系统微分方程

bm xi( m) (t ) bm1xi( m1) (t ) b1x i (t ) b0 xi (t )
(i ) a x ( t ) b x i i (t ) j 0 ( j) j o i 0 n m
线性定常系统：各系数都是常数；
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叠加原理
xi 1( t )
f (t )
f (t)
1 mp 2 cp k
+ b(t) cp +k
y(t )
y (t )
f (t ) (cp k ) y (t ) mp
2
1 y(t) mp2
阻尼力和弹簧恢复力 b(t ) (cp k ) y(t )
构成内反馈，是对外推力的反作用。
输出=算符×输入
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复习：
1.反馈: 输入 输出 系统 2.系统： 3.闭环系统：
给定 x i 环节 +
控制部分
e 放大及运
xb

Hale Waihona Puke Baidu算环节 测量 环节
执行 环节
被控 对象
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第 2 章 系统的数学模型
§2-1系统的微分方程
一. 线性系统微分方程的规范化形式
( n) ( n 1) an xo (t ) an1 xo (t ) a1 x o (t ) a0 xo (t )
u o (t ) R2 LCR 2 p ( L R1 R 2 C ) p ( R1 R 2 )
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(t ) R1i (t ) u o (t ) u i (t ) Li
u i (t )
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输出=算符×输入
ui (t ) R2 LCR2 p 2 (L R1 R2 C) p (R1 R2 )
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例 2.2 L,R,C电路
输入：ui (t )
i(t ) u i (t ) L R1 C
i(t ) i1 (t ) i1 (t ) u o (t ) R2
输出： uo (t ) 。
电压平衡方程
u i (t ) ( Lp R1 )i (t ) u o (t ) u o (t ) [i (t ) i1 (t )]R 2 1 i1 (t ) 1 u o (t ) u o (t ) i1 (t )dt C p C
z1 J 齿轮 1 轴 1 c1 M
uo (t )
例 2.3 机械转动系统
输入：力矩 M；
M1 c2
1
M2
输出：转角 2
2 J 2 齿轮 2轴
z2 M fz
1 c1 1 M 1 M 主动轴1： J 1 2 c 2 2 M fz M 2 从动轴2： J 2 z M 1 2 传动比： i 2 2 z1 M 1
(t ) K e (t ) E (t ) C e
3.建立系统微分方程的一般步骤
（1）选定系统及各元件(环节)的输入和输出, 列写各环节输入输出的动力学方程(子方程)； （2）对非线性项进行线性化处理； （3）消去中间变量。
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三．非线性微分方程的线性化 例：阀控油缸伺服系统
a (t ) Ri a (t ) u a (t ) E (t ) Li M (t ) C mi a (t ) K m i a (t ) (t ) c (t ) M L M (t ) J
消去 M (t ) 、 ia (t ) 、E(t) (t ) ( RJ Lc) (t ) ( Rc K e K m ) ( t ) LJ L (t ) Kmua (t ) RM L (t ) LM
y y0 y ， f f0 f
2
f0 f
f
当⊿f单独作用时 (mp cp k ) y (t ) f (t )
特别地，当y0 =0， f 0 =0 ，y y ，f f
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2. 微分算子方块图
y (t ) 1 mp 2 cp k f (t )
q q( x, p) （非线性函数） (4)将 q q( x, p) 线性化
xi 2( t )
系统
系统
xo 1( t )
xo 2( t )
a1xi 1( t )
系统
a1xo 1( t ) + a2 xo 2( t )
a2 xi 2( t )
二．微分方程的建立
例 2.1 机械移动系统
y (t ) 动力 滑台 工作台 铣刀 工件 f (t )
k c
y(t) m f (t)
ky m cy
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消去中间变量 M 1 、 M 2 、 1 z 2 2 z2 2 z2 [ J 2 J 1 ( ) ] 2 (t ) [c 2 c1 ( ) ] 2 (t ) M fz M z1 z1 z1
2 (t ) c 2 (t ) M fz M i ˆ2e J ˆ2e
原理：
问题：求 y f ( x)
油池
高压油 油池 阀芯
q q A
x y
p1
物理量：
（1）系统动力学方程： m y cy ky pA F （不显含x） （2）液压缸工作腔流体连续性方程：
p2
油缸 负载 m F
c
q Ay
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（3）负载流量q与阀芯位移x,压差p的关系：
M (t )
M fz (t )
i
-
1 p( J 2e p c 2e )
2 (t )
+
例 2.4 电枢控制式直流电动机
R i a (t ) u a (t ) L F Lf i1 (t ) Rf i f uf
输入:电枢电压 u a (t ) ;
输出:轴转角 (t )
ML Mq
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电压平衡方程: 电磁转矩: 力矩平衡方程: 反电动势:
y f
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方程：
f (t ) ky(t ) cy(t ) my(t ) my(t ) cy(t ) ky(t ) f (t ) y 2 (mp cp k ) y (t ) f (t ) y
△y y0 △f
1. 微分方程的增量形式
令 即
y y y0 ， f f f0