016•济宁）如图，在⊙O中，=，∠AOB=40°，则∠ADC的度数是________.9．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于H ，BD∥OC，则∠B 的度数是 .10．如图，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝BC ，∠BAC ＝30°，AD 为⊙O 的直径，AD ＝2 3 ，则BD ＝ .11．如图，已知⊙O 的直径MN ＝10，正方形ABCD 四个顶点分别在半径OM 、OP 和⊙O 上，且∠POM ＝45°，则AB ＝ .（第11题图）（第12题图）12．如图，已知A 、B 、C 、D 、E 均在⊙O 上，且AC 为直径，则∠A+∠B+∠C=________度．三、解答题13. 如图所示，AB ，AC 是⊙O 的弦，AD ⊥BC 于D ，交⊙O 于F ，AE 为⊙O 的直径，试问两弦BE 与CF 的大小有何关系，说明理由．14．如图，AB 是半圆O 的直径，C 、D 是半圆O 上的两点，且OD ∥BC ，OD 与AC 交于点E ．（1）若∠D=70°，求∠CAD 的度数；（2）若AC=8，DE=2，求AB 的长．15．如图，⊙O 中，直径AB =15cm ，有一条长为9cm 的动弦CD 在上滑动(点C 与A ，点D 与B 不重合)，CF ⊥CD 交AB 于F ，DE ⊥CD 交AB 于E ．（第10题图）(1)求证：AE=BF；(2)在动弦CD滑动的过程中，四边形CDEF的面积是否为定值?若是定值，请给出证明并求这个定值；若不是，请说明理由．【答案与解析】一、选择题1.【答案】D【解析】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，又∵∠OBC=60°，∴∠BAC=180°﹣∠ACB﹣∠ABC=30°．故选D．2.【答案】D；【解析】圆内角大于圆周角大于圆外角.3.【答案】A；【解析】∵弦AB∥CD，∠BAC=32°，∴∠C=∠A=32°，∠AOD=2∠C=64°.4.【答案】B；【解析】∠ACD=64°-27°=37°，∠AOD=2∠ACD=74°.5.【答案】A；【解析】∠BAD=12∠BOD=69°，由圆内接四边形的外角等于它的内对角得∠DCE=∠BAD=69°.6.【答案】D；【解析】如图，∵∠AOC=160°，∴∠ABC=∠AOC=×160°=80°，∵∠ABC+∠AB′C=180°，∴∠AB′C=180°﹣∠ABC=180°﹣80°=100°．∴∠ABC的度数是：80°或100°．故选D．二、填空题7．【答案】它们所对应的其余各组量也分别相等；8.【答案】20°.【解析】连接CO，如图：∵在⊙O中，=，∴∠AOC=∠AOB，∵∠AOB=40°，∴∠AOC=40°，∴∠ADC=∠AOC=20°.9．【答案】60°；10．11．【答案】；【解析】如图，设AB＝x，在Rt⊿AOD 中:x²+（2x）²＝5²， x＝, 即 AB的长＝.第11题第12题12．【答案】90°；【解析】如图，连结AB、BC，则∠CAD + ∠EBD +•∠ACE=∠CBD +∠EBD +•∠ABE=∠ABC=90°.三、解答题13.【答案与解析】BE=CF．理由：∵AE为⊙O的直径，AD⊥BC，∴∠ABE=90°=∠ADC，又∠AEB=∠ACB，∴∠BAE=∠CAF，．∴BE CF∴BE=CF．14.【答案与解析】解：（1）∵OA=OD ，∠D=70°，∴∠OAD=∠D=70°，∴∠AOD=180°﹣∠OAD ﹣∠D=40°，∵AB 是半圆O 的直径，∴∠C=90°，∵OD ∥BC ，∴∠AEO=∠C=90°，即OD ⊥AC ， ∴=，∴∠CAD=∠AOD=20°；（2）∵AC=8，OE ⊥AC ，∴AE=AC=4，设OA=x ，则OE=OD ﹣DE=x ﹣2，∵在Rt △OAE 中，OE 2+AE 2=OA 2，∴（x ﹣2）2+42=x 2，解得：x=5，∴OA=5，∴AB=2OA=10．15.【答案与解析】(1)如图，作OH ⊥CD 于H ，利用梯形中位线易证OF=OE ，OA=OB ，所以AF=BE ，AF+EF=BE+EF ，即AE=BF ．(2)四边形CDEF 的面积是定值.连结OC ，则， 11()2O 6922S CF DE CD H CD =+⋅=⋅⋅⋅=⨯＝54(cm 2)．。

浙教版初中数学九年级《圆的基本性质》全章复习与巩固—巩固练习(提高)

《圆的基本性质》全章复习与巩固—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1.对于下列命题：①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任意三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形．其中，正确的有( )．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2016•自贡）圆锥的底面半径为4cm，高为5cm，则它的表面积为（）A．12πcm2B．26πcm2C．πcm2 D．（4+16）πcm23．设计一个商标图案，如图所示，在矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=8cm，以A为圆心、AD的长为半径作半圆，则商标图案(阴影部分)的面积等于( ).A.(4π+8)cm2B.(4π+16)cm2C.(3π+8)cm2D.(3π+16)cm24．（2015•贵港）如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM．若⊙O 的半径为2，OP=4，则线段OM的最小值是（）A．0 B．1 C．2 D．35. “圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用数学语言可表示为：如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD的长为( )A．12.5寸 B．13寸 C．25寸D．26寸6.如图，在Rt△ABC中，∠B AC=90°．如果将该三角形绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，点B1恰好落在边BC的中点处．那么旋转的角度等于（）A．55°B．60°C．65°D．80°7．一条弦的两个端点把圆周分成4:5两部分，则该弦所对的圆周角为( )．A．80° B．100° C．80°或100° D．160°或200°8．如图，圆O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（）A．22 B．4 C．42 D．8二、填空题9．如下左图，是的内接三角形，，点P在上移动(点P不与点A、C重合)，则的变化范围是__ ________.10.如图，⊙0中，弦AB与弦CD交于E，连接AC，OE，BD，若AE=BE，AC∥0E，则∠CDB=．11．如图，半圆O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为______cm.12.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF=45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为_______.13.如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点D、E，连结OD、OE，若∠A=65°，则∠DOE=_______.14.已知正方形ABCD外接圆的直径为2a，截去四个角成一正八边形，则这个正八边形EFGHIJLK的边长为____ ____，面积为_____ ___．15．如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°，给出以下五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧是劣弧的2倍；⑤AE=BC，其中正确的序号是．16.如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为_______.三、解答题17.（2016•上城区二模）如图，已知四边形ABCD内接于圆，对角线AC与BD相交于点E，F在AC上，AB=AD，∠BFC=∠BAD=2∠DFC．（1）若∠DFC=40°，求∠CBF的度数；（2）求证：CD⊥DF．18.已知：如图，∠PAQ=30°，在边AP上顺次截取AB=3cm，BC=10cm，以BC为直径作⊙O交射线AQ于E、F两点，求：（1）圆心O到AQ的距离；（2）线段EF的长．19．如图，相交两圆的公共弦长为120cm，它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边.求两圆相交弧间阴影部分的面积.20.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC=DE．（1）求证：∠A=∠AE B；（2）连接OE，交CD于点F，OE⊥CD，求证：△ABE是等边三角形．【答案与解析】一、选择题1.【答案】B；【解析】任意一个圆的内接三角形和外切三角形都可以作出无数个．①③正确，②④错误，故选B．2.【答案】D.【解析】底面半径为4cm，则底面周长=8πcm，底面面积=16πcm2；由勾股定理得，母线长=cm，圆锥的侧面面积=×8π×=4πcm2，∴它的表面积=16π+4π=（4+16）πcm2，故选D．3．【答案】A.；【解析】对图中阴影部分进行分析，可看做扇形、矩形、三角形的面积和差关系.∵矩形ABCD中，AB=2BC，AB=8cm，∴ AD=BC=4cm，∠DAF=90°，，，又AF=AD=4cm，∴，∴.4．【答案】B.【解析】设OP与⊙O交于点N，连结MN，OQ，如图，∵OP=4，ON=2，∴N是OP的中点，∵M为PQ的中点，∴MN为△POQ的中位线，∴MN=OQ=×2=1，∴点M在以N为圆心，1为半径的圆上，当点M在ON上时，OM最小，最小值为1，∴线段OM的最小值为1．故选B．5．【答案】D；【解析】因为直径CD垂直于弦AB，所以可通过连接OA(或OB)，求出半径即可.根据“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”，知(寸)，在Rt△AOE中，，即，解得OA=13，进而求得CD=26(寸).故选D.6.【答案】B；【解析】∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将该三角形绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，点B1恰好落在边BC的中点处，∴AB1=12BC，BB1=B1C，AB=AB1，∴BB1=AB=AB1，∴△ABB1是等边三角形，∴∠BAB1=60°，∴旋转的角度等于60°．7．【答案】C；【解析】圆周角的顶点在劣弧上时，圆周角为5136010092⨯⨯=°°；圆周角的顶点在优弧上时，圆周角为413608092⨯⨯=°°．注意分情况讨论．8.【答案】C；【解析】∵∠A=22.5°，∴∠BOC=2∠A=45°，∵圆O的直径AB垂直于弦CD，∴CE=DE，△OCE为等腰直角三角形，∴CE=OC=2，∴CD=2CE=4．二、填空题9．【答案】；10.【答案】90°；【解析】∵AE=BE，∴OE⊥AB，即∠OEB=90°，∵AC∥OE，∴∠CAE=∠OEB=90°，∴∠CDB=∠CAE=90°．11.【答案】45；【解析】连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵∠CAD=∠BAD（角平分线的性质），∴D=BDC，∴∠DOB=∠OAC=2∠BAD，∴△AOF≌△ODE，∴OE=AF=AC=3（cm），在Rt△DOE中，DE==4（cm），在Rt△ADE中，AD==4（cm）．12.【答案】2；【解析】将△DAF绕点A顺时针旋转90度到△BAF′位置，根据旋转的性质得出∠EAF′=45°，进而得出△FAE≌△EAF′，即可得出EF+EC+FC=FC+CE+EF′=FC+BC+BF′=4，得出正方形边长即可．13.【答案】50°；【解析】∵BC为，⊙O的直径，∴∠CEB=∠AEB=90°，∵∠A=65°，∴∠ABE=25°，∴∠DOE=2∠ABE=50°.14.【答案】(21)a；2(222)a；【解析】正方形ABCD外接圆的直径就是它的对角线，由此求得正方形边长为a．如图所示，设正八边形的边长为x ．在Rt △AEL 中，LE ＝x ，AE ＝AL ＝22x ，∴ 222x x a ⨯+=，(21)x a =-，即正八边形的边长为(21)a -．222224[(21)](222)AEL S S S a x a a a =-=-=--=-△正方形正八边形．15.【答案】①②④；【解析】连接AD ，AB 是直径，则AD⊥BC，又∵△ABC 是等腰三角形，故点D 是BC 的中点，即BD=CD ，故②正确； ∵AD 是∠BAC 的平分线，由圆周角定理知，∠EBC=∠DAC=∠BAC=22.5°，故①正确； ∵∠ABE=90°﹣∠EBC﹣∠BAD=45°=2∠CAD，故④正确； ∵∠EBC=22.5°，2EC≠BE，AE=BE ，∴AE≠2CE，③不正确； ∵AE=BE，BE 是直角边，BC 是斜边，肯定不等，故⑤错误．综上所述，正确的结论是：①②④．16.【答案】72；【解析】连接OA ，OB ，OC ，作CH 垂直于AB 于H ．根据垂径定理，得到BE=12AB=4，CF=12CD=3，由勾股定理∴OE=3，OF=4，∴CH=OE+OF=3+4=7，BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7，在直角△BCH 中根据勾股定理得到BC=72，则PA+PC 的最小值为72．三、解答题 17.【解析】解：（1）∵∠ADB=∠ACB ，∠BAD=∠BFC ，∴∠ABD=∠FBC，又∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∴∠CBF=∠BCF，∵∠BFC=2∠DFC=80°，∴∠CBF==50°；（2）令∠CFD=α，则∠BAD=∠BFC=2α，∵四边形ABCD是圆的内接四边形，∴∠BAD+∠BCD=180°，即∠BCD=180°﹣2α，又∵AB=AD，∴∠ACD=∠ACB，∴∠ACD=∠ACB=90°﹣α，∴∠CFD+∠FCD=α+（90°﹣α）=90°，∴∠CDF=90°，即CD⊥DF．18.【解析】解：（1）过点O作OH⊥EF，垂足为点H，∵OH⊥EF，∴∠AHO=90°，在Rt△AOH中，∵∠AHO=90°，∠PAQ=30°，∴OH=AO，∵BC=10cm，∴BO=5cm．∵AO=AB+BO，AB=3cm，∴AO=3+5=8cm，∴OH=4cm，即圆心O到AQ的距离为4cm．（2）连接OE，在Rt△EOH中，∵∠EHO=90°，∴EH2+HO2=EO2，∵EO=5cm，OH=4cm，∴EH===3cm ，∵OH 过圆心O ，OH ⊥EF ， ∴EF=2EH=6cm ．19.【解析】解：∵公共弦AB ＝120r R a 6624222212060603=-⎛⎝ ⎫⎭⎪=-=.20．【答案与解析】证明：（1）∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形， ∴∠A+∠BCD=180°， ∵∠DCE+∠BCD=180°， ∴∠A=∠DCE， ∵DC=DE，∴∠DCE=∠AEB， ∴∠A=∠AEB；（2）∵∠A=∠AEB， ∴△ABE 是等腰三角形， ∵EO⊥CD， ∴CF=DF，∴EO 是CD 的垂直平分线， ∴ED=EC， ∵DC=DE， ∴DC=DE=EC，∴△DCE是等边三角形，∴∠AEB=60°，∴△ABE是等边三角形．。

浙教版九上数学第三章圆的基本性质综合复习题

第三章圆的基本性质综合复习题一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）1．在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC⌢沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．如图，若点D与圆心O不重合，⊙BAC＝25°，则⊙DCA的度数（）A．35°B．40°C．45°D．65°（第1题）（第2题）（第3题）（第4题）2．如图，在平面直角坐标系中，点A，C，N的坐标分别为（-2，0），（2，0），（4，3），以点C为圆心，2为半径画⊙C，点P在⊙C上运动，连接AP，交⊙C于点Q，点M为线段QP的中点，连接MN，则线段MN的最小值为（）A．√21−6√3B．3C．√13D．√103．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，AB=3，AD=5，⊙BAD=60°，点C为弧BD的中点，则AC 的长是（）A．4√3B．8√3C．4√33D．8√334．工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求.图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊙CD、BD⊙CD，若CD=16cm，AC=BD=4cm，则这种铁球的直径为（）A．10cm B．15cm C．20cm D．24cm5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，⊙O的半径为32，AC=√5，则sinB的值是（）A．√52B．√53C．32D．23（第5题）（第6题）（第7题）（第8题）6．如图，已知AB为⊙O直径，弦AC，BD相交于点E，M在AE上，连结DM.AB＝1，⊙DMC＝⊙B，则cos⊙AED的值始终等于线段长（）A．DM B．EM C．AM D．CM7．如图，AB是半圆O的直径，四边形CDMN和DEFG都是正方形，其中点C，D，E在AB上，点F，N在半圆上．若半圆O的半径为10，则正方形CDMN的面积与正方形DEFG的面积之和是（）A．25B．50C．100D．1508．如图，正方形ABCD中，E为AB上一点，AF⊥DE于点F，已知DF=4EF=4，过C、D、F的⊙O 与边AD交于点G，则DG=（）A．2B．√5C．√6D．√79．如图，正方形ABCD的边长AB＝8，E为平面内一动点，且AE＝4，F为CD上一点，CF＝2，连接EF，ED，则2EF+ED的最小值为（）A．12√3B．12√2C．12D．1010．如图，将边长为6的正六边形ABCDEF沿HG折叠，点B恰好落在边AF的中点上，延长B′C′交EF 于点M，则C′M的长为（）A．1B．65C．56D．9 5（第9题）（第10题）（第11题）（第12题）二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）11．如图，正六边形ABCDEF的顶点A、F分别在正方形BMGH的边BH、GH上.若正方形BMGH 的边长为6，则正六边形ABCDEF的边长为.12．如图，△ABC内接于⊙O，AH⊥BC于点H，若AC=10，AH=8，⊙O的半径为7，则AB=．13．如图，在平面直角坐标系中，点A（－1，0），点B（1，0），点M（3，4），以M为圆心，2为半径作⊙M.若点P是⊙M上一个动点，则PA2＋PB2的最大值为（第13题）（第14题）（第15题）（第16题）14．如图，ABCD为圆O的内接四边形，且AC⊙BD，若AB=10，CD=8，则圆O的面积为. 15．如图，AB是⊙O的直径，点M是⊙O内的一定点，PQ是⊙O内过点M的一条弦，连接AM，AP，AQ，若⊙O的半径为4，AM=√5，则AP⋅AQ的最大值为．16．如图，点A，C，D，B在⊙O上，AC＝BC，⊙ACB＝90°．若CD＝a，tan⊙CBD＝13，则AD的长是．三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）17．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊙AB于E，BD交CE于点F，（1）求证：CF＝BF；（2）若CD＝12，AC＝16，求⊙O的半径和CE的长。

3.1圆同步练习2024-2025学年九年级上册数学浙教版

3.1圆同步练习2024-2025学年九年级上册数学浙教版第一课时例1 如图3-1-1,⊙M 的半径为2,圆心 M的坐标为(3,4),P 是⊙M 上的任意一点,PA⊥PB,且PA,PB 与x 轴分别相交于A,B两点.若点 A,B 关于原点O 对称,则AB的最小值为 .例2如图3-1-2,在⊙O中,弦AC∥OB,∠BOC=40°,则∠AOC的度数为例3 如图3-1-3,线段AB=8cm,点D 从点A 出发沿AB 向点 B 匀速运动，速度为1 cm/s,同时点 C 从点 B 出发沿BA 向点A 以相同的速度运动，以点 C 为圆心，2cm为半径作⊙C，点D 到达点B 时⊙C 也停止运动.设运动时间为t(s)，则当点 D 在⊙C内部时，t的取值范围是 .同步训练1.有下列说法：①长度相等的弧是等弧；②弦不包括直径；③劣弧一定比优弧短；④直径是圆中最长的弦.其中正确的有( )A.1个B. 2个C. 3个D. 4个2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=4.以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A 内且点 B 在⊙A 外时，r的值可能是（）A.3B. 2C. 4D. 53.已知AB是直径为10的圆的一条弦，则AB的长度不可能是 ( )A. 2B. 5C. 9D. 114.已知⊙O的半径为4，圆心到点 P 的距离为d，且d 是方程x²−2x−8=0的一个根，则点 P 与⊙O的位置关系是 ( )A. 点 P 在⊙O内B. 点 P 在⊙O上C. 点 P 在⊙O外D. 点 P 在⊙O上或⊙O内5.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,CP,CM分别是AB上的高线和中线.如果⊙A 是以点A 为圆心，2为半径的圆，那么下列判断中，正确的是 ( )A. 点 P,M均在⊙A内B. 点 P,M均在⊙A外C. 点 P 在⊙A内,点 M在⊙A外D. 以上选项都不正确6.若⊙O的半径为5,圆心O的坐标为(0,0),点 P 的坐标为(4,2),则点 P 与⊙O的位置关系是 ( )A. 点 P 在⊙O内B. 点 P 在⊙O上C. 点 P 在⊙O外D. 点 P 在⊙O上或⊙O外7.如图，已知⊙O的半径为r，AB为⊙O的一条弦,点C,D在AB上,且AD=BC=r.求证：△OCD 是等腰三角形.8.如图，⊙O的直径BA 的延长线与弦DC 的延长线相交于点 E,且CE=OB.若∠DOB=72°,则∠E的度数为 ( )A. 24°B. 36°C. 48°D. 60°9.如图,一块直角三角尺 ABC(∠ABC=60°)的斜边 AB 与量角器的直径重合，点D 对应58°,则∠BCD的度数为 ( )A. 27°B. 61°C. 54°D. 36°10.点 P 不在⊙O上,若点 P 到⊙O上的点的最小距离是 4 cm,最大距离是 9 cm,则⊙O的半径为 .11.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= 427x2+89x−4与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点 C,点D 的坐标为(-3,0).⊙C的半径为2,E 是⊙C 上的一动点,F是 AE 的中点, 则 D F 的最小值为 .12.对于⊙P 及一个矩形给出如下定义：如果⊙P 上存在到此矩形四个顶点距离都相等的点，那么称⊙P是该矩形的“等距圆”.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A 的坐标为( √3,2),顶点 C,D在x轴上,OC=OD,且⊙P的半径为4.(1) 在点 P₁(0,-2), P₂(2 √3,3), P3(−2√3,1)中可以成为矩形 ABCD 的“等距圆”的圆心的是点 .(2)如果点 P 在直线y=−√33x+1上，且⊙P 是矩形ABCD 的“等距圆”,那么点 P的坐标为 .第二课时例1 如图3-1-4,在 5×7 网格中，各小正方形的边长均为1,点O,A,B,C,D，E均在格点上，点O是△ABC的外心，在不添加其他字母的情况下，除△ABC外，外心也是点O的三角形有 .例2 在平面直角坐标系中有A，B，C三点，点A(1,3),B(3,3),C(5,1).现在要画一个圆同时经过这三点，则圆心的坐标为 .例3 在等腰三角形ABC中,AB=AC=13,BC=10,求等腰三角形 ABC 外接圆的半径.同步训练1. 过钝角三角形的三个顶点作圆，其圆心在( )A. 三角形内B. 三角形上C. 三角形外D. 以上都有可能2. 如果直角三角形的两直角边长分别为√31，那么它的外接圆直径是 ( )A. 1B. 2C. 3D. 43. 直角三角形的外心在 ( )A. 直角顶点处B. 直角三角形内C. 直角三角形外D. 斜边的中点处4.有下列说法：①经过三点一定可以作一个圆；②任何一个三角形一定有一个外接圆，且只有一个外接圆；③任意一个圆一定有一个内接三角形，且只有一个内接三角形；④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.其中正确的有 ( )A.4个B. 3个C. 2个D. 1个5. 如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位，点O，A，B，C在格点上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为 .6.如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均落在格点上，用一个圆面去覆盖△ABC，能够完全覆盖这个三角形的最小的圆的半径是 .7.如图所示为一个残破的圆形瓷盘，为修复该瓷盘需确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心(不要求写作法，但要保留作图痕迹).8.如图,已知E 是△ABC的外心,P,Q分别是AB,AC的中点,连结EP,EQ交BC 于点F,D. 若 BF =5,DF=3,CD=4,则△ABC的面积为 ( )A. 18B. 24C. 30D. 369.如图，点A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外，还经过的格点数为 .10.如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,AO平分∠BAC.(1)求证:△ABC是等腰三角形.(2)当OA=4,AB=6时,求 BC的长.11.如图，已知抛物线y=x²−4x经过原点，且与x轴相交于点A.(1)求线段OA 的长.(2)设抛物线的顶点为 B，试求△AOB 的外接圆圆心的坐标.12.如图①,已知⊙O的半径为1,PQ是⊙O的直径，n个相同的正三角形沿 PQ 排成一列，所有正三角形都关于 PQ对称，其中第一个△A₂B₁C₁的顶点 A₁与点 P 重合,第二个△A₂B₂C₂的顶点 A₂是B₁C₁与PQ的交点……最后一个△AₙBₙCₙ的顶点An是. Bₙ₋₁Cₙ₋₁与PQ的交点,顶点 Bn, Cn在⊙O上.(1)如图②，当n=1时，求正三角形的边长a₁.(2)如图③，当n=2时，求正三角形的边长a₂.(3)如图①，求正三角形的边长 an(用含n的代数式表示).。

浙教版中考数学复习：圆的综合 (共45张PPT)

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∴直线EO垂直平分AC，∴ AG=CG
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∵ ∠AFC=90°，∴ FG=12AC即2FG=AC
解析：
• 解析：(3)连接OA，∵EG⊥AC，∴∠CGE=90°，∴∠ECG+∠CEG=90°
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∵ FGニ12AC=AG，∴∠AFG=∠FAG
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∵ ∠ECG=∠FAG=∠AFG，∴∠AFG+∠CEG=90°
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求出∠CDB=∠CBD;
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②连接OB、OC,根据在同圆或等圆中,同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出
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∠BOC=60°,然后判定△OBC是等边三角形,再根据等腰三角形三线合一的性质以及
•
三角形的内心的性质可得OC经过点I,设OC与BD相交于点F,然后求出CF,再根据I是
• 解.
三角形的内心,利用三角形的面积求出IF,然后求出CI,最后根据OI=DC-CI计算即可得
• (1)如图(1)，求证：EA=EC； • (2)如图(2)，连接EO并延长交AC于点G,求证:2FG=AC； • (3)如图(3)，在(2)的条件下,若sin∠FGE=13,DF=2,求四边形FECG的面积.
解析：
• 【分析】(1)要证EA=EC即需证∠EAC=∠ECA,∠EAC有互余的∠OCA,连接 OA得∠OAC=∠OCA,构造∠OAC的余角.由点A为弧BC中点和半径OA,根据垂径定理推论,平分弧的直径(半径)垂直于弧所对的弦,故延长AO交BC于H有 ∠AHC=90°,∠OAC的余角即为∠ECA,根据等角的余角相等,得证.
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浙教版数学(九上)同步提高第3章 3.1 圆(原卷版)有答案

如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。

——高斯圆知识讲解知识点1圆的相关概念1.在同一平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一端点所经过的封闭曲线叫做圆，定点叫做圆心，线段叫做半径．2.连结圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．3.圆上任意两点间的部分叫做弧．能够重合的圆弧称为相等的弧．知识点2点与圆的位置关系1.设圆的半径为r，在同一平面内点到圆心的距离为d，则：(1)d＞r⇔点在圆外；(2)d＝r⇔点在圆上；(3)d＜r⇔点在圆内．知识点3确定圆的方法(1)确定圆心(位置)和半径(大小)；(2)不在同一条直线上的三个点确定一个圆；(3)以已知线段为直径的圆．知识点4三角形的外接圆与外心经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形．知识点5外心的性质(1)三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点；(2)三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．注意：画三角形的外心时可画两条边的中垂线，交点即为外心；三角形的外心不是都在三角形的内部，它可能在三角形的外部或三角形的某一边上．知识点61.锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边的中点处，钝角三角形的外心在三角形的外部．2．等腰直角三角形的外心在它的边上典型例题例1：已知点P到⊙O的最大距离是8 cm，最小距离是2 cm，求该圆的周长和面积．例2：如图，在平面直角坐标系中，⊙ABC为直角三角形，⊙B＝90°，AB垂直于x轴，点M为⊙ABC的外心．若点A的坐标为(3,4)，点M的坐标为(－1,1)，则点B的坐标为_______________．同步练习一、选择题1．下列说法正确( )A．直径是弦，弦是直径B．圆有无数条对称轴C．无论过圆内哪一点，都只能作一条直径D．度数相等的弧是等弧2．已知⊙O的直径AB＝6 cm，则圆上任意一点到圆心的距离等于()A．2 cm B．2.5 cm C．3 cm D．无法确定3．下列说法：⊙弧分为优弧和劣弧；⊙半径相等的圆是等圆；⊙过圆心的线段是直径；⊙长度相等的弧是等弧；⊙半径是弦．其中错误的个数为()A．2 B．3 C．4 D．54．如图，在⊙O中，点A，O，D，点B，O，C以及点E，D，C分别在一条直线上．图中弦的条数为()A．2 B．3 C．4 D．55. 下列说法：⊙直径是弦；⊙弦是直径；⊙半圆是弧，弧不一定是半圆；⊙优弧一定大于劣弧；⊙直径是圆中最长的弦．其中正确的说法为()A．⊙⊙⊙B．⊙⊙⊙ C．⊙⊙⊙ D．⊙⊙⊙6.⊙O的半径为5 cm，点A到圆心O的距离OA＝3 cm，则点A与⊙O的位置关系为()A．点A在圆上B．点A在圆内C．点A在圆外D．无法确定7. 已知⊙O的半径为5 cm，P为⊙O外一点，则OP的长可能是()A．5 cm B．4 cm C．3 cm D．6 cm8．下列说法正确的是()A．半圆是弧，弧也是半圆B．过圆上任意一点只能做一条弦，且这条弦是直径C．弦是直径D．直径是同一圆中最长的弦9.【核心素养题】小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是()A．第⊙块B．第⊙块C．第⊙块D．第⊙块10．如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是()A．点P B．点Q C．点R D．点M11．如图2，已知⊙O是⊙ABC的外接圆，⊙AOB＝110°，则⊙OAB的度数为()A．55° B．70° C．35° D．45°12．[2017·枣庄]如图，在网格(每个小正方形的边长均为1)中选取9个格点(格线的交点称为格点)，如果以A为圆心，r为半径画图，选取的格点中除A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为()A．22＜r＜17 B.17＜r＜32 C.17＜r＜5 D．5＜r＜2913．（2019•嘉定区一模）已知点C在线段AB上（点C与点A、B不重合），过点A、B的圆记作为圆O1，过点B、C 的圆记作为圆O2，过点C、A的圆记作为圆O3，则下列说法中正确的是（）A．圆O1可以经过点C B．点C可以在圆O1的内部C．点A可以在圆O2的内部D．点B可以在圆O3的内部14.（2019春•巨野县期末）已知⊙O的半径为6cm，P为线段OA的中点，若点P在⊙O上，则OA的长（）A．等于6cm B．等于12cm C．小于6cm D．大于12cm15．（2018秋•城厢区期末）在平面直角坐标系xOy中，若点P（4，3）在⊙O内，则⊙O的半径r的取值范围是（）A．0＜r＜4B．3＜r＜4C．4＜r＜5D．r＞516.（2019•金山区一模）如图，在Rt⊙ABC中，⊙C＝90°，BC＝2，⊙B＝60°，⊙A的半径为3，那么下列说法正确的是（）A．点B、点C都在⊙A内B．点C在⊙A内，点B在⊙A外C．点B在⊙A内，点C在⊙A外D．点B、点C都在⊙A外二、填空题1．（2018秋•滨海县期末）平面直角坐标系内的三个点A （1，﹣3）、B （0，﹣3）、C （2，﹣3），确定一个圆，（填“能”或“不能”）．2．（2018秋•泰兴市校级期中）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，以顶点D 为圆心作半径为x 的圆，使点A 、B 、C 三点都在圆外，则x 的取值范围是．3．[2018·无锡]如图，点A ，B ，C 都在⊙O 上，OC ⊙OB ，点A 在劣弧BC ︵上，且OA ＝AB ，则⊙ABC ＝____．4．平面上有⊙O 及一点P ，P 到⊙O 上一点的距离最长为6 cm ，最短为2 cm ，则⊙O 的半径为____cm.5．[2018·烟台]如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O ，A ，B ，C 在格点(两条网格线的交点叫格点)上，以点O 为原点建立直角坐标系，则过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为____．6．直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是____．三、解答题1．如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB 的垂直平分线交弧AB 于点C ，交弦AB 于点D .已知AB ＝24 cm ，CD ＝8 cm.(1)求作此残片所在的圆；(不写作法，保留作图痕迹)(2)求(1)中所作圆的半径．2．已知平面直角坐标系中的三个点A(1，－1)，B(－2，5)，C(4，－6)，判断过A，B，C这三个点能否确定一个圆，并说明理由．3．如图，在⊙ABC中，点D是⊙BAC的平分线上一点，BD⊙AD于点D，过点D作DE⊙AC交AB于点E.求证：点E 是过A，B，D三点的圆的圆心．4．如图，在⊙ABC中，BD，CE是两条高线．求证：B，C，D，E四点在同一个圆上．5．如图1，⊙ABC中，BA＝BC，D是平面内不与A，B，C重合的任意一点，⊙ABC＝⊙DBE，BD＝BE.(1)求证：⊙ABD⊙⊙CBE；(2)如图2，当点D是⊙ABC的外接圆圆心时，请判断四边形BDCE的形状，并证明你的结论．6．如图，在⊙ABC中，⊙ABC＝90°，AB＝4cm，AC＝6cm，AM是中线．（1）以A为圆心，4cm长为半径作⊙A，则点B、C、M与⊙A是什么位置关系？（2）若以A为圆心作⊙A，使点B、C、M三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是什么？7．（2018秋•微山县期中）小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P1（x1，y1），P 2（x2，y2），可通过构造直角三角形利用勾股定理得到结论：P1P2＝；他还证明了线段P1P2的中点P（x，y）的坐标公式是：x＝，y＝；请利用上面的信息，解答下面的问题：如图，在平面直角坐标系中，已知A（8，0），B（0，6），C（1，7），⊙M经过原点O及点A、B．（1）求⊙M的半径及圆心M的坐标；（2）判断点C与⊙M的位置关系，并说明理由．初中数学.精品文档11。

浙教版九上第三章：圆的基本性质复习巩固练习和能力提升测试（附详细的解答过程）

浙教版九上第三章：圆的基本性质能力提升测试卷一，选择题（共10小题，每小题3分，共30分）温馨提示：每小题四个答案中只有一个是正确的，请把正确的答案选出来！1. 如图，在⊙O 中，弦AB ∥CD ,若︒=∠40ABC ，则=∠BOD （） A. ︒20 B. ︒40 C. ︒50 D. ︒802.如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，∠ACB=30°，则sin ∠AOB 的值是（）A ．B ．C ．D ．3.用圆心角为120°，半径为6cm 的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽（如图所示），则这个纸帽的高是（）A ．cmB ．3cmC ．4cmD ．4cm4.如图，AD 为⊙O 的直径，作⊙O 的内接正三角形ABC ，甲、乙两人的作法分别是：甲：1、作OD 的中垂线，交⊙O 于B ，C 两点，2、连接AB ，AC ，△ABC 即为所求的三角形乙：1、以D 为圆心，OD 长为半径作圆弧，交⊙O 于B ，C 两点。

2、连接AB ，BC ，CA ．△ABC 即为所求的三角形。

对于甲、乙两人的作法，可判断（）A ．甲、乙均正确B ．甲、乙均错误C ．甲正确、乙错误D ．甲错误，乙正确 5.如图，已知BD 是⊙O 直径，点A 、C 在⊙O 上，⌒AB =⌒BC ，∠AOB =60°，则∠BDC 的度数是（）A .20°B .25°C .30°D . 40°6.如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，已知CD=12，则⊙O 的直径为（） A. 8 B. 10 C.16 D.20第2题第3题第4题第5题DCBAO第6题第7题第8题7.如图所示，扇形AOB 的圆心角为120︒，半径为2，则图中阴影部分的面积为( )334.-πA 2334.-πB 3234.-πC 34.πD 8.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，下列结论不成立的是（） A ．CM=DM B ．CB=DB C ．∠ACD=∠ADC D ．OM=MD9.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，下列结论不成立的是（） A ．CM=DM B ．CB=DB C ．∠ACD=∠ADC D ．OM=MD10.如图所示，圆O 的弦AB 垂直平分半径OC ，则四边形OACB （） A 、是正方形 B 、是长方形 C 、是菱形 D 、以上答案都不对二，填空题（共6小题，每小题4分，共24分）温馨提示：填空题必须是将最简洁最正确的答案填在空格处！11.如图所示的圆面图案是用相同半径的圆与圆弧构成的．若向圆面投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的概率为．12．如图，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 于C ．若AB=23 ，0C=1，则半径OB 的长为________． 13.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=2．将△ABC 绕顶点A 顺时针方向旋转至△AB ′C ′的位置，B ，A ，C ′三点共线，则线段BC 扫过的区域面积为．14．如图，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成. 已知正三角形的边长为1，则凸轮的周长等于_________．15.如图所示，AB 为⊙O 的直径，AC 为弦，OD ∥BC 交AC 于点D ，若AB=20cm ， ∠A=30°，则AD= cm ．第9题ABCO第10题第11题第12题第13题第14题第15题第16题16.如图，⊙O 的直径AB 为10cm ，弦AC 为6cm ，∠ACB 的平分线交AB 于E ，交⊙O 于D ．则AD=_____________．三，解答题（共7题，共66分）温馨提示：解答题必须将解答过程清楚地表述出来！17（本题8分）如图所示,已知F 是以O 为圆心,BC 为直径的半圆上任一点,A 是弧BF 的中点,AD ⊥BC 于点D.求证:AD=12BF.18（本题8分）.如图,⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E,已知AE=6cm,EB=2cm, ∠CEA=30°, 求CD 的长.19．（本题8分）如图所示,OA 、OB 、OC 都是圆O 的半径,∠AOB =2∠BOC ．求证:∠ACB =2∠BAC .CBAO. ODCFBAE D C AO20（本题10分）如图，弧AC 是劣弧，M 是弧AC 中点，B 为弧AC 上任意一点，自M 向BC 弦引垂线，垂足为D ，求证：AB+BD=DC 。

浙教版初中数学九年级《直线与圆的位置关系》全章复习与巩固—巩固练习(提高)

《直线与圆的位置关系》全章复习与巩固—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1. （2017•金山区一模）已知等腰三角形的腰长为6cm，底边长为4cm，以等腰三角形的顶角的顶点为圆心5cm为半径画圆，那么该圆与底边的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定2．如图所示，AB、AC为⊙O的切线，B和C是切点，延长OB到D，使BD＝OB，连接AD．如果∠DAC＝78°，那么∠ADO等于( )．A．70° B．64° C．62° D．51°3．（2014秋•德城区期末）如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD=10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形（△AMN），则剪下的△AMN 的周长为（）A．20cm B．15cm C．10cm D．随直线MN的变化而变化4．如图，已知AB、AC分别为⊙O的直径和弦，D为弧BC的中点，DE垂直于AC，交AC的延长线于E，连接BC，若DE=6cm，CE=2cm，下列结论正确的是（）①DE是⊙O的切线；②直径AB长为20cm；③弦AC长为15cm；④C为弧AD的中点．A.①②④B.①③④C.①②D.②③5. 如图，四边形ABCD中，AD平行BC，∠ABC=90°，AD=2，AB=6，以AB为直径的半⊙O 切CD于点E，F为弧BE上一动点，过F点的直线MN为半⊙O的切线，MN交BC于M，交CD于N，则△MCN的周长为（）A.9B.10C.6. 如图，⊙O内切于△ABC，切点为D、E、F，∠B=45°，∠C=55°，连接OE、OF、OE、OF，则∠EDF等于（）A.45°B.55°C.50°D.70°7. 如图，在平面直角坐标系中，已知⊙O的半径为1，动直线AB与x轴交于点P（x，0），直线AB与x轴正方向夹角为45°，若直线AB与⊙O有公共点，则x的取值范围是（）A.﹣1≤x≤1 ＜x C．0≤x D．≤x8．如图所示，AB、AC与⊙O分别相切于B、C两点，∠A＝50°，点P是圆上异于B、C的一动点，则∠BPC 的度数是( )A．65° B．115° C．65°或115° D．130°或50°二、填空题9．如图，是的内接三角形，，点P在上移动(点P不与点A、C重合)，则的变化范围是__ ________.10．（2015•泰兴市校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=70°，△ABC的内切圆⊙O与边AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，则∠DEF的度数为．11．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，如果以点C为圆心，r为半径，且⊙C与斜边AB仅有一个公共点，那么半径r的取值范围是__________.12．已知圆的直径为13 cm，圆心到直线的距离为6cm，那么直线和这个圆的公共点的个数是______.13. 如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，需添加的条件是．（不添加其他字母和线条）14. 以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AB边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为．15．如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P，Q，则线段PQ长度的最小值是.16．如图，已知⊙O的半径为6cm，射线PM经过点O，OP=10cm，射线PN与⊙O相切于点Q．A、B两点同时从点P出发，点A以5cm/s的速度沿射线PM方向运动，点B以4cm/s的速度沿射线PN方向运动．设运动时间为t s．当t= 时，直线AB与⊙O相切．三、解答题17. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O 的切线，切点为F，FH∥BC，连结AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF．（1）证明：AF平分∠BAC；（2）证明：BF＝FD.18.（2015•临沂模拟）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB=5．如图，⊙O是△ABC的内切圆，与三边分别相切于点E、F、G．（1）求证：内切圆的半径r=1；（2）求tan∠OAG的值．19．（2017•曲靖一模）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC相交于点D，E，且BD=CD，过D作DF⊥AC，垂足为F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若AD=5，∠CDF=30°，求⊙O的半径．20. 如图，以线段AB为直径作⊙O，⊙O的切线切圆于点E，交AB的延长线于点D，连接BE，过点O作OC∥BE交切线DE于点C，连接AC．（1）求证：AC是⊙O的切线．（2）若已知BD=2，sinD=，求线段OC的长．【答案与解析】一、选择题1.【答案】A.【解析】解：如图所示：在等腰三角形ABC中，作AD⊥BC于D，则BD=CD=BC=2，∴AD===4＞5，即d＞r，∴该圆与底边的位置关系是相离；故选：A．2．【答案】B；【解析】由AB为⊙O的切线，则AB⊥OD．又BD＝OB，则AB垂直平分OD，AO＝AD，∠DAB＝∠BAO．由AB、AC为⊙O的切线，则∠CAO＝∠BAO＝∠DAB．所以，∠DAB＝∠DAC＝26°．∠ADO＝90°-26°＝64°．本题涉及切线性质定理、切线长定理、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等．3.【答案】A.【解析】∵△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，AD=10cm，∴设E、F分别是⊙O的切点，故DM=MF，FN=EN，AD=AE，∴AM+AN+MN=AD+AE=10+10=20（cm）．故选：A．4.【答案】C.【解析】解：如图，连接OD，交BC于点F，连接OC，∵D为弧BC的中点，∴OD⊥BC，且CF=BF，又∵AB为⊙O的直径，DE⊥AE，∴∠BCE=∠DEC=∠CFD=90°，∴四边形CEDF为矩形，∴OD⊥DE，∴DE为⊙O的切线，故①正确；∴DF=CE=2cm，CF=DE=6cm，∴BC=2CF=12cm，设半径为rcm，则OF=（r﹣2）cm，在Rt△OCF中，由勾股定理可得OC2=OF2+CF2，即r2=（r﹣2）2+62，解得r=10cm，∴AB=20cm，故②正确；在Rt△ABC中，BC=12cm，AB=20cm，∴AC===16（cm），故③不正确；若C为弧AD的中点，则AC=CD，在Rt△CDE中，CE=2cm，DE=6cm，由勾股定理可求得CD=2cm≠AC，故④不正确；综上可知正确的为①②，故选C．5.【答案】A.【解析】解：作DH⊥BC于H，如图，∵四边形ABCD中，AD平行BC，∠ABC=90°，∴AB⊥AD，AB⊥BC，∵AB为直径，∴AD和BC为⊙O 切线，∵CD和MN为⊙O 切线，∴DE=DA=2，CE=CB，NE=NF，MB=MF，∵四边形ABHD为矩形，∴BH=AD=2，DH=AB=6，设BC=x，则CH=x﹣2，CD=x+2，在Rt△DCH中，∵CH2+DH2=DC2，∴（x﹣2）2+62=（x+2）2，解得x=，∴CB=CE=，∴△MCN的周长=CN+CM+MN=CN+CM+NF+MF=CN+CM+NF+MB=CE+CB=9．故选A．6.【答案】C.【解析】解：∵在△ABC中，∠B=45°，∠C=55°，∴∠A=180°﹣45°﹣55°=80°，∵⊙O内切于△ABC，切点为D、E、F，∴∠OFA=∠OEA=90°，∴∠EOF=360°﹣90°﹣80°﹣90°=100°，∴∠EDF=∠EOF=50°，故选C．7.【答案】D.【解析】解：∵直线AB与x轴正方向夹角为45°，∴当直线AB与⊙O相切时，切点为C，连接OC，∴△POC是等腰直角三角形，∵⊙O的半径为1，∴OC=PC=1，∴OP==，∴P（，0），同理可得，当直线与x轴负半轴相交时，P（﹣，0），∴﹣≤x≤．故选D．8．【答案】C.【解析】连接OC、OB，则∠BOC＝360°-90°-90°-50°＝130°．点P在优弧上时，∠BPC＝12∠BOC＝65°；点P在劣弧上时，∠BPC＝180°-65°＝115°．二、填空题9．【答案】；10．【答案】80°；【解析】连接DO，FO，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=70°∴∠A=20°，∵内切圆O与边AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，∴∠ODA=∠OFA=90°，∴∠DOF=160°，∴∠DEF的度数为80°．11．【答案】r=或5＜r≤12．【解析】解：根据勾股定理求得直角三角形的斜边是=13．当圆和斜边相切时，则半径即是斜边上的高，等于；当圆和斜边相交，且只有一个交点在斜边上时，可以让圆的半径大于短直角边而小于长直角边，则5＜r≤12．故半径r的取值范围是r=或5＜r≤12．12.【答案】2个；【解析】直线与圆的位置关系：相离、相切、相交.判定方法有两种：一是看它们的公共点的个数；二是比较圆心到直线的距离与圆的半径的大小.实际上这两种方法是等价的，由题意可知，圆的半径为6.5cm，而圆心到直线的距离6cm<6.5cm，所以直线与圆相交，有2个公共点.13.【答案】D是BC的中点．【解析】解：连接OD，当DE与圆相切时，ED⊥OD，∵DE⊥AC，∴OD∥AC，∵AO=BO，∴D是BC的中点．故答案为：D是BC的中点．14.【答案】14.【解析】解：设AE的长为x，正方形ABCD的边长为a，∵CE与半圆O相切于点F，∴AE=EF，BC=CF，∵EF+FC+CD+ED=12，∴AE+ED+CD+BC=12，∵AD=CD=BC=AB，∴正方形ABCD的边长为4；在Rt△CDE中，ED2+CD2=CE2，即（4﹣x）2+42=（4+x）2，解得：x=1，∵AE+EF+FC+BC+AB=14，∴直角梯形ABCE周长为14．故答案为：14．15.【答案】4.8.【解析】解：如图，∵AB=10，AC=8，BC=6，∴AB2=AC2+BC2，∴∠ACB=90°，∴PQ是⊙F的直径，设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD，连接CF，CD，则FD⊥AB．∴FC+FD=PQ，∴CF+FD＞CD，∵当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时，PQ=CD有最小值∴CD=BC•AC÷AB=4.8．故答案为4.8．16.【答案】0.5或3.5．【解析】解：连接OQ，∵PN与⊙O相切于点Q，∴OQ⊥PN，即∠OQP=90°，∵OP=10，OQ=6，∴PQ=8（cm），过点O作OC⊥AB，垂足为C，∵点A的运动速度为5cm/s，点B的运动速度为4cm/s，运动时间为ts，∴PA=5t，PB=4t，∵PO=10，PQ=8，∴，∵∠P=∠P，∴△PAB∽△POQ，∴∠PBA=∠PQO=90°，∵∠BQO=∠CBQ=∠OCB=90°，∴四边形OCBQ为矩形．∴BQ=OC．∵⊙O的半径为6，∴BQ=OC=6时，直线AB与⊙O相切．①当AB运动到如图1所示的位置，BQ=PQ﹣PB=8﹣4t，∵BQ=6，∴8﹣4t=6，∴t=0.5（s）．②当AB运动到如图2所示的位置，BQ=PB﹣PQ=4t﹣8，∵BQ=6，∴4t﹣8=6，∴t=3.5（s）．∴当t为0.5s或3.5s时直线AB与⊙O相切．故答案为：0.5或3.5．三、解答题17.【答案与解析】（1）连结OF∵FH是⊙O的切线∴OF⊥FH∵FH∥BC ，∴OF垂直平分BC∴BF FC∴AF平分∠BAC .（2）由（1）及题设条件可知∠1=∠2，∠4=∠3，∠5=∠2∴∠1+∠4=∠2+∠3∴∠1+∠4=∠5+∠3∠FDB=∠FBD∴BF=FD.18．【答案与解析】（1）证明：如图连结OE，OF，OG．∵⊙O是△ABC的内切圆，∠C=90°，∴四边形CEOF是正方形，∴CE=CF=r．又∵AG=AE=3﹣r，BG=BF=4﹣r，AG+BG=5，∴（3﹣r）+（4﹣r）=5．解得r=1；（2）解：连结OA，在R t△AOG中，∵r=1，AG=3﹣r=2，tan∠OAG==．19.【答案与解析】解：（1）连接OD，∵BD=CD，OB=OA，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，则DF为圆O的切线；（2）∵DF⊥AC，∠CDF=30°，∴∠C=60°，∵OD∥AC，∴∠ODB=∠C=60°，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB=60°，∵AB为圆的直径，∴∠ADB=90°，∴∠BAD=30°，设BD=x，则有AB=2x，根据勾股定理得：x2+75=4x2，解得：x=5，∴AB=2x=10，则圆的半径为5．20.【答案与解析】（1）证明：连接OE，由切线性质易知∠CEO=90°，∵OC∥BE，∴∠AOC=∠OBE，∠EOC=∠OEB，∵OB=OE，∠OBE=∠OEB，∴∠AOC=∠COE，在△AOC和△EOC中，，∴△AOC≌△EOC（SAS），∴∠CAO=∠CEO=90°，∴AC是⊙O的切线；（2）解：在Rt△DOE中，∠DEO=90°，，∴，∴，∴OE=3，AD=8，在Rt△ACD中，∠CAD=90°，，AD=8，∴AC=6，在Rt△ACO中，利用勾股定理可求得OC==．。

浙教版初中数学培优讲义九年级教师版第三章《圆的基本性质》全章复习与巩固—知识讲解(提高)

《圆的基本性质》全章复习与巩固（提高）【学习目标】1．理解圆及其有关概念，了解点与圆的位置关系.2. 认识图形的旋转，理解图形的旋转的性质.3. 理解圆的性质，垂径定理，圆心角定理，圆周角定理.4. 理解圆内接四边形的性质.5．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积.6. 会初步综合应用圆的有关知识，解决一些简单的实际问题.【知识网络】【要点梳理】要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角1．圆的定义（1）线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.（2）圆是到定点的距离等于定长的点的集合.（3）不在同一条直线上的三个点确定一个圆.要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.2.点与圆的位置关系判定一个点P是否在⊙O上设⊙O的半径为，OP=，则有点P在⊙O 外；点P在⊙O 上；点P在⊙O 内.要点诠释：点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.3.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.4．与圆有关的角圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.在同圆或者等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等.圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.在同圆或者等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等.5. 圆内接四边形圆内接四边形的对角互补.要点二、图形的旋转在平面内，一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转.这个定点叫做旋转中心，转过的角叫做旋转角.图形经过旋转所得的图形和原图形全等.对应点到旋转中心的距离相等.任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度.要点三、正多边形各边相等，各内角也相等的多边形是正多边形．要点诠释：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).正多边形的外接圆和圆的内接正多边形正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．要点四、弧长及扇形的面积圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】类型一、圆的基础知识1. 如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°,点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行（或重合）的直线与⊙O有公共点, 设OP=x，则x的取值范围是（）.≤x≤2C．0≤x≤2 D．x＞2 A．－1≤x≤1 B．2【答案】C；【解析】如图，平移过P点的直线到P′，使其与⊙O相切，设切点为Q，连接OQ，由切线的性质，得∠OQP′=90°，∵OA∥P′Q，∴∠OP′Q=∠AOB=45°，∴△OQP′为等腰直角三角形，在Rt△OQP′中，OQ=1，OP′=2，∴当过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点时，0≤OP≤，当点P在x轴负半轴即点P向左侧移动时，结果相同．故答案为：0≤OP≤2．【总结升华】本题考查了直线与圆的位置关系问题．关键是通过平移，确定直线与圆相切的情况，求出此时OP的值．举一反三：【变式】如图，已知⊙O是以数轴的原点为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°，点P在数轴上运动，若过点P且与OB平行的直线于⊙O有公共点，设P（x，0），则x的取值范围是（）.A．-1≤x＜0或0＜x≤1 B．0＜x≤1 C．-2≤x＜0或0＜x≤2 D．x＞1【答案】∵⊙O是以数轴的原点为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°，∴过点P′且与OB平行的直线与⊙O相切时，假设切点为D，∴OD=DP′=1，OP′=2，∴0＜OP≤2，同理可得，当OP与x轴负半轴相交时，-2≤OP＜0，∴-2≤OP＜0，或0＜OP≤2．故选C．类型二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理=，2．如图所示，已知在⊙O中，AB是⊙O的直径，弦CG⊥AB于D，F是⊙O上的点，且CF CB BF交CG于点E，求证：CE＝BE．【答案与解析】证法一：如图(1)，连接BC，=．∵ AB是⊙O的直径，弦CG⊥AB，∴CB GB∵ CF BC =，∴ CF GB =．∴ ∠C ＝∠CBE ．∴ CE ＝BE ．证法二：如图(2)，作ON ⊥BF ，垂足为N ，连接OE ．∵ AB 是⊙O 的直径，且AB ⊥CG ，∴ CB BG =．∵ CB CF =，∴ CF BC BG ==．∴ BF ＝CG ，ON ＝OD ．∵ ∠ONE ＝∠ODE ＝90°，OE ＝OE ，ON ＝OD ，∴ △ONE ≌△ODE ，∴ NE ＝DE ．∵ 12BN BF =，12CD CG =， ∴ BN ＝CD ，∴ BN-EN ＝CD-ED ，∴ BE ＝CE ．证法三：如图(3)，连接OC 交BF 于点N ．∵ CF BC =，∴ OC ⊥BF ．∵ AB 是⊙O 的直径，CG ⊥AB ，∵ BG BC =，CF BG BC ==．∴ BF CG =，ON OD =．∵ OC ＝OB ，∴ OC-ON ＝OB-OD ，即CN ＝BD ．又∠CNE ＝∠BDE ＝90°，∠CEN ＝∠BED ，∴ △CNE ≌△BDE ，∴ CE ＝BE ．【总结升华】上述各种证明方法，虽然思路各异，但都用到了垂径定理及其推论．在平时多进行一题多解、一题多证、一题多变的练习，这样不但能提高分析问题的能力，而且还是沟通知识体系、学习知识，使用知识的好方法．举一反三：【变式】如图所示，在⊙O 内有折线OABC,其中OA=8,AB=12,∠A=∠B=60°,则BC 的长为（）A ．19B ．16C ．18D ．20【答案】如图，延长AO交BC于点D,过O作OE⊥BC于E.则三角形ABD为等边三角形，DA=AB=BD=12，OD=AD-AO=4在Rt△ODE中，∠ODE=60°，∠DOE=30°,则DE=12OD=2，BE=BD-DE=10OE垂直平分BC，BC=2BE=20. 故选D类型三、图形的旋转3．如图，△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（）A．4，30°B．2，60°C．1，30°D．3，60°【思路点拨】利用旋转和平移的性质得出，∠A′B′C=60°，AB=A′B′=A′C=4，进而得出△A′B′C是等边三角形，即可得出BB′以及∠B′A′C的度数．【答案】B；解：∵∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，∴∠A′B′C=60°，AB=A′B′=A′C=4，∴△A′B′C是等边三角形，∴B′C=4，∠B′A′C=60°，∴BB′=6-4=2，∴平移的距离和旋转角的度数分别为：2，60°．【总结升华】此题主要考查了平移和旋转的性质以及等边三角形的判定等知识，得出△A′B′C是等边三角形是解题关键．类型四、圆中有关的计算4．如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，点D是的中点，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若OF=4，求AC的长度．【思路点拨】（1）先连接OD、AD，根据点D是的中点，得出∠DAO=∠DAC，进而根据内错角相等，判定OD∥AE，最后根据DE⊥OD，得出DE与⊙O相切；（2）先连接BC交OD于H，延长DF交⊙O于G，根据垂径定理推导可得OH=OF=4，再根据AB是直径，推出OH是△ABC的中位线，进而得到AC的长是OH长的2倍．【答案与解析】解：（1）DE与⊙O相切．证明：连接OD、AD，∵点D是的中点，∴=，∴∠DAO=∠DAC，∵OA=OD，∴∠DAO=∠ODA，∴∠DAC=∠ODA，∴OD∥AE，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE与⊙O相切．（2）连接BC交OD于H，延长DF交⊙O于G，由垂径定理可得：OH⊥BC，==，∴=，∴DG=BC，∴弦心距OH=OF=4，∵AB是直径，∴BC⊥AC，∴OH∥AC，∴OH是△ABC的中位线，∴AC=2OH=8．【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，通常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．本题也可以根据△ODF与△ABC相似，求得AC的长．举一反三：【变式】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，FO⊥AB，垂足为点O，连接AF并延长交⊙O于点D，连接OD交BC于点E，∠B=30°，FO=2．（1）求AC的长度；（2）求图中阴影部分的面积．（计算结果保留根号）【答案】解：（1）∵OF⊥AB，∴∠BOF=90°，∵∠B=30°，FO=2，∴OB=6，AB=2OB=12，又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC=AB=6；（2）∵由（1）可知，AB=12，∴AO=6，即AC=AO，在Rt△ACF和Rt△AOF中，∴Rt△ACF≌Rt△AOF，∴∠FAO=∠FAC=30°，∴∠DOB=60°，过点D作DG⊥AB于点G，∵OD=6，∴DG=3，∴S△ACF+S△OFD=S△AOD=×6×3=9，即阴影部分的面积是9．类型五、圆与其他知识的综合运用5．.【答案与解析】延长DB至点E，使BE＝DC，连结AE∵△ABC是等边三角形∴∠ACB＝∠ABC＝60°，AB＝AC∴∠ADB＝∠ACB＝60°∵四边形ABDC是圆内接四边形∴∠ABE＝∠ACD在△AEB和△ADC中，∴△AEB≌△ADC∴AE＝AD∵∠ADB＝60°∴△AED是等边三角形∴AD＝DE＝DB＋BE∵BE＝DC∴DB＋DC＝DA.【总结升华】由已知条件，等边△ABC可得60°角，根据圆的性质，可得∠ADB＝60°，利用截长补短的方法可得一个新的等边三角形，再证两个三角形全等，从而转移线段DC.本例也可以用其他方法证明.如：（1）延长DC至F，使CF＝BD，连结AF，再证△ACF≌△ABD，得出AD＝DF，从而DB＋CD＝DA.（2）在DA上截取DG＝DC，连结CG，再证△BDC≌△AGC，得出BD＝AG，从而DB＋CD＝DA.6．如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是（）.A. 3πB. 6πC. 5πD. 4π【答案】B；【解析】阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积-以AB为直径的半圆的面积=扇形ABB′的面积．则阴影部分的面积是：=6π故选B．【总结升华】根据阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积-以AB为直径的半圆的面积=扇形ABB′的面积．即可求解．举一反三：【变式】某中学举办校园文化艺术节，小颖设计了同学们喜欢的图案“我的宝贝”，图案的一部分是以斜边长为12cm的等腰直角三角形的各边为直径作的半圆，如图所示，则图中阴影部分的面积为( ).A. B.72 C.36 D.72【答案】本题解法很多，如两个小半圆面积和减去两个弓形面积等.但经过认真观察等腰直角三角形其对称性可知，阴影部分的面积由两个小半圆面积与三角形面积的和减去大半圆面积便可求得，所以由已知得直角边为，小半圆半径为(cm)，因此阴影部分面积为.故选C.《圆的基本性质》全章复习与巩固—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1.对于下列命题：①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任意三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形．其中，正确的有( )．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．圆锥的底面半径为4cm，高为5cm，则它的表面积为（）A．12πcm2B．26πcm2C．πcm2 D．（4+16）πcm23．设计一个商标图案，如图所示，在矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=8cm，以A为圆心、AD的长为半径作半圆，则商标图案(阴影部分)的面积等于( ).A.(4π+8)cm2B.(4π+16)cm2C.(3π+8)cm2D.(3π+16)cm24．如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM．若⊙O的半径为2，OP=4，则线段OM的最小值是（）A．0 B．1 C．2 D．35. “圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用数学语言可表示为：如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD的长为( )A．12.5寸 B．13寸 C．25寸D．26寸6.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°．如果将该三角形绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，点B1恰好落在边BC的中点处．那么旋转的角度等于（）A．55°B．60°C．65°D．80°7．一条弦的两个端点把圆周分成4:5两部分，则该弦所对的圆周角为( )．A．80° B．100° C．80°或100° D．160°或200°8．如图，圆O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（）A．22．4 C．42 D．8二、填空题9．如下左图，是的内接三角形，，点P在上移动(点P不与点A、C重合)，则的变化范围是__ ________.10.如图，⊙0中，弦AB与弦CD交于E，连接AC，OE，BD，若AE=BE，AC∥0E，则∠CDB=．11．如图，半圆O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为______cm.12.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF=45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为_______.13.如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点D、E，连结OD、OE，若∠A=65°，则∠DOE=_______.14.已知正方形ABCD2a，截去四个角成一正八边形，则这个正八边形EFGHIJLK的边长为____ ____，面积为_____ ___．15．如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°，给出以下五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧是劣弧的2倍；⑤AE=BC，其中正确的序号是．16.如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为_______.三、解答题17.（二模）如图，已知四边形ABCD内接于圆，对角线AC与BD相交于点E，F在AC上，AB=AD，∠BFC=∠BAD=2∠DFC．（1）若∠DFC=40°，求∠CBF的度数；（2）求证：CD⊥DF．18.已知：如图，∠PAQ=30°，在边AP上顺次截取AB=3cm，BC=10cm，以BC为直径作⊙O交射线AQ于E、F两点，求：（1）圆心O到AQ的距离；（2）线段EF的长．19．如图，相交两圆的公共弦长为120cm，它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边.求两圆相交弧间阴影部分的面积.20.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC=DE．（1）求证：∠A=∠AEB；（2）连接OE，交CD于点F，OE⊥CD，求证：△ABE是等边三角形．【答案与解析】一、选择题1.【答案】B；【解析】任意一个圆的内接三角形和外切三角形都可以作出无数个．①③正确，②④错误，故选B．2.【答案】D.【解析】底面半径为4cm，则底面周长=8πcm，底面面积=16πcm2；由勾股定理得，母线长=cm，圆锥的侧面面积=×8π×=4πcm2，∴它的表面积=16π+4π=（4+16）πcm2，故选D．3．【答案】A.；【解析】对图中阴影部分进行分析，可看做扇形、矩形、三角形的面积和差关系.∵矩形ABCD中，AB=2BC，AB=8cm，∴ AD=BC=4cm，∠DAF=90°，，，又AF=AD=4cm，∴，∴.4．【答案】B.【解析】设OP与⊙O交于点N，连结MN，OQ，如图，∵OP=4，ON=2，∴N是OP的中点，∵M为PQ的中点，∴MN为△POQ的中位线，∴MN=OQ=×2=1，∴点M在以N为圆心，1为半径的圆上，当点M在ON上时，OM最小，最小值为1，∴线段OM的最小值为1．故选B．5．【答案】D；【解析】因为直径CD垂直于弦AB，所以可通过连接OA(或OB)，求出半径即可.根据“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”，知(寸)，在Rt△AOE中，，即，解得OA=13，进而求得CD=26(寸).故选D.6.【答案】B；【解析】∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将该三角形绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，点B1恰好落在边BC的中点处，∴AB1=12BC，BB1=B1C，AB=AB1，∴BB1=AB=AB1，∴△ABB1是等边三角形，∴∠BAB1=60°，∴旋转的角度等于60°．7．【答案】C；【解析】圆周角的顶点在劣弧上时，圆周角为5136010092⨯⨯=°°；圆周角的顶点在优弧上时，圆周角为413608092⨯⨯=°°．注意分情况讨论．8.【答案】C；【解析】∵∠A=22.5°，∴∠BOC=2∠A=45°，∵圆O的直径AB垂直于弦CD，∴CE=DE，△OCE为等腰直角三角形，∴CE=OC=2，∴CD=2CE=4．二、填空题9．【答案】；10.【答案】90°；【解析】∵AE=BE，∴OE⊥AB，即∠OEB=90°，∵AC∥OE，∴∠CAE=∠OEB=90°，∴∠CDB=∠CAE=90°．11.【答案】45；【解析】连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵∠CAD=∠BAD（角平分线的性质），∴D=BDC，∴∠DOB=∠OAC=2∠BAD，∴△AOF≌△ODE，∴OE=AF=AC=3（cm），在Rt△DOE中，DE==4（cm），在Rt△ADE中，AD==4（cm）．12.【答案】2；【解析】将△DAF绕点A顺时针旋转90度到△BAF′位置，根据旋转的性质得出∠EAF′=45°，进而得出△FAE≌△EAF′，即可得出EF+EC+FC=FC+CE+EF′=FC+BC+BF′=4，得出正方形边长即可．13.【答案】50°；【解析】∵BC为，⊙O的直径，∴∠CEB=∠AEB=90°，∵∠A=65°，∴∠ABE=25°，∴∠DOE=2∠ABE=50°.14.【答案】21)a；2(222)a；【解析】正方形ABCD外接圆的直径就是它的对角线，由此求得正方形边长为a．如图所示，设正八边形的边长为x．在Rt△AEL中，LE＝x，AE＝AL＝22x，∴222x x a⨯+=，21)x a =，即正八边形的边长为(21)a -．222224[(21)](222)AEL S S S a x a a a =-=-=--=-△正方形正八边形．15.【答案】①②④；【解析】连接AD ，AB 是直径，则AD⊥BC，又∵△ABC 是等腰三角形，故点D 是BC 的中点，即BD=CD ，故②正确； ∵AD 是∠BAC 的平分线，由圆周角定理知，∠EBC=∠DAC=∠BAC=22.5°，故①正确； ∵∠ABE=90°﹣∠EBC﹣∠BAD=45°=2∠CAD，故④正确； ∵∠EBC=22.5°，2EC≠BE，AE=BE ，∴AE≠2CE，③不正确； ∵AE=BE，BE 是直角边，BC 是斜边，肯定不等，故⑤错误．综上所述，正确的结论是：①②④．16.【答案】72；【解析】连接OA ，OB ，OC ，作CH 垂直于AB 于H ．根据垂径定理，得到BE=12AB=4，CF=12CD=3，由勾股定理∴OE=3，OF=4，∴CH=OE+OF=3+4=7，BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7，在直角△BCH 中根据勾股定理得到BC=72，则PA+PC 的最小值为72．三、解答题 17.【解析】解：（1）∵∠ADB=∠ACB ，∠BAD=∠BFC ，∴∠ABD=∠FBC，又∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∴∠CBF=∠BCF，∵∠BFC=2∠DFC=80°，∴∠CBF==50°；（2）令∠CFD=α，则∠BAD=∠BFC=2α，∵四边形ABCD是圆的内接四边形，∴∠BAD+∠BCD=180°，即∠BCD=180°﹣2α，又∵AB=AD，∴∠ACD=∠ACB，∴∠ACD=∠ACB=90°﹣α，∴∠CFD+∠FCD=α+（90°﹣α）=90°，∴∠CDF=90°，即CD⊥DF．18.【解析】解：（1）过点O作OH⊥EF，垂足为点H，∵OH⊥EF，∴∠AHO=90°，在Rt△AOH中，∵∠AHO=90°，∠PAQ=30°，∴OH=AO，∵BC=10cm，∴BO=5cm．∵AO=AB+BO，AB=3cm，∴AO=3+5=8cm，∴OH=4cm，即圆心O到AQ的距离为4cm．（2）连接OE，在Rt△EOH中，∵∠EHO=90°，∴EH 2+HO 2=EO 2， ∵EO=5cm ，OH=4cm ， ∴EH===3cm ，∵OH 过圆心O ，OH ⊥EF ， ∴EF=2EH=6cm ．19.【解析】解：∵公共弦AB ＝120r R a 6624222212060603=-⎛⎝ ⎫⎭⎪=-=.20．【答案与解析】证明：（1）∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形， ∴∠A+∠BCD=180°， ∵∠DCE+∠BCD=180°， ∴∠A=∠DCE， ∵DC=DE，∴∠DCE=∠AEB， ∴∠A=∠AEB；（2）∵∠A=∠AEB， ∴△ABE 是等腰三角形， ∵EO⊥CD， ∴CF=DF，∴EO是CD的垂直平分线，∴ED=EC，∵DC=DE，∴DC=DE=EC，∴△DCE是等边三角形，∴∠AEB=60°，∴△ABE是等边三角形．。

浙教版九年级上第三章圆复习

第三章圆的基本性质复习题分点突破知识点1 圆的有关概念1．如图，在⊙O 中，点A ，O ，D 在一条直线上，点B ，O ，C 在一条直线上，那么图中有弦（）A ．2条B ．3条C ．4条D ．5条2．(湘西中考)⊙O 的半径为5，点A 到圆心O 的距离OA ＝3 cm ，则点A 与圆O 的位置关系为（）A ．点A 在圆上B ．点A 在圆内C ．点A 在圆外D ．无法确定3．(绍兴中考)如图，已知点A (0，1)，B (0，－1)，以点A 为圆心，AB 为半径作圆，交x 轴的正半轴于点C ，则∠BAC 等于度．知识点2 图形的旋转4．(宜宾中考)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，将△ABC 绕点A 逆时针旋转，使点C 落在线段AB 上的点E 处，点B 落在点D 处，则B 、D 两点间的距离为（）A .10B ．2 2C ．3D ．2 5知识点3 垂径定理5．(宿迁中考)如图，在△ABC 中，已知∠ACB ＝130°，∠BAC ＝20°，BC ＝2，以点C 为圆心，CB 为半径的圆交AB 于点D ，则BD 的长为．6．如图，AB 为半圆直径，O 为圆心，C 为半圆上一点，E 是弧AC 的中点，OE 交弦AC 于点D ，若AC ＝8 cm ，DE ＝2 cm ，求OD 的长．知识点4 圆心角与圆周角7．(宝山一模)如果在两个圆中有两条相等的弦，那么（）A ．这两条弦所对的圆心角相等B ．这两条弦所对的弧相等C ．这两条弦都被与它垂直的半径平分D ．这两条弦所对的弦心距相等8．如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，∠ABC ＝30°，过圆心O 作OD ⊥BC交BC ︵于点D ，连结DC ，则∠DCB 的度数为（）A ．30°B ．45°C ．50°D ．60°9．(湖州中考)如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC .以AB 为直径作半圆O ，交BC 于点D .若∠BAC ＝40°，则AD ︵的度数是度．知识点5 正多边形的计算第3题第4题第5题10．(呼和浩特中考)已知⊙O 的面积为2π，则其内接正三角形的面积为（）A ．3 3B ．3 6C .32 3D .326 11．(泸州中考)以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（） A .38 B .34 C .24 D .28知识点6 弧长及扇形面积的计算12．如图，△ABC 是等边三角形，AC ＝6，以点A 为圆心，AB 长为半径画弧DE ，若∠1＝∠2，则弧DE 的长为（C ）A ．πB ．1.5πC ．2πD ．3π13．(赤峰中考)如图，⊙O 的半径为1，分别以⊙O 的直径AB 上的两个四等分点O 1，O 2为圆心，12为半径作圆，则图中阴影部分的面积为（） A ．π B .12π C .14π D ．2π 中考题型备考演练14．如图，△ABC 中，∠A ＝50°，O 是BC 的中点，以O 为圆心，OB 长为半径画弧，分别交AB ，AC 于点D ，E ，连结OD ，OE ，测量∠DOE 的度数是（）A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°15．(龙东中考)如图，⊙O 的半径是2，AB 是⊙O 的弦，点P 是弦AB 上的动点，且1≤OP ≤2，则弦AB 所对的圆周角的度数是（）A ．60°B ．120°C ．60°或120°D ．30°或150°16．(烟台中考)如图，在正方形纸片ABCD 中，EF ∥AD ，M ，N 是线段EF 的六等分点，若把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A 与点D 重合，此时，底面圆的直径为10 cm ，则圆柱上M ，N 两点间的距离是 cm ．17．如图，△ABC 中，∠BAC ＝60°，∠ABC ＝45°，AB ＝22，D 是线段BC 上的一个动点，以AD 为直径画⊙O分别交AB 、AC 于点E 、F ，连结EF ，则线段EF 长度的最小值为．18．(青岛中考)如图，圆内接四边形ABCD 两组对边的延长线分别相交于点E 、F ，且∠A ＝55°，∠E ＝30°，则∠F ＝．19．(天津中考)已知⊙O 的直径为10，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠CAB 的平分线交⊙O 于点D ．（1）如图1，若BC 为⊙O 的直径，AB ＝6，求AC ，BD ，CD 的长；（2）如图2，若∠CAB＝60°，求BD 的长．第15题第16题第17题第18题20．(襄阳中考)如图，在正方形ABCD 中，AD ＝2，E 是AB 的中点，将△BEC 绕点B 逆时针旋转90°后，点E 落在CB 的延长线上点F 处，点C 落在点A 处．再将线段AF 绕点F 顺时针旋转90°得线段FG ，连结EF ，CG ．（1）求证：EF ∥CG ；（2）求点C ，点A 在旋转过程中形成的AC ︵，AG ︵与线段CG 所围成的阴影部分的面积．。

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中考总复习：圆综合复习—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1．（2015•杨浦区三模）已知半径分别是3和5的两个圆没有公共点，那么这两个圆的圆心距d的取值范围是（）A．d＞8 B．d＞2 C．0≤d＜2 D．d＞8或d＜22．如图，等腰梯形ABCD内接于半圆D，且AB＝1，BC＝2，则OA＝( )A．132+B．2 C．323+D．152+3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝4 cm，以点C为圆心，以2 cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是( )A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交第2题第3题第5题4．已知圆O1、圆O2的半径不相等，圆O1的半径长为3，若圆O2上的点A满足AO1＝3，则圆O1与圆O2的位置关系是( )A．相交或相切 B．相切或相离 C．相交或内含 D．相切或内含5．如图所示，在圆O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝2，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为( )A．19 B．16 C．18 D．206．如图，MN是半径为0.5的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN 上一动点，则PA+PB的最小值为( )A．22B2 C．1 D．2二、填空题7．如图，分别以A，B为圆心，线段AB的长为半径的两个圆相交于C，D两点，则∠CAD的度数为_______．8．如图，现有圆心角为90°的一个扇形纸片，该扇形的半径是50cm．小红同学为了在圣诞节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10cm的圆锥形纸帽(接缝处不重叠)，那么被剪去的扇形纸片的圆心角应该是________度．第7题第8题第9题9．如图，AB⊥BC，AB＝BC＝2 cm，OA与OC关于点O中心对称，则AB、BC、CO、OA所围成的面积是________cm2．10．如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，C为切点，若两圆的半径分别为3 cm和5 cm，则AB的长为________cm．11．将半径为4 cm的半圆围成一个圆锥，在圆锥内接一个圆柱(如图所示)，当圆柱的侧面的面积最大时，圆柱的底面半径是________cm．第10题第11题12．（2015•安徽模拟）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB 于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①∠BOC=90°+∠A；②以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切；③设OD=m，AE+AF=n，则S△AEF=mn；④EF是△ABC的中位线．其中正确的结论是．三、解答题13．（2015•滕州市校级模拟）如图，已知点E在△ABC的边AB上，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，且D在以AE为直径的⊙O上．（1）证明：BC是⊙O的切线；（2）若DC=4，AC=6，求圆心O到AD的距离；（3）若，求的值．14．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，斜边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，连接BE．(1)若BE是△DEC外接圆的切线，求∠C的大小；(2)当AB＝1，BC＝2时，求△DEC外接圆的半径．15．如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O的切线，切点为F，FH∥BC，连接AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连接BF．(1)证明：AF平分∠BAC；(2)证明：BF＝FD；(3)若EF＝4，DE＝3，求AD的长．16. 如图，已知：AC是⊙O的直径，PA⊥AC，连接OP，弦CB∥OP，直线PB交直线AC于D，BD＝2PA．(1)证明：直线PB是⊙O的切线；(2)探究线段PO与线段BC之间的数量关系，并加以证明；(3)求sin∠OPA的值．【答案与解析】一、选择题1.【答案】D ；【解析】没有公共点的两个圆的位置关系，应该是内含和外离，当内含时，这两个圆的圆心距d的取值范围是d＜R﹣r，即d＜2；当外离时，这两个圆的圆心距d的取值范围是d＞R+r，即d＞8．故选D．2.【答案】A ；【解析】作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别是E，F，连接BD，则AE＝DF，∠ABD＝90°，EF＝BC＝2，设AE＝x，则AD＝2+2x．由△ABE∽△ADB可得AE AB AB AD=，即1122xx=+，解得132x-+=．∴ AD＝2+2x＝1+3，则132OA+=．3.【答案】B ；【解析】如图，过C作CD⊥AB于D，在Rt△CBD中，BC＝4cm，∠B＝30°，∴ CD＝12BC＝1422⨯=(cm)．又⊙C的半径为2cm，∴ d＝r．∴直线AB与⊙C相似．4.【答案】A ；【解析】因为AO1＝3，所以点A在圆O1上，又因为点A在圆O2上，所以圆O1与圆O2的位置关系是相交或相切．5.【答案】D ；【解析】延长AO交BC于D点，过O作OE⊥BD于E．∵∠A＝∠B＝60°，∴∠ADB＝60°．∴△DAB是等边三角形，BD＝AB＝12．在Rt△ODE中，OD＝12-8＝4，∠ODE＝60°，∴ DE ＝OD ·cos 60°＝1422⨯=，∴ BE ＝10，故BC ＝2BE ＝2×10＝20． 6.【答案】A ；【解析】过B 作BB ′⊥MN 交⊙O 于B ′，连接AB ′交MN 于P ，此时PA+PB ＝AB ′最小．连AO 并延长交⊙O 于C ，连接CB ′，在Rt △ACB ′中，AC ＝1，∠C ＝190452⨯=°°， ∴ 22sin 45122AB AC '==⨯=°．二、填空题7．【答案】120°；【解析】连接BC ，BD ，则△ABC 与△ABD 都是等边三角形，故∠CAB ＝∠DAB ＝60°，所以∠CAD ＝60°+60°＝120°．8．【答案】18 ；【解析】设被剪去的扇形纸片的圆心角为θ度，则由题意(90)50210180θππ-⨯=⨯⨯． ∴ θ＝18．9．【答案】2 ；【解析】连接AC ，因为OA 与OC 关于点O 中心对称，所以A ，O ，C 三点共线，AO CO S S =弧形弧形，所以所求圆形的面积＝△ABC 的面积1122222AB BC ==⨯⨯=(cm 2)． 10．【答案】8 ；【解析】连接OC ，OA ，则OC 垂直平分AB ，由勾股定理知2222534AC OA OC =-=-=，所以AB ＝2AC ＝8．11．【答案】1 ；【解析】如图是几何体的轴截面，由题意得OD ＝OA ＝4，2πCD ＝4π，∴ CD ＝2．则22224223OC OD CD =--=．设EF ＝x ，EC ＝y ，由△OEF ∽△OCD 得23223x x -=， ∴ 233y x =-．∴ 2222(233)23(2)23(1)23S xy r x x x x πππππ==-=--=--+圆柱侧面积． ∴ 当x ＝1时，S 有最大值23π．12．【答案】①②；【解析】如图∵∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，∴∠ABC=2∠1，∠ACB=2∠2，而∠ABC+∠ACB+∠A=180°，∴2∠1+2∠2+∠A=180°，∴∠1+∠2=90°﹣∠A，又∵∠1+∠2+∠BOC=180°，∴180°﹣∠BOC=90°﹣∠A，∴∠BOC=90°∠A，所以①正确；∵EF∥BC，∴∠1=∠3，∠2=∠4，而∠1=∠EBO，∠2=∠FCO，∴∠EBO=∠3，∠4=∠FCO，∴EB=EO，FC=FO ，∴BE+FC=EF，∴以E 为圆心、BE 为半径的圆与以F 为圆心、CF 为半径的圆外切，所以②正确；连OA ，过O 作OG⊥AE 于G ，如图，∵点O 为△ABC 的内心，∴OA 平分∠BAC，∴OG=OD=m，∴S △AEF =S △OAE +S △OAF =AE•m+AF•m=（AE+AF ）•m=mn ，所以③不正确； ∵EB=EO，FC=FO ，若EF 是△ABC 的中位线，则EB=AE ，FC=AF ，∴AE=EO，AF=FO ，∴AE+AF=EO+FO=EF，这不符合三角形三边的关系，所以④不正确．故答案为：①②．三、解答题13.【答案与解析】解：（1）连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC，∵OA=OD，∴∠BAD=∠ODA，∴∠ODA=∠DAC，∴AC∥OD，∵∠C=90°，∴∠ODC=90°，即BC是⊙O的切线．（2）在Rt△ADC中，∠ACD=90°，由勾股定理，得：，作OF⊥AD于F，根据垂径定理得可证△AOF∽△ADC∴∴∴；（3）连接ED，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC，∵AE为直径，∴∠ADE=90°，∴在Rt△AED中，tan∠EAD==tan∠DAC=，∵∠AED=90°，∴∠EDB+∠ADC=90°，∵∠DAC+∠ADC=90°，∴∠EDB=∠DAC=∠EAD，∵∠B=∠B，∴△BED∽△BDA，∴．14.【答案与解析】(1)∵ DE 垂直平分AC ，∴ ∠DEC ＝90°． ∴ DC 为△DEC 外接圆的直径．∴ DC 的中点O 即为圆心．连接OE ，又知BE 是⊙O 的切线，∴ ∠EBO+∠BOE ＝90°．在Rt △ABC 中，E 是斜边AC 的中点，∴ BE ＝EC ．∴ ∠EBC ＝∠C ．又∵ ∠BOE ＝2∠C ，∴ ∠C+2∠C ＝90°．∴ ∠C ＝30°．(2)在Rt △ABC 中，225AC AB BC =+=， ∴ 1522EC AC ==． ∵ ∠ABC ＝∠DEC ＝90°，∴ △ABC ∽△DEC ．∴AC BC DC EC =．∴ 54DC =． ∴ △DEC 外接圆的半径为58．15.【答案与解析】(1)证明：连接OF ．∵ FH 是⊙O 的切线，∴ OF ⊥FH ．∵ FH ∥BC ，∴ OF 垂直平分BC ．∴ BF FC =．∴ AF 平分∠BAC ．(2)证明：由(1)及题设条件可知∠1＝∠2，∠4＝∠3，∠5＝∠2，∴ ∠1+∠4＝∠2+∠3．∴ ∠1+∠4＝∠5+∠3，即∠FDB ＝FBD ．∴ BF ＝FD ．(3)解：在△BFE 和△AFB 中，∵ ∠5＝∠2＝∠1，∠BFE ＝∠AFB ，∴ △BFE ∽△AFB ．∴ BF AF FE BF =， ∴ 274944FA ==， ∴ 4921744AD =-=．16.【答案与解析】(1)证明：连接OB ．∵ BC ∥OP ，∴ ∠BCO ＝∠POA ，∠CBO ＝∠POB ．又∵ OC ＝OB ，∴ ∠BCO ＝∠CBO ．∴ ∠POB ＝∠POA ．又∵ PO ＝PO ，OB ＝OA ，∴ △POB ≌△POA ． ∴ ∠PBO ＝∠PAO ＝90°．∴ PB 是⊙O 的切线．(2)解：2PO ＝3BC ．(写PO ＝32BC 亦可) 证明：∵ △POB ≌△POA ，∴ PB ＝PA ．∵ BD ＝2PA ，∴ BD ＝2PB ．∵ BC ∥PO ，∴ △DBC ∽△DPO ．∴ 23BC BD PO PD ==， ∴ 2PO ＝3BC ．(3)解：∵ △DBC ∽△DPO ，∴ 23DC BD DO PD ==，即23DC OD =， ∴ DC ＝2OC ．设OA ＝x ，PA ＝y ，则OD ＝3x ，OB ＝x ，BD ＝2y ．在Rt △OBD 中，由勾股定理，得(3x)2＝x 2+(2y)2，即2x 2＝y 2．∵ x ＞0，y ＞0，∴ 2y x =，223OP x y x =+=．∴ sinOA OPA OP ∠====。