利用中值定理证明问题时辅助函数的几种构造方法

，使
。 分析 所给等式中含有ξ和η，把含有ξ的函数式与含
有η的函数式分离到等式两边，得
将η换成x后进行单侧积分，求出原函数为 即为一辅助函数。
将ξ换成x后进行单侧积分求出原函数为 即为另一辅助函数。
证明：设
，则由已知
b]上满足拉格朗日中值定理条件，所以存在
使
，
即
在[a， ，
，
又由f(a)=f(b)=1得
一、 使用洛尔定理时用“积分法”或 “解微分方程法”构造辅助函数
用 “积分法”构造辅助函数的基本步骤是：第一 步，将结论等式中的ξ换成x；第二步，对第一步的结果 进行变形，使两边可求积分；第三步，两边求不定积 分；第四步，把第三步的结果化为C=F(x)的形式，其中 C为任意常数且F(x)中不含有C，最后F(x)就是构造的辅 助函数。
，
即
（2）
由（1）和（2）得，存在
，使
。
H
（作者单位：常州工学院理学院）
，分别对分子和
分母进行积分求出原函数(a+b)f(x)和x2，这可作为使用 柯西定理的两个辅助函数。
证明：因为f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且 a>0，所以f(x)在[a,b]上满足拉格朗日定理的条件，存在
，使
（1） 又对f(x)和x2使用柯西定理有：存在
，使
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（1）；
又设
，则由已知
在[a，b]上
满足拉格朗日中值定理条件，所以存在
，使
即
（2）
由（1）和（2） 得
即存在
，使
。
三、使用柯西中值定理时用 “上下积 分法”构造辅助函数
有些问题当把结论等式中的 换成 后移到等式一 边，若是分式且不能进行单边积分求原函数，可考虑对 分式的分子和分母分别积分求各自的原函数，称为上下 积分法。
，由洛尔定理，存在
使
。
而
所以
，
即
。
例2 设f(x)在[0，1]上有二阶导数，且
。证明：存在
，使得
。
分析 将结论等式中的ξ换成x得一二阶常系数齐次
线性微分方程：
，其特征方程的根为
r=±1，通解为：
。
为了求出任意常数，对方程通解两边求导得
。
由
解得
所求辅助函数为：
。 或
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例5 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且 ab>0。试证：在(a，b)内至少有一点ξ，使
。
分析 将等式右端ξ换成x后得
，不
易求出原函数，将其写成分式为
，分别求
出分子和分母的原函数为F1(x)=xf(x)和 就是要构造的辅助函数。
，这
证明：设F1(x)=xf(x)，
。因为f(x)
在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且ab>0，所以
例3 设b>a>0，且已知f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)
内可导。试证：存在
，使
。
分析 所给等式左端为常数，将右端ξ成x，进行 单侧积分得
。
所求辅助函数为
。
证明：设
，则
在[a，b]
上满足拉格朗日中值定理条件，所以存在
，
使
。即
，从而
例4 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且
f(a)=f(b)=1。试证：存在
F1(x)=xf(x)，
在[a，b]上满足可西中值定理
条件，故存在
，使
，
即
，于是
成立。
例6 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且
a>0。试证：存在
，使
。
分析 所给要证等式含有ξ的函数式与含有η的函数 式已在等式两边，将ξ换成x后进行单侧积分求出原函数 f(x)，即为一辅助函数。
另将η换成x后得到
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利用中值定理证明问题时 辅助函数的几种构造方法
◆ 刘 坤
摘要：文章对高等数学中利用中值定理证明时，如何构造造辅助函数的 问题，分别就使用洛尔定理、拉格朗日定理、柯西定理给出了构造辅助函数 的方法。
关键词：中值定理；构造；辅助函数
引言
在高等数学的学习过程中，用中值定理证明问题， 是教师和学生都感到困难的问题。实际上，证明的关键 是如何构造辅助函数，如果辅助函数构造出来了，问题 也就证明出来了。本人在教学过程中做了一些探讨，总 结了几种证明问题构造辅助函数的方法，供教师和学生 参考。
例1 设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，其中a>0 且f(a)=0。证明：在(a,b)内至少存在一点ξ，使
分析 将结论等式中 x，得到
再变形为
，
的ξ都换成
两边积分得，
，解得
，
从而得所求辅助函数为
证设
。因为f(x)在[a,b]上
连续，在(a,b)内可导，其中a>0且f(a)=0。所以
在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且
证明：设
且 ，使得
有 。
。 ，则
在[0，1]上满足洛尔定理， ，则据洛尔定理存在 ，即
二、使用拉格朗日定理时用“单边积 分法”构造辅助函数
所谓单边积分法（1）若所要证明的等式中只含有 ξ，就是把含有ξ的函数式与常数项分离到等式两边， 将ξ换成x后进行单侧积分求出原函数即为辅助函数。 （2）若所要证明的等式中含有ξ和η，就把含有ξ的函数 式与含有η的函数式分离到等式两边，将ξ换成x后进行 单侧积分求出原函数即为一辅助函数；另将η换成x后进 行单侧积分求出原函数即为另一辅助函数。