四边简支矩形层合板屈曲问题分析
新型的三维板方法分析层合板弯曲问题
新型的三维板方法分析层合板弯曲问题王伟;沈纪苹;伊士超;姚林泉【摘要】在层合板弯曲问题的数值模拟过程中,经常会采用不同假设理论来近似和简化处理,包括经典层合板理论、一阶剪切理论、三阶剪切理论等高阶剪切理论,这些理论都有各自的优缺点.基于方向的无网格和有限元耦合的三维板方法,即在板厚度方向的各子层内使用满足C0连续性的有限元近似,而在板的面内方向使用基于径向基插值的无网格近似,无需事先假设横向剪切理论,是一种新型的三维板方法,它采用的位移近似理论能够呈现整体满足连续性的位移和各面内应变分量,及满足"层间不连续性"的各剪切应变分量,为得到"层间连续性"的各剪切应力分量提供了可能性.然后,通过面内的二维节点离散及"映射技术"较快捷地实现三维位移场的近似,并利用三维的几何关系和物理关系分别构造应变场、应力场近似.同时具有插值性的耦合位移近似使得能够方便地施加本质边界条件.基于最小势能原理,利用无单元Galerkin法建立系统离散代数方程组.通过分析数值结果,探讨该方法在实现过程中可能出现的各种自锁现象,并给出解决自锁的方案.最后,通过数值算例验证了它的有效性和高精度.【期刊名称】《南通大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(014)003【总页数】12页(P83-94)【关键词】三维板方法;无单元Galerin法;径向点插值;层合板弯曲;自锁现象【作者】王伟;沈纪苹;伊士超;姚林泉【作者单位】苏州大学数学科学学院,江苏苏州215006;苏州大学城市轨道交通学院,江苏苏州215137;苏州大学城市轨道交通学院,江苏苏州215137;江苏科技大学数理学院,江苏镇江212003;苏州大学城市轨道交通学院,江苏苏州215137【正文语种】中文【中图分类】O344.1无网格法是近些年来在国内外兴起的一种新的数值计算方法，这种方法建立在节点基础之上，不依赖于网格信息，能够消除或者部分消除网格划分带来的难点.目前已有数十种无网格方法，包括无单元Galerkin法（EFG）[1 -3]、无网格局部Petrov-Galerkin法（MLPG）[4-5]、光滑流体动力学方法（SPH）[6]、再生核粒子法（RPKM）[7]、单位分解法（PU）[8]、h-p云团法[9]等.无网格方法关键的部分在于近似函数的建立，目前无网格方法中使用最多的是移动最小二乘法（MLS），MLS的优点很多，但计算过程涉及到大量矩阵相乘和矩阵求逆，计算量较大，同时构造出的形函数不具有Kronecker Delta函数的插值特性，因此很难施加本质边界条件.而本文采用径向基函数（RBF）和多项式基函数来构造近似函数，不但在某种程度上消除了矩阵的奇异性问题，还构造出了满足插值特性的形函数.板结构[10-15]在工程实际中有着十分广泛的应用.针对板的有限元数值分析，大致有以下两类理论：一是退化的板理论.例如Kirchhoff薄板理论和Reissner-Mindlin中厚板理论，这些理论都忽略了横向正应变，并使用退化的本构关系（例如平面应力本构关系）表示应力-应变关系. Kirchhoff薄板理论同时忽略了横向剪切变形的影响，对于厚度与横向尺寸之比比较小的薄板可以获得与实际相符的较精确的结果.而Reissner-Mindlin中厚板理论添加了转角自由度考虑了横向剪切变形，并通过剪切因子来修正横向剪切变形，不过在数值模拟过程中经常会出现各式各样的自锁现象.二是基于实体板理论.这些理论假设位移沿着板的厚度方向是线性或者二次变化的，这样就可能出现纤维方向的伸缩，利用三维本构关系能更好地模拟出应力-应变场，使其更贴合实际.不过，一些新的自锁现象会出现，另外，三维实体单元的划分目前为止仍是一个难题.基于径向基函数（RPIM）近似以及基于方向的无网格法和有限元法耦合的三维板方法，用无单元Galerkin法来求解板的弯曲问题.所谓的分层板理论就是将板看成很多层状结构构成的整体，利用每个薄层来分别构造仅基于位移自由度的一种近似理论.借助于离散区域的节点来构造无网格近似函数，并利用无单元Galerkin法推导控制方程，并通过数值算例验证了它的有效性.考虑定义在域Ω上的场函数u（x），在域Ω内及其边界上任意分布若干个节点，利用节点的支撑域内n个节点的函数值ui（i=1，2，…，n）构造近似场函数式中，Ri（x）是径向基函数，Pj（x）是多项式基函数，ai，bj分别是其待定系数，m是多项式基函数的项数.为保证取得较好的稳定性，通常取m < n.在二维问题中，常采用线性基PT（x）=[1，x，y].目前，常用的径向基函数有：其中，c，q均为参数.方程中的系数ai，bj由方程满足影响域内n个离散点插值得到，因此有，矩阵RQ，Pm表示为：式中，有n+m个未知量，却只有n个方程，求解上述方程组需增加m个约束方程，由式（2）和约束条件得鉴于上述分析，发现：1）在厚度方向上，要求各位移分量为C0连续，可保证横向应变的不连续性；2）在面内方向，要求各位移分量为至少C1连续，可保证沿着x、y方向的面内应变的连续性.而构造一维的C0连续函数可采用有限元近似，构造二维的高阶连续函数可以采用无网格近似.可以按照不同的方向分别采用有限元近似和无网格近似，建立两者相结合的新的近似方法，来模拟更真实的位移-应变-应力状态.这种基于方向性的有限元和无网格的耦合位移场理论，融入了横向剪切应变和横向正应变的影响，采用完全三维的本构关系来分析应力分布，能正确地反映层合板内部的应力结构，可以被用于层合板问题的数值模拟中去.2.2 耦合的位移近似函数构造根据上述分析，对于由N层薄层构成的长、宽和高分别为a、b、h层合板，设定几何坐标为则位移场可以写成解方程得：a=SbUs，b=SaUs.其中，将a，b代入式（1），得式中，Ni（x）为第i个节点的形函数.2.1 层合板位移法的再考虑从整体的位移角度来看，层合板在任意地方的位移应该是连续的，因此假设具有连续性的位移即可.这时，有限元近似函数和无网格近似函数都能保证不仅在有限的单元内或支持域内连续，而且在整个问题域内也是连续的，能够满足此要求.从应变-应力的角度来看，根据相互作用的层间应力应遵守牛顿第三定律，如果相邻层间是由不同的材料构成的，则层间应力的连续性需满足：其中，（UI，VI，WI）是指位移在厚度方向上第I个数值平面上的节点值，M是沿着厚度方向划分的平面数目，ΦI是位移分量沿着厚度方向的全局插值函数.如，分段线性的全局插值函数ΦI表示为下列形式，其中，Me为沿着厚度方向的数值子层数，一般大于或等于材料子层数，图1给出了选取数值子层与材料子层一致的情形.分段线性的全局插值函数（M=Me+1=N）其中，0≤軃≤hk，hk为第k个数值层的厚度，z軃=z -，且为第k个数值子层的下表面的厚度坐标.在数值平面面内的位移分量（UI，VI，WI）用RPIM得到.对第I个数值平面，用Na个节点来离散，面内任一计算点（x，y）的位移分量近似为（UI（x，y）VI （x，y）WI（x，y））=其中，n为数值面内支持域内的节点数，Ni为 RPIM形函数为第I个数值平面上计算点（x，y）的局部支持域内第i个节点的节点位移参数.当然，不同的数值平面可以采用不同的节点来离散，例如节点密度稠密或稀疏、节点分布规则或不规则等.为了简化计算，仅在某一个数值平面进行二维的节点离散，其余的平面节点只需将这个平面上的离散节点沿着厚度方向做垂直映射，这样在不同的数值平面上相互映射的计算点在面内进行RPIM插值时，其形函数是一样的.这种运用映射法进行区域离散的方法不但节省了不同平面的离散时间，而且节省了相互映射计算点的形函数的计算时间.将式（8）代入式（6），得到耦合的位移形函数近似表达式由于位移耦合近似函数是基于不同的方向分别采用无网格中的径向基函数插值近似和有限元中的线性单元近似，因此称这种近似为基于方向的RPIM-L（radial pionts interpolated method-linear）近似.将层合结构位移场的近似式（9），代入几何关系，可知层合材料任意点处的应变场近似，将其应变分为：面内应变，剪切应变，横向正应变εz.则在问题坐标系下第k层本构关系为其中，为由在材料坐标系下的弹性系数经坐标转变后在问题坐标系下的弹性系数，它们之间满足下列关系=T（k）T*C（k）*T（k），且第k层的转换矩阵T（k）为其中，θk是第k层的材料坐标系顺时针转到问题坐标系形成的转角.层合材料受弯曲变形时，虚应变能为其中，Cb、Cs和Ct来自于刚度系数矩阵C，分别表示面内弯曲、横向剪切、面内弯曲和横向伸缩耦合部分的弹性系数矩阵.令S=C-1为相应材料的柔顺系数矩阵，同样有相应的分块：其中，Sij为矩阵S的元素.由位移近似可以看出可能会产生吻合厚度自锁发生的条件，而且经初步数值计算，出现了数值问题.因此，这里重点考虑克服厚度自锁问题.由本构关系可知，有下列关系：其中，，以及εm，εb分别表示薄膜应变和弯曲应变.当结构处于纯弯曲状态下，即给定σ==zM和εz=0，可以得出其中M=此时，如果Poisson比不为零，则弯曲应变εb总是小于精确的弯曲应变其中，S=是平面应力柔顺系数矩阵，此时不能重构平面应力条件，从而引起厚度自锁.为了强制平面应力状态，忽略面内的拉伸对横向应力的影响，将式（16）修正为此时，当结构处于纯弯曲状态下，即给定σ==zM和σz=0可以得出σz=0.通过强制平面应力状态来修正弹性系数矩阵，从而克服厚度自锁现象，虚应变能为其中，修正后的各部分弹性系数为将式（10）带入式（18），并利用变分、求和、积分的性质进行整理，最后求得虚应变能的变分其中，分别称为修正的弯曲刚度矩阵、横向剪切刚度矩阵和横向刚度矩阵，K′为修正的总刚度矩阵，且有其中，分别为第k层板上、下表面的厚度坐标分量.外力做的虚功为其中，qu和qb分别为作用在层合板的上表面z=下表面z=上的外载荷向量，带下标的δij为delta函数.同时，由于RPIM-L满足Kronecker delta函数性质，不需要在Galerkin弱式中引入约束项来施加本质边界条件，由于不计体力，所以直接将式（19）、（21）、（9）代入δU+δV=0，得δU（K′U -F）=0，由于δUT的任意性，得到系统离散方程组K′U=F.对于层合板的分析，发现夹芯板中由于运用强制平面应力法，自锁现象消失，同时得到了很好的精度.然而对于多层的复合板，特别是大于或等于5层时，在τx y会出现厚度自锁，结果远离所比较的FSDT所得到的.对一个二维的区域，应变光滑化就是对一个节点进行如下的处理，坐标方向集合{x，y}={1，2}，ΩL是这个区域的测度（二维为面积，三维为体积），如图2所示，对于任意的节点分布，都可以生成Voronoi图，每个多边形里只包含一个节点，则这个多边形就是Dirichlet多边形，于此同时用每个边的中位线又把该K多边形分成了K个四边形，称这个方案为SST-Q4,如果再连接节点与多边形的角点，还会得到2K个三角形,称为SST-T8方案.当节点均匀分布时，它的Dirichlet多边形是个矩形，中位线又把矩形分成了4个四边形（矩形），所以称为SST-Q4方案，与此同时继续细分得到8个三角形SST-T8方案，而当节点是非均匀时，分别给出SST-Q4方案（图3a）与SST-T8方案（图3b）如图3所示.用SST-Q4方案的结果做对比，则式（22）可写成由于应变是位移的一阶偏导，所以用GREEN公式对积分进行简化，接着得到一个关于位移的线积分，该方案减少了误差的累积，同时减轻了工作量.式（23）可表示为式（24）可以改写成其中，因此刚度矩阵K可改写为K=Kb+Ks+Kt，这时把式（25）代入离散方程中，得到修正的，则修正的=+Ks+Kt.用新的几何矩阵替换原来的矩阵，得到新的离散方程U=F.本文用一些数值算例来验证所提方法对层合板的弯曲问题的有效性.所选长方形板的问题域为，通过变换其几何尺寸和受力方式来说明其普适性.设材料1的弹性系数为：对于每个例子，分别对位移和应力都做了正则化处理：本文无网格RPIM近似使用的是MQ加多项式基，其参数取q=1.03，c=0.5.同时采用矩形支持域，这里的形参固定为3.0.积分方案选取每个背景网格都有16（4×4）个Gaussian点，64（8×8）个背景网格.为了得到更精确的解，可以在每层上添加更多的节点或者增加数值层，经过后者的处理得到的应力精确度得到很大的提高.5.1 夹芯板一个四边简支的夹芯方板（a=b）在上表面受双向半正弦载荷，其总厚度为h，2个表面层的厚度hskin=0.1 h，夹芯层的厚度hcore=0.8 h.表面层由材料1构成，而夹心层是横观各项异性材料，性质如下：本方法的解与3-D精确解[12]在表1中关于不同的厚跨比进行了对比.用3个数值层和9×9×2个节点进行比较.分别考虑了在上下面的σx，同时在z=±2h/5处的σx分部位于第一和第三层.图4给出了2种剪切力在厚度方向分布情况.数值结果显示面内剪切应力在厚度方向是不连续的，但是横向剪切应力是连续的.还能得到其剪切变形的相对误差小于1%（即使在h/a=0.5时，相对误差只有1.959%）.所以提出的方法所有的厚跨比情况下都有很好的解.（注：由于使用强制平面应力状态方法使得结果未出现应力自锁现象，所以未采取应变光滑化.）5.2 层合板分析边长为a，总厚度为h的四边简支层合方板的弯曲问题，设厚跨比分别为h/a={0.1 0.05 0.01}.采用两种不同层数的层合板进行实验，它们每层材料性质都与材料1相同，所不同的是它们所铺设的角度不同：0°/90°/0°和0°/90°/0°/90°/0°.在表2和表3中，对两种不同层数的层合板，本文提出方法的解与3-D精确解[12]和FSDT解[16]进行了比较. 图5显示了在厚度方向0°/90°/0°铺设层合剪切应力的分布情况.尽管3-D精确解与基于FSDT理论和本文提出的理论都有略有不同，但其变化趋势一样，说明本文提出的方案对于求解层合板的弯曲是有效的方法.本文基于无网格伽辽金法的层压板结构分析，提出了一种新型3-D近似方案.所提出的方法是一种新型的无网格法与有限元方法耦合的方法.通过比较与其他近似方案的数值解来验证了所提出的方法.对于层压板，面内应力在厚度方向上是不连续的，而面上的剪切应力是连续的.同时对自锁现象做了处理，包括强制平面应力法、应变光滑化技术，依次解决了τxy项在厚跨比很小时出现的自锁现象.【相关文献】[1]BELYTSCHKO T，KRONGAUZ Y，ORGAN D，et al. 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《四边固支正交各向异性矩形中厚板弯曲问题的辛叠加解》范文
《四边固支正交各向异性矩形中厚板弯曲问题的辛叠加解》篇一一、引言在工程应用和材料力学中，对于各向异性材料的四边固支矩形中厚板的弯曲问题一直是研究的热点。
该问题不仅涉及了材料的物理属性、结构形态以及外加载荷等因素的相互影响，也具有理论上的复杂性。
解决这一问题的常用方法之一是利用辛叠加解法。
本文旨在阐述利用辛叠加解法求解四边固支正交各向异性矩形中厚板弯曲问题的基本原理和方法。
二、基本原理与理论背景在各向异性材料中，不同的方向上可能具有不同的物理属性，如弹性模量、剪切模量等。
而中厚板则是指其厚度与长宽比处于一定范围内的板件。
四边固支意味着板的四边均被固定，无法发生位移或转动。
对于这样的弯曲问题，我们采用辛叠加解法进行求解。
辛叠加解法是一种基于辛几何和辛结构的方法，能够有效地解决多种力学问题。
该方法将问题分解为多个基本问题，并通过辛叠加得到整体解。
该方法的基本思想在于其能够将复杂问题简化，从而降低求解难度。
三、数学模型与方程建立针对四边固支正交各向异性矩形中厚板的弯曲问题，我们首先需要建立数学模型和方程。
根据材料的物理属性、板的结构形态以及外加载荷等因素，建立微分方程和边界条件。
通过对方程进行适当的变换和简化，得到能够反映问题本质的数学模型。
四、辛叠加解法的应用在应用辛叠加解法时，我们将原问题分解为一系列的基本问题。
每个基本问题都具有简单的边界条件和明确的求解方法。
然后，我们利用辛几何的原理将这些基本问题的解进行叠加，得到原问题的解。
在具体操作中，我们首先对每个基本问题进行求解，得到其位移场和应力场等物理量的分布情况。
然后，利用辛叠加的原理，将这些分布情况进行叠加，得到原问题的整体解。
通过与实际工程问题进行对比分析，我们可以验证所求得的解的准确性和有效性。
五、结论与展望通过采用辛叠加解法求解四边固支正交各向异性矩形中厚板弯曲问题，我们得到了较为准确和有效的结果。
该方法能够有效地将复杂问题简化，降低求解难度。
用加劲肋加强的四边简支矩形板屈曲
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载的影 响 。
１ 用纵向加劲肋加强的双向均匀受压的四 边简支板
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相关 公式 ， 用 试 验 验 证 了此公 式 的有 效 性 ， 充 并 扩 了此类研 究仅 限于三种应力 两 两组 合 的情况 。
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建筑技术
用加劲 肋 加强 的 四边简 支矩 形板 屈 曲
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应力作 用下 的局 部屈 曲问题 。 以下主 要 研 究 用 加劲 肋 加 强 的板 的 屈 曲 。用
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基于能量法和有限元法的四边简支矩形薄板屈曲临界荷载分析
基于能量法和有限元法的四边简支矩形薄板屈曲临界荷载分析程少南;高帅
【期刊名称】《土木工程》
【年(卷),期】2024(13)5
【摘要】结构的稳定性能直接关系到安全性和经济性,尤其是近代以来高强材料和薄壁结构的使用,稳定问题显得更加重要。
本文介绍了四边简支矩形薄板在纵向集中荷载作用下的压屈以及用能量法求临界荷载的方法,通过一个实例,采用能量法及有限元法分析了该结构的屈曲稳定性能。
分别选取一项三角级数和两项三角级数作为挠度表达式代入能量法公式中进行计算,并讨论了选取两项三角级数作为挠度表达式时的取值方法。
使用ABAQUS对矩形薄板进行了特征值计算,结果证明,数值计算结果略大于能量法的理论解,能量法的理论解更偏安全。
【总页数】8页(P618-625)
【作者】程少南;高帅
【作者单位】中冶京诚工程技术有限公司
【正文语种】中文
【中图分类】TU3
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四边简支层合板在剪切作用下的稳定分析
板 屈 曲公 式 的 理 论研 究 。
关键 词 ：伽 辽金 法 ；剪 切 屈 曲 ；特 征 值 屈 曲
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矩形板不对称侧向屈曲中若干问题
矩形板不对称侧向屈曲中若干问题
对于矩形板不对称侧向屈曲，大家普遍存在一些问题，并且令人头痛不已。
本
文从工程应用、计算方法和量测技术等三个方面讨论这个问题，讨论的内容包括：
1、工程应用：最主要的问题是矩形板在弯曲加载下的弯曲行为，以及与此相关的应力本构参数的评定；
2、计算方法：机械建模的建模方法、有限元分析的验证方法和拓扑优化的计算结果评价方法。
3、量测技术：矩形板的弯曲变形测量技术，包括光学测量仪器、力致变形测量仪器、挠度放大器等仪器；以及不对称侧向屈曲试验条件的确定方法等。
首先，就目前的矩形板弯曲行为的工程应用而言，由于矩形板不对称侧向屈曲
的特殊性，通常要考虑它的建模方法，以及弯曲应力、应变和本构参数之间的相互关系。
在相关研究中，现有的计算方法主要集中在机械建模方法，有限元分析验证和拓扑优化计算结果评价等。
有限元分析可以用来对比实验结果和理论模型建模，尤其是在弯曲极限状态下的过程，从而推导出本构模型参数。
而拓扑优化一般用来求解工程机构的最优解，如矩形板结构的优化，已达到更好的屈曲性能。
此外，另外一个重要的技术范畴是量测技术，包括光学测量仪器、力致变形测
量仪器、挠度放大器以及不对称侧向屈曲试验条件的确定方法等。
其中，光学测量仪可以准确测量曲板的弯曲变形，而力致变形测量仪可以根据力矩和曲率来测量变形。
同时，由于不对称侧向屈曲发生在结构中，量测技术特别注重试验参数的确定，这样可以更加精准地确定实验条件。
综上所述，对矩形板不对称侧向屈曲仍存在若干问题。
尤其是工程应用、计算
方法和量测技术的交叉应用，都需要更多的研究来验证，才能实现针对矩形板的更加精确的计算机模拟。
《2024年四边固支正交各向异性矩形中厚板弯曲问题的辛叠加解》范文
《四边固支正交各向异性矩形中厚板弯曲问题的辛叠加解》篇一一、引言在现代工程力学分析中，各向异性材料的力学性能问题逐渐得到广泛的关注与研究。
尤其是在复合材料与多功能材料快速发展的今天，对于各向异性中厚板弯曲问题的分析尤为重要。
本篇论文以四边固支正交各向异性矩形中厚板为研究对象，通过辛叠加解法，探讨其弯曲问题的解决方案。
二、问题描述考虑一个四边固支的正交各向异性矩形中厚板，其材料属性具有非均匀性，即其不同方向上的力学性能参数不同。
在外力作用下，该板将发生弯曲变形。
本问题主要研究这一弯曲变形过程及其解析解。
三、基本理论辛叠加解法是一种基于辛几何理论的数值解法，能够有效地解决多尺度、多物理场耦合等问题。
该方法通过将复杂的物理问题转化为辛几何结构，从而简化求解过程。
在处理各向异性材料问题时，辛叠加解法能够有效地处理不同方向上的力学性能参数差异。
四、模型建立根据问题的实际条件，建立四边固支正交各向异性矩形中厚板的力学模型。
该模型应考虑材料的各向异性特性、板的边界条件以及外力作用等因素。
通过引入适当的变量和参数，将问题转化为数学模型，即一组偏微分方程。
五、辛叠加解法应用应用辛叠加解法对建立的数学模型进行求解。
首先，将偏微分方程转化为辛几何结构；然后，利用辛叠加原理，将问题分解为一系列简单的子问题；最后，通过求解这些子问题，得到原问题的解。
在求解过程中，应充分考虑材料的各向异性特性以及板的边界条件等因素。
六、结果分析对求解结果进行分析，包括板的弯曲变形程度、应力分布、应变分布等。
通过与实际观测结果或有限元分析结果进行对比，验证辛叠加解法的准确性和有效性。
此外，还应分析不同因素对结果的影响，如材料性能参数、边界条件、外力作用等。
七、结论与展望本篇论文通过辛叠加解法，研究了四边固支正交各向异性矩形中厚板的弯曲问题。
结果表明，辛叠加解法能够有效地处理各向异性材料的弯曲问题，具有较高的准确性和有效性。
然而，仍需进一步研究的是如何将该方法应用于更复杂的实际问题中，如多层次复合材料的弯曲问题等。
复合材料力学课件第06章_层合平板的弯曲屈曲和振动
d) 与层合板理论的假设相同，对于薄层合 板有下列基体假设： (1) z , xz , yz 即近似为平面应力状态，只 考虑 x , y 和 xy 。 (2) 采用直法线假设，横向剪应变 xz , yz以 及 z 近似为零,即固有的中面法线不变 形。这与 z 0 有矛盾，但通常忽略不 x , y , xy 以及 u, v 是 z的线性函数。 计。 (3) 位移 u, v 和 w与板厚相比较很小，应变
x
z
y
a
q( x, y)
b
图6-5 四边简支矩形层合板
用双三角级数解，将横向载荷q( x, y )展开 为：
m x n x q( x, y ) qmn sin sin a b m 1 n 1
(6.11)
一般来说 式求出
qmn 可由下 m, n，为任意正整数，
qmn
对于均布载荷 q( x, y ) q0 ，可得出
M xy
Q y My
Ny
Mx M x dx x
Nx
Mx
Q x M xy
N xy
dxdyt,
N xy
q( x, y)
Nx
从 Q 层 M M dy N y N dy M 合 y N Q N 板 dy Q dy y y 中图6-3 板元素受力图 取
y y
N xy
2w 2 x Kx 2 w Ky 2 K y xy 2w z xy
(6.1)
从层合板中取一板元素 dxdyt , 其上作用合力和 合力矩，如图6-3,
(6.14)
满足上述边界条件，将此式代入方程
四边简支部分固定矩形薄板的弯曲
四边简支部分固定矩形薄板的弯曲
范业立
【期刊名称】《华南理工大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】1994(000)002
【摘要】采用加权残数法中的离散型最小二乘法解混合边界矩形板弯曲问题．解法中给出了多个算例的挠度场，应力场；研究了相对权函数的选择问题，并总结出了解各类混合边界矩形板的相对权函数的参考值．
【总页数】1页(P149)
【作者】范业立
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】V214.35
【相关文献】
1.Pasternak地基上四边简支矩形薄板的弯曲问题 [J], 王志伟
2.三参数地基上四边简支矩形薄板的弯曲问题 [J], 王嘉新;罗雄辉
3.四边简支矩形薄板弯曲问题的有限傅氏解 [J], 刘锋;惠勤三
4.简支与固定混合边界条件矩形薄板的弯曲 [J], 陈立志;付宝连
5.两对边简支另两对边中段简支其余自由矩形薄板的弯曲 [J], 陈立志;付宝连
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矩形薄板简支弯曲经验公式
矩形薄板简支弯曲经验公式【实用版】目录1.矩形薄板简支弯曲经验公式的概述2.矩形薄板简支弯曲的经验公式推导3.矩形薄板简支弯曲的经验公式应用实例4.矩形薄板简支弯曲的经验公式的优缺点分析正文一、矩形薄板简支弯曲经验公式的概述矩形薄板简支弯曲经验公式，是一种描述矩形薄板在简支条件下弯曲变形的数学公式。
矩形薄板在工程中有着广泛的应用，如建筑物的梁、板等结构件，了解和掌握这种经验公式对于工程设计和计算具有重要意义。
二、矩形薄板简支弯曲的经验公式推导设矩形薄板的长为 a，宽为 b，厚度为 t，材料弹性模量为 E，泊松比为μ，简支在 x、y 两个方向上，且在 x 方向上的长度为 l。
假设在y 方向上有一个集中力 F 作用在距离 x 边缘的距离为 c 处，那么根据力学原理，可以推导出矩形薄板简支弯曲的经验公式如下：δ=F*l/(2*E*I)其中，δ表示弯曲变形，I 为面积惯性矩，根据矩形薄板的几何参数，可得：I=ab*t^3/12将 I 代入上述公式，得到：δ=F*l/(2*E*ab*t^3/12)三、矩形薄板简支弯曲的经验公式应用实例假设有一矩形薄板，长 a=2m，宽 b=1m，厚 t=0.1m，材料弹性模量E=200GPa，泊松比μ=0.3，简支在 x、y 两个方向上，且在 x 方向上的长度为 l=1m。
现在在 y 方向上有一个集中力 F=10kN 作用在距离 x 边缘的距离为 c=0.5m 处，求弯曲变形δ。
根据上述公式，代入已知参数，可得：δ=10kN*1m/(2*200GPa*2m*0.1m^3/12)=318.18mm所以，在给定条件下，矩形薄板的弯曲变形δ约为 318.18mm。
四、矩形薄板简支弯曲的经验公式的优缺点分析优点：1.该经验公式简单易懂，便于工程技术人员应用和计算；2.可以描述矩形薄板在简支条件下的弯曲变形，适用于多种工程场景。
缺点：1.经验公式的推导过程中做了一些简化和假设，可能导致计算结果与实际有一定误差；2.适用范围有限，对于非简支条件或者其他特殊情况下的矩形薄板，该公式可能不再适用。
FRP四边简支层合板在弯剪作用下的屈曲分析的开题报告
FRP四边简支层合板在弯剪作用下的屈曲分析的开题报告题目：FRP四边简支层合板在弯剪作用下的屈曲分析一、研究背景和意义：随着FRP材料在建筑结构领域中的应用不断增加，越来越多的实际工程中出现了FRP简支层合板结构，这种结构具有重量轻、强度高、防腐性好等优点，成为了新时代建筑结构的一个研究热点。
因此，在深入了解FRP简支层合板结构的基础上进行屈曲分析，对于保证其抗震性能，提高工程结构的安全性、可靠性具有重要的现实意义。
二、研究内容：本文以FRP四边简支层合板为研究对象，针对其在弯剪作用下的屈曲性能进行探究。
具体而言，研究内容包括以下方面：1. FRP四边简支层合板结构的基本情况和相关理论。
2. 在弯剪作用下，FRP四边简支层合板的力学特性分析。
3. 基于微应变理论，建立FRP四边简支层合板的屈曲分析模型。
4. 通过数值模拟方法，对该模型进行验证，并得出相关结论。
三、预期目标及意义：1. 探究FRP四边简支层合板在弯剪作用下的屈曲性能，提升该结构的研究水平。
2. 基于微应变理论，建立屈曲分析模型，为实际工程中FRP简支层合板的设计提供理论支持。
3. 通过数值模拟方法，验证屈曲分析模型的正确性，给出结论并提出相关建议。
4. 促进FRP简支层合板结构在建筑领域的应用和发展。
四、研究方法：本文将采用数值模拟方法进行研究，并结合微应变理论建立屈曲分析模型。
具体研究方法包括：1. 建立 FRP四边简支层合板的三维有限元模型。
2. 基于微应变理论，建立FRP四边简支层合板的屈曲分析模型。
3. 对屈曲分析模型进行数值模拟分析，得到 FRP四边简支层合板在弯剪作用下的屈曲挠度和承载力。
4. 结合实验数据对数值模拟结果进行验证。
五、研究进度安排：1. 第一阶段（完成时间：2021.11.1）：收集资料并进行文献综述。
2. 第二阶段（完成时间：2022.1.1）：建立 FRP四边简支层合板的三维有限元模型。
3. 第三阶段（完成时间：2022.3.1）：基于微应变理论，建立FRP 四边简支层合板的屈曲分析模型。
层合平板的屈曲ii
Nx
有最小值
2 2 4 2 m 1 1 a N x 2 D11 2( D12 2 D66 ) D22 b b m a
算例
四边简支的正交对称矩形层合板，单层厚度为0.2mm， a=800mm，b=100mm。已知各单层特性：受单向 压缩 [0/90/90/0] 求：临界载荷
后三式 联立
2 M xy 2 M y 2M x 2w 2w 2w 2 N x 2 N y 2 2 N xy 0 2 2 x xy y x y xy
对称层合板的屈曲问题求解
N A B M B D
4 4 4 2w D11 x 4 2( D12 2D66 ) x 2y 2 D22 y 4 w N x x 2
x 0, a : 简支边界条件： y 0, b : w 0, M x D11w, xx D12 w, yy 0 w 0, M y D12 w, xx D22 w, yy 0
2w 2 kx x 2 w k y 2 y k 2 xy w 2 xy 4
代入挠度平衡方程
正交各向异性对称层合板屈曲问题
刚度矩阵中D16=D26=0，只受单向压缩载荷Nx≠0 则平衡方程简化为：
N x N xy x方向平衡 x y 0 , N xy N y 0, y方向平衡 y x M x M xy N xz , 绕y轴力矩平衡 y x M xy M x N yz , 绕x轴力矩平衡 y x 2 2 2 N N w w w yz xz N x 2 N y 2 2 N xy 0 , z方向平衡 y x y xy x
四边简支受压板例题
可见板屈曲后随着荷载的增大面外位移逐渐增大， 即板有能力抵抗比屈服荷载大很多的 荷载，也就是通常所说的板屈后承载能力。
二、
屈曲分析
首先添加线性屈曲分析工况， 计算所得第一阶屈曲模态的荷载因子为 0.4722， 对应的临
界荷载为 4000MPa×0.4722＝1888MPa。将参数代入式（1）计算所得的临界屈曲荷载为 1898MPa，误差约为 0.5%。误差会随着网格密度的增大而减小。 在进行该薄板的几何非线性分析时， 按一阶屈曲模态更新模型节点位置， 以施加初始缺 陷。此时取缩放系数为 1%，即施加一阶屈曲模态面外位移的 1%作为初始缺陷进行分析。在 后处理中查看第一阶屈曲模态位移的表格，乘以 0.01 的缩放系数，再加上网格节点初始位 置，便得到了考虑初始缺陷的网格。将此更新后的节点表格拷贝到节点表格中。
×0.01+
=
一阶模态位移
原始网格
考虑缺陷网格
此时添加非线性静态分析工况， 打开几何非线性选项进行非线性分析， 采用弧长法分析 控制， 在后处理中通过提取结果功能得到荷载与板中心节点面外位移的表格， 画出荷载位移 曲线如下图：
2500 2000 1500 1000 500 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8
此时添加非线性静态分析工况打开几何非线性选项进行非线性分析采用弧长法分析控制在后处理中通过提取结果功能得到荷载与板中心节点面外位移的表格画出荷载位移曲线如下图
屈曲分析与非线性屈曲分析例题
一、 模型说明
模型为一四边简支的受压板，如下图所示，a=200mm，b=40mm，厚度 t=2mm，弹性模 量 E 为 210GPa，泊松比为 0.3。在四边简支和周边面内自由移动的条件下，其理论弹性屈曲 荷载应为：
四边简支板的屈曲荷载ppt课件
第06讲 四边简支板的屈曲荷载
1
【基本题1】
计算条件： 1）长度为a； 2）宽度为b；a>=b 3）厚度为t； 4）板面内承受均匀 压力p 命令流：ex06.mac 求临界荷载
【结果】
【思考】
1）对比Ansys结果和理论解，结果是否一致？请分析原因。 回顾弹性力学经典解的基本假定。
2）约束多了，屈曲荷载反而下降？约束不同时，结构的刚度 矩阵和应力刚度矩阵有何不同？
3）改变结构的柏松比，重新查看屈曲荷载和刚度矩阵。
4）从概念角度分析，当约束不同时极限承载力有何不同？
5）屈曲荷载低，极限承载力反而高。借助本题体会临界荷载 和极限承载力的差异。
6）验证板件长宽比对屈曲荷载的影响。理解屈曲半波长的概 念。不同长宽比的屈曲荷载排序。实际工程中的四边简支板。
【理论解】
四边简支板的屈曲荷载：
N xcr
2D
k b2
D为单位宽度板的抗弯刚度：
D
Et 3
12(1
2
)
k为约束系数： k ( mb a )2 a mb
【拓展题1】
求钢卷尺的悬臂长度 （1）卷尺截面如图 （2）：
1）初始缺陷为第1 阶屈曲模态。
（6）屈曲荷载和极限承载力之间的差别？
（7）查看横向拉力场
（8）查看纵向压力场
（9）对比两种情况，看看哪个压力场发展的 更为充分。
2）缺陷最大值为 a/100；
3）计算其极限承 载力；
4）标准命令流： ex06b.mac
【思考】
（1）如何施加初始缺陷？ （2）对比不同约束条件下的荷载位移曲线。 （3）观察变形过程，正确选取典型节点的 位移。 （4）当材料为理想弹塑性时，分别计算两 种约束条件下的极限承载力。
四边简支矩形层合板屈曲问题分析
四边简支矩形层合板屈曲问题分析四边简支矩形层合板屈曲问题分析一、问题的描述四边简支的正交对称矩形层合板，单层厚度为0.2mm ，a=800mm ，b=100mm 。
已知各单层特性：受单向压缩121221181,10.3,7.17,0.28E GPa E GPa G GPa ν====求：临界载荷[0/90/90/0]二、解析解1、理论分析正交对称层合板单向受压的屈曲方程：()4442111266224224222+0w w w w D D D D N x x y y x+++= 由Navier 法设屈曲形状为双正弦函数：11sinsin mn m n m x n y w a a bππ∞∞===∑∑ 将w 代入屈曲方程求得临界屈曲荷载为：()()()221112662222122cr N D mb a D D D b mb a π?? ?=+++ // 由上式可知N 取最小值的x 方向半波数m 与边长比b a /及刚度有关。
2、matlab 编程求解E1=181;E2=10.3;v21=0.28;v12=E2*v21/E1;G12=7.17;%材料常数Q11=E1/(1-v12*v21);Q22=E2/(1-v12*v21);Q12=E2*v21/(1-v12*v21);Q66=G12;%正轴刚度U1_Q=(1/8)*(3*Q11+3*Q22+2*Q12+4*Q66);U2_Q=(1/2)*(Q11-Q22);U3_Q=(1/8)*(Q11+Q22-2*Q12-4*Q66);U4_Q=(1/8)*(Q11+Q22+6*Q12-4*Q66);U5_Q=(1/8)*(Q11+Q22-2*Q12+4*Q66);%单向板正轴刚度的线性组合z0=-0.4;z1=-0.2;z2=0;z3=0.2;z4=0.4;%层合板厚度方向的坐标theta1=0;theta2=pi/2;theta3=pi/2;theta4=0;%每层的铺设角h=0.8;%层合板的总厚度V1_D=(1/3)*(((z1)^3-(z0)^3)*cos(2*theta1)+((z2)^3-(z1)^3)*cos(2*t heta2)+((z3)^3-(z2)^3)*cos(2*theta3)+((z4)^3-(z3)^3)*cos(2*theta4));V2_D=(1/3)*(((z1)^3-(z0)^3)*cos(4*theta1)+((z2)^3-(z1)^3)*cos(4*t heta2)+((z3)^3-(z2)^3)*cos(4*theta3)+((z4)^3-(z3)^3)*cos(4*theta4));V3_D=0;V4_D=0;%层合板的几何因子D11=U1_Q*h^3/12+V1_D*U2_Q+V2_D*U3_Q;D22=U1_Q*h^3/12-V1_D*U2_Q+V2_D*U3_Q;D12=U4_Q*h^3/12-V2_D*U3_Q;D66=U5_Q*h^3/12-V2_D*U3_Q;%弯曲刚度a=0.8;b=0.1;%层合板的边长m=1;N1=pi^2/b^2*(D11*(m*b/a)^2+2*(D12+2*D66)+D22/ (m*b/a)^2);m=2;N2=pi^2/b^2*(D11*(m*b/a)^2+2*(D12+2*D66)+D22/ (m*b/a)^2);m=3;N3=pi^2/b^2*(D11*(m*b/a)^2+2*(D12+2*D66)+D22/ (m*b/a)^2);m=4;N4=pi^2/b^2*(D11*(m*b/a)^2+2*(D12+2*D66)+D22/ (m*b/a)^2);m=5;N5=pi^2/b^2*(D11*(m*b/a)^2+2*(D12+2*D66)+D22/ (m*b/a)^2);m=6;N6=pi^2/b^2*(D11*(m*b/a)^2+2*(D12+2*D66)+D22/ (m*b/a)^2);m=7;N7=pi^2/b^2*(D11*(m*b/a)^2+2*(D12+2*D66)+D22/ (m*b/a)^2);M=[1:7]N=[N1 N2 N3 N4 N5 N6 N7]%m为半波数，N为临界荷载结果：M =1 2 3 4 5 6 7N =1.0e+004 *由N可知，当半波数m=5时，最小临界载荷为N。
第7章矩形板的弯曲理论
1.应用双三角级数解四边自由支持板 的弯曲 -----方法就是应用傅里叶级数展开
(应用双三角级数对板弯曲问题的解称为“纳维叶解”)
对于四周自由支持的板,板的挠曲面函数在支持周界上必须适合下列条件：
当x 0, x a时 当y 0, y b时
2w w 0 x 2 2w w 0 2 y
扭矩 M xy 0
y
Pre
Next
Exit
§9－4 刚性板弯曲的解
求解刚性板的弯曲问题,实际上就是在已知外荷重、板的尺寸、材料性质
4 4 4 以及边界条件情况下,对微分方程式 D( w 2 w w ) q( x, y) 进行积分 4 2 2 4
x
x y
在船体结构中横骨架式的甲板板与船底板,它们的边长比足够大, 并且除了横载荷外还在长边受到作用于板平面内的均布的总弯曲应力 (中面应力)。在这种情况下板仍将发生筒形弯曲,在板中取出的板条梁 将处于如图所示的复杂弯曲状态，因此板条梁的求解就要用到复杂 弯曲梁的结果。
6 M max t2
复杂弯曲的微分方程式及基本关系为:
m 2 n 2 m x n y D Amn sin sin q x, y a b m n a b
将荷重q(x,y)也展成和挠曲函数相对应的级数形式(傅里叶级数)：
q x, y qmn sin
于是得板的挠曲线方程式为:
w x, y
m n
qmn m n D a b
2 2 2
sin
m x n y sin a b
下面我们考虑两个情况： （1）若板上受均布荷重 q0 ，这时
最新-矩形薄板的屈曲
3.142 2.06 105
121 0.32
18.6 104
p x ,cr
18.6K
t
2
104
x ,cr
t
b
由公式
p x ,cr
18 .6 K
t
2
10 4ຫໍສະໝຸດ ax ,crt
b
px
b
px
可见，板屈曲临界应力的大小：
1）与所受应力分布情况、板的支承条件及长宽比（a/b）有关， 与板的宽厚比（b/t）的平方成反比。
不是铰支又不是嵌固边，而是广义的弹性约束边。应考虑板组间
的 约束因素。引入板组约束系数 ，则板的弹性屈曲临界应力为
：
2
x ,cr
p x ,cr t
K2E 12 1 2
t b
取 E=2.06×105N/mm2、μ=0.3， 则：
2E
121 2
2、矩形薄板的屈曲
根据弹性力学小挠度理论，四边简支矩形薄板在单向中面压力 Px 作用下弹性屈曲时的临界应力为：
2
x ,cr
p x ,cr t
K2E
12 1 2
t b
K — 弹性屈曲系数，与荷载种类、应力分布状态、板的边长比 例、边界条件等相关
钢梁是由几块板件组成的，各板件之间存在相互约束作用。既
2）减小板宽可有效地提高临界应力，而减小板长的效果不大。 3）与钢材强度无关，采用高强度钢材并不能提高板的局部稳定
性能。
弹塑性临界应力：
x ,cr
p x ,cr t
有限元板屈曲分析实例与计算结果
板的屈曲分析为证明ansys 程序计算的有效性，特分析了两个个有代表性的算例。
算例1四边简支的矩形板，边长a =600mm ，b =600mm ，t =10mm ，E =206000 N/m m 2 ν=0.3，两对边受到均匀分布的压力。
图1.1 薄板有限元模型约束图根据简支模型和及均布压力屈曲模式建立板模型，下面是对模型的说明。
(1) 单元：采用三维壳体单元shell63。
(2) 单元划分情况：沿长度a 方向为100份，沿宽度b 方向为100份。
(3) 约束情况：四边为简支。
(4) 加载情况：两对边受单位均布压力XY Z图1.2加载图最终利用ansys 计算出的临界屈曲应力为196.67Mpa 。
根据板的稳定理论可知：在a/b ≤ 2的情况下F =π2D b 2 b a +a b2D =Et 312 1−ν2根据计算得到σ =206.66Mpa Ansys 计算结果的相对误差为4.8%图1.3 应力云图算例2XYZSEP 3 2012MNMXXY ZSEP 4 2012三边简支的矩形板，边长a =600mm ，b =600mm ，t =10mm ，E =206000 N/m m 2 ν=0.25，两对边受到单位均匀分布的压力。
图1.4单元剖分与约束图根据简支模型和及均布压力屈曲模式建立板模型，下面是对模型的说明。
(1) 单元：采用三维壳体单元shell63。
(2) 单元划分情况：沿长度a 方向为100份，沿宽度b 方向为100份。
(3) 约束情况：三边为简支。
(4) 加载情况：两对边受单位均布压力图1.5加载图XYZXYZSEP 3 2012最终利用ansys 计算出的临界屈曲应力为72.42Mpa 。
根据板的稳定理论可知：F =k π2D b 2D =Et 312 1−ν2当a/b =1时，k=1.44 根据计算得到σ = 74.4 Mpa Ansys 计算结果的相对误差为3.9%图1.6 应力云图加筋板算例1四边简支的矩形板，边长a =3000mm ，b =1500mm ，t =10mm ，E =206000 N/m m 2ν=0.3，两对边受到均匀分布的压力，中间加一道纵向扁钢。
四边简支压电材料层合板弯曲问题的数值模拟
1 绪论1.1 压电材料层合板1.1.1压电材料自19 世纪80 年代居里兄弟首先在石英晶体上发现压电效应后，压电材料的研究和发展就迅速展开[1]。
压电材料是一类重要的、国际竞争极为激烈的高技术新材料，压电材料从使用性能上可以分为结构材料和功能材料两大类，其中结构材料以其强度、韧性、硬度、弹性等力学特性为应用依据，功能材料以其电、磁、光、声、热等物理性能为基础，用以制作有特殊功能的器件。
压电材料是实现机械能与电能相互转换的功能材料，是一类对机、电、声、光、热敏感的电子材料，广泛应用于工业部门和高科技领域[2]。
本文所研究的压电材料为压电陶瓷PZT-4，PZT是PbZrO3和PbTiO3的固溶体,中文名称为锆钛酸铅，具有钙钛矿型结构。
PbTiO3和PbZrO3是铁电体和反铁电体的典型代表，因为Zr和Ti属于同一副族，PbTiO3和PbZrO3具有相似的空间点阵形式，但两者的宏观特性却有很大的差异，钛酸铅为铁电体，其居里温度为492℃，而锆酸铅却是反铁电体，居里温度为232℃，如此大的差异引起了人们的广泛关注。
人们研究PbTiO3和PbZrO3的固溶体后发现PZT具有比其它铁电体更优良的压电和介电性能，PZT压电材料因具有良好的正压电效应和逆压电效应、高的居里温度、强自发极性和高机电耦合系数而广泛应用在微传感器领域中。
压电薄膜材料制备技术的进展为微传感器提供了新的材料和新的可能性，利用压电材料制成的微传感器较现有的硅基材料微传感器具有无可比拟的优势，是微传感器研究的新领域。
在PZT压电薄膜传感器的研究中，常需要对其主要部件压电薄膜的压电效应进行分析，以了解和改善微传感器的性能。
1.1.2层合板层合板是由多层单向板按某种次序叠放并粘结在一起而制成整体的结构板。
每一层单向板称为层合板的一个铺层。
各个铺层的材料不一定相同，也可能材料相同但材料主方向不同，因而层合板在厚度方向上具有非均匀性。
层合板的性能与各铺层的材料性能有关，还与各铺层的材料主方向及铺层的叠放次序有关。
均布载荷作用下四边简支厚矩形板的弯曲
均布载荷作用下四边简支厚矩形板的弯曲
谭文锋;付宝连
【期刊名称】《东北重型机械学院学报》
【年(卷),期】1996(020)004
【摘要】应用功的互等定理法求解了在均布载荷作用下四边简以厚矩形板的弯曲问题，与积分法比较结构完全一致，说明本法是简便正确的，同时还指出了某些文献中存在的问题。
【总页数】6页(P366-371)
【作者】谭文锋;付宝连
【作者单位】土木工程与力学系;土木工程与力学系
【正文语种】中文
【中图分类】O343
【相关文献】
1.均布谐载作用下四边简支厚矩形板的受迫振动 [J], 张笑宁;陈英杰
2.均布载荷作用下三边简支一边固定厚矩形板的弯曲 [J], 鲍东杰;郭长辉;王志军
3.功的互等法求解均布载荷作用下悬臂厚矩形板的弯曲 [J], 李静;郭长辉;鲍东杰;付宝连
4.均布载荷作用下厚矩形板的弯曲 [J], 鲍东杰;田运阁;张海梅
5.四边搁支矩形板在均布载荷作用下的弯曲 [J], 孟繁弘;杨晓华
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四边简支矩形层合板屈曲问题分析
一、问题的描述
四边简支的正交对称矩形层合板，单层厚度为0.2mm ，a=800mm ，b=100mm 。
已知各单层特性：受单向压缩121221181,10.3,7.17,0.28E GPa E GPa G GPa ν====
求：临界载荷[0/90/90/0]
二、解析解
1、理论分析
正交对称层合板单向受压的屈曲方程：
()4442111266224224222+0w w w w D D D D N x x y y x
∂∂∂∂+++=∂∂∂∂∂ 由Navier 法设屈曲形状为双正弦函数：
11sin
sin mn m n m x n y w a a b
ππ∞∞===∑∑ 将w 代入屈曲方程求得临界屈曲荷载为：
()()()2211126622221
22cr N D mb a D D D b mb a π⎛⎫ ⎪=+++ ⎪⎝⎭// 由上式可知N 取最小值的x 方向半波数m 与边长比b a /及刚度有关。
2、matlab 编程求解
E1=181;
E2=10.3;
v21=0.28;
v12=E2*v21/E1;
G12=7.17;
%材料常数
Q11=E1/(1-v12*v21);
Q22=E2/(1-v12*v21);
Q12=E2*v21/(1-v12*v21);
Q66=G12;
%正轴刚度
U1_Q=(1/8)*(3*Q11+3*Q22+2*Q12+4*Q66);
U2_Q=(1/2)*(Q11-Q22);
U3_Q=(1/8)*(Q11+Q22-2*Q12-4*Q66);
U4_Q=(1/8)*(Q11+Q22+6*Q12-4*Q66);
U5_Q=(1/8)*(Q11+Q22-2*Q12+4*Q66);
%单向板正轴刚度的线性组合
z0=-0.4;
z1=-0.2;
z2=0;
z3=0.2;
z4=0.4;
%层合板厚度方向的坐标
theta1=0;
theta2=pi/2;
theta3=pi/2;
theta4=0;
%每层的铺设角
h=0.8;
%层合板的总厚度
V1_D=(1/3)*(((z1)^3-(z0)^3)*cos(2*theta1)+((z2)^3-(z1)^3)*cos(2*t heta2)+((z3)^3-(z2)^3)*cos(2*theta3)+((z4)^3-(z3)^3)*cos(2*theta4));
V2_D=(1/3)*(((z1)^3-(z0)^3)*cos(4*theta1)+((z2)^3-(z1)^3)*cos(4*t heta2)+((z3)^3-(z2)^3)*cos(4*theta3)+((z4)^3-(z3)^3)*cos(4*theta4));
V3_D=0;
V4_D=0;
%层合板的几何因子
D11=U1_Q*h^3/12+V1_D*U2_Q+V2_D*U3_Q;
D22=U1_Q*h^3/12-V1_D*U2_Q+V2_D*U3_Q;
D12=U4_Q*h^3/12-V2_D*U3_Q;
D66=U5_Q*h^3/12-V2_D*U3_Q;
%弯曲刚度
a=0.8;b=0.1;
%层合板的边长
m=1;N1=pi^2/b^2*(D11*(m*b/a)^2+2*(D12+2*D66)+D22/(m*b/a)^2);
m=2;N2=pi^2/b^2*(D11*(m*b/a)^2+2*(D12+2*D66)+D22/(m*b/a)^2);
m=3;N3=pi^2/b^2*(D11*(m*b/a)^2+2*(D12+2*D66)+D22/(m*b/a)^2);
m=4;N4=pi^2/b^2*(D11*(m*b/a)^2+2*(D12+2*D66)+D22/(m*b/a)^2);
m=5;N5=pi^2/b^2*(D11*(m*b/a)^2+2*(D12+2*D66)+D22/(m*b/a)^2);
m=6;N6=pi^2/b^2*(D11*(m*b/a)^2+2*(D12+2*D66)+D22/(m*b/a)^2);
m=7;N7=pi^2/b^2*(D11*(m*b/a)^2+2*(D12+2*D66)+D22/(m*b/a)^2);
M=[1:7]
N=[N1 N2 N3 N4 N5 N6 N7]
%m为半波数，N为临界荷载
结果：
M =
1 2 3 4 5 6 7
N =
1.0e+004 *
由N可知，当半波数m=5时，最小临界载荷为N。