最新公式法解一元二次方程

公式法解一元二次方程

(1)定义：解一个具体的一元二次方程时，通过把各项系数直接带入求根公式来解一元二次方程的方法叫做公式法。

（2）求根公式的推导：ax 2+bx+c=0(a ≠0) 得x 2+a b x+22⎪⎭⎫ ⎝⎛a b =-a c +2

2⎪⎭⎫ ⎝⎛a b (x+a

b 2)2= 2244a a

c b -；∴x=a ac b 24b -2-±；即x 1=a ac b b 242-+- , x 2=a

ac b b 242--- （3）根的判别式：用“△”表示，读作：“德尔特”；

△≥0，方程有实数根⎩⎨⎧=∆∆，有两个相等的实数根

根，有两个不相等的实数＞00,；△﹤0，无实数根。

（4）用公式法解一元二次方程的步骤：

①把一元二次方程化为一般式，即

20(0)ax bx c a ++=≠的形式； ②确定a 、b 、c 的值，注意连同系数的符号；

③并计算根的判别式：

24b ac ∆=- 的值； ④求方程的解：24b ac ∆=-≥0 时，将a 、b 、c 及 24b ac ∆=- 的值代入求根公式，得出方程的根 ；当24b ac ∆=-＜0 时，方程无实数根．

练习

一、选择题

1、用公式法解方程4x 2-12x=3，得到（ ）

A ．x=263-±

B ．x ＝263±

C 、 x=233-±

D ．x ＝2

33± 2、一元二次方程x2-4x=3d 的正跟是( )

A ．-15

B ．-1-5

C ．

25-1 D ．251-+ 3、方程0263422=++x x 的根为( )

A ．x 1=2，x 2=3

B ．x 1=6，x 2=2

C ．x 1=22，x 2=

2 D ．x 1=x 2=-6 4、已知关于x 的方程x 2－(2k-1)x+k 2=0有两个不相等的实数根，则K 的最大整数值为

( )A ．－1 B ．0 C ．－2 D ．1

5、方程3x 2－75＝0的解是( )

A ．x ＝5

B ．x ＝－5

C ．x ＝±5

D ．无实数根

6、关于x 的方程3x 2

－2(3m －1)x ＋2m ＝15有一个根为－2，则m 的值等于( ) A ．2 B ．－

21 C ．－2 D ．2

1 7、已知关于x 的方程kx 2+(k-1)x-1=0，下列说法正确的是（ ）

A 、当k=0时，方程无解

B 、当k=-1时，方程有两个相等的实数根

C 、当k=1时，方程有一个实数根

D 、当k ≠0时，方程有两个不相等的实数根

8、(m 2-n 2)(m 2-n 2-2)-8=0,则m 2-n 2 的值是（ ）

A 、 4

B 、 -2

C 、 4或-2

D 、-4或2

9、已知关于x 的方程（a-5）x 2-4x-1=0有实数根，则a 满足（ ）

A 、 a ≥1

B 、a ﹥1且a ≠5

C 、a ≥1且a ≠5

D 、a ≠5

10、下列所给方程中，没有实数根的是（ ）

A 、 x 2+x=0

B 、 5x 2-4x-1=0

C 、 3x 2-4x+1=0

D 、 4x 2-5x+2=0

二、填空题 1、一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是_________．条件是_________．

2、当x=_________时，代数式x 2-8x+12的值是-4

3、若关于x 的方程x 2+4x+a=0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围_________．

4、若关于x 的一元二次方程kx 2+4x+3=0有实数根，则k 的非负整数值是_________．

5、若关于x 的一元二次方程(m-1)x 2+x+m 2+2m-3=0有一根为0，则m 的值是________．

三、用公式解法解下列方程。

1、0822=--x x

2、22

314y y -= 3、y y 32132=+ 4、01522=+-x x 5、1842-=--x x 6、02322=--x x

四、求解题：

1、当x 为何值时，①代数式2x 2＋7x －1与4x ＋1的值相等? ②代数式2x 2＋7x －1与x 2－19

的值互为相反数?

2、已知关于x 的方程x 2-2（m+1）x+m 2=0有两个不相等的实数根,①求k 的取值范围；②若

k 为正整数，且方程的根都是整数，求k 的值

3、已知a ，b ，c 均为实数，且122+-a a ＋｜b ＋1｜＋(c ＋3)2＝0，解方程ax 2＋bx ＋c

＝0．

五、证明题

1、已知a ＋b ＋c ＝0．求证：1是关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根．

2、证明：关于x 的方程(a 2－8a ＋20)x 2＋2ax ＋1＝0，不论a 为何实数，该方程都是一元二

次方程．

3、已知关于x 的方程x 2-(2k+1)x+4(k-2

1)=0, ①求证：这个方程总有两个实数根；②若等腰△ABC 的一边长a=4，另两边长b ，c 恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC 的周长