等差等比数列综合应用教案

教育个性化教育教案

教师姓名 学科 数学 上课时间 2011/1/29

学生姓名

年级

时间段

课题名称 等差数列和等比数列

教学目标

等差数列和等比数列

教学重难点

等差数列和等比数列 一、知识回顾

1. 等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质

2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法. (2)通项公式法.(3)中项公式法.

3. 在等差数列｛n a ｝中,有关S n 的最值问题：(1)当1a >0,d<0时，满足⎩⎨⎧≤≥+00

1m m a a 的项数m 使得m s 取最大值. (2)当

1a <0,d>0时，满足⎩⎨⎧≥≤+0

1m m a a 的项数m 使得m s 取最小值.在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

二、基本训练

1．等差数列的前n 项和为25，前2n 项和为100，则它的前3n 和为 。 2．各项均为正数的等比数列{}n a 中，569a a ⋅=，则3132310log log log a a a ++

+= 。

3．若一个等差数列的前3项和为34，最后3项和为146，且所有项的和为390，则这个数列有 项。 4．在等差数列中，S 11＝22，则a 6＝__________________.

5．等比数列{}n a 中，①若a 1 +a 4＝9，a 2 ·a 3=8，则前六项和S 6=___________；②若a 5+ a 6 ＝a ，a 15+ a 16 ＝b ，则a 25+ a 26＝__________________.

6．数列{}n a 是等比数列，下列四个命题：①2

{}n

a 、2{}n a 是等比数列；②{ln }n a 是等差数列；③1{}n a 、{||}n a 是等比数列；④{}n ka 、{}n a k +(0)k ≠是等比数列。正确的命题是 。

三、例题分析

例1、设等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，m n ≠，

1）若,m n a n a m ==，求m n a +和m n S +；2）若,m n S n S m ==，求m n S +；3）若71

427

n n S n T n +=+，求n n a b 。

例2、①设等差数列{}n a 中，21512841=+---a a a a a ，求133a a +及S 15的值.

②设等比数列{}n a 中，128,66121==+-n n a a a a ，前ｎ项和S ｎ＝126，求n 和公比q.

③等比数列中，q ＝2，S 99=77，求9963a a a +++ ；

④项数为奇数的等差数列{}n a 中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数.

例3．是否存在公差不为零的等差数列｛a n ｝，使对任意正整数n ，

n

n

S S 2为常数？若存在，求出这个数列；若不存在，说明理由。

例4．三个实数10a 2+81a+207，a+2，26－2a 经适当排列，它们的常用对数值构成公差为1的等差数列。求a 的值。

例5．已知递增的等比数列｛a n ｝前三项之积为512，它们分别减去1，3，9后，又构成等差数列.求证

11a +22a +3

3

a +…+

n

a n

＜1.

四、作业

1. 已知等差数列{}n a 满足a 1231010a a a a +++

+=，则有

A.11010a a +>

B.21000a a +<

C.3990a a +=

D.5151a = 2. 若n S 是数列{}n a 的前n 项和，且2n S n =，则{}n a 是

A.等比数列，但不是等差数列

B.等差数列，但不是等比数列

C.等差数列，而且也是等比数列 D 既非等差数列也非等比数列 3. 在等差数列{}n a 中，若其前n 项和n n S m =

，前m 项和m m

S n

=（m n ≠，,*m n N ∈），则m n S +的值 A.大于4 B.等于4 C.小于4 D.大于2且小于4

4. 在2与7之间插入n 个数, 使这个以2为首项的数列成等差数列, 并且S 16＝56则n ＝( )

A. 26

B. 25

C. 24

D. 23 5．数列{}n a 中，372,1a a ==，又数列11n a ⎧⎫

⎨

⎬+⎩⎭

是等差数列，则8a =（ ）

（A ）0 （B ）

12 （C ）2

3

（D ）－1 6．已知等差数列｛a n ｝的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2等于 （ ）

（A ）－4 （B ）－6 （C ）－8 （D ）－10

7．设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5

935,95S S

a a 则（ ） A ．1 B ．－1 C ．2 D ．2

1

8、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知)6(144,324,3666>===-n S S S n n ，则n 为（ ）

(A) 18

(B) 17

(C) 16

(D) 15

9. 等差数列{}n a 中，首项10a >， n S 是其前n 项和，且1525S S =，则当n S 最大时，n = 。 10. 等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和n S 、n T 满足

3125n n S n T n +=

+，则55a

b = ，3

3b a = . 11. 已知0a >且1a ≠，设数列{}n x 满足1log 1log a n a n x x +=+(*)n N ∈，且12100100x x x ++

+=，则

101102200x x x +++= .

12. 等差数列{}n a 中，前n 项和n S ，若m>1，且a m-1+a m+1－a m 2=0，S 2m-1=38，则m ＝____________.

13. 已知数列{}n a 、{}n b 满足：121,a a a ==(a 为常数)，且1n n n b a a +=⋅，其中1,2,3n =

（1）若{}n a 是等比数列，试求数列{}n b 的前n 项和n S 的公式；

（2）当{}n b 是等比数列时，甲同学说：{}n a 一定是等比数列；乙同学说：{}n a 一定不是等比数列,你认为他们的说法是否正确？为什么？

14. {}n a 、{}n b 都是各项为正的数列，对任意的正整数n ，都有21,,n n n a b a +成等差数列，2211,,n n n b a b ++成等比数列。 （1）试问{}n b 是否为等差数列？为什么？

（2）求证：对任意的正整数,()p q p q >，2222p q p q p b b b -++≥成立。

15．已知曲线xy －2kx+k 2=0与x －y+8=0有且只有一个为共点，数列｛a n ｝中，a 1=2k ，n ≥2时，｛a n －1，a n ｝均在曲线xy －2kx+k 2=0上，数列｛b n ｝中，b n =2

1

-n a .

（1）求证：｛b n ｝是等差数列；

（2）求a n

答案：