数列的通项公式及求和

课题：数列的通项公式及求和

活动一：知识点梳理

1.求数列的通项的常用方法

（1）观察法：根据数列的前几项，写出它的一个通项公式，关键在于找出这些项与项数之间的关系。

（2）公式法：等差数列（等比数列）采用首项与公差(公比)确定的方法。

（3）由n S 求n a 时，用公式1

112n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩。

（4）叠加（乘）法：已知数列{}n a 中，满足1(),(1)(2)()n n a a f n f f f n +-=+++L 且可求，

则可用叠加法求数列的通项；已知数列{}n a 中，满足

1()n n a f n a +=且(1)(2)()f f f n L 可求，则可用叠加乘法求数列的通项。

（5）构造法：例如，已知数列{}n a 中，满足1n n a pa q +=+（,p q 为常数，且1p ≠）；又如，构造成有关数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭、2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭

的形式。 2.求数列的前n 项和，一般有下列几种方法：

（1）公式法①等差数列的前n 项和公式：n S = ＝ ．

②等比数列的前n 项和公式：1,n q S ==当时 ．

1,n q S ≠=当时 = ．

（2）分组求和法

（3）倒序相加法：例如，等差数列前n 项和公式的推导过程。

（4）错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．

（5）裂项求和法：把一个数列分成几个可直接求和的数列．

)1(1+n n = ，=+-)12)(12(1n n ，=++1

1n n （6）对通项中含有(1)n -的数列，求前n 项和时，应注意讨论n 的奇偶性．

活动二：基础自测

1. 如果数列{}n a 满足121321,,,,,n n a a a a a a a ----L L 是首项为1，公比为3的等比数列，则n a = .

2. 数列111111,3,5,7,,(21),248162n n -+L L 的前n 项和n S 的值等于 . 已知等差数列{}n a 的前三项分别为1,21,7a a a -++,则这个数列的通项公式为 .

3. 如果数列{}n a 满足122,1a a ==，且

1111(2)n n n n n n n n a a a a n a a a a -+-+--=≥，则此数列的第10项为 .

4. 设函数()m f x x ax =+的导数为()21f x x '=+，则数列1()()n N f n *⎧⎫∈⎨

⎬⎩⎭

的前n 项和是 .

5.设{}n a 是首项为1的正项数列，且2211(1)0(1,2,3,)n n n n n a na a a n -++-+==L .则它的通项公式是n a = .

6.数列{}n a 的通项公式是12n a n =-,其前n 项和为n S ，则数列n S n ⎧⎫⎨

⎬⎩⎭的前11项和为 . 7.已知等比数列{}n a 的前n 项和为1136

n n S x -=⋅-，则x 的值为 . 8.若数列{}n a 满足211231333()3

n n n a a a a n N -*+++++=∈L ,则n a = . 活动三：典型例题

例1. 已知数列{}n a 的前n 项和n S ，求通项．(1)32n n S =- 2(2)31n S n n =++

例2. 根据下面数列{}n a 的首项和递推关系，探求其通项公式．

11(1)1,21

(2)n n a a a n -==+≥ 111(2)1,3(2)n n n a a a n --==+≥

111(3)1,(2)n n n a a a n n

--==≥ )4(1121,2n

n n a a a a +==

+， )5(21=a ，1112,2

n n n n n a a a +++⋅=+

例3. （1）求和：n n a

n a a a S ++++=

Λ32321 （2）数列：11111111111,(1),(1),(1),,(1)224248242n -++++++++++L L ，求它的前n 项的和n S ． （3）设2

44)(+=x x x f ，求)1110()112()111(f f f +++Λ的值。

例4. 已知数列{}n a 中，11,a =当2n ≥时，其前n 项的和n S 满足21

2

n n n S a S =-（）. （1）求n S 的表达式；（2）设21

n n S b n =

+，求的{}n b 前n 项和n T .

活动四、反馈练习 1.已知数列{}n a 的前n 项的和n S 满足关系式lg(1),()n S n n N *-=∈，则数列{}n a 的通项公式

为 ．

2.设x x f 222

)(+=，则)2009()1()0()2007()2008(f f f f f +++++-+-ΛΛ=

3.在数列{}n a 中，11,a =)11ln(1n

a a n n ++=+，则=n a

4. 在数列{}n a 中，11,a =n n n a a 221+=+(1)设1

2n n n a b -=.证明：数列{}n b 是等差数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .

5. 已知数列{}n a 的前n 项和2()n S an bn c n N *=++∈，且1233,7,13S S S ===,

（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列⎭

⎬⎫⎩⎨

⎧+11n n a a 的前n 项和n T .

6.已知数列{}n a ，且1=+n n S a

（1） 求通项

（2） 若数列{}n b 满足：n n a b 4log 3+=，求n n b b b T +++=Λ21