第四章 特殊变换及其矩阵

并称 T 在 V 的任意一组标准正交基下的矩阵表示 为Hermite 矩阵（对称矩阵）。
定理 2 酉空间（或欧氏空间） V 上的线性变换 T 是 Hermite 变换（对称变换）的充要条件是 T 在 V
的任意一组标准正交基下的矩阵
A 满足
A A ( A A)
H T
证明：
必要性。
设 T 在 V 的一组标准正交基
这说明正交投影变换的矩阵表示应该是由像空间的基
与其转置相乘而得的矩阵？ 考虑正交投影
R : ( x1, x2, x3 ) ( x1, x2 , 0) .
T T
注意到
x1 1 0 0 x1 x1 x 0 1 0 x P x 2 2 2 0 0 0 0 x x 3 3
阵酉相似，并且对角矩阵的对角元就是正规矩阵的特
证明：必要性。如果 A 是正规矩阵，那么存在酉 矩阵 U ( u1 ,, un ) 及对角阵 diag(1 ,, n ) 使得 U H AU ，即 AU U 因此 A( u1 ,, un ) ( Au1 ,, Aun ) (1u1 ,, nun ) 充分性。若有 U H AU ，显然可验证
H
，使
并称
A = UTU
为方阵 A 的Schur分解。
100多年前(1909年)给出的Schur 引理是矩阵理论中
的重要定理，是很多其他重要结论的基础。在矩阵
计算中也具有相当重要的地位。
根据Schur引理，可以推出正规矩阵的一个相当美妙
的性质，此性质经常被当作正规矩阵的等价定义。
定理 5
方阵 A 是正规的，当且仅当
有性质 AAT AT A 的矩阵就“一统江湖”，具有 了统一性，我们称之为正规矩阵。
对称矩阵最主要的性质是可以对角化，尤其是可以正
交对角化，推广到正规矩阵后这个性质是否还能保留 呢？
一、正规变换(Normal Transformation)
酉空间 V 上的线性变换 T 称为 V上的一个 正规变换，如果存在 V 的标准正交基 ε1 , ε2 , L , εn 定义1 及对角矩阵
1
，即有
1 2 , 1 V1 , 2 V ,
则沿 V 到 V1的正交投影变换 1
R( ) 1
既是Hermite变换，也是幂等变换(
R R
2
)。
证明： 对任意 V
因此
，同样有
1
1 2 , 1 V1 , 2 V ,
(R( ), ) (1, 1 2 ) (1, 1 ) (1 2 , 1 ) ( , (R( ))
AAH = AH A .
为证明这个结论，再给出一个引理。
引理 6 对角阵。 满足
TT = T T
H H
的三角阵
T 必是
证
明
对上三角阵 T ( ti j )
，比较等式
T T H = T HT
两边乘积矩阵在第 i 行第 i 列位置上的元素 ，并注 意到 ti j 0 ( i j ) ，因此对 i 1, 2, , n ，有
两方阵 A, B 互逆的条件是成立关系式
AB BA I .
从纯代数角度看，如果去掉乘积为单位矩阵的限制， 两矩阵是可交换矩阵。
联想到正交矩阵的逆即为其转置，因此如果再限定两
矩阵互为转置，即要求成立 AAT AT A ，情况又如 何？
显然对称矩阵 ( AT A) 和反对称矩阵 ( AT A) 都满足要求，正交矩阵当然也满足这个要求。因此具
| ti i | | ti n | | t1 i | | ti i |
2 2 2
2
当 i 1 时，有 | t11 |2 | t12 |2 | t1 n |2 | t11 |2 可知 t1 j 0 ( j 2, 3,, n) 对 i 施行归纳法，可得 ti j 0 ( i j ) ，证毕。
§2、Hermite变换及Hermite矩阵
单从变换的角度我们很难把Hermite变换 （对称变换）与正规变换联系起来，但从 Hermite矩阵（对称矩阵）的定义，或者 从Hermite矩阵（对称矩阵） 都可对角化 上却能找到两者的关联，这似乎可以作为 数学的“奇异美”的一个例证。
我们知道，实对称矩阵 A 满足关系式
1 , 2， ， n 下的矩阵表示为 A (ai j ) 。
(T ( i ), j ) (a1 i1 a2 i 2 an i n , j )
aj i , (T ( j ), i ) ai j
所以 从而
a j i (T ( i ), j ) ( i , T ( j ))
满足
D º diag(d1, d2 , L , d n )
(T ( ε1 ) , T( ε2 ), L , T ( εn )) = ( ε1, ε2 , L , εn ) D
并称 T 在标准正交基下的矩阵表示为正规矩阵。
定义2
对于复方阵（或实方阵）A、B ，如果存在酉
，使得
矩阵 U 或正交矩阵 Q 或
A A
T
推广到酉空间，相应的矩阵称为Hermite矩阵，满足 关系式
AH A
既然矩阵与变换一一对应，那么Hermite矩阵以及实
对称矩阵与什么样的变换对应呢？
设 T 在酉空间 V 的一组标准正交基 下的矩阵表示为 A 且 A H A 。
任取
1 , 2， ， n
、 V
，设
A A
H
(T ( j ), i ) ai j
例 3 (方阵的Cartesian分解)
任意复方阵 A 可分解为
A H1 i H2 ,
其中 H , H 都是Hermite矩阵。 1 2
例 4 (正交投影变换)
酉空间或欧氏空间V 中的任意向量
V 在 V 的
1
子空间 V1 上的正交投影为
定 理 5 的 证 明
必要性。如果 A 是正规矩阵，那么存在酉 矩阵 U 及对角阵 D ，使得 A UDU H 因此 AAH (UDU H )(UDU H ) H UDDU H
U DDU H (U DU H )(UDU H ) AH A
充分性。根据Schur引理，存在酉矩阵 U 及
T H 1
）；
（4）酉矩阵（ AH A1 ）； （5）Hermite 矩阵（
A A ）；
H
（6）反Hermite 矩阵（ A
A ）；
1 1 （7）形如 a , a R or C 的矩阵。 1 1
定理 8
征值。
方阵 A 是正规的，当且仅当 A 与对角矩
另外显然有
2
R ( ) R(R( )) R(1 ) 1 R( )
这说明正交投影变换的矩阵表示 P（称为正交投影
矩阵）既是Hermite 矩阵也是幂等矩阵( P 2 P )
思考：Householder是正交投影矩阵吗？
正交投影变换的矩阵表示是什么样的矩阵呢？
考虑正交投影
U U U U (U U )
3 H 2 H
H 2
因此 3 2 ，即
从而 2 ，故
2 3 i i
，故 i 0 或 1.
A2 U 2U H U U H A.
课后思考
1、实正规矩阵是否正交相似于实 对角矩阵？
2、实正规矩阵是否正交相似于复 对角矩阵？ 3、实正规矩阵正交相似于什么 样的“简单”矩阵？
( A y) H x ( , (T ( ))
一、 Hermite变换（对称变换）
定义1 设 T 是酉空间（或欧氏空间） V 上的线 性变换，称 T 为V 上的 Hermite 变换（对称变 换） ，如果对任意 、 V ， 都有
(T ( ), ) ( , T ( )) .
第三章
特殊变换及其矩阵
§1、正规变换与正规矩阵
正规变换（正规矩阵）可以说是对称变换 （对称矩阵）、正交变换（正交矩阵）等 的推广和抽象，即只关心永恒的主题---“对角化”的问题。这又一次体现出现代 数学高度的抽象和统一。
链接：《现代数学的特点与意义》，孙小礼、杜珣， 《大学数学》，1992，2（或 杜珣《现代数学引论》 序言）或其他。
AH A AAH
定理 9 与正规矩阵酉相似的方阵仍然是正规矩阵。
证明：如果存在酉矩阵 U ，使得 B = U - 1 AU ，则
BBH = (U - 1 AU )(U - 1 AU ) H
= U - 1 AUU H AHU H
= U - 1 AAHU -
H
= U - 1 AH AU -
H
= U H AH AU
U H AU = U - 1 AU = B
QT AQ = Q- 1 AQ = B
则称
A 酉相似（或正交相似）于 B
。
定理3
正规变换在不同标准正交基下的矩阵表示是
酉相似的。
证明：设正规变换 T 在 V 的两组标准正交基
ε1 , ε2 , L , εn 和 ε %% % ε2 , L , ε 1, n 下的矩阵表示 分别为 A、B ，并设 %% % (ε ε2 , L , ε ε2 , L , εn )U 1, n ) = ( ε1 ,
% % % = (T ( ε , T( ε 1) 2 ), L , T ( εn ))
所以 B = U H AU ，结论成立。 根据定理3，正规变换在任一标准正交基下的矩阵
表示必定酉相似于对角阵。
二、正规矩阵的等价定义
定理 4 ( Schur 引理 ) 任何复方阵 A 必酉相似于 一个上三角阵
T 。即存在酉矩阵 U H U AU = T .
= U H AH (U - 1 ) H U - 1 AU = (U - 1 AU ) H (U - 1 AU )
= B H B.
定理10
方阵 A 是正规的，当且仅当 A 有 n 个
两两正交的单位特征向量,即对应于不同特征值的特 征子空间相互正交。 证明：必要性。如果 A 是正规矩阵，那么存在酉 矩阵 U ( u1 ,, un ) 及对角阵 diag(1 ,, n ) 使得 U H AU ，即 AU U 因此 A( u1 ,, un ) ( Au1 ,, Aun ) (1u1 ,, nun ) 充分性。若 A 有 n 个两两正交的单位特征向量
上三角阵 T ，使得 A UTU
H H
H
显然 A A AA 当且仅当 T T T T 。 根据引理6， T 是对角矩阵。故 A 是正规阵。
H H
例 7 判断下列矩阵是不是正规矩阵：
（1）实对称矩阵（ A A ）；
T
（2）实反对称矩阵（ AT A ）；
（3）正交矩阵 （A A
1 ,, n ，取 U (1 ,, n ) 即可。
例11 设 A 为正规矩阵，且 A3 A2 ，则 A2 A.
因为 A 是正规矩阵，所以存在酉矩阵 U ，使得
A U U H
再由 A3 A2 ，得
(U U ) (பைடு நூலகம் U )(U U )(U U )
H 3 H H H
R : ( x1, x2 ) ( x1, 0)
T
T
注意到
x1 x1 1 0 x1 0 0 0 x P x 2 2 T 再联想到此投影的像空间 V1 {( x1, 0) , x1 R} ， 不难发现其基 (1, 0)T 满足 1 1 0 0 1, 0 0 0 P
显然过渡矩阵 U 是酉矩阵（请试试自己证明一下）
因为
% % % (ε 1 , ε2 , L , εn ) B = (T ( ε1 ) , T( ε2 ), L , T ( εn ))U = ( ε1 , ε2 , L , εn ) AU H %% % = (ε , ε , L , ε ) U AU 1 2 n
= (1 , 2， ， n ) x, = (1 , 2， ， n ) y
则
T ( ) (1 , 2， ， n ) Ax, T ( ) ( 1 , 2， ， n ) Ay, (T ( ), ) y Ax ( y A ) x
H H H