最新考研数学复习高等数学第四章向量代数与空间解析几何汇总

2013考研数学复习高等数学第四章向量代数与空间解析几何
第四章 向量代数与空间解析几何【数学1要求】
2013年考试内容
向量的概念 向量的线性运算 向量的数量积和向量积 向量的混合积 两向量垂直、平行的条件 两向量的夹角 向量的坐标表达式及其运算 单位向量 方向数与方向余弦 曲面方程和空间曲线方程的概念 平面方程、直线方程 平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件 点到平面和点到直线的距离 球面 柱面 旋转曲面 常用的二次曲面方程及其图形 空间曲线的参数方程和一般方程 空间曲线在坐标面上的投影曲线方程
2013年考试要求
1. 理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。

2. 掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），了解两个向量垂直、平行的条件。

3. 理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。

4. 掌握平面方程和直线方程及其求法。

5. 会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。

6. 会求点到直线以及点到平面的距离。

7. 了解曲面方程和空间曲线方程的概念。

8. 了解常用二次曲面的方程及其图形，会求简单的柱面和旋转曲面的方程。

了解空间曲线的参数方程和一般方程。

了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求该投影曲线的方程。

一、三基及其延拓
1. 向量代数
研究的对象为自由向量，研究的空间限于实物空间，即不超过三维的空间。

①向量的一般表示, a b ,等
●几何表示：以原点为起点的有向线段。

●坐标表示： 111222(,,), (,,)a x y z b x y z ==
●投影表示： x y z a a i a j a k =++ ； x y z b b i b j b k =++ 坐标系：任何极大完备无关向量组
{}
121
2
3
3,,,
, : i i n i i is a a a a a αααα⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
其中可以构成坐标系，如果将该向量组施密特正
交化和单位化，则构成正交直角坐标系，很显然， 如果{
}
123,,,
n a a a a 中的每一向量是3
维（=3s ，有三个坐标分量），则不可能由二维坐标系（=2n ，有二个独立分量）表示，这个思想应特别注意。

② 向量的方向角和方向余弦
●a 与x 轴、y 轴和z 轴的正向且非负的夹角,,αβγ称为a 的方向角。

●cos ,cos ,cos αβγ称为a 的方向余弦，且cos , cos , cos y x z a a a a
a
a
αβγ=
=
=
● 任意向量r （r e 为r 的单位向量，并规定r e 离开原点为正方向。

）
()()(), , cos , cos , cos cos ,cos ,cos r xi y j zk x y z r r r r αβγαβγ=++===
r e 称为r 的单位向量，并且 2
2
2
cos cos cos 1r x e r αβγ⎛++=== 。

● 任意向量线元（l e
为l 的单位向量，并规定l e 离开原点为正方向。

）
● 任意向量面元（n e
为面元法线的单位向量，并规定n e 与Z 轴夹角为锐角时为正方向。

）
③夹角专题
● 两向量的夹角ϕ规定：为两向量不大于π的夹角，即0ϕπ≤≤。

()
0 0 02
y x z
x y z
x x y y z z a a a a b b b b b a a a b a b a b a b ϕϕπλπ
ϕ*=⇔⇒
==⇒=⇒=≠*=
⇔⊥⇒++=⇒两向量平行，两向量反平行；两向量平行或反平行的充要条件为： 。

两向量垂直。

● 直线与平面的夹角θ规定：直线与该直线在平面上的投影直线之间的夹角，02
π
θ≤≤。

● 平面与平面的夹角ψ规定：两平面的公垂面与他们的截痕直线之间的夹角，02
π
ψ≤≤。

又等于他们的法线之间不超过
2
π
的夹角。

● 定比分点公式：12, , P P P 为同一直线上的三点，
121
121212212210, 1, , , 11110 P P P PP x x y y z z P P PP PP OP PP P P λλλλλλλλλλλ>⎧+++⎪⎛⎫
=→<-⇒=⇒=⎨ ⎪+++⎝⎭⎪-<<⎩
在 和 中
在 外，在外
④数量积 又称标积或点积，表示为a b ⋅ 2
1
1
cos cos a b a b a b a b
x y z ϕϕ⋅=⇒=
=
++或：()
Pr Pr 0, 0a b a b a j b b j a a b ⋅==≠≠ b 2
Pr x y z
a b a b a b a b j a b b b b ++⋅=
=
++ 称为a 在b 上的投影。

注意：数量积本质上就是一个实数。

在三维以上空间的数量积称为内积 ，且可表示为
1111222212121212, (, , , )(, , , )a b a b x y z t x y z t x x y y z z t t ⋅==⋅=+++
③向量积 又称叉积或外积，表示为a b ⨯
● ()()()1
111221122112212
22
i
j k
a b x y z y z y z i x z x z j x y x y k x y z ⨯==---+- 方向规定：转向角不超过π的右手螺旋定则。

● sin a b a b ϕ⨯=，
● 几何意义： a b ⨯=平行四边形的面积；0 a b a b ⨯=⇔，且共起点，共线。

⑤ 混和积 表示为c ab ⎡⎤⎣⎦
● ()()()
1
11
2
223
33
c 0x y z ab a b c b c a c a b x y z V V x y z ⎡⎤=⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅===⇒⎣⎦三点共面 ● 几何意义： c ab ⎡⎤⎣⎦代表平行六面体的体积；c =0 c ab a b ⎡⎤⇔⎣⎦，，
共面。

⑥求导法则 y x z da da da d a i j k dt dt dt dt =++ ()d df da
f a a f dt dt dt
=+ ()d d a db a b b a dt dt dt ⋅=⋅+⋅ ()
d da db a b b a dt dt dt
⨯=⨯+
⨯ 2、场论考点
●场的概念： 在全部空间或部分空间里的每一点，都对应着某个物理量的确定值，叫做该
空间的物理量的场，分为数量场与向量场两类。

数量场用梯度描述，向量场用散度与旋度描述。

●场论的数学核心：梯度算符，用∇表示，定义为。

①梯度ϕ∇定义： i j k x y z
ϕϕϕ
ϕ∂∂∂∇=
++∂∂∂，就好比楼梯的陡度。

②散度A ∇⋅定义： P Q R
A A Pi Q j Pk x y z
∂∂∂∇⋅=
++=++∂∂∂， 其中，表示分散的程度。

如果没有分散，则散度为零，如静磁场的散度0B ∇⋅=。

③旋度A ∇⨯定义： x
y
z
i j k A x y z A A A ∂
∂∂
∇⨯=
∂∂∂ ，表示蜗旋的程度。

如没有闭合，即不存在蜗旋，则旋度为零，如静电场的旋度0E ∇⨯=。

④运算关系（本知识点内容数学1-4不作要求，高数甲乙或高数AB 需掌握）
2
222
2()()()()()1
4()1
cos cos cos 1()
()()()() ()r
r A B A B B A A B B A r r
e r
r r e u u
u u l x
y z f r f r r r r
r A A A A A A A πδαβχ∇⋅=⋅∇+⋅∇+⨯∇⋅+⨯∇⨯∇=-∇=-∇=∂∂∂∂=
++∂∂∂∂∂∂∇=∂∂∇⋅∇⨯=-∇+∇⋅∇∇⨯⨯=⋅∇2
1
2
()()()()()()()()A A B A B B A
A B B A B A A B A B -∇∇⨯⨯=∇⋅-∇⋅∇⨯⨯=∇⋅+⋅∇-∇⋅-⋅∇
⑤高斯公式的场论表示
A d S ⋅=∇⋅⎰⎰⎰⎰⎰⑥斯托克斯公式场论表示l
s
A dl A d S ⋅=∇⨯⋅⎰⎰⑦平面格林公式l
Pdx Qdy x y =+=- ∂∂⎝
⎰⎰⎰在高斯公式和斯托克斯公式中，各符号的具体意义如下：
; idydz jdzdx kdxdy
++读者最难理解是关系： d S dSn idydz jdzdx kdxdy ==++。

其实就是n 的方向余弦
cos , cos , cos αβγ元投影面元的关系，读者可在三维空间作一个平面
1x y z
a b c
++=。

然后在该平面内过z c =点画无数线元i dS ，每一线元在xoy 平面的投影为i du ，显然
cos i i du dS γ=，并有：, cos i i du dxdy dS dS dxdy dS γ==⇒=∑∑，同理可得其他两个坐
标平面的面元投影关系：cos ; cos dydz dS dzdy dS αβ==。

上述关系是读者能否学好空间积分的关键，务必掌握。

3、万能坐标系——正交曲线坐标系（本小节内容数学1-4不作要求，高数甲乙或高
数AB 需掌握）
在该系中任一曲线元 i i i dl h du = i du 为球面系、柱面系等坐标曲线元。

对直角坐标 1dl dx = 2dl dy = 3dl dz =； 1231h h h ===；123, , u x u y u z === 对柱坐标系 123(,,)1, , 1r z h h r h θ⇒===；123, , u r u u z θ=== 对球坐标系 123(,,)1, , sin r h h r h r θϕθ⇒===；123, , u r u u θϕ=== 则3
12123123123112233
u u u e e e e e e l l l u l u l u l ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∇=
++=⋅++∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 123e e e h u h u h u ++∂∂∂ 而2313()()x y h h A h h A h h h u u =
++⎢∂∂∂⎣ 11
33
122
33
1h e h e h h h h A h A h ∂
=
321132
21323
2331331212111
()()()()()h h e h h e h h e h h u u h h u u h h u u ⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎡⎤∂∂∂∂∂∂
=-+-+-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂∂∂⎣⎦
⎝⎭⎣⎦⎣⎦
记住, , A A ∇∇⋅∇⨯的结论形式即可。

● 拉普拉斯算子∆在球坐标系的形式 1dl dr = 2dl rd θ= 3(sin )dl r d θϕ=
11h = 2h r = 3sin h r θ= 123, , u r u u θϕ===
12311223323131212311122233111111sin 1()()()r f f f f e e e f e e e h u h u h u r r r h h h h h h f f h h h u h u u h u u h u θϕ
θθϕ⎛⎫∂∂∂∂∂∂∇=++=++ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭
⎡⎤
∂∂∂∂∂∂∆=∇⋅∇=++⎢
⎥∂∂∂∂∂∂⎣⎦
222
2222221sin sin sin sin 111sin sin sin f r f r f r r r r r r f f f r r r r r r θθθθθϕθϕθθθθθϕ⎡⎤
⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫=++
⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭
●拉普拉斯算子∆在柱坐标系的形式
123(,,)1, , 1r z h h r h θ⇒===； 123, , u r u u z θ===
231312123
11
12223312222
2
1()()()11 ()()()11 ()h h h h h h f f f f f h h h u h u u h u u h u f f f f r r r r r r z z f f f r r r r r z
θθθ⎡⎤
∂∂∂∂∂∂∆=∇⋅∇=
++⎢⎥∂∂∂∂∂∂⎣⎦∂∂∂∂∂∂⎡⎤
=++⎢⎥∂∂∂∂∂∂⎣⎦
∂∂∂∂=++∂∂∂∂
4. 直线方程
•方向向量s ：一簇与该直线平行的方向数,,l m n ；一般用(),,s l m n =表示直线的方向向
量。

①一般式方程
()()
11111111222222220 ,,0
,,A x B y C z D n A B C A x B y C z D n A B C ⎧+++==⎪⎨+++==⎪⎩，n 一般表示平面的法线向量。

则直线的方向向量 ()12,,s l m n n n ==⨯ ②点向式（标准式） (),,s l m n =
000
x x y y z z l m n
---== ③参数式 000x x lt y y mt z z nt
=+⎧⎪
=+⎨⎪=+⎩ 000(,,)M x y z 为直线上已知点， 方向数：(),,s l m n =
④两点式
111212121
x x y y z z x x y y z z ---==---
⑤方向角式：cos cos cos x y z αβγ++=，,,αβγ为已知。

⑥直线间关系
•111
12222
l m n L L l m n ⇒
== •121212120L L l l m m n n ⊥⇒++= •1212
cos S S S S θθ⋅∠⇒=
•点()1111,,P x y z 到直线
222
x x y y z z l m n
---==
的距离d 2
2
2
i
j k l m n
++s 的平行四边形面积
s
•直线到直线的距离d
()a 两平行直线的距离d 同上 2
2
2
i j k d l m n
=
++
()b 两异面直线的距离d （画出平行六面体图推导出下式）
121222
12
, , PP S S m n S S i j k ⎡⎤⎣⎦
=
⨯其中：()1111,,P x y z 和()2222,,P x y z 分别为两直线上的任意两点，不管这两点位置如何， 12PP 的投影的模都等于d 。

5. 平面方程
①一般式 0Ax By Cz D +++=
法线方向向量 (),,n A B C =
形象记忆掌握法：“影评”（隐蔽平行坐标量），如y 不出现，则∥y 轴；依此类推。

②点法式
000()()()0A x x B y y C ςς-+-+-=
③三点式
1112223
3
3
x x y y z z x x y y z z x x y y z z ---------=0 ④截距式：即平面经过下列三点：(, 0, 0), (0, , 0), (0, 0, )a b c
1x y z
a b c
++= ⑤平面束方程
()111122220A x B y C z D A x B y C z D λ+++++++=
不包含22220A x B y C z D +++=；如果所求平面通过已知直线（一般式），则用平面束方程会比较简便，但必须验证22220A x B y C z D +++=是否满足所求结论，以免遗漏。

⑥平面间的关系 ● 111
12222
A B C A B C ππ⇒
== ● 12121212A A B B C C ππ
⊥⇒++=0 ● 夹角θcos θ⇒=
● 点()0000,,P x y z 到平面0Ax By Cz D +++=的距离，对直线到平面的距离只要在已知直线上任取一点即可类似处理
证明：在平面上任取一点()1111, , P x y z ，作平面的法线向量n ，则 10Pr n d j PP
=。

()
1010010101
,,
Pr,,
n
A B C
j PP PP n x x y y z z
A x
x B y y C z z Ax By Cz Ax By Cz Ax By Cz D
d
=⋅=---
-+-+-++-++ ==
++--
==
⇒=
●两平行平面之间的距离
6. 平面与直线之关系
L Al Bm Cn
π⇒++=
A B C
L
l m n
π
⊥⇒==
夹角sin
n s
n s
θθ
⋅
⇒=
⋅
7.曲面及其方程
7.1 准线与母线的界定
准线一般指基准曲线，如旋转轴，圆或圆锥曲线；母线顾名思义是由该曲线旋转或平移（可以是空间平移）后可以生成所要求的曲面的曲线（就像母亲生孩子）；其中的旋转轴和平移基准也就是准线。

如一条直线沿某一圆周平移一周形成圆柱面。

7.2 二次曲面
●二次曲面的二次型表示
()
222222
a d f x
ax by cz dxy eyz fzx g x y z d b e y g
f e c z
⎛⎫⎛⎫
⎪⎪
+++++=⇔=
⎪⎪
⎪⎪
⎝⎭⎝⎭
a d f
A d b e
f e c
⎛⎫
⎪
= ⎪
⎪
⎝⎭
的特征值就确定了三类曲面：0
A
A
A
⇒
⎧
⎪
⇒
⎨
⎪⇒
⎩
正定或负定椭球面
无特征值且特征值异号双曲面
有特征值抛物面
●大纲中只要求掌握一部分二次曲面，包括：九种常用二次曲面，圆柱面和一般锥面。

如何掌握？下列技巧提供了全面解决方略。

从准线与母线的三种关系和陈式4法来系统掌握考点，并理解曲面图形。

7.3 投影方程的确定
任一空间曲线Γ: 1
2(,,)0 (,,)0
F x y z F x y z =
⎧
⎨
=
⎩
在平面π上的投影构成一条平面曲线——投影曲线；以投影曲线为母线沿垂直于平面π的任意准线移动构成投影柱面，如直线的投影柱面就是一个垂直于π的平面。

如求曲线Γ在
xoy平面上的投影方程
由Γ中消去z⇒得到一个母线∥z轴的柱面方程(,)0
x y
ϕ=。

则投影于XOY平面上的投影方程为
(,)0
x y
z
ϕ=⎧
⎨
=
⎩
空间几何解题一般切入点：首先尽可能画出草图，思考所求结论必须知道几个可能的条件，这些条件在题目中一般又是隐含出现的，我们的目标就是从隐含条件推出需要的条件，然后套用直线或平面的方程类型。

其中，重点注意已知直线的方向向量和已知平面的法向向量与待求直线或平面的关系。

【例1】求直线L
3
12
58
x t
y t
z t
=-
⎧
⎪
=-+
⎨
⎪=+
⎩
在平面π：38
x y z
-++=0上和三个坐标平面上的的投影方
程。

解： 第一步 求投影柱面（对直线投影而言投影柱面就是投影平面）方程 *π的*n ，该平面显然与π垂直，又
{}{}1,2,8, 1,1,3S n =-=-
则易知 {}*1
2
814,11,11
13
i
j k
n s n =⨯=-=--
又*π也通过L ，可以利用L 上的已知点()3,1,5-，则*π为 14(3)11(1)1(5)0x y z -++--=
L 在平面π投影正好为π与*π的交线，其方程为
14(3)11(1)(5)01411260
380380
x y z x y z x y z x y z -++--=+--=⎧⎧⇒⎨
⎨-++=-++=⎩⎩ 直线在三个平面上的投影方程为：
330
12; 0; 1205858x t x t x XOY y t XOZ y YOZ y t z z t z t =-=-=⎧⎧⎧⎪⎪⎪
⇒=-+⇒=⇒=-+⎨⎨⎨⎪⎪⎪==+=+⎩⎩⎩
8. 二次曲面方程和图形的研究
8.1 准线和母线是研究曲面的核心技术。

已知曲面方程，用零点法可确定准线和母线，从而确定曲面的生成方式；用截痕法可以确定曲面的具体形状；用伸缩法可以研究曲面之间的转换，建立新曲面方程和后面的将要建立的旋转曲面方程要使用动静点转换法。

研考数学中的曲面都是由母线沿准线空间平移或旋转及坐标伸缩变形而形成。

●零点法
例如：分析曲面方程为 2222x y z a b -=的图形，令2
2220y x z y b z b =⇒-=⇒=-为一开口向下的
抛物线；令2
2220x y z y a z a
=⇒=⇒=为一开口向上的抛物线；这两个抛物线就构成了该二
次曲面的准线和母线，可以想象，该二次曲面是有其中一个抛物线沿另一个抛物线平移生成。

● 截痕法
平面z t =与曲面(),,0F x y z =的交线称为截痕，通过综合截痕的变化来了解曲面的形状的
方法，称为截痕法。

例如：在2222x y z a b -=中，令()()
2
2
2
2
1x y z t =⇒
-
=，这是一条双曲
线，也就是用水平平面截该曲面时，其截痕是双曲线。

综合零点法的分析，我们就能够确
定：22
22x y z a b
-=正是双曲抛物面，即马鞍面。

● 伸缩法
如在曲面(),0F x y =上取一静点()11,M x y ，现把()11,M x y 变形为动点()22,M x y ，然后想办法消去静点坐标（即动静点转换法）。

又，给定两了点坐标的伸缩变换关系，如令
2121;x x y y λ==，则：()112211,0,0,
0F x y F x y F x y λλ
⎛⎫⎛⎫
=⇒=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
称为原曲面经伸缩变形后的新曲面方程。

例如圆柱面变成椭圆柱面：
2121
2
2222;22222222
221122222211b
x x y y a
x y a x y x y a x y a x y a b a b a b ==⎛⎫+=⇒+=−−−−−→+=⇒+=⇒+= ⎪⎝⎭
又如圆锥面变成椭圆锥面：
2121212
2
2
2
2222222
2;,2
2221122122
2
2
22222
b x x y y z z a
a x y x y x y x y x y
b z z z z z a a a a b a b ===⎛⎫
+ ⎪++⎝⎭=⇒=−−−−−−→=⇒+=⇒+=
常用曲面之一：柱 面
柱面是由母线沿准线空间平移形成，柱面的准线和母线必有一个是直线。

其中，直线为准线，曲线为母线。

如果是圆柱面，则准线和母线可以互换；如果为非圆柱面，如棱柱面，则必须取直线为准线，曲线为母线。

2
2
2
x y R += 圆柱面
22
221x y a b
+= 椭圆柱面 22
22
1x y a b -= 双曲柱面
22x py = 抛物柱面
特点：柱面方程中，柱面轴平行于隐含的坐标轴，如22x py =的轴平行于z 轴。

注意：在三维情况下圆的方程的一种形式为2222
x y z R x y z R ⎧++=⎨++=⎩
形象记忆掌握法：影（隐）评（平）。

● 柱面方程的一般求法：
给定准线(),0
:f x y L z h
=⎧⎪⎨=⎪⎩和母线的方向s li m j nk =++，求柱面方法如下：
设(),,P x y z 为柱面上的任意点，根据柱面形成的过程，必在准线L 上有相应的点
(),,Q X Y Z ，使得PQ s ，由此可以利用直线PQ 的方程将,P Q 两点的坐标间关系找出来，即：
X x lt
Y y mt Z z nt =+⎧⎪
=+⎨⎪=+⎩
（1） 又由于(),,Q X Y Z 在L 上，故
(),0
f X Y Z h
=⎧⎪⎨=⎪⎩ （2）
用（1）式代入（2）式，由h z nt =+得 ;;h z h z h z
t X x l Y y m n n n
---==+⋅=+⋅
所求的柱面方程为
()(), 0l h z m h z f x y n n --⎛⎫++= ⎪⎝⎭
例如：已知母线方向s i j k =++及准线22
2210
:2x y L a b z ⎧+-=⎪⎨⎪=⎩
，则柱面方程为
()()22
2211221x z y z a b
-++-+= 这是一个斜的椭圆柱面。

特别地：若母线平行某一坐标轴，如平行，则0l m ==，则柱面方程就是：(),0f x y =
8.3 常用曲面之二：旋转曲面（母线沿直线准线旋转移形成） ● 平面曲线(),0f x y =沿z 轴旋转不能形成曲面；
● 平面曲线(),0f x y =沿x
轴旋转(
,0f x ⇒=；
● 平面曲线(),0f x y =沿y
轴旋转()0f y ⇒=。

形象记忆法：舅留加饭（方）。

即旋转轴留在曲面方程中，增加没出现的一个变量，
然后相加开平方。

如二维曲线0
z x ⎧=⎪⎨=⎪⎩z 旋转后的曲面方程为
z =
=特别地：当母线为直线并与准线相交时，旋转或平移则形成圆锥面。

例如：直线（母线）cot z y α=(α为两直线小于90度交角的一半)沿z 轴（准线）旋转
后，变为()2
cot 2222a z z a x y α
α==−−−−→=+即为锥面方程，也可以由直线（母
线）cot z y α=沿某一园空间平移一周而形成锥面。

●锥面方程的一般求法：
给定准线(),0
:f x y L z h =⎧⎪⎨=⎪⎩
和原点()00,0,0P ，求锥面方程如下：
设(),,P x y z 为锥面上的任意点，根据锥面形成的过程，必在准线L 上有相应的点
(),,Q X Y Z ，使得(),,Q X Y Z 在直线0P P 的延长线上，直线0P P 的方向数显然为(),,x y z 即：
X xt
Y yt Z zt =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
（1） 又由于(),,Q X Y Z 在L 上，故
(),0
f X Y Z h =⎧⎪⎨=⎪⎩
（2）
用（1）式代入（2）式，得所求的锥面方程为
(),0,0z
t h f xt yt hx hy f z z zt h
==⎧⎪⎛⎫
−−→=⎨ ⎪=⎝⎭⎪⎩
可见以圆点为顶点的锥面方程是齐次方程。

例如：已知顶点在原点及准线22
2210
:2x y L a b z ⎧+-=⎪⎨⎪=⎩
，则锥面方程为
22
222
22221212104
x y x y z a z b z a b ⎛⎫⎛⎫+=⇒+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
这是一个椭圆锥面。

【例2】求以原点为顶点且与三坐标的截距相等的圆锥（正圆锥）方程。

解：设锥面与三坐标的交点为()()(),0,0,0,,0,0,0,A a B a C a ，得该三点确定的平面方程
截距式为：x y z a ++=，该平面与正圆锥的的交线是一个圆2222
x y z a x y z a ⎧++=⎨++=⎩，这就是准
线。

又设(),,M X Y Z 为锥面上任意点，()0,0,0O 为原点， (),,x y z 为母线OM 与准线的交
点，则母线方程点法式为
X Y Z X Y Z x y z x y z
=
=
⇒
== 令
1
,,X Y Z x Xt y Yt z Zt x y z t
===⇒===代入准线方程得()222220t X Y Z a
XY XZ YZ X Y Z a
⎧++=⎪⇒++=⎨
++=⎪⎩即为所求的锥面方程。

●空间曲线旋转形成的曲面（可以沿任意轴旋转）
空间曲线Γ的参数方程：()()()x t y t z t ϕψω=⎧⎪=⎨⎪=⎩，空间曲面Ω的参数方程：()
()()
,,,x x s t y y s t z z s t =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
Γ沿z 轴旋转后形成的曲面方程为：
【例3】求曲线22
1
3
y x z =⎧⎨+=⎩绕z 轴旋转一周所形成的曲面方程。

解：先将曲线写成参数式
22
113x t
y y x z z t ⎧==⎧⎪
⇒=⎨⎨+=⎩⎪
=⎩ 绕z 轴旋转一周后
(
)222222
222cos 3cos 1sin 31sin 14x x y t y z t
z t x y t x y z z z t
θθ⎧=⎪⎪
⎪⎧+=+⎪⎪
=⇒⎨⎨=⎪⎪⎩⎪=⎪⎪⎩
⎧⎧+=-++=-⎪⎪⇒⇒⎨⎨
≤⎪=⎪⎩⎩
④ 9种必须掌握的曲面
1）椭球锥面 22
222x y z a b +=
2）椭球面 222
2221x y z a b c ++=
3）单叶双曲面 222
2221x y z a b c +-=
4）双叶双曲面 222
2221x y z a b c --=
5）椭圆抛物面 22
22x y z a b
+=
6）双曲的抛物面 22
22x y z a b
-= 又称马鞍面（准线与母线是相互正交的抛物线，母线
抛物线沿准线抛物线平移形成马鞍面，这是我们需要掌握的唯一一个准线与母线都是非直线的曲面。

）
7）椭圆柱面 2
2
221x y a b += （椭圆22221x y a b z h
⎧+
=⎪⎨⎪=⎩
）母线平行z 轴
8）双曲柱面 22
221x y a b
-= 母线平行z 轴
9）抛物柱面 2x ay = 母线平行z 轴
五星级提示：对于一般的曲面方程，最方便的方法是：首先令其中一个变量为零，如能得出母线或准线，我们就能确定该曲面的形状。

二、 典型题型
【例4】 证明向量 a b b a c a b
+=
+表示向量a 与b 的角平行线方向。

证明：因为单位向量：, a b a b e e a
b
==
由a e 与b e 为边构成的平行四边形为棱形，其对角线平分顶角，则与a 与b 夹角平分
线平行的向量d
a b a b b a d e e a b a b a b b a a b b a c d
a b
a b
a b
λ+=+=
++=
=⋅
=++
故原命题成立。

【例5】 一向量与,x y 轴夹角相等为α，与z 轴夹角为2α，试确定该向量的方向。

解：由于 222cos cos cos 1αβγ++=，所以：
()()()
2
2
2
2
2
2
2
2
cos cos cos 212cos 2cos 11
2cos 2cos 10;
=;
02
4
2
αααααπ
π
π
ααααγπα++=⇒+-=⇒⋅-=⇒=
=
⇒>方向角定义要求
故该向量的方向为()()cos ,cos ,cos 0,0,1,22αβγ⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭
或。

【例6】 过点（-1，0，4），平行于平面3410x y z -+=且与直线132
z
x y +=-=相交的直线方程。

解：一般切入点：如果所求的直线方向向量不能明显求出，就设直线方程的参数形式。

设所求直线方程为：14x lt y mt z nt =-+⎧⎪
=⎨⎪=+⎩
直线与已知平面平行，则340 (1)n s l m n ⊥⇒-+=
两直线相交，则将14x lt
y mt z nt
=-+⎧⎪
=⎨⎪=+⎩
代入132z x y +=-=消去(),,x y z 得
()(
)34343100 (2)224m l t nt lt mt m n l l n t -=⎧+⎪=-+=⇒⇒+-=⎨-=⎪⎩ 联立（1）（2得28
419, 16,19728
n l n m n l m ==
=−−−→==，所求的直线方程为 11619428x t
y t
z t =-+⎧⎪
=⎨⎪=+⎩
【例7】 判断 1L ：
21112x y z +-==；和 2L ： 12
134
x y z +-==
是否共面，若在同一平面求交点，若异面求距离？ 解：()()121, 1, 2; 1, 3, 4;s s ==
()()()()(){}()2121211, 0, 1, 0,1,2,,1,1,1P Q PQ x x y y z z --⇒=---=- 112
1
3
420111=≠-为异面直线。

设两直线距离为d ，
21112x y z t +-===, 12
134
x y z s +-===, 则
()()()
222
2
1131425224407
,1241240
352520124490
24s t ss tt st
ts d h s t s t s t h s t t s h s t h A
A h C
B A
C h h B =
==-++-+-++-=-+=⎧⇒==⎨
=-+-=⎩==⎧=>⎧⎪
==⇒⎨⎨-=-<⎩⎪==-=⎩
由二元函数极值的充分条件知：
7
,1
3
t s
==是最小值点，所以
d=
也可直接套用公式计算距离d：
3
d=
=
==
【例8】判断
1
L：
3
234
x y z
+
==；和
2
L：
30
340
x y
x y z
--=
⎧
⎨
---=
⎩
的关系。

解：两直线的有四种关系：异面；相交；平行但不重合；重合。

()()()()
12
2, 3, 4; 1,1, 03,1,11,1,2
s s
==-⨯--=故不平行，也不重合；
看两直线有无交点，将
1
L写成参数式，代入
2
L的两平面，看看能否得到同一个t
()
()()
2,33,4
233300
22334401
x t y t z t
t t t
t t t t
==-+=
--+-=→=
⎧⎪
⇒⎨
--+--=→=-
⎪⎩
故两直线不相交，所以两直线异面。

【例9】求过()
2 3 1
M，，点，且与直线
12
013
;
402
x y x y
L L
x y z z y
+==-
⎧⎧
⎨⎨
-++==-
⎩⎩
都相交的直线方程L。

解：由于所求直线L过()
2 3 1
M，，与
1
L相交，则L必在过()
2 3 1
M，，与
1
L的平面
1
π上，同理它也必须过()
2 3 1
M，，与
2
L的平面
2
π上，
1
π和
2
π联立的交面式直线方程即为所求的L方程。

又，过
1
L的平面束方程为：()()40
x y x y z
λ++-++=
将()
2 3 1
M，，带入上式得
4
5
λ=-
1
:95200
x y z
π
⇒-++=
过2L 的平面束方程为：()()3140x y y z μ+-++-=
将()2 3 1M ，，带入上式得1
5
μ=-2:2590x y z π⇒--+=
故所求直线L 方程为 95200
2590x y z x y z -++=⎧⎨--+=⎩
【例10】求满足下面条件的直线方程 ()a 过点()1, 0, 2A -；
()b 与平面π：3230x y z -++=平行； ()c 与直线1L ：
13421
x y z --==-相交。

解：已知直线1L 的方向{}14, 2, 1s =-，其上由一点()11, 3, 0A ，根据已知条件()b ，过
()1, 0, 2A -作平行于平面π的平面1π 1π：()()31220x y z --++=
再根据已知条件()c ，作平面2π通过点()1, 0, 2A -和直线1L ，显然
()()()111142178127, 8, 120
3
2
:7181220i j k n s AA i j k L x y z π=⨯=-=--+=--⇒-+-+=
所求直线方程为
()()()()31220
321078123107181220x y z x y z x y z x y z --++=⎧-++=⎧⎪⇒⎨⎨
+--=-+-+=⎩
⎪⎩ 【例11】设有直线:
L 13212
x y z --==
- ()a 求与L 关于原点对称的直线1L 的方程； ()b 求与L 关于xoy 平面对称的直线2L 的方程；
()c 求与L 关于平面π：0x y z ++=对称的直线3L 的方程；。

解：()a 对于任何在直线1L 上的静点(), , P x y z ，由于1L 与L 关于原点对称，从而与
(), , P x y z 点关于原点对称的动点(), , Q x y z ---必在L 上，故
1L 的方程为：
1313
212212
x y z x y z -----++==⇒==
-- ()b 对于任何在直线2L 上的静点(), , P x y z ，由于2L 与L 关于xoy 平面对称，从而与
(), , P x y z 点关于xoy 平面对称的动点(), , Q x y z -必在L 上，故
2L 的方程为：
1313
212212
x y z x y z ----+==⇒==
- ()c L 与平面π的交点o 也在所求的直线3L 上，且该点坐标满足13
2120x y z x y z --⎧==⎪
-⎨⎪++=⎩
由上面的方程组得到：
()()()131344212212
x y z x y z x y z -++---====++-=--+- 从而解的交点o 点坐标为()7, 4, 11--。

3L 的方向数可根据向量代数的基础求得：
()
()
3002418
22
233333
s n s s s n n s n i j k i j k i j k s n
⋅=-⋅=-=+--
++=+-⋅ 故所求直线3L 的方程为：
7411
418
x y z ++-==
-
【例12】证明 12112
:, :123111
x y z x y z L L -+-====
是异面直线，并求公垂线方程即公垂线的长。

解：1L 的方向向量()11,2,3S =，经过点()10,0,0P ；2L 的方向向量()21
,1,1S =，经过点()21,1,2P -，由于
()
1212112
, , 1235011
1
PP S S -==-≠，所以12,L L 是异面直线。

公垂线L 的方向向量S
()121231, 2, 1111i j k
S S S =⨯==--
那么，经过1L 并且与S 平行的平面1π的方程为
()()(){}()()()(){}()
1
10,0,00
0000,0,012301
2
1
420
x y z S S x y z x y z S S x y z ---⋅⨯=---⇒---⋅⨯=
=--⇒+-=
经过2L 并且与S 平行的平面2π的方程为
()()(){}()
()()(){}()
2
21,1,20
112
1,1,21
1101
2
1
10
x y z S
S x y z x y z S S x z -+-⋅⨯=-+-⇒-+-⋅⨯==--⇒-+= 而平面12,ππ的交线即是公垂线L 的方程
:L
420
10x y z x z +-=⎧⎨-+=⎩
公垂线的长d 为 ()12
1
2
12
, , PP S S d S S =
=⨯
【例13】求过点()1,1,2P -及直线212
:320
x y z L --+==
-的平面。

解：将L 写成一般式
2370
20
x y z --+=⎧⎨+=⎩
经过L 的平面束方程为 ()23720x y z λ+-++= 以()1,1,2P -代入得 3
2
λ=
，得平面方程为 46380x y z ++-=
又，采用这个平面束方程时没有包括20z +=这个平面，但20z +=不经过()1,1,2P -点，故不是所求。

【例14】求经过直线50:40x y z L x z ++=⎧⎨-+=⎩，并且与平面48120x y z --+=交成二面角为4π
的平
面方程。

解：平面束方程为
()()()54015140x y z x z x y z λλλλ+++-+=⇒+++-+= 又有
cos
4
3
24
π
λ=
⇒
=⇒=-
得平面方程为
207120x y z ++-=
由于平面束方程没有包括40x z -+=，故需要验证如下 ()1401,0,1x z s -+=⇒=-
()2481201,4,8x y z s -
-+=⇒=-
-
cos cos 24
θπ
θθ=
=⇒=
=
⇒=
所以，所求的平面方程为
207120x y z ++-=或40x z -+=
【例15】设直线:L 0
30
x y b x ay z ++=⎧⎨+--=⎩在平面π上，而平面π与曲面22z x y =+相切于点
()1, 2, 5P -，求, a b 之值。

解：平面束方程为
()()()30130x y b x ay z x a y z b λλλλ++++--=⇒+++--+=
又 ()2222,,0z x y F x y z z x y =+⇒=--=
切平面法向向量为 ()()(),,2,2, 12,4,1x y z n F F F x y =⇒--=-
则平面束方程中只有过的()1.2,5P -，且其法线平行n 的平面才能满足要求，即
()()()12530 1, 5, 211 241
a b a b a λλλλλλ+++---+=⎧⎪
⇒==-=-⎨++-==⎪⎩-。

【例16】12M M 垂直通过平面:0Ax By Cz D π+++=， ()1111,,M x y z 坐标已知，
()2222,,M x y z 离平面的距离为线段12M M 的1
3
，求()2222,,M x y z 的坐标。

解：由定比分点公式得12M M 与平面π的交点坐标为
121
12121
222112121
2
0, P P P 1, P P ;;11110P P 222; ; 333
PP x x y y z z x y z PP x x y y z z x y z λλλλλλλλλλ>⎧+++⎪
=→<-⇒===⎨+++⎪-<<⎩
+++⇒=
==在和中
在外，在外 该点满足平面方程，则
121212
2220333
x x y y z z A B C D +++⋅
+⋅+⋅+= ()()()12121222230A x x B y y C z z D ⇒++++++= （1） 212121212121
x x At x x y y z z t y y Bt A B C z z Ct
=+⎧---⎪
===⇒=+⎨⎪=+⎩ （2）
（2）代入（1）可解得t ()()
1112
2
2
32Ax By Cz D t A B C
+++=-
++
所以()2222,,M x y z 的坐标为
()()()()
()()
11121222111212
2
2
11121222323232A Ax By Cz D
x x A B C B Ax By Cz D
y y A B C
C Ax By Cz D
z z A B C +++=-
+++++=-
+++++=-
++
【例17】求直线11
:
111
x y z l --==
-在平面:210x y z π-+-=上的投影直线0l 绕y 轴旋转一周所形成的曲面方程。

解：再次提示：如果所求的平面通过一已知直线，则使用平面束方程简便。

10
11:
10
111x y x y z l y z --=⎧--==⇒⎨
+-=-⎩ 经过l 的平面束方程为
()()()()110110
111202
3210
x y y z x y z x y z λλλλλλλ--++-=⇒+-+-+=⇒⋅--+=⇒=-⇒--+=
所求0l 为3210
210
x y z x y z --+=⎧⎨-+-=⎩
将0l 写成参数式()232102101
12x t
x y z y t
x y z z t ⎧
⎪=--+=⎧⎪
⇒=⎨⎨-+-=⎩⎪⎪=--⎩ 绕y 轴旋转一周后形成的曲面方程
(
)()()()()()
()
2222222222
22222221414
1414
4174210
t y
x y y t t
x z x t y t y x z x t y t t t x z y y x y z y θ
θ=⎧=⎪⎪
==⇒+=+⎨⎪=⎪⎩
⇒+=+=+-−−→+=+-⇒-++-=
动静转换法求旋转曲面方程。

【例18】求曲线L ()0
z f y x =⎧⎪⎨=⎪⎩绕z 轴旋转形成的曲面S 的方程。

解：建立旋转面、锥面与柱面的方程的一般方法是等效变换静点和动点的所满足的几何关系。

设曲线L ()0
z f y x =⎧⎪⎨=⎪⎩存在一静点()000,,P y z ，对任意在旋转面上的动点(), , Q x y z ，其坐标
关系为
0022200 z z z z L x y y y =⎧=⎧⎪⎪⇒⎨⎨+==⎪⎪⎩⎩的方程，得曲面S 的方程为 (
)00z f y z f =⇒=
【例19】求直线1L ：
311
231x y z --+==
绕直线1L ：23
x y =⎧⎨=⎩旋转一周的曲面方程。

解：设直线1L 上的一静点()000, , P x y z ，对应的旋转曲面上任意动点(), , Q x y z 。

()02, 3, O z '为旋转中心，显然0z z =，则
()()()()2
2
2
2
002323O P O Q x y x y ''=⇒-+-=-+- 又()000, , P x y z 在1L 上，故有：
0000003225
13341x t x z y t y z z t z z =+=+⎧⎧⎪⎪=+⇒=+⎨⎨⎪⎪=-+=⎩⎩ 代入 ()()()()2222
002323x y x y -+-=-+-得所求的曲面方程为： 22213461830x y z x y z +----+=
【例20】求准线(), 0f x y z h
=⎧⎪⎨=⎪⎩，母线方向为s ai b j ck =++的柱面方程。

解：设(), , P x y z （动点）为所求柱面上的一点，按该题的含义，形成柱面的是准线沿母线平移生成，故必在准线上有一点()000, , Q x y z （静点）满足||PQ s ，即
000
x x at y x bt z x ct =+⎧⎪
=+⎨⎪=+⎩
而()000, , Q x y z 满足()000, 0f x y z h
=⎧⎪⎨=⎪⎩，从而000h z x x a h z c h z z ct t h z c y y b c -⎧
=+⎪-⎪==+⇒=⇒⎨-⎪=+⎪⎩ 所以所求的旋转曲面方程为： ()(), 0a b f x h z y h z c c ⎛⎫
+-+-= ⎪⎝⎭
动静转换法思想是求旋转曲面的方程重要技巧。

• 重点注意一：直线的一般式、点向式与参数式相互转化技巧：
一般式 :L ()()11111111222222220,,0,,A x B y C z D n A B C A x B y C z D n A B C ⎧+++==⎪⎨+++==⎪⎩
点向式（标准式）:
L 000
x x y y z z l m n
---== (),,S l m n = 参数式:L 000x x lt
y y mt z z nt
=+⎧⎪
=+⎨⎪=+⎩ 000(,,)M x y z 为直线上已知点， 方向数：(),,S l m n =
点向式与参数式相互转化很明显，在点向式中任取两个方程即可转化为一般式，而一般式化为点向式却没那么容易，一般的思考方法如下：
第一步：求直线的方向数 ()12,,S n n l m n =⨯=；
第二步：视一个变量为常数，如视z 为常数，解出()()
x z y z ϕψ=⎧⎪⎨=⎪⎩，任取一个z 值，便得
到一个确定点的坐标()000, , x y z ；
第三步：根据点向式确定直线方程。

【例21】使用点向式（又称对称式）方程及参数方程表示直线10
2340x y z x y z +++=⎧⎨-++=⎩。

解：先找出这直线上的一点()000, , x y z ，例如，可以取01x =，代入方程组，得
()()000102, , 1, 0, 2234036x y z y z x y z x y z y z +++=+=-⎧⎧⇒⇒=-⎨⎨-++=-=⎩⎩
下面再找出这直线的方向向量s ，由于两平面的交线与这两平面的法线向量()11, 1, 1, n =
()22, 1, 3n =-都垂直，所以可取
1211143213i j k
s n n i j k =⨯==---
故直线的点向式方程为：
13
413
x y z -+==
-- 令 141341323x t
x y z t y t z t
=+⎧-+⎪
===⇒=-⎨--⎪=--⎩
就是参数方程。

•重点注意二：在求直线或平面方程中，其本质上是在操作直线的s 和平面的n 之间的关
系，也就是向量代数的运算关系，如正交或平行等等。

而求曲面方程，本质上是在操作母
线和准线。

第四章 向量代数与空间解析模拟题
1、设向量{}{}4, 5, 3,2, 3, 6a b =-=，求对应的单位向量0a 以及b 的方向余弦。

并求实
数μλ,满足什么条件才能使b a μλ+与z 轴垂直。

2、求过直线4310520x y z x y z -+-=⎧⎨+-+=⎩
，且与平面0252=++-z y x 垂直的平面方程。

3、求过点()1, 0, 1M -且垂直于直线
14132z y x =-+=-又与直线2
1311z y x =-=+相交的直线方程。

4、设直线L ：030
x y b x ay z ++=⎧⎨+--=⎩在平面π上，而平面π过点()1, 2, 5-且垂直于直线1
24123--=--=-z y x ，求b a ,的值。

5、求通过直线204236
x y x y z +=⎧⎨++=⎩且切于球面4222=++z y x 的平面方程。

6．曲线C 22291
x y z x z ⎧++=⎨+=⎩在xoz 平面上的投影。

7．求123419092140 32020x y x y L L y z x z +-=++=⎧⎧⎨⎨++=+-=⎩⎩
与的公垂线方程。

8．某平面垂直xy 平面，并通过由()1, 1, 1P -到直线010
x L y z =⎧⎨-+=⎩的垂线，求平面方程。

第四章 向量代数与空间解析几何模拟题答案
1、⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=503,50
5,5040a ， b 的方向余弦为μλγβα2;76cos ,73cos ,72cos ==== 。

2、05147=++y x
3、25
116131-==+z y x 4、2,5-=-=b a
5、2=z
6、110
22x z x y +=⎧-<⎨=⎩且满足条件。

7、162717900142586+31200326x y z x y z x y z ++-=⎧--+==⎨+-=-⎩
或 8、210x y ++=。