运筹学第2章-线性规划的对偶理论

❖ 影子价格不是市场价格，而是在现有技术和管理条件下， 新增单位资源所能够创造的价值，是特定企业的一种边 际价格；不同企业或同一企业不同时期，同种资源的影 子价格可能不同；当市场价格高于影子价格，可以卖出； 相反，则应买进，以获取更大收益
Ma例x：Z （ 2第x一1 章3例x22）
2 x1 2 x2 12
当原问题和对偶问题都取得最优解时，这 一对线性规划对应的目标函数值是相等的：
Zmax=Wmin
二、原问题和对偶问题的关系
1、对称形式的对偶关系
（1）定义：若原问题是
MaxZ c1 x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
s.t.a21
x1
a22
二、 手工进行灵敏度分析的基本原则 1、在最优表格的基础上进行； 2、尽量减少附加计算工作量；
5y3 3
，y
2
3
0
（用于生产第i种产 品的资源转让收益不 小于生产该种产品时 获得的利润）
对偶变量的经济意义可以解释为对工时及原材 料的单位定价 ；
若工厂自己不生产产品A、B和C，将现 有的工时及原材料转而接受外来加工时， 那么上述的价格系统能保证不亏本又最富 有竞争力（包工及原材料的总价格最低）
内，使得产品的总利润最大 。
MaxZ 2x1 3x 2
2x1 2x2 12
s.t.54xx12
16 15
x1, x 2 0
它的对偶问题就是一个价格系统，使在平衡了 劳动力和原材料的直接成本后，所确定的价格系统 最具有竞争力：
MinW 12y1 16y2 15y3
2y1 4y2
2
s.t.2y1y，1y
y1, y2, , ym 0
（2）对称形式的对偶关系的矩阵描述
MaxZ CX
MinW bY
（L）s.t.
AX b X 0
（D）
YA
s.t.
Y
C 0
（3）怎样从原始问题写出其对偶问题？
按照定义； 记忆法则：
“上、下”交换，“左、右”换位，
不等式变号，“极大”变“极小”
例 写出下面线性规划的对偶问题：
按照原始-对偶表直接写出 ； （3）原始-对偶表
原问题（或对偶问题） 对偶问题（或原问题）
目标函数 MaxZ
变量数：n个 变量 ≥0 变量 ≤0 变量 无约束
约束条件：m个 约束条件 ≤ 约束条件 ≥ 约束条件 =
目标函数 MinW
约束条件数：n个 约束条件 ≥ 约束条件 ≤ 约束条件 =
变量数：m个 变量 ≥0 变量 ≤0 无约束
√
×
（原问题是极小化问题，因此应从原始对偶 表的右边往左边查！）
三、对偶定理
对偶定理是揭示 原始问题的解与对偶问题的解之间重 要关系的
一系列性质。
对称性—— 对偶问题的对偶是原问题。
性质1 弱对偶性——如果 X j( j 1, ,n) 是原问题
的可行解，Yi(i 1, ,n)其对偶问题的可行解，则恒有：
变化对最优解的影响及其程度的分析过程称 为灵敏度分析或优化后分析。
2、灵敏度分析的内容：
目标函数的系数变化对最优解的影响 约束方程右端系数变化对最优解的影响 约束方程增加一个变量变化对最优解的影响 约束方程增加一个约束条件对最优解的影响
回答两个问题：
①这些参数在什麽范围内发生变化时，最优 基不变（即最优解或最优解结构不变）？ ②参数变化超出上述范围时，如何用最简便 的方法求出新的最优解？
继续以上步骤，直至求出最优解。
例5——用对偶单纯形法求解LP：
MinW 12y1 16y2 15y3 2 y1 4 y2 2
s.t. 2 y1 5y3 3 y1 0, y2 0, y3 0
§6、灵敏度分析
一、灵敏度分析的含义和内容
1、什么是灵敏度分析？ 研究线性规划模型某些参数或限制量的
4 y1 8y2 12y3 4
4 y1 8y2 12y3 4
s.t.
5y1 9 y2 13y3 2 6 y1 10y2 3
s.t.
5y1 9 y2 13y3 2 6 y1 10y2 3
y1符号不限, y2 0, y3 0 y1符号不限, y2 0, y3 0
bi y i
j 1
i 1
C X Yb
• 关于“界”的结果；
•极小化问题有下界——
推论1 极大化问题的任意一个可行解所对应的 目标函数值是其对偶问题最优目标函数值的一 个下界。
•极大化问题有上界——
推论2 极小化问题的任意一个可行解所对 应的目标函数值是其对偶问题最优目标函 数值的一个上界。
性质2 最优性 若xˆ j、yˆi 分别为对称形式对 偶线性规划的可行解，且两者目标函数的
第二章 线性规划的对偶理论
一、对偶问题的提出 1、 对偶思想举例：某工厂拥有一定生产 原材料时，该工厂考虑是自己进行产品生 产所赚的利润大还是将其原材料直接出售 给其它工厂时所以赚取的利润大的问题。
2、 换个角度审视生产计划问题
例：（第一章例2）要求制定一个生产计划
方案，在劳动力和原材料可能供应的范围
i 1,2, , m
x j 0 j 1,2, , n
(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ点：等式约束)
对偶问题
m
MinW bixi i 1
m
s.t. i1 aij yi cj
j 1,2, ,n
yi符号不限， i 1,2, ,m
（特点：对偶变量符号 不限，系数阵转置）
（2）怎样写出非对称形式的对偶问题？ 把一个等式约束写成两个不等式约束， 再根据对称形式的对偶关系定义写出；
b列≥0——已得最优解； 检验数全部≤0 （非基变量检验数<0）
b列至少一个元素<0,转下步;
b列≥0——原始单纯形法； 至少一个检验数>0
基变换： 先确定换出变量——解答列中的负元素
（选最小的负元素）对应的基变量出基；
即
min i
(B1b)i
(B1b)i
0
(B1b)l ,则选xl或yl出基，
x2
a2n xn
b2
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
x1 , x2 , , xn 0
则定义其对偶问题为
MinW b1 y1 b2 y2 bm ym
a11 y1 a21 y2 am1 ym c1
s.t.a12
y1
a22
y2
am2 yn
§5、对偶单纯形法
一、什么是对偶单纯形法？
对偶单纯形法是应用对偶原理求解原始 线性规划的一种方法——在原始问题的单 纯形表格上进行对偶处理。
注意：不是解对偶问题的单纯形法！
二、单纯形法的求解过程就是： 在保持原始可行的前提下（b列保持≥0），
通过逐步迭代实现对偶可行（检验数行≤0） 。
对偶单纯形法思想： 换个角度考虑LP求解过程：保持对偶可行的 前提下（检验数行保持≤0） ，通过逐步迭代实 现原始可行（b列≥0，从非可行解变成可行解）。
c2
a1n y1 a2n y2 amn yn cn
y1, y2 , , ym 0
这两个式子之间的变换关系称为 “对称形式的对偶关系”。
原问题与对偶问题的对比：
若原问题
对偶问题
MaxZ c1x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12x2 a1n xn b1
s.t.a21
相应的行为主元行。
然后确定换入变量——原则是：在保持对偶 可行的前提下，减少原始问题的不可行性。
如果
min j
c
j
al'j
z
j
al'j
0
ck zk
a
' lk
(最小比值原则),则选 xk或yk 为换入变量，
相应的列为主元列，主元行和主元列交叉处
的元素
a
' lk
为主元素。
按主元素进行换基迭代（旋转运算、枢 运算），将主元素变成1，主元列变成单位向 量，得到新的单纯形表。
三、对偶单纯形法的实施
1、使用条件： ①检验数全部≤0；
②资源列至少一个元素 < 0；
2、实施对偶单纯形法的基本原则：
在保持对偶可行的前提下进行基变换——每一 次迭代过程中取出基变量中的一个负分量作为 换出变量去替换某个非基变量（作为换入变 量），使原始问题的非可行解向可行解靠近。
3、对偶单纯形法算法步骤： ①建立初始单纯形表，计算检验数行。
MaxZ 2x1 x2
s.t.53xx11
4x 2x
2 2
15 10
x1, x2 0
MinW 15y1 10y2
3y1 5y2 2 s.t.4y1 2y2 1
y1, y2 0
2、非对称形式的对偶关系：
（1） 原问题
n
MaxZ c j x j j 1
n
s.t. j1 aij x j bi
影子价格
❖ 第i个约束条件的影子价格的经济含义是：其 它条件不变的情况下，该资源单位的变化所 引起的目标函数最优值的变化量
❖ 在现有的技术和管理条件下，某种资源的影 子价格越大，说明该资源对目标增益的影响 越大，同时该资源越紧缺和贵重，应该给与 高度关注，通过降低消耗或设法补充，提高 收益
❖ 某种资源的影子价格为零，说明该资源相对富裕；一方 面可以转让该资源；另一方面，通过挖潜和增加对影子 价格大于零资源的投入，使原有的剩余资源充分利用， 甚至于成为新的紧缺资源
x1
a22
x2
a2nxn
b2
am1x1 am2 x2 amn xn bm
x1, x2 , , xn 0
MinW b1y1 b2 y2 bm ym