第六章 不动点定理

Tx Tx ds
b 2 a 1 2
1/ 2
2 b b K ( s, t )[ x1 (t ) x2 (t )]dt ds a a
1/ 2
| |
| k (s, t) | dtds | x (t ) x (t) | dt | | | k ( s, t ) | dtds x , x

其中
M ( x1 , x2 ) 10
b 0t 1 a
M max K ( s, t )ds
t 1 1 M (t ) K ( s, t )ds sds tds t t 2 0 t 2
a
b
（6.28）
则对充分小的 | | ，有 （1） 当 f ( s ) C[ a, b] , K ( s, t ) C [ a, b] [ a, b] 时，方程（6.28）有唯一的连续函数解；
2 （2） 当 f ( s ) L [a, b] ，且 a
b

b
a
K 2 ( s, t )dsdt 时，方程（6.28）有唯一的平方可积函数解。
Ch6 I. 压缩算子的不动点定理
压缩算子的不动点定理及其应用
压缩算子 : 设 X 为距离空间，算子 T : X X ，若存在数 ， 0 1 ，对于任意的
x, y X ，恒有
(Tx, Ty) ( x, y)
则称 T 是 X 上的一个压缩算子。 性质：压缩算子是连续算子.
（6.4）
证：当 xn x 时， (Txn , Tx) ( xn , x) 0 Txn Tx
* * 不动点: 设 X 为距离空间， T : X X ，若存在 x* X ，使 x Tx ，则称 x 为算子 T 的
*
不动点。 算子不动点的例子： 1．设 T 为平面上的平移变换；

x
x0
L max y1 t y2 t dt
| x x0 |
L max y1 t y2 t L ( y1 , y2 ) ，
| x x0 |
取 L 1 T 为压缩算子， 故必存在唯一的
y y* ( x) ，使 y* Ty* ，即（6.23）存在唯一解。
*
II. 不动点理论的应用 求解各种方程：计算数学的根本任务是求解各种方程，如代数方程、微分方程、积分方程、 泛函方程等等，从泛函分析的观点来看，不论求解什么方程，都可把它们统一为求解算子方 程问题，只是算子的具体形式不一样罢了。 问题的转化：在很多情况下，求解各种方程的问题，可以归结为求某一算子的不动点的 问题。其基本思想如下： 求解方程 F ( x) 0 转化为等价形式 (6.1)
( xn p , xn ) ( xn p , xn p1 ) ( xn p1, xn p2 ) ( xn1, xn ) (
n p1

n p2
n (1 p ) )(Tx0 , x0 ) (Tx0 , x0 ) 1
x0 x0
x
x
或
y ( x) y0 f (t , y (t ))dt
x0
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x
（6.25）
令
Ty x y0 f (t , y (t ))dt
x0
x
则(6.25)为
y Ty
满足不动点定理的条件。
（6.26）
要证明（6.23）存在唯一解，只要证明与之等价的(6.26) 存在唯一解即可，这仅需要证明 T
2
2．设 T 为平面上的旋转变换；
3．在实数空间中的算子 T : x x ； 4．在二维实数空间中， T : ( x, y ) ( x, 0) ；
Banach 不动点定理 设(1) X 是完备的距离空间;(2) T : X X ;且(3)T为压缩算子，则 T 在 X 中存在唯一的不 动点，即有唯一的 x* X ，使 x Tx
*
n ( xn , x ) (Tx0 , x0 ) 在(*)中， 对任意的正整数 n ,令 p ， 有， 1
*
（6.5）
可以用于计算之初，根据给定的精度要求，估计出需要计算的步数。
* 设给定精度 ( xn , x ) ，则应有
ln n
1 Tx0 ,x0 ln

x
x0
f (t , y1 (t ))dt f (t , y2 (t ))dt
x0
x
| x x0 |


x
x0
f t , y1 t f t , y2 t dt
L y1 t y2 t dt
x
x0
max
| x x0 |
因为 0
1 ，故 ( x* , y* ) 0 ，即 x* y* 。#
Remarks: 唯一性说明，不论从 X 中的哪一点作为初始点出发，经过逐次迭代，最后都可求得唯 一的不动点。当然，如果初始点取得靠近 x ，迭代就收敛得快。 定理的证明是构造性的，证明的过程就是求不动点的过程。 证明过程中还给出了近似解的先验误差估计式：
x, y X ，有 (T n x, T n y) ( x, y) ，则 T 在 X 中存在唯一不动点。
* 证明：由(3), T n 是 X 上的压缩算子，故有 x X ，使 x T x ,从而
*
n *
T n (Tx* ) T n1 x* T (T n x* ) Tx*
n
(*)
由于 0 1 ，对任意的正整数 p, 令 n ,则有
( xn p , xn ) 0 ，
即 xn 是 Cauchy 列，又 X 完备，因此 xn 在 X 中一定收敛，设其极限点为 x*, 即有
xn x* 。再由压缩算子 T 的连续性， Txn Tx
说明 Tx 也是 T n 的不动点，由唯一性可知
*
x* Tx* 。#
小结：求算子 T
: X X 的不动点 Tx x
选取初始点 x0 ，构造如下迭代点列：
x1 Tx0
x2 Tx1 T 2 x0

xn 1 Txn T n 1 x0

希望 xn 收敛，若收敛，则其极限 x 一定是所求的不动点。
( xn , x* )

1
( xn , xn 1 ) ———后验误差估计，利用中间结果估计误差。
定理给出的是充分条件而非必要条件，条件可以变为如下两个推论的条件。
推论 1 设(1) X 是完备距离空间，(2) T : X X ，若(3) T 在闭球 s ( x0 , r ) 射，并且 (Tx0 , x0 ) (1 )r ，则 T 在 s ( x0 , r ) 中存在唯一的不动点。 证明：注意：完备距离空间中任意闭子空间是完备的。 只要证明对任意的 x s ，有 Tx s 即可。 设任意的 x s ，则有 ( x, x0 ) r ，
（6.30）
的近似连续函数解，且要求误差不超过 104 。 解：令
Tx t 1 1 1 K ( s, t ) x( s )ds ，则式（6.30）转化为。 10 0
显然， T : C[0,1] C[0,1]
T 的压缩性：
(Tx1 , Tx2 ) max | Tx1 Tx2 |
应用 Banach 不动点定理，可以构造求解常微分方程初值问题（6.23）的逐次逼近的迭代序 列：
yn1 x y0 f t , yn (t ) dt ,
x0
x
n 1, 2,
例2. 不动点定理在积分方程中的应用 设有线性积分方程（Fredhlome 方程）
x( s) f ( s) K ( s, t ) x(t )dt
b b 2 1/ 2 b 2 a a a 1 2 b b 2 1/ 2 a a 1 2
1/ 2
则当 | |
| K (s, t) | dtds
b b 2 a a
1
1/2
时， T 是压缩算子。
根据压缩算子的不动点定理，积分方程（6.28）有唯一的平方可积函数解 x( s) ，并可 由不动点迭代求得近似解：
x Tx Tx ，即求算子 T 的不动点问题。
解方程（6.1）的问题就转化为求解 x
例1. 不动点定理在微分方程中的应用 常微分方程初值问题解的存在性和唯一性定理： 设如下常微分方程初值问题
dy f ( x, y ) dx y | x x y0 0
（6.23）
满足： f ( x, y ) 是在 R 2 上定义的连续函数，且关于
y 满足 Lipschitz 条件：
（6.24）
| f ( x, y1 ) f ( x, y2 ) | L | y1 y2 |
则它存在唯一解。
证明：常微分方程初值问题（6.23）可以转化为等价的积分方程
y x y0 y(t )dt f (t , y (t ))dt
即极限点 x*为 T 的不动点。 再证唯一性。
*
，在
xn 1 Txn
* * 两边取极限，得 x Tx ，
* * * 若由另一初始点出发，通过上面同样的迭代得到另一不动点 y ，即 y Ty ，则有
( x* , y* ) (Tx* , Ty* ) ( x* , y* )
证明： 这里只证第二种情况。 令
Tx( s ) f ( s ) K ( s, t ) x(t )dt
a
b
（6.29）
（6.28）
2 2
x Tx
T : L [ a, b] L [ a, b] 。 L [ a, b] 完备。
2

T 的压缩性：
(Tx1 , Tx2 )
xn s f ( s ) K ( s, t ) xn 1 t dt
a
b
对第一种情形，给出如下算例。
例：设在 [0,1] [0,1] 上有 K ( s, t ) 求方程 x(t ) 1
s , 0 s t t , t s 1
1 b K ( s, t ) x( s )ds 10 a
X 上是压缩映
(Tx, x0 ) (Tx, Tx0 ) (Tx0 , x0 )
( x, x0 ) (1 )r r (1 )r r
因此 Tx s 。从而 T : s s ，又 T 在 s 上为压缩算子，则可以在 s 上应用不动点定理。# 推论 2 设(1) X 是完备距离空间，(2) T : X X ，(3)若存在 0 1 及正整数 n ，使对任意
* *
证明： 先证不动点的存在性。 任取 x0 X ，令
x1 Tx0
x2 Tx1 T 2 x0

xn 1 Txn T n 1 x0

得到点列 xn ,下证该点列收敛。 由算子 T 的压缩性可得：
( xn1, xn ) ( xn , xn1 ) 2 ( xn1, xn2 ) n (Tx0 , x0 )
0 t 1
max
max
1 0t 1 10

1
0
K ( s, t ) x1 ( s) x2 ( s) ds
1 1 K ( s, t ) x1 ( s ) x2 ( s) ds 0t 1 10 0
max
1 1 K ( s, t )ds max x1 ( s ) x2 ( s ) 0t 1 10 0 0 s 1
取 ，使 L 1 ，则显然有
T : C[ x0 , x0 ] C[ x0 , x0 ] ，又 C[ x0 , x0 ] 完备。
下证 T 为压缩算子：
(Ty1 , Ty2 ) max
max
max
| x x0 |
| x x0 |