2章_规则波导的一般特性
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E z H z 1 Ey 2 （ j ） 2 x （k ） y E z H z 1 Hx 2 （ j ） 2 y x （k ）
E z H z 1 Hy 2 （j ） 2 x y （k ）
d dz (t z ) 0 dt dt
求得相速为
dz vp dt
对于TEM波，则相速度为
1 vp ＝ ＝v
可见，在TEM波导波系统中传输的波的相速度等于相应媒质中波传输的速 度。在均匀各向同性介质中，这个速度与频率无关，是个常数，通常称为无 色散波。(系统无色散，不排除色散媒质的可能)
纵波与TEM波的求解对比
波导波动方程.doc
波沿规则波导传输的一般特性
截止现象和截止波长
γ是传播常数，它决定电磁波沿波导纵向的传输特性。将(2.3b)改写为
2 T Ez (u1 , u2 ) kc 2 Ez (u1 , u2 ) 0
(k 2 2 )＝k c2
(2.4)
(2.8)
第2章 规则波导理论
§2.0 §2.1 §2.2 §2.3 §2.4 §2.5 §2.6 §2.7 §2.8 §2.9 引言 波沿规则波导传输的一般特性 矩形波导中电磁波的通解 矩形波导中的TE10模 圆波导中的电磁波 同轴线的高次型波 脊型波导 波导的损耗 波导中正规模的正交性与完备性 波导的激励
E z H z 1 H 2 （ j ） 2 r r （k ）
波沿规则波导传输的一般特性
纵向电磁场在波导中的方程
在广义柱坐标系（u1, u2, z）中，纵向电场及磁场可以写为下式。
EZ = EZ（u1, u2, z） HZ = HZ（u1, u2, z）
它们满足下列标量波动方程
引言
脊形波导
引言
椭圆波导
§2.1 波沿规则波导传输的一般特性
从解波动方程出发，讨论波在波导中传输的一般特性。 波导中的电磁场问题也如第一章所讨论过的分为两部分，即波导的横截 面内场结构问题和波沿波导轴向传输的基本特性问题。
E ET E z
H HT H z
在直角坐标系中 E z H z 1 Ex 2 （ j ） 2 y （k ） x
波沿规则波导传输的一般特性
波的传播速度和色散
波的传播速度包括相速度与群速度，其速度若与频率有关，则存在色散现象。 与相速度对应的一个实际中常用的参数是波导波长，下面一一介绍。
1、相速度
2、波导波长
3、群速度
相速就是指波导中波的等相位面沿轴向传播的速度，用vp表示。波的等相 位面方程为ω t－β z＝常数，对 t 求导
波沿规则波导传输的一般特性
波的传播速度和色散
对于TE、TM波，将（2.18）式代入（2.20）式中，得
vp
2f v ＝ 2 1 ( )2 1 ( )2 c c
在传输状态下，λ<λc, 所以vp>v，即相速度大于光速。这个速度按其定义只 代表一种描述物质波动形态的物理量，不代表物质实体的运动速度，根据相 对论原理，任何信号和能量传输的速度是不能大于光速的。
(2.10)
β为实数，是波的相移常数，代表单位长度上相位的变化把这种状态称为传播 状态， k>kc称为波传输条件
波沿规则波导传输的一般特性
截止现象和截止波长
2、当k<kc时，γ为实数，可表示为
这时（2.7）表示为
kc 2 k k k ( ) 1 k
2 c 2
E（u1 , u 2 , z, t） CE(u1 , u 2 )e z e j t H(u1 , u 2 , z, t ) DH(u1 , u 2 )e z e j t
引言
定义：理想规则金属波导是指无限长的直波导，沿其轴线方向（波的传输方向） 横截面的几何尺寸、管壁的结构材料以及媒质的分布都不改变 根据横截面形状不同，有矩形波导、圆形波导、脊形波导、椭圆波导等， 其中矩形波导用的最多。 随着工作频率范围的不同，所采用的传输线也不同： 在米波高端至分米波低端这个范围采用平行双线； 在分米波高端至10厘米波段采用同轴线； 到了厘米波段采用波导传输系统。 波导与双线、同轴线比较具有下述优点： 波导中没有内导体，且不需要介质支撑，因此能量损耗较小； 波导中相对两壁间的距离远大于同轴线内外导体间的距离， 因此传输功率容量大； 波导的构造简单、结构坚固、易于加工。
g
vp f
＝
2 1 ( ) c
其中λ为自由空间波长或工作波长，在同一介质中，它与频率 f 是一一对应的，与波导的形状、尺寸无关。 对于TEM波, 因 λc=∞,代入上式，可得λg= λ; 对于TE、TM波型，在传输状态下λg >λ, 在后面章节可以 看到，λg还与尺寸、形状有关。
z E（ u , u , z ） C E ( u , u ） e z 1 2 z 1 2 z H（ u , u , z ） D H ( u , u ） e z 1 2 z 1 2
(2.5)
同理可得
(2.6)
由纵向场与横向场关系可知横向场沿z的变化与上式相同, 故场解为
E（u1 , u 2 , z，t） CE(u1 , u 2）e j t z H（u1 , u 2 , z，t） DH(u1 , u 2）e j t z
＝ k c2 k 2 j k 2 k c2
对于TE波和TM波，kc≠0,它是与波导的横截面形状、尺寸和传播的波型有关； 而对于填充确定介质的波导，k值由工作频率来决定。这就是说实际工作中传播 常数γ的值取决于频率的高低，也就是说，某一波型的电磁波能否在波导中传 输取决于频率的大小，当频率变化时，可能出现下面几种情况： 1、当k>kc时，γ为虚数，可表示为
The 365 series termination is a section of circular waveguide with an integral conical load made from a dielectric absorber material. The long precise taper allows optimum absorption of the microwave energy with minimum reflection. Each termination is fitted with a standard male or female circular flange, specified at the time of order.
等式两边同除以 EZ（u1, u2）g（z）
2 T E Z (u1 , u 2 ) k 2 E z (u1 , u 2 ) 1 2 g ( z) － E z (u1 , u 2 ) g ( z) 2 z
等式的左边仅是横向坐标的函数，右边只是z的函数，故上式成立的条件是两边均应为 常数，令此常数γ2为于是得到以下两个独立方程(2.3a),(2.3b)
式中第一项表示向正z方向传播的波，第二项表示向负z方向传播的波; C＋, C－ 是待定常数
波沿规则波导传输的一般特性
电磁波在柱状波导中的解
γ是传播常数，在一般情况下， γ＝α＋jβ ，α是衰减常数，β是相移常数。 对于规则波导，只有正z方向传播的波，因此
g ( z ) C e z
（2.2）式就可表示成
2 可得 （ 2 ）E z (u1 , u 2 ) g ( z ) k 2 E z (u1 , u 2 ) g ( z ) 0 z
2 T
波沿规则波导传输的一般特性
纵向电磁场的纵向变化
2 g ( z) 2 2 g ( z ) T E z (u1 , u 2 ) E z (u1 , u 2 ) k E z (u1 , u 2 ) g ( z ) 0 2 z
（1.5）
解出纵向分量Ez，Hz后，由Ez，Hz求横向分量ET，HT
在圆柱坐标系中 E z j H z 1 Er 2 （ ） 2 r r （k ）
H z 1 E z E 2 （ j ） 2 r r （k ） H z 1 j E z Hr 2 （ ） 2 r r （k ）
相速>光速的说明
• 相位没有确切的物理意义，Φ 和
Φ＋2π可为同 一点的相位，在△t＝0时，相位走了2π？ • 等相位面的距离不确切，导致相速值不确切
波沿规则波导传输的一般特性
波导波长
波导波长也可称为相波长，是指在波导内沿其轴向传播的电磁 波的等相位面在一个周期内行进的距离，用λg表示。与vp相对应， 若电磁波的频率是 f， λg为
(2.7)
至于场解中的横向分布，则要等波导的横截面形状、尺寸、传播的模式给 定以后，对（2.3b）式求解才能得到。这将在以后讨论具体波导时再作分析。
2 [T (k 2 2 )]E z (u1 , u 2 ) 0
(2.3b)
下面讨论电磁波在规则波导中沿z轴传播的一些基本特性，这些基本特性 适用于各种不同截面的柱状波导系统。
z
y
在波导中能传输TE波TM波,不能传输TEM波 TEM波只能存在于那些允许二维静场存在的系统中， 也就是说存在于具有两个以上导体的传输系统中。 x 金属波导示意图 而空心金属波导为单导体系统。
引言
同轴线
引言
矩形波导
引言
圆形波导
TE01 Circular Waveguide Terminations
▽2EZ + k2 EZ=0 ▽2HZ + k2 HZ=0
利用分离变量将 EZ = EZ（u1, u2, z）表示为
(2.1)
EZ = EZ（u1, u2）g（z）
(2.2)
式中 EZ（u1, u2）表示纵向电场在波导横截面内的分布，g（z）仅是纵向坐标 z 的函数，代表波沿波导纵向的传播规律。 2 2 2 2 将拉普拉斯算子 ▽ 分解为 T z 2
1 2 g ( z) 2 ＝ g ( z) 2 z
2 [T (k 2 2 )]E z (u1 , u 2 ) 0
2 d g ( z) 2 将(2.3a)写成 － g ( z) 0 2 d z
(2.3a)
(2.3b)
其通解为
g ( z ) C e z C e z
可见，这时电磁波的相位沿z没有变化，它不具有波动的性质，这种场的时 变规律是一种原地振动的正弦振荡，而其幅度却按e-αz的规律沿z轴快速衰减， 它只能存在于激发源的附近。这种状态称为截止状态， k<kc称为截止条件 3、当k＝kc时，γ＝0。此时为波在波导中传播与截止分界的临界状态。临 界状态下的工作频率和工作波长叫做截止频率和截止波长，若以fc和λc表示， 应有下面的关系: kc fc k＝k c＝ c 2f c 2
c
v 2 fc kc
波沿规则波导传输的一般特性
截止现象和截止波长
定义了截止波长以后，电磁波在导波系统中的传输条件 k>kc 可表示为 λ<λc 相位常数为
＝
2
1－(
2 ) c
存在截止现象是纵波的特性。对于TEM波，β＝k ，kc＝0，fc＝0， λc＝∞，可见TEM波在任何频率下都能满足传输条件，不存在截止现 象
j k 2 kc2 jk 1 (
这时（2.7）表示为
kc 2 ) j k
z)
(2.9)
E(u1 , u2 , z, t ) CE(u1 , u2 )e j ( t
H(u1 , u 2 , z, t ) DH(u1 , u 2 )e
j ( t z )
同时式还表明，相速度与波长有关，不 同的波长具有不同的速度，这种随频率变 化的特性称为色散，因此TE、TM波为色 散波，如右图所示。这是纵波和TEM波 的重要区别。
截 止 区
vp / c v=c vg / c
1
2
3 f/f cຫໍສະໝຸດ Baidu
图2－2 相速度、群速与频率的关系
波沿规则波导传输的一般特性
波的传播速度和色散
E z H z 1 Hy 2 （j ） 2 x y （k ）
d dz (t z ) 0 dt dt
求得相速为
dz vp dt
对于TEM波，则相速度为
1 vp ＝ ＝v
可见，在TEM波导波系统中传输的波的相速度等于相应媒质中波传输的速 度。在均匀各向同性介质中，这个速度与频率无关，是个常数，通常称为无 色散波。(系统无色散，不排除色散媒质的可能)
纵波与TEM波的求解对比
波导波动方程.doc
波沿规则波导传输的一般特性
截止现象和截止波长
γ是传播常数，它决定电磁波沿波导纵向的传输特性。将(2.3b)改写为
2 T Ez (u1 , u2 ) kc 2 Ez (u1 , u2 ) 0
(k 2 2 )＝k c2
(2.4)
(2.8)
第2章 规则波导理论
§2.0 §2.1 §2.2 §2.3 §2.4 §2.5 §2.6 §2.7 §2.8 §2.9 引言 波沿规则波导传输的一般特性 矩形波导中电磁波的通解 矩形波导中的TE10模 圆波导中的电磁波 同轴线的高次型波 脊型波导 波导的损耗 波导中正规模的正交性与完备性 波导的激励
E z H z 1 H 2 （ j ） 2 r r （k ）
波沿规则波导传输的一般特性
纵向电磁场在波导中的方程
在广义柱坐标系（u1, u2, z）中，纵向电场及磁场可以写为下式。
EZ = EZ（u1, u2, z） HZ = HZ（u1, u2, z）
它们满足下列标量波动方程
引言
脊形波导
引言
椭圆波导
§2.1 波沿规则波导传输的一般特性
从解波动方程出发，讨论波在波导中传输的一般特性。 波导中的电磁场问题也如第一章所讨论过的分为两部分，即波导的横截 面内场结构问题和波沿波导轴向传输的基本特性问题。
E ET E z
H HT H z
在直角坐标系中 E z H z 1 Ex 2 （ j ） 2 y （k ） x
波沿规则波导传输的一般特性
波的传播速度和色散
波的传播速度包括相速度与群速度，其速度若与频率有关，则存在色散现象。 与相速度对应的一个实际中常用的参数是波导波长，下面一一介绍。
1、相速度
2、波导波长
3、群速度
相速就是指波导中波的等相位面沿轴向传播的速度，用vp表示。波的等相 位面方程为ω t－β z＝常数，对 t 求导
波沿规则波导传输的一般特性
波的传播速度和色散
对于TE、TM波，将（2.18）式代入（2.20）式中，得
vp
2f v ＝ 2 1 ( )2 1 ( )2 c c
在传输状态下，λ<λc, 所以vp>v，即相速度大于光速。这个速度按其定义只 代表一种描述物质波动形态的物理量，不代表物质实体的运动速度，根据相 对论原理，任何信号和能量传输的速度是不能大于光速的。
(2.10)
β为实数，是波的相移常数，代表单位长度上相位的变化把这种状态称为传播 状态， k>kc称为波传输条件
波沿规则波导传输的一般特性
截止现象和截止波长
2、当k<kc时，γ为实数，可表示为
这时（2.7）表示为
kc 2 k k k ( ) 1 k
2 c 2
E（u1 , u 2 , z, t） CE(u1 , u 2 )e z e j t H(u1 , u 2 , z, t ) DH(u1 , u 2 )e z e j t
引言
定义：理想规则金属波导是指无限长的直波导，沿其轴线方向（波的传输方向） 横截面的几何尺寸、管壁的结构材料以及媒质的分布都不改变 根据横截面形状不同，有矩形波导、圆形波导、脊形波导、椭圆波导等， 其中矩形波导用的最多。 随着工作频率范围的不同，所采用的传输线也不同： 在米波高端至分米波低端这个范围采用平行双线； 在分米波高端至10厘米波段采用同轴线； 到了厘米波段采用波导传输系统。 波导与双线、同轴线比较具有下述优点： 波导中没有内导体，且不需要介质支撑，因此能量损耗较小； 波导中相对两壁间的距离远大于同轴线内外导体间的距离， 因此传输功率容量大； 波导的构造简单、结构坚固、易于加工。
g
vp f
＝
2 1 ( ) c
其中λ为自由空间波长或工作波长，在同一介质中，它与频率 f 是一一对应的，与波导的形状、尺寸无关。 对于TEM波, 因 λc=∞,代入上式，可得λg= λ; 对于TE、TM波型，在传输状态下λg >λ, 在后面章节可以 看到，λg还与尺寸、形状有关。
z E（ u , u , z ） C E ( u , u ） e z 1 2 z 1 2 z H（ u , u , z ） D H ( u , u ） e z 1 2 z 1 2
(2.5)
同理可得
(2.6)
由纵向场与横向场关系可知横向场沿z的变化与上式相同, 故场解为
E（u1 , u 2 , z，t） CE(u1 , u 2）e j t z H（u1 , u 2 , z，t） DH(u1 , u 2）e j t z
＝ k c2 k 2 j k 2 k c2
对于TE波和TM波，kc≠0,它是与波导的横截面形状、尺寸和传播的波型有关； 而对于填充确定介质的波导，k值由工作频率来决定。这就是说实际工作中传播 常数γ的值取决于频率的高低，也就是说，某一波型的电磁波能否在波导中传 输取决于频率的大小，当频率变化时，可能出现下面几种情况： 1、当k>kc时，γ为虚数，可表示为
The 365 series termination is a section of circular waveguide with an integral conical load made from a dielectric absorber material. The long precise taper allows optimum absorption of the microwave energy with minimum reflection. Each termination is fitted with a standard male or female circular flange, specified at the time of order.
等式两边同除以 EZ（u1, u2）g（z）
2 T E Z (u1 , u 2 ) k 2 E z (u1 , u 2 ) 1 2 g ( z) － E z (u1 , u 2 ) g ( z) 2 z
等式的左边仅是横向坐标的函数，右边只是z的函数，故上式成立的条件是两边均应为 常数，令此常数γ2为于是得到以下两个独立方程(2.3a),(2.3b)
式中第一项表示向正z方向传播的波，第二项表示向负z方向传播的波; C＋, C－ 是待定常数
波沿规则波导传输的一般特性
电磁波在柱状波导中的解
γ是传播常数，在一般情况下， γ＝α＋jβ ，α是衰减常数，β是相移常数。 对于规则波导，只有正z方向传播的波，因此
g ( z ) C e z
（2.2）式就可表示成
2 可得 （ 2 ）E z (u1 , u 2 ) g ( z ) k 2 E z (u1 , u 2 ) g ( z ) 0 z
2 T
波沿规则波导传输的一般特性
纵向电磁场的纵向变化
2 g ( z) 2 2 g ( z ) T E z (u1 , u 2 ) E z (u1 , u 2 ) k E z (u1 , u 2 ) g ( z ) 0 2 z
（1.5）
解出纵向分量Ez，Hz后，由Ez，Hz求横向分量ET，HT
在圆柱坐标系中 E z j H z 1 Er 2 （ ） 2 r r （k ）
H z 1 E z E 2 （ j ） 2 r r （k ） H z 1 j E z Hr 2 （ ） 2 r r （k ）
相速>光速的说明
• 相位没有确切的物理意义，Φ 和
Φ＋2π可为同 一点的相位，在△t＝0时，相位走了2π？ • 等相位面的距离不确切，导致相速值不确切
波沿规则波导传输的一般特性
波导波长
波导波长也可称为相波长，是指在波导内沿其轴向传播的电磁 波的等相位面在一个周期内行进的距离，用λg表示。与vp相对应， 若电磁波的频率是 f， λg为
(2.7)
至于场解中的横向分布，则要等波导的横截面形状、尺寸、传播的模式给 定以后，对（2.3b）式求解才能得到。这将在以后讨论具体波导时再作分析。
2 [T (k 2 2 )]E z (u1 , u 2 ) 0
(2.3b)
下面讨论电磁波在规则波导中沿z轴传播的一些基本特性，这些基本特性 适用于各种不同截面的柱状波导系统。
z
y
在波导中能传输TE波TM波,不能传输TEM波 TEM波只能存在于那些允许二维静场存在的系统中， 也就是说存在于具有两个以上导体的传输系统中。 x 金属波导示意图 而空心金属波导为单导体系统。
引言
同轴线
引言
矩形波导
引言
圆形波导
TE01 Circular Waveguide Terminations
▽2EZ + k2 EZ=0 ▽2HZ + k2 HZ=0
利用分离变量将 EZ = EZ（u1, u2, z）表示为
(2.1)
EZ = EZ（u1, u2）g（z）
(2.2)
式中 EZ（u1, u2）表示纵向电场在波导横截面内的分布，g（z）仅是纵向坐标 z 的函数，代表波沿波导纵向的传播规律。 2 2 2 2 将拉普拉斯算子 ▽ 分解为 T z 2
1 2 g ( z) 2 ＝ g ( z) 2 z
2 [T (k 2 2 )]E z (u1 , u 2 ) 0
2 d g ( z) 2 将(2.3a)写成 － g ( z) 0 2 d z
(2.3a)
(2.3b)
其通解为
g ( z ) C e z C e z
可见，这时电磁波的相位沿z没有变化，它不具有波动的性质，这种场的时 变规律是一种原地振动的正弦振荡，而其幅度却按e-αz的规律沿z轴快速衰减， 它只能存在于激发源的附近。这种状态称为截止状态， k<kc称为截止条件 3、当k＝kc时，γ＝0。此时为波在波导中传播与截止分界的临界状态。临 界状态下的工作频率和工作波长叫做截止频率和截止波长，若以fc和λc表示， 应有下面的关系: kc fc k＝k c＝ c 2f c 2
c
v 2 fc kc
波沿规则波导传输的一般特性
截止现象和截止波长
定义了截止波长以后，电磁波在导波系统中的传输条件 k>kc 可表示为 λ<λc 相位常数为
＝
2
1－(
2 ) c
存在截止现象是纵波的特性。对于TEM波，β＝k ，kc＝0，fc＝0， λc＝∞，可见TEM波在任何频率下都能满足传输条件，不存在截止现 象
j k 2 kc2 jk 1 (
这时（2.7）表示为
kc 2 ) j k
z)
(2.9)
E(u1 , u2 , z, t ) CE(u1 , u2 )e j ( t
H(u1 , u 2 , z, t ) DH(u1 , u 2 )e
j ( t z )
同时式还表明，相速度与波长有关，不 同的波长具有不同的速度，这种随频率变 化的特性称为色散，因此TE、TM波为色 散波，如右图所示。这是纵波和TEM波 的重要区别。
截 止 区
vp / c v=c vg / c
1
2
3 f/f cຫໍສະໝຸດ Baidu
图2－2 相速度、群速与频率的关系
波沿规则波导传输的一般特性
波的传播速度和色散