北师大版九年级数学上典中点第一章整合提升专训一
数学九年级典中点
数学九年级典中点
（最新版）
目录
1.数学九年级典中点的概念和意义
2.数学九年级典中点的求解方法
3.数学九年级典中点的实际应用
正文
【1】数学九年级典中点的概念和意义
数学九年级典中点，是指在数学中，一个三角形或者多边形的内部，到各个顶点的距离之和最小的点。
在几何学中，典中点也称为重心。
它可以用于解决许多与几何形状相关的数学问题，如计算三角形的面积、求解几何图形的稳定性等。
【2】数学九年级典中点的求解方法
数学九年级典中点的求解方法有多种，常见的有以下两种：
（1）欧拉线求解法：对于三角形，可以通过求解欧拉线与三角形边的交点来找到典中点。
欧拉线是指连接三角形的一个顶点和与其不相邻的两个顶点中点的线段。
（2）平行四边形法则：对于多边形，可以将多边形分割成若干个三角形，分别求解每个三角形的典中点，然后找到这些典中点的共同点，即为多边形的典中点。
【3】数学九年级典中点的实际应用
数学九年级典中点在实际生活中有许多应用，例如：
（1）在测量领域，典中点可以用于计算三角形的面积，从而帮助测量土地的面积。
（2）在建筑领域，典中点可以用于求解建筑物的稳定性，确保建筑物的结构安全。
（3）在物理学中，典中点可以用于分析物体的转动惯量，帮助研究物体在旋转过程中的运动规律。
总之，数学九年级典中点作为几何学中的一个基本概念，对于解决许多实际问题具有重要的意义。
2021北师大版九年级数学上：第一章 全章热门考点整合应用 (共57张PPT)
证明： ∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°. ∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB. ∴AC∥DE.∵MN∥AB，即CE∥AD， ∴四边形ADEC是平行四边形． ∴CE＝AD.
(2)当点D为AB的中点时，四边形BECD是什么特殊四
边形？请说明理由．
解： 四边形BECD是菱形． 理由：∵D为AB的中点，∴AD＝BD. ∵CE＝AD，∴BD＝CE. 又∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形． ∵∠ACB＝90°，D为AB的中点， ∴CD＝BD. ∴四边形BECD是菱形．
1 2
AB，DM＝
1 2
AB.∴CM＝DM.
又∵点N为CD的中点，∴MN⊥CD.
(2)解： ∵AB＝10，CD＝8，
∴DM＝
1 2
AB＝5，DN＝
1 2
CD＝4.
又MN⊥CD，∴MN＝ DM 2 DN 2 ＝3. 返回
考点 2 三个图形 （菱形） 2 ． 如 图 ， 在 等 腰 三 角 形 ABC 中 ， AB ＝ AC ， AD 平 分
6 ． ( 中 考 ·湘 西 州 ) 如 图 ， 在 ▱ ABCD 中 ， DE ⊥ AB ，
BF⊥CD，垂足分别为E，F.求证：
(2)四边形DEBF为矩形．
证明： ∵△ADE≌△CBF，∴AE＝CF.
∵CD＝AB，∴DF＝BE.
又∵CD∥AB，
∴四边形DEBF为平行四边形．
又∵∠DEB＝90°，
(3)若点D为AB的中点，则当∠A的大小满足什么条件
时，四边形BECD是正方形？请说明理由．
解： 当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形． 理由如下： ∵∠ACB＝90°，∠A＝45° ∴∠ABC＝∠A＝45°.∴AC＝BC. ∵点D为AB的中点，∴CD⊥AB.∴∠CDB＝90°. ∵四边形BECD是菱形，∴菱形BECD是正方形． 即当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形． 返回
山东省青岛2中度第一学期北师大九年级数学上册第一章_特殊平行四边形_经典培优试题解析
山东省青岛2中度第一学期北师大九年级数学上册第一章_特殊平行四边形_经典培优试题解析第一章特殊平行四边形经典培优试题解析学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1.在菱形ABCD中，∠ABC=60∘，E是对角线AC上一点，F是线段BC延伸线上一点，且CF=AE，衔接BE、EF．(1)假定E是线段AC的中点，如图1，易证：BE=EF〔不需证明〕；(2)假定E是线段AC或AC延伸线上的恣意一点，其它条件不变，如图2、图3，线段BE、EF有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；并选择一种状况给予证明．2.如下图，在矩形ABCD中，AB=12，AC=20，两条对角线相交于点O．以OB、OC为邻边作第1个平行四边形OBB1C，对角线相交于点A1；再以A1B1、A1C为邻边作第2个平行四边形A1B1C1C，对角线相交于点O1；再以O1B1、O1C1为邻边作第3个平行四边形O1B1B2C1…依此类推．(1)求矩形ABCD的面积；(2)求第1个平行四边形OBB1C，第2个平行四边形和第6个平行四边形的面积．3.如图(1)，菱形ABCD对角线AC、BD的交点O是四边形EFGH对角线FH的中点，四个顶点A、B、C、D区分在四边形EFGH的边EF、FG、GH、HE上．(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；=2，且菱形ABCD的面积是(2)如图(2)假定四边形EFGH是矩形，当AC与FH重合时，ACBD20，求矩形EFGH的长与宽．4.菱形ABCD中，∠B=60∘，点E在边BC上，点F在边CD上．〔1〕如图1，假定E是BC的中点，∠AEF=60∘，求证：BE=DF；〔2〕如图2，假定∠EAF=60∘，求证：△AEF是等边三角形．5.邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又剩下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，假定第n次操作余下的四边形是菱形，那么称原平行四边形为n阶准菱形．如图1，ABCD中，假定AB=1，BC=2，那么ABCD为1阶准菱形．(1)判别与推理：①邻边长区分为2和3的平行四边形是________阶准菱形；②小明为了剪去一个菱形，停止了如下操作：如图2，把ABCD沿BE折叠〔点E在AD上〕，使点A落在BC边上的点F，失掉四边形ABFE．请证明四边形ABFE是菱形．(2)操作、探求与计算：①ABCD的邻边长区分为1，a(a>1)，且是3阶准菱形，请画出ABCD及裁剪线的表示图，并在图形下方写出a的值；②ABCD的邻边长区分为a，b(a>b)，满足a=6b+r，b=5r，请写出ABCD是几阶准菱形．6.如图1，在菱形ABCD中，AC=2，BD=2√3，AC，BD相交于点O．(1)求边AB的长；(2)如图2，将一个足够大的直角三角板60∘角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点A左右旋转，其中三角板60∘角的两边区分与边BC，CD相交于点E，F，衔接EF与AC相交于点G．①判别△AEF是哪一种特殊三角形，并说明理由；②旋转进程中，当点E为边BC的四等分点时(BE>CE)，求CG的长．7.△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点〔点D不与B、C重合〕，以AD为边作菱形ADEF〔A、D、E、F按逆时针陈列〕，使∠DAF=60∘，衔接CF．(1)如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD=CF；②AC=CF+CD；(2)如图2，当点D在边BC的延伸线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD能否成立？假定不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；(3)如图3，当点D在边CB的延伸线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系．8.如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延伸线上，且PA=PE，PE交CD于F．〔1〕证明：PC=PE；〔2〕求∠CPE的度数；〔3〕如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，事先∠ABC=120∘，衔接CE，试探求线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．9.如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延伸线上恣意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，衔接EB，GD．(1)求证：EB=GD；(2)假定∠DAB=60∘，AB=2，AG=√3，求GD的长．10.如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60∘，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F．AC；(1)如图1，衔接AC区分交DE、DF于点M、N，求证：MN=13(2)如图2，将△EDF以点D为旋转中心旋转，其两边DE′、DF′区分与直线AB、BC相交于点G、P，衔接GP，当△DGP的面积等于3√3时，求旋转角的大小并指明旋转方向．11.如图，在Rt△ABC中，∠B=90∘，BC=5√3，∠C=30∘．点D从点C动身沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A动身沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点抵达终点时，另一个点也随之中止运动．设点D、E运动的时间是t秒(t>0)．过点D作DF⊥BC于点F，衔接DE、EF．(1)求证：AE=DF；(2)四边形AEFD可以成为菱形吗？假设能，求出相应的t值；假设不能，说明理由．(3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．12.如图1，将菱形纸片AB(E)CD(F)沿对角线BD(EF)剪开，失掉△ABD和△ECF，固定△ABD，并把△ABD与△ECF叠放在一同．(1)操作：如图2，将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处，△ECF绕点F在BD边上方左右旋转，设旋转时FC交BA于点H〔H点不与B点重合〕，FE交DA于点G〔G点不与D点重合〕．求证：BH⋅GD=BF2(2)操作：如图3，△ECF的顶点F在△ABD的BD边上滑动〔F点不与B、D点重合〕，且CF一直经过点A，过点A作AG // CE，交FE于点G，衔接DG．探求：FD+DG=________．请予证明．答案1.证明：(1)∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC，又∵∠ABC=60∘，∴△ABC是等边三角形，∵E是线段AC的中点，∠ABC=30∘，AE=CE，∴∠CBE=12∵AE=CF，∴CE=CF，∴∠F=∠CEF，∵∠F+∠CEF=∠ACB=60∘，∴∠F=30∘，∴∠CBE=∠F，∴BE=EF；(2)图2:BE=EF．…图3:BE=EF．…图2证明如下：过点E作EG // BC，交AB于点G，∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC，又∵∠ABC=60∘，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠ACB=60∘，…又∵EG // BC，∴∠AGE=∠ABC=60∘，又∵∠BAC=60∘，∴△AGE是等边三角形，…∴AG=AE，∴BG=CE，…又∵CF=AE，∴GE=CF，又∵∠BGE=∠ECF=120∘，∴△BGE≅△ECF(SAS)，…∴BE=EF；…图3证明如下：过点E作EG // BC交AB延伸线于点G，∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC，又∵∠ABC=60∘，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠ACB=60∘，…又∵EG // BC，∴∠AGE=∠ABC=60∘，又∵∠BAC=60∘，∴△AGE是等边三角形，…∴AG=AE，∴BG=CE，…又∵CF=AE，∴GE=CF，又∵∠BGE=∠ECF=60∘，∴△BGE≅△ECF(SAS)，…∴BE=EF．…2.解：(1)∵四边形ABCD是矩形，AC=20，AB=12∴∠ABC=90∘，BC=√AC2−AB2=√202−122=16∴S矩形ABCD=AB⋅BC=12×16=192．(2)∵OB // B1C，OC // BB1，∴四边形OBB1C是平行四边形．∵四边形ABCD是矩形，∴OB=OC，∴四边形OBB1C是菱形．∴OB1⊥BC，A1B=12BC=8，OA1=12OB1=√OB2−A1B2=6；∴OB1=2OA1=12，∴S菱形OBB1C =12BC⋅OB1=12×16×12=96；同理：四边形A1B1C1C是矩形，∴S矩形A1B1C1C=A1B1⋅B1C1=6×8=48；‥‥‥第n个平行四边形的面积是：S n=1922n∴S6=19226=3．3.(1)证明：∵点O是菱形ABCD对角线AC、BD的交点，∴OA=OC，OD=OB，∵点O是线段FH的中点，∴OF=OH．在△AOF和△COH中，有{OA=OC∠AOF=∠COH OF=OH，∴△AOF≅△COH(SAS)，∴∠AFO=∠CHO，∴AF // CH．同理可得：DH // BF．∴四边形EFGH是平行四边形．(2)设矩形EFGH的长为a、宽为b，那么AC=√a2+b2．∵AC BD =2，∴BD =12AC =√a2+b 22，OB =12BD =√a2+b 24，OA =12AC =√a2+b 22．∵四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，∴∠AOB =90∘．∵四边形EFGH 是矩形，∴∠AGH =90∘，∴∠AOB =∠AGH =90∘，又∵∠BAO =∠CAG ，∴△BAO ∽△CAG ，∴BO CG =OA AG ，即√a 2+b 24b =√a 2+b 22a ，解得：a =2b①．∵S 菱形ABCD =12AC ⋅BD =12⋅√a 2+b 2⋅√a 2+b 22=20，∴a 2+b 2=80②．联立①②得：{a =2b a 2+b 2=80， 解得：{a =8b =4，或{a =−8b =−4〔舍去〕． ∴矩形EFGH 的长为8，宽为4．4.证明：〔1〕衔接AC ，∵在菱形ABCD 中，∠B =60∘，∴AB =BC =CD ，∠C =180∘−∠B =120∘，∴△ABC 是等边三角形，∵E 是BC 的中点，∴AE ⊥BC ，∵∠AEF =60∘，∴∠FEC =90∘−∠AEF =30∘，∴∠CFE =180∘−∠FEC −∠ECF =180∘−30∘−120∘=30∘，∴∠FEC =∠CFE ，∴EC =CF ，∴BE =DF ；〔2〕∵△ABC 是等边三角形，∴AB =AC ，∠ACB =60∘，∴∠B =∠ACF =60∘，∵AD // BC ，∴∠AEB =∠EAD =∠EAF +∠FAD =60∘+∠FAD ，∠AFC =∠D +∠FAD =60∘+∠FAD ，∴∠AEB =∠AFC ，在△ABE 和△ACF 中，{∠B=∠ACF ∠AEB=∠AFC AB=AC∴△ABE≅△ACF(AAS)，∴AE=AF，∵∠EAF=60∘，∴△AEF是等边三角形．5.2；②由折叠知：∠ABE=∠FBE，AB=BF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE // BF，∴∠AEB=∠FBE，∴∠AEB=∠ABE，∴AE=AB，∴AE=BF，∴四边形ABFE是平行四边形，∴四边形ABFE是菱形；(2)①如下图：，②答：10阶菱形，∵a=6b+r，b=5r，∴a=6×5r+r=31r；如下图：故ABCD是10阶准菱形．6.解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴△AOB为直角三角形，且OA=12AC=1，OB=12BD=√3．在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=√OA2+OB2=√12+(√3)2=2．(2)①△AEF是等边三角形．理由如下：∵由(1)知，菱形边长为2，AC=2，∴△ABC与△ACD均为等边三角形，∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=60∘，又∵∠EAF=∠CAF+∠CAE=60∘，∴∠BAE=∠CAF．在△ABE与△ACF中，∵{∠BAE=∠CAFAB=AC=2∠EBA=∠FCA=60∘，∴△ABE≅△ACF(ASA)，∴AE=AF，∴△AEF 是等腰三角形，又∵∠EAF =60∘，∴△AEF 是等边三角形．②BC =2，E 为四等分点，且BE >CE ，∴CE =12，BE =32．由①知△ABE ≅△ACF ，∴CF =BE =32．∵∠EAC +∠AEG +∠EGA =∠GFC +∠FCG +∠CGF =180∘〔三角形内角和定理〕， ∠AEG =∠FCG =60∘〔等边三角形内角〕，∠EGA =∠CGF 〔对顶角〕∴∠EAC =∠GFC ．在△CAE 与△CFG 中，∵{∠EAC =∠GFC ∠ACE =∠FCG =60∘， ∴△CAE ∽△CFG ，∴CG CE =CF AC ，即CG12=322， 解得：CG =38．7.(1)证明：∵菱形AFED ，∴AF =AD ，∵△ABC 是等边三角形，∴AB =AC =BC ，∠BAC =60∘=∠DAF ，∴∠BAC −∠DAC =∠DAF −∠DAC ，即∠BAD =∠CAF ，∵在△BAD 和△CAF 中{AB =AC ∠BAD =∠CAF AD =AF，∴△BAD ≅△CAF ，∴CF =BD ，∴CF +CD =BD +CD =BC =AC ，即①BD =CF ，②AC =CF +CD ．(2)解：AC =CF +CD 不成立，AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系是AC =CF −CD ，理由是：由(1)知：AB =AC =BC ，AD =AF ，∠BAC =∠DAF =60∘，∴∠BAC +∠DAC =∠DAF +∠DAC ，即∠BAD =∠CAF ，∵在△BAD 和△CAF 中{AC =AB ∠BAD =∠CAF AD =AF，∴△BAD ≅△CAF ，∴BD=CF，∴CF−CD=BD−CD=BC=AC，即AC=CF−CD．(3)AC=CD−CF．理由是：∵∠BAC=∠DAF=60∘，∴∠DAB=∠CAF，∵在△BAD和△CAF中{AB=AC∠DAB=∠FAC AD=AF，∴△BAD≅△CAF(SAS)，∴CF=BD，∴CD−CF=CD−BD=BC=AC，即AC=CD−CF．8.〔1〕证明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45∘，在△ABP和△CBP中，{AB=BC∠ABP=∠CBP PB=PB，∴△ABP≅△CBP(SAS)，∴PA=PC，∵PA=PE，∴PC=PE；〔2〕由(1)知，△ABP≅△CBP，∴∠BAP=∠BCP，∴∠DAP=∠DCP，∵PA=PC，∴∠DAP=∠E，∴∠DCP=∠E，∵∠CFP=∠EFD〔对顶角相等〕，∴180∘−∠PFC−∠PCF=180∘−∠DFE−∠E，即∠CPF=∠EDF=90∘；〔3〕在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=60∘，在△ABP和△CBP中，{AB=BC∠ABP=∠CBP PB=PB，∴△ABP≅△CBP(SAS)，∴PA=PC，∠BAP=∠BCP，∵PA=PE，∴PC=PE，∴∠DAP=∠DCP，∵PA=PC，∴∠DAP=∠AEP，∴∠DCP=∠AEP∵∠CFP=∠EFD〔对顶角相等〕，∴180∘−∠PFC−∠PCF=180∘−∠DFE−∠AEP，即∠CPF=∠EDF=180∘−∠ADC=180∘−120∘=60∘，∴△EPC是等边三角形，∴PC=CE，∴AP=CE．9.(1)证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，∴∠EAG=∠BAD，∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB，∴∠EAB=∠GAD，∵AE=AG，AB=AD，∴△AEB≅△AGD，∴EB=GD；(2)解：衔接BD交AC于点P，那么BP⊥AC，∵∠DAB=60∘，∴∠PAB=30∘，∴BP=12AB=1，AP=√AB2−BP2=√3，AE=AG=√3，∴EP=2√3，∴EB=√EP2+BP2=√12+1=√13，∴GD=√13．10.(1)证明：如图1，衔接BD，交AC于O，在菱形ABCD中，∠BAD=60∘，AD=AB，∴△ABD为等边三角形，∵DE⊥AB，∴AE=EB，∵AB // DC，∴AM MC =AEDC=12，同理，CNAN =12，∴MN=13AC；(2)解：∵AB // DC，∠BAD=60∘，∴∠ADC=120∘，又∠ADE=∠CDF=30∘，∴∠EDF=60∘，当∠EDF顺时针旋转时，由旋转的性质可知，∠EDG=∠FDP，∠GDP=∠EDF=60∘，DE=DF=√3，∠DEG=∠DFP=90∘，在△DEG和△DFP中，{∠GDE=∠PDF ∠DEG=∠DFP DE=DF，∴△DEG≅△DFP，∴DG=DP，∴△DGP为等边三角形，∴△DGP的面积=√34DG2=3√3，解得，DG=2√3，那么cos∠EDG=DEDG =12，∴∠EDG=60∘，∴当顺时针旋转60∘时，△DGP的面积等于3√3，同理可得，当逆时针旋转60∘时，△DGP的面积也等于3√3，综上所述，将△EDF以点D为旋转中心，顺时针或逆时针旋转60∘时，△DGP的面积等于3√3．11.(1)证明：在△DFC中，∠DFC=90∘，∠C=30∘，DC=2t，∴DF=t．又∵AE=t，∴AE=DF．(2)解：能．理由如下：∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE // DF．又AE=DF，∴四边形AEFD为平行四边形．∵AB=BC⋅tan30∘=5√3×√33=5，∴AC=2AB=10．∴AD=AC−DC=10−2t．假定使AEFD为菱形，那么需AE=AD，即t=10−2t，t=103．即事先t=103，四边形AEFD为菱形．(3)解：①∠EDF=90∘时，四边形EBFD为矩形．在Rt△AED中，∠ADE=∠C=30∘，∴AD=2AE．即10−2t=2t，t=52．②∠DEF=90∘时，由(2)四边形AEFD为平行四边形知EF // AD，∴∠ADE=∠DEF=90∘．∵∠A=90∘−∠C=60∘，∴AD=AE⋅cos60∘．即10−2t=12t，t=4．③∠EFD=90∘时，此种状况不存在．综上所述，当t=52秒或4秒时，△DEF为直角三角形．12.BD．。
2022秋北师广东九年级数学上册 典中点 第一章综合素质评价
第一章综合素质评价一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．1．矩形具有而菱形不一定具有的性质是()A．对角线互相垂直B．对角线互相平分C．对角线相等D．对角线平分一组对角2．已知一个菱形的周长为8，有一个内角为120°，则该菱形较短的对角线的长为()A．4 B．2 3 C．2 D．1 3．如图，菱形ABCD中，O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形ABCD分成阴影部分和空白部分，当菱形ABCD的边长为10，一条对角线的长为12时，阴影部分的面积为()A．48 B．36 C．24 D．604．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD ＝8，则DC的长为()A．4 3 B．4 C．3 D．5 5．如图，在矩形ABCD中，AD＝10，AB＝6，点E为BC上一点，ED平分∠AEC，则BE的长为()A．10 B．8 C．6 D．4 6．如图，正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD ＝60°．若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD上的点B′处，则BE的长度为()A．1 B． 2 C． 3 D．27．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为() A．5 B．2.5 C．4.8 D．2.48．如图，把一张矩形纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个内角为120°的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为()A．15°或30°B．30°或45°C．45°或60°D．30°或60°9．如图，将两个长为9，宽为3的全等矩形叠合后得到四边形ABCD(不完全重合)，则四边形ABCD面积的最大值是()A．15 B．16 C．19 D．2010．如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，BC上，BE ＝CF＝2，CE与DF交于点H，点G为DE的中点，连接GH，则GH的长为()A．13 B．15 C．4.5 D．4.3 11．如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC＝120°，则MA＋MB＋MD的最小值是()A．3 3 B．3＋3 3 C．6＋ 3 D．6 312．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE，DF分别是∠OAD与∠ODC的平分线，AE的延长线与DF相交于点G，连接EF．则下列结论：①AG⊥DF；②EF∥AB；③AB＝AF；④AB＝2EF．其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．13．如图，以正方形ABCD的一边AD为边向外作等边三角形ADE，则∠ABE 的度数是________．14．如图，点E为正方形ABCD的边DA的延长线上一点，以BE为边在BE 的左侧作正方形BEFG，连接CG，若AB＝12，BE＝13，则△BCG的面积为________．15．如图，在菱形ABCD中，AB＝4 cm，∠ADC＝120°，点E，F分别从点A，C出发，沿AB，CB方向向点B匀速移动，点E的速度为1 cm/s，点F 的速度为2 cm/s，点E，F同时出发，当其中一点到达终点B时，另一点也随之停止移动，设移动时间为t s，当△DEF为等边三角形时，t的值为________．16．如图，四边形OABC为矩形，A(10，0)，C(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是以OD为腰的等腰三角形时，点P的坐标为________________．17．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为等边三角形，点E，F分别在BC，CD上运动，点E不与点B，C重合，点F不与点C，D重合，则△CEF面积的最大值是________．18．将正方形A1B1C1O，正方形A2B2C2C1，正方形A3B3C3C2，…按如图所示的方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y＝kx ＋b和x轴上，已知B1(1，1)，B2(3，2)，则B4的坐标为________，B n的坐标为________．三、解答题(一)：本大题共2小题，每小题8分，共16分．19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．(1)用尺规作图，作出△ABC的角平分线CD(不写作法，保留作图痕迹)；(2)在(1)的基础上，过点D作DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F，判断四边形CEDF的形状，并说明理由．20．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BE∥AC，AE∥BD，OE与AB相交于点F．(1)试判断四边形AEBO的形状，并说明理由；(2)若OE＝10，AC＝16，求菱形ABCD的面积．四、解答题(二)：本大题共2小题，每小题10分，共20分．21．如图，四边形ABCD是菱形，以点A为圆心，以AB为半径画弧分别交BC，CD于点E，F，连接AE，AF，EF．(1)求证：CE＝CF；(2)若△AEF为等边三角形，求∠BAD的度数．22．如图，在边长为2的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点(不与点A，C重合)，过点P作PE⊥PB，PE交DC于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为F．(1)求证：PB＝PE；(2)在点P运动的过程中，PF的长度是否发生变化？若不发生变化，请说明理由，并求出PF的长度；若发生变化，请说明理由．五、解答题(三)：本大题共2小题，每小题12分，共24分．23．如图，已知正方形ABCD，过点A在其外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，DE交直线AP于点F．(1)若∠P AB＝20°，求∠ADF的度数；(2)若45°＜∠P AB＜90°，请写出线段AB，EF，FD之间的数量关系，并给出证明．24．如图，在矩形ABCO中，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标是(－6，8)．沿BD折叠矩形ABCO，使点A落在OB上的点E处，延长BD 交x轴于点F．(1)求点D的坐标；(2)若点N是平面内任意一点，在x轴上是否存在点M，使以点M，N，E，O为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．答案一、1．C 2．C 3．A 4．B 5．B 6．D7．D 点拨：连接AP ．∵∠BAC ＝90°，AB ＝6，AC ＝8，∴BC ＝62＋82＝10．∵PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，∴∠AEP ＝∠AFP ＝90°．∴四边形AFPE 是矩形，∴EF 与AP 互相平分．∵M 是EF 的中点，∴M 在AP 上，且M 为AP 的中点，∴PM ＝12AP ．易知当AP ⊥BC 时，AP 有最小值，则PM 有最小值，此时S △ABC ＝12AB ·AC ＝12BC ·AP ，∴AP ＝AB ·AC BC ＝4.8，∴PM ＝12AP ＝2.4．故选D ．8．D 9．A 10．A11．D 点拨：如图，过点M 作ME ⊥AB 于点E ，连接BD ．∵菱形ABCD 的边长为6，∠ABC ＝120°，∴∠DAB ＝60°，AD ＝AB ＝6，∴△ADB 是等边三角形，∴∠MAE ＝30°，∴AM ＝2ME ，易知MD ＝MB ，∴MA ＋MB ＋MD ＝2ME ＋2MD ．当D ，M ，E 三点共线时，2ME ＋2MD 最小，即MA ＋MB ＋MD 最小，此时2ME ＋2MD ＝2DE ．在Rt △ADE 中，易知AE ＝12AD ＝3．∴DE ＝AD 2－AE 2＝62－32＝3 3，∴2DE ＝6 3．∴MA ＋MB ＋MD 的最小值是6 3．故选D ．12．C二、13．15°14．3015．4316．(3，4)或(2，4)或(8，4)17．318．(15，8)；(2n－1，2n－1)三、19．解：(1)如图，CD即为所求．(2)如图，四边形CEDF是正方形，理由：∵DE⊥BC，DF⊥AC，∴∠DEC＝∠DFC＝∠ACB＝90°．∴四边形CEDF是矩形．∵CD平分∠ACB，∴DE＝DF，∴矩形CEDF是正方形．20．解：(1)四边形AEBO是矩形．理由：∵BE∥AC，AE∥BD，∴四边形AEBO是平行四边形．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，即∠AOB＝90°．∴四边形AEBO是矩形．(2)∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝12AC＝8，BD＝2OB．由(1)知四边形AEBO是矩形，∴∠OAE＝90°，OB＝AE．∴AE＝OE2－OA2＝102－82＝6，∴OB ＝6，∴BD ＝12．易知S 菱形ABCD ＝12AC ·BD ，∴S 菱形ABCD ＝12×16×12＝96．四、21．(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ＝BC ＝CD ，∠B ＝∠D ．∴AE ＝AF ＝AB ＝AD ．∴∠B ＝∠AEB ，∠D ＝∠AFD ，∴∠AEB ＝∠AFD ．∴△ABE ≌△ADF ，∴BE ＝DF ．∴BC －BE ＝CD －DF ，即CE ＝CF ．(2)解：由(1)知△ABE ≌△ADF ，∴∠BAE ＝∠DAF ．设 ∠BAE ＝∠DAF ＝x °，∠B ＝∠AEB ＝y °，则x ＋2y ＝180．①∵△AEF 为等边三角形，∴∠EAF ＝60°．∴∠BAD ＝∠BAE ＋∠EAF ＋∠DAF ＝60°＋2x °．∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，∴∠BAD ＝180°－∠B ＝180°－y °，∴60＋2x ＝180－y ．②联立①②得⎩⎨⎧x ＋2y ＝180，60＋2x ＝180－y .解得⎩⎨⎧x ＝20，y ＝80.∴∠BAD ＝180°－80°＝100°．22．(1)证明：过点P 作PG ⊥BC 于点G ，过点P 作PH ⊥DC 于点H ，如图1．∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BCD ＝90°，CA 平分∠BCD ，又∵PG ⊥BC ，PH ⊥DC ，∴PG ＝PH ，∠PGC ＝∠PGB ＝∠PHE ＝90°．∴∠GPH ＝90°．∵PE ⊥PB ，∴∠BPE ＝90°，易得∠BPG ＝∠EPH ．在△PGB 和△PHE 中，⎩⎨⎧∠PGB ＝∠PHE ，PG ＝PH ，∠BPG ＝∠EPH ，∴△PGB ≌△PHE ，∴PB ＝PE ．(2)解：PF 的长度不发生变化．理由如下： 连接BD 交AC 于点O ，如图2．∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BOP ＝90°，OB ＝OA ．∴∠PBO ＝90°－∠BPO ，2OB 2＝AB 2＝4．∴OB ＝2．∵∠BPE ＝90°，∴∠EPF ＝90°－∠BPO ＝∠PBO ，∵EF ⊥PC ，∴∠PFE ＝90°＝∠BOP ．在△BOP 和△PFE 中，⎩⎨⎧∠PBO ＝∠EPF ，∠BOP ＝∠PFE ，PB ＝PE ，∴△BOP ≌△PFE ，∴PF ＝OB ＝2．∴在点P 运动的过程中，PF 的长度不发生变化，为2． 五、23．解：(1)如图1，连接AE ，∵点E 是点B 关于直线AP 的对称点，∴∠PAE ＝∠PAB ＝20°，AE ＝AB ．∵四边形ABCD 是正方形，∴AE ＝AB ＝AD ，∠BAD ＝90°．∴∠AED ＝∠ADF ，∠EAD ＝∠DAB ＋∠PAB ＋∠PAE ＝130°．∴∠ADF ＝180°－130°2＝25°． (2)EF 2＋FD 2＝2AB 2．证明：如图2，连接AE ，BF ，BD ，∵点E 是点B 关于直线AP 的对称点，∴AE ＝AB ，EF ＝BF ．∴∠AEB ＝∠ABE ，∠FEB ＝∠FBE ．∴∠AEF ＝∠ABF ．∵四边形ABCD 是正方形，∴AE ＝AB ＝AD ，∠BAD ＝90°，∴∠ABF ＝∠AEF ＝∠ADF ，∠ABF ＋∠FBD ＋∠ADB ＝90°． ∴∠ADF ＋∠ADB ＋∠FBD ＝90°．∴∠BFD ＝90°．在Rt △BFD 中，BF 2＋FD 2＝BD 2，在Rt △ABD 中，BD 2＝AB 2＋AD 2＝2AB 2，∴BF 2＋FD 2＝2AB 2．∴EF 2＋FD 2＝2AB 2．24．解：(1)∵四边形ABCO 是矩形，点B 的坐标是(－6，8)，∴∠BAD ＝90°，AB ＝6，OA ＝8，∴BO ＝AB 2＋OA 2＝10．由折叠的性质得BE ＝AB ＝6，∠BED ＝∠BAD ＝90°，DE ＝AD ， ∴OE ＝BO －BE ＝10－6＝4，∠OED ＝90°．设点D 的坐标为(0，a )，则OD ＝a ，∴DE ＝AD ＝OA －OD ＝8－a ．在Rt △EOD 中，由勾股定理得DE 2＋OE 2＝OD 2，即(8－a )2＋42＝a 2，解得a ＝5，∴点D 的坐标为(0，5)．(2)存在，点M 的坐标为(4，0)或(－4，0)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，0或⎝ ⎛⎭⎪⎫－245，0．。
北师大版九年级上册数学------第一章复习第一章复习教案
北师大版九年级上册数学------第一章复习第一章复习教案1(总10页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第一章特殊平行四边形中考考点综述：特殊平行四边形即矩形、菱形、正方形，它们是历年中考的必考内容之一，主要出现的题型多样，注重考查学生的基础证明和计算能力，以及灵活运用数学思想方法解决问题的能力。
内容主要包括：矩形、菱形、正方形的性质与判定，以及相关计算，了解平行四边形与矩形、菱形、正方形之间的联系，掌握平行四边形是矩形、菱形、正方形的条件。
知识目标掌握矩形、菱形、正方形等概念，掌握矩形、菱形、正方形的性质和判定，通过定理的证明和应用的教学，使学生逐步学会分别从题设和结论出发，寻找论证思路分析法和综合法。
重难点：1.矩形、菱形性质及判定的应用2.相关知识的综合应用教学过程知识点归纳对称既是轴对称图形，又是中心对称图形性矩形，菱形和正方形之间的联系如下表所示：一．菱形菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．【强调】菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等．菱形的性质性质1菱形的四条边都相等；性质2 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；菱形的判定菱形判定方法1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形．注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直． 菱形判定方法2:四边都相等的四边形是菱形．例1? 已知：如图，四边形ABCD 是菱形，F 是AB 上一点，DF 交AC 于E ． 求证：∠AFD=∠CBE ．例2已知：如图ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别交于E 、F ． 求证：四边形AFCE 是菱形．例3、如图，在ABCD 中，O 是对角线AC 的中点，过点O 作AC 的垂线与边AD 、BC 分别交于E 、F ，求证：四边形AFCE 是菱形.例4、已知如图，菱形ABCD 中，E 是BC 上一点，AE 、BD 交于M ，若AB=AE,∠EAD=2∠BAE 。
精选-北师大版九年级数学上册第1章全章热门考点整合应用
北师大版九年级数学上册第1章全章热门考点整合应用
名师点金：本章内容是中考的必考内容，主要考查与特殊平行四边形中菱形、矩形、正方形有关的计算和证明等问题．近几年又出现了许多与特殊平行四边形有关的开放探索题、操作题以及与全等、相似、函数知识相结合的综合题．其主要考点可概括为：一个定理、三个图形、三个判定与性质、四个技巧、两种思想．
一个定理——直角三角形斜边上的中线定理
1．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．求证：
(1)四边形ADEF是平行四边形；
(2)∠DHF＝∠DEF.
(第1题)
三个图形
图形1菱形
2．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F.
(1)求证：四边形DBFE是平行四边形．
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？并说明理由．
(第2题)
图形2矩形
3．如图，在▱ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA的延长线，DC的延长线分别交于点E，F.
(1)求证：△AOE≌△COF.
(2)连接EC，AF，则EF与AC满足什么数量关系时，四边形AECF 是矩形？请说明理由．
(第3题)
图形3正方形
4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°后得△DBE，再把△ABC沿射线AB平移至△FEG，DE，FG 相交于点H.
(1)判断线段DE，FG的位置关系，并说明理由；
(2)连接CG，求证：四边形CBEG是正方形．
(第4题)
三个判定与性质
判定与性质1菱形。
2022秋北师陕西九年级数学上册 点训 第1章 习题课件
返回
9.[易错题]在菱形ABCD中，∠A＝30°，在同一平面内，以对角线BD为底边作 顶角为120°的等腰三角形BDE，则∠EBC的度数为______________． 45°或105°
【点拨】本题考查菱形的性质，解题的关键是正确 画出图形，考虑问题要全面.
返回
10. 西安市某中学校门是伸缩电动门(如图①)，伸缩电动门中的每一行菱形有20 个，每个菱形的边长为30 cm.当每个菱形的内角(锐角)度数为60°(如图②)时， 校门打开了5 m，当每个菱形的内角度数为90°时，校门打开了多少米？
第一章 特殊平行四边形
1 菱形的性质与判定 第2课时 菱形的判定
习题链接
提示：点击 进入习题
核心必知 1
2 垂直；四边形
3 相等
答案显示
1D
2 见习题 3 D
4是
5 见习题
6A
7 见习题
8D
9 见习题 10 见习题
11 见习题
核心必知
1．由菱形定义可知：一组邻边相等的平行四边形是菱形．
返回
2．对角线互相__垂__直____的平行四边形是菱形，对角线互相 垂直且平分的__四__边_形___是菱形．
返回
6．[2021·陕西模拟]如图，已知∠A，以点A为圆心，恰当长为
半径画弧，分别交AE，AF于点B，D，继续分别以点B，D
为圆心，线段AB长为半径画弧交于点C，连接BC，CD，则
所得四边形ABCD为菱形的依据为( A)
A．四条边相等的四边形是菱形
B．一组邻边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
在又R∵t△AABB⊥CA中C，，A∴C∠＝AOB＝45°，∴B＝C∠2，2A－∴OFOA＝AB＝4251°，＝AB，
北师大版九年级数学上典中点第一章整合提升专训一
专训一：利用矩形的性质巧解折叠问题
名师点金：叠问题往往通过图形间的折叠找出线段或角与原图形之间的联系，从而得到折叠部分与原图形或其他图形之间的关系，即折叠前后的图形全等；在计算时，常常通过设未知数列方程求解．
利用矩形的性质巧求折叠中的角
1．当身边没有量角器时，怎样得到一些特定度数的角呢？动手操作有时可以解“燃眉
之急”．如图，已知矩形纸片ABCD(矩形纸片要足够长)，我们按如下步骤操作可以得到一
个特定的角：
(1)以点A所在直线为折痕，折叠纸片，使点B落在边AD上，折痕与BC交于点E；
(2)将纸片平展后，再一次折叠纸片，以点E所在直线为折痕，使点A落在BC上，折痕EF交AD于F，求∠AFE的度数．
(第1题)
利用矩形的性质巧求折叠中线段的长
衢州)如图①，将矩形ABCD沿DE折叠，使顶点A落在DC上的点A′处，然2．(2015·
后将矩形展平，沿EF折叠，使顶点A落在折痕DE上的点G处．再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处．如图②.
(1)求证：EG＝CH；
(2)已知AF＝2，求AD和AB的长．
(第2题)。
2016年秋北师大版九年级数学上典中点第一章整合提升专训四.doc
专训四：特殊平行四边形中的五种热门考点名师点金：章主要学习菱形、矩形、正方形的性质与判定的灵活应用，其中特殊平行四边形中的折叠问题、动点问题、中点四边形问题、图形变换问题是中考的热门考点．特殊平行四边形中的折叠问题1．如图，将一张长为10 cm，宽为8 cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线(虚线)剪下，再打开，得到的菱形的面积为()A．10 cm2B．20 cm2C．40 cm2D．80 cm2(第1题)(第2题)2．(2015·泰安)如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F.若AB＝6，BC＝46，则FD的长为()A．2 B．4 C. 6 D．2 33．如图，将正方形纸片ABCD折叠，使边AB，CB均落在对角线BD上，得折痕BE，BF，则∠EBF 的大小为()A．15°B．30°C．45°D．60°(第3题)(第4题)特殊平行四边形中的动点问题4．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AC ＝60 cm ，∠A ＝60°.点D 从点C 出发沿CA 方向以4 cm/s 的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2 cm/s 的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D ，E 运动的时间是t s(0<t≤15)．过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接DE ，EF.若四边形AEFD 为菱形，则t 的值为( )A ．5B ．10C ．15D ．205．如图，正方形ABCD 的边长为4，∠DAC 的平分线交DC 于点E.若点P ，Q 分别是AD 和AE 上的动点，则DQ ＋PQ 的最小值是( )A ．2B ．4C ．2 2D ．4 2(第5题)(第6题)特殊平行四边形中的中点四边形问题6．如图，在四边形ABCD 中，AC ＝a ，BD ＝b ，且AC ⊥BD ，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A 1B 1C 1D 1，再顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1各边中点，得到四边形A 2B 2C 2D 2，…，如此进行下去，得到四边形A n B n C n D n .下列结论正确的是( )①四边形A 4B 4C 4D 4是菱形；②四边形A 3B 3C 3D 3是矩形；③四边形A 7B 7C 7D 7的周长为a ＋b 8；④四边形A n B n C n D n 的面积为ab2n .A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②③④7．(2015·广安)如图，已知E ，F ，G ，H 分别为菱形ABCD 四边的中点，AB ＝6 cm ，∠ABC ＝60°，则四边形EFGH 的面积为________．(第7题)(第8题)特殊平行四边形中的图形变换问题8．(2015·枣庄)如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转45°得到正方形AB 1C 1D 1，边B 1C 1与CD 交于点O ，则四边形AB 1OD 的面积是( )A.34B.2－12C.2－1 D ．1＋ 29．如图，四边形ABCD 是正方形，点G 是BC 边上任意一点，DE ⊥AG 于点E ，BF ∥DE ，交AG 于点F.(1)求证：AF －BF ＝EF ；(2)将△ABF 绕点A 逆时针旋转，使得AB 与AD 重合，记此时点F 的对应点为点F′，若正方形ABCD 的边长为3，求点F′与旋转前的图形中点E 之间的距离．(第9题)灵活应用特殊平行四边形的性质与判定进行计算或证明10．如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接AF，CE.(1)求证：△BEC≌△DFA；(2)连接AC，当CA＝CB时，判断四边形AECF是什么特殊四边形，并说明理由．(第10题)11．(2015·漳州)如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过点F作FG∥CD，交AE于点G，连接DG.(1)求证：四边形DEFG为菱形；(2)若CD＝8，CF＝4，求CEDE的值．(第11题)12．如图①，在正方形ABCD中，E，F分别是边AD，DC上的点，且AF⊥BE.(1)求证：AF＝BE.(2)如图②，在正方形ABCD中，M，N，P，Q分别是边AB，BC，CD，DA上的点，且MP⊥NQ.MP 与NQ是否相等？并说明理由．(第12题)专训四1．A2．B点拨：由题易知，AE＝EG＝ED，∠A＝∠EGB＝∠EGF＝∠D＝90°，又EF＝EF，所以Rt△EDF≌Rt△EGF，所以FD＝FG.设FD＝x，则BF＝6＋x，CF＝6－x，在Rt△BCF中，(46)2＋(6－x)2＝(6＋x)2，解得x ＝4，所以FD ＝4.3．C4．B 点拨：在△DFC 中，∠DFC ＝90°，∠C ＝30°，DC ＝4t cm ，所以DF ＝2t cm.又因为AE ＝2t cm ，所以AE ＝DF.因为AE ∥DF ，所以可推出四边形AEFD 为平行四边形．令AE ＝AD ，则60－4t ＝2t.所以t ＝10，当t ＝10时，四边形AEFD 为菱形．5．C 点拨：连接BD 交AC 于点O ，由图可知，DQ ＋PQ 的最小值即为DO 的长，由正方形的边长为4可知，DO 的长为22，所以DQ ＋PQ 的最小值为2 2.6．A(第7题)7．9 3 cm 2 点拨：连接AC ，BD ，设AC ，BD 相交于点O ，如图， 易知，四边形EFGH 是矩形． 由四边形ABCD 是菱形， ∠ABC ＝60°， 可得∠ABO ＝30°， 又∵∠AOB ＝90°， ∴OA ＝12AB ＝3 cm.∴AC ＝6 cm.在Rt △AOB 中，OB ＝AB 2－OA 2＝33(cm)， ∴BD ＝6 3 cm.∵EH ＝12BD ，EF ＝12AC ，∴EH ＝3 3 cm ，EF ＝3 cm.∴矩形EFGH 的面积＝EF·EH ＝3×33＝93(cm 2)． 8．C9．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝AD ，∠BAD ＝∠BAG ＋∠EAD ＝90°. ∵DE ⊥AG ， ∴∠AED ＝90°.∴∠EAD ＋∠ADE ＝90°.∴∠ADE ＝∠BAF. 又∵BF ∥DE ，∴∠AFB ＝∠AED ＝90°. 在△AED 和△BFA 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠AED ＝∠AFB ，∠ADE ＝∠BAF ，AD ＝BA ， ∴△AED ≌△BFA(AAS)． ∴BF ＝AE. ∵AF －AE ＝EF ， ∴AF －BF ＝EF.(第9题)(2)解：如图，由题意知将△ABF 绕A 点旋转得到△ADF′，B 与D 重合，连接F′E ， 根据题意知：∠FAF′＝90°，DE ＝AF′＝AF ， ∴∠F′AE ＝∠AED ＝90°. 即∠F ′AE ＋∠AED ＝180°. ∴AF′∥ED.∴四边形AEDF′为平行四边形． 又∠AED ＝90°， ∴四边形AEDF′是矩形． ∵AD ＝3， ∴EF′＝AD ＝3.10．(1)证明：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，∠B ＝∠D ，BC ＝AD. ∵E ，F 分别是AB ，CD 的中点， ∴BE ＝DF.∴△BEC ≌△DFA(SAS)．(2)解：四边形AECF 是矩形，理由： ∵AE ＝12AB ，CF ＝12CD ，AB ＝CD ，∴AE ＝CF. ∵AE ∥CF ，∴四边形AECF 是平行四边形． 当CA ＝CB 时，CE ⊥AB ， ∴∠AEC ＝90°.∴四边形AECF 是矩形．(第11题)11．(1)证明：如图，由折叠的性质可知：DG ＝FG ，ED ＝EF ，∠1＝∠2， ∵FG ∥CD ， ∴∠3＝∠1. ∴∠2＝∠3. ∴FG ＝FE.∴DG ＝GF ＝EF ＝DE. ∴四边形DEFG 为菱形．(2)解：设DE ＝x ，则EF ＝DE ＝x ，EC ＝8－x ， 在Rt △EFC 中，FC 2＋EC 2＝EF 2， 即42＋(8－x)2＝x 2，解得x ＝5，∴CE ＝8－x ＝3， ∴CE DE ＝35. 12．(1)证明：在正方形ABCD 中， ∵AB ＝AD ，∠BAE ＝∠D ＝90°， ∴∠DAF ＋∠BAF ＝90°. ∵AF ⊥BE ，∴∠ABE ＋∠BAF ＝90°. ∴∠ABE ＝∠DAF. ∴△ABE ≌△DAF(ASA)．∴AF＝BE.(2)解：MP与NQ相等．理由如下：过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E，则与(1)的情况完全相同．。
2022秋北师版九年级数学 典中点 第一章达标检测卷
第一章达标检测卷一、选择题(每题3分，共30分)1．如图是以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形．此图形的对称轴有()A．2条B．4条C．6条D．8条2．【2020·天津】如图，四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别是(0，0)，(0，6)，点C在第一象限，则点C的坐标是()A．(6，3) B．(3，6) C．(0，6) D．(6，6)3．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为()A．4 B．6 C．8 D．104．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF＝5，则菱形ABCD的周长为()A．20 B．30 C．40 D．505．【2020·日照】已知菱形的周长为8，两邻角的度数比为1：2，则菱形的面积为()A．8 3 B．8 C．4 3 D．2 3 6．【2020·荷泽】如果顺次连接四边形各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是()A．互相平分B．相等C．互相垂直D．互相垂直平分7．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE＝AC，则∠BCE 的度数是()A．67.5°B．22.5°C．30°D．45°8．【2020·遂宁】如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点E为BC上一点，把△CDE沿DE翻折，点C恰好落在AB边上的F处，则CE的长是()A．1 B．43C．32D．539．【2020·绍兴】如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B移动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF 形状的变化依次为()A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形C．平行四边形→正方形→菱形→矩形D．平行四边形→菱形→正方形→矩形10．【2021·安徽】如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，过菱形ABCD 的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为()A．3＋ 3 B．2＋2 3 C．2＋ 3 D．1＋2 3 二、填空题(每题3分，共24分)11．【2021·益阳】如图，已知四边形ABCD是平行四边形，从①AB＝AD，②AC＝BD，③∠ABC＝∠ADC中选择一个作为条件，补充后使四边形ABCD 成为菱形，应选择______(限填序号)．12．【2021·南充】如图，点E是矩形ABCD边AD上一点，点F，G，H分别是BE，BC，CE的中点，AF＝3，则GH的长为________．13．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边的正方形ACEF 的周长为________．14．【教材P16例3变式】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠EDC∶∠EDA＝1∶2，且AC＝10，则EC的长度是________．15．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，若S△ABE＝18，CE＝4，则线段BE的长为________．16．【2021·连云港】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AD，垂足为E，AC＝8，BD＝6，则OE的长为________．17．如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，AE的延长线交CD 于点F，连接CE．若∠BAE＝56°，则∠CEF＝________．18．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若BG＝3，CG＝2，则CE的长为________．三、解答题(每题11分，共66分)19．如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，点F是CD延长线上的一点，且BE＝DF，连接AE，AF，EF．(1)求证：△ABE≌△ADF；(2)若AE＝5，请求出EF的长．20．如图，在▱ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB的延长线于点E，连接BD，EC．(1)求证：四边形BECD是平行四边形；(2)若∠A＝50°，则当∠BOD＝________时，四边形BECD是矩形．21．【教材P7习题T1改编】【2020·连云港】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点M，N．(1)求证：四边形BNDM是菱形；(2)若BD＝24，MN＝10，求菱形BNDM的周长．22．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作AC的平行线交DC的延长线于点E．(1)求证：BD＝BE；(2)若BE＝10，CE＝6，连接OE，求△ODE的面积．23．如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF．(1)求证：△BCE≌△DCF．(2)当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．24．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，以点A为顶点，度数为60°的∠EAF绕点A旋转，∠EAF的两边分别交BC，CD于点E，F，且E，F不与B，C，D重合．(1)求证：BE＝CF．(2)在∠EAF绕点A旋转的过程中，四边形AECF的面积是否发生变化？如果不变，求出其定值；如果变化，请说明理由．答案一、1．B 2．D 3．C 4．C 5．D 6．C 7．B 8．D 9．B10．A 点拨：连接OA ，OD ．由四边形ABCD 是菱形可得OA ⊥OD ，∠OAD ＝∠ADC ＝60°，则∠ADO ＝30°，所以OA ＝12AD ＝1．易求得AH ＝12，DH ＝32，则EH ＝32，HG ＝32．最后由O 是对称中心得四边形EFGH 是平行四边形，则其周长为2(EH ＋HG )＝3＋3．二、11．① 12．3 13．16 14．2.5 15．213 16．12517．22°18．154 点拨：连接EG ，易知EG ＝FG ．不妨设DE ＝x ，则BF ＝x ，EG＝FG ＝3＋x ，EC ＝5－x ．在Rt △ECG 中，利用勾股定理列方程求出x ，问题得解．三、19．(1)证明：∵ 四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠ABC ＝∠ADC ＝∠ADF ＝90°．在△ABE 和△ADF 中，⎩⎨⎧AB ＝AD ，∠ABE ＝∠ADF ，BE ＝DF ，∴△ABE ≌△ADF (SAS)． (2)解：∵△ABE ≌△ADF ， ∴AE ＝AF ＝5，∠BAE ＝∠DAF ． ∵∠BAE ＋∠EAD ＝90°，∴∠DAF ＋∠EAD ＝90°，即∠EAF ＝90°． ∴EF ＝AE 2＋AF 2＝52．20．(1)证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ∥DC ． ∴∠OEB ＝∠ODC ．∵O 为BC 的中点，∴BO ＝CO ．在△BOE 和△COD 中，⎩⎨⎧∠OEB ＝∠ODC ，∠BOE ＝∠COD ，BO ＝CO ，∴△BOE ≌△COD (AAS)． ∴OE ＝OD ． 又∵BO ＝CO ，∴四边形BECD 是平行四边形． (2)100°21．(1)证明：∵AD ∥BC ，∴∠DMO ＝∠BNO ．∵MN 是对角线BD 的垂直平分线， ∴OB ＝OD ，MN ⊥BD ．在△MOD 和△NOB 中，⎩⎨⎧∠DMO ＝∠BNO ，∠MOD ＝∠NOB ，OD ＝OB ，∴△MOD ≌△NOB (AAS)． ∴OM ＝ON ．∵OB ＝OD ，∴四边形BNDM 是平行四边形． 又∵MN ⊥BD ，∴四边形BNDM 是菱形．(2)解：∵四边形BNDM 是菱形，BD ＝24，MN ＝10， ∴BM ＝BN ＝DM ＝DN ， OB ＝12BD ＝12，OM ＝12MN ＝5．在Rt △BOM 中，由勾股定理得BM ＝OM 2＋OB 2＝52＋122＝13， ∴菱形BNDM 的周长为4BM ＝4×13＝52． 22．(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AC ＝BD ，AB ∥CD ．又∵BE ∥AC ，E 在DC 的延长线上， ∴四边形ABEC 是平行四边形． ∴AC ＝BE ．∴BD ＝BE ．(2)解：如图，过点O 作OF ⊥CD 于点F ．∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BCD ＝90°． ∴∠BCE ＝90°．在Rt △BCE 中，根据勾股定理可得BC ＝8． ∵BE ＝BD ，∠BCD ＝90°，∴CD ＝CE ＝6． ∴DE ＝12．由题易知OD ＝OC ，∵OF ⊥CD ，∴CF ＝DF ． 又∵OB ＝OD ，∴OF 为△BCD 的中位线． ∴OF ＝12BC ＝4．∴S △ODE ＝12DE ·OF ＝12×12×4＝24．23．(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ，∠B ＝∠D ． ∵点E ，F 分别为AB ，AD 的中点， ∴BE ＝12AB ，DF ＝12AD ． ∴BE ＝DF ．在△BCE 和△DCF 中，⎩⎨⎧BC ＝DC ，∠B ＝∠D ，BE ＝DF ，∴△BCE ≌△DCF (SAS)． (2)解：AB ⊥BC ．理由如下：∵四边形ABCD 是菱形，点E ，O ，F 分别为AB ，AC ，AD 的中点， ∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ，OE ＝12BC ，OF ＝12CD ，AF ＝12AD ，AE ＝12AB ，OE ∥BC ．晨鸟教育Earlybird ∴OE ＝OF ＝AF ＝AE ．∴四边形AEOF 是菱形．∵AB ⊥BC ，OE ∥BC ，∴AE ⊥OE ．∴∠AEO ＝90°．∴四边形AEOF 是正方形．24．(1)证明：如图，连接AC ．∵四边形ABCD 为菱形，∠BAD ＝120°，∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ，∠BAC ＝∠DAC ＝60°．∴△ABC 和△ADC 都是等边三角形，∠1＋∠2＝60°． ∴∠ABE ＝∠ACF ＝60°，AB ＝AC ．∵∠3＋∠2＝∠EAF ＝60°，∴∠1＝∠3．∴△ABE ≌△ACF (ASA)．∴BE ＝CF ．(2)解：四边形AECF 的面积不变．由(1)知△ABE ≌△ACF ，则S △ABE ＝S △ACF ．故S 四边形AECF ＝S △AEC ＋S △ACF ＝S △AEC ＋S △ABE ＝S △ABC ． 如图，过点A 作AM ⊥BC 于点M ，则BM ＝MC ＝2， ∴AM ＝AB 2－BM 2＝42－22＝23．∴S △ABC ＝12BC ·AM ＝12×4×23＝43．∴S 四边形AECF ＝43．。
北师大版九年级数学上解题技巧专题：中点问题.docx
初中数学试卷桑水出品解题技巧专题：中点问题——遇中点，定思路，一击即中◆类型一直角三角形中，已知斜边中点构造斜边上的中线1．如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，AC，BD相交于点E，点G，H分别是AC，BD的中点，若∠BEC＝80°，那么∠GHE等于（）A．5° B．10° C．20° D．30°第1题图第2题图2．如图，在△ABC中，D是BC上的点，AD＝AB，E，F分别是AC，BD的中点，AC＝6，则EF的长是_______.3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，M是AB的中点，E，F分别是AC，BC延长线上的点，且CE＝CF＝12AB，则∠EMF的度数为_______.第3题图第5题图◆类型二中点四边形与特殊平行四边形4．若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是矩形，则该四边形一定是（）A．菱形B．等腰梯形C．对角线相等的四边形D．对角线互相垂直的四边形5．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，连接AF，BE，CE，DF，分别交于点M，N，则四边形EMFN是（）A．正方形 B．菱形C．矩形 D．无法确定6．(2016·兰州中考)阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图①，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？小敏在思考问题时，有如下思路：连接AC.结合小敏的思路作答：(1)若只改变图①中四边形ABCD的形状(如图②)，则四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由；(2)如图②，在(1)的条件下．①当AC 与BD 满足什么条件时，四边形EFGH 是菱形？写出结论并证明；②当AC 与BD 满足什么条件时，四边形EFGH 是矩形？写出结论并证明．答案1．B 解析：连接AH ，CH .∵∠BCD ＝∠BAD ＝90°，点H 是BD 的中点，∴AH ＝CH ＝12BD .∵点G 是AC 的中点，∴HG ⊥AC ，∴∠HGE ＝90°.又∵∠GEH ＝∠BEC ＝80°，∴∠GHE ＝10°.故选B.2．3 解析：如图，连接AF .∵AD ＝AB ，F 是BD 的中点，∴AF ⊥BD .又∵E 是AC 的中点，∴EF ＝12AC ＝12×6＝3.3．45° 解析：如图，连接CM .∵∠ACB ＝90°，M 是AB 的中点，∴CM ＝12AB .∵CE ＝CF ＝12AB ，∴CE ＝CF ＝MC ，∴∠1＝∠E ，∠2＝∠F .∵∠1＋∠E ＝∠4，∠2＋∠F ＝∠3，∴∠1＝12∠4，∠2＝12∠3，∴∠1＋∠2＝12(∠4＋∠3)＝12×90°＝45°，即∠EMF ＝45°. 4．D 5.B6．解：(1)四边形EFGH 还是平行四边形．理由如下：如图，连接AC .∵E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，∴EF ∥AC ，EF ＝12AC .同理可得HG ∥AC ，HG ＝12AC ，∴EF ∥HG ，EF ＝HG ，∴四边形EFGH 是平行四边形； (2)如图，连接BD .①当AC ＝BD 时，四边形EFGH 是菱形．证明如下：由(1)可知四边形EFGH 是平行四边形，HG ＝12AC .∵F 是BC 的中点，G 是CD 的中点，∴FG ＝12BD .∵AC ＝BD ，∴HG ＝FG ，∴四边形EFGH 是菱形；②当AC ⊥BD 时，四边形EFGH 为矩形．证明如下：由(1)可知四边形EFGH 是平行四边形，HG ∥AC .∵AC ⊥BD ，∴HG ⊥BD .∵F 是BC 的中点，G 是CD 的中点，∴FG ∥BD ，∴HG ⊥GF ，∴∠HGF ＝90°，∴四边形EFGH 为矩形．。
秋九年级数学上册 第一章 特殊平行四边形阶段强化专训 (新版)北师大版-(新版)北师大版初中九年级上
特殊平行四边形专训一：菱形性质与判定的灵活运用名师点金：形具有一般平行四边形的所有性质，同时又具有一些特性，可以归纳为三个方面：(1)从边看：对边平行，四边相等；(2)从角看：对角相等，邻角互补；(3)从对角线看：对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角．判定一个四边形是菱形，可先判定这个四边形是平行四边形，再判定一组邻边相等或对角线互相垂直，也可直接判定四边相等．利用菱形的性质与判定证明角的关系1．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E.(1)求证：四边形AECD是菱形；(2)若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．(第1题)利用菱形的性质与判定证明线段的位置关系2．(2015·某某)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，BD＝AC.(1)求证：AD＝BC；(2)若E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，求证：线段EF与线段GH互相垂直平分．(第2题)利用菱形的性质与判定解决周长问题3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，AC边的中点，连接DE，将△ADE 绕点E旋转180°，得到△CFE，连接AF.(1)求证：四边形ADCF是菱形；(2)若BC＝8，AC＝6，求四边形ABCF的周长．(第3题)利用菱形的性质与判定解决面积问题4．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，交BC于点D，在线段AD上任取一点P(点A除外)，过点P作EF∥AB，分别交AC，BC于点E，F，作PM∥AC，交AB于点M，连接ME.(1)求证：四边形AEPM为菱形．(2)当点P在何处时，菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半？请说明理由．(第4题)专训二：矩形性质与判定的灵活运用名师点金：形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质，同时还具有一些独特的性质，可归结为三个方面：(1)从边看：矩形的对边平行且相等；(2)从角看：矩形的四个角都是直角；(3)从对角线看：矩形的对角线互相平分且相等．判定一个四边形是矩形可从两个角度进行：一是判定它有三个角为直角；二是先判定它为平行四边形，再判定它有一个角为直角或两条对角线相等．利用矩形的性质与判定求线段的长(转化思想)1．如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折起，点A，点B落在点M处，点C，点D落在点N处，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH.若EH＝3 cm，EF＝4 cm，求AD的长．(第1题)利用矩形的性质与判定判断线段的数量关系2．如图，在△ABC中，∠A＝90°，D是AC上的一点，BD＝DC，P是BC上的任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E，F为垂足．试判断线段PE，PF，AB之间的数量关系，并说明理由．(第2题)利用矩形的性质与判定证明角相等3．(2015·)在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF.(1)求证：四边形BFDE是矩形；(2)若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB.(第3题)利用矩形的性质与判定求面积4．如图，已知点E是▱ABCD中BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F.(1)连接AC，BF，若∠AEC＝2∠ABC，求证：四边形ABFC为矩形；(2)在(1)的条件下，若△AFD是等边三角形，且边长为4，求四边形ABFC的面积．(第4题)专训三：正方形性质与判定的灵活运用名师点金：方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形、菱形的所有性质，判定一个四边形是正方形，只需保证它既是矩形又是菱形即可．利用正方形的性质证明线段位置关系1．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别在OD，OC上，且DE＝CF，连接DF，AE，并延长AE，其延长线交DF于点M.求证：AM⊥DF.(第1题)利用正方形的性质解决线段和差倍分问题2．已知：在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC(或它们的延长线)于点M，N.(1)如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，易证：BM＋DN＝MN.当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，如图②，请问图①中的结论是否还成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．(2)当∠MAN绕点A旋转到如图③的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并证明．(第2题)利用正方形的性质解决与函数相关的问题3．(2015·某某)在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别交于点A，B，在△AOB内部作正方形，使正方形的四个顶点都落在该三角形的边上，求正方形落在x轴正半轴上的顶点坐标．正方形性质与判定的综合运用4．如图，P，Q，R，S四个小球分别从正方形的四个顶点A，B，C，D同时出发，以同样的速度分别沿AB，BC，CD，DA的方向滚动，其终点分别是B，C，D，A.(1)不管滚动多长时间，求证：连接四个小球所得的四边形PQRS 总是正方形．(2)四边形PQRS 在什么时候面积最大？(3)四边形PQRS 在什么时候面积为原正方形面积的一半？并说明理由．(第4题)答案专训一1．(1)证明：∵AB∥CD，CE∥AD，∴四边形AECD 是平行四边形．∵AC 平分∠BAD，∴∠EAC＝∠DAC.∵∠DAC＝∠ACE，∴∠EAC＝∠ACE.∴AE＝CE. ∴四边形AECD 是菱形．(2)解：△ABC 是直角三角形，理由如下：∵点E 是AB 的中点，∴AE＝BE.∵AE＝CE ，∴CE＝12AB. ∴△ABC 是直角三角形．(第2题)2．证明：(1)如图，过点B 作BM∥AC 交DC 的延长线于点M ，则∠ACD＝∠M. ∵AB∥CD，∴四边形ABMC 为平行四边形．∴AC＝BM.∵BD＝AC ，∴BD＝BM.∴∠BDC＝∠M＝∠ACD.在△ACD 和△BDC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BD ，∠ACD＝∠BDC，CD ＝DC ，∴△ACD≌△BDC.∴AD＝BC.(2)如图，连接EH ，HF ，FG ，GE ，∵E，F ，G ，H 分别是AB ，CD ，AC ，BD 的中点，∴HE∥AD，且HE ＝12AD ，FG∥AD，且FG ＝12AD. ∴四边形HFGE 为平行四边形．由(1)知，AD ＝BC ，∴HE＝EG.∴▱HFGE 为菱形．∴线段EF 与线段GH 互相垂直平分．3．(1)证明：∵将△ADE 绕点E 旋转180°得到△CFE，∴AE＝CE ，DE ＝FE.∴四边形ADCF 是平行四边形．∵D，E 分别为AB ，AC 边的中点，∴DE 是△ABC 的中位线．∴DE∥BC.∵∠ACB ＝90°，∴∠AED＝90°.∴DF⊥AC.∴四边形ADCF 是菱形．(2)解：在Rt △ABC 中，BC ＝8，AC ＝6，∴AB＝10.∵点D 是AB 边的中点，∴AD＝5.∵四边形ADCF 是菱形，∴AF＝FC ＝AD ＝5.∴四边形ABCF 的周长为8＋10＋5＋5＝28.4．(1)证明：∵EF∥AB，PM∥AC，∴四边形AEPM 为平行四边形．∵AD 平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD.∵EP∥AB，∴∠BAD＝∠EPA.∴∠CAD＝∠EPA.∴EA＝EP. ∴四边形AEPM 为菱形．(2)解：当点P 为EF 的中点时，S 菱形AEPM ＝12S 四边形EFBM .理由如下：∵四边形AEPM 为菱形，∴AP⊥EM.∵AB＝AC ，∠CAD＝∠BAD，∴AD⊥BC.∴EM∥BC.又∵EF∥AB，(第4题)∴四边形EFBM 为平行四边形．过点E 作EN⊥AB 于点N ，如图，∵EP＝12EF ，∴S 菱形AEPM ＝AM·EN ＝EP·EN＝12EF·EN＝12S 四边形EFBM .专训二1．解：∵∠HEM＝∠AEH，∠BEF＝∠FEM，∴∠HEF＝∠HEM＋∠FEM＝12×180°＝90°.同理可得∠EHG＝∠HGF＝∠EFG＝90°，∴四边形EFGH 为矩形．∴HG∥EF，HG ＝EF.∴∠GHN＝∠EFM.又∵∠HNG＝∠FME＝90°，∴△HNG≌△FME.∴HN＝MF.又∵HN＝HD ，∴HD＝MF.∴AD ＝AH ＋HD ＝HM ＋MF ＝HF.又∵HF＝EH 2＋EF 2＝32＋42＝5(cm )，∴AD＝5 cm .点拨：此题利用折叠提供的角相等，可证明四边形EFGH 为矩形，然后利用三角形全等来证明HN ＝MF ，进而证明HD ＝MF ，从而将AD 转化为直角三角形的斜边HF ，进而得解，体现了转化思想．(第2题)2．解：PE ＋PF ＝AB.理由：过点P 作PG⊥AB 于G ，交BD 于O ，如图所示．∵PF⊥AC，∠A ＝90°，∴∠A＝∠AGP＝∠PFA＝90°.∴四边形AGPF 是矩形．∴AG＝PF ，PG∥AC.又∵BD＝DC ，∴∠C＝∠GPB＝∠DBP.∴OB＝OP.∵PG⊥AB，PE⊥BD，∴∠BGO＝∠PEO＝90°.在△BGO 和△PEO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BGO＝∠PEO，∠GOB＝∠EOP，OB ＝OP ，∴△BGO≌△PEO.∴BG＝PE.∵AB＝BG ＋AG ，∴PE＋PF ＝AB.3．证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB∥CD.∴BE∥DF.又∵BE＝DF ，∴四边形BFDE 是平行四边形．∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°.∴四边形BFDE 是矩形．(2)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB∥DC，AD ＝BC.∴∠DFA＝∠FAB.由(1)易得△BCF 为直角三角形，在Rt △BCF 中，由勾股定理，得BC ＝CF 2＋BF 2＝32＋42＝5，∴AD＝BC ＝DF ＝5.∴∠DAF＝∠DFA.∴∠DAF＝∠FAB.即AF 平分∠DAB.4．(1)证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB∥DC.∴∠ABE ＝∠ECF.又∵点E 为BC 的中点，∴BE＝CE.在△ABE 和△FCE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠ABE＝∠ECF，BE ＝CE ，∠AEB＝∠FEC，∴△ABE≌△FCE.∴AB＝CF.又AB∥CF，∴四边形ABFC 为平行四边形．∴AE＝EF.∵∠AEC 为△ABE 的外角，∴∠AEC＝∠ABC＋∠EAB.又∵∠AEC＝2∠ABC，∴∠ABC＝∠EAB.∴AE＝BE.∴AE＋EF ＝BE ＋CE ，即AF ＝BC ，∴四边形ABFC 为矩形．(2)解：∵四边形ABFC 是矩形，∴AC⊥DF.又∵△AFD 是等边三角形，∴CF＝CD ＝DF 2＝2.∴AC＝42－22＝23.∴S 矩形ABFC ＝23×2＝4 3.专训三1．证明：∵AC，BD 是正方形ABCD 的两条对角线，∴AC⊥BD，OA ＝OD ＝OC ＝OB.∵DE＝CF ，∴OE＝OF.在Rt △AOE 与Rt △DOF 中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OD ，∠AOE＝∠DOF＝90°，OE ＝OF ，∴Rt △AOE≌Rt △DOF.∴∠OAE＝∠ODF.∵∠DOF＝90°，∴∠DFO＋∠FDO＝90°.∴∠DFO＋∠FAE＝90°.∴∠AMF＝90°，即AM⊥DF.2．解：(1)仍有BM ＋DN ＝MN 成立．证明如下： 过点A 作AE⊥AN，交CB 的延长线于点E, 易证△ABE≌△ADN ，∴DN ＝BE ，AE ＝AN. 又∵∠EAM ＝∠NAM ＝45°，AM ＝AM ，∴△EAM≌△NAM.∴ME＝MN.∵ME＝BE ＋BM ＝DN ＋BM ，∴BM＋DN ＝MN .(第2题)(2)DN －BM ＝MN.证明如下： 如图，在DN 上截取DE ＝BM ，连接AE.∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠ABM＝∠D＝90°，AB ＝AD. 又∵BM＝DE ，∴△ABM≌△ADE.∴AM＝AE ，∠BAM＝∠DAE.∵∠DAB＝90°，∴∠MAE＝90°. ∵∠MAN＝45°，∴∠EAN＝45°＝∠MAN.又∵AM＝AE ，AN ＝AN ，∴△AMN≌△AEN.∴MN＝EN.∴DN＝DE ＋EN ＝BM ＋MN.∴DN－BM ＝MN.3．解：分两种情况：(1)如图①，在y ＝－x ＋3中，令x ＝0，得y ＝3，令y ＝0，得x ＝3，∴OA＝OB ＝3.∴∠BAO＝45°.∵DE⊥OA，∴DE＝AE.∵四边形COED 是正方形，∴OE＝DE.∴OE＝AE.∴OE＝12OA ＝32. ∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0.(第3题)(2)如图②，由①知△OFC，△EFA 都是等腰直角三角形，∴CF＝2OF ，AF ＝2EF.∵四边形CDEF 是正方形，∴EF＝CF.∴AF＝2×2OF ＝2OF.∴OA＝OF ＋2OF ＝3.∴OF＝1.∴F(1，0)．4．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D ＝90°，AB ＝BC ＝CD ＝DA.又∵在任何运动时刻，AP ＝BQ ＝CR ＝DS ，∴PB ＝QC ＝RD ＝SA.∴△ASP≌△BPQ≌△CQR≌△DRS.∴PS＝QP ＝RQ ＝SR ，∠ASP＝∠BPQ.∴在任何运动时刻，四边形PQRS 是菱形．又∵∠APS＋∠ASP＝90°，∴∠APS＋∠BPQ＝90°.∴∠QPS＝180°－(∠APS＋∠BPQ)＝180°－90°＝90°.∴在任何运动时刻，四边形PQRS 总是正方形．(2)解：当P ，Q ，R ，S 在出发时或在到达终点时面积最大，此时的面积就等于原正方形ABCD 的面积．(3)解：当P ，Q ，R ，S 四点运动到正方形四边中点时，四边形PQRS 的面积是原正方形ABCD 面积的一半．理由：设原正方形ABCD 的边长为a.当PS 2＝12a 2时，在Rt △APS 中，AS ＝a －SD ＝a －AP. 由勾股定理，得AS 2＋AP 2＝PS 2，即(a －AP)2＋AP 2＝12a 2， 解得AP ＝12a.同理可得BQ ＝CR ＝SD ＝12a. ∴当P ，Q ，R ，S 四点运动到正方形ABCD 各边中点时，四边形PQRS 的面积为原正方形面积的一半．。
北师大版九年级数学上第1章特殊平行四边形综合提升卷(含答案)
第一章特别平行四边形综合提高卷一、选择题 (每题 3 分，共 30 分 )1．以下说法中错误的选项是()A．平行四边形的对角线相互均分B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形C．矩形的对角线相等D．有一组邻边相等且有一个角是直角的四边形是正方形2．已知△ ABC，AB＝ AC，将△ ABC 沿边 BC 翻折，获得的△DBC 与原△ ABC 拼成四边形 ABDC ，则能直接判断四边形ABDC 是菱形的依照是()A ．一组邻边相等的平行四边形是菱形B．四条边相等的四边形是菱形C．对角线相互垂直的平行四边形是菱形D．对角线相互垂直均分的四边形是菱形3．如图 1，在矩形 ABCD 中 (AD ＞ AB) ，E 是 BC 上一点，且DE＝DA ， AF ⊥ DE，垂足为 F.在以下结论中，不必定正确的选项是()图 11A．△ AFD ≌△ DCE B．AF＝2ADC．AB ＝AF D ． BE＝ AD－ DF4．平面直角坐标系中，四边形ABCD 的极点坐标分别是A(－ 3，0)，B(0，2)，C(3 ，0)，D(0，－ 2)，则四边形ABCD 是 ()A ．矩形B ．菱形C．正方形D．平行四边形5．如图2，在矩形ABCD 中， E，F ， G， H 分别为边AB， DA， CD ，BC 的中点．若AB＝ 2， AD＝ 4，则图中暗影部分的面积为()图 2A ． 3 B． 4 C．6 D ．86．如图 3，在△ ABC 中， D 是 BC 上一点， AB＝AD ， E， F 分别是 AC，BD 的中点，EF ＝ 2，则 AC 的长是 ( )图 3A ． 3 B． 4 C．5 D． 67．如图 4，矩形 ABCD 的对角线AC 与 BD 订交于点 O，CE ∥BD，DE ∥AC，AD＝ 2 3，DE ＝2，则四边形 OCED 的面积为 ( )图 4A．2 3 B ．4 C．4 3 D ．88．如图 5，正方形ABCD 的边长为9，将正方形折叠，使极点 D 落在 BC 边上的点 E 处，折痕为GH ，若 BE∶EC ＝2∶ 1，则线段CH 的长是 ()图 5A．3B． 4C．5D．69．如图6，矩形纸片ABCD 中， AB ＝ 4， BC＝ 6.将该矩形纸片剪去 3 个等腰直角三角形，全部剪法中节余部分面积的最小值是()图 6A．6B． 3C．D．210．如图 7， P 是矩形 ABCD 的边 AD 上的一动点，矩形的两条边AB， BC 的长分别是6 和 8，则点 P 到矩形的两条对角线AC 和 BD 的距离之和是()图 7A．B．5C．6D．请将选择题答案填入下表：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总分答案第Ⅱ 卷( 非选择题共 90分)二、填空题 (每题 3 分，共 18 分 )11．如图 8，在菱形ABCD 中， AB＝4，线段 AD 的垂直均分线交AC 于点 N，△ CND 的周长是10，则 AC 的长为 ________．图 812.如图 9，四边形ABCD 是正方形，延伸AB 到点 E，使 AE＝ AC，则∠ BCE 的度数是________．图 913．已知在四边形ABCD 中，∠ A＝∠ B＝∠ C＝90°，若增添一个条件即可判断该四边形是正方形，则这个条件能够是________．14．如图 10，在平行四边形ABCD 中，对角线AC，BD 订交于点O，动点 E 以每秒 1 个单位长度的速度从点 A 出发沿 AC 方向运动，点 F 同时以每秒 1 个单位长度的速度从点 C 出发沿 CA 方向运动，若AC＝ 12， BD＝8，则经过 ________秒后，四边形BEDF 是矩形．图 1015．如图 11，在正方形 ABCD 内作∠ EAF ＝ 45°， AE 交 BC 于点 E， AF 交 CD 于点 F，连结 EF，过点 A 作 AH⊥ EF ，垂足为 H，将△ ADF 绕点 A 顺时针旋转 90°获得△ ABG，若BE＝2， DF ＝ 3，则 AH 的长为 ________．图 1116.如图 12，已知菱形OABC 的边 OA 在 x 轴上，点 B 的坐标为 (8，4) ，P 是对角线OB 上的一个动点，点 D (0， 1)在 y 轴上，当 PC＋PD 最短时，点P 的坐标为 ________．图 12三、解答题 (共 72 分 )17． (6 分) 如图 13，在 ? ABCD 中，以点 A 为圆心， AB 的长为半径画弧交AD 于点 F ，1再分别以点 B，F 为圆心，大于2BF 的长为半径画弧，两弧交于一点P，连结 AP 并延伸交BC 于点 E，连结 EF.(1)四边形 ABEF 是什么四边形？并说明原因；(2)AE，BF 订交于点 O，若四边形 ABEF 的周长为 40，BF ＝10，求 AE 的长和∠ ABC 的度数．图 1318． (6 分 )如图 14， E 是正方形 ABCD 外一点， F 是线段 AE 上一点，△ EBF 是等腰直角三角形，此中∠ EBF ＝90°，连结 CE，CF .(1)求证：△ ABF≌△ CBE；(2)判断△ CEF 的形状，并说明原因．图 1419．(8 分 )如图 15，在△ ABC 中，∠ BAC ＝ 90°，AD 是斜边上的中线， E 是 AD 的中点，过点 A 作 AF ∥BC 交 BE 的延伸线于点 F，连结 CF .(1)求证： BD ＝AF ；(2)判断四边形ADCF 的形状，并证明你的结论．图 1520． (8 分 )如图 16，将矩形ABCD 沿对角线AC 翻折，点 B 落在点 F 处， FC 交 AD 于点 E.(1)求证：△ AFE≌△ CDE；(2)若 AB＝ 4， BC＝ 8，求图中暗影部分的面积．图 1621．(10 分 )如图 17 所示，在矩形 ABCD 中， E，F 分别是边 AB，CD 上的点， AE＝ CF，连结 EF， BF ， EF 与对角线 AC 订交于点 O，且 BE＝ BF ，∠ BEF ＝2∠ BAC.(1)求证： OE＝OF ；(2)若 BC＝ 2 3，求 AB 的长．图 1722．(10 分 )如图 18，在△ ABC 和△ BCD 中，∠ BAC＝∠ BCD ＝90°，AB＝ AC，BC＝CD ，延伸 CA 至点 E，使 AE＝AC ，延伸 CB 至点 F，使 BF＝ BC，连结 AD ， AF， DF ， EF，延长DB交EF于点N.(1)求证： AD ＝AF ；(2)试判断四边形ABNE 的形状，并说明原因．图 1823． (12 分)阅读下边资料：在数学课上，老师请同学们思虑以下问题：如图19，我们把一个四边形ABCD 的四边中点 E，F， G， H 挨次连结起来获得的四边形EFGH 是平行四边形吗？小敏在思虑问题时，有以下思路：连结AC.联合小敏的思路作答：(1)若只改变图 (a)中四边形 ABCD 的形状 (如图 (b))，则四边形 EFGH 仍是平行四边形吗？并说明原因．参照小敏思虑问题的方法，解决以下问题：(2)如图 (b)，在 (1)的条件下，若连结AC， BD .①当 AC 与 BD 知足什么条件时，四边形EFGH 是菱形？写出结论并证明；②当 AC 与 BD 知足什么条件时，四边形EFGH 是矩形？直接写出结论．图 1924．(12 分)背景阅读早在三千多年前，我国周代数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，假如勾等于三，股等于四，那么弦就等于五．它被记录于我国古代有名数学著作《周髀算经》中，在此题中，我们把三边的比为3∶ 4∶ 5 的三角形称为 (3， 4， 5)型三角形，比如：三边长分别为9， 12， 15 的三角形就是(3， 4， 5)型三角形，用矩形纸片按下边的操作方法能够折出这类种类的三角形．实践操作如图 20①，在矩形纸片ABCD 中， AD＝ 8 cm，AB＝12 cm.第一步：如图②，将图①中的矩形纸片ABCD 沿过点 A 的直线折叠，使点 D 落在 AB 上的点 E 处，折痕为AF，再沿 EF 折叠，而后把纸片展平．第二步：如图③，将图②中的矩形纸片再次折叠，使点 D 与点 F 重合，折痕为GH，然后展平，隐去AF .第三步：如图④，将图③中的矩形纸片沿AH 折叠，获得△ AD ′H，再沿 AD ′折叠，折痕为 AM， AM 与折痕 EF 交于点 N，而后展平．问题解决(1)请在图②中证明四边形AEFD 是正方形；(2)请在图④中判断NF 与 ND ′的数目关系，并加以证明；(3)请在图④中证明△AEN 是 (3， 4，5) 型三角形．图 20详解详析1． D 2． B 3．B .4． B 5． B 6． B 7． A 8．B ．9． C 10． A11． 6 12． 22.5 °13． AB ＝ BC 或 AC ⊥ BD 等 (答案不独一 )14．2 或 10 15． 616． ( 10 57 ， )717．解： (1) 四边形 ABEF 是菱形．原因：从尺规作图中得出AB ＝ AF ，∠ BAE ＝∠ FAE.∵ AF ∥ BC ，∴∠ FAE ＝∠ BEA(两直线平行，内错角相等 )，∴∠ BAE ＝∠ BEA(等量代换 )，∴ AB ＝ BE(等角平等边 )，∴ BE ＝AF . 又∵ BE ∥ AF ，∴四边形 ABEF 是平行四边形，即四边形ABEF 是菱形． (2)从作图中得出 AE 为∠ BAF 的均分线，而四边形 ABEF 的周长为 40，∴边长 AF ＝AB ＝10.又∵ BF ＝ 10，∴△ ABF 是等边三角形，∴∠ BAF ＝60°.∵四边形 ABEF 是菱形，∴AE⊥ BF， OF＝1BF ＝5， 2∴ AO＝ AF 2－ OF2＝ 5 3，∴ AE＝ 2AO＝ 10 3.∵ AF∥ BC，∴∠ ABC＝ 180°－∠ BAF＝ 120°.18．解： (1) 证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴BA＝ BC，∠ ABC＝ 90°.∵△ EBF 是等腰直角三角形，∠EBF ＝ 90°，∴BF＝ BE，∠ ABC＝∠ EBF ，∴∠ ABC－∠ FBC ＝∠ EBF －∠ FBC ，即∠ ABF ＝∠ CBE，∴△ ABF ≌△ CBE(SAS)．(2)△ CEF 是直角三角形．原因：∵△ BEF 为等腰直角三角形，∴∠ EFB ＝∠ FEB ＝ 45°，∴∠ AFB ＝ 135°.又∵△ ABF ≌△ CBE ，∴∠ CEB＝∠ AFB ＝ 135°，∴∠ FEC＝∠ CEB －∠ FEB ＝ 90°，即△ CEF 是直角三角形．19．解： (1) 证明：∵ AF ∥ BC，∴∠ AFE ＝∠ DBE .∵E 是 AD 的中点， AD 是 BC 边上的中线，∴ AE＝ DE ， BD ＝CD.在△ AFE 和△ DBE 中，∠AFE ＝∠ DBE ，∠ FEA ＝∠ BED， AE＝ DE，∴△ AFE ≌△ DBE ，∴ BD＝ AF.(2)四边形 ADCF 是菱形．证明：由 (1) 知， AF＝ BD .∵BD＝ CD ，∴ AF＝ CD.又∵ AF∥ BC，∴四边形ADCF 是平行四边形．1∵∠ BAC＝ 90°， D 是 BC 的中点，∴ AD ＝ CD＝2BC，∴四边形ADCF 是菱形．20．解： (1) 证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB＝ CD ，∠ B＝∠ D ＝ 90°.∵将矩形 ABCD 沿对角线AC 翻折，点 B 落在点 F 处，∴∠ F＝∠ B， AB＝ AF，∴AF＝CD，∠ F＝∠ D.在△ AFE 和△ CDE 中，∵∠ F＝∠ D，∠ AEF＝∠ CED ，AF＝CD ，∴△ AFE ≌△ CDE .(2)∵ AB＝ 4， BC＝ 8，∴CF＝ AD ＝ 8， AF＝ CD ＝ AB＝ 4.∵△ AFE ≌△ CDE ，∴ AE＝ CE， EF＝ DE，在 Rt△ CDE 中， DE 2＋CD 2＝CE2，即 DE 2＋ 42＝ (8－ DE )2，∴ DE＝ 3，∴ EF ＝ 3，∴图中暗影部分的面积＝1 1S△ACF－ S△AEF＝×4×8－×4×3＝ 10.2 221．解： (1) 证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB∥CD，∴∠ OAE＝∠ OCF .又∵ AE＝ CF ，∠ AOE＝∠ COF ，∴△ AEO≌△ CFO ，∴ OE＝ OF.(2)如图，连结BO.∵BE＝ BF ，∴△ BEF 是等腰三角形．又∵ OE＝ OF，∴ BO⊥ EF，且∠ EBO＝∠ FBO ，∴∠ BOF ＝ 90°.∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠BCF＝ 90°.又∵∠ BEF ＝ 2∠ BAC，∠ BEF ＝∠ BAC＋∠ AOE，∴∠ BAC＝∠ AOE ，∴ AE＝ OE.∵AE＝ CF ， OE＝ OF，∴ OF ＝ CF .又∵ BF＝ BF ，∴ Rt△ BOF ≌ Rt△BCF (HL )，∴∠ FBO＝∠ CBF ，∴∠ CBF＝∠ FBO ＝∠ EBO.∵∠ ABC＝ 90°，∴∠ OBE＝ 30°，∴∠ BEO＝ 60°，∴∠ BAC＝ 30°.在 Rt△ BAC 中，∵ BC＝2 3，∴ AC＝ 2BC＝ 4 3， AB＝AC 2－ BC2＝（ 4 3）2－（ 2 3）2＝ 6. 22．解： (1) 证明：∵ AB＝ AC，∠ BAC ＝ 90°，∴∠ ABC＝∠ ACB ＝45°，∴∠ ABF ＝135°.又∵∠ BCD ＝ 90°，∴∠ ABF ＝∠ ACD ＝ 135°.∵BC＝ CD ，BC＝ BF，∴ BF＝ CD .在△ ABF 和△ ACD 中，∵AB＝ AC，∠ ABF ＝∠ ACD ， BF＝ CD ，∴△ ABF ≌△ ACD ，∴ AD＝ AF.(2)四边形 ABNE 是正方形．原因以下：由已知可得AB 是△ CEF 的中位线，∴AB∥ EF ，∴∠ AEF ＝∠ BAC＝90°.由 (1)知， AF ＝ AD，△ ABF ≌△ ACD，∴∠ FAB ＝∠ DAC .∵∠ BAC＝ 90°，∴∠ EAB＝∠ BAC＝90°，∴∠ EAF ＝∠ BAD .∵AB＝ AC， AE＝ AC，∴ AE＝ AB.在△ AEF 和△ ABD 中，∵AE＝ AB，∠ EAF ＝∠ BAD ，AF ＝AD ，∴△ AEF ≌△ ABD ，∴∠ AEF ＝∠ ABD ＝90°.又∵∠ EAB＝ 90°，∴四边形 ABNE 是矩形．又∵ AE＝ AB，∴四边形 ABNE 是正方形．23．解： (1) 四边形 EFGH 仍是平行四边形．原因以下：连结AC.∵ E， F 分别是 AB， BC 的中点，1∴ EF∥ AC， EF＝2AC.∵ G， H 分别是 CD， AD 的中点，1∴ GH∥ AC，GH ＝2AC，∴ EF∥ GH ，EF ＝GH，∴四边形 EFGH 是平行四边形．(2)①当 AC＝ BD 时，四边形EFGH 是菱形．证明以下：由 (1)可知四边形EFGH 是平行四边形，当 AC＝ BD 时， FG＝1 BD ， EF＝1 AC，2 2∴ FG＝ EF ，∴平行四边形EFGH 是菱形．②当 AC ⊥BD 时，四边形EFGH 是矩形．24．解： (1) 证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ D＝∠ DAE ＝ 90°.由折叠的性质得AE＝AD ，∠ AEF ＝∠ D＝ 90°，∴∠ D＝∠ DAE＝∠ AEF ＝ 90°，∴四边形 AEFD 是矩形．又∵ AE＝ AD ，∴矩形AEFD 是正方形．(2)NF ＝ ND′.证明：连结HN，由折叠的性质得∠AD ′H＝∠ D＝ 90°， HF ＝ HD＝ HD ′.由 (1)知四边形 AEFD 是正方形，∴∠ EFD ＝ 90°.∵∠ AD′H ＝90°，∴∠ HD′N＝ 90°.在 Rt△ HNF 和 Rt△HND ′中，∵ HN＝HN ， HF ＝ HD ′，∴ Rt△ HNF ≌ Rt△HND ′，∴ NF＝ ND ′.(3)证明：由 (1)知四边形AEFD 是正方形，∴AE＝ EF ＝ AD＝ 8 cm，由折叠的性质得 AD′＝ AD＝ 8 cm.设 NF＝ x cm，则 ND ′＝ x cm.在 Rt△ AEN 中，∵ AN 2＝AE 2＋ EN2，∴ (8＋ x)2＝ 82＋ (8－ x)2，解得 x＝ 2，∴ AN＝ 8＋ x ＝10 cm， EN＝ 6 cm，∴ EN∶ AE∶ AN＝ 3∶ 4∶ 5，∴△ AEN 是(3 ，4， 5)型三角形．。
北师大版九年级数学上典中点第二章整合提升专训一
专训一：根与系数的关系的四种应用类型
名师点金：利用一元二次方程的根与系数的关系可以不解方程，仅通过系数就反映出方程两根的特征．在实数范围内运用一元二次方程根与系数的关系时，必须注意Δ≥０这个前提，而应用判别式Δ的前提是二次项系数a≠0.因此，解题时要注意分析题目中有没有隐含
条件Δ≥０和a≠0.
利用根与系数的关系求代数式的值
1．设方程4x2－7x－3＝0的两根为x1，x2，不解方程求下列各式的值．
(1)(x1－3)(x2－3)；(2)
x2
x1＋1
＋
x1
x2＋1
；(3)x1－x2.
利用根与系数的关系构造一元二次方程
2．构造一个一元二次方程，使它的两根分别是方程5x2＋2x－3＝0两根的负倒数．利用根与系数的关系求字母的值或取值范围
3．已知关于x的一元二次方程2x2－mx－2m＋1＝0的两根的平方和是29
4
，求m的值．
巧用根与系数的关系确定字母系数的存在性
4．已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根，是否存在
实数k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－3
2
成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
专训一：利用矩形的性质巧解折叠问题名师点金：叠问题往往通过图形间的折叠找出线段或角与原图形之间的联系，从而得到折叠部分与原图形或其他图形之间的关系，即折叠前后的图形全等；在计算时，常常通过设未知数列方程求解．
利用矩形的性质巧求折叠中的角
1．当身边没有量角器时，怎样得到一些特定度数的角呢？动手操作有时可以解“燃眉之急”．如图，已知矩形纸片ABCD(矩形纸片要足够长)，我们按如下步骤操作可以得到一个特定的角：
(1)以点A所在直线为折痕，折叠纸片，使点B落在边AD上，折痕与BC交于点E；
(2)将纸片平展后，再一次折叠纸片，以点E所在直线为折痕，使点A落在BC上，折痕EF交AD于F，求∠AFE的度数．
(第1题)
利用矩形的性质巧求折叠中线段的长
2．(2015·衢州)如图①，将矩形ABCD沿DE折叠，使顶点A落在DC上的点A′处，然后将矩形展平，沿EF折叠，使顶点A落在折痕DE上的点G处．再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处．如图②.
(1)求证：EG＝CH；
(2)已知AF＝2，求AD和AB的长．
(第2题)
利用矩形的性质巧证线段的关系
3．如图，将矩形纸片ABCD 沿对角线BD 折叠，点C 落在点E 处，BE 交AD 于F ，连接AE.
求证：(1)BF ＝DF ；(2)AE ∥BD.
(第3题)
利用矩形的性质巧求线段的比
4．如图，将一张矩形纸片ABCD 沿直线MN 折叠，使点C 落在点A 处，点D 落在点E 处，直线MN 交BC 于点M ，交AD 于点N.
(1)求证：CM ＝CN ；
(2)若△CMN 的面积与△CDN 的面积比为3∶1，求MN DN
的值．
(第4题)
专训一
(第1题)
1．解：设折叠后，点A的对应点为点A′，点B的对应点为点B′，如图，由折叠的性质得∠AEF＝∠A′EF，∠BEA＝∠AEB′，BE＝B′E，AE＝EA′，∵∠BAB′＝∠ABE＝∠AB′E ＝90°，∴∠BEB′＝90°.
∴∠BEA＝∠AEB′＝45°.
又∠BEA＋∠AEF＋∠FEA′＝180°，
∴∠FEA′＝67.5°.
∵AD∥BC，
∴∠AFE＝∠FEA′＝67.5°.
(第2题)
2．(1)证明：由折叠知AE＝AD＝EG，BC＝CH.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC.
∴EG＝CH.
(2)解：∵∠ADE＝45°，∠FGE＝∠A＝90°，AF＝2，
∴DG＝2，DF＝2.∴AD＝2＋ 2.
如图，由折叠知，∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠2＋∠4＝90°，∠1＋∠3＝90°.
∵∠1＋∠AFE ＝90°，
∴∠3＝∠AFE.
又∵∠A ＝∠B ＝90°，
由(1)知，AE ＝BC ，
∴△EFA ≌△CEB.
∴AF ＝BE.∴AB ＝AE ＋BE ＝AD ＋AF ＝2＋2＋2＝2＋2 2.
3．证明：(1)由折叠的性质可知，∠FBD ＝∠CBD ，因为AD ∥BC ，所以∠FDB ＝∠CBD ，所以∠FBD ＝∠FDB ，所以BF ＝DF.
(2)因为四边形ABCD 是矩形，所以AB ＝DC ，AD ＝BC ，由折叠的性质可知，DC ＝ED ＝AB ，BC ＝BE ＝AD ，又因为AE ＝AE ，所以△AEB ≌△EAD ，所以∠AEB ＝∠EAD ，所
以∠AEB ＝12(180°－∠AFE)．由(1)知∠DBE ＝∠BDF ，所以∠DBE ＝12
(180°－∠BFD)，而∠AFE ＝∠BFD ，所以∠AEB ＝∠DBE ，所以AE ∥BD.
4．(1)证明：由折叠的性质可得：∠ENM ＝∠DNM ，∵∠ENM ＝∠ENA ＋∠ANM ，∠DNM ＝∠DNC ＋∠CNM ，∠ENA ＝∠DNC ，∴∠ANM ＝∠CNM.∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC.∴∠ANM ＝∠CMN.
∴∠CMN ＝∠CNM.∴CM ＝CN.
(2)解：过点N 作NH ⊥BC 于点H ，则四边形NHCD 是矩形，∴HC ＝DN ，NH ＝
DC.∵△CMN 的面积与△CDN 的面积比为3∶1，∴S △CMN S △CDN ＝12·MC·NH 12
·DN·NH ＝MC DN ＝3.∴MC ＝3DN ＝3HC.∴MH ＝2HC.设DN ＝x ，则HC ＝x ，MH ＝2x ，∴CM ＝3x ＝CN.在Rt △CDN 中，DC ＝CN 2－DN 2＝22x ，
∴NH ＝22x.在Rt △MNH 中，MN ＝MH 2＋NH 2＝23x ，∴MN DN ＝23x x
＝2 3.。