等分法巧求图形面积
奥数——平面图形的面积一
平面图形的面积(一)——图形的等分例1 有一个三角形花坛，要把它平均分成两个相等的三角形，可以怎样分？练习将任一三角形分成面积相等的六个三角形，应怎么分？例2 三角形ABC中，DC=2BD，CE=3AE，阴影部分的面积是20平方厘米，求三角形ABC的面积。
练习已知AE=3AB,BD=2BC，三角形ABC的面积是6，求三角形BDE的面积。
练习如图所示，找出梯形ABCD中有几组面积相等的三角形。
例3 已知三角形ABC的面积是12平方厘米，并且BE=2EC，F是CD的中点。
求阴影部分面积。
练习AC是CD的3倍，E是BC的中点，三角形CDE的面积为2平方厘米。
求三角形ABC的面积。
练习如图，正方形ABCD的边长是4厘米，CG＝3厘米，长方形EFGD的长是5厘米，DE长几厘米？例4 在一块长方形的地里有一口长方形的水井，试画一条线把除井处的这块地平分成两块。
练习下图为5个面积为1的正方形拼成的。
试用一直线将此图形划分为面积相等的两块。
例5 将下图分成4个形状、大小完全相同的图形，且每个部分中都有一个小黑圈。
练习将下图分成4个形状相同、面积相等的小块。
作业1、三角形的面积公式：________________。
同底等高的三角形面积___________。
平行线间的距离处处___________。
2、甲、乙两个三角形的高相等，若甲的底是乙的底的5倍，则甲的面积就是乙面积的_____倍。
3、甲、乙两个三角形的底相等，若甲的高是乙的高的4倍，则甲的面积就是乙面积的______倍。
4、把一个等边三角形分成面积相等的三个三角形，有________种不同的方法。
5、如图1，该图是一个直角梯形，面积相等的三角形有_________组，请分别写出________________ __________________________________。
6、如图2，AD与BC平行，AD=5，BC=10，三角形ADC面积为10，则三角形ABC的面积是_______________。
把圆转化成16等分的平行推导圆面积公式过程
把圆转化成16等分的平行推导圆面积公式过程嘿，小伙伴们！今天咱们就来一场超级有趣的数学之旅，一起把圆转化成16等分来推导圆的面积公式。
这就像是一场探秘游戏，可好玩啦！我记得我第一次接触这个的时候，我就想，圆这个家伙圆溜溜的，怎么去求它的面积呢？这就好比是一个没有棱没有角的神秘岛屿，要算出它的面积可不容易。
不过呀，聪明的数学家们就想出了一个绝妙的办法，那就是把圆等分。
那我们就开始把这个圆分成16等分吧。
想象一下，就像切披萨一样，我们把这个圆形的“大披萨”切成了16块大小差不多的小块。
这时候，我的朋友小明就凑过来说：“这切成16块有啥用啊？看起来还是乱糟糟的。
”我就跟他说：“嘿，你可别小瞧这16块，这里面可大有学问呢！”我们把这16块扇形按照顺序排列起来，就像是拼拼图一样。
上半部分的8块扇形和下半部分的8块扇形一正一反地拼在一起。
这时候，我们会发现，这个图形有点像一个平行四边形呢。
小红这时候瞪大了眼睛说：“哇，还真有点像，可又不太像标准的平行四边形啊。
”没错，这个近似的平行四边形它的上下两条边还是有些弯弯的，毕竟是由圆转化来的嘛。
不过呢，要是我们把这个圆分得份数越多，这个图形就会越接近平行四边形。
这就好比是你看远处的一个东西，看不太清楚的时候有点模糊，但是你走近了，看得越仔细，就越清晰。
那我们来看看这个近似平行四边形的底和高与圆有什么关系呢。
这个平行四边形的底呀，就近似于圆周长的一半。
咱们都知道圆的周长公式是C = 2πr，那么圆周长的一半就是πr啦。
这时候，小刚就问：“那这个平行四边形的高呢？”哈哈，这个高就近似于圆的半径r呀。
那现在我们就可以根据平行四边形的面积公式来推导圆的面积公式啦。
平行四边形的面积是底乘以高，那这个近似平行四边形的面积就是πr乘以r，也就是πr²。
这时候，大家都恍然大悟，“哦，原来圆的面积公式是这样推导出来的呀！”我觉得这个过程就像是在做一个魔法实验。
从一个圆溜溜的、让人摸不着头脑的圆，通过我们的巧妙分割和组合，就变成了一个我们熟悉的平行四边形的样子，然后就轻松得出了圆的面积公式。
等分图形面积
（2）若四边形ABCD是梯形． 点P在BC上什么位置?
A D
点P在线段CS上呢？
M B P S C N
T
P
设MC的中点为S． 点P在线段BS上时， 在线段CD上存在点Q，
设BN的中点为T． 点P在线段TC上时， 在线段AB上存在点Q， 直线PQ将△ABN面积 2等分．
直线PQ将△DMC面积 2等分．
经过边BC上的点P作直线将△ABC分割成 2个面积相等的图形．
A
（1）若点P与点B(或C)重合；
Q
取AC中点Q，连接PQ．
B
PA
C
（2）设BC边中点为M，点P与点M重合．
连接AP．
B
M P
C
（3）设BC中点为M，若点P与点B(C)、点M不重合． 如图，P在BM上．
A
Q
连接AP． 可能是AP吗？
满足条件的直线与三角形边的交 点Q可能在AB上吗？
等分图形面积
如何用直线将一个多边形分割成几个面积相等的图形？ n边形 m个面积相等的图形
如何研究这个问题？
从最简单的开始研究． n＝3，m＝2．
活动1：将△ABC分割成2个面积相等的图形．
A
作法：（1）取BC边中点M； （2）作直线AM． 则直线AM即所求的分割线．
B
M
C
S△ABM＝ S△ACM（等底同高的三角形面积相等）．
X
Y
S△XST＝ S△YST
T
数量关系
SE
F
XY∥ST
位置关系
过X作XE⊥ST，过Y作XF⊥ST ，垂足为E、F． 因为S△XST＝ S△YST，所以XE＝YF． 所以XE∥YF．
反之，因为XE∥YF， 所以XE＝YF．
五年级上册数学试题-6《多边形的面积》专项培优 人教新课标含答案
《多边形的面积》专项培优专项一运用等分法巧求面积例1如图是两个完全一样的等腰直角三角形，图①中正方形的面积是40平方分米，则图②中正方形的面积是多少平方分米？分析等分法，就是将整个图形平均分成若干份，再看所求图形的面积占多少份，从而求出所要求的图形面积。
本题中，根据图①中正方形的面积与大等腰直角三角形的面积关系，可求出大等腰直角三角形的面积；然后根据图②中正方形的面积与大等腰直角三角形的面积关系，求出图②中正方形的面积。
解答如图，运用等分法把图①平均分成9份，正方形的面积相当于这样的4份；把图②平均分成4份，正方形的面积相当于这样的2份。
等腰直角三角形的面积为40÷4×9＝90（平方分米），图②中正方形的面积为90÷2＝45（平方分米）。
反馈练习1.如图，七巧板拼成的正方形边长是20厘米，求图中阴影部分的面积2.如图，在一个面积是36平方分米的大正方形中，有两个带阴影的小正方形。
求阴影部分的面积和。
3.如图，将等腰直角三角形ABC与等腰直角三角形DEC重叠在一起，阴影部分是一个正方形。
已知三角形ABC的面积是72平方厘米，求三角形DEC的面积。
专项二运用等积变换巧求面积例2如图，已知长方形ABCD的面积是1200平方厘米，阴影部分的面积是750平方厘米，求四边形EFGO的面积。
分析根据图形特点，由面积与面积之间的相等关系，进行一些转化，从而使间题得到简便解决。
本题根据题目中图形之间面积相等的关系可以将上图中的阴影部分三角形ABE移至三角形DFE中，从而求出四边形EFGO的面积。
解答在长方形ABCD中，三角形ABF与三角形DBF同底（即BF的长）、等高（即长方形的宽），所以三角形ABF与三角形DBF的面积相等。
若从这两个三角形中同时减去三角形BEF则剩下的图形面积相等，即：三角形ABE与三角形DFE 的面积相等。
这样阴影部分的面积就等于四边形EFCO加上三角形ACD的面积，要求四边形EFGO的面积，只要用阴影部分的面积减去三角形ACD的面积，列式为750－1200÷2＝150（平方厘米）。
等分法巧求面积(四年)
的面积是９Ｘ６ ５ 平 方厘 米 ）。 ＝ ４（
生 亍佻 惠 ，无 亍史 乐 。 — —立 亏
竞赛辅导
【 题目二 】 求下列图形中阴影部分的面积。
竞赛辅导
同理 ，下 图中 的两个 三 角形 的面 积 分别 为 两个 长 方形 面积 的 一
半。 它们 的面积和等于 长９ ｍ ，宽６ ｍ的长 方形 面积 的一半 。 即上长 ｃ ｃ
方形面积 的一半＋ 下长 方形面积 的一半＝ ×６÷２ ２ （ 方厘米） ９ ＝ ７平 。
【 目三】 图 ，有两个边 长是８ ｍ的正 方形放 在桌面上 ，求被盖 题 如 ｃ
陕西省宝鸡教师进修学校宫正升等分法巧求面积竞赛辅导题目二求下列图形中阴影部分的面积
竞赛 辅导
（ 四年 ）
等 分 法 巧求 面 积
陕西省宝鸡 教师进修学校 宫 正升
【 题目一 】 求下列图形的面积。 （ 单位： ｍ ） ｃ
３
ｎ
ｌ ９ 一
【 分析与解】观察上题中的图形和数据，可看 出，用等分法 （ 如
住 的桌面 的面积。
，
【 分析与解 】因￣８ ｍ．好是４ ｍ的２ ，所以，可用等分法来 ｃ Ｅ ｃ 倍
解 （ 图所 示 ） 如 。
被 盖住 的桌面 的面 积 ，等于７ 边长 为４ ｍ的正 方形面 积之和 ， 个 ｃ
Ｅ ４×４×７ １ （ ｍ ） Ｐ ＝１ ２ ｃ
学 目女过水 千 舟，不造 逻 。 ｉ
Ｔ
量 工
ｌ
等分法(图形面积)
等分法知识与方法：通过在课本中面积地学习，我们已经知道了，连接三角形地一个顶点和对边地中点，可以把一个三角形分成两个面积相等地三角形，即等底等高地三角形面积相等.今天我们主要学习等分法在面积中地实际应用.例题1、求下列各图形中阴影部分地面积（单位：平方厘米）（1）在△ABC中，CD=2BD （2）在△ABC中，AE=BE，BC=4BD （3）AD=BD，CE=2BE，CF=3AF △ABC地面积是12 △ABC地面积是18 △ABC地面积是48【模仿练习】：（1）AD=2BD，BE =2 CE，△BDE地面积是4，求△ABC地面积（单位：平方厘米）（2）AD=BD，BE=CE，AF=2CF，△DEF地面积是3，求△ABC地面积（单位：平方厘米）例题2、求下列各图形中阴影部分地面积（单位：平方厘米）（1）长方形地面积是10，AE=BE,CF=3BF （2）E是长方形BC边上任意一点，已知长方形地面积是16【模仿练习】：求下列各图形中阴影部分地面积（单位：平方厘米）（1）平行四边形地面积是18，AE=2BE ，BF=CF （2）长方形地面积是16例题3、梯形ABCD地对角线相交于O，BC=3AD，三角形地面积是9平方厘米，求梯形地面积.【模仿练习】：在下列地梯形中，所标注部分为三角形地面积，求梯形地面积（单位：平方厘米）例题4、△ABC地面积是12，将AB边延长3倍到D，将BC边延长2倍到E，将CA边延长1倍到F，求△DEF地面积.（单位：平方厘米）文档来源网络及个人整理,勿用作商业用途【模仿练习】：三角形ABC地面积是2平方厘米，将三边各延长1倍，求三角形DEF地面积.例题5、三角形ABC地面积是36平方厘米，AE=DE， BC=5BD，求阴影部分地面积.【模仿练习】：BD=2CD ，AE=DE ，将BE 延长与AC 交于点F ，已知三角形ABC 地面积是15平方厘米，求阴影部分地面积.变量之间地关系一、 基础知识回顾：1、表示两个变量之间关系地方法有（ ）、（ ）、（ ）． ２．图象法表示两个变量之间关系地特点是（ ）３．用图象法表示两个变量之间关系时，通常用水平方向地数轴（横轴）上地点表示（ ），用竖直方向地数轴（纵轴）上地点表示（ ）．专题一、速度随时间地变化1、 汽车速度与行驶时间之间地关系可以用图象来表示，下图中A 、B 、C 、D 四个图象，可以分别用一句话来描述：（1）在某段时间里，速度先越来越快，接着越来越慢. （ ）（2）在某段时间里，汽车速度始终保持不变. （ ） （3）在某段时间里，汽车速度越来越快. （ ） （4）在某段时间里，汽车速度越来越慢. （ ）2、描述一名跳水运动员从起跳到落水这一运动过程中，速度v 与时间t 之间关系地图象大致是（ ）3、李明骑车上学，一开始以某一速度行进，途中车子发生故障，只好停下修车，车修好后，因怕耽误时时间速度 Ao速度D速度时间C速度 时间Booo OOVOVOVｔVｔ间，于是加快了车速．如用s 表示李明离家地距离，t 为时间．在下面给出地表示s 与t 地关系图6—41中，符合上述情况地是 ( ) 4、一辆轿车在公路上行驶，不时遇到各种情况，速度随之改变，先加速，再匀速又遇到情况而减速，过后再加速然后匀速，下公路、上小路，到达目地地．图6—43哪幅图象可近似描述上面情况 ( )5、“龟兔赛跑”讲述了这样地故事：领先地兔子看着缓慢爬行地乌龟，骄傲起来，睡了一觉.当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点…….用S 1、S 2分别表示乌龟和兔子所行地路程，t 为时间，则下列图象中与故事情节相吻合地是（ ）6、星期天晚饭后，小红从家里出发去散步，下图描述了她散步过程中离家地距离s （米）与散步所用地时间t （分）之间地关系，依据图象下面描述符合小红散步情景地是（ ） 从家出发，到了一个公共阅读报栏，看了一会儿报，就回家了.B.从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会儿报，继续向前走了一段后，然后回家了.C.从家里出发，一直散步（没有停留），然后回家了 D.从家里出发，散了一会儿步，就找同学去了，18分钟后才开始返回.7、A 、B 两地相距500千米，一辆汽车以50千米/时地速度由A 地驶向B 地.汽车距B 地地距离y(千米)与stS 1S 2 AstBS 1S 2 stS 1S 2 CstS 2S 1D行驶时间t(之间)地关系式为 .在这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 .8、下表是春汛期间某条河流在一天中涨水情况记录表格：时间/时 0 4 8 12 16 20 24 超警戒水位/米+0.2+0.25+0.35+0.5+0.7+0.9+1.0⑴时间从0时变化到24时，超警戒水位从 上升到 ; ⑵借助表格可知，时间从 到 水位上升最快 某机动车辆出发前油箱中有油42升，行驶若干小时后，在途中加油站加油若干.油箱中余油量Q(升)与行驶时间t(时) 之间地关系如图，请根据图像填空： ⑴机动车辆行驶了 小时后加油.⑻中途加油 升.⑵加油后油箱中地油最多可行驶 小时.⑶如果加油站距目地地还有230公里，机动车每小时走40公里，油箱中 地油能否使机动车到达目地地？答： .10、.声音在空气中传播地速度y （米/秒）（简称音速）与气温x （℃）之间地关系如下：气温（x ℃） 0 5 10 15 20 音速y （米/秒）331334337340343从表中可知音速y 随温度x 地升高而__________.在气温为20 ℃地一天召开运动会，某人看到发令枪地烟0.2秒后，听到了枪声，则由此可知，这个人距发令地点__________米.11、如图6－31，表示一骑自行车者与一骑摩托车者沿相同路线由甲地到乙地行驶过程地图象，两地间地距离是100千米，请根据图象回答或解决下面地问题.（1）谁出发地较早？早多长时间？谁到达乙地早？早到多长时间？ （2）两人在途中行驶地速度分别是多少？· · · · · · ·· · · · · · · 1 2 3 4 5 6 7 8 6 18 24 3012 Q/升· · · · 36 42（3）指出在什么时间段内两车均行驶在途中；在这段时间内，①自行车行驶在摩托车前面；②自行车与摩托车相遇；③自行车行驶在摩托车后面？12、小明某天上午9时骑自行车离开家，15时回家，他有意描绘了离家地距离与时间地变化情况（如图6－32所示）.（1）图象表示了哪两个变量地关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）10时和13时，他分别离家多远？（3）他到达离家最远地地方是什么时间？离家多远？ （4）11时到12时他行驶了多少千米？（5）他可能在哪段时间内休息，并吃午餐？ （6）他由离家最远地地方返回时地平均速度是多少？13、小明上午6时起床，7时30分上学，他有意描绘了他自己离家地距离与时间地变化情况，如图10所示.(h )(1)图象表示了哪两个变量地关系？哪个是自变量？哪个是因变量？(2)小明什么时间离家最远？最远距离是多少？(3)在哪段时间离家地距离增加？在哪段时间离家地距离减少？哪段时间离家地距离 不变？(4)在7:30~7:45之间，小明运动地平均速度是多少？(5)你能结合上面地图象，编写一则故事，反映小明离家距离和时间地关系吗？请你动手把它写出,并与同学交流专题二、温度与时间地关系1、夏天,一杯热水越来越凉，图中可表示这杯水地水温T 与时间t 地函数关系地是（ ）2、气温与海拔高度有关，一般情况下，每升高1 km,气温下降6℃.某山地面温度为28℃，请写出气温t (℃)与高度h (km)之间地关系式：________.3、.下面是某人某一天正常体温地变化图(如图7).0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2437 36.5 36 35.8 35.5AB时间(时)(1)大约什么时间其体温最高？最高体温是多少？(2)大约什么时间其体温最低？最低体温是多少？ (3)在什么时间内其体温在降低？(4)在什么时间内其体温在升高？(5)A 、B 两点分别表示什么？(6)从大体上说说体温在24小时内地变化情况. 4、大山在一天中地体温变化情况如图6-44：(1)大约在_______时，大山地体温最高，这时最高体温是_________.(2)大约在_______时，大山地体温最底，最低体温是__________.(3)大山地体温在升高地时段是_________；(4)大山地体温在降低地时段是_________.专题三、高度（深度）与时间地变化1、如图是某蓄水池地横断面示意图，分深水区和浅水区，如果这个蓄水池以固定地流量注水，下面哪个图象能大致表示水地最大深度h 和时间t 之间地关系？( )A B C D第10题图2、如图：向放在水槽底部地烧杯注水（流量一定）注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度与注水时间之间地关系大致是下列图象中地（ ）3、气温随高度而变化地过程中，________是自变量，_______因变量4、一圆锥地底面半径是5cm ，当圆锥地高由2cm 变到10cm 时，圆锥地体积由________3cm 变到_________3cm ．5、.弹簧地长度与所挂物体地质量地关系如图6－29所示，由图可知不挂重物时弹簧地长度为6、.在弹性限度内，某弹簧伸长地总长度y (cm)与所挂重物质量x (g)之间地关系如下表.重物质量x (g) 0 1 2 3 4 5 弹簧伸长地总长度y (cm)88+0.28+0.48+0.68+0.88+1.0(1)上表反映了________和________两个量之间地关系；(2)关于y 与x 之间地关系式是________.7、△ABC 地底边BC ＝8 cm,当BC 边上地高线从小到大变化时，△ABC 地面积也随之变化.(1)在这个变化过程中，自变量和因变量各是什么？(2)△ABC 地面积y (cm 2)与高线x (cm)地关系式是什么？(3)用表格表示当x 由5 cm 变到10 cm 时(每次增加1cm),y 地相应值.(4)当x 每增加1 cm 时，y 如何变化？专题四、数学与生活1、我国从1949年到1999年地人口统计数据如下：（精确到0.01亿）：t hAt hBt hCt hD时间/年x 1949 1959 1969 1979 1989 1999人口/亿y 5.42 6.72 8.07 9.75 11.07 12.59(1)如果用x 表示时间，y 表示我国人口总数，那么随着x 地变化，y 地变化趋势是什么？(2)X 和y 哪个是自变量?哪个是因变量(3)从1949年起，时间每向后推移10年，我国人口是怎样地变化？(4)你能根据此表格预测2009年时我国人口将会是多少？2、研究表明，当钾肥和磷肥地施用量一定 时，土豆地产量与氮肥地施用量有如下关系： (1)上表反映了哪两个变量之间地关系？ 哪个是自变量？哪 个是因变量？(2)当氮肥地施用量是101千克/公顷时，土豆地产量是多少？ 如果不施氮肥呢？(3)根据表格中地数据，你认为氮肥地施用量是多少时比较适宜？说说你地理由(4)粗略说一说氮肥地施用量对土豆产量地影响.3、一年中，每天日照（从日出到日落）地时间是不同地，下图表示了某地区从1998年1月1日到1998年12月26日地日照时间.文档来源网络及个人整理,勿用作商业用途⑴右图描述是哪两个变量之间地关系？其中自变量是什么？因变量是什么？ ⑵哪天地日照时间最短？这一天地日照 时间约是多少？⑶哪天地日照时间最长？这一天地日照 时间约是多少？ ⑷大约在什么时间段内，日照时间在增 加？在什么时间段内，日照时间在减少？ 4、某人用新充值地50元IC 卡打长途电话，按通话时间3分钟内收2.4元，超过1分钟加收一元钱地方式缴纳话费.若通话时间为t 分钟（t 大于等于3分钟），那么电话费用w 可以表示为 ；当通话时间达到10分钟时，卡中所剩话费从50元减少到 元5、在弹簧限度内，弹簧挂上物体后弹簧地长度与所挂物体地质量之间地关系如下表：所挂物体地质量/千克 0 1 2 3 4 5 6 7 8 弹簧地长度/cm1212.51313.51414.51515.516⑴弹簧不挂物体时地长度是多少？⑵如果用x 表示弹性限度内物体地质量，用y 表示弹簧地长度，那么随着x 地变化，y 地变化趋势如何？写出y 与x 地关系式.⑶如果此时弹簧最大挂重量为25千克，你能预测当挂重为14千克时，弹簧地长度是多少？ 5、一种豆子每千克售2元，豆子总地售价y (元)与所售豆子地质量x (kg)之间地关系如下表.日照时间/时 30 60 90 1201518212427303336910 11 12 1314 1516 17一年之中第几天所售豆子地质量/kg0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 4 5 总价/元123456810(1)在这个表中反映哪两个变量之间地关系？哪个是自变量？哪个是因变量？(2)当豆子卖出5 kg 时，总价是多少？(3)如果用x 表示豆子卖出地质量，y 表示总价，按表中给出地关系,用一个式子把x 和y 之间地关系表示出来.(4)当豆子卖出20 kg 时，总价是多少？6、一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶地时间为x(h)，两车之间地距离为 y(km)，图中地折线表示y 与x 之间地函数关系，根据图像进行以下探究，信息读取（1）、甲、乙两地之间地距离为 km （2）、请解释图中B 点地意义:(3)、求慢车和快车地速度，（4）、求线段BC 所表示地y 与x 之间地函数关系式，并写出自变量x 地取值范围；（5）、若第二列快车也冲甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同，在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇，求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？x/hy/kmDC BA900124O专题五：中考真题1、（2013•重庆）2013年“中国好声音”全国巡演重庆站在奥体中心举行．童童从家出发前往观看，先匀速步行至轻轨车站，等了一会儿，童童搭乘轻轨至奥体中心观看演出，演出结束后，童童搭乘邻居刘叔叔地车顺利回到家．其中x 表示童童从家出发后所用时间，y 表示童童离家地距离．下面能反映y 与x 地函数关系地大致图象是（ ）文档来源网络及个人整理,勿用作商业用途A ．B ．C ．D ．2、（2013•湘西州）小芳地爷爷每天坚持体育锻炼，某天他慢步行走到离家较远地公园，打了一会儿太极拳，然后沿原路跑步到家里，下面能够反映当天小芳爷爷离家地距离y （米）与时间x （分钟）之间地关系地大致图象是（ ）文档来源网络及个人整理,勿用作商业用途A． B．C．D．3、（2013•东营）若定义：f（a，b）=（-a，b），g（m，n）=（m，-n），例如f（1，2）=（-1，2），g（-4，-5）=（-4，5），则g（f（2，-3））=（）A．（2，-3）B．（-2，3） C．（2，3）D．（-2，-3）文档来源网络及个人整理,勿用作商业用途4、（2013•济南）甲、乙两人在一次百米赛跑中，路程s（米）与赛跑时间t（秒）地关系如图所示，则下列说法正确地是（）A．甲、乙两人地速度相同B．甲先到达终点C．乙用地时间短D．乙比甲跑地路程多文档来源网络及个人整理,勿用作商业用途5、（2013•潍坊）用固定地速度如图所示形状地杯子里注水，则能表示杯子里水面地高度和注水时间地关系地大致图象是（）文档来源网络及个人整理,勿用作商业用途A． B． C． D．6、（2013•邵阳）如图是我市几个旅游景点地大致位置示意图，如果用（0，0）表示新宁莨山地位置，用（1，5）表示隆回花瑶地位置，那么城市南山地位置可以表示为（）文档来源网络及个人整理,勿用作商业用途A．（2，1） B．（0，1）C．（-2，-1）D．（-2，1）7、（2013•玉林）均匀地向一个瓶子注水，最后把瓶子注满．在注水过程中，水面高度h随时间t地变化规律如图所示，则这个瓶子地形状是下列地（）文档来源网络及个人整理,勿用作商业用途A． B． C． D．8、（2013•乌鲁木齐）某仓库调拨一批物资，调进物资共用8小时，调进物资4小时后同时开始调出物资（调进与调出地速度保持不变）．该仓库库存物资m（吨）与时间t（小时）之间地函数关系如图所示．则这批物资从开始调进到全部调出所需要地时间是（）文档来源网络及个人整理,勿用作商业用途A．8.4小时B．8.6小时C．8.8小时D．9小时9、（2013•黄冈）一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车地速度为100千米/小时，特快车地速度为150千米/小时，甲乙两地之间地距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间地距离y（千米）与快车行驶时间（小时）之间地函数图象是（）文档来源网络及个人整理,勿用作商业用途10、（2013•绍兴）如图是我国古代计时器“漏壶”地示意图，在壶内盛一定量地水，水从壶底地小孔漏出．壶壁内画有刻度，人们根据壶中水面地位置计时，用x表示时间，y表示壶底到水面地高度，则y与x地函数关系式地图象是（）文档来源网络及个人整理,勿用作商业用途A．B．C．D．11、（2013•天津）如图，是一对变量满足地函数关系地图象，有下列3个不同地问题情境：①小明骑车以400米/分地速度匀速骑了5分，在原地休息了4分，然后以500米/分地速度匀速骑回出发地，设时间为x分，离出发地地距离为y千米；②有一个容积为6升地开口空桶，小亮以1.2升/分地速度匀速向这个空桶注水，注5分后停止，等4分后，再以2升/分地速度匀速倒空桶中地水，设时间为x 分，桶内地水量为y升；③矩形ABCD中，AB=4，BC=3，动点P从点A出发，依次沿对角线AC、边CD、边DA运动至点A停止，设点P地运动路程为x，当点P与点A不重合时，y=S△ABP；当点P与点A重合时，y=0．其中，符合图中所示函数关系地问题情境地个数为（）文档来源网络及个人整理,勿用作商业用途A．0 B．1 C．2 D．312、（2013•新疆）某书定价25元，如果一次购买20本以上，超过20本地部分打八折，试写出付款金额y （单位：元）与购书数量x（单位：本）之间地函数关系．文档来源网络及个人整理,勿用作商业用途19．（2013•咸宁）“龟兔首次赛跑”之后，输了比赛地兔子没有气馁，总结反思后，和乌龟约定再赛一场．图中地函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”地故事（x表示乌龟从起点出发所行地时间，y1表示乌龟所行地路程，y2表示兔子所行地路程）．有下列说法：①“龟兔再次赛跑”地路程为1000米；②兔子和乌龟同时从起点出发；③乌龟在途中休息了10分钟；④兔子在途中750米处追上乌龟．其中正确地说法是．（把你认为正确说法地序号都填上）版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. 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三角形中线等分面积的应用
第5讲例说三角形中线等分面积的应用如图1，线段AD 是△ABC 的中线，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，则S △ABD ＝12BD ·AE ，S △ADC ＝12DC ·AE ，因为BD ＝DC ，所以S △ABD ＝S △ADC 。
因此，三角形的中线把△ABC 分成两个面积相等的三角形.利用这一性质，可以解决许多有关面积的问题。
一、求图形的面积例1、如图2，长方形ABCD 的长为a ，宽为b ，E 、F 分别是BC 和CD 的中点，DE 、BF 交于点G ，求四边形ABGD 的面积.分析：因为E 、F 分别是BC 和CD 的中点，则连接CG 后，可知GF 、GE 分别是△DGC 、△BGC 的中线，而由S △ＢＣＦ=S △ＤＣＥ=4ab，可得S △ＢＥＧ=S △ＤＦＧ，所以△DGF 、△CFG 、△CEG 、△BEG 的面积相等，问题得解。
解：连接CG ，由E 、F 分别是BC 和CD 的中点，所以S △ＢＣＦ=S △ＤＣＥ=4ab，从而得S △ＢＥＧ=S △ＤＦＧ，可得△DGF 、△CFG 、△CEG 、△BEG 的面积相等且等于31×4ab =12ab ，因此S 四边形ＡＢＧＤ=ab －4×12ab =32ab。
例2、在如图3至图5中，△ABC 的面积为a ．（1）如图2, 延长△ABC 的边BC 到点D ，使CD =BC ，连结DA ．若△ACD 的面积为S 1，则S 1=________（用含a 的代数式表示）；（2）如图3，延长△ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使CD =BC ，AE =CA ，连结DE ．若△DEC 的面积为S 2，则S 2=__________（用含a 的代数式表示），并写出理由；（3）在图4的基础上延长AB 到点F ，使BF =AB ，连结FD ，FE ，得到△DEF （如图6）．若阴影部分的面积为S 3，则S 3=__________（用含a 的代数式表示）．发现：像上面那样，将△ABC 各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到△DEF （如图6），此时，我们称△ABC 向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF 的面积是原来△ABC 面积的_______倍．图1图2图4F 图5图3应用：去年在面积为10m 2的△ABC 空地上栽种了某种花卉．今年准备扩大种植规模，把△ABC 向外进行两次扩展，第一次由△ABC 扩展成△DEF ，第二次由△DEF 扩展成△MGH （如图5）．求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少m 2？分析：从第1个图可以发现AC 就是△ABD 的中线，第2个图通过连接DA ，可得到△ECD 的中线DA ，后面扩展的部分都可以通过这样的方法得到三角形的中线，从而求出扩展部分的面积，发现规律。
等分法(图形的面积)
等分法姓名知识与方法：通过在课本中面积的学习，我们已经知道了，连接三角形的一个顶点和对边的中点，可以把一个三角形分成两个面积相等的三角形，即等底等高的三角形面积相等。
今天我们主要学习等分法在面积中的实际应用。
例题1、求下列各图形中阴影部分的面积（单位：平方厘米）（1）在△ABC中，CD=2BD （2）在△ABC中，AE=BE，BC=4BD （3）AD=BD，CE=2BE，CF=3AF △ABC的面积是12 △ABC的面积是18 △ABC的面积是48【模仿练习】：（1）AD=2BD，BE =2 CE，△BDE的面积是4，求△ABC的面积（单位：平方厘米）（2）AD=BD，BE=CE，AF=2CF，△DEF的面积是3，求△ABC的面积（单位：平方厘米）例题2、求下列各图形中阴影部分的面积（单位：平方厘米）（1）长方形的面积是10，AE=BE,CF=3BF （2）E是长方形BC边上任意一点，已知长方形的面积是16【模仿练习】：求下列各图形中阴影部分的面积（单位：平方厘米）（1）平行四边形的面积是18，AE=2BE ，BF=CF （2）长方形的面积是16例题3、梯形ABCD的对角线相交于O，BC=3AD，三角形的面积是9平方厘米，求梯形的面积。
【模仿练习】：在下列的梯形中，所标注部分为三角形的面积，求梯形的面积（单位：平方厘米）例题4、△ABC的面积是12，将AB边延长3倍到D，将BC边延长2倍到E，将CA边延长1倍到F，求△DEF的面积。
（单位：平方厘米）【模仿练习】：三角形ABC的面积是2平方厘米，将三边各延长1倍，求三角形DEF的面积。
例题5、三角形ABC的面积是36平方厘米，AE=DE， BC=5BD，求阴影部分的面积。
【模仿练习】：BD=2CD，AE=DE，将BE延长与AC交于点F，已知三角形ABC的面积是15平方厘米，求阴影部分的面积。
【模仿练习】 A 级1、在下面用等分点分得的图形中，阴影部分的面积分别占整个图形面积的几分之几？（）（）（）（）（）2、三角形ABC的面积是18平方厘米，AE=BE，CD=2BD，求阴影部分的面积。
中考数学 面积等分 解题技巧
中考数学面积等分解题技巧
面积等分问题在中考数学中是一个常见的题型，这类问题通常涉及到将一个给定的图形分成面积相等的若干部分。
解决这类问题需要一定的技巧和策略，下面是一些解题技巧：
1. 理解题意：首先，要仔细阅读题目，理解题目的要求和给定的条件。
明确需要将哪个图形进行等分，以及等分的具体要求。
2. 选择合适的等分方法：对于不同的图形，等分的方法也不同。
例如，对于矩形或平行四边形，可以考虑使用对角线或中垂线进行等分；对于圆形，可以考虑使用直径或半径进行等分。
根据题目的具体情况，选择合适的等分方法。
3. 利用面积公式计算：在等分图形时，需要计算每一部分的面积。
因此，需要熟练掌握各种图形的面积公式，以便在解题过程中快速准确地计算面积。
4. 注意等分点的位置：在等分图形时，需要注意等分点的位置。
有时，等分点可能不在图形的中心或对称轴上，这时需要仔细分析并确定等分点的位置。
5. 利用辅助线：在某些情况下，为了更好地进行等分，可能需要添加辅助线。
通过辅助线，可以将复杂的图形转化为简单的基本图形，从而更容易地进行等分。
6. 检查答案：在得出答案后，需要仔细检查答案的正确性。
可以通过重新计算或检查解题过程来验证答案是否正确。
综上所述，解决面积等分问题需要一定的技巧和策略。
通过理解题意、选择合适的等分方法、利用面积公式计算、注意等分点的位置、利用辅助线和检查答案等方法，可以有效地解决这类问题。
人教版八年级数学下册专题复习(十一) 几何图形的面积等分
思维特训(十一)几何图形的面积等分方法点津面积等分基本模型：1．三角形的中线把三角形面积等分；2．夹在两条平行线间的距离相等，同底等高的两个三角形面积相等；3．过平行四边形对角线中点(对称中心)的任意一条直线把平行四边形面积等分．典题精练类型一作一个图形的面积等于已知图形1．(1)如图11－S－1①，已知直线m∥n，点A，B在直线n上，点C，P在直线m上．①写出图①中面积相等的三角形：________；②当点P在直线m上移动到任一位置时，总有________与△ABC的面积相等；(2)如图11－S－1②，已知一个五边形ABCDE，你能否过点E作一条直线交BC(或其延长线)于点M，使四边形ABME的面积等于五边形ABCDE的面积？图11－S－1类型二等分面积2．阅读下列材料：小明遇到一个问题：AD是△ABC的中线，M为BC边上任意一点(不与点D重合)，过点M作一直线，使其等分△ABC的面积．他的作法是：如图11－S－2①，连接AM，过点D作DN∥AM交AC于点N，作直线MN，直线MN即为所求直线．请你参考小明的作法，解决下列问题：(1)如图②，在四边形ABCD中，AE平分四边形ABCD的面积，M为CD边上一点，过点M作一直线MN，使其等分四边形ABCD的面积(要求：在图②中画出直线MN，并保留作图痕迹)；(2)如图③，求作过点A的直线AE，使其等分四边形ABCD的面积(要求：在图③中画出直线AE，并保留作图痕迹)．图11－S－23．有一些几何图形可以被某条直线分成面积相等的两部分，我们将“把一个几何图形分成面积相等的两部分的直线叫做该图形的二分线”，如三角形的中线所在的直线一定是三角形的“二分线”．解决下列问题：(1)在图11－S－3①中，试用三种不同的方法分别画出平行四边形ABCD的“二分线”；(2)解决问题：兄弟俩分家时，有原来共同承包的一块平行四边形田地ABCD，现要进行平均划分，由于在这块地里有一口井P，如图②所示，为了兄弟俩都能方便使用这口井，兄弟俩在划分时犯难了，聪明的你能帮他们解决这个问题吗(画图，并说明结果)?图11－S－34．我们把能平分四边形面积的直线称为“好线”．利用下面的作图，可以得到四边形的“好线”：如图11－S－4①，在四边形ABCD中，取对角线BD的中点O，连接OA，OC，AC.显然，折线AOC能平分四边形ABCD的面积，再过点O作OE∥AC交CD于点E，则直线AE即为一条“好线”．(1)试说明：直线AE是“好线”的理由；(2)如图②，AE为一条“好线”，F为AD边上的一点，请作出经过点F的“好线”，并对画图作适当说明(不需要说明理由)．图11－S－45．自定义：在一个图形上画一条直线，若这条直线既平分该图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“等分积周线”．(1)如图11－S－5①，已知△ABC，AC≠BC，过点C能否画出△ABC的一条“等分积周线”？若能，说出确定的方法；若不能，请说明理由．(2)如图②，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，EF垂直平分AD，垂足为F，交BC 于点E，已知AB＝3，BC＝8，CD＝5.求证：直线EF为四边形ABCD的“等分积周线”．(3)如图③，在△ABC中，AB＝BC＝6，AC＝8，请你作出△ABC的一条“等分积周线”EF(要求：直线EF不过△ABC的顶点，交边AC于点F，交边BC于点E)，并说明理由．图11－S－5典题讲评与答案详析1．解：(1)①图①中符合条件的三角形有：△CAB与△P AB，△BCP与△APC，△ACO 与△BPO.②△P AB(2)如图，连接EC，过点D作直线DM∥EC交BC的延长线于点M，作直线EM，直线EM即为所求的直线．2．解：(1)如图①，连接AM，过点E作EN∥AM，交AD于点N，再作直线MN即可．(2)如图②，取对角线BD的中点O，连接AO，CO，AC，过点O作OE∥AC交CD于点E，直线AE就是所求直线．3．解：(1)答案不唯一，示例如下：(2)能解决这个问题．连接AC，BD相交于点O，过点O，P作直线与DC，AB分别交于点E，F，如图所示．则一人分四边形ADEF，一人分四边形CEFB.4．解：(1)∵OE∥AC，∴S△AOE＝S△COE，∴S△AOF＝S△CEF.又∵折线AOC能平分四边形ABCD的面积，∴直线AE平分四边形ABCD的面积，即AE是“好线”．(2)连接EF，过点A作EF的平行线交CD于点G，连接FG，则FG为一条“好线”．∵AG∥EF，∴S△AGE＝S△AFG. 设AE与FG的交点是O，则S△AOF＝S△GOE.又∵AE为一条“好线”，∴FG为一条“好线”．5．解：(1)不能．理由：如图①，取AB的中点D，连接CD，则S△ADC＝S△DBC，且过点C只能画CD一条直线平分△ABC的面积．∵AC≠BC，∴AD＋AC≠BD＋BC，∴过点C不能画出△ABC的一条“等分积周线”．(2)证明：如图②，连接AE，DE，设BE＝x，∵EF垂直平分AD，∴AE＝DE，AF＝DF，S△AEF＝S△DEF.∵∠B＝∠C＝90°，AB＝3，BC＝8，CD＝5，∴在Rt△ABE和Rt△DCE中，根据勾股定理，得AB2＋BE2＝CE2＋DC2，即32＋x2＝(8－x)2＋52，解得x＝5，∴BE＝5，CE＝3，∴AB＋BE＝CE＋DC，S△ABE＝S△DCE.∴AF＋AB＋BE＝DF＋CE＋DC.∵S四边形ABEF＝S△ABE＋S△AEF，S四边形DCEF＝S△DEF＋S△DCE，∴S四边形ABEF＝S四边形DCEF，∴直线EF为四边形ABCD的“等分积周线”．(3)如图③，在AC上取一点F，使得FC＝AB＝6，在BC上取一点E，使得BE＝2，作直线EF，则直线EF是△ABC的“等分积周线”．理由：由作图可得AF＝AC－FC＝8－6＝2，在CB上取一点G，使得CG＝AF＝2.∵AB ＝BC，∴∠A＝∠C.在△ABF和△CFG中，AF＝CG，∠A＝∠C，AB＝CF，∴△ABF≌△CFG(SAS)，∴S△ABF＝S△CFG.又易得BE＝EG＝2，∴S△BFE＝S△EFG，∴S△EFC＝S四边形ABEF，AF＋AB＋BE＝CE＋CF＝10，∴直线EF是△ABC的“等分积周线”．。
解决几何问题之等分法
解决几何问题之等分法所谓的等分法，就是把题目做给出的图形均分成若干个小图形后，最终便于我们找到问题的答案，具体可分为两种：一、均分整体例：下图中的正方形分别内接于同一个等腰直角三角形。
已知左图中正方形面积为72平方厘米，求右图中正方形的面积。
很多考生遇到这样的题目后，看着两个三角形完全相同，而且通过图形看着内接的正方形看似也相同，索性就直接猜答案是72平方厘米。
可是这样猜的方式对吗?而且难道这样的题目就没有好的方法了吗?下面我们就看一下如何用“均分整体”的方法来解决这个问题。
首先我们把两个图形都进行均分，即下图(左图即上面的左图分割后的结果;右图即上面右图分割后的结果)，通过图形看出，左图中内接正方形的面积占了外接三角形的四分之二，即二分之一;而从右图看出，内接正方形的面积占了外接三角形的九分之四，所以就可以由此先算出外接等腰直角三角形的面积是平方厘米，进而就可以求得右图的内接正方形面积就是平方厘米。
以上就是“均分整体”的方法，我想大家也很容易看明白整个过程，而且也证明了以后几何问题不能随意的凭借图形的感觉去猜结果。
而把握住一定的技巧才可能快速准确的把题目计算出来。
二、均分局部在有些几何问题中，整体的均分不太方便，或者根本无所下手，这时就可以考虑局部去均分，然后再从整体上去观察，往往也能使问题获得解决。
例：下图中的正方形ABCD，其中有甲、乙、丙三个小正方形。
问：乙、丙两个正方形的面积之和与甲相比，?哪一个大些我们看到这道题后，大家想得是能不能通过上面讲的“均分整体”来解决，可是发现无从下手，毕竟甲、乙两个正方形的面积是不相等的。
而从局部下手的话，即把甲和乙两个正方形分别均分后，即下图可以看出，甲的面积等于面积的一半，正方形丙的面积等于的一半，正方形乙的面积等于梯形ACFE面积的一半。
这样，大正方形ABCD ，就划分成了三个局部，即等腰直角三角形、等腰梯形ACFE、等腰直角三角形。
其中甲、乙、丙的面积分别为各自所在图形的一半，而的面积加梯形ACFE的面积等于的面积，所以就可以得出乙、丙的面积之和就等于甲的面积。
五年级上册数学试题-6《多边形的面积》专项培优 人教新课标(2014秋)含答案
《多边形的面积》专项培优专项一运用等分法巧求面积例1 如图是两个完全一样的等腰直角三角形，图①中正方形的面积是40平方分米，则图②中正方形的面积是多少平方分米？分析等分法，就是将整个图形平均分成若干份，再看所求图形的面积占多少份，从而求出所要求的图形面积。
本题中，根据图①中正方形的面积与大等腰直角三角形的面积关系，可求出大等腰直角三角形的面积；然后根据图②中正方形的面积与大等腰直角三角形的面积关系，求出图②中正方形的面积。
解答如图，运用等分法把图①平均分成9份，正方形的面积相当于这样的4份；把图②平均分成4份，正方形的面积相当于这样的2份。
等腰直角三角形的面积为40÷4×9＝90（平方分米），图②中正方形的面积为90÷2＝45（平方分米）。
反馈练习1.如图，七巧板拼成的正方形边长是20厘米，求图中阴影部分的面积2.如图，在一个面积是36平方分米的大正方形中，有两个带阴影的小正方形。
求阴影部分的面积和。
3.如图，将等腰直角三角形ABC与等腰直角三角形DEC重叠在一起，阴影部分是一个正方形。
已知三角形ABC的面积是72平方厘米，求三角形DEC的面积。
专项二运用等积变换巧求面积例2 如图，已知长方形ABCD的面积是1200平方厘米，阴影部分的面积是750平方厘米，求四边形EFGO的面积。
分析根据图形特点，由面积与面积之间的相等关系，进行一些转化，从而使间题得到简便解决。
本题根据题目中图形之间面积相等的关系可以将上图中的阴影部分三角形ABE移至三角形DFE中，从而求出四边形EFGO的面积。
解答在长方形ABCD中，三角形ABF与三角形DBF同底（即BF的长）、等高（即长方形的宽），所以三角形ABF与三角形DBF的面积相等。
若从这两个三角形中同时减去三角形BEF则剩下的图形面积相等，即：三角形ABE与三角形DFE 的面积相等。
这样阴影部分的面积就等于四边形EFCO加上三角形ACD的面积，要求四边形EFGO的面积，只要用阴影部分的面积减去三角形ACD的面积，列式为750－1200÷2＝150（平方厘米）。
等分面积的解题方法
等分面积的解题方法说实话等分面积这事儿，我一开始也是瞎摸索。
我试过很多方法，就说有一次给一个三角形等分面积吧。
我最开始就想啊，那直尺随便画几条线试试呗。
结果完全不行啊，画出的线把三角形搞得乱七八糟的，面积根本不均匀。
这才知道，不能这么瞎来。
然后我就想，三角形的面积等于底乘高除以二。
那我要是找三角形一条边的中点，然后连接这个中点和相对的顶点，这样划分出来的两个小三角形，它们的底正好一个是原来三角形底的一半，高不变，那面积肯定是原来三角形面积的一半。
这就成功把三角形等分成两部分了。
心想这就是规律啊。
可后来遇到四边形等分面积，这方法就不灵了。
我就又开始新的尝试。
四边形的话，我就想把四边形转化成我们熟悉的三角形。
比如梯形，我先算出梯形的面积，然后想办法从长底边找一点划分，把梯形分成一个三角形和一个小梯形。
但是这个点的位置可不好找啊，我算了半天都没算对，又是失败。
再后来我发现对于四边形，可以先连接对角线，把四边形分成两个三角形，然后再分别去等分这两个三角形的面积，这样就能实现四边形整体的等分面积了。
这些经历让我明白在等分面积的时候，要先分析图形的特征。
如果是规则图形，像正方形、平行四边形。
我们可以利用它们的对称性。
就拿正方形说，连接两条对角线或者对边中点连线，就能等分面积了。
而且啊，画图的时候一定要仔细准确。
我之前就因为画的线歪歪扭扭的，就算方法对，最后得出的结果也差得离谱。
如果遇到不规则图形，可能就得把它拆分成我们熟悉的规则图形，像把多边形拆成三角形或者四边形，再来逐一解决面积等分的问题。
这就是我在尝试等分面积中一点小小的心得吧，方法虽然不全面，但是都是我实实在在摸索出来的。
五年级上册数学试题-6《多边形的面积》专项培优 人教新课标含答案
《多边形的面积》专项培优专项一运用等分法巧求面积例1 如图是两个完全一样的等腰直角三角形，图①中正方形的面积是40平方分米，则图②中正方形的面积是多少平方分米？分析等分法，就是将整个图形平均分成若干份，再看所求图形的面积占多少份，从而求出所要求的图形面积。
本题中，根据图①中正方形的面积与大等腰直角三角形的面积关系，可求出大等腰直角三角形的面积；然后根据图②中正方形的面积与大等腰直角三角形的面积关系，求出图②中正方形的面积。
解答如图，运用等分法把图①平均分成9份，正方形的面积相当于这样的4份；把图②平均分成4份，正方形的面积相当于这样的2份。
等腰直角三角形的面积为40÷4×9＝90（平方分米），图②中正方形的面积为90÷2＝45（平方分米）。
反馈练习1.如图，七巧板拼成的正方形边长是20厘米，求图中阴影部分的面积2.如图，在一个面积是36平方分米的大正方形中，有两个带阴影的小正方形。
求阴影部分的面积和。
3.如图，将等腰直角三角形ABC与等腰直角三角形DEC重叠在一起，阴影部分是一个正方形。
已知三角形ABC的面积是72平方厘米，求三角形DEC的面积。
专项二运用等积变换巧求面积例2 如图，已知长方形ABCD的面积是1200平方厘米，阴影部分的面积是750平方厘米，求四边形EFGO的面积。
分析根据图形特点，由面积与面积之间的相等关系，进行一些转化，从而使间题得到简便解决。
本题根据题目中图形之间面积相等的关系可以将上图中的阴影部分三角形ABE移至三角形DFE中，从而求出四边形EFGO的面积。
解答在长方形ABCD中，三角形ABF与三角形DBF同底（即BF的长）、等高（即长方形的宽），所以三角形ABF与三角形DBF的面积相等。
若从这两个三角形中同时减去三角形BEF则剩下的图形面积相等，即：三角形ABE与三角形DFE 的面积相等。
这样阴影部分的面积就等于四边形EFCO加上三角形ACD的面积，要求四边形EFGO的面积，只要用阴影部分的面积减去三角形ACD的面积，列式为750－1200÷2＝150（平方厘米）。
利用中心对称等分方角形钢板面积的方法
利用中心对称等分方角形钢板面积的方法
利用中心对称等分方角形钢板面积的方法
在工程设计中，常常需要将一个方形钢板等分成若干个小方形钢板，
以便于加工和使用。
传统的方法是通过计算每个小方形钢板的面积来
实现等分，但是这种方法比较繁琐，容易出错。
而利用中心对称等分
方角形钢板面积的方法则可以更加简便地实现这一目的。
具体方法如下：
1. 将方形钢板放在平面直角坐标系中，以坐标原点为中心点。
2. 以坐标轴正方向为基准，将方形钢板分别沿x轴和y轴对称，得到
四个等分点，分别为(0, a/2), (0, -a/2), (a/2, 0), (-a/2, 0)。
3. 连接这四个等分点，得到四个等分的小方形钢板。
4. 根据小方形钢板的对称性，可以得到每个小方形钢板的面积都相等，即为原方形钢板面积的1/4。
通过这种方法，可以快速、准确地将一个方形钢板等分成若干个小方
形钢板，而且不需要进行繁琐的计算，只需要利用中心对称的性质即可。
这种方法在工程设计中具有很大的实用价值，可以提高工作效率，减少出错的可能性。
需要注意的是，在实际应用中，可能会遇到一些特殊情况，比如方形
钢板的边长不是偶数，或者需要将方形钢板等分成奇数个小方形钢板
等等。
针对这些情况，可以通过调整等分点的位置，或者将方形钢板
分成不同的形状来实现等分。
总之，利用中心对称等分方角形钢板面积的方法是一种简便、实用的
工程设计方法，可以帮助工程师们更加高效地完成工作。
专题5《等分图形面积》
2．过四边形ABCD的一个顶点画一条直线，把四边形ABCD的面积分成1：2的两部分
A D
A D
B
C
答：如图： 【提示】 连结AC，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E， 取BE的一个三等分点F或G，则直线AF或AG即为所求．
B
F
G CE
3．设w是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺规作图），画出一个正方形与w的面积相等 （简称等积），那么这样的等积转化称为w的“化方”． （1）阅读填空 如图1，已知矩形ABCD，延长AD到点E，使DE＝DC，以AE为直径作半圆，延长CD交半圆于点H，以DH为边作正 方形DFGH，则正方形DFGH与矩形ABCD等积
（4）作法： ①连结BD，过点A作AE∥BD交CD的延长线于点E； ②作△EBC的中位线MN； ③分别过点B，C作MN的垂线，垂足分别为F，G； ④延长BC至点H使得CH＝CG； ⑤以BH为直径作半圆； ⑥延长GC交半圆于点I； ⑦以CI为边向右作正方形CIJK． 则正方形CIJK与四边形ABCD等积．
线CD于点F，G，连结AF，AG，作△AFG的中线AH．
结论：直线AH平分五边形ABCDE的面积
B
F
C
A E
H
D
G
进阶训练 1．如图，已知五边形ABOCD各定点坐标为A（3，4），B（0，2），O（0，0），C（4，0），D（4，2）， 请你构造一条经过顶点A的直线，将五边形ABOCD平分为面积相等的两部分，并求出该直线的表达式．
A
y
A
B
D
B
D
O
C
MO
x F H CN
直线的表达式为 y 8 x 4 ． 3
【提示】 连结AO，作BM∥AO交x轴于点M，连结AC，作DN∥AC交x轴于点N，取MN中点F，则 直线AF将五边形ABOCD分为面积相等的两部分．作AH⊥x轴于点H，则△BMO∽△AOH，可得点 M的坐标．同理可得点N的坐标．从而求得点F的坐标．确定直线AF的表达式．
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例 5 如下图所示，正方形 ABCD 中套着一个长方形 EFGH， 长方形的面积是 48 平方厘米，长方形的四个顶点 E、F、 G、H 恰好分别把正方形四条边都分成两段，其中长的一 段是短的一段的 2 倍。求阴影部分的面积。
将正方形 ABCD 等分成 18 个小三角形，其中空白 部分（即长方形 EFGH）占8 份，阴影部分占 10 份（见图）。 因此，阴影部分的面积为 48÷8×10＝60（平 方厘米）。 答：阴影部分的面积是 60 平方厘米。
例 3 一个长方形（见下图）被两条直线分成 4 个长方形， 其中 3 个长方形的面积分别是 20 平方厘米、25 平方厘米和 30 平方厘米。求另一个长方形（图中阴影部分）的面积。
将大长方形进行等分（见图）大长方形右边部 分上面是 20 平方厘米，下面是 30 平方厘米， 20﹕30=2﹕3，所以大长方形可按虚线等分成 5 份。同样，长方形的左边部分按虚线也被等分 成 5份。左边部分上面是 25 平方厘米，每份是 25÷2=12.5（平方厘米），因此，阴影部分的 面积为 12.5×3＝37.5（平方厘米）。
1．如下图所示，一个正方形中套着一个长方形，已知正方形的边 长是 20 分米，长方形的四个角的顶点恰好把正方形四条边都分成 两段，其中长的一段是短的一段的 3 倍。这个长方形的面积是多少 平方分米？ 2．将边长 3 厘米的正方形的四条边分别向两端各延长一倍，连接 8 个端点得到一个八边形（见下图），求阴影部分的面积。 3．将等腰 Rt△ABC 和等腰 Rt△DEC 按下图重叠在一起，阴影部分是 一个正方形。已知△ABC 的面积是 36 平方厘米，求△DEC 的面积。
例 4 如下图所示，长方形 ABCD 的长是 10 厘米，宽是 6 厘 米，E、F 分别是 AB 和 AD 的中点。求阴影部分的面积。
观察图形，我们可以将大长方形平均分为 8 份（见 下图）每份的面积是 10×6÷8=7.5（平方厘米）， 阴影部分的面积占 3 份，因此，阴影部分的面积为 7.5×3＝22.5（平方厘米）。
10×6÷8=7.5（平方厘米） 7.5×3＝22.5（平方厘米）。 答：阴影部分的面积为 22.5 平方厘米。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1、如下图所示，一张边长为 4 厘米的正方形纸，从一边中点到邻边 的中点连一条线段，沿这条线段剪去一个角，剩下的面积是多少？ 2、如下图所示，大长方形的长为 6 厘米，宽为 3 厘米，计算阴影部 分的面积。 3、如下图所示，四边都相等的两个完全相同的平行四边形，在两边 的中点处部分重合。已知重合部分的面积是 8 平方分米，求阴影部 分的面积。
答：涂色部分的面积是 8 平方厘米。
1．下图中每个方格表示 1 平方厘米，求出涂色部分的面 积是多少平方厘米？ 2．下图中每个方格表示 1 平方厘米，求出涂色部分的面 积是多少平方厘米？ 3．下图中每个方格表示 1 平方厘米，求出涂色部分的面 积是多少平方厘米？
例 2 如下图所示，三角形 ABC 的面积是 48 平方分米，点 D、E、F 与 G、H、N 分别是△ABC 与△DEF 各边的中点。 求阴影部分的面积。
在△ABC 上加上几条辅助线，可以发现这个图形将 △ABC 平均分成了 16 个完全一样的三角形（见图）。 阴影部分占 3 个，每个小三角形的面积是 48÷16=3 （平方分米），阴影部分的面积就是 3×3=9 （平方分米）。 48÷16×3＝9（平方分米） 答：阴影部分的面积为 9 平方分米。
4．下图中平行四边形 ABCD 的面积是 36 平方厘米，BE 是 BC 的14。求阴影部分的面积。 5．如下图所示，在一个面积是 36 平方厘米的大正方形中， 有两个带阴影的小正方形。求阴影部分的面积。 6．如下图所示，阴影△DCE 的面积是 6 平方厘米，AD 是 BE 的23。求梯形ABED 的面积。
等分法巧求图形面积
所谓等分法，就是把题目所给出的图形均分 成若干个小图形，再找到问题的答案。运用 等分法把大图形等分为若干个相同的小图形， 就能根据部分与整体之间的关系求解。
例 1 下图中每个方格表示 1 平方厘米。算一算，涂色部分 的面积是多少平方厘米？
将涂色部分图形盖住的格子画出来（见图）。
再用数格子的方法直接求出涂色部分的面积。涂色 部分中间有 4 个方格，四个角上各有 2 个半个的方 格，一共有 2×4=8 个半个的方格，也就是有 4 个 整方格。因此，涂色部分一共有 4+4=8 个整方格， 涂色部分的面积是 8 平方厘米。
25÷2×3=37.5（平方厘米） 答：阴影部分的面积是 37.5 平方厘米。
1、如下图所示，一个长方形被分成 4 个小长方形，其中 3 个小长 方形的面积分别是 24 平方厘米、32 平方厘米和 39 平方厘米。求 另一个长方形（图中阴影部分）的面积。 2、如下图所示，七巧板拼成的正方形边长是 20 厘米，求其中阴影 部分（平行四边形）的面积。 3、如下图所示，等边△ABC 的面积是 80 平方厘米，D 是 AB 的中 点，DE 垂直于 BC。求阴影三角形的面积。
再见