线型函数及二次函数

e起學數學~線型函數及二次函數

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◆線型函數及二次函數

1.函數的意義：函數是一種對應關係，可以一對一或多對一，但不可

一對多或一對無。

2.函數圖形的檢驗法：對x軸作垂線，若與x軸僅交於一點，即是函

數圖形。

3.函數值的求法：函數f(x)，當x=a時其函數值為f(a)。

4.線型函數：設a、b為常數，則y=f(x)=ax+b所表示的函數叫做線型

函數。

5.線型函數圖形之討論：設y=ax+b，其中a、b為常數，

(1)若a≠0稱為一次函數。

①b≠0，圖形為不通過原點的斜直線。

②b=0，圖形為通過原點的斜直線。

(2)若a=0稱為常數函數。

①b≠0，圖形為平行x軸的直線。

②b=0，圖形為x軸本身。

(3)若圖形通過原點，則常數項等於0。

6.二次函數：設a 、b 、c 為常數且a ≠0，則y=f(x)=ax 2+bx+c 所表示

的函數叫做二次函數，其圖形為拋物線。

7.畫二次函數圖形的步驟：

(1)利用配方法或公式法找出圖形的頂點坐標。 (2)描點(至少五點)，再以平滑曲線連接。 8.二次函數的基本概念：

(1)二次函數其圖形為軸對稱的拋物線圖形。

(2)若平方項係數為正，則開口向上；若平方項係數為負，則開口向下。

(3)若平方項係數的絕對值較大，則開口較小；若平方項係數的絕對值較小，則開口較大。

(4)y=(x -h)2的圖形是將y=x 2向右平移h 單位長。 (5)y=x 2+k 的圖形是將y=x 2向上平移k 單位長。

(6)y=(x -h)2+k 的圖形是將y=x 2向右平移h 單位長，再向上平移k 單位長。

(7)二次函數y=a(x -h)2+k (a ≠0)的頂點坐標為(h ，k)，對稱軸方程式為x=h 。 9.由係數判別圖形：

二次函數y=ax 2

+bx+c (a ≠0)，其頂點坐標為 (-a 2b ，-a

4ac

4b 2 )，

對稱軸方程式為 x= -

a

2b

。 (1)若a ＞0，則開口向上。 (2)若a ＜0，則開口向下。

(3)若b ≠0，則頂點不在y 軸上。 (4)若b=0，則頂點在y 軸上。 (5)若c ≠0，則圖形不通過原點。 (6)若c=0，則圖形通過原點。

(7)若b=c=0，則頂點在原點。 10.由圖形判別係數：

設二次函數y=ax 2+bx+c (a ≠0)，

(1)a ：由開口方向決定。

開口向上⇒a ＞0；開口向下⇒a ＜0。 (2)b ：由頂點的x 坐標決定。 (3)c ：由圖形與y 軸交點決定。 例：如右圖試判斷a 、b 、c 的正負值 解：因為開口向上所以a ＞0

a

2b

->0，又a ＞0，所以b ＜0 與y 軸交於正向，所以c ＞0

11.二次函數y=ax 2+bx+c (a ≠0)與x 軸、y 軸交點坐標求法： (1)與x 軸交點坐標求法：令 y=0。 (2)與y 軸交點坐標求法：令 x=0。

(3)拋物線與x 軸不一定有交點，但與y 軸一定有交點，其交點坐標為(0，c)。

12.二次函數y=ax 2+bx+c (a ≠0)的圖形與x 軸之關係： (1)若b 2-4ac ＞0，則拋物線與x 軸交於相異兩點A 、B 。

①A 點坐標為(a 2ac

4b b 2-+-，0)

B 點坐標為(a

2ac

4b b 2---，0)

②AB 的中點坐標為(-a

2b

，0)，AB =a ac 4b 2-。

(2)若b 2-4ac=0，則拋物線與x 軸相交於一點(相切)，其交點坐標為(-a

2b

，0 )。

y

x

(3)若b 2-4ac ＜0，則拋物線與x 軸沒有交點。

①若a ＞0且b 2-4ac ＜0，則圖形全部在x 軸的上方。 ②若a ＜0且b 2-4ac ＜0，則圖形全部在x 軸的下方。 13.二次函數的假設法：

(1)若二次函數通過A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)、C(x 3，y 3)三點，則設此二次函數為 y=ax 2+bx+c 。

(2)若二次函數的頂點為(a ，b)，又經過C(x 1，y 1)，則設此二次函數為 y=k (x -a)2+b 。

14.二次函數最大值與最小值的求法：

(1)配方法：①當a ＞0時，將原式化為y=a(x -h)2+k≥k 。

則當x=h 時，y 有最小值 k ，圖形最低點為(h ，k)。 ②當a ＜0時，將原式化為y=a (x -h)2+k ≤ k 。 則當x=h 時，y 有最大值 k ，圖形最高點為(h ，k)。

(2)公式法：若二次函數y=ax 2+bx+c (a ≠0)

①設a ＞0時，則當x=-a 2b 時，y 有最小值-a 4ac

4b 2-。

②設a ＜0時，則當x=-a 2b 時，y 有最大值-a

4ac

4b 2-。

15.兩正數和一定時，則當兩數相等時，其乘積為最大，其平方和為最小。

16.設A(a)、B(b)為數線上相異兩點，若P(x)是數線上任一點，則當x=

2

b

a +時，22PB PA +有最小值。