1.4.2第1课时 正、余弦函数的周期性与奇偶性 课件(共25张PPT)删减版文库素材

cos[2(x
＋
π)
－
π 6
]
＝
cos(2x
＋
2π
－
π 6
)
＝
cos(2x－π6)得出周期为 π，并不满足周期函数定
义，若 x＝π2时，x＋π∉[－π，π]． 【解】 ∵x＝π 时，x＋T∉[－π，π]，
不符合周期函数的定义，故 y＝cos(2x－π6)，
x∈[－π，π]不是周期函数．
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第一章 三角函数
___2_π_____ ___偶__函__数____
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第一章 三角函数
做一做
2.函数y＝－sin x是________函数(填“奇”或“偶”)．
答案：奇
3．若函数y＝sin(φ－x)是偶函数，则φ的值可能是( )
A．30°
B．60°
C．90°
D．180°
解析：选C.当φ＝90°时，sin(90°－x)＝cos x.
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题型二 正、余弦函数的周期性 例2 求下列函数的周期．
(1)y＝sin12x；
(2)y＝2sin3x－π6 ；
(3)y＝|sinx|.
【解】 (1)∵sin21x＋2π＝sin12x， 即 sin21x＋4π＝sin12x.
∴y＝sin12x 的周期是 4π.
第一章 三角函数
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(2)∵2sinx3－π6＋2π＝2sin3x－π6 ， 即 2sin13x＋6π－π6 ＝2sinx3－π6， ∴y＝2sinx3－π6的周期是 6π.
∵y＝cos x是偶函数，
∴φ的可能值是90°.
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第一章 三角函数
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 有关正、余弦函数的定义域
例1 求函数 y＝
1 log2sin
x
－1的定义域．
【解】 为使函数有意义，需满足
log2sin1 x－1≥0， 即sin x≤12，
sin x>0.
sin x>0.
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第一章 三角函数
跟踪训练
2．求下列三角函数的周期：
(1)y＝sin(x＋π3)；(2)y＝cos 2x；(3)y＝3sin(x2＋π3)． 解：(1)令 z＝x＋π3，而 sin(2π＋z)＝sin z，即 f(2π＋z)＝f(z)．f[(x
＋2π)＋π3]＝f(x＋π3)．∴T＝2π. (2)令 z＝2x，则 f(x)＝cos 2x＝cos z＝cos(z＋2π)＝cos(2x＋2π) ＝cos[2(x＋π)]，即 f(x＋π)＝f(x)，∴T＝π.
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第一章 三角函数
跟踪训练
1．求函数 y＝ －4cos x的定义域、值域． 解：由－4cos x≥0，得 cos x≤0，得 2kπ＋π2≤x≤2kπ＋32π(k∈Z)． 又－1≤cos x≤1，∴－4≤－4cos x≤4， 据题意可知 0≤－4cos x≤4. ∴0≤ －4cos x≤2，即 0≤y≤2. ∴原函数定义域为[2kπ＋π2，2kπ＋32π](k∈Z)，值域为[0,2]．
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1．函数的周期性 (1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个__非__零__常__数__T__， 使得当x取定义域内的每一个值时，都有__f_(x_＋__T__)＝__f_(_x_)．__ 这个函数的周期为__T____. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)所有周期中存在一个最 小的_正__数____，那么这个最小____正__数___就叫做f(x)的 __最__小__正__周__期__．___
(3)y＝|sinx|的图象如图所示： ∴周期 T＝π.
第一章 三角函数
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第一章 三角函数
【名师点评】 求三角函数的周期，现阶段通常有两种 方法： ①定义法；②观察法(图象法)．两种方法各有所长，要 根据函数式的结构特征，选择适当方法求解，为了避免 出现错误，求周期时要尽可能将函数化为同名同角三角 函数，且函数的次数为1.
则f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝－f(x＋1)＝f(x)．
∴f(x＋2)＝f(x)， ∴f(x)是周期函数，且2是它的一个周期．
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第一章 三角函数
做一做 1.若函数是以2为周期的函数，且f(3)＝6，则 f(5)＝________. 答案：6
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第一章 三角函数
2．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数
y＝sin x
y＝cos x
周期
2kπ(k∈Z且k≠0)
2kπ(k∈Z且 k≠0)
最小正周期 奇偶性
2π ___奇__函__数____
“这不成问题呀，小事一桩。 企业内训系统 http://www.andisk.com/ 阿南齐的腰部成了细细的、细细的一条线。快下来吃吧。，蟾蜍老乔终于忍不住了，怒气冲冲地嚷起来：“青蛙!你有完没完!赶紧告诉我们幸福到底在哪里……然后闭上你的嘴
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第一章 三角函数
方法感悟
函数的最小正周期 (1)最小正周期是指能使函数值重复出现的自变量 x 要加上的那 个最小正数，这个正数是对 x 而言的，如 y＝sin 2x 的最小正周 期是 π，因为 y＝sin(2x＋2π)＝sin2(x＋π)，即 π 是使函数值重 复出现的自变量 x 加上的最小正数，π 是对 x 而言的，而非 2x. (2)并不是所有的周期函数都有最小正周期，譬如，常数函数 f(x) ＝C，任一个正实数都是它的周期，因而不存在最小正周期．
(2)f(x)＝sin(cos x)．
解：(1)函数的定义域为 R，
且
f(x)
＝
cos(
π 2
＋
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2x)
＝
－
sin
2x.∵f( －x) ＝－
sin(－2x)＝sin 2x＝－f(x)，∴函数 f(x)＝cos(2x
＋52π)是奇函数．(2)函数的定义域为 R，
且 f(－x)＝sin[cos(－x)]＝sin(cos x)＝f(x)，
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第一章 三角函数
【名师点评】 判断函数奇偶性时，必须先检查定义 域是否是关于原点的对称区间．如果是，再验证f(－x) 是否等于－f(x)或f(x)，进而判断函数的奇偶性；如果 不是，则该函数必为非奇非偶函数．
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跟踪训练
3．判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝cos(2x＋52π)；
(3)令 z＝x2＋π3，则 f(x)＝3sin z＝3sin(z＋2π)＝3sin(x2＋π3＋2π) ＝3sin(x＋24π＋π3)＝f(x＋4π)，∴T＝4π.
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第一章 三角函数
例3 题型三 正、余弦函数的奇偶性
判断下列函数的奇偶性： (1)y＝sin x＋tan x；
(2)f(x)＝sin34x＋32π；
(3)f(x)＝1＋s1i＋n xs－ in cxos2x. 【解】 (1)定义域为{x|x≠kπ＋π2，k∈Z}，关于原点 对称，∵f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x) ＝－sin x－tan x＝－f(x)， ∴函数 y＝sin x＋tan x 是奇函数．
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第一章 三角函数
(2)f(x)＝sin(34x＋32π)＝－cos34x，x∈R.
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第一章 三角函数
想一想 1.是否所有函数都是周期函数？ 提示：不是，如y＝x. 2．由于sin(30°＋120°)＝sin 30°，则120°是函数y＝ sin x的一个周期吗？ 提示：不是．因为对于函数y＝f(x)，使f(x＋T)＝f(x)成立 的x必须取定义域内的每一个值才可以，即x的任意性．
又 f(－x)＝－cos－34x＝－cos34x＝f(x)， ∴函数 f(x)＝sin34x＋32π是偶函数．
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第一章 三角函数
(3)函数应满足 1＋sin x≠0， ∴函数 f(x)＝1＋s1i＋n xsi－n cxos2x的定义域为{x∈R|x≠2kπ＋ 32π，k∈Z}． 显然定义域不关于原点对称， 故函数 f(x)＝1＋s1i＋n xsi－n cxos2x为非奇非偶函数．
正弦函数或单位圆如图所示，
第一章 三角函数
∴定义域为{x|2kπ<x≤2kπ＋π6，k∈Z}∪{x|2kπ＋56π≤x<2kπ＋π，k∈Z}．
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第一章 三角函数
【名师点评】 求三角函数的定义域要注意三角函数本身 的特征和性质，如在转化为不等式或不等式组后要注意三 角函数的符号及单调性，在进行三角函数的变形时，要注 意三角函数的每一步变形都要保持恒等，即不能改变原函 数的自变量的取值范围．
【失误防范】 (1)牢记周期函数的定义，把握好定义域， 若函数的周期是T，那么x＋T也必须是定义域内的取值． (2)对于周期T，使得当x取定义域内的每一个值时，都必须 有f(x＋T)＝f(x)成立才行，即x不能仅是一个特殊值．
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第一章 三角函数
跟踪训练 4．若f(x＋1)＝－f(x)，试判断函数f(x)是否是周期函数． 解：因f(x＋1)＝－f(x)，
∴函数 f(x)＝sin(cos x)是偶函数．
第一章 三角函数
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狼跑了一段路，又遇到一只熊。他在梦中告诉瞎眼儿子：
第一章 三角函数
“明晚你不要睡觉，你到榴梿园去看守。你能教我这门游泳技术吗?”
“行呀，凭我的本事肯定教你成为泳界高手，”鸭子回答得挺自信：“可是公鸡大哥，倒是你啼鸣报晓引吭高歌的技能挺专业，还能时常得到主人谷米的奖赏，我太感兴趣了，你能 教我这门技术吗?”
第一章 三角函数
1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质 第1课时 正、余弦函数的周期性与奇偶性
第一章 三角函数
学习导航
学习目标
实例
―了―解→
周期函数与最小 正周期的意义
―掌―握→
正、余弦函数的周 期性和奇偶性
重点难点 重点：正、余弦函数的性质． 难点：有关正、余弦函数的奇偶性的判定．
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第一章 三角函数
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第一章 三角函数
精彩推荐典例展示
易错警示
周期函数的判定
例4 判断函数 y＝cos(2x－π6)，x∈[－π，π]是
否是周期函数． 【常见错误】 (1)直接利用 cos(2x－π6＋2π)＝cos(2x－
π6)，从而得出该函数的周期为 2π 的错误答案．
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第一章 三角函数
(2) 由