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5.思维的敏捷性。
在数学学习中，思维的敏捷性主要表 现为能够缩短运算环节和推理过程，而这又 有赖于在正确前提下的速度训练。经过练习， 从中总结经验，进而概括出规律。并通过应 用而达到熟练的程度，从而产生思维的敏捷 性。因此，敏捷性又与概括性紧密相联，推 理的缩短取决于概括，“能‘立即’进行概 括的学生，也能‘立即’进行推理的缩短。”
培养思维能力 明确数学思想
2006年12月11日
问题提出的背景：
一、新课程的理想与一线教学的现实有很大的差 距
北师大教材是改革步伐最大的，它想让教师 们由呈现的内容，再根据学生情况来采用最适合 自己学生的思维培养方法。
而现实是很多教师（特别是没教过人教教材 的年青教师）看不透教材里隐含的内容，不清楚 什么是良好的思维品质，有哪些数学思想，在教 学中如何培养学生的思维能力，数学思想在教学 中如何呈现，有什么用等等问题有待讨论。
初中常见的数学思想 一、符号语言思想：
使用符号化语言和在其中引进“变元”，
是数学科学高度抽象性的要求，用含有变元的 符号组合来表示一般规律和规则，是作为经验 科学的“算学”，进到作为理论科学的“数学” 的第一标志，我国传统数学最大的弱点是没有 普遍贯彻符号化与变元表示的思想，因此在许 多方面难以表示数学的一般规律，这个弱点曾 长期阻碍我国数学的高度发展。
们要知道，我们所谓的批判性具有五个特点：（1）分 析性，即在思维活动中不断地分析解决问题所依据的 条件，反复验证业已拟定的假设、计划和方案；（2） 策略性，即能够根据当前任务的需要，调动自己已有 的知识经验，将它们组织为相应的解题策略或手段， 并使它们在解题中发挥作用；（3）全面性，即在思维 活动中能够客观地从各个侧面考虑问题，把握问题的 进展情况，善于进行自我评价，坚持正确计划，随时 修改错误方案；（4）独立性，即不为情景性暗示所左 右，不迷信权威，敢于对权威的观点提出疑问，不人 云亦云、盲目附和；（5）正确性，即思维过程严谨， 条理清晰，思维结果正确，结论实事求是。
二、集合思想 数系、点集、解集是集合的雏形和基础。 数系是中学数学中主要研究的对象，是立足于集
合概念之上的，随着数系的逐步扩展，实数与数轴上 点的对应关系，促使数形结合，逐步展开对各种数学 问题的讨论，为一元一次不等式的解集对应数轴上的 一个点集；又如数值函数可完全由其图象确定，该图 象是平面上的一个点集，对应着R×R的一个子集， 所以，数值函数是R×R的一个子集，可见，中学教 学中涉及的数学对象归跟到底都归结为集合。
三、方程与函数思想 函数是数集之间的一种特殊对应，它是反
映客观事物及其运动变化的一种重要形式，也 是解决实际问题的有力工具。函数思想的建立 是数学从常量数学转入变量数学的枢纽，使数 学能有效地揭示事物运动变化的规律，反映事 物（集合）间的相互联系，它不仅使数学由研 究状态进到研究过程，而且引起了传统的常量 数学观点的更新，诸如方程、不等式、数列以 及三角学等内容均可以统旧到函数思考下进行 研究。
3．思维的独创性。 中学生的独立编题能力迅速发展，
编题的抽象概括性也在发展，寻找新 颖解题方法的水平也在提高；初中生 还没有解题时的创造灵感表现，而高 中生同有灵感的萌芽。总之，中学阶 段数学思维的独创性在迅速发展，但 还不成熟。它的成熟比其它思维品质 要晚些。
4．思维的批判性。 学生当中经常有人对老师和教材提出异见，但我
基于问题，今天先论讨一些 理论层面的论述，具体的操作可 见欧光剑老师和伍述辉老师的专 题讲座。
良好的思维品质：
1．思维的深刻性。
数学思维的深刻性是学生在数学知识的学 习与应用过程中，在对事物的观察、比较、分 析、综合、抽象和概括的过程中，在归纳、演 绎、类比等推理过程中，在对自己的数学思想 方法的阐述过程中，都会体现出思维深刻性的 差异来。“刨根问底”、“打破沙锅问到底” 是深刻性的写照，“去粗取精，去伪存真，由 此及彼，由表及里”也是深刻性的体现。
数学是一个符号化的世界，数学符号就是数学的 语言----世界上最通用的一种语言，它是数学抽象物 的表现形式，是对现实世界数量关系的一种反映结果。
中小学数学教学过程中，无时无刻不贯穿着这一思想 的渗透，小学的填数题，其实就是方程问题，我们用 “方框”或“圆圈”等符号表示数，让学生有一种初 步的认识，到了中学，方程的引入充分的体现了这一 思想的应用，另外换元法等方法的渗透，更进一步让 符号化变元思想充分体现其优势，再次参数思想的引 入，使得对于一个比较复杂的问题根据问题的整体形 式寻找制约因素，抓住基本量，引入适当参数，联系 已知条件，使问题得到简洁可行的解答。
上述五种思维品质相辅相成，密不可分，组成一
个有机整体。其中，思维的深刻性是一切思维品质的 基础；灵活性和独创性是在深刻性基础上引伸出来的 两个思维品质，它们是交叉的关系，两者互为条件， 不过前者更具有广度和富有顺应性，后者则更具深度 和新颖性，前者是后者的基础，后者是前者的发展。 思维的批判性是在深刻性基础上发展起来的品质，只 有深刻的认识、周密的思考，才能全面而准确地作出 判断，同时，只有不断地进行自我批判、及时调节思 维过程，才能使主体更加深刻地揭示事物的本质和规 律。思维的敏捷性是以其它四个思维品质为必要前提 的，同时又是其它四个品质的具体表现。
2．思维的灵活性。 数学学习中思维灵活性往往表现
在随着具体条件而确定解题方向，并 能随着条件的变化而有的放矢地转化 解题方法；表现在从新的高度、新的 角度看待已知知识；还表现在从已知 的数学关系中看出新的数学关系。思 维的灵活性与思维的发散性有一致的 地方。发散思维的特点是多开端、灵 活、精致和新颖。
二、教师的教学理念有待更新 很多初级中学的教师对我说：我们ห้องสมุดไป่ตู้学
生基础太差了，数学知识的掌握都有问题， 哪里还有时间和精力能力谈什么思维能力 的培养。
三维目标不是三层目标，它们是相辅 相成的，相互促进，缺一不可。有意识地 培养思维能力，很多琐碎的知识方面的困 难是可以跨过的，类似于坐在直升飞机上 看森林，真面目清清楚楚。