北师大版九年级数学上典中点第一章整合提升专训一

专训一：利用矩形的性质巧解折叠问题名师点金：叠问题往往通过图形间的折叠找出线段或角与原图形之间的联系，从而得到折叠部分与原图形或其他图形之间的关系，即折叠前后的图形全等；在计算时，常常通过设未知数列方程求解．

利用矩形的性质巧求折叠中的角

1．当身边没有量角器时，怎样得到一些特定度数的角呢？动手操作有时可以解“燃眉之急”．如图，已知矩形纸片ABCD(矩形纸片要足够长)，我们按如下步骤操作可以得到一个特定的角：

(1)以点A所在直线为折痕，折叠纸片，使点B落在边AD上，折痕与BC交于点E；

(2)将纸片平展后，再一次折叠纸片，以点E所在直线为折痕，使点A落在BC上，折痕EF交AD于F，求∠AFE的度数．

(第1题)

利用矩形的性质巧求折叠中线段的长

2．(2015·衢州)如图①，将矩形ABCD沿DE折叠，使顶点A落在DC上的点A′处，然后将矩形展平，沿EF折叠，使顶点A落在折痕DE上的点G处．再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处．如图②.

(1)求证：EG＝CH；

(2)已知AF＝2，求AD和AB的长．

(第2题)

利用矩形的性质巧证线段的关系

3．如图，将矩形纸片ABCD 沿对角线BD 折叠，点C 落在点E 处，BE 交AD 于F ，连接AE.

求证：(1)BF ＝DF ；(2)AE ∥BD.

(第3题)

利用矩形的性质巧求线段的比

4．如图，将一张矩形纸片ABCD 沿直线MN 折叠，使点C 落在点A 处，点D 落在点E 处，直线MN 交BC 于点M ，交AD 于点N.

(1)求证：CM ＝CN ；

(2)若△CMN 的面积与△CDN 的面积比为3∶1，求MN DN

的值．

(第4题)

专训一

(第1题)

1．解：设折叠后，点A的对应点为点A′，点B的对应点为点B′，如图，由折叠的性质得∠AEF＝∠A′EF，∠BEA＝∠AEB′，BE＝B′E，AE＝EA′，∵∠BAB′＝∠ABE＝∠AB′E ＝90°，∴∠BEB′＝90°.

∴∠BEA＝∠AEB′＝45°.

又∠BEA＋∠AEF＋∠FEA′＝180°，

∴∠FEA′＝67.5°.

∵AD∥BC，

∴∠AFE＝∠FEA′＝67.5°.

(第2题)

2．(1)证明：由折叠知AE＝AD＝EG，BC＝CH.

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC.

∴EG＝CH.

(2)解：∵∠ADE＝45°，∠FGE＝∠A＝90°，AF＝2，

∴DG＝2，DF＝2.∴AD＝2＋ 2.

如图，由折叠知，∠1＝∠2，∠3＝∠4，

∴∠2＋∠4＝90°，∠1＋∠3＝90°.

∵∠1＋∠AFE ＝90°，

∴∠3＝∠AFE.

又∵∠A ＝∠B ＝90°，

由(1)知，AE ＝BC ，

∴△EFA ≌△CEB.

∴AF ＝BE.∴AB ＝AE ＋BE ＝AD ＋AF ＝2＋2＋2＝2＋2 2.

3．证明：(1)由折叠的性质可知，∠FBD ＝∠CBD ，因为AD ∥BC ，所以∠FDB ＝∠CBD ，所以∠FBD ＝∠FDB ，所以BF ＝DF.

(2)因为四边形ABCD 是矩形，所以AB ＝DC ，AD ＝BC ，由折叠的性质可知，DC ＝ED ＝AB ，BC ＝BE ＝AD ，又因为AE ＝AE ，所以△AEB ≌△EAD ，所以∠AEB ＝∠EAD ，所

以∠AEB ＝12(180°－∠AFE)．由(1)知∠DBE ＝∠BDF ，所以∠DBE ＝12

(180°－∠BFD)，而∠AFE ＝∠BFD ，所以∠AEB ＝∠DBE ，所以AE ∥BD.

4．(1)证明：由折叠的性质可得：∠ENM ＝∠DNM ，∵∠ENM ＝∠ENA ＋∠ANM ，∠DNM ＝∠DNC ＋∠CNM ，∠ENA ＝∠DNC ，∴∠ANM ＝∠CNM.∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC.∴∠ANM ＝∠CMN.

∴∠CMN ＝∠CNM.∴CM ＝CN.

(2)解：过点N 作NH ⊥BC 于点H ，则四边形NHCD 是矩形，∴HC ＝DN ，NH ＝

DC.∵△CMN 的面积与△CDN 的面积比为3∶1，∴S △CMN S △CDN ＝12·MC·NH 12

·DN·NH ＝MC DN ＝3.∴MC ＝3DN ＝3HC.∴MH ＝2HC.设DN ＝x ，则HC ＝x ，MH ＝2x ，∴CM ＝3x ＝CN.在Rt △CDN 中，DC ＝CN 2－DN 2＝22x ，

∴NH ＝22x.在Rt △MNH 中，MN ＝MH 2＋NH 2＝23x ，∴MN DN ＝23x x

＝2 3.