桥梁施工应力监控

桥梁施工应力监控中最小二乘法的应用

1.工程问题

因为混凝土等材料的应力不能直接进行测量，现阶段都是首先获得材料应变，进而由所测应变乘以材料的弹性模量计算得出材料应力。实测的应力更多时候会与理论计算的应力相差甚远。我们尝试用最小二乘法进行拟合，减少误差，提高准确度。

2.数学模型

g c E εσ*c =

c σ为混凝土结构的应力；c E 为混凝土的弹性模量；c ε为钢弦传感器的应变。

3.最小二乘法

在进行大量数据处理和误差分析时通常有多项式插值和曲线拟合的方法，最小二乘法是应用最为广泛的一种曲线拟合方法，数据拟合的最小二乘问题是：根据给定的数据组（i i y ,x ）（i=1,2,...,n ）,选取近似函数形式，即给定函数类H ，求函数H ∈）（x ϕ，使得

∑∑==-=n n

i i i i x y 1i 122)]([ϕδ

最小二乘拟合多项式的系数应满足

∑∑∑===+=n n

i j i i n i j k i k x y x a 1i 11)(（j=0,1,...,m ） 4.源程序

测量数据的拟合程序

>>x=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10];

>>y=[0.59 1.85 2.81 4.83 4.96 6.30 7.54 8.71 9.56 9.41]; >>k1=0;k2=0;k3=0;k4=0;k5=0;k6=0;k7=0;

>>for i=1:10

k1=k1+x(i);

end

>>for i=1:10

k2=k2+(x(i))^2;

end

>>for i=1:10

k3=k3+y(i);

end

>>for i=1:10

k4=k4+x(i)*x(i)*x(i);

end

>> for i=1:10

k5=k5+x(i)*y(i);

end

>> for i=1:10

k6=k6+x(i)*x(i)*x(i)*x(i);

end

>> for i=1:10

k7=k7+y(i)*x(i)*x(i);

end

>> B=[k1;k5;k7];

>> A=[10 k1 k2;k1 k2 k4;k2 k4 k6];

>> X=A\B;

>> Y=a+b.*x+c.*x.^2;

>> plot(x,y,'black.',x,Y)

理论数据的拟合程序

>>x=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10];

>>y=[0.58 1.74 2.97 4.33 5.68 6.99 8.17 9.35 10.10 11.20]; >>k1=0;k2=0;k3=0;k4=0;k5=0;k6=0;k7=0;

>>for i=1:10

k1=k1+x(i);

end

>>for i=1:10

k2=k2+(x(i))^2;

end

>>for i=1:10

k3=k3+y(i);

end

>>for i=1:10

k4=k4+x(i)*x(i)*x(i);

end

>> for i=1:10

k5=k5+x(i)*y(i);

end

>> for i=1:10

k6=k6+x(i)*x(i)*x(i)*x(i);

end

>> for i=1:10

k7=k7+y(i)*x(i)*x(i);

end

>> B=[k1;k5;k7];

>> A=[10 k1 k2;k1 k2 k4;k2 k4 k6];

>> X=A\B;

>> Y=a+b.*x+c.*x.^2;

>> plot(x,y,'black.',x,Y)

5.计算结果，数据及图形（数据来源于网络）

（1）数据

（2）计算结果

测量数据的拟合多项式的系数及图形分别为

得到拟合多项式为y=-3.1502+2.3154*x-0.1061*x^2

理论数据的拟合多项式的系数及图形分别为

得到拟合多项式为y=-9.4850+4.6686*x-0.2778*x^2

6.计算结果的意义，与精确解的区别，或对工程问题的解释最小二乘法曲线拟合主要目的是在桥梁施工应力控制中对大量数据进行识别、分析、处理并从中找到变化规律，用最小二乘法曲线拟合进行桥梁施工中的应力控制，通过拟合曲线的变化规律来进行数据的误差分析。