数学物理方法-18 Laplace方程的格林函数法

[u
S
u 1 u ]dS [ udS dS r 4 2 r S S

1 u [ u ( P ) dS |P2 1 4 2 r S
dS] u(P1 )
S
u |P r 2
积分中值定理
其中，P1和P2分别表示小球面Sε上的两个点， 当ε0时， P1和P2 M0，那么上式的极限是 u lim[u ( P ) |P ] u ( M 0 ) 1 0 r
性质（1）：令u为调和函数，v=1，则
u dS 0 n
性质（2）平均值定理：设u在M0为中心、R为半径的 球内调和，球面上有一阶连续偏导数，则
1 u(M 0 ) 4 r 1 1 u [u r ]dS n n
u(M 0 ) 1 4R 2
M0 SR
格林函数法：格林公式
静电场场强（置于原点处的点电荷q在其周围空 间形成的电势场）
1 u 4 1 2 2 2 4r x y z q
求解任意点M(x, y, z)的梯度，计算时，令ε=q=1
1 1 1 x y z grad [ 3 , 3 , 3] 4 r 4 r r r x y z 3 3 3 进一步计算 u 1 1 1 ( r r r ) 4 r 4 x y z Δu u grad u
r 1 u 1 [u r 1 ]dS n n 4π

Ω
1 fdV r
给定f和Ω，体 积分可以求解。
此项根据不同边界条件求解， 求解方法待续……
格林函数法：调和函数的性质
第二格林公式
[uv vu]dV [u

v u v ]dS n n
四．在分析引入英国后，他是第一个沿着欧洲大陆的研究线索前进的英国数学家。他的
工作培育了数学物理学方面的剑桥学派，其中包括了近代很多伟大的数学物理学家， 如威廉.汤姆逊、斯托克斯（Stokes）、瑞利（Rayleigh）、麦克斯韦等。 五．1828年，格林自费出版了一本小册子《数学分析在电磁学理论中的应用》，当时并 未引起人们注意，后来被英国数学物理学家汤姆逊发现，并认识到它的巨大价值。 1854年，他将这篇论文重新发表在著名的数学期刊《数学杂志》上，此时格林已逝 世十三年了。格林的这篇论文，在数学和物理研究中，都有着重要的意义。 六．格林留下的著作虽然不多，但在现代数学物理方面具有举足轻重的地位，都是数学 物理中经典的内容。 七．格林那种自强不息的精神、自学成才的气节，深受赞扬。
拉普拉斯方程的格林函数法
分离变量法 积分变换法 行波法 格林函数法
热传导方程 扩散方程
拉普拉斯方程 势方程
波动方程
格林函数法是经典的数学物理方法，不仅在数学领域、在很多 工程技术领域应用广泛，如：量子力学、流体力学、材料科学、 地震工程、海洋工程、大气科学等等
Green(1793-1841)：英国数学家、物理学家
v v v P u ,Q u , R u x y z v uvdV u dS u vdV n
第一格林公式，其中n为曲面微元dS的外法向矢量。
格林函数法：从奥高公式到格林公式
第一格林公式
可交换位置
v uvdV u dS u vdV n
1 4 1 4

1 4 2
r 1 1 r 1 1 u 1 u [ u r ] dS [ u | r |r ]dS r n n 4 S r r S 2 1 u [ u ( r ) | ]dS r r S
1 lim r 4


r 1 u [u r 1 ]dS u(M 0 ) n n
1 u(M 0 ) 4


r 1 u 1 [u r 1 ]dS n n 4


1 udV r
第三格林公式，M0是Ω中任意一点，r是点M到M0的距离。 如果在边界Σ上u和∂u/ ∂n已知，且Δu在Ω上已知，则 第三格林公式暗示了一个解。
1 4
1 v u v u [0 u ]dV [u v ]dS [u v ]dS r n n n n V S
1 4
r 1 1 1 u [ u r ] dS n n 4
r 1 1 u [ u r ]dS n n S
u ( P)dS
性质（3）极值定理：设u在Ω内调和、在边界上连续 且不为常数，则：它的最大最小值在边界上达到。
格林函数法：格林函数
狄利克雷问题
u 0 u |
r 1 u 1 [u r 1 ]dS n n 4
在Ω上 Σ是Ω的边界
Laplace方程的特解形式（第三格林公式）
上述公式中，u和v交换位置，两式相减，得
[uv vu ]dV [u

v u v ]dS n n
称为第二格林公式 重要启示： 两个格林公式中，都存在Δu和Δv等项，正是Laplace 算子。 这或许是格林函数法的思想源头。 若求解未知函数u，我们有很大的自由选择函数v
2 2 2

q
4r
同样满足齐次Laplace方程。
1 0, r 0 这个函数作为v， 4r 代入格林公式，
v u [uv vu ]dV [u v ]dS n n
格林函数法：格林公式
1 v 1 0, r 0 4r 4r
以该点为中心的球，令半径趋于0
那么，Ω－Vε组成复连通域， 其表面是Σ+Sε
n
n
M0
Sε
Vε
格林函数法：格林公式
1 v 1 0, r 0 4r 4r
v u [uv vu ]dV [u v ]dS n n
v u [uv vu ]dV [u v ]dS n n V S
2
格林函数法：格林公式
1 4 1 1 [ 0 u ] dV r 4 V r 1 1 u 1 r 1 u 1 u lim [ u ( P ) |P2 ] ] u ( M 0 ) [ u r ] dS [ u r dS 1 0 n n 4 S n r n u lim[u ( P ) |P2 ] u ( M 0 ) 1 0 r
格林函数法：从奥高公式到格林公式
奥.高公式：
(

P Q R )dV Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z
其中，Ω是闭曲面Σ围成的空间。 取特定的P, Q, R，给定u(x, y, z), v(x, y, z)有二阶连 续偏导数，在边界上有连续的一阶偏导数
上式中， 表示外法线上的方向导数。 n
格林函数法：格林公式
1 4 1 1 [ 0 u ] dV r 4 V r 1 1 1 u [ u r ] dS n n 4 r 1 1 u [ u r ]dS n n S
v u [uv vu ]dV [u v ]dS n n
v ，而格林公式成立的前提 但是，v有奇性 lim r 0 条件是： u(x, y, z), v(x, y, z)在Ω内有二阶连续偏导 数，在边界Σ上有连续的一阶偏导数。 这种情况在数学上如何处理？ 挖去点M0(x0, y0, z0) Σ
2 2 1 3 x2 y z (r 3 5 r 3 3 5 r 3 3 5 ) 0 4 r r r
u满足齐次 Laplace方程
格林函数法：格林公式
静电场场强（置于非原点处(M0(x0, y0, z0))的点电 荷q在其周围空间形成的电势场）
1 u 4 q ( x x0 ) ( y y0 ) ( z x0 )
对于内界面Sε，方向导数如下
( cos cos cos ) n x y z r
格林函数法：格林公式
1 4 1 1 [ 0 u ] dV r 4 V r 1 1 1 u [ u r ] dS n n 4 n r r 1 1 u [ u r ]dS n n S n r
第三格林公式




1 u(M 0 ) 4
r 1 1 u [ u r ]dS n n
上式表明，调和函数在区域中的值，可以用它及它的导数 在区域边界上的值表示。 对于非齐次的情况，即泊松方程
u f ( x, y, z )
1 u(M 0 ) 4π

Σ
上式中， n
表示外法线上的方向导数，对于外界面Σ， 其表达式如下 cos cos cos
n x y z
n r
其中｛cosα, cosβ, cosγ｝是外界面Σ外法线n方向的单位矢量。
cos x r cos y r cos z r
u 0 u | ( x, y, z ) u f ( x, y, z ) u | ( x, y, z )
狄利克雷问题
格林函数法：基本思想
调和函数，即满足Laplace方程
u 0
1 u(M 0 ) 4 r 1 u 1 [u r 1 ]dS n n 4 1 udV r
一．格林出生在一个磨坊主家庭，童年辍学在父亲的磨坊干活，他一边干活一边自修数 学和物理。
二．格林在1833─当时他已经40岁，才以自费生的身份进入剑桥大学科尼斯学院学习，4
年后毕业获学士学位，1839年被聘为剑桥大学教授。 三．格林发展了电磁理论，他引入的位势等概念，其意义远远超出了解位势方程。他首 次研究了与求解数学物理边值问题密切相关的特殊函数─格林函数。
1 u(M 0 ) 4


r 1 u [ r 1 ]dS n n
格林函数法：格林函数
1 u(M 0 ) 4


r 1 u [ r 1 ]dS n n
努力方向： 既然方向导数值无法获得，是否能消去该部分呢？
r 1 u n
上式源于何处？第二格林公式
1 u(M 0 ) 4




1 udV r
结合上述两式，得
1 u(M 0 ) 4


r 1 [ r 1 ]dS n n
1 u(M 0 ) 4


r 1 u [ r 1 ]dS n n
思考：为什么不能将u=φ代入方向导数项。 至此，问题是不是就解决了呢？ u 未解决，因为方程的右端含有未知量 n
[uv vu]dV

v u [u v ]dS n n
取特殊的函数，v r 1 / 4 而来的。如果换成更一般的调 和函数 v g / 4 满足Δg=0，那么
1 4
gudV

1 4
[ g

u g u ]dS 0 n n