方程根的联系,判断一元二次方程根的存在 性及根的个数.51页PPT
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一元二次方程一元二次方程的根与系数的关系ppt
两个根的和等于一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数。
$x_1\cdot x_2=c/a$
两个根的积等于常数项除以二次项系数所得的商。
03
一元二次方程的系数
系数与方程的解
确定方程的系数
在一元二次方程中，系数包括二次项、一次项和常数项。这 些系数来自以确定方程的解。解的公式
通过代入公式，可以将一元二次方程的解计算出来。公式为 ：x = [-b ± sqrt(b² - 4ac)] / (2a)。
ax²+bx+c=0，其中a、b、c为实数，且a≠0
一元二次方程性质
当a>0时，有两个不相等的实数根；当a=0且b≠0时，有一个 实数根；当a<0时，没有实数根。
02
一元二次方程的根
根的类型与判别式
1 2
实数根
当判别式$b^2-4ac\geq0$时，方程有两个不 相等的实数根。
虚数根
当判别式$b^2-4ac<0$时，方程有一对共轭虚 数根。
结合数学建模思想 ，解决现实问题
探索方程根的分布 与特征
学习建议
熟练掌握一元二次方程根与系数的关系 培养数学思维和计算能力
拓展数学知识面，提高综合素质
THANKS
3
重根
当判别式$b^2-4ac=0$时，方程有两个相等的 实数根。
特殊方程的根
恒等方程
当$b=0$，$c=0$时，方程有一组特殊解$x_1=0$，$x_2=0$。
一次因式分解
当$b=0$时，方程可因式分解为$x(x-a)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=a$。
根与系数的关系
$x_1+x_2=-b/a$
一元二次方程一元二次方程的根与 系数的关系ppt
$x_1\cdot x_2=c/a$
两个根的积等于常数项除以二次项系数所得的商。
03
一元二次方程的系数
系数与方程的解
确定方程的系数
在一元二次方程中，系数包括二次项、一次项和常数项。这 些系数来自以确定方程的解。解的公式
通过代入公式，可以将一元二次方程的解计算出来。公式为 ：x = [-b ± sqrt(b² - 4ac)] / (2a)。
ax²+bx+c=0，其中a、b、c为实数，且a≠0
一元二次方程性质
当a>0时，有两个不相等的实数根；当a=0且b≠0时，有一个 实数根；当a<0时，没有实数根。
02
一元二次方程的根
根的类型与判别式
1 2
实数根
当判别式$b^2-4ac\geq0$时，方程有两个不 相等的实数根。
虚数根
当判别式$b^2-4ac<0$时，方程有一对共轭虚 数根。
结合数学建模思想 ，解决现实问题
探索方程根的分布 与特征
学习建议
熟练掌握一元二次方程根与系数的关系 培养数学思维和计算能力
拓展数学知识面，提高综合素质
THANKS
3
重根
当判别式$b^2-4ac=0$时，方程有两个相等的 实数根。
特殊方程的根
恒等方程
当$b=0$，$c=0$时，方程有一组特殊解$x_1=0$，$x_2=0$。
一次因式分解
当$b=0$时，方程可因式分解为$x(x-a)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=a$。
根与系数的关系
$x_1+x_2=-b/a$
一元二次方程一元二次方程的根与 系数的关系ppt
一元二次方程的根的分布PPT教学课件
y
y
y
a
0
cb
x 0 ac
b
x 0a
bx
2020/12/09
3
例（1）方程x2+(m-3)x+m=0有 两个正根，求m的取值范围；
（2）方程x2+(m-3)x+m=0有 两个负根，求m的取值范围；
（3）方程x2+(m-3)x+m=0有 一正一负根，求m的取值范围；
（4）方程x2+(m-3)x+m=0有两个
一元二次方程的根的分布Leabharlann 2020/12/091
对于函数y=f(x)，我们把使f(x)＝0的实
数x叫做函数y=f(x)的零点。在坐标系中
y=f(x)的图像与x轴的公共点是(x, 0)点.
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)有零点
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
2020/12/09
2
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图 象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点。
（7）方程x2+(m-3)x+m=0的一根
大于-2小于0，另一根大于0小于4，
求m的取值范围；
2020/12/09
6
（8）方程x2+(m-3)x+m=0的两根 都在(0，2)内，求m的取值范围；
（9）方程x2+(m-3)x+m=0有两根 且仅有一根在(0，2)内，求m的取 值范围；
2020/12/09
根都小于1，求m的取值范围；
2020/12/09
4
1. 抛物线开口方向
一元二次方程的根的判别式PPT课件
一元二次方程的根的判别式
想一想
对于一元二次方程 ax bx c 0(a 0) 你能谈论一下它的根的情况吗? 在什么情况下，一元二次方程有解?有什 么样的解? 什么情况下一元二次方程无解?
2
练一练
1.不解方程，判别下列方程的根的情况。
1 2 x 5 x 4 0 2 2 7t 5t 2 0 3 x( x 1) 3 2 4 3 y 25 10 3 y
问题三：
ABC
x
2
1 a x (2b c ) 0 4
a b c
a b c
b 3a 2c
ABC
问题四：
求证：关于 x 的一元二次方程 2 2 x +2(m+1)x+2 m +2m+2=0 没有实数根
问题四：
若关于x的一元二次方程x2+2x-m+1=0没有实数 根，求证：关于y的方程y2+my+12m=1一定有两个不 相等的实数根。
2
问题一：已知方程及其根的情况，求字母的取值范围。
2 2 mx 8m( x 1) x ，当 m 为何 一元二次方程
值时，
（1） 方程有两个不相等的实数根； （2） 有两个相等的实数根； （3） 没有实数根。
问题二.若方程2x2-(k-1)x+8=0有两个相等的 实数根，求k的值
解：Βιβλιοθήκη 提示：将y2+my+12m=1化为一般形式 y2+my+12m-1=0
①本节课你学到了什么知识？ 掌握了什么方法？ ②本节课你有什么收获？还有 什么疑问?
想一想
对于一元二次方程 ax bx c 0(a 0) 你能谈论一下它的根的情况吗? 在什么情况下，一元二次方程有解?有什 么样的解? 什么情况下一元二次方程无解?
2
练一练
1.不解方程，判别下列方程的根的情况。
1 2 x 5 x 4 0 2 2 7t 5t 2 0 3 x( x 1) 3 2 4 3 y 25 10 3 y
问题三：
ABC
x
2
1 a x (2b c ) 0 4
a b c
a b c
b 3a 2c
ABC
问题四：
求证：关于 x 的一元二次方程 2 2 x +2(m+1)x+2 m +2m+2=0 没有实数根
问题四：
若关于x的一元二次方程x2+2x-m+1=0没有实数 根，求证：关于y的方程y2+my+12m=1一定有两个不 相等的实数根。
2
问题一：已知方程及其根的情况，求字母的取值范围。
2 2 mx 8m( x 1) x ，当 m 为何 一元二次方程
值时，
（1） 方程有两个不相等的实数根； （2） 有两个相等的实数根； （3） 没有实数根。
问题二.若方程2x2-(k-1)x+8=0有两个相等的 实数根，求k的值
解：Βιβλιοθήκη 提示：将y2+my+12m=1化为一般形式 y2+my+12m-1=0
①本节课你学到了什么知识？ 掌握了什么方法？ ②本节课你有什么收获？还有 什么疑问?
人教版初中数学21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 课件
答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2.
探究新知
21.2 解一元二次方程/
素养考点 3 利用根与系数的关系求两根的平方和、倒数和
例3 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、 倒数和.
解：根据根与系数的关系可知：
x1
x2
3 2
, x1
x2
1. 2
1∵ x1 x2 2 x12 2x1x2 x22 ,
（2）因为k=-7,所以 x1 x2 7, x1x2 4. 则：(x1 x2)2 (x1 x2)2 4x1x2 72 4 (4) 65.
课堂检测
21.2 解一元二次方程/
能力提升题
设x1,x2是方程3x2 + 4x – 3 = 0的两个根.利用根系数之间的关系,
求下列各式的值.
（1）x2 + 7x + 6 = 0; 解：这里 a = 1 , b = 7 , c = 6. Δ = b2 - 4ac = 72 – 4 × 1 × 6 = 25 > 0. ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么 x1 + x2 = -7 , x1 x2 = 6.
探究新知
课堂检测
21.2 解一元二次方程/
3.已知方程 3x2 -19x + m=0的一个根是1，求它的另
一个根及m的值.
解：将x = 1代入方程中： 3 -19 + m = 0.
解得 m = 16,
设另一个根为x1,则：
1 × x1 =
c 16 . a3
∴x1 =
16 . 3
课堂检测
21.2 解一元二次方程/
21.2 解一元二次方程/
（2）2x2 - 3x - 2 = 0.
探究新知
21.2 解一元二次方程/
素养考点 3 利用根与系数的关系求两根的平方和、倒数和
例3 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、 倒数和.
解：根据根与系数的关系可知：
x1
x2
3 2
, x1
x2
1. 2
1∵ x1 x2 2 x12 2x1x2 x22 ,
（2）因为k=-7,所以 x1 x2 7, x1x2 4. 则：(x1 x2)2 (x1 x2)2 4x1x2 72 4 (4) 65.
课堂检测
21.2 解一元二次方程/
能力提升题
设x1,x2是方程3x2 + 4x – 3 = 0的两个根.利用根系数之间的关系,
求下列各式的值.
（1）x2 + 7x + 6 = 0; 解：这里 a = 1 , b = 7 , c = 6. Δ = b2 - 4ac = 72 – 4 × 1 × 6 = 25 > 0. ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么 x1 + x2 = -7 , x1 x2 = 6.
探究新知
课堂检测
21.2 解一元二次方程/
3.已知方程 3x2 -19x + m=0的一个根是1，求它的另
一个根及m的值.
解：将x = 1代入方程中： 3 -19 + m = 0.
解得 m = 16,
设另一个根为x1,则：
1 × x1 =
c 16 . a3
∴x1 =
16 . 3
课堂检测
21.2 解一元二次方程/
21.2 解一元二次方程/
（2）2x2 - 3x - 2 = 0.
一元二次方程的根与系数的关系ppt课件
2
2
3
1 13
2 ;
2
2 4
2.整体代入：运用韦
达定理.
【整体思想】
【类比学习】常见的变式求值
利用根与系数的关系，求一元二次
方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根x1，x2的
相关代数式的值.
x1 x2 x1 x2
( x1 x2 ) 2 2 x1 x2
1
2
【发现、猜想】
当二次项系数不为1时，两根之
和等于一次项系数与二次项系数
的比的相反数；
两根之积等于常数项与二次项系数
的比.
探究新知（二）
【类比学习 】当二次项系数不为1时， 一元二次方程的两
根之和、两根之积与系数有什么关系呢？
如：
9x2 6x 1 0
方法2 二次项系数化为1，得：
6
1
两根之积等于常数项.
【猜想】当二次项系数为1时，方程 x2+px+q=0的两根为 x1，x2
x1+x2= -p , x1 ·x2=q
探究新知（一）
【验证】方程(x－x1)(x－x2)＝0 (x1，x2为已知数)的两根为x1
和x2，将方程化为x2＋px＋q＝0的形式，你能看出x1，x2与
p，q之间的关系吗？
∵x1+x2＝6，x1＝2，
∴x2＝4.
又∵x1 ·x2＝p2－2p＋5＝2×4＝8，
∴p2－2p－3＝0，
解得 p＝3或p＝－1.
答：方程的另一个根是4 ，p＝3或p＝－1.
【解题方法】
知：二次项和一次项系数
求：常数项
①先运用两根之和求出另一根；
2
3
1 13
2 ;
2
2 4
2.整体代入：运用韦
达定理.
【整体思想】
【类比学习】常见的变式求值
利用根与系数的关系，求一元二次
方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根x1，x2的
相关代数式的值.
x1 x2 x1 x2
( x1 x2 ) 2 2 x1 x2
1
2
【发现、猜想】
当二次项系数不为1时，两根之
和等于一次项系数与二次项系数
的比的相反数；
两根之积等于常数项与二次项系数
的比.
探究新知（二）
【类比学习 】当二次项系数不为1时， 一元二次方程的两
根之和、两根之积与系数有什么关系呢？
如：
9x2 6x 1 0
方法2 二次项系数化为1，得：
6
1
两根之积等于常数项.
【猜想】当二次项系数为1时，方程 x2+px+q=0的两根为 x1，x2
x1+x2= -p , x1 ·x2=q
探究新知（一）
【验证】方程(x－x1)(x－x2)＝0 (x1，x2为已知数)的两根为x1
和x2，将方程化为x2＋px＋q＝0的形式，你能看出x1，x2与
p，q之间的关系吗？
∵x1+x2＝6，x1＝2，
∴x2＝4.
又∵x1 ·x2＝p2－2p＋5＝2×4＝8，
∴p2－2p－3＝0，
解得 p＝3或p＝－1.
答：方程的另一个根是4 ，p＝3或p＝－1.
【解题方法】
知：二次项和一次项系数
求：常数项
①先运用两根之和求出另一根；
《一元二次方程的根与系数的关系》课件
•引言•一元二次方程的基本概念•一元二次方程的根与系数的关系•案例分析目•练习与巩固•总结与回顾录0102一元二次方程是数学学习中的重要内容，是初中数学的核心知识点之一。
掌握一元二次方程的解法有助于学生更好地理解其他高级的数学概念，提高数学成绩。
学习一元二次方程还有助于培养学生的逻辑思维和解决问题的能力，对于学生的长远发展具有重要意义。
学习一元二次方程的重要性示例公式法因式分解法图像法030201根的判别式根与系数的关系一元二次方程的根的性质根的判别式是二次方程解的公式，它基于方程的系数，可以判断方程是否有实数解、两个不同的实数解或相同的实数解。
根的判别式详细描述总结词根与系数的关系推导是一元二次方程求解的关键步骤。
详细描述通过配方、因式分解等数学方法，将一元二次方程转化为两个一次方程，再解这两个一次方程得到原方程的解。
同时，根据判别式的性质，可以判断出方程的解的情况。
详细描述案例一：实际问题中的一元二次方程求解总结词在实际问题中，一元二次方程通常出现在投资、增长率等经济问题的数学模型中。
详细描述例如，某公司预计未来三年的年利润为10%的增长率，假设第一年的利润为100万元，求第二、三年的利润。
此问题可以通过一元二次方程求解得到。
案例二：数学竞赛中的一元二次方程求解总结词详细描述在物理问题中，一元二次方程通常出现在与运动、力等相关的物理公式中。
详细描述例如，在自由落体运动中，物体下落的距离h与时间t的关系可以表示为h = -gt² + v0t + h0，其中g是重力加速度，v0是初速度，h0是初始高度。
我们可以使用一元二次方程来求解时间t。
总结词案例三：物理问题中的一元二次方程求解VS总结词：强化基础详细描述：设计一系列简单的一元二次方程题目，旨在帮助学生掌握解一元二次方程的基本方法，并熟悉根与系数的关系。
示例题目：$2x^{2} - 4x = 0$，$3x^{2} + 5x = 0$等。
《一元二次方程的根与系数的关系》一元二次方程PPT赏析教学课件
3 2
2
2
1 2
13 ; 4
2 1
x1
1 x2
x1 x2 x1 x2
3 2
1 2
3.
设x1,x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则:
（1）x1x2 1+x2x=22
4
1 , (2)x1·x2= 14
,
(3)( x1 x2 ) 2 12 ,
(4)
.
例4：设x1，x2是方程 x2 -2(k - 1)x + k2 =0 的两个实数根，且x12
归纳
知1－导
方程两个根的和、积与系数分别有如下关系： x1＋x2＝－p，x1x2＝q.
知识点
知1－导
思考2 一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，二
次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数
又有怎样的关系呢？
归纳
知1－导
方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：
b
c
x1 x2 a , x1 x2 a .
（来自《典中点》）
知2－练
2 等腰三角形三边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元
二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为( )
A．9
B．10
C．9或10
D．8或10
（来自《典中点》）
知2－练
3 已知关于x的方程x2＋ax＋a－2＝0.
(1)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根； (2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
（来自《点拨》）
知2－讲
例4 方程x2＋2kx＋k2－2k＋1＝0的两个实数根x1，x2满 导引：足由xx1122＋＋xx2222＝＝4x，12＋则2kx的1·值x2＋为x_2_2_－k_＝_2_x1_1·_x．2＝(x1＋x2)2－2x1·x2
一元二次方程根的判别式、根与系数关系(PPT)5-4
解：∵方程x²+2ax+1=0有两个不相等的实根 ∴Δ 1=4a²-4＞0 既a²＞1 方程②中a＞1 ∴ 2a²-1＞1≠0 既方程②为一元二次方程 Δ 2=4a²-4（2a-1）2=-4（4a-1）（a-1） ∵a²＞1 ∴a²-1＞0 ∴（4a²-1）＞0 2=-4（4a²-1）（a²-1）<0 ∴方程②无实根
例4：求证关于x的方程x²-（m+2）x+2m-1=0有两个不相等的实根。
证明：△=[-（m+2）] 2-4（2m+1）=m2 -4m+8=（m-2）2 + 4 ∵不论m为何实数（m-2）2≥0 ∴（方程x²-（m+2）x+2m-1=0有两个不相等的实根
例5：已知a是实数且方程x²+2ax+1=0 ①有两个不相等的实根。试判别方程 （2a 2-1）x²+2ax+2a 2-1=0 ②没有实根
一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式是一个比较重要的知识点，它的应用很广泛，既可以 用来判断一元二次方程根的情况，还是后续知识点的基础和准备。另一方面， 根的判别式也能独立形成综合题。
一元二次方程ax 2＋bx＋c＝0（a≠0）的判别式：△=b 2－4ac
△＞0方程有两个不相等的实数根． △=0方程有两个相等的实数根． △＜0方程没有实数根． △≥0方程有两个实数根．
上述命题的逆命题也正确
④形不好：这件衣服的手工～。⑤动表示程度极深；不得了（用在“得”字后做补语）：累得～｜大街上热闹得～。 【不省人事】①指人昏迷，失去知觉。 ②指不懂人情世故。 【不幸】①形不幸运；使人失望、伤心、痛苦的：～的消息。②形表示不希望发生而竟然发生：～身亡｜～而言中。③名指灾祸：惨 遭～。 【不休】动不停止（用作补语）：争；https:// 绝地求生辅助；论～｜喋喋～。 【不修边幅】形容不注意衣着、容貌的整洁。 【不 朽】动永不磨灭（多用于抽象事物）：～的业绩｜人民英雄永垂～。 【不锈钢】名具有抗腐蚀作用的合金钢，一般含铬量不低于％，有的还含镍、钛等元素。 多用来制造化工机件、耐热的机械零件、餐具等。 【不许】动①不允许：～说谎。②〈口〉不能（用于反问句）：何必非等我，你就～自己去吗？ 【不恤】 〈书〉动不顾及；不忧虑；不顾惜：～人言（不管别人的议论）。 【不学无术】没有学问，没有能力。 【不逊】形没有礼貌；骄傲；蛮横：出言～。 【不 言而喻】不用说就可以明白。 【不厌】动①不厌烦：～其详。②不排斥；不以为非：兵～诈。 【不扬】形（相貌）不好看：其貌～。 【不要】副表示禁止 和劝阻：～大声喧哗｜～麻痹大意。 【不要紧】①没有妨碍；不成问题：这病～，吃点儿就好｜路远也～，我们派车送你回去。②表面上似乎没有妨碍（下 文有转折）：你这么一叫～，把大伙儿都惊醒了。 【不要脸】不知羞耻（骂人的话）。 【不一】ī①形不相同（只做谓语，不做定语）：质量～｜长短～。 ②动书信用语，表示不一一详说：匆此～。 【不一而足】ī不止一种或一次，而是很多。 【不依】ī动①不听从；不依顺：孩子要什么，她没有～的。②不允 许；不宽容：～不饶｜你要不按时来，我可～你。 【不宜】动不适宜：这块地～种植水稻｜解决思想问题要耐心细致，～操之过急。 【不遗余力】用出全部 力量，一点也不保留。 【不已】动继续不停：鸡鸣～｜赞叹～。 【不以为然】不认为是对的，表示不同意（多含轻视意）：～地一笑｜他嘴上虽然没有说不 对，心里却～。 【不以为意】不把它放在心上，表示不重视，不认真对待。 【不义之财】ī不应该得到的或以不正当的手段获得的钱财。 【不亦乐乎】原意 是“不也是很快乐的吗？”（见于《论语?学而》）现常用来表示达到极点的意思：他每天东奔西跑，忙得～。 【不易之论】ī内容正确、不可更改的言论。 【不意】连不料；没想到：本想明日赴京，～大雨如注，不能起程。 【不翼而飞】①没有翅膀却能飞，比喻东西突然不见了。②形容消息、言论
例4：求证关于x的方程x²-（m+2）x+2m-1=0有两个不相等的实根。
证明：△=[-（m+2）] 2-4（2m+1）=m2 -4m+8=（m-2）2 + 4 ∵不论m为何实数（m-2）2≥0 ∴（方程x²-（m+2）x+2m-1=0有两个不相等的实根
例5：已知a是实数且方程x²+2ax+1=0 ①有两个不相等的实根。试判别方程 （2a 2-1）x²+2ax+2a 2-1=0 ②没有实根
一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式是一个比较重要的知识点，它的应用很广泛，既可以 用来判断一元二次方程根的情况，还是后续知识点的基础和准备。另一方面， 根的判别式也能独立形成综合题。
一元二次方程ax 2＋bx＋c＝0（a≠0）的判别式：△=b 2－4ac
△＞0方程有两个不相等的实数根． △=0方程有两个相等的实数根． △＜0方程没有实数根． △≥0方程有两个实数根．
上述命题的逆命题也正确
④形不好：这件衣服的手工～。⑤动表示程度极深；不得了（用在“得”字后做补语）：累得～｜大街上热闹得～。 【不省人事】①指人昏迷，失去知觉。 ②指不懂人情世故。 【不幸】①形不幸运；使人失望、伤心、痛苦的：～的消息。②形表示不希望发生而竟然发生：～身亡｜～而言中。③名指灾祸：惨 遭～。 【不休】动不停止（用作补语）：争；https:// 绝地求生辅助；论～｜喋喋～。 【不修边幅】形容不注意衣着、容貌的整洁。 【不 朽】动永不磨灭（多用于抽象事物）：～的业绩｜人民英雄永垂～。 【不锈钢】名具有抗腐蚀作用的合金钢，一般含铬量不低于％，有的还含镍、钛等元素。 多用来制造化工机件、耐热的机械零件、餐具等。 【不许】动①不允许：～说谎。②〈口〉不能（用于反问句）：何必非等我，你就～自己去吗？ 【不恤】 〈书〉动不顾及；不忧虑；不顾惜：～人言（不管别人的议论）。 【不学无术】没有学问，没有能力。 【不逊】形没有礼貌；骄傲；蛮横：出言～。 【不 言而喻】不用说就可以明白。 【不厌】动①不厌烦：～其详。②不排斥；不以为非：兵～诈。 【不扬】形（相貌）不好看：其貌～。 【不要】副表示禁止 和劝阻：～大声喧哗｜～麻痹大意。 【不要紧】①没有妨碍；不成问题：这病～，吃点儿就好｜路远也～，我们派车送你回去。②表面上似乎没有妨碍（下 文有转折）：你这么一叫～，把大伙儿都惊醒了。 【不要脸】不知羞耻（骂人的话）。 【不一】ī①形不相同（只做谓语，不做定语）：质量～｜长短～。 ②动书信用语，表示不一一详说：匆此～。 【不一而足】ī不止一种或一次，而是很多。 【不依】ī动①不听从；不依顺：孩子要什么，她没有～的。②不允 许；不宽容：～不饶｜你要不按时来，我可～你。 【不宜】动不适宜：这块地～种植水稻｜解决思想问题要耐心细致，～操之过急。 【不遗余力】用出全部 力量，一点也不保留。 【不已】动继续不停：鸡鸣～｜赞叹～。 【不以为然】不认为是对的，表示不同意（多含轻视意）：～地一笑｜他嘴上虽然没有说不 对，心里却～。 【不以为意】不把它放在心上，表示不重视，不认真对待。 【不义之财】ī不应该得到的或以不正当的手段获得的钱财。 【不亦乐乎】原意 是“不也是很快乐的吗？”（见于《论语?学而》）现常用来表示达到极点的意思：他每天东奔西跑，忙得～。 【不易之论】ī内容正确、不可更改的言论。 【不意】连不料；没想到：本想明日赴京，～大雨如注，不能起程。 【不翼而飞】①没有翅膀却能飞，比喻东西突然不见了。②形容消息、言论
8.5一元二次方程的根与系数的关系 (共19张PPT)
东平县初中数学
根与系数关系
如果关于x的方程 x2 pxq0
的两根是 x1 , x2 ,则:
如果方程二次项系数不为1呢?
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数
方 程 x1,, x2 x1,+ x2 x1. x2
学
2x2-3x-2=0
活
3x2-4x+1=0
动 三 问题：上面发现的结论在这里成立吗？请完善规律；
①用语言叙述发现的规律；
（３）（x1- x2）2
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例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一 个根是2 ,求它的另一个根及k的值。
东平县初中数学
1、已知方程3x2－19x+m=0的一 个根是1，求它的另一个根及m的 值。 2、设x1,x2是方程2x2＋4x－3=0 的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值。
1.x2 3x 1 0 2.3x2 2x 2
3.2x2 3x 0
4.4x2 1 2x
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2.设x1，x2是方程2x2+4x- 3=0的两个根， 利用根与系数的关系，求下列各式的值。
（1） (x1 1)( x2 1)
（2）
x2 x1 x1 x2
=
4ac 4a 2
=
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1、 x2 - 2x - 1=0 2、 2x2 - 3x + 12=0 3、 2x2 - 6x =0 4、 3x2 = 4
东平县初中数学
利用根与系数的关系,求下列方程的两根之 和、两根之积:
(1)x2+7x+6=0 (2)2x2-3x-2=0
东平县初中数学
1、下列方程中，两根的和与两根 的积各是多少？
一元二次方程根的判别式、根与系数关系(PPT)4-2
上述命题的逆命题也正确
宿者本应得的矿物质和太阳光。大量附生植物的重量可能会折断树干。许多兰花、凤梨科植物、蕨类植物和苔藓通常会是附生植物。凤梨科的附生植物会在 其叶腋和茎顶上累积水份而形成树上水池，一种复杂的水生食物链。少部分植物是食虫植物，如捕蝇草和茅膏菜。它们捕捉及消化小动物以获取矿物质，尤 其是氮。 主要价值编； 聚星：/ ； 辑 成千上万的植物物种被种植用来美化环境、提供绿荫、调整温度、降低风速、减少噪音、提供 隐私和防止水土流失。人们会在室内放置切花、干燥花和室内盆栽，室外则会设置草坪、荫树、观景树、灌木、藤蔓、多年生草本植物和花坛花草植物的意 象通常被使用于美术、建筑、性情、语言、照相、纺织、钱币、邮票、旗帜和臂章上头。活植物的艺术类型包括绿雕、盆景、插花和树墙等。观赏植物有时 会影响到历史，如郁金香狂热。植物是每年有数十亿美元的旅游产业的基本，包括到植物园、历史公园、国家公国、郁金香花田、雨林以及有多彩秋叶的森 林等地的旅行。 食用价值 实际上，所有人类的养分来源大多都直接或间接地依靠着陆生植物。绝大多数的人类的养分依靠谷物，尤其是玉米、小麦和稻米， 或者是其他主食如马铃薯、木薯和荚果等。其他被食用的植物部分还包括水果、蔬菜、坚果、香草、香料和食用花卉等。由植物制成的饮料包括咖啡、茶、 葡萄酒、啤酒等。糖主要是由甘蔗和甜菜中得到的。食用油和植物牛油来自玉米、大豆、芥花籽油、红花、向日葵、橄榄等等。食品添加剂包括阿拉伯树胶、 瓜尔胶、刺槐豆胶、淀粉和果胶等。 [9] 粮食作物 粮食 粮食 粮食指植物可供人类食用的部分。狭义的粮食单指谷物（cereal），即禾本科作物的种子（以及 例外情形的非禾本科的荞麦种子）。广义的粮食还要包括豆科植物的种子，以及马铃薯等植物可供食用的根或茎部。粮食所含营养物质主要为糖类（淀粉为 主），其次是蛋白质。联合国粮食及农业组织对粮食的定义包括三大类谷物，包括麦类、稻谷、粗粮（又称杂粮，即经常被用作动物饲料的粮食，包括大麦、 玉米、黑麦、燕麦、黑小麦、高粱）。中国在先秦即有五谷之说，指稻、黍、稷、麦、菽物种作物，其种子称作稻米、黍米、粟米、麦粒、菽豆。 蔬菜 蔬菜 蔬菜 蔬菜，是指可以做菜、烹饪成为食品的，除了谷物以外的其他植物（多属于草本）。生活中所指的蔬菜，常和“水果”分开讨论。不过也常和水果合称 为“蔬果”。另外，和“野菜”不同的地方，在于蔬菜经过人类长时间的育种，提高了口感、营养价值，甚至抗病力等特征，和原本的野生种已有明显差异， 人
宿者本应得的矿物质和太阳光。大量附生植物的重量可能会折断树干。许多兰花、凤梨科植物、蕨类植物和苔藓通常会是附生植物。凤梨科的附生植物会在 其叶腋和茎顶上累积水份而形成树上水池，一种复杂的水生食物链。少部分植物是食虫植物，如捕蝇草和茅膏菜。它们捕捉及消化小动物以获取矿物质，尤 其是氮。 主要价值编； 聚星：/ ； 辑 成千上万的植物物种被种植用来美化环境、提供绿荫、调整温度、降低风速、减少噪音、提供 隐私和防止水土流失。人们会在室内放置切花、干燥花和室内盆栽，室外则会设置草坪、荫树、观景树、灌木、藤蔓、多年生草本植物和花坛花草植物的意 象通常被使用于美术、建筑、性情、语言、照相、纺织、钱币、邮票、旗帜和臂章上头。活植物的艺术类型包括绿雕、盆景、插花和树墙等。观赏植物有时 会影响到历史，如郁金香狂热。植物是每年有数十亿美元的旅游产业的基本，包括到植物园、历史公园、国家公国、郁金香花田、雨林以及有多彩秋叶的森 林等地的旅行。 食用价值 实际上，所有人类的养分来源大多都直接或间接地依靠着陆生植物。绝大多数的人类的养分依靠谷物，尤其是玉米、小麦和稻米， 或者是其他主食如马铃薯、木薯和荚果等。其他被食用的植物部分还包括水果、蔬菜、坚果、香草、香料和食用花卉等。由植物制成的饮料包括咖啡、茶、 葡萄酒、啤酒等。糖主要是由甘蔗和甜菜中得到的。食用油和植物牛油来自玉米、大豆、芥花籽油、红花、向日葵、橄榄等等。食品添加剂包括阿拉伯树胶、 瓜尔胶、刺槐豆胶、淀粉和果胶等。 [9] 粮食作物 粮食 粮食 粮食指植物可供人类食用的部分。狭义的粮食单指谷物（cereal），即禾本科作物的种子（以及 例外情形的非禾本科的荞麦种子）。广义的粮食还要包括豆科植物的种子，以及马铃薯等植物可供食用的根或茎部。粮食所含营养物质主要为糖类（淀粉为 主），其次是蛋白质。联合国粮食及农业组织对粮食的定义包括三大类谷物，包括麦类、稻谷、粗粮（又称杂粮，即经常被用作动物饲料的粮食，包括大麦、 玉米、黑麦、燕麦、黑小麦、高粱）。中国在先秦即有五谷之说，指稻、黍、稷、麦、菽物种作物，其种子称作稻米、黍米、粟米、麦粒、菽豆。 蔬菜 蔬菜 蔬菜 蔬菜，是指可以做菜、烹饪成为食品的，除了谷物以外的其他植物（多属于草本）。生活中所指的蔬菜，常和“水果”分开讨论。不过也常和水果合称 为“蔬果”。另外，和“野菜”不同的地方，在于蔬菜经过人类长时间的育种，提高了口感、营养价值，甚至抗病力等特征，和原本的野生种已有明显差异， 人
一元二次方程根的判别式、根与系数关系(PPT)4-3
上述命题的逆命题也正确
有机化合物的羟基形成酯化物。动物与人的血液中硼的含量很低，并与膳食中镁的摄入有关，镁摄入低时，血液中硼的含量就增加。硼可在骨中蓄积，但尚 不清楚是何种形式。 硼普遍存在于蔬果中，是维持骨的健康和钙、磷、镁正常代谢所需要的微量元素之一。对停经后妇女防止钙质流失、预防骨质疏松症具 有功效，硼的缺乏会加重维生素D的缺乏；另一方面，硼也有助； 少儿模特培训加盟品牌 少儿模特培训加盟品牌 ；于提高男性睾丸 甾酮分泌量，强化肌肉，是运动员不可缺少的营养素。硼还有改善脑功能，提高反应能力的作用。虽然大多数人并不缺硼，但老年人有必要适当注意摄取。
一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式是一个比较重要的知识点，它的应用很广泛，既可以 用来判断一元二次方程根的情况，还是后续知识点的基础和准备。另一方面， 根的判别式也能独立形成综合题。
一元二次方程ax 2＋bx＋c＝0（a≠0）的判别式：△=b 2－4ac
△＞0方程有两个不相等的实数根． △=0方程有两个相等的实数根． △＜0方程没有实数根． △≥0方程有两个实数根．
解：∵方程x²+2ax+1=0有两个不相等的实根 ∴Δ 1=4a²-4＞0 既a²＞1 方程②中a＞1 ∴ 2a²-1＞1≠0 既方程②为一元二次方程 Δ 2=4a²-4（2a-1）2=-4（4a-1）（a-1） ∵a²＞1 ∴a²-1＞0 ∴（4a²-1）＞0 2=-4（4a²-1）（a²-1）<0 ∴方程②无实根
Hale Waihona Puke 例4：求证关于x的方程x²-（m+2）x+2m-1=0有两个不相等的实根。
证明：△=[-（m+2）] 2-4（2m+1）=m2 -4m+8=（m-2）2 + 4 ∵不论m为何实数（m-2）2≥0 ∴（m-2）2+4一定是正数 既△＞0 ∴方程x²-（m+2）x+2m-1=0有两个不相等的实根
有机化合物的羟基形成酯化物。动物与人的血液中硼的含量很低，并与膳食中镁的摄入有关，镁摄入低时，血液中硼的含量就增加。硼可在骨中蓄积，但尚 不清楚是何种形式。 硼普遍存在于蔬果中，是维持骨的健康和钙、磷、镁正常代谢所需要的微量元素之一。对停经后妇女防止钙质流失、预防骨质疏松症具 有功效，硼的缺乏会加重维生素D的缺乏；另一方面，硼也有助； 少儿模特培训加盟品牌 少儿模特培训加盟品牌 ；于提高男性睾丸 甾酮分泌量，强化肌肉，是运动员不可缺少的营养素。硼还有改善脑功能，提高反应能力的作用。虽然大多数人并不缺硼，但老年人有必要适当注意摄取。
一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式是一个比较重要的知识点，它的应用很广泛，既可以 用来判断一元二次方程根的情况，还是后续知识点的基础和准备。另一方面， 根的判别式也能独立形成综合题。
一元二次方程ax 2＋bx＋c＝0（a≠0）的判别式：△=b 2－4ac
△＞0方程有两个不相等的实数根． △=0方程有两个相等的实数根． △＜0方程没有实数根． △≥0方程有两个实数根．
解：∵方程x²+2ax+1=0有两个不相等的实根 ∴Δ 1=4a²-4＞0 既a²＞1 方程②中a＞1 ∴ 2a²-1＞1≠0 既方程②为一元二次方程 Δ 2=4a²-4（2a-1）2=-4（4a-1）（a-1） ∵a²＞1 ∴a²-1＞0 ∴（4a²-1）＞0 2=-4（4a²-1）（a²-1）<0 ∴方程②无实根
Hale Waihona Puke 例4：求证关于x的方程x²-（m+2）x+2m-1=0有两个不相等的实根。
证明：△=[-（m+2）] 2-4（2m+1）=m2 -4m+8=（m-2）2 + 4 ∵不论m为何实数（m-2）2≥0 ∴（m-2）2+4一定是正数 既△＞0 ∴方程x²-（m+2）x+2m-1=0有两个不相等的实根
一元二次方程的根与系数的关系：PPT课件
根与系数的基本关系
01
一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根 x1 和 x2 满足以 下关系
02
x1 + x2 = -b/a
03
x1 * x2 = c/a
04
这两个公式揭示了根与系数之间的基本关系，是求解一元二次方程的 关键。
根与系数的和与积的关系
01
根的和等于系数之比的 相反数：x1 + x2 = b/a
在不等式求解中的应用
利用一元二次方程的根与系数关系，可以将不等式转化为关于根的不等式，进而求 解。
当一元二次不等式的一个根已知时，可以利用根与系数的关系求出另一个根的范围， 从而确定不等式的解集。
对于一些特殊形式的一元二次不等式，可以直接利用根与系数的关系进行求解。
在函数图像中的应用
一元二次方程的根对应着函数图像的 顶点或交点，利用根与系数的关系可 以求出顶点的坐标或交点的坐标。
一元二次方程的根与系数的关系 ppt课件
contents
目录
• 引言 • 一元二次方程的根与系数的关系 • 一元二次方程的根的判别式 • 一元二次方程的根与系数关系的应用 • 典型例题解析 • 课程总结与回顾
01 引言
一元二次方程的定义
只含有一个未知数 （元）
是整式方程，即等号 两边都是整式
未知数的最高次数是 2（二次）
利用一元二次方程的根与系数关系， 可以求出函数图像的对称点、对称中 心等对称性质。
通过分析一元二次方程的根的性质， 可以判断函数图像的开口方向、对称 轴等性质。
05 典型例题解析
例题一：一元二次方程根与系数的关系
解析
根据一元二次方程的求根公式，我们有 x1 = [-b + sqrt(b^2 - 4ac)] / (2a) 和 x2 = [-b - sqrt(b^2 4ac)] / (2a)。将这两个表达式相加和相乘，即可得到 x1 + x2 = -b/a 和 x1 * x2 = c/a。
方程根的联系,判断一元二次方程根的存在 性及根的个数.共51页文档
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
方程根的联系,判断一元二次方程根的 存在 性及根的个数.
•
6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
•
7、心急吃不了热汤圆。
•
8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
•
9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
•
10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
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