《鲁棒控制》-5-mu分析与综合方法

μΔ ( M 22 ) < 1 。
2
Δ1 ( s )
Fl ( M , Δ2 )
● 主回路定理：
μΔ ( M ) < 1 iff μΔ ( M 22 ) < 1 且 max μΔ ( Fl ( M , Δ2 ) ) < 1
2
μΔ ( M ) ≤ 1 iff μΔ ( M 22 ) ≤ 1 且 max μΔ ( Fl ( M , Δ2 ) ) ≤ 1
证明： det ( I - M Δ ) = det ( I - MD −1 DΔ )
= det ( I - MD −1Δ D ) = det ( I - DMD −1Δ )
det ( I - M Δ ) = det ( I - MUU ∗ Δ )
= det I - ( MU ) (U ∗ Δ )
(
)
上述对于结构奇异值的界是保守的：假设 ⎡δ 0 ⎤ Δ=⎢ 1 ⎥ ⎣ 0 δ2 ⎦ ⎡0 β ⎤ 当M = ⎢ ⎥ 时， ρ ( M ) = 0 = μ ( M ) ,σ ( M ) = β 。 ⎣0 0 ⎦ ⎡ 1 1⎤ ⎢− 2 2 ⎥ 当M = ⎢ ⎥ 时， ρ ( M ) = 0 , μ ( M ) = σ ( M ) = 1 。 ⎢− 1 1 ⎥ ⎢ ⎣ 2 2⎥ ⎦ δ −δ (注意： det ( I − M Δ ) = 1 + 1 2 ) 2 为了减小此保守性，考虑对 M 作变换，其不影响 μ ( M ) 的值，但会改变
易知，对于 Δ ∈ Δ ， U ∈ U ， D ∈ D ，成立
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清华大学自动化系 钟宜生
U ∗ ∈ U , U Δ ∈ Δ , ΔU ∈ Δ
σ (U ∗Δ ) = σ ( ΔU ) = σ ( Δ )
DΔ = Δ D
● 对于任意 U ∈ U 和任意 D ∈ D ，成立
μΔ ( MU ) = μΔ (UM ) = μΔ ( M ) = μΔ ( DMD −1 )
●当 Δ = {δ I n ,δ ∈ C} 时，则 μΔ ( M ) = ●当 Δ =
n×n
ρ ( M ) = M 的谱半径。
Δ
{Δ ∈ C } （即无结构）时，则 μ ( M ) = σ ( M ) 。
ρ ( M ) ≤ μΔ ( M ) ≤ σ ( M )
因为 {δ I n ,δ ∈ C} ⊂ Δ ⊂ Cn×n ，所以，对于一般情形，
设 M 为一复数矩阵，将其分块为 M 12 ⎤ ⎡M M = ⎢ 11 ⎥ ⎣ M 21 M 22 ⎦ 定义维数分别与 M 11 和 M 22 相匹配的结构集合 Δ1 和 Δ 2 ，并定义结构集合：
⎧⎡Δ ⎪ Δ = ⎨⎢ 1 ⎪ ⎩⎣ 0
⎫ 0⎤ ⎪ Δ1 ∈ Δ1 , Δ2 ∈ Δ 2 ⎬ ⎥ Δ2 ⎦ ⎪ ⎭
D∈D
inf σ ( DMD
D∈D D∈D
对于一般情形， μΔ ( M ) 不等于 inf σ ( DMD −1 ) ，但对于多数情形， μΔ ( M ) 与
−1
) 近似等于。
−1
D∈D
● 计算 inf σ DMD
(
) 是一凸优化问题，但求 max ρ (UM ) 不是凸优化问题。
U ∈U
5.3 结构奇异值 μ 与常数线性分式变换
{
1
}
即 M 的最大奇异值的倒数是导致闭环系统不稳定的（最大奇异值）最小无结构 Δ 的一个度量。 当考虑 Δ 的结构时，即对于 Δ ( s ) ∈ Δ ，定义
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μΔ ( M ( s ) ) =
min σ ( Δ ) det ( I − M ( s ) Δ ) = 0, Δ ∈ Δ为有结构的
D∈D
因此关于 μΔ ( M ) 的界可收紧为
U ∈U
max ρ (UM ) ≤ μΔ ( M ) ≤ inf σ ( DMD −1 )
●下界为等式，即
μΔ ( M ) = max ρ (UM )
U ∈U
●当 2 S + F ≤ 3 时，上界为等式，即
μΔ ( M ) = inf σ ( DMD −1 )
−1
● 定理：
（1）对于任意 Δ2 ∈ BΔ 2 ， Fl ( M , Δ2 ) 为适定的 iff
μΔ ( M 22 ) < 1
（2）对于任意 Δ2 ∈ BDΔ 2 ， Fl ( M , Δ2 ) 为适定的 iff
2
μΔ ( M 22 ) ≤ 1
证：如果 μΔ2 ( M 22 ) = max ρ ( M 22 Δ2 ) < 1 ，则显然，对于任意 Δ2 ∈ BΔ 2 ， I − M 22 Δ2
{
1
}
称之为 M 关于有结构复值不确定性 Δ 的的最大的结构奇异值。 如果不存在 Δ ( s ) ∈ Δ ，使得 det ( I − M ( s ) Δ ) = 0 ，则令 μΔ ( M ( s ) ) = 0 。
●由定义可证
μΔ ( M ) = max ρ ( M Δ )
Δ∈BΔ
其中 ρ ( A ) 表示 A 的谱半径。
2
Δ2 ∈BΔ 2
1
Δ2 ∈BD Δ2
1
证明：仅证第一个结论，可类似证明第二个结论。 “if”部分：给定 Δi ∈ Δi ，满足 σ ( Δi ) ≤ 1 ， i = 1, 2 ，定义
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0⎤ ∈Δ Δ2 ⎥ ⎦ 由 μΔ2 ( M 22 ) < 1 知 I − M 22 Δ2 可逆，所以有
)
I −MΔ 由 max μΔ1 ( Fl ( M , Δ2 ) ) < 1 以及 Δi ∈ BΔi ， 知 I − Fl ( M , Δ2 ) Δ1 非奇异， 因此，
Δ2 ∈BΔ2
= det ( I − M 22 Δ2 ) det ( I − Fl ( M , Δ2 ) Δ1 )
非奇异，故有
μΔ ( M ) = max ρ ( M Δ ) < 1
Δ = diag δ1 I r1 ,δ 2 I r2 ," ,δ s I rs ; Δ1 , Δ2 ," , ΔF
{
δ i ∈ C, Δ j ∈ C
m j ×m j
}
∑ r +∑ m
i =1 i j =1
s
F
j
=n
称 Δ 为结构集合。 令 B Δ = {Δ
B D Δ = {Δ
Δ ∈ Δ ,σ ( Δ ) ≤ 1} Δ ∈ Δ ,σ ( Δ ) < 1}
Δ∈BΔ
“only if”部分：由 μΔ ( M ) 的定义易知
1 2
μΔ ( M ) ≥ max {μΔ ( M 11 ) , μΔ ( M 22 )}
2
μΔ ( M ) < 1 意味着 μΔ ( M 22 ) < 1 ，因此 I − M 22 Δ2 可逆，且成立
故对任意 Δi ∈ BΔi ， I − Fl ( M , Δ2 ) Δ1 非奇异，即
−1
则
Fu ( H ,δ1 ) = 16 s + 0.16 s + 16 (1 − 0.4δ1 )
2
（若 δ1 ≤ 1 ，意味着存在 40%的参数不确定性） 定义
⎡δ1 Δ=⎢ ⎣0 0 ⎤ δ 2 ( s )⎥ ⎦
对 M 分块：
M 12 ⎤ ⎡M M = ⎢ 11 ⎥ ⎣ M 21 M 22 ⎦ 其为中 M 11 和 M 22 分别为 2 × 2 和 1× 2 矩阵。 则上图所示系统的等价描述如下图所
Δ=⎢
⎡ Δ1 ⎣0
⎡ I − M 11Δ1 det ( I − M Δ ) = det ⎢ ⎣ − M 21Δ1
= det ( I − M 22 Δ2 ) det I − M 11Δ1 − M 12 Δ2 ( I − M 22 Δ2 ) M 21Δ1
−1
(
− M 12 Δ2 ⎤ I − M 22 Δ2 ⎥ ⎦
∞
β
适定的且内稳定， iff sup μΔ ( G ( jω ) ) ≤ β
ω∈R
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证明：由 μΔ ( G ) 的定义可容易证的。 例：考虑下图示系统的鲁棒稳定性。
z1
e
δ1
H (s)
w1 w2
+
δ2
z2
Wu
+
1 8 1 5
+
d
n
y
−1
K (s)
u
其中
H ( s ) = CH ( sI − AH ) BH + DH 1 ⎤ ⎞ ⎡0 0 ⎤ ⎡0 0 ⎤ ⎡ 6. 4 0 ⎤ ⎛ ⎡ 0 =⎢ ⎜ sI − ⎢ ⎥ ⎥⎟ ⎢ ⎥+⎢ ⎥ ⎣ 16 0 ⎦ ⎝ ⎣ −16 −0.16 ⎦ ⎠ ⎣1 1 ⎦ ⎣0 0 ⎦ ⎡ 6. 4 ⎤ 1 = 2 ⎥ [1 1] s + 0.16s + 16 ⎢ ⎣ 16 ⎦ 7 s + 8.5 Wu ( s ) = s + 43 −12.56 s 2 + 17.32s + 67.28 K (s) = 3 s + 20.37 s 2 + 136.74 s + 179.46
5.2 结构奇异值 μ 及其性质
假设 Δ ( s ) 和 M ( s ) 均是稳定的，则当 σ ( Δ ) 充 分小时，闭环系统是稳定的。 若存在 s ∈ C+ ，使得 det ⎡ ⎣ I − M ( s ) Δ ( s )⎤ ⎦=0 则闭环系统不稳定。 显然，当
Δ (s)
M (s)
Δ
时，即
∞
M
∞