初三数学函数知识点总结

初三数学函数知识点总结

二次函数知识点总结

一、二次函数概念：

1．二次函数的概念

（1）一般地形如2

=++（a b c

y ax bx c

，，是常数，a≠0）的函数，叫二次函数。（2）这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而b c

，可以为零．二次函数的定义域(x)是全体实数．

2. 二次函数2

=++的结构特征：

y ax bx c

⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．

，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．

⑵a b c

3、二次函数解析式的几种形式

（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）

（2）顶点式：y=a(x-h)2+k [抛物线的顶点P（ h ，k）]

（3）交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线] 其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，a≠0.x1,x2=(-b±√b2-4ac)/2a

在3种形式的互相转化中，有如下关系:

h=-b/2a ； k=(4ac-b2)/4a ； x1,x2 =(-b±√b2-4ac)/2a

说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y轴上；当k＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点,如果图像经过原点，并且对称轴是y轴，则设y=ax2；如果对称轴是y 轴，但不过原点，则设y=ax2+k

3、抛物线的性质

1.抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线 x = -b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）

2.抛物线有一个顶点P:

顶点坐标为 P [ -b/2a ，(4ac-b 2

)/4a ]。

当-b/2a=0时，P 在y 轴上；当Δ= b 2-4ac=0时，P 在x 轴上。 3.二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小。 当a ＞0时，抛物线向上开口； 当a ＜0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则抛物线的开口越小。|a|越小开口就越大. 4.一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置。 当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴x = -b/2a 在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴x = -b/2a 在y 轴右。 5.常数项c 决定抛物线与y 轴交点。 抛物线与y 轴交于（0，c ） 6.抛物线与x 轴交点个数

Δ= b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点。 Δ= b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点。 Δ= b2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点。 7.二次函数与一元二次方程

二次函数（以下称函数）y=ax 2+bx+c ，当y=0时，二次函数为关于x 的一元二次方程（以下称方程），即ax 2+bx+c=0 .

此时，函数图像与x 轴有无交点即方程有无实数根。函数与x 轴交点的横坐标即为方程的根。二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

a 的符号

开口方向 顶点坐标 对称轴

性质

0a >

向上

()00，

y 轴

0x >，y 随x 的增大而增大；0x <，y 随

x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0．

0a <

向下

()00，

y 轴

0x >，y 随x 的增大而减小；0x <，y 随

x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0．

2. 2y ax c =+的性质：上加下减。

3. ()2

y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2

y a x h k =-+的性质：

a 的符号

开口方向 顶点坐标 对称轴

性质

0a > 向上

()0c ，

y 轴

0x >时，y 随x 的增大而增大；0

x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有

最小值c ．

0a < 向下

()0c ，

y 轴

0x >时，y 随x 的增大而减小；0

x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有

最大值c ．

a 的符号

开口方向 顶点坐标 对称轴

性质

0a > 向上

()0h ，

X=h

x h >时，y 随x 的增大而增大；x h

<时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有

最小值0．

0a < 向下

()0h ，

X=h

x h >时，y 随x 的增大而减小；x h

<时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有

最大值0．

a 的符号

开口方向 顶点坐标 对称轴

性质

0a > 向上

()h k ，

X=h

x h >时，y 随x 的增大而增大；x h

<时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有

最小值k ．

0a < 向下

()h k ，

X=h

x h >时，y 随x 的增大而减小；x h

<时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有

最大值k ．