C语言程序设计漫谈之从“杨辉三角形”谈起

从“杨辉三角形”谈起杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现。

在欧洲，帕斯卡（1623~1662）在1654年发现这一规律，所以这个表又叫做帕斯卡三角形。

帕斯卡的发现比杨辉要迟393年。

如果将(a+b)n(n为非负整数)的每一项按字母a的次数由小到大排列，就可以得到下面的等式：(a+b)0=1 ，它只有一项，系数为1；(a+b)1=a+b ，它有两项，系数分别是1，1；(a+b)2=a2+2ab+b2，它有三项，系数分别是1，2，1；(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别是1，3，3，1；……由此，可得下面的图表，这个图表就是杨辉三角形。

观察上图表，我们发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数中间，且等于它们的和，可以按照这个规律继续将这个表写下去。

【例1】杨辉三角形。

输入n（1<=n<=30)，输出杨辉三角形的前n行。

（1）编程思路1。

用一个二维数组y[31][31] 来保存杨辉三角形每一行的值。

杨辉三角形第row行可以由第row－1行来生成。

例如：由上表知：当row＝5时，y[5][1] = 1，y[5][2] = y[4][1] + y[4][2]，y[5][3] = y[4][2] + y[4][3]，y[5][4] = y[4][3] + y[4][4] ，y[5][5] = y[4][4] + y[4][5]一般的，对于第row（1～30）行，该行有row＋1个元素，其中：y[row][1]=1第col（2～row+1)个元素为：y[row][col] = y[row-1][col-1] + y[row-1][col]。

（2）源程序1。

#include <stdio.h>int main(){int n,i,j,y[31][31]={0};for (i=1;i<=30;i++) // 赋行首与行尾元素值为1y[i][1]=y[i][i]=1;for (i=3;i<=30;i++) // 每行中间元素赋值for (j=2;j<i;j++)y[i][j]=y[i-1][j-1]+y[i-1][j];while (scanf("%d",&n)!=EOF){for (i=1;i<=n;i++){for (j=1;j<=i;j++){if (j!=1) printf(" ");printf("%d",y[i][j]);}printf("\n");}printf("\n");}return 0;}（3）编程思路2。

用一个一维数组y[30] 来保存杨辉三角形某一行的值。

杨辉三角形第row行可以由第row－1行来生成。

由上表知：当row＝4时，y[4] = y[4]+y[3]， y[3] = y[3]+y[2]，y[2] = y[2]+y[1] ， y[1] = y[1]+y[0]，y[0]=1一般的，对于第row（0～9）行，该行有row＋1个元素，第col（row～1)个元素为：y[col]=y[col]+y[col-1]，y[0]=1（4）源程序2。

#include <stdio.h>#include <string.h>int main(){int y[30],row,col,n;while (scanf("%d",&n)!=EOF){memset(y,0,sizeof(y)); // 数组元素初始化为0y[0]=1;printf("%d\n",y[0]);for (row=1;row<n;row++){for (col=row;col>=1;col--)y[col]=y[col]+y[col -1];for (col=0;col<=row;col++){if (col!=0) printf(" ");printf("%d",y[col]);}printf("\n");}printf("\n");}return 0;}将上面的两个源程序提交给HDU 2032“杨辉三角”，均可以Accepted。

下面我们进一步讨论一下杨辉三角形。

我们根据杨辉三角形前16行中每个数的奇偶性决定是否输出一个特定字符。

比如如果是奇数，输出一个“*”号；是偶数，输出一个空格。

编写如下的程序：#include <stdio.h>int main(){int n,i,j,y[17][17]={0};for (i=1;i<=16;i++) // 赋行首与行尾元素值为1y[i][1]=y[i][i]=1;for (i=3;i<=16;i++) // 每行中间元素赋值for (j=2;j<i;j++)y[i][j]=y[i-1][j-1]+y[i-1][j];for (i=1;i<=16;i++){for (j=1;j<=i;j++)if (y[i][j]%2==1) printf("* ");else printf(" ");printf("\n");}return 0;}运行上面的程序，可以得到如下的运行结果。

运行结果的图形是一个递归深度为4的三角形。

通过这个图形，我们感觉杨辉三角形中每个数字的奇偶应该满足一定的规律。

组合数C(n,m)是指从n个元素中选出m个元素的所有组合个数。

其通用计算公式为：C(n,m)=n!/[m!*(n-m)!] C(0,0)=1 C(1,0)=1 C(1,1)=1从n个元素中取m个元素，考虑第n个元素，有两种情况：（1）不取。

则必须在前n-1个元素中取m个元素，方案数为C(n-1,m)；（2）取。

则只需在前n-1个元素中取m-1个元素，方案数为C(n-1,m-1)。

因此， C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)这正好符合杨辉三角形的递推公式。

即杨辉三角中第i行第j列的数字正是C（i,j）的结果。

因此，下面对杨辉三角形中各行各列数字的讨论转化为对组合数C(n,m)的讨论。

【例2】组合数的奇偶性。

（POJ 3219）二项式系数C(n, m)因它在组合数学中的重要性而被广泛地研究。

二项式系数可以如下递归的定义：C(1, 0) = C(1, 1) = 1；C(n, 0) = 1 对于所有n > 0；C(n, m) = C(n-1, m-1) + C(n-1, m) 对于所有0 < m ≤ n。

给出n和k，确定C(n, m)的奇偶性。

（1）编程思路1。

对于给定C(n,m)，检查n！中2因子的个数与m！和(n-m)！中2因子个数和的关系，假设n!中2因子个数为a，m!中2因子个数为b，(n-m)!中2因子个数为c，则显然有a>=(b+c)；并且当a==b+c时，一定为奇，否则为偶。

（2）源程序1。

#include <stdio.h>int getTwo(int x) // x!中2的因子的个数{int cnt=0;while (x/2!=0){cnt += x/2;x=x/2;}return cnt;}int main(){int n,k;while (scanf("%d%d", &n,&k)!=EOF){if (getTwo(n)-getTwo(k)-getTwo(n-k)>0)printf("0\n");elseprintf("1\n");}return 0;}（3）编程思路2。

前面通过杨辉三角形中数字的奇偶性输出“*”图时，我们感觉其数字的奇偶性与数字所在的行号和列号有一定的关系，即组合数C(n,m)的奇偶性与n和m有对应关系。

根据网络上的资料，给出结论如下：组合数的奇偶性判定方法为:对于C(n,m)，若n&m == m 则C(n,m)为奇数，否则为偶数。

这个结论可以采用数学归纳法进行证明，在这里省略证明方法。

感兴趣的读者可以查阅相关资料。

在此知道结论好了！（4）源程序2。

#include <stdio.h>int main(){int n,k;while (scanf("%d%d", &n,&k)!=EOF){if ((n&k)==k)printf("1\n");elseprintf("0\n");}return 0;}根据组合数的奇偶性判定方法: 对于C(n,m)，若n&m == m 则C(n,m)为奇数，否则为偶数。

可以写出如下一个程序。

#include <stdio.h>int main(){int n,i,j;while (scanf("%d",&n) && n!=0)for (i=0;i<(2<<(n-1));i++){for (j=0;j<=i;j++)if ((i&j)==j) printf("* ");else printf(" ");printf("\n");}}return 0;}运行这个程序，输入4，可以得到前面所示的星号图形。

有一次，我在网上随意浏览时，发现上面这个程序，当时觉得有些奇妙，有些小神奇。

因为，要输出一个递归形式的星号图形，我习惯性地采取递归的方法。

例如，为达到上面程序的功能，根据输入的n，输出相应的递归图形，我会编写如下的程序：#include <stdio.h>#define N 64void draw(char a[][N], int n, int row, int col){if(n==1){a[row][col] = '*';return;}int w = 1;int i;for(i=1; i<=n-2; i++) w *= 2;draw(a, n-1, row, col);draw(a, n-1, row+w, col+w);draw(a, n-1, row+w,col);}{char a[N][N];int n,w,i,j;while (scanf("%d",&n) && n!=0){for(i=0;i<N;i++)for(j=0;j<N;j++)a[i][j] = ' ';w=1;for(i=1; i<=n-1; i++) w *= 2;draw(a,n,0,0);for(i=0; i<w; i++){for(j=0; j<w; j++)printf("%c ",a[i][j]);printf("\n");}}return 0;}一个简单的二重循环即可完成递归图形的描绘，我当时还琢磨半天，怎么会这样？怎么想出来的？怎么会这样，我现在明白了，组合数的奇偶性判断规则。