1.4全称量词与存在量词经典教案(经典练习及答案详解)
学案1：1.4.1 全称量词~1.4.2 存在量词
1.4.1全称量词1.4.2存在量词【课时目标】1.了解全称量词、全称命题及存在量词、特称命题的含义.2.会判定含有一个量词的命题的真假.1.短语“所有的”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ∀”表示.含有全称量词的命题，叫做全称命题.2.一般的，设p(x)是某集合M的所有元素都具有的性质，那么命题就是全称命题.用符号简记为∀x∈M，p(x) .3.短语“有一个”“有些”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ∃”表示，含有存在量词的命题叫做特称命题.4.一般的，设q(x)是某集合M的有些元素x具有的某种性质，那么命题存在性命题，用符号简记为∃x∈M，p(x) .一、选择题1．下列命题不是“∃x0∈R，x20>3”的表述方法的是()A．有一个x0∈R，使x20>3B．有些x0∈R，使x20>3C．任选一个x∈R，使x2>3D．至少有一个x0∈R，使x20>3答案C解析“任选一个x∈R，使x2>3”是全称命题，不能用符号“∃”表示，故选C.2．下列命题是真命题的是()A．∀x∈R，x2＋2x＋1＝0B．∃x0∈R，－x0＋1≥0C．∀x∈N*，log2x>0D．∃x0∈R，cos x0<2x0－x20－3答案B解析当x0＝－1时，－x0＋1＝0，所以命题“∃x0∈R，－x0＋1≥0”正确，故选B.3．下列命题是全称真命题的是()A．∀x∈R，x2>0B ．∀x ∈Q ，x 2∈QC ．∃x 0∈Z ，x 20>1D ．∀x ，y ∈R ，x 2＋y 2>0答案 B解析 A ，B ，D 是全称命题，当x ＝0时，x 2＝0；当x ＝0，y ＝0时，x 2＋y 2＝0，因此A ，D 为假命题．故选B.4．下列语句不是全称命题的是( )A ．任何一个实数乘以零都等于零B ．自然数都是正整数C ．高二(一)班绝大多数同学是团员D ．每一个向量都有大小答案 C解析 “高二(一)班绝大多数同学是团员”，即“高二(一)班有的同学不是团员”，这是特称命题．故选C.5．给出下列命题：①存在实数x 0，使x 20>1；②全等三角形必相似；③有些相似三角形全等；④至少有一个实数a ，使ax 2－ax ＋1＝0的根为负数．其中特称命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案 C解析 ①③④是特称命题，②是全称命题．6．下列命题正确的是( )A ．对所有的正实数t, t 为正且t <tB ．存在实数x 0，使x 20－3x 0－4＝0 C ．不存在实数x ，使x <4且x 2＋5x －24＝0D ．存在实数x 0，使得|x 0＋1|≤1且x 20>4答案 B解析 t ＝14时t ＝12，此时t >t ，所以A 错；由x 2－3x －4＝0，得x ＝－1或x ＝4，因此当x 0＝－1或x 0＝4时，x 20－3x 0－4＝0，故B 正确；由x 2＋5x －24＝0，得x ＝－8或x ＝3，所以C 错；由|x ＋1|≤1，得－2≤x ≤0，由x 2>4，得x <－2或x >2，所以D 错．二、填空题7．填上适当的量词符号“∀”“∃”，使下列命题为真命题．(1)________x ∈R ，使x 2＋2x ＋1≥0；(2)________α，β∈R ，使cos(α－β)＝cos α－cos β；(3)________a ，b ∈R ，使方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝1a 2x ＝2，有唯一解． 答案 (1)∀ (2)∃ (3)∃8．将下列命题用含有“∀”或“∃”的符号语言来表示．(1)任意一个整数都是有理数，________.(2)实数的绝对值不小于0，________.(3)存在一实数x 0，使x 30＋1＝0，________.答案 (1)∀x ∈Z ，x ∈Q (2)∀x ∈R ，|x |≥0 (3)∃x 0∈R ，x 30＋1＝0三、解答题9．判断下列命题是否是全称命题或特称命题？若是，并判断其真假．(1)∃x 0，x 0－2≤0；(2)矩形的对角线互相垂直平分；(3)三角形两边之和大于第三边；(4)有些素数是奇数．解 (1)特称命题，真命题；(2)全称命题，假命题；(3)全称命题，真命题；(4)特称命题，真命题．10．试用不同的表述写出全称命题“矩形都是正方形”．解 所有的矩形都是正方形．一切矩形都是正方形．每一个矩形都是正方形．任一个矩形都是正方形．凡是矩形都是正方形.。
统编通用版高考数学全套电子教案之人教A版选修1-1教案：1.4全称量词与存在量词(含答案)
有”、“任意”、“每一个”等。通常用符号“
x ”表示，读作“对任
意 x ”。
归纳整理本节课所 学知识
2．含有全称量词的命题 , 叫做全称命题。
一般用符号简记为“ x M , p ( x) ”。读作“对任意的 x 属于 M，有 p
（x）成立。（其中 M为给定的集合， p( x) 是关于 x 的命题。）例如“对
D ．每个函数都有反函数
2．将“ x2+y2≥ 2xy ”改写成全称命题，下列说法正确的是（
）
A ． x, y R ，都有 x 2 y 2 2xy
B ． x, y R ，都有 x2 y 2 2 xy
C． x 0, y 0 ，都有 x2 y 2 2 xy
D． x 0, y 0 ，都有 x2 y 2 2xy
D ．不存在这样的 α 和 β，使 cos(α +β ) ≠ cosα cosβ － sinα sinβ
5．下列全称命题中真命题的个数是（
）
①末位是 0 的整数，可以被 2 整除；
②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；
③正四面体中两侧面的夹角相等；
A．1
B．2
6．下列存在性命题中假命题的个数是（
式和范围上认识和解决问题提供了新的思路和方法；
3.存在量词：日常生活和数学中所用的“存在” 量词，记作 x ， y 等；
，“有一个”，“有的”，“至少有一个”等词统称为存在
4．含有全称量词的命题称为全称命题，含有存在量词的命题称为存在性称命题； 全称命题的格式： “对 M 中的所有 x，p(x) ”的命题，记为 : x M , p( x)
是不同的
区 等于 . 别
否定词 : 不等于、不大于、不小于、不是、不都是
《1.4全称量词与存在量词》教学案
1.4《全称量词存在量词》教学案【教学目标】1.知识目标：①通过教学实例，理解全称量词和存在量词的含义；②能够用全称量词符号表示全称命题，能用存在量词符号表述特称命题； ③会判断全称命题和特称命题的真假；2.能力与方法：通过观察命题、科学猜想以及通过参与过程的归纳和问题的演绎，培养学生的观察能力和概括能力；通过问题的辨析和探究，培养学生良好的学习习惯和反思意识；3.情感、态度与价值观：通过引导学生观察、发现、合作与交流，让学生经历知识的形成过程，增加直接经验基础，增强学生学习的成功感，激发学生学习数学的兴趣.【教学重点】理解全称量词与存在量词的意义.【教学难点】正确地判断全称命题和特称命题的真假.【教学过程】一．情境设置：哥德巴赫猜想是世界近代三大数学难题之一.1742年，由德国中学教师哥德巴赫在教学中首先发现的.1742年6月7日哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉，正式提出了以下的猜想： )(a 任何一个大于 6的偶数都可以表示成两个质数之和．)(b 任何一个大于9的奇数都可以表示成三个质数之和．这就是哥德巴赫猜想．欧拉在回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明，从此，这道数学题引起了几乎所有数学家的注意。
哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”.二．新知探究观察以下命题：(1)对任意R x ∈，3>x ；(2)所有的正整数都是有理数；(3)若函数)(x f 对定义域D 中的每一个x ，都有)()(x f x f =-，则)(x f 是偶函数；(4)所有有中国国籍的人都是黄种人．问题1.(1)这些命题中的量词有何特点？(2)上述4个命题，可以用同一种形式表示它们吗？填一填：全称量词：_________________________全称命题：_________________________全称命题的符号表示：_________________________.你能否举出一些全称命题的例子？试一试：判断下列全称命题的真假．(1)所有的素数都是奇数；(2)11,2≥+∈∀x R x ；(3)每一个无理数x ，2x 也是无理数．(4){}Q n m n m x x b a ∈+=∈∀,,2,，{}Q n m n m x x b a ∈+=∈+,,2．想一想：你是如何判断全称命题的真假的？问题2.下列命题中量词有何特点？与全称量词有何区别？(1)存在一个,0R x ∈使3120=+x ；(2)至少有一个,0Z x ∈0x 能被2和3整除；(3)有些无理数的平方是无理数．类比归纳：存在量词 __________________________________________________特称命题__________________________________________________特称命题的符号表示__________________________________________________ 特称命题真假的判断方法__________________________________________________ 练一练：判断下列特称命题的真假.(1) 有一个实数0x ，使03x 2x 020=++；(2) 存在两个相交平面垂直同一平面；(3) 有些整数只有两个正因数.三．自我检测1、用符号“∀” 、“∃”语言表达下列命题(1)自然数的平方不小于零(2)存在一个实数，使0122=+-X X2、判断下列命题的真假：(1)每个指数函数都是单调函数；(2)任何实数都有算术平方根；(3){}是无理数，是无理数2|x x x x ∈∀(4);0,00≤∈∃x R x四．能力提升1．下列命题中为全称命题的是( )(A )有些圆内接三角形是等腰三角形 ；(B )存在一个实数与它的相反数的和不为0；(C )所有矩形都有外接圆 ； (D )过直线外一点有一条直线和已知直线平行． 2．下列全称命题中真命题的个数是( )①末位是0的整数，可以被3整除；②对12,2+∈∀x Z x 为奇数．③角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等；(A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) 33．下列特称命题中假命题的个数是( )①0,≤∈∃x R x ；②有的菱形是正方形；③至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数．(A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) 34．命题“存在一个三角形，内角和不等于 180”的否定为( )(A )存在一个三角形，内角和等于 180；(B )所有三角形，内角和都等于 180；(C )所有三角形，内角和都不等于 180；(D )很多三角形，内角和不等于 180． 5．把“正弦定理”改成含有量词的命题．6．用符号“∀”与“∃”表示含有量词的命题“p ：已知二次函数)1()1()(2+++=x b x a x f ，则存在实数b a ,，使不等式)1(21)(2+≤≤x x f x 对任意实数x 恒成立”．7．对),0(+∞∈∀x ，总∃),0(+∞∈a 使得2)(≥+=x a x x f 恒成立，求a 的取值范围．。
1.4《全称量词语存在量词》教案(新人教选修1-1)
1.4全称量词与存在量词[教学目标]1通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义2能准确地利用全称量词与存在量词叙述数学内容[教学重点]理解全称量词与存在量词的意义[教学过程]一、问题情景德国著名的数学家哥德巴赫提出这样一个问题“任意取一个奇数，可以把它写成三个质数之和，比如77，：77=53+17+7”，同年欧拉首先肯定了哥德巴赫猜想的正确，并且认为：每一个偶数都是两个质数之和，虽然通过大量检验这个命题是正确的，但是还需要证明。
这也就是当今人们称之为哥德巴赫猜想，并誉为数学皇冠上的明珠。
200多年来我国著名数学家陈景润才证明了“1+2”即：凡是比某一个正整数大的任何偶数，都能表示成一个质数加上两个质数相乘，或者表示成一个质数加上一个质数，从陈景润的“1+2”到“1+1”似乎仅一步之遥。
它是一个迄今为止仍然是一个没有得到正面证明也没有被推翻的命题。
在我们的日常生活中，我们常常遇到这样的命题:（1）所有中国公民的合法权利都受到中华人民共和国宪法的保护（2）对任意实数x ，都有02≥x（3）存在有理数x ，使022=-x问题1上述命题中有那些关键的量词?二、新课1.全称量词与存在量词全称量词及表示：表示全体的量词称为全称量词。
表示形式为“所有”、“任意”、“每一个”等。
通常用符号“x ∀”表示，读作“对任意x ”。
存在量词及表示:表示部分的量称为存在量词。
表示形式为“有一个”，“存在一个”,“有点”,“有些”等。
通常用符号“x ∃”表示，读作“存在x ”。
“对任意实数x ，都有02≥x ”可表示为2,0x R x ∀∈≥;“存在有理数x ，使022=-x ” 可表示为2,20x Q x ∃∈-=.2. 全称命题与存在性命题全称命题——含有全称量词的命题 ,一般形式)(,x p M x ∈∀存在性命题——含有存在量词的命题, 一般形式)(,x p M x ∈∃,其中M 为给定的集合，)(x p 是关于x 的命题.三、例题讲解例1、判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并找出其中的量词（1）任意实数的平方都是正数__________\__________（2）0乘以任何数都等于0______________\____________（3）任何一个实数都有相反数___________\______________（4）⊿ABC 的内角中有小于600的角___________\___________（5）有人既能写小说，也能搞发明创造____________\__________问题2：如何判定一个存在性命题，全称命题的真假？例2判断下列命题的真假1．x x R x >∈∃2, 2．x x R x >∈∀2,3．08,2=-∈∃x Q x 4．02,2>+∈∀x R x5．01,2>++∈∀x x R x 6．01,2>+-∈∃x x R x存在性命题)(,x p M x ∈∃为真，只要在给定的集合M 中找出一个元素x ，使命题)(x p 为真，否则为假；全称命题)(,x p M x ∈∀为真，必须对给定的集合的每一个元素x, )(x p 为真，但要判断一个全称命题为假，只要在给定的集合内找出一个0x ，使)(0x p 为假四、课堂练习：书P13 1，2五、课堂小结：如何判定全称命题与存在性命题的真假？六、课后作业课本15页习题1.3感受理解1.2.3.高中数学创新课时训练苏教版选修1-1的第六课时.1.下列全称命题中，真命题的是___________A ．末位是偶数的整数总能被2整除B ．角平分线上的点到这个角两边距离相等C ．正三棱锥的任意两个面所成的二面角相等2.下列存在性命题中，真命题的是____________A ．0,≤∈∃x R xB ．至少有一个整数，它既不是质数也不是合数C ．x ∃是无理数，2x 是无理数D ．x ∃是无理数，2x 是有理数。
高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.4 全称量词与存在量词(含解析)1数学教案
全称量词与存在量词预习课本P21～25，思考并完成以下问题1．全称量词、全称命题的定义是什么？2．存在量词、特称命题的定义是什么？3．全称命题与特称命题的否定分别是什么命题？[新知初探]1．全称量词与全称命题全称量词所有的、任意一个、一切、每一个、任给符号__∀__全称命题含有全称量词的命题形式“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”存在量词存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的符号表示__∃__特称命题含有存在量词的命题形式“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为“∃x0∈M，p(x0)”知识点原命题命题的否定全称命题p：∀x∈M，p(x)綈p：∃x0∈M，綈p(x0)的否定特称命题p：∃x0∈M，p(x0)綈p：∀x∈M，綈p(x)的否定[(1)全称命题的否定全称命题的否定是一个特称命题，否定全称命题时关键是找出全称量词，明确命题所提供的性质．(2)特称命题的否定特称命题的否定是一个全称命题，否定特称命题时关键是找出存在量词，明确命题所提供的性质．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在全称命题和特称命题中，量词都可以省略( )(2)“有的等差数列也是等比数列”是特称命题( )(3)“三角形内角和是180°”是全称命题( )答案：(1)×(2)√(3)√2．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是( )A．∀x∈R，|x|＋x2<0 B．∀x∈R，|x|＋x2≤0C．∃x0∈R，|x0|＋x20<0 D．∃x0∈R，|x0|＋x20≥0答案：C3．下列全称命题为真命题的是( )A．所有的质数是奇数B．∀x∈R，x2＋1≥1C．对每一个无理数x，x2也是无理数D．所有的能被5整除的整数，其末位数字都是5答案：B4．命题p：∃x0∈R，x20＋2x0＋5<0是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定为綈p：______________.答案：特称命题假∀x∈R，x2＋2x＋5≥0全称命题与特称命题的判断[典例](1)凸多边形的外角和等于360°；(2)有的向量方向不定；(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；(4)矩形的对角线不相等；(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．[解] (1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称命题．(2)含有存在量词“有的”，故是特称命题．(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题．(4)可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称命题．(5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题．判断一个语句是全称命题还是特称命题的思路[注意] 全称命题可能省略全称量词，特称命题的存在量词一般不能省略． [活学活用]用全称量词或存在量词表示下列语句： (1)不等式x 2＋x ＋1>0恒成立；(2)当x 为有理数时，13x 2＋12x ＋1也是有理数；(3)等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β对有些角α，β成立； (4)方程3x －2y ＝10有整数解．解：(1)对任意实数x ，不等式x 2＋x ＋1>0成立． (2)对任意有理数x ，13x 2＋12x ＋1是有理数．(3)存在角α，β，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立． (4)存在一对整数x ，y ，使3x －2y ＝10成立.全称命题、特称命题的真假判断[典例] A ．∃x 0∈R ，lg x 0＝0 B ．∃x 0∈R ，tan x 0＝1 C ．∀x ∈R ，x 2>0D ．∀x ∈R ，e x>0(2)下列命题中的真命题是( )A ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数B ．∃α0，β0∈R ，使cos(α0＋β0)＝cos α0＋cos β0C ．向量a ＝(2,1)，b ＝(－1,0)，则a 在b 方向上的投影为2D ．“|x |≤1”是“x ≤1”的既不充分又不必要条件 [解析] (1)对于A ，x ＝1时，lg x ＝0； 对于B ，x ＝k π＋π4(k ∈Z)时，tan x ＝1；对于C ，当x ＝0时，x 2＝0，所以C 中命题为假命题； 对于D ，e x>0恒成立．(2)对于A ，当φ＝π2时，f (x )＝cos 2x ，为偶函数，故A 为假命题；对于B ，令α0＝π4，β0＝－π2，则cos(α0＋β0)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝22，cos α0＋cos β0＝22＋0＝22，cos(α0＋β0)＝cos α0＋cos β0成立，故B 为真命题； 对于C ，向量a ＝(2,1)，b ＝(－1,0)，则a 在b 方向上的投影为a ·b |b |＝－2＋01＝－2，故C 为假命题；对于D ，|x |≤1，即－1≤x ≤1，故充分性成立，若x ≤1，则|x |≤1不一定成立，所以“|x |≤1”为“x ≤1”的充分不必要条件，故D 为假命题．[答案] (1)C (2)B指出下列命题是全称命题，还是特称命题，并判断真假． (1)若a >0，且a ≠1，则对任意实数x ，a x>0. (2)对任意实数x 1，x 2，若x 1<x 2，则tan x 1<tan x 2. (3)存在两个相交平面垂直于同一条直线． (4)∃x 0∈R ，使x 20＋1<0. 解：(1)是全称命题．∵a x>0(a >0，且a ≠1)恒成立，∴命题(1)是真命题． (2)是全称命题．存在x 1＝0，x 2＝π，x 1<x 2，但tan 0＝tan π， ∴命题(2)是假命题． (3)是特称命题．由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的， ∴命题(3)是假命题． (4)是特称命题．对任意x ∈R ，x 2＋1>0，∴命题(4)是假命题.全称命题与特称命题的否定[典例] p n n2n pA．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n(2)(2016·浙江高考)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( )A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2[解析] (1)因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，綈p(x)”，所以命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”，故选C.(2)由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，所以“∀x ∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2”．[答案] (1)C (2)D全称命题与特称命题的否定的思路(1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．(2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．判断下列命题的真假，并写出它们的否定．(1)三角形的内角和为180°；(2)每个二次函数的图象都开口向下；(3)存在一个四边形不是平行四边形．解：(1)三角形的内角和为180°，是全称命题，是真命题．命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形，其内角和不等于180°.(2)每个二次函数的图象都开口向下，是全称命题，是假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下．(3)存在一个四边形不是平行四边形，是特称命题，是真命题．命题的否定：所有的四边形都是平行四边形.利用全称命题与特称命题求参数[典例] 若命题“∀x ∈[－1，＋∞)，x 2－2ax ＋2≥a ”是真命题，求实数a 的取值范围．[解] 法一：由题意，∀x ∈[－1，＋∞)， 令f (x )＝x 2－2ax ＋2≥a 恒成立，所以f (x )＝(x －a )2＋2－a 2≥a 可转化为∀x ∈[－1，＋∞)，f (x )min ≥a 恒成立， 而∀x ∈[－1，＋∞)，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧2－a 2，a ≥－1，1＋a 2＋2－a 2，a <－1.由f (x )的最小值f (x )min ≥a ，知a ∈[－3,1]． 法二：x 2－2ax ＋2≥a ， 即x 2－2ax ＋2－a ≥0， 令f (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，所以全称命题转化为∀x ∈[－1，＋∞)，f (x )≥0恒成立，所以Δ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－42－a >0，a <－1，f －1≥0，即－2≤a ≤1或－3≤a <－2.所以－3≤a ≤1. 综上，所求实数a 的取值范围是[－3,1]．利用全称命题与特称命题求参数范围的两类题型(1)全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决．(2)特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表达．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．1．命题p ：∃x 0∈[0，π]，使sin ⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋π3<a ，若p 是真命题，则实数a 的取值范围为________．解析：由0≤x ≤π，得π3≤x ＋π3≤4π3，所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤1. 而命题p ：∃x 0∈[0，π]，使sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋π3<a ，因为p 为真命题，所以a >－32. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞ 2．已知命题p ：∃x 0∈R ，使x 20－mx 0＋1＝0，命题q ：∀x ∈R ，有x 2－2x ＋m >0.若命题q ∨(p ∧q )为真，綈p 为真，求实数m 的取值范围．解：由于綈p 为真，所以p 为假，则p ∧q 为假． 又q ∨(p ∧q )为真，故q 为真，即p 假、q 真．命题p 为假，即关于x 的方程x 2－mx ＋1＝0无实数解，则m 2－4<0，解得－2<m <2； 命题q 为真，则4－4m <0，解得m >1. 故实数m 的取值范围是(1,2)．层级一 学业水平达标1．已知命题p ：∀x >0，总有e x>1，则綈p 为( ) A ．∃x 0≤0，使得e x 0≤1 B ．∃x 0>0，使得e x 0≤1 C ．∀x >0，总有e x≤1D ．∀x ≤0，总有e x<1解析：选B 因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p 的否定綈p 为∃x 0>0，使得e x 0≤1.故选B.2．下列四个命题中的真命题为( ) A ．若sin A ＝sin B ，则A ＝B B ．∀x ∈R ，都有x 2＋1>0 C ．若lg x 2＝0，则x ＝1 D ．∃x 0∈Z ，使1<4x 0<3解析：选B A 中，若sin A ＝sin B ，不一定有A ＝B ，故A 为假命题，B 显然是真命题；C 中，若lg x 2＝0，则x 2＝1，解得x ＝±1，故C 为假命题；D 中，解1<4x <3得14<x <34，故不存在这样的x ∈Z ，故D 为假命题．3．命题“∃x 0∈R,2x 0<12或x 20>x 0”的否定是( )A ．∃x 0∈R,2x 0≥12或x 20≤x 0B ．∀x ∈R,2x ≥12或x 2≤xC ．∀x ∈R,2x ≥12且x 2≤xD ．∃x 0∈R,2x 0≥12且x 20≤x 0解析：选C 原命题为特称命题，其否定为全称命题，应选C. 4．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( ) A ．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0 C ．两个无理数的和必是无理数 D ．存在一个负数x ，使1x>2解析：选B A 中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B 中x ＝0时，x 2＝0，所以B 既是特称命题又是真命题；C 中因为3＋(－3)＝0，所以C 是假命题；D 中对于任一个负数x ，都有1x<0，所以D 是假命题．5．命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，若綈p 是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,4]B ．[0,4]C ．(－∞，0]∪[4，＋∞)D ．(－∞，0)∪(4，＋∞)解析：选D 当a ＝0时，不等式恒成立； 当a ≠0时，要使不等式恒成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a ≤0，解得0<a ≤4.综上，0≤a ≤4，则命题p ：0≤a ≤4， 所以綈p ：a <0或a >4.6．下列命题中，是全称命题的是________；是特称命题的是________．(填序号) ①正方形的四条边相等；②有两个角相等的三角形是等腰三角形； ③正数的平方根不等于0； ④至少有一个正整数是偶数．解析：①可表述为“每一个正方形的四条边相等”，是全称命题；②是全称命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述为“所有正数的平方根不等于0”是全称命题；④是特称命题．答案：①②③ ④7．命题“至少有一个正实数x 满足方程x 2＋2(a －1)x ＋2a ＋6＝0”的否定是________． 解析：把量词“至少有一个”改为“所有”，“满足”改为“都不满足”得命题的否定． 答案：所有正实数x 都不满足方程x 2＋2(a －1)x ＋2a ＋6＝08．已知命题“∃x 0∈R,2x 20＋(a －1)x 0＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：原命题等价于“∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12>0”是真命题，即Δ＝(a －1)2－4<0，解得－1<a <3.答案：(－1,3)9．判断下列命题的真假，并写出它们的否定． (1)∀α，β∈R ，sin(α＋β)≠sin α＋sin β； (2)∃x 0，y 0∈Z,3x 0－4y 0＝20；(3)在实数范围内，有些一元二次方程无解； (4)正数的绝对值是它本身．解：(1)当α＝β＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β，故命题为假命题．命题的否定为：∃α0，β0∈R ，sin(α0＋β0)＝sin α0＋sin β0.(2)真命题．命题的否定为：∀x ，y ∈Z,3x －4y ≠20.(3)真命题．命题的否定为：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解．(4)省略了量词“所有的”，该命题是全称命题，且为真命题．命题的否定为：有的正数的绝对值不是它本身．10．已知命题p ：∀a ∈(0，b ](b ∈R 且b >0)，函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x a ＋π3的周期不大于4π.(1)写出綈p ；(2)当綈p 是假命题时，求实数b 的最大值． 解：(1)綈p ：∃a 0∈(0，b ](b ∈R 且b >0)，函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x a 0＋π3的周期大于4π. (2)因为綈p 是假命题，所以p 是真命题， 所以∀a ∈(0，b ]，2π1a≤4π恒成立，解得a ≤2，所以b ≤2，所以实数b 的最大值是2.层级二 应试能力达标1．已知f (x )＝3sin x －πx ，命题p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )<0，则( )A ．p 是假命题，綈p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0B ．p 是假命题，綈p ：∃x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)≥0 C ．p 是真命题，綈p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0 D ．p 是真命题，綈p ：∃x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)≥0 解析：选D 由正弦函数的图象，知∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x <x ，又3<π，∴当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，3sin x <πx ，即∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )<0恒成立，∴p 是真命题．又全称命题的否定是特称命题，∴綈p ：∃x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)≥0. 2．已知命题p ：∀x ∈R,2x 2＋2x ＋12<0；命题q ：∃x 0∈R ，sin x 0－cos x 0＝ 2.则下列判断正确的是( )A ．p 是真命题B ．q 是假命题C ．p ，q 都是假命题D ．綈q 是假命题解析：选D p ：2x 2＋2x ＋12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋x ＋14＝2x ＋122≥0，∴p 为假命题，綈p 为真命题．q ：sin x 0－cos x 0＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x 0－π4，∴x 0＝34π时成立．故q 为真，而綈q 为假命题． 3．已知命题p ：∃x 0∈R ，使sin x 0＝52；命题q ：∀x ∈R ，都有x 2＋12x ＋34>0.给出下列结论：①命题p 是真命题； ②命题q 是假命题； ③命题(綈p )∧q 是真命题； ④命题p ∨(綈q )是假命题． 其中正确的是( ) A ．②④ B ．②③ C ．③④D ．①②③解析：选C 对于命题p ，因为函数y ＝sin x 的值域为[－1,1]，所以命题p 为假命题； 对于命题q ，因为函数y ＝x 2＋12x ＋34的图象开口向上，最小值在x ＝－14处取得，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝1116>0，所以命题q 为真命题． 由命题p 为假命题和命题q 为真命题可得：命题(綈p )∧q 是真命题，命题p ∨(綈q )是假命题．故③④正确．4．命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A ．∀n ∈N *，f (n )∉N *且f (n )>n B ．∀n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )>n C ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *且f (n 0)>n 0 D ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0解析：选D 写全称命题的否定时，要把量词∀改为∃，并且否定结论，注意把“且”改为“或”．5．有下列四个命题：①∀x ∈R,2x 2－3x ＋4>0； ②∀x ∈{1，－1,0},2x ＋1>0； ③∃x 0∈N ，x 20≤x 0；④∃x 0∈N *，x 0为29的约数． 其中真命题有________个．解析：易知①③④正确．当x ＝－1时，2x ＋1<0，故②错误． 答案：36．已知命题p ：∃c >0，y ＝(3－c )x在R 上为减函数，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋2c －3>0.若p ∧q 为真命题，则实数c 的取值范围为________．解析：由于p ∧q 为真命题，所以p ，q 都是真命题，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<3－c <1，2c －3>0，解得2<c <3.故实数c 的取值范围为(2,3)．答案：(2,3)7．已知命题p ：“至少存在一个实数x 0∈[1,2]，使不等式x 2＋2ax ＋2－a >0成立”为真，试求参数a 的取值范围．解：法一：由题意知，x 2＋2ax ＋2－a >0在[1,2]上有解，令f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ，则只需f (1)>0或f (2)>0，即1＋2a ＋2－a >0，或4＋4a ＋2－a >0.整理得a >－3或a >－2.即a >－3.故参数a 的取值范围为(－3，＋∞)． 法二：綈p ：∀x ∈[1,2]，x 2＋2ax ＋2－a >0无解， 令f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ， 则⎩⎪⎨⎪⎧f 1≤0，f2≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋2a ＋2－a ≤0，4＋4a ＋2－a ≤0.解得a ≤－3.故命题p 中，a >－3. 即参数a 的取值范围为(－3，＋∞)．8．已知f (t )＝log 2t ，t ∈[2，8]，若命题“对于f (t )值域内的所有实数m ，不等式x 2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立”为真命题，求实数x 的取值范围．解：易知f (t )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3. 由题意，令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4＝(x －2)m ＋(x －2)2，则g (m )>0对∀m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3恒成立．所以⎩⎪⎨⎪⎧g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，g 3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧12x －2＋x －22>0，3x －2＋x －22>0，解得x >2或x <－1.故实数x 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( ) A ．任意一个有理数，它的平方是有理数 B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C ．存在一个有理数，它的平方是有理数 D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数解析：选B 根据特称命题的否定是全称命题，先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．2．设x >0，y ∈R ，则“x >y ”是“x >|y |”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 由x >y 推不出x >|y |，由x >|y |能推出x >y ，所以“x >y ”是“x >|y |”的必要不充分条件．3．已知命题①若a >b ，则1a <1b，②若－2≤x ≤0，则(x ＋2)(x －3)≤0，则下列说法正确的是( )A ．①的逆命题为真B ．②的逆命题为真C ．①的逆否命题为真D ．②的逆否命题为真解析：选D ①的逆命题为1a <1b则，a >b ，若a ＝－2，b ＝3，则不成立．故A 错；②的逆命题为若(x ＋2)(x －3)≤0，则－2≤x ≤0是假命题，故B 错；①为假命题，其逆否命题也为假命题，故C 错；②为真命题，其逆否命题也为真命题，D 正确．4．已知命题p ：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是( ) A ．命题綈p 是真命题B ．命题p 是特称命题C ．命题p 是全称命题D ．命题p 既不是全称命题也不是特称命题解析：选C 命题p ：实数的平方是非负数，是全称命题，且是真命题，故綈p 是假命题．5．下列命题中，真命题是( ) A ．命题“若|a |>b ，则a >b ”B ．命题“若“a ＝b ，则|a |＝|b |”的逆命题C ．命题“当x ＝2时，x 2－5x ＋6＝0”的否命题 D ．命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”解析：选D 原命题可以改写成“若角的终边相同，则它们的同名三角函数值相等”，是真命题，故选D.6．已知命题p ：若实数x ，y 满足x 3＋y 3＝0，则x ，y 互为相反数；命题q ：若a >b >0，则1a <1b.下列命题p ∧q ，p ∨q ，綈p ，綈q 中，真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 易知命题p ，q 都是真命题，则p ∧q ，p ∨q 都是真命题，綈p ，綈q 是假命题．7．已知f (x )＝e x＋x －1，命题p ：∀x ∈(0，＋∞)，f (x )>0，则( ) A ．p 是真命题，綈p ：∃x 0∈(0，＋∞)，f (x 0)<0 B ．p 是真命题，綈p ：∃x 0∈(0，＋∞)，f (x 0)≤0 C ．p 是假命题，綈p ：∃x 0∈(0，＋∞)，f (x 0)<0 D ．p 是假命题，綈p ：∃x 0∈(0，＋∞)，f (x 0)≤0解析：选B 由于函数y ＝e x 和y ＝x －1在R 上均是增函数，则f (x )＝e x＋x －1在R 上是增函数，当x >0时，f (x )>f (0)＝0，所以p 为真命题，綈p ：∃x 0∈(0，＋∞)，f (x 0)≤0，故选B.8．下列关于函数f (x )＝x 2与函数g (x )＝2x的描述，正确的是( ) A ．∃a 0∈R ，当x >a 0时，总有f (x )<g (x ) B ．∀x ∈R ，f (x )<g (x ) C ．∀x <0，f (x )≠g (x )D．方程f(x)＝g(x)在(0，＋∞)内有且只有一个实数解解析：选A 在同一坐标系内作出两函数的大致图象，两交点为(2,4)，(4,16)．当x>4时，由图象知f(x)<g(x)，其余三命题均错误．9．已知p：x≥k，q：3x＋1<1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是( )A．[1，＋∞) B．(2，＋∞)C．[－1，＋∞) D．(－∞，－1)解析：选B3x＋1<1⇔x<－1或x>2.又p是q的充分不必要条件，则k>2，故选B.10．下列判断正确的是( )A．命题“负数的平方是正数”不是全称命题B．命题“∀x∈N*，x3>x2”的否定是“∃x0∈N*，x30<x20”C．“a＝1”是“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期是π”的必要不充分条件D．“b＝0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数”的充要条件解析：选D 选项A是全称命题，不正确；选项B应该是∃x0∈N*，x30≤x20，不正确；对于选项C，f(x)＝cos2ax－sin2ax＝cos 2ax，周期T＝2π2a＝πa，当a＝1时，周期是π，当周期是π时，a＝1，所以“a＝1”是“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期是π”的充要条件；选项D正确，故选D.11．设f(x)＝x2－4x(x∈R)，则f(x)>0的一个必要不充分条件是( )A．x<0 B．x<0或x>4C．|x－1|>1 D．|x－2|>3解析：选C 由f(x)＝x2－4x>0，得x<0或x>4.由|x－1|>1，得x<0或x>2.由|x－2|>3，得x<－1或x>5，所以只有C是必要不充分条件．故选C.12．有下列命题：①“若x＋y>0，则x>0且y>0”的否命题；②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若m≥1，则mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集是R”的逆命题；④“若a ＋7是无理数，则a 是无理数”的逆否命题． 其中正确的是( ) A ．①②③ B ．②③④ C ．①③④D ．①④解析：选C ①的逆命题为“若x >0且y >0，则x ＋y >0”为真，故否命题为真； ②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假命题； ③的逆命题为，若mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集为R ，则m ≥1. ∵当m ＝0时，解集不是R ，∴应有⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ<0， 即m >1.∴③是真命题；④原命题为真，逆否命题也为真．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．命题“若a ∉A ，则b ∈B ”的逆否命题是________． 解析：逆否命题既否定其条件又否定其结论，然后交换其顺序． 答案：若b ∉B ，则a ∈A14．命题p ：若a ，b ∈R ，则ab ＝0是a ＝0的充分条件，命题q ：函数y ＝x －3的定义域是[3，＋∞)，则“p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”中是真命题的为________．解析：p 为假命题，q 为真命题，故p ∨q 为真命题，綈p 为真命题． 答案：p ∨q ，綈p15．已知p ：－4<x －a <4，q ：(x －2)(3－x )>0，若綈p 是綈q 的充分条件，则实数a 的取值范围是________．解析：p ：a －4<x <a ＋4，q ：2<x <3. 由綈p 是綈q 的充分条件可知，q 是p 的充分条件，即q ⇒p ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4≥3，解得－1≤a ≤6.答案：[－1,6]16．已知在实数a ，b 满足某一前提条件时，命题“若a >b ，则1a <1b”及其逆命题、否命题和逆否命题都是假命题，则实数a ，b 应满足的前提条件是________．解析：由题意，知ab ≠0，当ab >0时，1a <1b ⇔ab ·1a <1b·ab ⇔b <a ，所以四种命题都是正确的．当ab <0时，若a >b ，则必有a >0>b ，故1a>0>1b ，所以原命题是假命题；若1a <1b，则必有1a<0<1b，故a <0<b ，所以原命题的逆命题也是假命题．由命题的等价性，可知四种命题都是假命题，故填ab <0.答案：ab <0三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假． (1)对数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除； (3)∀x ∈{x |x >0}，x ＋1x>2；(4)∃x 0∈Z ，log 2x 0>2.解：(1)命题中隐含了全称量词“所有的”，因此命题应为“所有的对数函数都是单调函数”，是全称命题，且为真命题．(2)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是特称命题，且为真命题． (3)命题中含有全称量词“∀”，是全称命题，且为假命题． (4)命题中含有存在量词“∃”，是特称命题，且为真命题．18．(本小题满分12分)把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断命题的真假． (1)能被6整除的数一定是偶数；(2)当a －1＋|b ＋2|＝0时，a ＝1，b ＝－2； (3)已知x ，y 为正整数，当y ＝x 2时，y ＝1，x ＝1.解：(1)若一个数能被6整除，则这个数为偶数，是真命题． (2)若a －1＋|b ＋2|＝0，则a ＝1且b ＝－2，真命题． (3)已知x ，y 为正整数，若y ＝x 2，则y ＝1且x ＝1，假命题．19．(本小题满分12分)已知c >0，设命题p ：y ＝c x为减函数，命题q ：函数f (x )＝x ＋1x >1c 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上恒成立．若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求c 的取值范围． 解：由p ∨q 真，p ∧q 假，知p 与q 为一真一假，对p ，q 进行分类讨论即可．若p 真，由y ＝c x为减函数，得0<c <1.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，由不等式x ＋1x ≥2(x ＝1时取等号)知， f (x )＝x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最小值为2.若q 真，则1c <2，即c >12.若p 真q 假，则0<c <1，c ≤12，所以0<c ≤12；若p 假q 真，则c ≥1，c >12，所以c ≥1.综上可得，c ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[1，＋∞)． 20．(本小题满分12分)已知k ∈R 且k ≠1，直线l 1：y ＝k 2x ＋1和l 2：y ＝1k －1x －k .(1)求直线l 1∥l 2的充要条件；(2)当x ∈[－1,2]时，直线l 1恒在x 轴上方，求k 的取值范围．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝1k －1，k －1≠0，－k ≠1，解得k ＝2.当k ＝2时，l 1：y ＝x ＋1，l 2：y ＝x －2，此时l 1∥l 2. ∴直线l 1∥l 2的充要条件为k ＝2.(2)设f (x )＝k2x ＋1.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧f－1>0，f 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧k2×－1＋1>0，k 2×2＋1>0，解得－1<k <2.∴k 的取值范围是(－1,2)．21．(本小题满分12分)已知“∃x ∈{x |－1<x <1}，使等式x 2－x －m ＝0成立”是真命题．(1)求实数m 的取值集合M ；(2)设不等式(x －a )(x ＋a －2)<0的解集为N ，若x ∈N 是x ∈M 的必要条件，求实数a 的取值范围．解：(1)由题意，知m ＝x 2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14.由－1<x <1，得m ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，2，故M ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，2. (2)由x ∈N 是x ∈M 的必要条件，知M ⊆N . ①当a >2－a ，即a >1时，N ＝(2－a ，a )，则⎩⎪⎨⎪⎧2－a <－14，a ≥2，a >1，解得a >94.②当a <2－a ，即a <1时，N ＝(a,2－a )，则⎩⎪⎨⎪⎧a <1，a <－14，2－a ≥2，解得a <－14.③当a ＝2－a ，即a ＝1时，N ＝∅，不满足M ⊆N . 综上可得a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－14∪⎝ ⎛⎭⎪⎫94，＋∞. 22．(本小题满分12分)已知命题：“∀x ∈{x |－1≤x ≤1}，都有不等式x 2－x －m <0成立”是真命题．(1)求实数m 的取值集合B ；(2)设不等式(x －3a )(x －a －2)<0的解集为A ，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解：(1)命题：“∀x ∈{x |－1≤x ≤1}，都有不等式x 2－x －m <0成立”是真命题，得x 2－x －m <0在－1≤x ≤1时恒成立，∴m >(x 2－x )max ，得m >2， 即B ＝{m |m >2}．(2)不等式(x －3a )(x －a －2)<0，①当3a >2＋a ，即a >1时，解集A ＝{x |2＋a <x <3a }，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则A B ，∴2＋a ≥2，此时a ∈(1，＋∞)；②当3a ＝2＋a ，即a ＝1时，解集A ＝∅，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则A B 成立；③当3a <2＋a ，即a <1时，解集A ＝{x |3a <x <2＋a }，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则A B 成立，∴3a ≥2，此时a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1.综上①②③可得a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞.。
1_4_1全称量词与存在量词(教案)
1.4.1 全称量词与存有量词（第一课时）一、设计思路通过判断给出的四个命题的真假，并说一说给出命题中粗体词有什么意思，对这些命题的真假判断起什么作用？引入新课，从而让学生马上进入学习状态，激发学生学习新知的欲望。
接着用问题的形式提出本节课的学习目标，让学生带着问题阅读课本，从而让学生对本节课内容有一个大致理解。
然后师生共同探究了全称量词与存有量词、全称命题与特称命题的概念，通过大量例子，让学生准确的理解什么是全称命题，什么是特称命题。
同时探究怎样判断全称命题与特称命题的真假。
针对本节课的难点--全称命题和特称命题真假的判定，在教学过程中老师引导学生寻找怎样将难以判断的问题实行转化，从而解决这个难点。
二、教学目标1.知识与技能目标（1）通过命题的真假判定理解全称量词与存有量词，进而理解全称命题与特称命题，培养学生的数学抽象与逻辑推理素养。
（2）通过对全称命题与特称命题的真假判断，培养学生的逻辑推理与数学运算素养。
2.过程与方法目标使学生体会从具体到一般的认知过程，体会类比的学习方法，培养学生抽象、概括的数学素养．三、教学重点理解全称量词与存有量词的意义，并能准确理解全称命题和特称命题。
四、教学难点全称命题和特称命题真假的判定。
五、教学方法：以教师为主导，以学生为主体，通过教师引导，学生互相合作完成教学。
六、教具：多媒体，黑板七、课时计划：一课时八、教学过程设计三、合作交流探究 第一过程： 师生共同探究一、全称量词与全称命题（PPT 展示）1、全称量词 短语“所有的”“任意一个”在逻辑 中通常叫做全称量词2、表示：用符号“∀”表示．3、全称命题：含有全称量词的命题叫做全称命题．4、全称命题的一般形式 学生类比完成：存有量词与特称命题下面我们对照全称量词与全称命题的概念，完成对存有量词与特称命题的概念理解： 二、存有量词与特称命题 1、存有量词：短语“存有一个”、“至少有一个”、 在逻辑中通常叫做存有量词。
1.4全称量词与存在量词教案设计
1.4全称量词与存在量词教案设计1．4全称量词与存在量词1.4.1全称量词1.4.2存在量词(一)教学目标1.知识与技能目标（1）通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词．（2）了解含有量词的全称命题和特称命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性．2.过程与方法目标使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力．3.情感态度价值观通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．(二)教学重点与难点重点:理解全称量词与存在量词的意义难点: 全称命题和特称命题真假的判定.（三）教学过程1.4.1全称量词1．思考、分析下列语句是命题吗？假如是命题你能判断它的真假吗？（1）x＞３；(2) 2x＋１是整数；(3) 对所有的x∈Ｒ, x＞３；（4）对任意一个x∈Ｚ，2x＋１是整数。
推理、判断（让学生自己表述）（1）、（2）不能判断真假，不是命题。
（3）、(4)是命题。
3．发现、归纳命题（3）、（4），它们用到“所有的”“任意一个”这样的词语，这些词语一般在指定的范围内都表示整体或全部，这样的词叫做全称量词，用符号“?”表示，含有全称量词的命题，叫做全称命题。
常见的全称量词还有：对于一切，对每一个，任给,等通常将含有变量x的语句用p（x），q（x），r（x），……表示，变量x的取值范围用M表示。
那么全称命题“对M中任意一个x，有p（x）成立”可用符号简记为：?x∈M, p（x），读做“对任意x属于M，有p（x）成立”。
4、例题（课本例题１）：判断下列全程命题的真假：（１）所有的素数都是奇数（２）?x∈R，x2＋1≥1，（３）对每一个无理数x，2x也是无理数5、通过对上面命题真假判断推理归纳得出：（1）?x∈M，p(x)为真：对集合M中每一个元素x，都有p(x)成立；（2）?x∈M，p(x)为假：在集合M中存在一个元素x0，使得p(x0)不成立.1.4.2存在量词1．思考、分析下列语句是命题吗？假如是命题你能判断它的真假吗？（1）2x+1=３；(2) x 能被2和3整除；(3) 存在一个x 0∈Ｒ, 使得2x 0+1=３；（4）至少有一个x 0∈Ｚ，x 0能被2和3整除。
1.4全称量词与存在量词教学设计教案
1.4全称量词与存在量词教学设计教案第一篇：1.4全称量词与存在量词教学设计教案教学准备1.教学目标（1）知识目标：通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义；（2）过程与方法目标：能准确地利用全称量词与存在量词叙述数学内容；（3）情感与能力目标：培养学生用所学知识解决综合数学问题的能力.2.教学重点/难点【教学重点】：理解全称量词与存在量词的意义；【教学难点】：全称命题和特称命题真假的判定.3.教学用具多媒体4.标签1.4.1 全称量词+1.4.2 存在量词教学过程一、情境引入问题1：下列语句是命题吗？（1）与（3）、（2）与（4）之间有什么关系？（1）x＞3；（2）2x+1是整数；（3）对所有的x∈R，x＞3；（4）对任意一个x∈Z，2x+1是整数；二、知识建构定义：1．全称量词及表示：表示全体的量词称为全称量词。
表示形式为“所有”、“任意”、“每一个”等。
通常用符号“”表示，读作“对任意”。
2．含有全称量词的命题, 叫做全称命题。
一般用符号简记为“立。
（其中M为给定的集合，都有”可表示为三、自主学习1、引导学生阅读教科书P22上的例1中每组全称命题的真假，纠正可能出现的逻辑错误。
规律：全称命题为真，必须对给定的集合的每一个元素x, 为真，但要判断一个全称命题为假，只要在给定的集合内找出一个，使为假.问题2：下列语句是命题吗？（1）与（3）、（2）与（4）之间有什么关系？（1）2x+1=3；（2）x能被2和整除；（3）存在一个x0∈R，使2x0+1=3；（4）至少有一个x0∈Z，x0能被2和3整除；四、知识建构定义：（1）存在量词及表示:表示部分的量称为存在量词。
表示形式为“有一个”，“存在一个”,“有点”,“有些”、至少有一个等。
通常用符号“”表示，读作“存在”。
.”。
读作“对任意的x属于M，有p（x）成是关于x的命题。
）例如“对任意实数x。
（2）含有存在量词的命题叫做特称命题, 一般形式x0∈M，p（x0），读作“存在一个x0属于M，有p（x0）成立。
人教A版选修1-1教案：1.4全称量词与存在量词(含答案)
变化规律；
（ 2）在探究的过程中，应引导学生根据全称量词和存在量词的含义，用简洁自然的语言表述含有一 个量词的命题进行否定；
（ 3）通过例题和习题的教学，使学生能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规
律，正确地对含有一个量词的命题进行否定。
【教学目标 】：
（ 1）知识目标：
通过生活和数学中的实例，理解对含有一个量词的命题的否定的意义
1、引导学生阅读教科书 可能出现的逻辑错误。
P22 上的例 1 中每组全称命题的真假，纠正
自
规律： 全称命题 x M , p( x) 为真， 必须对给定的集合的每一个元
主
学
习 素 x, p (x) 为真，但要判断一个全称命题为假，只要在给定的集合内
找出一个 x0 ，使 p (x0) 为假
巩
课本 P23 练习 1
（ 4）的否定：所有的质数都不是奇数。
引入本节课要讨论的 内容，激发学生探究 新知的兴趣。
人教 A 版选修 1-1 教案： 1.4 全称量词与存在量词（含答案）
人教 A 版选修 1-1 教案： 1.4 全称量词与存在量词（含答案）
定义：
引导学生通过
（1）存在量词及表示 : 表示部分的量称为存在量词。表示形式为“有一
通过一些数学实例
个”，“存在一个” , “有点” , “有些” 、至少有一个等。通常用符号
【教学难点 】：
正确的对含有一个量词的命题进行否定。
【教学过程设计 】：
教
学 环
教学活动
节
设计意图
判断下列命题是全称命题 (1) 所有的人都喝水 (2) 有的人不喝水
, 还是特称命题 , 并指出它们的关系 .
全称量词与存在量词附答案
1.4 全称量词与存在量词(1)第1课时：全称量词与存在量词 情景设计: 已知2():20p x x x +-=，():sin cos q x x x >， （1）语句()p x ，()q x 是命题吗？为什么？（2）如果在语句()p x 或()q x 前面加上“对所有x R ∈”或“存在一个x R ∈”，它们是命题吗？为什么？ 点拔提示：（1）在x 未赋值之前，语句()p x ，()q x 不能判断其真假，所以它们不是命题；（2）在语句()p x 或()q x 前面加上“对所有x R ∈”或“存在一个x R ∈”后，()p x ，()q x 的真假就能确定，所以它们是命题.阅读与积累:1．短语“__________”、“____________” 逻辑中称为全称量词，并用符号“_____” 表示。
对所有的 对任意一个 ∀ 2．短语“__________”、“____________” 逻辑中称为存在量词，并用符号“_____” 表示。
存在一个 至少有一个 ∃3．含有全称量词的命题称为____________；含有存在量词的命题称为___________.全称命题 特称命题4．全称命题形式：_____________；特称命题形式：____________ 。
其中M 为给定的集合，p (x )是一个关于x 的命题。
,()x M p x ∀∈ ,()x M p x ∃∈问题与思考:题1：判断下列命题是全称命题还是特称命题.（1）对任意的n ∈Z, 2n +1 是奇数 （2）所有的正方形都是矩形 （3）有的平行四边形是菱形 （4）有一个素数不是奇数答案：（1）（2）都是全称命题 ；（3）（4）都是特称命题题2： 判断下列命题的真假吗？（1）4,1x N x ∀∈≥有 （2）2,10x R x x ∀∈-+>有（3）1,2=+∈∃x x R x 使 （4）5,2=∈∃x Z x 使 答案：(1) 假命题 （2）真命题 (3) 真命题 (4) 假命题[合作学习与问题探究] [难点·疑点·方法]问题1: 你能用符号“∀”与“∃”表达下列命题吗？①自然数的平方大于或等于零_______________________________________②圆221x y +=上存在一个点到直线1y x =+的距离等于圆的半径____________________________________________________________________ ③基本不等式：________________________________________________④对于数列1n n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭，总存在正整数n ,使得n a 与1之差的绝对值小于0.01：解： ①2,0x N x ∀∈≥; ②(){}22(,),/11x y x y x y ∃∈+==③,,2a b a b R ++∀∈≥; ④,10.01n n N a +∃∈-<名师讲析: 一般地，全称命题写成“,()x M p x ∀∈”，特称命题写成“,()x M p x ∃∈”， 其中M 为给定的集合，p (x )是一个关于x 的命题。
1.4全称量词与存在量词 教学设计 教案
教学准备1. 教学目标[1]通过对命题及其否定的形式变化,知道全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题；[2]归纳总结出含有一个量词的命题的含义与它们的否定在形式上的变化规律；[3]根据全称量词和存在量词的含义，用简洁、自然的语言表叙含有一个量词的命题的否定.2. 教学重点/难点教学重点：理解对含有一个量词的命题进行否定的意义。
教学难点：能正确地对含有一个量词的命题进行否定。
3. 教学用具多媒体设备4. 标签教学过程教学过程设计1 温故知新、引入课题【板演/PPT】【师】1. 命题的否定与否命题有什么区别？提示:否命题：是用否定条件也否定结论的方式构成新命题.命题的否定：是对一个命题的全盘否定,只否定结论不否定条件.2.命题“一个数的末位数字是0，则它可以被5整除”的否命题和命题的否定分别是什么？提示：否命题：若一个数的末位数字不是0，则它不可以被5整除；命题的否定：存在一个数的末位数字是0，则它不可以被5整除.3. 判断下列命题是全称命题还是特称命题，你能写出下列命题的否定吗？（1）所有的矩形都是平行四边形；（2）每一个素数都是奇数；（3）x∈R, x2－2x＋1≥0；（4）有些实数的绝对值是正数；（5）某些平行四边形是菱形；（6）x0∈R, x02＋1＜0.提示：前三个命题都是全称命题，即具有 " x∈M，p（x）”的形式；后三个命题都是特称命题，即“x0∈M，p（x0）”的形式.它们命题的否定又是怎么样的呢？这就是我们这节课将要学习的内容 .【活动】让学生自由发言，教师不急于下结论，而是继续引导学生：复习，巩固已学知识，为学习新知识打好基础。
【设计意图】说明本节在现实生活中及数学学习中的作用。
激发学生探究的兴趣和欲望。
温故而知新，为本节课的学习作铺垫。
2 新知探究[1] 全称命题的否定【合作探究】探究1 写出下列命题的否定：（1）所有的矩形都是平行四边形；（2）每一个素数都是奇数；（3）x∈R, x2－2x＋1≥0.【活动】用时5分钟，学生独立思考，小组内部讨论，最后把以上命题的否定命题形成书面形式，由小组代表答出讨论结果，由其他同学修正补充．提示：经过观察，我们发现，以上三个全称命题的否定都可以用特称命题表示.上述命题的否定可写成:（1）存在一个矩形不是平行四边形；（2）存在一个素数不是奇数；（3）x0∈R，x02-2x0+1<0.【归纳提升】一般地, 对于含有一个量词的全称命题的否定, 有下面的结论:全称命题p: x∈M，p（x），它的否定﹁p: x0∈M,﹁p（x0）.【即时练习】命题“所有能被3整除的整数都是奇数”的否定是（ C ）A.所有能被3整除的整数都不是奇数B.不存在一个奇数，它不能被3整除C.存在一个奇数，它不能被3整除D.不存在一个奇数，它能被3整除【设计意图】引导学生分析实例,让学生从实例中抽象出数学知识,得出本节课所要学习的含有量词的命题的否定．[2] 特称命题的否定探究2 写出下列命题的否定：（1）有些实数的绝对值是正数；（2）某些平行四边形是菱形；（3）x0∈R, x02＋1＜0.【活动】用时5分钟，学生独立思考，小组内部讨论，最后把以上命题的否定命题形成书面形式，由小组代表答出讨论结果，由其他同学修正补充．提示：经过观察，我们发现，以上三个特称命题的否定都可以用全称命题表示.上述命题的否定可写成:（1）所有实数的绝对值都不是正数；（2）每一个平行四边形都不是菱形；（3）x∈R，x2+1≥0.【归纳提升】一般地,对于含有一个量词的特称命题的否定,有下面的结论:特称命题p：x0∈M，p（x0），它的否命题﹁p: x∈M,﹁p（x）.【即时练习】命题“存在一个三角形，内角和不等于180o”的否定为（ B ）A.存在一个三角形，内角和等于180oB.所有三角形，内角和都等于180oC.所有三角形，内角和都不等于180oD.很多三角形，内角和不等于180o【设计意图】让学生从理论上掌握含有一个量词的命题的否定形式,并且学会写出含有量词的命题的否定的基本依据．[3]例题讲解例1 写出下列全称命题的否定：（1）p：所有能被3整除的整数都是奇数（2）p：每一个四边形的四个顶点共圆（3）p：对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3.解析：（1）﹁p：存在一个能被3整除的整数不是奇数；（2）﹁p：存在一个四边形，其四个顶点不共圆；（3）﹁p：x0∈Z，x02的个位数字等于3.【归纳提升】通过上面的学习，我们可以知道：全称命题的否定就是特称命题，所以我们只要把全称命题改成它相应的特称命题即可.例2 写出下列特称命题的否定：（1）p：x0∈R，x02＋2x0＋2≤0；（2）p：有的三角形是等边三角形；（3）p：有一个素数含有三个正因数.解析：（1）﹁p：x∈R，x2＋2x＋2＞0；（2）﹁p：所有的三角形都不是等边三角形；（3）﹁p：每一个素数都不含三个正因数.例3 写出下列命题的否定,并判断其真假：（1）p：任意两个等边三角形都是相似的;（2）p：∃x0∈R, x0²+2x0+2=0.解析：（1）﹁p ：存在两个等边三角形,它们不相似;（2）﹁p ：∀x∈R, x²+2x+2≠0.【归纳提升】通过上面的学习，我们可以知道：特称命题的否定就是全称命题，所以我们只要把特称命题改成它相应的全称命题即可.【设计意图】命题的否定与否命题是完全不同的概念,其理由:1.任何命题均有否定,无论是真命题还是假命题;而否命题仅针对命题“若p,则q”提出来的.2.命题的否定（非）是原命题的矛盾命题,两者的真假性必然是一真一假,一假一真;而否命题与原命题可能是同真同假,也可能是一真一假.3.原命题“若p,则q”的形式,它的非命题“若p,则￢q”;而它的否命题为“若￢p,则￢q”,既否定条件又否定结论.课堂小结1. 本节知识结构2.含有一个量词的全称命题的否定：全称命题p：x∈M，p（x），它的否定﹁p：x0∈M，﹁p（x0）.全称命题的否定是特称命题.3.含有一个量词的特称命题的否定：特称命题p：x0 ∈M，p（x0），它的否定﹁p：x ∈M，﹁p（x）.特称命题的否定是全称命题.课后习题[1]课堂练习1. 命题“存在x0∈ R，2x0≤ 0”的否定是（）（A）不存在x 0∈ R,2x0 >0（B）存在x0∈ R, 2x0≥ 0（C）对任意的x∈ R, 2x≤0（D）对任意的x∈ R, 2x>02. 已知命题p：x ∈R ，sin x ≤ 1，则（）A．┐ p：x ∈R ， sin x ≥ 1;B．┐ p： x ∈R ， sin x ≥ 1;C．┐ p：x ∈R ， sin x >1;D．┐ p：x ∈R ，sin x >1.3.命题“”的否定是（）4.设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p:∀x∈A,2x∈B,则（）A. ￢p:∀x∈A,2x∉BB. ￢p:∀x∉A,2x∉BC. ￢p:∃x∉A,2x∈BD. ￢p:∃x∈A,2x∉B5. 命题“所有自然数的平方都是正数”的否定为（）A.所有自然数的平方都不是正数B.有的自然数的平方是正数C.至少有一个自然数的平方是正数D.至少有一个自然数的平方不是正数课堂练习【参考答案】1. D解析：由题意否定即“不存在x0∈ R,使2x0≤ 0”，即“" x∈ R,2x>0”。
高中数学第一章常用逻辑用语1.4全称量词与存在量词学案含解析新人教A版选修1
学习资料1．4 全称量词与存在量词1．4.1全称量词1．4.2存在量词1．4.3含有一个量词的命题的否定内容标准学科素养1。
理解全称量词、存在量词的含义．2。
掌握全称命题与特称命题的真假判断．3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.应用直观想象发展逻辑推理提升数学运算授课提示：对应学生用书第13页[基础认识]知识点一全称量词与全称命题错误!什么是命题？命题的结构形式是什么？提示：命题是可以判断真假的陈述句,命题由条件和结论构成．下列语句是命题吗？（1）与(3）,（2)与（4)之间有什么关系?(1）x>3；（2)2x＋1是整数；(3）对所有的x∈R，x>3；（4)对任意一个x∈Z，2x＋1是整数．提示:语句（1)(2)含有变量x，由于不知道变量x代表什么数，无法判断它们的真假，因而不是命题．语句(3）在(1）的基础上，用短语“对所有的”对变量x进行限定；语句(4）在(2)的基础上，用短语“对任意一个”对变量x进行限定，从而使(3)（4)成为可以判断真假的语句，因此语句（3)(4)是命题．知识梳理全称量词与全称命题（1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀"表示．(2）含有全称量词的命题，叫做全称命题．（3）全称命题的表述形式：对M中任意一个x，有p(x)成立,可简记为：∀x∈M,p（x），读作“对任意x属于M,有p（x)成立”．(4)全称命题的真假判断:要判断一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x，验证p（x）成立；但要判断一个全称命题是假命题，只需列举出一个x0∈M，使得p（x0)不成立即可．知识点二存在量词与特称命题错误!下列语句是命题吗？(1)与（3），（2）与（4）之间有什么关系？（1)2x＋1＝3；(2）x能被2和3整除；（3）存在一个x0∈R，使2x0＋1＝3；（4)至少有一个x0∈Z,x0能被2和3整除．提示：容易判断，（1）（2）不是命题．语句(3）在（1）的基础上,用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定；语句（4）在(2）的基础上,用“至少有一个"对变量x的取值进行限定，从而使（3）(4）变成了可以判断真假的语句，因此语句（3)（4）是命题．知识梳理存在量词与特称命题（1)短语“存在一个"“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“∃"表示．(2）含有存在量词的命题，叫做特称命题．（3)特称命题的表述形式：存在M中的一个x0，使p（x0）成立，可简记为：∃x0∈M，p （x0），读作“存在M中的元素x0，使p(x0）成立”．(4)特称命题的真假判断：要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x0，使得命题p（x0）成立即可;否则这一命题就是假命题．知识点三含有一个量词的命题的否定预习教材P24－25思考并完成以下问题命题“所有的四边形都是平行四边形”的否定是“所有的四边形都不是平行四边形"吗？若不是，应怎样写出？其含义是什么？提示：由p与綈p的真假性相反可知,不是．该命题的否定是：并非所有的四边形都是平行四边形．其含义是“存在一个"四边形“不是平行四边形"．写出下列命题的否定：(1)所有的矩形都是平行四边形；（2）每一个素数都是奇数;（3）∀x∈R,x2－2x＋1≥0.这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？提示：命题(1)的否定是“并非所有的矩形都是平行四边形”，也就是说，存在一个矩形不是平行四边形；命题（2）的否定是“并非每一个素数都是奇数"，也就是说,存在一个素数不是奇数；命题（3)的否定是“并非所有的x∈R，x2－2x＋1≥0”，也就是说，∃x0∈R，x错误!－2x0＋1<0。
高中数学新课标人教A版选修1-1《1.4全称量词与存在量词》教案
6.思考：写出下列命题的否定：⑴所有的矩形都是平行四边形；⑵每一个素数都是奇数.
7.全称命题 ： ，它的否定 ： ；
教
学
过
程
特称命题 ，它的否定 .
8.例3写出下列命题的否定.
⑴所有能被3整除的整数都是奇数；⑵每一个四边形的四个顶点共圆；
⑶对任意 ， 的个位数字不等于3；⑷有一个素数含有三个正因数；
4.存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做全称量词.符号：
特称命题：含有存在量词的命题.符号：
例如：有的平行四边形是菱形；有一个素数不是奇数.
5.例2判断下列全称命题的真假.
⑴有一个实数 ，使 ；⑵存在两个相交平面垂直于同一条直线；
⑶有些整数只有两个正因数；⑷ ；⑸有些数的平方小于 .
⑴ ；⑵ 是整数；⑶对所有的 ， ；⑷对任意一个 ， 是整数.
（学生回答——教师点评——引入新课）
二、讲授新课：
1.全称量词.符号：
全称命题：含有全称量词的命题.符号：
例如：对任意的 ， 是奇数；所有的正方形都是矩形都是全称命题.
2.例1判断下列全称命题的真假.
⑴所有的素数都是奇数；⑵ ；
⑶对每一个无理数 ， 也是无理数；⑷每个指数函数都是单调函数.
（教师分析——学生回答——教师点评）
3.思考：下列语句是命题吗？⑴与⑶，⑵与⑷之间有什么关系？
⑴ ；⑵ 能被2和3整除；⑶存在一个 ，使 ；
⑷至少有一个 ， 能被2和3整除.（学生回答——教师点评——引入新课）
上课时间
第 周星期第节
课型
课题
1.4全称量词和存在量词及其否定
教学目的
了解生活和数学中经常使用的两类量词的含义，并会判断此类命题的真假
教学设计4：1．4 全称量词与存在量词
1．4 全称量词与存在量词一、学习内容、要求及建议二、预习指导1．预习目标(1)了解全称量词与存在量词的意义；能利用全称量词与存在量词叙述简单的数学内容．(2)了解对含有一个量词的命题的否定的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定．2．典型例题例1 指出下列语句中的全称量词或存在量词：①每个人都喜欢旅游；②有时晴天下雪；③任意三角形中，两边之和大于第三边．例2 判断下列命题是全称命题还是存在性命题：①有的奇数是质数；②与同一直线平行的两条直线平行；③有的三角形三边长成等比数列；④和圆有两个公共点的直线与圆相交．例3 判断下列命题的真假：①∀x∈R，3x2－x+1>0；②∀x∈{0，1，2}，2x－1>0；③∃x∈N，x2+1≤x+1；④∃x∈N*，使x为13的约数．例4 写出下列命题的否定：①所有人都打球；②∀x∈R，x2+x+2>0；③菱形的对角相等；④∃x∈R，x2+x+2=0．三、自我检测1．下列命题不是“∃x0∈R，x20＞3”的表述方法是()A．有一个x∈R，使得x2＞3B．对有些x∈R，使得x2＞3C．任选一个x∈R，使得x2＞3D．至少有一个x∈R，使得x2＞32．命题“对任意一个实数x，x2＋2x＋1都不小于零”用“∃”或“∀”符号表示为____________________．3．下列命题不是特称命题的是________(填序号)．①有的无理数的立方是有理数；②有的无理数的立方不是有理数；③对于任意x∈Z，4x±1是奇数；④存在x0∈R，2x0＋1是奇数．四、课后巩固练习1．下列命题中全称命题的个数为( )①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行；③存在一个菱形，它的四条边不相等． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 2．下列命题中的假命题是( )A ．∃x 0∈R ，lg x 0＝0B ．∃x 0∈R ，tan x 0＝1C ．∀x ∈R ，x 3＞0D ．∀x ∈R ，2x ＞0 3．下列命题中特称命题的个数是( )①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意x ∈R ，总有|sin x |≤1.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．下列命题，是全称命题的是__________，是特称命题的是________(填序号)． ①正方形的四条边相等②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形 ③正数的平方根不等于0 ④至少有一个正整数是偶数5．下列全称命题中真命题的个数为( ) ①负数没有对数；②对任意的实数a ，b ，都有a 2＋b 2≥2ab ； ③二次函数f (x )＝x 2－ax －1与x 轴恒有交点； ④∀x ∈R ，y ∈R ，都有x 2＋|y |＞0.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 6．下列命题中，既是真命题又是特称命题的是 ( ) A ．存在一个α，使tan(90°－α)＝tan α B ．存在实数x 0，使sin x 0＝π2C ．对一切α，sin(180°－α)＝sin αD ．sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β7．对任意x >3，x >a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．8．若∀x ∈R ，f (x )＝(a 2－1)x 是单调减函数，则a 的取值范围是________________． 9．用量词符号“∀”“∃”表述下列命题，并判断真假． (1)所有实数x 都能使x 2＋x ＋1>0成立；(2)对所有实数a ，b ，方程ax ＋b ＝0恰有一个解； (3)一定有整数x 0，y 0，使得3x 0－2y 0＝10成立； (4)所有的有理数x 都能使13x 2＋12x ＋1是有理数．10．已知命题p：∀x∈[1，2]，x2－a≥0，命题q：∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0.若命题“p∧q”是真命题，求实数a的取值范围．五、拓展视野逻辑推理问题求解综述：对“逻辑变化”较少的比较简单的逻辑推理题，常用顺推法求解，即从已知条件出发，顺着条件进行推理，或假设其提供的某一个线索条件为真(或为假)，然后导出矛盾，进而得到结论．对于逻辑关系较为复杂的问题，常用表格法求解，即先将容易判断的结论确定下来，填入表内，在此基础上，逐步推理，将表中的空格逐步填满，最后得出结论．用表格法，常使一些令人眼花缭乱的条件及其关系变得有序，有利于确定推理的方向．例旅游车上乘坐着日本、美国、法国三个国家的游客．现知道日本游客有18人，法国游客有9人．成年男游客中，美国5人，法国3人；成年女游客中，法国3人，日本5人；男孩中日本3人，美国2人；女孩中美国2人，法国1人，还知道成年女游客比成年男游客少2人，而男孩和女孩一样多．则美国游客有______人．参考答案例1【答案】解：①全称量词：每个；②存在量词：有时；③全称量词：任意．【点评】我们要理解全称量词与存在量词的含义，有时还要根据语句中所叙述对象的特征，挖掘其隐含的量词．例2【答案】解：①是存在性命题；②是全称命题；③是存在性命题；④是全称命题．【点评】我们要理解全称命题与存在性命题的意义，有时还要根据命题中所叙述对象的特征，挖掘其隐含的量词．例3【答案】解：①因为3x2－x+1的Δ=1－12=－11<0，所以3x2－x+1>0恒成立．故“∀x∈R，3x2－x+1>0”是真命题；②因为当x=0时，2x－1=－1<0，所以“∀x∈{0，1，2}，2x－1>0”是假命题；③因为当x=0时，x2+1≤x+1，所以“∃x∈N，x2+1≤x+1” 是真命题；④因为1与13是13的约数，所以“∃x∈N*，使x为13的约数” 是真命题．【点评】要判定一个存在性命题为真，只要在给定的集合中，找到一个元素x，使命题p(x)为真；否则命题为假．要判定一个全称命题为真，必须对给定的集合的每一个元素x，p(x)都为真；但要判定一个全称命题为假，只要在给定的集合内找出一个元素x0，使p(x0)为假．例4【答案】解：①“所有人都打球”的否定是“有的人不打球”；②“∀x∈R，x2+x+2>0” 的否定是“∃x∈R，x2+x+2≤0”；③“菱形的对角相等”是指任意一个菱形的对角相等，它的否定是“存在菱形，它的对角不相等”；④“∃x∈R，x2+x+2=0” 的否定是“∀x∈R，x2+x+2≠0”．【点评】本题给出了含有一个量词的命题的否定的范式：“∀x∈M，p(x)”的否定为“∃x∈M，﹁p(x)”；“∃x∈M，p(x)”的否定为“∀x∈M，﹁p(x)”．自我检测 1．【答案】C2．【解析】将文字语言用符号语言可表示为∀x ∈R ，x 2＋2x ＋1≥0. 【答案】∀x ∈R ，x 2＋2x ＋1≥0 3．【答案】③课后巩固练习1．【解析】①②是全称命题，③是特称命题．故选C. 【答案】C2．【解析】对于A ，当x ＝1时，lg x ＝0，A 正确；对于B ，当x ＝π4时，tan x ＝1，B 正确；对于C ，当x ＜0时，x 3＜0，C 错误；对于D ，∀x ∈R ，2x ＞0，D 正确． 【答案】C3．【解析】命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，故为全称命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数都能被3整除”，是全称命题；而命题④是全称命题．故有一个特称命题． 【答案】B4．【解析】①②③是全称命题，④是特称命题． 【答案】①②③ ④能力提升5．【解析】①②③为真命题． 【答案】C6．【解析】只有A 、B 两个选项中的命题是特称命题，而由于|sin x |≤1，所以sin x 0＝π2不成立，故B 中命题为假命题．又因为当α＝45°时，tan(90°－α)＝tan α，故A 中命题为真命题． 【答案】A7．【解析】对任意x >3，x >a 恒成立，即大于3的数恒大于a ，所以a ≤3. 【答案】(－∞，3]8．【解析】依题意有：0＜a 2－1＜1⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1>0，a 2－1<1⇔⎩⎨⎧a <－1或a >1，－2<a <2⇔－2<a <－1或1＜a＜ 2.【答案】(－2，－1)∪(1，2)．9．【解析】(1)∀x ∈R ，x 2＋x ＋1>0；真命题．(2)∀a ，b ∈R ，ax ＋b ＝0恰有一解；假命题． (3)∃x 0、y 0∈Z ，3x 0－2y 0＝10；真命题． (4)∀x ∈Q ，13x 2＋12x ＋1是有理数；真命题．10．【解析】∀x ∈[1，2]，x 2－a ≥0，即a ≤x 2. 当x ∈[1，2]时恒成立，∴a ≤1. ∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0， 即方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根， 所以Δ＝4a 2－4(2－a )≥0. ∴a ≤－2或a ≥1.又p ∧q 为真，故p 、q 都为真，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a ≤－2或a ≥1， 即a ≤－2或a ＝1.∴实数a 的取值范围为{a |a ≤－2或a ＝1}． 拓展视野【答案】解：先将已知条件列成表格，见表1： 表1由表1知，应从法国入手，法国男孩有2人，又男孩和女孩一样多，则日本女孩有4人；再看日本总人数是18人，则日本成年男游客有6人；又成年男游客比成年女游客多2人，则美国女游客有4人；最后看美国，其游客总人数为5+4+2+2=13，即美国游客有13人(见表2)．表2。
人教版高中数学优质教案2：1.4 全称量词与存在量词 教学设计
一．引入新课【师】复习提问逻辑联结词有哪些？q p ∧，q p ∨，p ⌝的真假遵循什么规律之后，让学生思考在日常生活和学习中，我们经常遇到这样的命题：(1)所有中国公民的合法权利都受到中华人民共和国宪法的保护．(2)对于任意实数x ，都有02≥x ． (3)存在有理数x ，使022=-x上述命题的含义是什么？【生】命题⑴表示——只要是“中国公民”，其合法权利都受到中华人民共和国宪法的保护．命题⑵表示——对每一个实数x ，必有“02≥x ”，即没有使“02≥x ”不成立的实数x 存在．1．全称量词：“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，通常用符号“x ∀”表示“对任意x ”． 2．存在量词：“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，通常用符号“x ∃”表示“存在x ”． 3．全称命题与存在性命题： （1）定义含有全称量词的命题称为全称命题． 含有存在量词的命题称为存在性命题． （2）全称命题与存在性命题的一般形式： 全称命题：M x ∈∀，()x p 存在性命题：M x ∈∃，()x p其中M 为给定的集合，()x p 是一个关于x 的命题． 4．含有一个量词的命题否定【师】对于下列命题进行否定、你发现有何规律？(1)所有的人都喝水；(2)存在有理数x ，使022=-x ；(3)对所有实数a ，都有0||≥a 。
【生】命题（1）的否定为：“并非所有的人都喝水”，换言之，“有的人不喝水”命题否定后、全称量词变为存在量词，“肯定”变为“否定”。
命题（2）的否定为“并非存在有理数x ，使022=-x ”，即对所有的有理数“x ，022=-x ”命题否定后，存在量词变为全称量词，“肯定”变为“否定”。
命题（3）的否定为：“并非对所有的实数a ，都有0||≥a ”即“存在实数a ，（3）平行四边形的对边相等；（4）2,10x R x x ∃∈-+=。
高二数学1-1 1.4全称量词与存在量词 学案含答案
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5 全称量词与存在量词(学案）一、知识梳理一、全称量词:全称量词 全称命题全称命题的符号表示二、存在量词：存在量词特称命题特称命题的符号表示三、含有一个量词的命题的否定：全称命题p :它的否定┑p:特称命题p ：它的否定┑p:二、典例解析例1:用符号“∀” 、“∃"语言表达下列命题（1）自然数的平方不小于零（2)存在一个实数x ，使0122=+-x x例2：写出下列全称命题的否定，并判断其真假： (1）012,:≥+∈∀x R x p（2）041,:2≥+-∈∀x xR x q （3）:r 一切分数都是有理数。
例3：若2():sin cos ,():10r x x x m s x x mx +>++>,如果对于x R ∃∈，()r x 为假命题,且,()x R s x ∀∈为真命题，求实数m 的取值范围。
三、当堂检测1. 下列全称命题中真命题的个数是① 末位是0的整数，可以被3整除；② 角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等;③ 对12,2+∈∀xZ x 为奇数． A. 0 B. 1 C. 2 D. 32。
下列特称命题中假命题．．．的个数是 ①∃x ∈R ，－x ≤0;② 有的菱形是正方形； ③ 至少有一个实数0x ，使032020≠++x x 。
A ．0B 。
1 C. 2 D. 33。
用符号“∀”“∃"表示下列含有量词的命题。
（1）自然数的平方大于0.（2）存在一对整数0x ，0y ，使得00243x y +=。
4。
（1）设函数m x xx f --=2)(2，若[]4,2∈∀x ，0)(≥x f 恒成立,求m 的取值范围;（2）设函数m x xx f --=2)(2,若[]2,4x ∃∈，0)(≥x f 恒成立,求m 的取值范围.。
《1.4.1全称量词与存在量词》教学案1
《1.4.1全称量词与存在量词》教学案11.4.1《全称量词存在量词》教学案[学习目标]1．掌握全称量词与存在量词的的意义；2.掌握含有量词的命题：全名命题和特殊名命题的真假判断【教学过程】一、课前预习：（一）复习1：写出下列命题的否定，并判断他们的真假：(1)2是有理数；(2)5不是15的约数(3)8? 7.15（4）空集是任何集合的真子集。
2：判断以下命题的真实性并解释原因：(1)p?q，这里p：?是无理数，q：?是实数；(2)p?q，这里p：?是无理数，q：?是实数；(3)p?q，这里p：2?3，q：8?7?15；(4)p?q，这里p：2?3，q：8?7?15．（二）探究：完整量词和存在量词的意义，整体命题和特殊命题的判断。
1.下列句子是命题吗？（1）（3）、（2）和（4）之间的关系是什么？（1） x？3、（2）2x？1是一个整数；(3)对所有的x?r,x?3；(4)对任意一个x?z，2x?1是整数．2．下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？(1)2x?1?3；(2)x能被2和3整除；（3）有一个x0吗？r、做2x0？1.3、（4）至少一个x0？z、 X0可以除以2和3。
3.短语“_____________________________________。
它的基本形式是：？十、m、 P（x）改为：__________4．短语“__________”,“__________”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“__________”表示，含有__________的命题，叫做特称命题．它的基本形式是什么？x0？m、 P（x0）改为：_________(三)试试：判断下列命题是不是全称命题或者特称命题，（1）中国所有的河流都流入大海；（2）有一个实数不能用作除数；（3）任何实数除以1仍然等于这个实数；（4）每个非零向量都有一个方向拓展：注意哪些词是量词是解决本题的关键，还应注意全称命题和存在命题的结构形式．二、课堂探究案例：例1判断下列全称命题的真假：（1）所有素数都是奇数；(2)? 十、r、 x2？1.1、（3）对于每个无理数x，X2也是无理数变式：判断下列命题的真假：(1)?x?(5,8),f(x)?x2?4x?2?0(2)?x?(3,??),f(x)?x2?4x?2?0扩展：为了确定一个全名命题是否为真命题，我们必须验证P（x）对于有限集合M中的每个元素x是真的；然而，如果我们想确定全名命题是一个假命题，我们只能在集合M中引用一个X？所以P（X0）不成立例2判断下列特称命题的真假：(1)有一个实数x0，使x02?2x0?3?0；(2)存在两个相交平面垂直于同一条直线；(3)有些整数只有两个正因数．变式：判断下列命题的真假：(1)? A.z、 a2？3a？2(2)? A.3，a2？3a？二拓展：要判定特称命题“?x0?m,p(x0)”是真命题只要在集合m中找一个元素x0，使p(x0)成立即可；如果集合m中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个特称命题是假命题．三、课堂反馈：1.判断下列全程命题的真假：（1）每个指数函数都是单调的；（2）任何实数都有一个算术平方根；（3）每个无理数的平方仍然是无理数4、课后练习：必修问题：1．下列命题为特称命题的是()．a、偶数函数的图像围绕y轴对称。
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1．4全称量词与存在量词
1.4.1全称量词1.4.2存在量词
(一)教学目标
1.知识与技能目标
（1）通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词．
（2）了解含有量词的全称命题和特称命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性．
2.过程与方法目标
使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力．
3.情感态度价值观
通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．
(二)教学重点与难点
重点:理解全称量词与存在量词的意义
难点: 全称命题和特称命题真假的判定.
(三)教学过程
1．思考、分析
下列语句是命题吗？假如是命题你能判断它的真假吗？
（1）2x＋１是整数；
(2) x＞３；
(3) 如果两个三角形全等，那么它们的对应边相等；
（4）平行于同一条直线的两条直线互相平行；
（5）海师附中今年所有高中一年级的学生数学课本都是采用人民教育出版社A版的教科书；
（6）所有有中国国籍的人都是黄种人；
（7）对所有的x∈Ｒ, x＞３；
（8）对任意一个x∈Ｚ，2x＋１是整数。
1．推理、判断
（让学生自己表述）
（1）、（2）不能判断真假，不是命题。
（3）、(4)是命题且是真命题。
（5）－（8）如果是假，我们只要举出一个反例就行。
注：对于（5）－（8）最好是引导学生将反例用命题的形式写出来。
因为这些命题的反例涉及到“存在量词”“特称命题”“全称命题的否定”这些后续内容。
（5）的真假就看命题：海师附中今年存在个别（部分）高一学生数学课本不是采用人民教育出版社A版的教科书；这个命题的真假，该命题为真，所以命题（5）为假；
命题（6）是假命题．事实上，存在一个（个别、部分）有中国国籍的人不是黄种人．命题（7）是假命题．事实上，存在一个（个别、某些）实数（如x＝2）， x＜３．（至少有一个x∈Ｒ, x≤３）
命题（8）是真命题。
事实上不存在某个x∈Ｚ，使2x＋１不是整数。
也可以说命题：存在某个x∈Ｚ使2x＋１不是整数，是假命题．
3．发现、归纳
命题（5）－（8）跟命题（3）、（4）有些不同，它们用到 “所有的”“任意一个” 这样的词语，这些词语一般在指定的范围内都表示整体或全部，这样的词叫做全称量词，用符12sin x
+≥a x x +
恒成立，则2,
x R x +∈的值域；
判断下列全称命题的真假：
①末位是o的整数，可以被5整除；
②线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；
③负数的平方是正数；
④梯形的对角线相等。
（2）判断下列特称命题的真假：
①有些实数是无限不循环小数；
②有些三角形不是等腰三角形；
③有些菱形是正方形。
（3）探究：
①请课后探究命题（5），－（8），跟命题（5）－（8）分别有什么关系？
②请你自己写出几个全称命题，并试着写出它们的否命题．写出几个特称命题，并试着写出它们的否命题。
反思：本节课较好的完成了教学任务，实现了教学目标。
本节课是以学生自己学、小组学、集体学为主要学习模式的课，充分调动了学生的学习积极性，每一位学生都动了起来，都有所收获。
1．4．3含有一个量词的命题的否定
(一)教学目标
1.知识与技能目标
（1）通过探究数学中一些实例，使学生归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律．
（2）通过例题和习题的教学，使学生能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定．
2．过程与方法目标
使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力．
3.情感态度价值观
通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．
(二)教学重点与难点
教学重点：通过探究，了解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，会正确地对含有一个量词的命题进行否定．
教学难点：正确地对含有一个量词的命题进行否定．
(三)教学过程
1．回顾
我们在上一节中学习过逻辑联结词“非”．对给定的命题p ，如何得到命题p 的否定（或非p ），它们的真假性之间有何联系？
2．思考、分析
判断下列命题是全称命题还是特称命题，你能写出下列命题的否定吗？
（1）所有的矩形都是平行四边形；
（2）每一个素数都是奇数；
（3）∈R, x2－2x＋1≥0。
（4）有些实数的绝对值是正数；
（5）某些平行四边形是菱形；
（6）∈R, x2＋1＜0。
3．推理、判断
你能发现这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？
（让学生自己表述）
前三个命题都是全称命题，即具有形式“”。
其中命题（1）的否定是“并非所有的矩形都是平行四边形”，也就是说，
存在一个矩形不都是平行四边形；
命题（2）的否定是“并非每一个素数都是奇数；”，也就是说，
存在一个素数不是奇数；
命题（3）的否定是“并非∈R, x2－2x＋1≥0”，也就是说，
∈R, x2－2x＋1＜0；
后三个命题都是特称命题，即具有形式“”。
其中命题（4）的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也就是说，
所有实数的绝对值都不是正数；
命题（5）的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，也就是说，
每一个平行四边形都不是菱形；
命题（6）的否定是“不存在x∈R, x2＋1＜0”，也就是说，
∈R, x2＋1≥0；
4．发现、归纳
从命题的形式上看，前三个全称命题的否定都变成了特称命题。
后三个特称命题的否定都变成了全称命题。
一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：
全称命题P：
它的否定￢P
特称命题P：
它的否定￢P：
∈M，￢P(x)
全称命题和否定是特称命题。
特称命题的否定是全称命题。
5．练习、感悟
判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出它们的否定：
（１）p：所有能被3整除的整数都是奇数；（２）p：每一个四边形的四个顶点共圆；（３）p：对∈Z，x2个位数字不等于3；（４）p：∈R, x2＋2x＋2≤0；
（５）p：有的三角形是等边三角形；（６）p：有一个素数含三个正因数。
6．小结与作业
（1）小结：如何写出含有一个量词的命题的否定，原先的命题与它的否定在形式上有什么变化？
（2）作业：
反思：本节课较好的完成了教学任务，实现了教学目标。
本节课是以学生自己学、小组学、集体学为主要学习模式的课，充分调动了学生的学习积极性，每一位学生都动了起来，都有所收获。