2020年广东省湛江市中考数学试卷(含答案解析)

2020年广东省湛江市中考数学试卷一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑． 1．（2020广东湛江）9的相反数是（ ） A ．﹣9 B ．9 C ．19D ．−19答案：A2．（2020广东湛江）一组数据2，4，3，5，2的中位数是（ ） A ．5 B ．3.5 C ．3 D ．2.5答案：C3．（2020广东湛江）在平面直角坐标系中，点（3，2）关于x 轴对称的点的坐标为（ ） A ．（﹣3，2） B ．（﹣2，3） C ．（2，﹣3） D ．（3，﹣2）答案：D4．（2020广东湛江）若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7答案：B5．（2020广东湛江）若式子√2x −4在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ≠2 B ．x ≥2 C ．x ≤2 D ．x ≠﹣2答案：B6．（2020广东湛江）已知△ABC 的周长为16，点D ，E ，F 分别为△ABC 三条边的中点，则△DEF 的周长为（ ） A ．8 B ．2√2 C ．16 D ．4答案：A7．（2020广东湛江）把函数y ＝（x ﹣1）2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的的数解析式为（ ） A ．y ＝x 2+2 B ．y ＝（x ﹣1）2+1 C ．y ＝（x ﹣2）2+2 D ．y ＝（x ﹣1）2﹣3答案：C8．（2020广东湛江）不等式组{2−3x ≥−1，x −1≥−2(x +2)的解集为（ ）A ．无解B ．x ≤1C ．x ≥﹣1D ．﹣1≤x ≤1答案：D9．（2020广东湛江）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD＝60°．若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则BE的长度为（）A．1B．√2C．√3D．2答案：B10．（2020广东湛江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝1，下列结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③8a+c＜0；④5a+b+2c＞0，正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个答案：B二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．11．（2020广东湛江）分解因式：xy﹣x＝．答案：．x（y﹣1）12．（2020广东湛江）如果单项式3x m y与﹣5x3y n是同类项，那么m+n＝．答案：413．（2020广东湛江）若√a−2+|b+1|＝0，则（a+b）2020＝．答案：114．（2020广东湛江）已知x＝5﹣y，xy＝2，计算3x+3y﹣4xy的值为．答案：715．（2020广东湛江）如图，在菱形ABCD 中，∠A ＝30°，取大于12AB 的长为半径，分别以点A ，B 为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交AD 边于点E （作图痕迹如图所示），连接BE ，BD ．则∠EBD 的度数为 ．答案：60°。

16．（2020广东湛江）如图，从一块半径为1m 的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形ABC ，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为 m ．答案：1317．（2020广东湛江）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC ＝90°，点M ，N 分别在射线BA ，BC 上，MN 长度始终保持不变，MN ＝4，E 为MN 的中点，点D 到BA ，BC 的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE 的最小值为 ．答案：2.解：连接BE,BD 交MN 于点F.显然在△BED 中，BE+DE ≥BD. ∵E 为△MBN 中斜边上的中点 ， ∴BE ＝1=22MN 。

∵D 到AB 、BC 的距离分别4，2∴=∴当B 、E 、D 在一条直线上时，BE+ED 最短，即BE+ED ≥BD=所以此时，DE 的最小值是 2.三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）18．（2020广东湛江）先化简，再求值：（x +y ）2+（x +y ）（x ﹣y ）﹣2x 2，其中x =√2，y =√3． 解：原式=2222222x xy y x y x +++--=2xy .当x =√2，y =√3时，原式=。

19．（2020广东湛江）某中学开展主题为“垃圾分类知多少”的调查活动，调查问卷设置了“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四个等级，要求每名学生选且只能选其中一个等级，随机抽取了120名学生的有效问卷，数据整理如下：等级 非常了解 比较了解 基本了解 不太了解人数（人） 247218x（1）求x 的值；（2）若该校有学生1800人，请根据抽样调查结果估算该校“非常了解”和“比较了解”垃圾分类知识的学生共有多少人？ 解：（1）x=120-24-72-18=6（人） （2）由题意得：1800×24+72120=1800×45=1440（人）。

答：该校“非常了解”和“比较了解”垃圾分类知识的学生共有1440人.20．（2020广东湛江）如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB 、AC 边上的点，BD ＝CE ，∠ABE ＝∠ACD ，BE 与CD 相交于点F ．求证：△ABC 是等腰三角形．证明：在△BDF 和△CEF 中DBF ECF DFB EFC BD CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDF ≌△CE ∴BF=CF ∴∠FBC=∠FCB∴∠DBF+∠FBC=∠ECF+∠FCB ∴∠ABC=∠ACB ∴△ABC 是等腰三角形.四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分） 21．（2020广东湛江）已知关于x ，y 的方程组{ax +2√3y =−10√3，x +y =4与{x −y =2，x +by =15的解相同．（1）求a ，b 的值；（2）若一个三角形的一条边的长为2√6，另外两条边的长是关于x 的方程x 2+ax +b ＝0的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．解：（1）由题意，得：42x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得：31x y =⎧⎨=⎩。

将31x y =⎧⎨=⎩代入两个方程组中，得：3315a b ⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩12a b ⎧=-⎪⎨=⎪⎩∴a ，b的值分别为：12.（2）∵12a b ⎧=-⎪⎨=⎪⎩∴x 2+ax +b ＝0变为：2120x -+=。

解得：12x x ==∵22+=24（（，2=24（∴22+=（（2（ ∴该三角形是等腰直角三角形。

22．（2020广东湛江）如图1，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠DAB ＝90°，AB 是⊙O 的直径，CO 平分∠BCD ．（1）求证：直线CD 与⊙O 相切；（2）如图2，记（1）中的切点为E ，P 为优弧AE ̂上一点，AD ＝1，BC ＝2．求tan ∠APE 的值．(1)证明：过O 作OE ⊥CD 于E.∵AD ∥BC ，∠DAB ＝90°,∴∠ABC=90°，即OB ⊥BC ∵CO 平分∠BCD , OB ⊥BC,OE ⊥CD ∴OE=OB∴直线CD 与⊙O 相切.(2) 连接OD,过D 作DH ⊥BC 于H. ∵AB 为直径，∠DAB=∠ABC=90°, ∴DA,CB 是O 的切线,BH=AD=1,DH=AB∴由切线长定理，得：DE=DA=1,CE=CB=2, ∴CD=CE+DE=2+1=3,CH=1∴==∴AB=DH=在RT △AOD 中，tan ∠AOD=2AD AO ==. ∵DA 、DE 是O 的切线， ∴∠DOA=∠DOE=12AOE ∠, ∵∠APE=12AOE ∠ ∴tan ∠APE=tan ∠. 23．（2020广东湛江）某社区拟建A ，B 两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A 类摊位的占地面积比每个B 类摊位的占地面积多2平方米．建A 类摊位每平方米的费用为40元，建B 类摊位每平方米的费用为30元．用60平方米建A 类摊位的个数恰好是用同样面积建B 类摊位个数的35．（1）求每个A ，B 类摊位占地面积各为多少平方米？（2）该社区拟建A ，B 两类摊位共90个，且B 类摊位的数量不少于A 类摊位数量的3倍．求建造这90个摊位的最大费用．解：（1）设每个A ，B 类摊位占地面积分别为x ，y 平方米，由题意，得：2603605x y x y =+⎧⎪⎨=⨯⎪⎩，解得：53x y =⎧⎨=⎩。

答：每个A ，B 类摊位占地面积分别为5平方米和3平方米。

（2）设拟建A 类摊位m 个，B 类摊位为（90-m ）,总费用为w 元，由题意得：90-3m m ≥，解得：12.5m ≤。

4030(90)w m m =+-＝102700m +，w 随m 的增大而增大，所以当=12m 时，w 取最大值为：w ＝102700m +＝1012+2700⨯＝2820.答：建造这90个摊位的最大费用为2820元。

五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）24．（2020广东湛江）如图，点B 是反比例函数y =8x （x ＞0）图象上一点，过点B 分别向坐标轴作垂线，垂足为A ，C ．反比例函数y =kx （x ＞0）的图象经过OB 的中点M ，与AB ，BC 分别相交于点D ，E ．连接DE 并延长交x 轴于点F ，点G 与点O 关于点C 对称，连接BF ，BG ．（1）填空：k ＝ ； （2）求△BDF 的面积；（3）求证：四边形BDFG 为平行四边形．解：（1）设B 点坐标为（x ，y ）。

则xy ＝8. ∵M 为OB 的中点 ∴M （12x ，12y ） ∵反比例函数y =kx（x ＞0）的图象经过OB 的中点M∴1122k x y =＝18=24⨯，即2k =. （2）设B 点坐标为（,m 8m ），D 点坐为（n ，2n）由题意，得：82m n=，=4m nBD=m n -=3n.∴BDF S=12BD BC ⨯=1232n n⨯⨯=3. (3) ∵四边形AOCB 是矩形， ∴AB ∥OC 即BD ∥FG由（2）知，D 点坐为（n ，2n ），则B 点坐标为（4n ,2n） ∴AB=4n ,BD=3n .设B 点坐标为（,m 8m ），E 点坐为(,m 2m) ∴EC=2m ,BE=8m -2m =6m .∴331BE EC ==,3BE EC =. ∵BD ∥FG ∴△BDE ∽△CFE∴3BD BECF CE==, ∴BD=3CF=3n ,即CF=n,∵点G 与点O 关于点C 对称 ∴CG=OC=4n ∴FG=3n =BD∴四边形BDFG 为平行四边形 25．（2020广东湛江）如图，抛物线y =3+√36x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点，点A ，B 分别位于原点的左、右两侧，BO ＝3AO ＝3，过点B 的直线与y 轴正半轴和抛物线的交点分别为C ，D ，BC =√3CD ． （1）求b ，c 的值；（2）求直线BD 的函数解析式；（3）点P 在抛物线的对称轴上且在x 轴下方，点Q 在射线BA 上．当△ABD 与△BPQ 相似时，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标．解：（1）：∵BO ＝3AO ＝3∴A(-1,0), B(3,0) ∵抛物线y =3+√36x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点 ∴330633930b c b c ⎧+-+=⎪⎪⎨+⎪⨯++=⎪,解得：33333b c ⎧+=-⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩. ∴33333b c ⎧+=-⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩. (2)由（1）题知，二次函数的解析式为:.2333333y x x +++=--. ∵BC =√3CD∴BD=BC+CD=(31)+CD过点D 作DE ⊥x 轴于E. ∵CO ∥DE ∴△COB ∽△DEB ∴BC BO BD BE =,即33(31)CDBO CD=+,解得：BO=33+。