人教版高中数学必修一第三章单元测试卷:函数的应用(二)(含答案)

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高一数学人教A版必修1单元测评五:第三章函数的应用含答案试卷分析详解

高一数学人教A版必修1单元测评五:第三章函数的应用含答案试卷分析详解

本章知识结构本章测试1.若函数f(x)=121+x ,则该函数在(-∞,+∞)上是( ) A.单调递减无最小值 B.单调递减有最小值 C.单调递增无最大值 D.单调递增有最大值 思路解析:利用函数的图象就可以判断推出函数f(x)=121+x在(-∞,+∞)上是单调递减无最小值,故选A. 答案:A 2.设3x =71,则( ) A.-2<x<-1 B.-3<x<-2 C.-1<x<0 D.0<x<1 思路解析:利用对数函数将3x =71转化为x=log 371,再根据对数函数性质进行判断推出-2=log 391<x=log 371<log 331=-1,故选A.答案:A3.函数f(x)=21++x ax 在区间(-2,+∞)上单调递增,则实数a 的取值范围是( ) A.(0,21) B.(21,+∞)C.(-2,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)思路解析:已知函数f(x)=21++x ax 在区间(-2,+∞)上单调递增, 转化得f(x)=21++x ax =a+221+-x a 在区间(-2,+∞)上也单调递增,故1-2a <0⇒a >21.故选B.答案:B 4.函数f(x)=)34(log 122-+-x x 的定义域为( )A.(1,2)∪(2,3)B.(-∞,1)∪(3,+∞)C.(1,3)D.[1,3] 思路解析:f(x)=)34(log 122-+-x x 根据对数函数性质我们可以得到-x 2+4x-3>0,且-x 2+4x-3≠1可得{x|1<x <3且x ≠2}=,故选A.答案:A5.若函数f(x)是定义在R 上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,且f(2)=0,则使得f(x)<0的x 的取值范围是( )A.(-∞,2)B.(2,+∞)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-2,2) 思路解析:f(x)是定义在R 上的偶函数,则f(-x)=f(x),又f(x)在(-∞,0]上是减函数,且f(2)=0,则可以根据偶函数性质判断出使得f(x)<0的x 的取值范围是(-2,2),故选D. 答案:D6.已知实数a 、b 满足等式(21)a =(31)b,下列五个关系式,其中不可能成立的关系式有( ) ① 0<b<a ② a<b<0③ 0<a<b ④ b<a<0 ⑤ a=bA.1个B.2个C.3个D.4个 思路解析:已知实数a 、b 满足等式(21)a =(31)b,则根据幂函数性质可以判断出等式成立的条件,当a=b=0时等式可成立;当0<b <a 时等式可成立;当a <b <0时等式也成立,故不可能成立的关系式有两个,选B. 答案:B7.设0<a<1,函数f(x)=log a (a 2x -2a x -2),则使f(x)<0的x 的取值范围( ) A.(-∞,0) B.(0,+∞) C.(-∞,log a 3) D.(log a 3,+∞)思路解析:已知0<a <1,函数f(x)=log a (a 2x-2a x -2)<0,即求a 2x-2a x -2>1,a 2x-2a x -3>0⇒(a x -3)(a x +1)>0⇒a x <-1(舍)或a x >3,a x >3⇒x <log a 3. 答案:C 8.设a=22ln ,b=53ln ,c=55ln ,则( ) A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c思路解析:通过对数函数性质即可得到结果. 答案:C9.定义在(-∞,+∞)上的奇函数f(x)和偶函数g(x)在区间(-∞,0]上的图象关于x 轴对称,且f(x)为增函数,则下列各选项中能使不等式f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b)成立的是( ) A.a>b>0 B.a<b<0 C.ab>0 D.ab<0思路解析:已知定义在(-∞,+∞)上的奇函数f(x)和偶函数g(x)在区间(-∞,0]上的图象关于x 轴对称,且f(x)为增函数,则根据图象性质及函数的奇偶性可以得到f(b)-f(-a)=f(b)+f(a)>g(a)-g(-b)=g(a)-g(b)成立的条件为a >b >0,故选A. 答案:A10.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L 1=5.06x-0.15x 2和L 2=2x ,其中x 为销售量(单位:辆).若该公司在这两地共销售15辆车,则能获得的最大利润为( )A.45.606B.45.6C.45.56D.45.51思路解析:设在甲地销售汽车x 辆,则在乙地销售汽车(15-x)辆,得可获得的总利润为 L=L 1+L 2=5.06x-0.15x 2+2(15-x)=30+3.06x-0.15x 2,配方得到 L=-0.15(x+10.2)2+45.606≤45.606故选A. 答案:BA.(21,1) B.(21,+∞) C.(0,21)∪[1,+∞) D.(0, 21) 答案:A 12.函数f(x)=x x x ---4lg 32的定义域是_______________. 思路解析:⎪⎩⎪⎨⎧<≠≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧>-≠-≥-4320403,02x x x x x x ⇒x ∈[2,3]∪(3,4).答案:[2,3)∪(3,4) 13.若函数f(x)=log a (222a x x ++)是奇函数,则a=________________.思路解析:函数f(x)=log a (x+222a x +)是奇函数,即f(-x)=-f(x),代入可以得到log a (-x+222)(a x +-)=-log a (x+222a x +),化简得到a=22为所求. 答案:22 14.已知函数y=f(x)与y=f -1(x)互为反函数,又y=f -1(x+1)与y=g(x)的图象关于直线y=x 对称,若f(x)=21log (x 2+2)(x>0);f -1(x)=___________;g(6)=______________.思路解析:利用反函数的性质和图象性质可以直接得到结果. 答案:)1(2)21(-<-x x;-415.已知在△ABC 中,∠ACB=90°,BC=3,AC=4,P 是AB 上的点,则点P 到AC 、BC 的距离乘积的最大值是_____________________. 思路解析:如右图所示,利用勾股定理可以得到所求即为PM=PN ,而四边形CNPM 为矩形,所求即四边形面积,当四边形为正方形时可取得最大面积.利用三角形相似可以得到一些量化关系,观察易得到△ACB ∶△PBM ∶△ANP ,利用量化关系可以得到,当PM=PN=3时可以取得最大值,最大值为3.答案:316.已知函数f(x)=bax x +2(a ,b 为常数)且方程f(x)-x+12=0有两个实根为x 1=3, x 2=4.求函数f(x)的解析式.思路解析:利用函数根的性质作出判断,将x 1=3,x 2=4分别代入方程,分别解出a,b 的值即可得到所求结果.答案:将x 1=3,x 2=4分别代入方程b ax x +2-x+12=0得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+,8416,939ba ba 解得⎩⎨⎧=-=.2,1b a 所以f(x)=x x -22 (x ≠2). 17.已知函数f(x)=x 3+x,x ∈R(1)指出f(x)在定义域R 上的奇偶性与单调性(只须写出结论,无需证明); (2)若a 、b 、c ∈R ,且a+b>0,b+c>0,c+a>0,试证明:f(a)+f(b)+f(c)>0.思路解析:利用函数单调性和奇偶性判断;根据已知条件a+b >0,b+c >0,c+a >0,可以判断出f(a),f(b),f(c)之间的大小关系. 答案:(1)f(x)是定义域R 上的奇函数且为增函数. (2)由a+b >0得a >-b.由增函数, 得f(a)>f(-b),由奇函数,得f(-b)=-f(b), ∴f(a)+f(b)>0,同理可得f(b)+f(c)>0,f(c)+f(a)>0,将以上三式相加后,得f(a)+f(b)+f(c)>0.18.20个劳动力种50亩地,这些地可种蔬菜、棉花、水稻.这些作物每亩地所需劳力和预计产值如下表.应怎样计划才能使每亩地都能种上作物(水稻必种),所有劳力都有工作且作物预计总产值达最高?劳动力得到使用以及获得最大产值.答案:设种x 亩水稻(0<x ≤50=,y 亩棉花(0<x ≤50=时,总产值为h 且每个劳力都有工作.h=0.3x+0.5y+0.6[50-(x+y)]且x 、y 满足4x +31y+21[50-(x+y)]=20. 即h=-203x+27,4≤x ≤50,x ∈N 欲使h 为最大,则x 应为最小,故当x=4(亩)时,h max =26.4万元,此时y=24(亩). 故安排1人种4亩水稻,8人种24亩棉花,11人种22亩蔬菜时农作物总产值最高且每个劳力都有工作.19.某公司生产的A 型商品通过租赁柜台进入某商场销售.第一年,商场为吸引厂家,决定免收该年管理费,因此,该年A 型商品定价为每件70元,年销售量为11.8万件.第二年,商场开始对该商品征收比率为p%的管理费(即销售100元要征收p 元),于是该商品的定价上升为每件%170p -元,预计年销售量将减少p 万件.(1)将第二年商场对该商品征收的管理费y(万元)表示成p 的函数,并指出这个函数的定义域; (2)要使第二年商场在此项经营中收取的管理费不少于14万元,则商场对该商品征收管理费的比率p%的范围是多少?(3)第二年,商场在所收管理费不少于14万元的前提下,要让厂家获得最大销售金额,则p 应为多少?思路解析:根据题目分析可以得到第二年该商品年销售量为(11.8-p )万件,年销售收入 为%170p -(11.8-p)万元,则商场该年对该商品征收的总管理费为%170p -(11.8-p)p%(万元),可以得到所求函数,利用函数关系式的自变量和因变量取值范围便可解决后面的问题. 答案:(1)依题意,第二年该商品年销售量为(11.8-p )万件,年销售收入为%170p -(11.8-p)万元,则商场该年对该商品征收的总管理费为%170p -(11.8-p)p%(万元).故所求函数为:y=p -10070(118-10p)p.由 11.8-p >0及p >0得定义域为0<p <559.(2)由y ≥14,得p-1007(118-10p)p ≥14.化简得p 2-12p+20≤0,即(p-2)(p-10)≤0,解得2≤p ≤10.故当比率在[2%,10%]内时,商场收取的管理费将不少于14万元. (3)第二年,当商场收取的管理费不少于14万元时,厂家的销售收入为g(p)=%170p -(11.8-p)(2≤p ≤10).∵g(p)=%170p -(11.8-p)=700(10-p -100882)为减函数,∴g(p)max =g(2)=700(万元).故当比率为2%时,厂家销售金额最大,且商场所收管理费又不少于14万元.20.已知二次函数f(x)=ax 2+bx (a ,b 为常数,且a ≠0)满足条件:f(x-1)=f(3-x)且方程f(x)=2x 有等根.(1)求f(x)的解析式;(2)是否存在实数m,n(m <n),使f(x)的定义域和值域分别为[m,n ]和[4m,4n ],如果存在,求出m 的值;如果不存在,说明理由.思路解析:利用等根可得判别式Δ=0即可得到b 的值,同时根据f(x-1)=f(3-x)知此函数图ax 2+bx-2x=0象的对称轴方程为x=-ab2=1,得a 的值.解:(1)∵方程有等根,Δ=(b-2)2=0,得b=2.由f(x-1)=f(3-x)知此函数图ax 2+bx-2x=0象的对称轴方程为x=-ab2=1,得a=-1,故f(x)=-x 2+2x.(2)∵f(x)=-(x-1)2+1≤1, ∴4n ≤1,即n ≤41.而抛物线y=-x 2+2x 的对称轴为x=1, ∴当n ≤41时,f(x)在[m,n ]上为增函数. 若满足题设条件的m,n 存在,则⎩⎨⎧==.4)(,4)(n n f m m f即⎩⎨⎧-==-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-.20,20424222n n m m nn n n m m 或或 又m <n ≤41, ∴m=-2,n=0,这时,定义域为[-2,0],值域为[-8,0].由以上知满足条件的m,n 存在, m=-2,n=0. 21.设函数f(x)表示实数,x 在与x 的给定区间内整数之差绝对值的最小值. (1)当x ∈[-21,21]时,求出f(x)的解析式,当x ∈[k-21,k+21](k ∈Z )时,写出用绝对值符号表示的f(x)的解析式,并说明理由;(2)用偶函数定义证明函数f (x )是偶函数(x ∈R ). 思路解析:当x ∈[-21,21]时,由定义知:x 与0距离最近,故当x ∈[k-21,k+21](k ∈Z )时,由定义知:k 为与x 最近的一个整数,可以得到第一问的解答;利用偶函数的定义证明第二问,需要注意使用第一问的结论,可以简化证明过程. 答案:(1)当x ∈[-21,21]时,由定义知:x 与0距离最近,f(x) =|x|,x ∈[-21,21], 当x ∈[k-21,k+21](k ∈Z )时,由定义知:k 为与x 最近的一个整数,故 f(x)=|x-k|,x ∈[k-21,k+21](k ∈Z ).(2)对任何x ∈R ,函数f(x)都存在,且存在k ∈Z ,满足k-21≤x ≤k+21,f(x)=|x-k|.由k-21≤x ≤k+21可以得出-k-21≤-x ≤-k+21(k ∈Z ), 即-x ∈[-k-21,-k+21](-k ∈Z ).由(1)的结论,f(-x)=|1-x-(-k)|=|k-x|=|x-k|=f(x),即f(x)是偶函数.。

人教版高中数学必修1第三章函数的应用单元测考试试卷.doc

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第三章单元质量测评本试卷分第丨卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分,满分150 分,考试时间120分钟.第丨卷(选择题,共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题1.已知下列四个函数图象,其中能用“二分法”求出函数零点的 是()答案A 解析 由二分法的定义与原理知A 选项正确.2.下列函数中,随着兀的增大,其增大速度最快的是()A. y=0.001"B ・ >'=10001nxC ・ y=x 1000D ・ y=1000・2“ 答案A 解析 增大速度最快的应为指数型函数,又e^2.718>2. 3 •已知函数/U )是R 上的单调函数,且心)的零点同时在区间(0,4),A.夬4) B ・ X2) C ・ XD D.彳I)答案C给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的)(0,2), (1,2), 1, U 内,则与7(0)符号相同的是((3、解析 由题易知/U )的唯一零点在区间[1,勺内,由兀V )是R 上的 单调函数,可得人1)与几0)符号相同,故选C.4.用二分法求方程./U )=0在区间(1,2)内的唯一实数解也时,经A. 0 B ・ 1 C. 2 D. 3 答案BA ・体重随年龄的增长而增加 计算得/(1)=羽,几2)=—5, =9,则下列结论正确的是()A • X Q / 2、e 1, 5-\ 乙)(3 / /C •兀0 — 2,2 答案CDe X() = 1⑶解析由于彳㊁ 15.函数fix )=x 1 2 说2)<0,-o v 的零点个数为()12丿B.25岁之后体重不变C.体重增加最快的是15岁至25岁D.体重增加最快的是15岁之前答案D解析・・•函数不是增函数,・・・A错;[0,50]上为增函数,故B错; [0,15]上线段增长比[15,25]上线段增长快.7・函数»=xln(x-2017)的零点有()A. 0个B・1个C. 2个D. 3个答案B解析函数夬兀)的定义域为{x|x>2017},令» = 0,贝U=2018, 故只有1个零点.8.如图,点P在边长为1的正方形边上运动,设M是CD的中点,则当P沿A-B-C-M运动时,点P经过的路程x^/\APM的面积y 之间的函数y=/3)的图象大致是()再结合图象知应选A.x — |9. 若/U)==—,则函数y=/(4x)—x 的零点是()12 3% 12 3% 时, 答案 解析 依题意, 当 OvcWl 时,S I -1 △APMX 1 Xx=^x ;当 1<X W2 S HAPM =S 怫形 ABCM ^S^ABP ■ S'PCMn ii iX 1+厅 XI —㊁XlX(x_l)_㊁X ㊁X(2r)=_当2vxW2・5时,S HAPM =S 梯形 ABCM ~S 梯形 ABCP|x[l+^Xl-|x (l+x-2)XlA.* B・—+ C・ 2 D・一2答案A解析根据函数零点的概念,函数y=f(^x)-x的零点就是方程4无—] 17(4x)—x=0的根,解方程/(4x)—兀=0,即一石一一兀=0,得x=2^故选A.10.若关于x的方程»-2=0在区间(一8,0)内有解,则y=fix) 的图象可以是()答案D解析因为关于兀的方程fix) —2=0在区间(―°°, 0)内有解,所以函数y=Ax)与y=2的图象在区间(一8, 0)内有交点,观察图象可得只有选项D中图象满足要求.11・设方程匱一3|=。

高中数学必修一第三章《函数的应用》单元测试卷及答案2套1

高中数学必修一第三章《函数的应用》单元测试卷及答案2套1

高中数学必修一《函数的应用》单元测试卷及答案2套单元测试卷一(时间:120分钟 满分:150分) 第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.函数f (x )=2x +m 的零点落在(-1,0)内,则m 的取值范围为( ) A .(-2,0) B .(0,2) C .-2,0] D .0,2]2.设f (x )=3x+3x -8,用二分法求方程3x+3x -8=0在x ∈(1,2)内近似解的过程中得f (1.5)>0,f (1.25)<0,则方程的根落在区间( )A .(1,1.25)B .(1.25,1.5)C .(1.5,2)D .不确定3.下列函数中,不能用二分法求零点的是( ) A .y =3x +1 B .y =x 2-1 C .y =log 2(x -1)D .y =(x -1)24.方程x 3-x -3=0的实数解所在的区间是( ) A .-1,0] B .0,1] C .1,2] D .2,3]5.为了求函数f (x )=2x+3x -7的零点,某同学利用计算器得到自变量x 和函数f (x )的部分对应值(精确度0.1)如下表所示:A .1.5B .1.4C .1.3D .1.26.若函数y =⎝ ⎛⎭⎪⎫12|1-x |+m 的图象与x 轴有公共点,则m 的取值范围是( )A .m ≤-1B .-1≤m <0C .m ≥1 D.0<m ≤17.设x 0是函数f (x )=ln x +x -4的零点,则x 0所在的区间为( ) A .(0,1) B .(1,2) C .(2,3) D .(3,4)8.如果二次函数y =x 2+mx +m +3不存在零点,则m 的取值范围是( ) A .(-∞,-2)∪(6,+∞) B .{-2,6} C .-2,6]D .(-2,6)9.由表格中的数据可以判定方程e x-x -2=0的一个零点所在的区间是(k ,k +1)(k ∈Z ),则k 的值为( )x-1 0 1 2 3 e x0.37 1 2.72 7.39 20.09 x +21234510.已知x 0是函数f (x )=2x+11-x 的一个零点.若x 1∈(1,x 0),x 2∈(x 0,+∞),则( )A .f (x 1)<0,f (x 2)<0B .f (x 1)<0,f (x 2)>0C .f (x 1)>0,f (x 2)<0D .f (x 1)>0,f (x 2)>011.已知函数f (x )=|log 3(x -1)|-⎝ ⎛⎭⎪⎫13x-1有2个不同的零点x 1,x 2,则( )A .x 1·x 2<1B .x 1·x 2=x 1+x 2C .x 1·x 2>x 1+x 2D .x 1·x 2<x 1+x 212.若对于定义在R 上的函数f (x ),其图象是连续的,且存在常数λ(λ∈R ),使得f (x +λ)+λf (x )=0对任意的实数x 成立,则称f (x )是“λ-同伴函数”.下列关于“λ-同伴函数”的叙述中正确的是( )A .“12-同伴函数”至少有一个零点B .f (x )=x 2是一个“λ-同伴函数” C .f (x )=log 2x 是一个“λ-同伴函数” D .f (x )=0是唯一一个常值“λ-同伴函数”第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,请把正确答案填在题中横线上)13.函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+2x -3,x ≤0,-2+ln x ,x >0的零点个数为________.14.函数f (x )=x 2+mx -6的一个零点是-6,则另一个零点是________. 15.若函数f (x )=lg|x -1|-m 有两个零点x 1和x 2,则x 1+x 2=________.16.设定义域为R 的函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2-|x -1|+1x ≠1,ax =1,若关于x 的方程2f (x )]2-(2a+3)f (x )+3a =0有五个不同的实数解,则a 的取值范围是________.三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +6,x ≤0,x 2-2x +2,x >0.(1)求不等式f (x )>5的解集;(2)若方程f (x )-m 22=0有三个不同实数根,求实数m 的取值范围.18.(本小题满分12分)已知定义在R 上奇函数f (x )在x ≥0时的图象是如图所示的抛物线的一部分. (1)请补全函数f (x )的图象;(2)写出函数f (x )的表达式(只写明结果,无需过程); (3)讨论方程|f (x )|=a 的解的个数(只写明结果,无需过程).19.(本小题满分12分)某上市股票在30天内每股交易价格P (元)与时间t (天)组成有序数对(t ,P ),点(t ,P )落在图中的两条线段上,该股票在30天内的日交易量Q (万股)与时间t (天)的部分数据如下表所示:第t 天4 10 16 22 Q (万股)36302418(1)根据提供的图象,写出该种股票每股交易价格P (元)与时间t (天)所满足的函数关系式;(2)根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式;(3)用y表示该股票日交易额(万元),写出y关于t的函数关系式,并求在这30天中第几天日交易额最大,最大值是多少?20.(本小题满分12分)定义在R上的奇函数f(x),当x∈(-∞,0)时,f(x)=-x2+mx-1.(1)当x∈(0,+∞)时,求f(x)的解析式;(2)若方程y=f(x)有五个零点,求实数m的取值范围.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=log a(2x+1)-log a(1-2x).(1)判断函数f(x)的奇偶性,并给予证明;(2)若函数y=f(x)与y=m-log a(2-4x)的图象有且仅有一个公共点,求实数m的取值范围.22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx,(k∈R)为偶函数.(1)求k的值;(2)若函数f(x)=log4(a·2x-a)有且仅有一个根,求实数a的取值范围.答案1.B 解析:由题意f(-1)·f(0)=(m-2)m<0,∴0<m<2.2.B 解析:因为f(1.5)>0,f(1.25)<0,所以由零点存在性定理可得,方程3x+3x-8=0的根落在区间(1.25,1.5)内.3.D 解析:结合函数y=(x-1)2的图象可知,该函数在x=1的左右两侧函数值的符号均为正,故其不能用二分法求零点.4.C 解析:方程x 3-x -3=0的实数解,可看成函数f (x )=x 3-x -3的零点.∵f (1)=-3<0,f (2)=3>0,∴f (1)·f (2)<0.由零点存在性定理可得,函数f (x )=x 3-x -3的零点所在的区间为1,2].故选C.5.B 解析:函数f (x )=2x+3x -7的零点在区间(1.375,1.437 5)内,且|1.375-1.437 5|=0.062 5<0.1,所以方程2x +3x =7的近似解(精确到0.1)可取为1.4.6.B 解析:函数图象与x 轴有公共点,即函数f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫12|1-x |,g (x )=-m 有交点.作出f (x ),g (x )的图象,如图所示.0<-m ≤1,即-1≤m <0,故选B.7.C 解析:∵f (2)=ln 2+2-4=ln 2-2<0,f (3)=ln 3-1>ln e -1=0,由零点定理得f (2)·f (3)<0.∴x 0所在的区间为(2,3).故选C.8.D 解析:∵二次函数y =x 2+mx +m +3不存在零点,二次函数图象开口向上,∴Δ<0,可得m 2-4(m +3)<0,解得-2<m <6,故选D.9.C 解析:设函数f (x )=e x-x -2,如果零点在(k ,k +1),那么f (k )·f (k +1)<0,由表格分析,f (1)<0,f (2)>0,故k =1,故选C.10.B 解析:由定义法证明函数的单调性的方法,得f (x )在(1,+∞)上为增函数,又1<x 1<x 0<x 2,x 0为f (x )的一个零点,所以f (x 1)<f (x 0)=0<f (x 2).解题技巧:本题主要考查了函数的零点和单调性,解决本题的关键是判断出函数f (x )=2x+11-x的单调性. 11.D 解析:∵函数f (x )=|log 3(x -1)|-⎝ ⎛⎭⎪⎫13x-1有2个不同的零点,∴函数f (x )=|log 3(x -1)|与函数g (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫13x +1的图象有两个不同的交点.又∵g (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫13x+1是减函数,∴-log 3(x 1-1)>log 3(x 2-1),∴(x 1-1)(x 2-1)<1,整理得x 1·x 2<x 1+x 2,故选D.12.A 解析:令x =0,得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12+12f (0)=0,所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=-12f (0).若f (0)=0,显然f (x )=0有实数根;若f (0)≠0,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·f (0)=-12(f (0))2<0.又因为函数f (x )的图象是连续不断的,所以f (x )=0在⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12上必有实数根,即任意“12-同伴函数”至少有一个零点.故A 正确;用反证法,假设f (x )=x 2是一个“λ-同伴函数”,则(x +λ)2+λx 2=0,即(1+λ)x2+2λx +λ2=0对任意实数x 成立,所以λ+1=2λ=λ2=0,而此式无解,所以f (x )=x 2不是一个“λ-同伴函数”.故B 错误;因为f (x )=log 2x 的定义域不是R .故C 错误;设f (x )=C 是一个“λ-同伴函数”,则(1+λ)C =0,当λ=-1时,可以取遍实数集,因此f (x )=0不是唯一一个常值“λ-同伴函数”.故D 错误.13.2 解析:依题意可知f (x )=x 2+2x -3的零点为-3,1,∵x ≤0,∴零点为-3.f (x )=-2+ln x 的零点为e 2.故函数有2个零点.14.1 解析:依题意可知,f (-6)=(-6)2-6m -6=0⇒m =5,所以f (x )=x 2+5x -6=(x +6)(x -1),令f (x )=0,解得x =-6或x =1,所以另一个零点是1.15.2 解析:∵函数f (x )=lg|x -1|-m 有两个零点,∴函数y 1=lg|x -1|与函数y 2=m 有两个交点,∵y 1=lg|x -1|的图象关于x =1对称,∴lg|x 1-1|=lg|x 2-1|,∴x 1+x 2=2.16.1<a <32或32<a <2 解析:∵题中原方程2f (x )]2-(2a +3)f (x )+3a =0有且只有5个不同实数解,∴要求对应于f (x )等于某个常数有3个不同实数解, ∴先根据题意作出f (x )的简图:由图可知,只有当f (x )=a 时,它有三个根. 所以有1<a <2①.再根据2f (x )2-(2a +3)f (x )+3a =0有两个不等实根, 得:Δ>0即(2a +3)2-24a >0,a ≠32②.结合①②得:1<a <32或32<a <2.解题技巧:本题主要考查了函数零点和方程解的关系,解决本题的关键是找出隐含条件f (x )=a 有3个不同实数解.17.解:(1)当x ≤0时,由x +6>5,得-1<x ≤0; 当x >0时,由x 2-2x +2>5,得x >3.综上所述,不等式的解集为(-1,0]∪(3,+∞).(2)方程f (x )-m 22=0有三个不同实数根,等价于函数y =f (x )与函数y =m 22的图象有三个不同的交点.由图可知1<m 22<2,解得-2<m <-2或2<m <2.所以,实数m 的取值范围(-2,-2)∪(2,2).解题技巧:本题主要考查了函数零点和方程解的关系,解决本题的关键是画出函数f (x )图象,使函数y =f (x )与函数y =m 22的图象有三个不同的交点,从而求出m 的范围.18.解:(1)补全f (x )的图象如图(1)所示.①(2)当x ≥0时,设f (x )=a (x -1)2-2,由f (0)=0得,a =2,所以此时,f (x )=2(x -1)2-2,即f (x )=2x 2-4x , 当x <0时,-x >0,所以f (-x )=2(-x )2-4(-x )=2x 2+4x ,① 又f (-x )=-f (x ),代入①,得f (x )=-2x 2-4x ,所以f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x 2-4x x ≥0,-2x 2-4x x <0.(3)函数y =|f (x )|的图象如图(2)所示.②由图可知,当a <0时,方程无解; 当a =0时,方程有三个解; 当0<a <2时,方程有6个解; 当a =2时,方程有4个解; 当a >2时,方程有2个解.19.解:(1)由图象知,前20天满足的是递增的直线方程,且过两点(0,2),(20,6),容易求得直线方程为P =15t +2;从20天到30天满足递减的直线方程,且过两点(20,6),(30,5),求得方程为P =-110t+8,故P (元)与时间t (天)所满足的函数关系式为 P =⎩⎪⎨⎪⎧15t +2,0≤t ≤20,t ∈N ,-110t +8,20<t ≤30,t ∈N .(2)由图表,易知Q 与t 满足一次函数关系,即Q =-t +40,0≤t ≤30,t ∈N . (3)由以上两问,可知y =⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫15t +2-t +40,0≤t ≤20,t ∈N ,⎝ ⎛⎭⎪⎫-110t +8-t +40,20<t ≤30,t ∈N=⎩⎪⎨⎪⎧-15t -152+125,0≤t ≤20,t ∈N ,110t -602-40,20<t ≤30,t ∈N ,当0≤t ≤20,t =15时,y max =125, 当20<t ≤30,y 随t 的增大而减小,∴在30天中的第15天,日交易额的最大值为125万元. 20.解:(1)设x >0,则-x <0,所以 f (-x )=-x 2-mx -1. 又f (x )为奇函数,即f (-x )=-f (x ), 所以f (x )=x 2+mx +1(x >0).又f (0)=0,所以f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+mx +1,x >0,0, x =0,-x 2+mx -1,x <0.(2)因为f (x )为奇函数,所以函数y =f (x )的图象关于原点对称,即方程f (x )=0有五个不相等的实数解,得y =f (x )的图象与x 轴有五个不同的交点. 又f (0)=0,所以f (x )=x 2+mx +1(x >0)的图象与x 轴正半轴有两个不同的交点, 即方程x 2+mx +1=0有两个不等正根,记两根分别为x 1,x 2,所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ=m 2-4>0,x 1+x 2=-m >0,x 1·x 2=1>0,解得m <-2.所以,所求实数m 的取值范围是m <-2. 21.解:(1)函数f (x )为奇函数. 证明如下:∵f (x )的定义域为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,12,关于原点对称,f (x )+f (-x )=log a2x +11-2x +log a -2x +11+2x=log a 1=0, ∴f (-x )=-f (x ),∴f (x )为奇函数.(2)函数y =f (x )与y =m -log a (2-4x )的图象有且仅有一个公共点⇔方程log a 2x +11-2x=m-log a (2-4x )在区间x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,12上有且仅有一个实数解. m =log a2x +11-2x+log a 2(1-2x )=log a (4x +2). ∵ -12<x <12,∴0<4x +2<4∴log a (4x +2)∈(-∞,log a 4)或log a (4x +2)∈(log a 4,+∞), ∴当a >1时,m ∈(-∞,log a 4),当0<a <1时,m ∈(log a 4,+∞). 22.解:(1)∵f (x )为偶函数,∴f (-x )=f (x ), 即log 4(4-x+1)-kx =log 4(4x+1)+kx , ∴log 44x+14x -log 4(4x+1)=2kx ,∴(2k +1)x =0,∴k =-12.(2)依题意知,log 4(4x +1)-12x =log 4(a ·2x-a ),整理,得log 4(4x +1)=log 4(a ·2x -a )2x], ∴4x +1=(a ·2x -a )·2x(*).令t =2x,则(*)变为(1-a )t 2+at +1=0(**)只需其仅有一正根. ①当a =1时,t =-1不合题意;②当(**)式有一正一负根时,∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ=a 2-41-a >0,t 1t 2=11-a <0,得a >1;③当(**)式有两相等的正根时,Δ=0,∴a =±22-2,且a2a -1>0, ∴a =-2-2 2.综上所述,a 的取值范围为{a |a >1或a =-2-22}.单元测试卷二(时间:120分钟 满分:150分) 第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.函数y =x 2-2x -3的零点是( ) A .1,-3 B .3,-1 C .1,2 D .不存在2.用二分法求方程f (x )=0在区间(1,2)内的唯一实数解x 0时,经计算得f (1)=3,f (2)=-5,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32=9,则下列结论正确的是( )A .x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1,32B .x 0=32C .x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32,2 D .x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1,32或x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32,2 3.若函数f (x )=ax +b 的零点是-1(a ≠0),则函数g (x )=ax 2+bx 的零点是( )A .-1B .0C .-1和0D .1和04.某种型号的手机自投放市场以来,经过两次降价,单价由原来的2 000元降到1 280元,则这种手机的价格平均每次降低的百分率是( )A .10%B .15%C .18%D .20%5.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+bx +c ,x ≤0,3,x >0,若f (-4)=f (0),f (-2)=-2,则函数y =f (x )-x 的零点的个数为( )A .1B .2C .3D .46.函数f (x )=ln(x +1)-2x的零点所在的大致区间是( )A .(0,1)B .(1,2)C .(2,e)D .(3,4)7.实数a ,b ,c 是图象连续不断的函数y =f (x )定义域中的三个数,且满足a <b <c ,f (a )·f (b )<0,f (c )·f (b )<0,则函数y =f (x )在区间(a ,c )上的零点个数为( )A .2B .奇数C .偶数D .至少2个8.若方程m x-x -m =0(m >0,且m ≠1)有两个不同实数根,则m 的取值范围是( ) A .m >1 B .0<m <1 C .m >0 D .m >29.如图,△ABC 为等腰直角三角形,直线l 与AB 相交且l ⊥AB ,直线l 截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为y ,点A 到直线l 的距离为x ,则y =f (x )的图象大致为四个选项中的( )10.若一次函数f(x)=ax+b有一个零点2,则函数g(x)=bx2-ax的图象可能是( )11.某商场对顾客实行购物优惠活动,规定一次购物付款总额:①如果不超过200元,则不给予优惠;②如果超过200元但不超过500元,则按标价给予9折优惠;③如果超过500元,其500元内的按第②条给予优惠,超过500元的部分给予7折优惠.某人两次去购物,分别付款168元和423元,假设他一次性购买上述两次同样的商品,则应付款( )A.413.7元 B.513.7元C.546.6元 D.548.7元12.已知0<a<1,则方程a|x|=|log a x|的实根个数为( )A.2 B.3C.4 D.与a的值有关第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,请把正确答案填在题中横线上)13.函数f(x)=ln x-1x-1的零点的个数是________.14.根据表格中的数据,若函数f(x)=ln x-x+2在区间(k,k+1)(k∈N*)内有一个零点,则k的值为________.x 1234 5ln x 00.69 1.10 1.39 1.61付费);超过3 km但不超过8 km时,超过部分按每千米2.15元收费;超过8 km时,超过部分按每千米2.85元收费,另每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元,则此次出租车行驶的路程为________km.16.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x-1,x >0,-x 2-2x ,x ≤0,若函数g (x )=f (x )-m 有3个零点,则实数m 的取值范围是________.三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)若二次函数f (x )=-x 2+2ax +4a +1有一个零点小于-1,一个零点大于3,求实数a 的取值范围.18.(本小题满分12分)已知二次函数f (x )的图象过点(0,3),它的图象的对称轴为x =2,且f (x )的两个零点的平方和为10,求f (x )的解析式.19.(本小题满分12分)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案:当销售利润不超过10万元时,按销售利润的15%进行奖励;当销售利润超过10万元时,若超出A 万元,则超出部分按2log 5(A +1)进行奖励.记奖金为y (单位:万元),销售利润为x (单位:万元).(1)写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数模型;(2)如果业务员老江获得5.5万元的奖金,那么他的销售利润是多少万元?20.(本小题满分12分)设函数f (x )=ax 2+(b -8)x -a -ab 的两个零点分别是-3和2. (1)求f (x );(2)当函数f (x )的定义域是0,1]时,求函数f (x )的值域.21.(本小题满分12分)函数y =f (x )的图象关于x =1对称,当x ≤1时,f (x )=x 2-1. (1)写出y =f (x )的解析式并作出图象;(2)根据图象讨论f (x )-a =0(a ∈R )的根的情况.22.(本小题满分12分)某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如图).(1)分别写出两种产品的收益与投资的函数关系;(2)该家庭有20万元资金,全部用于理财投资,问:怎么分配资金能使投资获得最大收益,其最大收益是多少万元?答案1.B 解析:令x 2-2x -3=0得x =-1或x =3,故选B.2.C 解析:∵f (2)·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<0,∴x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32,2. 3.C 解析:由条件知f (-1)=0,∴b =a ,∴g (x )=ax 2+bx =ax (x +1)的零点为0和-1,故选C.4.D 解析:由题意,可设平均每次价格降低的百分率为x , 则有2 000(1-x )2=1 280,解得x =0.2或x =1.8(舍去),故选D.5.C 解析:本题主要考查二次函数、分段函数及函数的零点.f (-4)=f (0)⇒b =4,f (-2)=-2⇒c =2,∴ f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+4x +2,x ≤0,3,x >0.当x ≤0时,由x 2+4x +2=x 解得x 1=-1,x 2=-2;当x >0时,x =3.所以函数y =f (x )-x 的零点的个数为3,故选C.6.B 解析:f (1)=ln(1+1)-21=ln 2-2=ln 2-ln e 2<0,f (2)=ln(2+1)-22=ln 3-1>0,因此函数的零点必在区间(1,2)内,故选B.7.D 解析:由f (a )·f (b )<0知,y =f (x )在(a ,b )上至少有一零点,由f (c )·f (b )<0知,y =f (x )在(b ,c )上至少有一零点,故y =f (x )在(a ,c )上至少有2个零点.8.A 解析:方程m x-x -m =0有两个不同实数根,等价于函数y =m x与y =x +m 的图象有两个不同的交点.显然当m >1时,如图①有两个不同交点;当0<m <1时,如图②有且仅有一个交点,故选A.9.C 解析:设AB =a ,则y =12a 2-12x 2=-12x 2+12a 2,其图象为抛物线的一段,开口向下,顶点在y 轴正半轴.故选C.10.C 解析:由题意知,2a +b =0,所以a =-b2.因此g (x )=bx 2+b 2x =b ⎝⎛⎭⎪⎫x 2+12x =b ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +142-b 16.易知函数g (x )图象的对称轴为x =-14,排除A ,D.又令g (x )=0,得x =0或x =-0.5,故选C.11.C 解析:设该顾客两次购物的商品价格分别为x ,y 元,由题意可知x =168,y ×0.9=423,∴y =470,故x +y =168+470=638(元),故如果他一次性购买上述两样商品应付款:(638-500)×0.7+500×0.9=96.6+450=546.6(元).12.A 解析:设y 1=a |x |,y 2=|log a x |,分别作出它们的图象如下图所示.由图可知,有两个交点,故方程a |x |=|log a x |有两个根.故选A. 13.2 解析:由y =ln x 与y =1x -1的图象可知有两个交点.14.3 解析:由表中数据可知,f (1)=ln 1-1+2=1>0,f (2)=ln 2-2+2=ln 2=0.69>0, f (3)=ln 3-3+2=1.10-1=0.1>0, f (4)=ln 4-4+2=1.39-2=-0.61<0, f (5)=ln 5-5+2=1.61-3=-1.39<0,∴f (3)·f (4)<0,∴k 的值为3.15.9 解析:设乘客每次乘坐出租车需付费用为f (x )元,由题意,得 f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧8+1,x ∈0,3],9+x -3×2.15,x ∈3,8],9+5×2.15+x -8×2.85,x ∈8,+∞,令f (x )=22.6,显然9+5×2.15+(x -8)×2.85=22.6(x >8),解得x =9.16.(0,1) 解析:画出f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x-1,x >0,-x 2-2x ,x ≤0的图象,如图所示.由函数g (x )=f (x )-m 有3个零点,即f (x )-m =0有3个不相等的实根,结合图象,得0<m <1.17.解:因为二次函数f (x )=-x 2+2ax +4a +1的图象开口向下,且在区间(-∞,-1),(3,+∞)内各有一个零点,所以⎩⎪⎨⎪⎧f-1>0,f3>0,即⎩⎪⎨⎪⎧--12-2a +4a +1>0,-32+2a ×3+4a +1>0,即⎩⎪⎨⎪⎧2a >0,10a -8>0,解得a >45.18.解:设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0), 由题意知,c =3,-b2a=2.设x 1,x 2是方程ax 2+bx +c =0的两根, 则x 1+x 2=-b a ,x 1·x 2=c a.∵x 21+x 22=10,∴(x 1+x 2)2-2x 1x 2=10,即⎝ ⎛⎭⎪⎫-b a 2-2c a=10,∴42-6a =10, ∴a =1,b =-4. ∴f (x )=x 2-4x +3. 19.解:(1)由题意,得y =⎩⎪⎨⎪⎧0.15x ,0<x ≤10,1.5+2log 5x -9,x >10.(2)x ∈(0,10],0.15x ≤1.5. 又∵y =5.5,∴x >10,∴1.5+2log 5(x -9)=5.5,∴x =34. ∴老江的销售利润是34万元.20.解:(1)∵f (x )的两个零点是-3和2, ∴函数图象过点(-3,0),(2,0),∴⎩⎪⎨⎪⎧9a -3b -8-a -ab =0,①4a +2b -8-a -ab =0.②①-②,得b =a +8.③③代入②,得4a +2a -a -a (a +8)=0, 即a 2+3a =0. ∵a ≠0,∴a =-3,∴b =a +8=5.∴f (x )=-3x 2-3x +18. (2)由(1)得f (x )=-3x 2-3x +18=-3⎝ ⎛⎭⎪⎫x +122+34+18,图象的对称轴是x =-12,又0≤x ≤1,∴f (x )min =f (1)=12,f (x )max =f (0)=18, ∴函数f (x )的值域是12,18].21.解:(1)由题意知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-1x ≤1,x -22-1x >1.图象如图所示.(2)当a <-1时,f (x )-a =0无解; 当a =-1时,f (x )-a =0有两个实数根; 当-1<a <0时,f (x )-a =0有四个实数根; 当a =0时,f (x )-a =0有三个实数根; 当a >0时,f (x )-a =0有两个实数根. 22.解:(1)设f (x )=k 1x ,g (x )=k 2x , 所以f (1)=18=k 1,g (1)=12=k 2,即f (x )=18x (x ≥0),g (x )=12x (x ≥0). (2)设投资债券类产品x 万元,则股票类投资为(20-x )万元. 依题意,得y =f (x )+g (20-x ) =x 8+1220-x (0≤x ≤20). 令t =20-x (0≤t ≤25). 则y =20-t 28+12t =-18(t -2)2+3,所以当t =2,即x =16(万元)时,收益最大,最大收益为3万元.。

最新人教版高中数学必修第一册第三单元《函数概念与性质》测试卷(包含答案解析)

最新人教版高中数学必修第一册第三单元《函数概念与性质》测试卷(包含答案解析)

一、选择题⋅=(a为大于0的常数)的点P的1.已知,A B是平面内两个定点,平面内满足PA PB a轨迹称为卡西尼卵形线,它是以发现土星卫星的天文学家乔凡尼·卡西尼的名字命名.当-,(1,0),且1,A B坐标分别为(1,0)a=时,卡西尼卵形线大致为()A.B.C.D.2.定义在R 偶函数()f x 满足()()22f x f x -=-+,对[]12,0,4x x ∀∈,12x x ≠,都有()()12120f x f x x x ->-,则有( )A .()()()192120211978f f f =<B .()()()192119782021f f f <<C .()()()192120211978f f f <<D .()()()202119781921f f f <<3.函数2()1sin 12xf x x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图象大致形状为( ). A . B .C .D .4.已知奇函数()f x 在区间[]2,3上单调递增,则()f x 在区间[]3,2--上( ) A .单调递增,且最大值为()2f - B .单调递增,且最大值为()3f - C .单调递减,且最大值为()2f -D .单调递减,且最大值为()3f -5.已知函数()f x 是定义在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上的单调函数,且11()()2f x f f x x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦,则(1)f 的值为( ) A .1B .2C .3D .46.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x -4)=-f (x ),且在区间[0,2]上是增函数,若方程f (x )=m (m >0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x 1,x 2,x 3,x 4,则x 1+x 2+x 3+x 4等于( ) A .-6 B .6 C .-8 D .87.定义在R 上的奇函数()f x 满足当0x <时,3(4)f x x =+,则(1),(2),()f f f π的大小关系是( ) A .(1)(2)()f f f π<< B .(1)()(2)f f f π<< C .()(1)(2)f f f π<<D .()(2)(1)f f f π<< 8.定义在R 上的函数()f x 满足(2)2()f x f x +=,且当(]2,4x ∈时,224,23,()2,34,x x x f x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩,()1g x ax =+,对(]12,0x ∀∈-,2[2,1]x ∃∈-,使得()()21g x f x =,则实数a 的取值范围为( )A .11,,88⎛⎫⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭B .11,00,48⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ C .(0,8]D .11,,48⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭9.函数()23fx x =-( )A.3⎡⎤⎣⎦B .[]1,5C.2,3⎡⎣ D .3⎡⎣10.定义在[]1,1-的函数()f x 满足下列两个条件:①任意的[1,1]x ∈-都有()()f x f x -=-;②任意的,[0,1]m n ∈,当m n ≠,都有()()0f m f n m n-<-,则不等式(12)(1)0f x f x -+-<的解集是( )A .10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B .12,23⎛⎤⎥⎝⎦C .11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D .20,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭11.若函数()f x 满足()()a f x b a b ≤≤<,定义b a -的最小值为()f x 的值域跨度,则是下列函数中值域跨度不为2的是( ) A .()f x =B .||()2x f x -= C .24()4x f x x =+D .()|1|||f x x x =+-12.设函数1,()0,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数,则下列结论正确的是( )A .()D x 的值域为[0,1]B .()D x 是偶函数C .()(3.14)DD π>D .()D x 是单调函数13.函数()f x =是( )A .奇函数B .偶函数C .既奇又偶函数D .非奇非偶函数14.若()21f x ax x a =+++在()2,-+∞上是单调递增函数,则a 的取值范围是( ) A .1(,]4-∞B .1(0,]4C .1[0,]4D .1[,)4+∞15.下列函数中,在[)1,+∞上为增函数的是 A .()22y x =-B .1y x =-C .11y x =+ D .()21y x =-+二、填空题16.已知函数()f x 为定义在R 上的奇函数,且对于12,[0,)x x ∀∈+∞,都有()()()221112210x f x x f x x x x x ->≠-,且(3)2f =,则不等式6()f x x>的解集为___________.17.已知a R ∈,函数229()f x x a a x=++-在区间[3,1]--上的最大值10,则a 的取值范围是__________.18.已知函数()242f x x a x =-++,[]4,4x ∈-.若()f x 的最大值是0,则实数a的取值范围是______.19.函数22y x x c =--在[]0,a 上的最大值为b ,则b a -最小值为__________.20.函数()f x =___________.21.已知函数()y f x =是奇函数,当0x <时,2()(R)f x x ax a =+∈,(2)6f =,则a = .22.函数()f x 的定义域为R ,满足(1)2()f x f x +=,且当(0,1]x ∈时,()(1)f x x x =-,若对任意的(,]x m ∈-∞,都有8()9f x ≥-,则m 的取值范围是_______参考答案23.幂函数()223mm f x x --=在0,上单调递减且为偶函数,则整数m 的值是______.24.函数()22f x x x =-,[]2,2x ∈-的最大值为________.25.设函数()222cos 2()x x e f x x e ππ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=+的最大值为M ,最小值为m ,其中e 为自然对数的底数,则2020(1)M m +-的值为________.26.设函数()f x x x b =+,给出四个命题:①()y f x =是偶函数;②()f x 是实数集R 上的增函数;③0b =,函数()f x 的图像关于原点对称;④函数()f x 有两个零点. 上述命题中,正确命题的序号是__________.(把所有正确命题的序号都填上)【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.A 解析:A 【分析】设(,)P x y 1=,代0x =排除C 、D ,通过奇偶性排除B. 【详解】 解:设(,)P x y因为PA PB a ⋅=,,A B 坐标分别为(1,0)-,(1,0),且1a =1=当0x =时,上式等式成立,即点(0,0)满足PA PB a ⋅=,故排除C 、D.当x -代替x 1== 即图形关于y 轴对称,排除B. 故选:A. 【点睛】应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法(1)求函数值:将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解;(2)求解析式:先将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求解,或充分利用奇偶性构造关于()f x 的方程(组),从而得到()f x 的解析式;(3)求函数解析式中参数的值:利用待定系数法求解,根据()()0f x f x ±-=得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的值或方程(组),进而得出参数的值; (4)画函数图象和判断单调性:利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.2.B解析:B 【分析】首先判断函数的周期,并利用周期和偶函数的性质化简选项中的函数值,再比较大小. 【详解】()()22f x f x -=-+,()()4f x f x ∴+=-,即()()8f x f x +=, ()f x ∴的周期8T =,由条件可知函数在区间[]0,4单调递增,()()()1921240811f f f =⨯+=,()()()()()202125285533f f f f f =⨯+==-=, ()()()1978247822f f f =⨯+=,函数在区间[]0,4单调递增,()()()123f f f ∴<<,即()()()192119782021f f f <<. 故选:B 【点睛】结论点睛:本题的关键是判断函数是周期函数,一般涉及周期的式子包含()()f x a f x +=,则函数的周期是a ,若函数()()f x a f x +=-,或()()1f x a f x +=,则函数的周期是2a ,或是()()f x a f x b -=+,则函数的周期是b a +. 3.B解析:B 【分析】首先判断函数的奇偶性,再判断0πx <<时,函数值的正负,判断得选项. 【详解】因为2()1sin 12x f x x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭,所以12()sin 12xxf x x -=⋅+, ()()()2221sin 1sin 1212x x xf x x x -⎛⎫⨯⎛⎫-=--=-- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()21221sin 12x x x ⎛⎫+- ⎪=-- ⎪+⎝⎭221sin 1sin 1212xxx x ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()f x =,所以函数是偶函数,关于y 轴对称,排除C ,D , 令()0f x =,则21012x-=+或sin 0x =,解得()x k k Z π=∈,而0πx <<时,120x -<,120x +>,sin 0x >,此时()0f x <.故排除A.故选:B . 【点睛】思路点睛:函数图象的辨识可从以下方面入手:(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置. (2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势; (3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性; (4)从函数的特征点,排除不合要求的图象.4.A解析:A利用函数单调性的定义结合奇函数的基本性质可判断函数()f x 在区间[]3,2--上的单调性,进而可得出函数()f x 在区间[]3,2--上的最值. 【详解】任取1x 、[]23,2x ∈--且12x x <,即1232x x -≤<≤-,所以,2123x x ≤-<-≤, 因为函数()f x 在区间[]2,3上单调递增,则()()21f x f x -<-, 因为函数()f x 为奇函数,则()()21f x f x -<-,()()12f x f x ∴<, 因此,函数()f x 在区间[]3,2--上为增函数,最大值为()2f -,最小值为()3f -.故选:A. 【点睛】方法点睛:利用定义证明函数单调性的方法:(1)取值:设1x 、2x 是所给区间上的任意两个值,且12x x <;(2)作差变形:即作差()()12f x f x -,并通过因式分解、配方、有理化等方法,向有利于判断符号的方向变形;(3)定号:确定差()()12f x f x -的符号; (4)下结论:判断,根据定义得出结论. 即取值→作差→变形→定号→下结论.5.A解析:A 【分析】采用赋值法,在11()()2f x f f x x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦中,分别令1x =和1x a =+,联立两个式子,根据函数的单调性可解. 【详解】解:根据题意知,设(1)0f a =≠, 令1x =,则[]1(1)(1)12f f f +=,则()112af a +=,()112f a a+=, 令1x a =+,则11(1))21(1f a f f a a ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦+, 所以()11121f a f a a ⎛⎫+==⎪+⎝⎭, 又因为函数()f x 是定义在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上的单调函数, 所以11121a a +=+,2210a a --=,所以1a =或12a =-(舍去),()11f =.【点睛】思路点睛:抽象函数求函数值问题一般是换元法或者赋值法,再结合函数的性质解方程即可.6.C解析:C 【分析】由奇函数f (x )满足f (x -4)=-f (x )可推出周期为8,对称轴为2x =,画出函数大致图象,由图象分析f (x )=m 的根的分布情况即可 【详解】f (x )在R 上是奇函数,所以f (x -4)=-f (x )=f (-x ),令4x x =-得()()8f x f x -=,故()f x 周期为8,即()()()4(4)x f f x f f x x =+==---,即()()4f x f x -=,函数对称轴为2x =,画出大致图象,如图:由图可知,两个根关于6x =-对称,两个根关于2x =对称,设1234x x x x <<<, 则12346212224x x x x +=-⨯=-+=⨯=,,故12348x x x x +++=-, 故选:C 【点睛】结论点睛:本题考查由函数的奇偶性,周期性,对称性求根的分布问题,常用以下结论: (1)()()()()1f x f x a f x f x a =-+=±+,,则()f x 的周期为2T a =;(2)()()2f x f a x =-,则函数的对称轴为x a =.7.A解析:A 【分析】根据函数奇偶性先将0x >时的解析式求解出来,然后根据0x >时函数的单调性比较出(1),(2),()f f f π的大小关系.【详解】当0x >时,0x -<,所以()43f x x -=-+,又因为()f x 为奇函数,所以()()43f x f x x -=-=-+,所以()43f x x =-, 显然0x >时,()43f x x =-是递增函数,所以()()()12f f f π<<,故选:A. 【点睛】思路点睛:已知函数奇偶性,求解函数在对称区间上的函数解析式的步骤: (1)先设出对称区间上x 的取值范围,然后分析x -的范围; (2)根据条件计算出()f x -的解析式;(3)根据函数奇偶性得到()(),f x f x -的关系,从而()f x 在对称区间上的解析式可求.8.D解析:D 【分析】问题等价于函数()f x 在(]2,0-上的值域是函数()g x 在[2,1]-上的值域的子集,先求出()f x 在(]2,4上的值域,再根据(2)2()f x f x +=求出()f x 在(]2,0-的值域;分类讨论求出()g x 的值域,根据子集关系即可求出a 的范围. 【详解】由题知问题等价于函数()f x 在(]2,0-上的值域是函数()g x 在[2,1]-上的值域的子集.当(]2,4x ∈时,2(2)4,23()2,34x x f x x x x ⎧--+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩, 由二次函数及对勾函数的图象及性质,得此时9()3,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,由(2)2()f x f x +=, 可得11()(2)(4)24f x f x f x =+=+ 当(]2,0x ∈-时,(]42,4x +∈.则()f x 在(]2,0-的值域为39,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦.当0a >时,()[21,1]g x a a ∈-++,则有3214918a a ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩,解得18a ≥,当0a =时,()1g x =,不符合题意;当0a <时,()[1,21]g x a a ∈+-+,则有3149218a a ⎧+≤⎪⎪⎨⎪-+≥⎪⎩,解得14a -.综上所述,可得a 的取值范围为11,,48⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. 故选:D . 【点睛】本题考查双变元利用值域求参数的问题,属于中档题.结论点睛:本题考查不等式的恒成立与有解问题,可按如下规则转化:一般地,已知函数()[],,y f x x a b =∈,()[],,y g x x c d =∈ (1)若[]1,x a b ∀∈,[]2,x c d ∀∈,总有()()12f x g x <成立,故()()2max min f x g x <; (2)若[]1,x a b ∀∈,[]2,x c d ∃∈,有()()12f x g x <成立,故()()2max max f x g x <; (3)若[]1,x a b ∃∈,[]2,x c d ∃∈,有()()12f x g x <成立,故()()2min min f x g x <; (4)若若[]1,x a b ∀∈,[]2,x c d ∃∈,有()()12f x g x =,则()f x 的值域是()g x 值域的子集 .9.A解析:A 【详解】由()()2223682x 31x 3f x x x x =---+-=----,知2680x x -+-≥,解得[]2,4.x ∈令()2t 231x 3x =----,则()21x 323x t --=--.,即为()2y 1x 3=--和y 23x t =--两函数图象有交点,作出函数图象,如图所示:由图可知,当直线和半圆相切时t 最小,当直线过点A(4,0)时,t 最大. 3t 114-=+,解得35t =±35t =-当直线过点A(4,0)时,2430t ⨯--=,解得t 5=.所以t 35,5⎡⎤∈⎣⎦,即() 35,5f x ⎡⎤∈⎣⎦.故选A.10.D解析:D 【分析】根据题意先判断函数()f x 的奇偶性与单调性,然后将不等式变形得(12)(1)f x f x -<-,再利用单调性和定义域列出关于x 的不等式求解. 【详解】根据题意,由①知函数()f x 为奇函数,由②知函数()f x 在[0,1]上为减函数,所以可得函数()f x 在[]1,1-是奇函数也是减函数,所以不等式(12)(1)0f x f x -+-<,移项得(12)(1)f x f x -<--,变形(12)(1)f x f x -<-,所以11121x x -≤-<-≤,得203x ≤<. 故选:D. 【点睛】 本题考查的是函数单调性与奇偶性的综合问题,需要注意:(1)判断奇偶性:奇函数满足()()f x f x -=-;偶函数满足()()f x f x -=; (2)判断单调性:增函数()[]1212()()0x x f x f x -->;1212()()0f x f x x x ->-;减函数:()[]1212()()0x x f x f x --<;1212()()0f x f x x x -<-; (3)列不等式求解时需要注意定义域的问题.11.B解析:B 【分析】根据函数解析式,利用根式非负性、绝对值的区间讨论、分式的性质求值域,即可判断正确选项. 【详解】A 选项:22023(1)44x x x ≤-++=--+≤,所以0()2f x ≤≤,值域跨度为2;B 选项:||0x -≤,所以0()1f x <≤,值域跨度不为2;C 选项:当0x =时()0f x =;当0x >时,244()144x f x x x x ==≤=++;当0x <时,244()144()()x f x x x x ==-≥=-+-+-;故1()1f x -≤≤,值域跨度为2;D 选项:1,0()21,101,1x f x x x x ≥⎧⎪=+-≤<⎨⎪-<-⎩,故1()1f x -≤≤,值域跨度为2;故选:B 【点睛】本题考查了根据解析式求值域,注意根式、指数函数、对勾函数、绝对值的性质应用,属于基础题.12.B解析:B【分析】计算函数值域为{}0,1A 错误,根据偶函数定义知B 正确,()0D π=,(3.14)1D =,C 错误,()()011D D ==,故D 错误,得到答案. 【详解】根据题意:()D x 的值域为{}0,1,A 错误; 当x 为有理数时,x -为有理数,()()D x D x =-,当x 为无理数时,x -为无理数,()()D x D x =-,故函数为偶函数,B 正确; ()0D π=,(3.14)1D =,C 错误;()()011D D ==,故D 错误.故选:B. 【点睛】本题考查了分段函数的值域,奇偶性和单调性,意在考查学生对于函数性质的综合应用.13.A解析:A 【分析】首先求出函数的定义域,然后利用奇偶性定义判断即可. 【详解】解:因为()|3|3f x x =+-所以240330x x ⎧-≥⎪⎨+-≠⎪⎩解得22x -≤≤且0x ≠,故函数的定义域为[)(]2,00,2-,定义域关于原点对称,所以()f x =,[)(]2,00,2x ∈-,又()()f x f x x-==-=-所以函数为奇函数; 故选:A 【点睛】本题考查函数的奇偶性的判断,判断函数的奇偶性按照两步:①求函数的定义域,判断定义域是否关于原点对称;②计算()f x -判断与()f x 之间的关系;14.C解析:C 【分析】先考虑a 是否为零,然后再分一次函数和二次函数分别考虑. 【详解】当0a =时,则()1f x x =+,显然在()2,-+∞上递增;当0a ≠时,则()21f x ax x a =+++是二次函数,因为()f x 在()2,-+∞上递增,则对称轴122x a =-≤-且0a >,解得:10,4a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦;综上:a 的取值范围是1[0,]4, 故选C. 【点睛】本题考查根据单调区间求解参数范围问题,难度一般.对于形如()2f x ax bx c =++的函数,一定要明确:并不一定是二次函数,可能会出现0a =的情况,所以要分类讨论.15.B解析:B 【解析】对于A ,函数()22y x =-的图象是抛物线,对称轴是x =2,当x <2时是减函数,x >2时是增函数,∴不满足题意;对于B ,函数1,111,1x x y x x x -≥⎧=-=⎨-<⎩,∴当1≥x 时,是增函数,x <1时,是减函数,∴满足题意;对于C ,函数11y x =+,当x <−1,x >−1时,函数是减函数,∴不满足题意;对于D ,函数()21y x =-+的图象是抛物线,对称轴是x =−1,当x >−1时是减函数,x <−1时是增函数,∴不满足题意;故选B.二、填空题16.【分析】令可得是上的增函数根据为奇函数可得为偶函数且在上是减函数分类讨论的符号将变形后利用的单调性可解得结果【详解】令则对于都有所以是上的增函数因为函数为定义在R 上的奇函数所以所以所以是定义在R 上的 解析:(3,0)(3,)-⋃+∞【分析】令()()g x xf x =,可得()g x 是[0,)+∞上的增函数,根据()f x 为奇函数可得()g x 为偶函数,且在(,0)-∞上是减函数,分类讨论x 的符号,将6()f x x>变形后,利用()g x 的单调性可解得结果. 【详解】令()()g x xf x =,则对于12,[0,)x x ∀∈+∞,都有211221()()0()g x g x x x x x ->≠-,所以()g x 是[0,)+∞上的增函数,因为函数()f x 为定义在R 上的奇函数,所以()()f x f x -=-,所以()()()()g x xf x xf x g x -=--==,所以()g x 是定义在R 上的偶函数,所以()g x 在(,0)-∞上是减函数,当0x >时,6()f x x>化为()63(3)xf x f >=,即()(3)g x g >,因为()g x 是[0,)+∞上的增函数,所以3x >,当0x <时,6()f x x>化为()6xf x <,因为()f x 为奇函数,且(3)2f =,所以(3)(3)2f f -=-=-,所以()6xf x <化为()3(3)(3)g x f g <--=-,因为()g x 在(,0)-∞上是减函数,所以30x -<<,综上所述:6()f x x>的解集为(3,0)(3,)-⋃+∞. 故答案为:(3,0)(3,)-⋃+∞【点睛】关键点点睛:构造函数()()g x xf x =,利用()g x 的奇偶性和单调性求解是解题关键.17.【分析】求出的范围后根据绝对值的性质根据最大值得不等关系可得的范围【详解】时当且仅当时等号成立又或时所以而的最大值为10所以的最大值为所以解得故答案为:【点睛】关键点点睛:本题考查函数的最值掌握绝对 解析:[8,)-+∞【分析】 求出229x x+的范围后根据绝对值的性质根据最大值得不等关系,可得a 的范围. 【详解】[3,1]x ∈--时,2[1,9]x ∈,2296x x +≥=,当且仅当23x =时等号成立, 又1x =-或3x =-时,22910x x +=,所以229610a x a a x +≤++≤+, 而()f x 的最大值为10,所以229x a x++的最大值为10a +, 所以100610a a a +≥⎧⎨+≤+⎩,解得8a ≥-.故答案为:[8,)-+∞. 【点睛】关键点点睛:本题考查函数的最值.掌握绝对值的性质是解题关键.当0a b >≥时,a b >,当0a b 时,a b <,当0a b >>时,0a b +>,则a b >,0a b +<时,a b <.18.【分析】等价于再画出函数的图象求出函数的最小值即得解【详解】∵的最大值是0∴函数∴当时恒成立当时∴∴设其函数图象如图:由图象可知当时∴实数的取值范围为故答案为:【点睛】关键点睛:解答本题的关键是找到 解析:6a ≤-【分析】等价于2a x ≤--,再画出函数2y x =--,[]4,4x ∈-的图象求出函数的最小值即得解. 【详解】∵()f x 的最大值是0,∴函数()()242220f x x a x x x a =-++=+-+≤,∴当2x =-时,0f x 恒成立,当2x ≠-时,∴20x a -+≤,∴2a x ≤--,设2y x =--,[]4,4x ∈-,其函数图象如图:由图象可知,当4x =-时,min 426y =---=-, ∴实数a 的取值范围为6a ≤-. 故答案为:6a ≤-. 【点睛】关键点睛:解答本题的关键是找到原命题的等价命题,由()()220f x x x a =+-+≤得到2a x ≤--在[]4,4x ∈-上恒成立.再画函数的图象求函数的最小值就自然而然了.19.【分析】对称轴是因此的最大值在中取得然后分类讨论当时在中取得时在中取得求出然后作差根据不等式的性质求得的最大值【详解】设的对称轴是显然的最大值在中取得当时时此时若即时若时若时若即时时取等号若即时时取解析:32-【分析】22()2(1)1g x x x c x c =--=---,对称轴是1x =,因此()g x 的最大值在(0)g ,(1)g ,()g a 中取得.然后分类讨论,当02a <<时,在(0)g ,(1)g 中取得,2a ≥时,在(1)g ,()g a 中取得.求出b ,然后作差b a -,根据不等式的性质求得b a -的最大值. 【详解】设22()2(1)1g x x x c x c =--=---,(0)g c =-,(1)1g c =--,2()2g a a a c =--,()g x 的对称轴是1x =,显然()y g x =的最大值在(0)g ,(1)g ,()g a 中取得.当02a <<时,10c --≥,1c ≤-时,(0)b g c c ==-=-,此时b a c a -=--121>-=-,10c --<,若1c c --≤-,即112c -<≤-时,(0)b g c c ==-=-,13222b ac a -=-->-=-, 若1c c -->-,12c >-时,(1)111b g c c c ==--=+=+,1311222b ac a -=+->--=-,若2a ≥时,若212c a a c --≤--,即2212a a c --≤时,22()22b g a a a c a a c ==--=--,222221(2)3333222a a ab a a ac a a -----=--≥--=≥-,2a =时取等号,若212c a a c -->--,即2212a a c -->时,(1)11b gc c ==--=+1c =+,222141311222a a a ab ac a a ---+-=+->+-=≥-,2a =时取等号.综上所述,b a -的最小值是32-. 故答案为:32-.方法点睛:本题考查绝对值的最大值问题,解题关键是求出最大值b ,方法是分类讨论,由于有绝对值符号,引入二次函数2()2g x x x c =--后确定b 只能在(0)g ,(1)g ,()g a 中取得.然后分类讨论求得最大值.才可以作差b a -得其最小值.20.【分析】根据函数的解析式有意义列出不等式求解即可【详解】因为所以即解得所以函数的定义域为故答案为:【点睛】本题主要考查了给出函数解析式的函数的定义域问题考查了对数函数的性质属于中档题 解析:(0,2)【分析】根据函数的解析式有意义列出不等式求解即可. 【详解】 因为()f x =所以21log 00x x ->⎧⎨>⎩,即2log 10x x <⎧⎨>⎩解得02x <<,所以函数的定义域为(0,2), 故答案为:(0,2) 【点睛】本题主要考查了给出函数解析式的函数的定义域问题,考查了对数函数的性质,属于中档题.21.5【分析】先根据函数的奇偶性求出的值然后将代入小于0的解析式建立等量关系解之即可【详解】函数是奇函数而则将代入小于0的解析式得解得故答案为5解析:5 【分析】先根据函数的奇偶性求出(2)f -的值,然后将2x =-代入小于0的解析式,建立等量关系,解之即可. 【详解】∴函数()y f x =是奇函数,()()f x f x ∴-=-,而(2)6f =,则(2)(2)6f f -=-=-, 将2x =-代入小于0的解析式得(2)426f a -=-=-,故答案为5.22.【分析】首先根据已知条件依次得到在附近的区间对应的函数解析式然后按其规律画出函数的图像再根据不等式恒成立的意义与函数图像即可求得实数m 的取值范围【详解】当时则当时则当时则由此作出图象如图所示由图知当解析:7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【分析】首先根据已知条件依次得到在(0,1]x ∈附近的区间,(1,2]x ∈、(2,3]x ∈对应的函数解析式,然后按其规律画出函数的图像,再根据不等式恒成立的意义与函数图像即可求得实数m 的取值范围 【详解】当10-<≤x 时,011x <+≤,则11()(1)(1)22f x f x x x =+=+, 当12x <≤时,011x <-≤,则()2(1)2(1)(2)f x f x x x =-=--,当23x <≤时,021x <-≤,则22()2(1)2(2)2(2)(3)f x f x f x x x =-=-=--,由此作出()f x 图象如图所示,由图知当23x <≤时,令282(2)(3)9x x --=-, 整理得:(37)(38)0x x --=, 解得:73x =或83x =,要使对任意的(,]x m ∈-∞,都有8()9f x ≥-,必有73m ≤, 所以m 的取值范围是7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦,故答案为:7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【点睛】本题主要考查函数的解析式,函数的图象,不等式恒成立问题,考查分类讨论,数形结合的思想,属于中档题.23.1【分析】根据幂函数的定义与性质列不等式求出的取值范围再验证是否满足条件即可【详解】幂函数在上单调递减所以的整数值为0或12;当时不是偶函数;当时是偶函数;当时不是偶函数;所以整数的值是1故答案为:解析:1 【分析】根据幂函数的定义与性质,列不等式求出m 的取值范围,再验证是否满足条件即可. 【详解】 幂函数223()mm f x x --=在(0,)+∞上单调递减,所以2230m m --<,13m -<<,m 的整数值为0或1,2;当0m =时,3()-=f x x 不是偶函数; 当1m =时,4()f x x -=是偶函数; 当2m =时,3()-=f x x 不是偶函数; 所以整数m 的值是1. 故答案为:1. 【点睛】本题主要考查了幂函数的定义与性质的应用问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.24.8【分析】首先画出的图象根据图象即可求出函数的最大值【详解】函数的图象如图所示:由图可知故答案为:【点睛】本题主要考查利用函数的图象求最值熟练画出函数图象为解题的关键属于中档题解析:8 【分析】首先画出()f x 的图象,根据图象即可求出函数的最大值. 【详解】函数()f x 的图象如图所示:由图可知,max ()(2)44=8f x f =-=+. 故答案为:8 【点睛】本题主要考查利用函数的图象求最值,熟练画出函数图象为解题的关键,属于中档题.25.1【分析】函数然后根据奇偶性的性质可求解然后得出的值【详解】函数令则即为奇函数故所以所以故答案为:【点睛】本题考查函数的奇偶性及应用难度一般灵活转化是关键解析:1 【分析】 函数()()22sin 21x exf x x e π+=++,然后根据奇偶性的性质可求解M m +,然后得出2020(1)M m +-的值.【详解】函数()()()2222222cos sin 22x x e x x e ex f x x e x e πππ⎛⎫-++ ⎪+++⎝⎭==++ ()22sin 21x ex x eπ+=++, 令()()22sin 2x ex g x x e π+=+,则()()()()2222sin 2sin 2x ex x exg x g x x e x eππ+---===-++, 即()g x 为奇函数,故()()max min 0g x g x +=所以()()max min 112M m g x g x +=+++=,所以()202011M m +-=.故答案为:1. 【点睛】本题考查函数的奇偶性及应用,难度一般,灵活转化是关键.26.②③【解析】①错∵∴不是偶函数②∵由图象知在上单调递增正确③时关于原点对称正确④若时只有一个零点错误综上正确命题为②③解析:②③ 【解析】①错,∵()f x x x b =+,()()f x x x b f x -=-+≠,∴()y f x =不是偶函数.②∵22(0)()(0)x b x f x x b x ⎧+>=⎨-+≤⎩,由图象知()f x 在R 上单调递增,正确.③0b =时,22(0)()(0)x x f x x x ⎧>=⎨-≤⎩,()f x 关于原点对称,正确.④若0b =时,()f x 只有一个零点,错误.综上,正确命题为②③.。

高中数学 第三章 函数的应用测评 新人教A版必修1(2021年最新整理)

高中数学 第三章 函数的应用测评 新人教A版必修1(2021年最新整理)

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第三章函数的应用(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知下列四个函数图象,其中能用二分法求出函数零点的是()解析:由二分法的定义易知选A。

答案:A2.已知函数f(x)=2x—b的零点为x0,且x0∈(—1,1),则b的取值范围是()A.(-2,2)B。

(—1,1)C。

D.(—1,0)解析:解方程f(x)=2x—b=0,得x0=,所以∈(—1,1),即b∈(-2,2).答案:A3.已知函数f(x)=e x—x2,则在下列区间内,函数必有零点的是()A.(—2,-1)B。

(-1,0)C。

(0,1)D。

(1,2)解析:f(-2)=—4〈0,f(—1)=—1<0,f(0)=e0=1〉0,f(1)=e-1〉0,f(2)=e2-4>0.∵f(-1)·f(0)<0,∴f(x)在区间(—1,0)内必有零点。

答案:B4。

下列给出的四个函数f(x)的图象中能使函数y=f(x)—1没有零点的是()解析:把y=f(x)的图象向下平移一个单位长度后,只有C中的图象满足y=f(x)—1与x轴无交点。

答案:C5.已知一根蜡烛长为20 cm,若点燃后每小时燃烧5 cm,则蜡烛燃烧剩下的高度h(单位:cm)与燃烧时间t(单位:小时)的函数关系用图象表示为()解析:本题结合函数图象考查一次函数模型.由题意得h=20—5t(0≤t≤4),故选B。

高一上学期数学(必修一)《第三章函数的应用》同步练习题及答案(人教版)

高一上学期数学(必修一)《第三章函数的应用》同步练习题及答案(人教版)

高一上学期数学(必修一)《第三章函数的应用》同步练习题及答案(人教版)一、单选题1.某公司今年销售一种产品,一月份获得利润10万元,由于产品畅销,利润逐月增加,第一季度共获利42万元,已知二月份和三月份利润的月增长率相同.设二、三月份利润的月增长率为x ,则x 满足的方程为( )A .210(1)42x +=B .21010(1)42x ++=C .1010(1)10(12)42x x ++++=D .21010(1)10(1)42x x ++++=2.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系,如图所示,由图中给出的信息可知,营销人员没有销售量时的收入是( )A .310元B .300元C .390元D .280元3.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车,销售x 辆该品牌车的利润(单位:万元)分别为2121L x x=-+和22L x =.若该公司在两地共销售15辆,则能获得的最大利润为( )A .90万元B .60万元C .120万元D .120.25万元4.把长为12cm 的细铁丝截成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个正三角形面积之和的最小值是( )A .233cm 2B .24cmC .232cmD .223cm5.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x 为( )m .A .400B .12C .20D .306.单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”,与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数N 满足关系2010000.70.3v N v v d =++,其中0d 为安全距离,v为车速()m /s .当安全距离0d 取30m 时,该道路一小时“道路容量”的最大值约为( )A .135B .149C .165D .1957.某中学体育课对女生立定跳远项目的考核标准为:立定跳远距离1.33米得5分,每增加0.03米,分值增加5分,直到1.84米得90分后,每增加0.1米,分值增加5分,满分为120分.若某女生训练前的成绩为70分,经过一段时间的训练后,成绩为105分,则该女生训练后,立定跳远距离增加了( )A .0.33米B .0.42米C .0.39米D .0.43米8.周末,自行车骑行爱好者甲、乙两人相约沿同一路线从A 地出发前往B 地进行骑行训练,甲、乙分别以不同的速度匀速骑行,乙比甲早出发5分钟.乙骑行25分钟后,甲以原速的85继续骑行,经过一段时间,甲先到达B 地,乙一直保持原速前往B 地.在此过程中,甲、乙两人相距的路程y (单位:米)与乙骑行的时间x (单位:分钟)之间的关系如图所示,则下列说法错误的是( )A .乙的速度为300米/分钟B .25分钟后甲的速度为400米/分钟C .乙比甲晚14分钟到达B 地D .A 、B 两地之间的路程为29400米二 、多选题 9.根据统计,一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位:分钟)为f(x)=√x x <A,√A x ⩾A(A,c 为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A 件产品用时15分钟,下列结果正确的是( )A. A =16B. c =60C. A =4D. c =3010.对任意两个实数a ,b ,定义max{ a,b}={a,a >b,若f(x)=2−x 2,g(x)=x 2下列关于函数F(x)=max{ f(x),g(x)}的说法正确的有( )A. 函数F(x)是偶函数B. 函数F(x)有四个单调区间C. 方程F(x)=2有四个不同的根D. 函数F(x)的最大值为1,无最小值11.函数y =[x]的函数值表示不超过x 的最大整数.例如[1.1]=1,[2.3]=2设函数f(x)={1−x 2,x <0,x −[x],x ⩾0,则下列说法正确的是( )A. 函数f(x)的值域为(−∞,0]B. 若x ⩾0,则[f(x)]=0C. 方程f(x)=1有无数个实数根D. 若方程f(x)=−x +a 有两个不等的实数根,则实数a 的取值范围是[0,+∞)12.已知函数f(x)={x 2,x ⩽0,−x 2,x >0,则下列结论中正确的是( ) A. f(√2)=2B. 若f(m)=9,则m ≠±3C. f(x)是奇函数D. 在f(x)上R 单调递减三、填空题13.某建材商场国庆期间搞促销活动,规定:如果顾客选购物品的总金额不超过600元,则不享受任何折扣优惠;如果顾客选购物品的总金额超过600元,则超过600元部分享受一定的折扣优惠,折扣优惠按下表累计计算. 可以享受折扣优惠金额折扣优惠率 不超过500元的部分5% 超过500元的部分 10% 某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元,则他实际所付金额为__________元.14.函数()()222323y x x x x =---+零点的个数为_____________.15.如图,在半径为4(单位:cm )的半圆形(O 为圆心)铁皮上截取一块矩形材料ABCD ,其顶点,A B 在直径上,顶点,C D 在圆周上,则矩形ABCD 面积的最大值为____(单位:2cm ).四、解答题16..如图,某灌溉渠的横断面是等腰梯形,底宽2m ,渠深为1.8m ,斜坡的倾斜角是45°(无水状态不考虑).(1)试将横断面中水的面积()A h (2m )表示成水深h (m )的函数;(2)当水深为1.2m 时,求横断面中水的面积.17.“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明:“活水围网”养鱼时,某种鱼在一定的条件下,把每尾鱼的平均生长速度v (单位:千克/年)表示为养殖密度x (单位:尾/立方米)的函数.当04x <≤时,v 的值为2;当420x <≤时,v 是关于x 的一次函数.当x =20时,因缺氧等原因,v 的值为0.(1)当020x <≤时,求函数()v x 的表达式;(2)当x 为多大时,鱼的年生长量(单位:千克/立方米)()()f x x v x =⋅可以达到最大?并求出最大值.18.首届世界低碳经济大会在南昌召开,本届大会以“节能减排,绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关,采取了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似的表示为21200800002y x x =-+ ,且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元. (1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?(2)该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损?19.吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奥会强势出圈,并衍生出很多不同品类的吉祥物手办.某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产,已知生产此玩具手办的固定成本为200万元.每生产x 万盒,需投入成本()h x 万元,当产量小于或等于50万盒时()180100h x x =+;当产量大于50万盒时()2603500h x x x =++,若每盒玩具手办售价200元,通过市场分析,该企业生产的玩具手办可以全部销售完(利润=售价-成本,成本=固定成本+生产中投入成本)(1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润y (万元)关于产量x (万盒)的函数关系式;(2)当产量为多少万盒时,该企业在生产中所获利润最大?20.随着城市居民汽车使用率的增加,交通拥堵问题日益严重,而建设高架道路、地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵问题的有效措施.某市城市规划部门为提高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力,研究了该隧道内的车流速度v (单位:千米/小时)和车流密度x (单位:辆/千米)所满足的关系式:()60,030R 80,30120150x v k k x x <≤⎧⎪=∈⎨-<≤⎪-⎩.研究表明:当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞,此时车流速度是0千米/小时.(1)若车流速度v 不小于40千米/小时,求车流密度x 的取值范围;(2)隧道内的车流量y (单位时间内通过隧道的车辆数,单位:辆/小时)满足y x v =⋅,求隧道内车流量的最大值(精确到1辆/小时),并指出当车流量最大时的车流密度(精确到1辆/千米).(参考数据:5 2.236) 参考答案1.D 2.B3.C4.D5.C6.B7.B8.C9.AB;10.AB;11.BD;12.CD;13.112014.215.1616.(1)依题意,横断面中的水面是下底为2m ,上底为()22h +m ,高为h m 的等腰梯形,所以()()()222220 1.82h A h h h h h ++=⋅=+<≤. (2)由(1)知()()220 1.8A h h h h =+<≤ ()21.2 1.22 1.2 3.84h =+⨯=所以当水深为1.2m 时,横断面水中的面积为3.842m .17.(1)依题意,当04x <≤时()2v x =;当420x <≤时,()v x 是关于x 的一次函数,假设()(0)v x ax b a =+≠则42200a b a b +=⎧⎨+=⎩,解得0.1252.5a b =-⎧⎨=⎩所以()2,040.125 2.5,420x v x x x <≤⎧=⎨-+<≤⎩. (2)当04x <≤时()()()2028v x f x x v x x =⇒<=⋅=≤;当420x <≤时()()20.125 2.50.125 2.5v x x f x x x =-+⇒=-+当()2.51020.125x =-=⨯-时,()f x 取得最大值()1012.5f =. 因为12.58>,所以当x =10时,鱼的年生长量()f x 可以达到最大,最大值为12.53/千克米.18.(1)由题意知,平均每吨二氧化碳的处理成本为180000180000200220020022y x x x x x=+-≥⋅-=; 当且仅当1800002x x = ,即400x = 时等号成立 故该当每月处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低为200元.(2)不获利,设该单位每个月获利为S 元,则2211100100200800003008000022S x y x x x x x ⎛⎫=-=--+=-+- ⎪⎝⎭()21300350002x =--- 因为[]400,600x ∈,则[]80000,40000S ∈--故该当单位每月不获利,需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损.19.(1)当产量小于或等于50万盒时20020018010020300y x x x =---=-当产量大于50万盒时222002006035001403700y x x x x x =----=-+-故销售利润y (万元)关于产量x (万盒)的函数关系式为220300,050,N 1403700,50x x y x x x x -≤≤⎧=∈⎨-+->⎩(2)当050x ≤≤时2050300700y ≤⨯-=;当50x >时21403700y x x =-+-当140702x ==时,21403700y x x =-+-取到最大值,为1200. 因为7001200<,所以当产量为70万盒时,该企业所获利润最大.20.(1)解:由题意知当120x =(辆/千米)时,0v =(千米/小时)代入80150k v x=--,解得2400k = 所以60,030240080,30120150x v x x <≤⎧⎪=⎨-<≤⎪-⎩. 当030x <≤时,6040v =≥,符合题意;当30120x <≤时,令24008040150x-≥-,解得90x ≤,所以3090x <≤. 所以,若车流速度v 不小于40千米/小时,则车流密度x 的取值范围是(]0,90.(2)解:由题意得60,030240080,30120150x x y x x x x <≤⎧⎪=⎨-<≤⎪-⎩当030x <≤时,60y x =为增函数,所以1800y ≤,当30x =时等号成立;当30120x <≤时 ()()2150180150450024004500808080180150150150150x x x y x x x x x --+--⎡⎤⎛⎫=-==--+ ⎪⎢⎥---⎝⎭⎣⎦ 4800(35)3667≤-≈. 当且仅当4500150150x x-=-,即30(55)83x =-≈时等号成立. 所以,隧道内车流量的最大值约为3667辆/小时,此时车流密度约为83辆/千米.。

高中数学必修一第三章《函数的应用》单元测试卷及答案2套

高中数学必修一第三章《函数的应用》单元测试卷及答案2套

高中数学必修一第三章《函数的应用》单元测试卷及答案2套测试卷一(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.函数y =1+1x的零点是( )A .(-1,0)B .-1C .1D .02.设函数y =x 3与y =(12)x -2的图象的交点为(x 0,y 0),则x 0所在的区间是( )A .(0,1)B .(1,2)C .(2,3)D .(3,4)3.某企业2010年12月份的产值是这年1月份产值的P 倍,则该企业2010年度产值的月平均增长率为( )A .P P -1 B .11P -1C .11PD .P -1114.如图所示的函数图象与x 轴均有交点,其中不能用二分法求图中交点横坐标的是( )A .①③B .②④C .①②D .③④5.如图1,直角梯形OABC 中,AB∥OC,AB =1,OC =BC =2,直线l∶x=t 截此梯形所得位于l 左方图形面积为S ,则函数S =f(t)的图象大致为图中的( )图16.已知在x 克a%的盐水中,加入y 克b%的盐水,浓度变为c%,将y 表示成x 的函数关系式为( )A .y =c -ac -b x B .y =c -ab -c x C .y =c -bc -axD .y =b -cc -ax 7.某单位职工工资经过六年翻了三番,则每年比上一年平均增长的百分率是( ) (下列数据仅供参考:2=1.41,3=1.73,33=1.44,66=1.38)A .38%B .41%C .44%D .73%8.某工厂生产某种产品的固定成本为200万元,并且生产量每增加一单位产品,成本增加1万元,又知总收入R 是单位产量Q 的函数:R(Q)=4Q -1200Q 2,则总利润L(Q)的最大值是________万元,这时产品的生产数量为________.(总利润=总收入-成本)( )A .250 300B .200 300C .250 350D .200 3509.在一次数学实验中,运用图形计算器采集到如下一组数据:x -2.0 -1.0 0 1.00 2.00 3.00 y0.240.5112.023.988.02则x 、y )A .y =a +bxB .y =a +b xC .y =ax 2+bD .y =a +b x10.根据统计资料,我国能源生产自1986年以来发展得很快,下面是我国能源生产总量(折合亿吨标准煤)的几个统计数据:1986年8.6亿吨,5年后的1991年10.4亿吨,10年后的1996年12.9亿吨,有关专家预测,到2001年我国能源生产总量将达到16.1亿吨,则专家是以哪种类型的函数模型进行预测的?( )A .一次函数B .二次函数C .指数函数D .对数函数11.用二分法判断方程2x 3+3x -3=0在区间(0,1)内的根(精确度0.25)可以是(参考数据:0.753=0.421875,0.6253=0.24414)( )A .0.25B .0.375C .0.635D .0.82512.有浓度为90%的溶液100g ,从中倒出10g 后再倒入10g 水称为一次操作,要使浓度低于10%,这种操作至少应进行的次数为(参考数据:lg 2=0.3010,lg 3=0.4771)( )A .19B .20C .21D .22二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.用二分法研究函数f(x)=x 3+2x -1的零点,第一次经计算f(0)<0,f(0.5)>0,可得其中一个零点x 0∈________,第二次计算的f(x)的值为f(________).14.若函数f(x)=a x-x -a(a>0,且a≠1)有两个零点,则实数a 的取值范围为________.15.一批设备价值a 万元,由于使用磨损,每年比上一年价值降低b%,则n 年后这批设备的价值为________________万元.16.函数f(x)=x 2-2x +b 的零点均是正数,则实数b 的取值范围是________. 三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)华侨公园停车场预计“十·一”国庆节这天停放大小汽车1200辆次,该停车场的收费标准为:大车每辆次10元,小车每辆次5元.(1)写出国庆这天停车场的收费金额y(元)与小车停放辆次x(辆)之间的函数关系式,并指出x 的取值范围.(2)如果国庆这天停放的小车占停车总辆数的65%~85%,请你估计国庆这天该停车场收费金额的范围.18.(12分)光线通过一块玻璃,其强度要损失10%,把几块这样的玻璃重叠起来,设光线原来的强度为a ,通过x 块玻璃后强度为y.(1)写出y 关于x 的函数关系式;(2)通过多少块玻璃后,光线强度减弱到原来的13以下?(lg 3≈0.4771)19.(12分)某医药研究所开发一种新药,据监测,如果成人按规定的剂量服用,服用药后每毫升中的含药量y(微克)与服药的时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线,其中OA 是线段,曲线AB 是函数y =ka t(t≥1,a>0,且k ,a 是常数)的图象.(1)写出服药后y 关于t 的函数关系式;(2)据测定,每毫升血液中的含药量不少于2微克时治疗疾病有效.假设某人第一次服药为早上6∶00,为保持疗效,第二次服药最迟应当在当天几点钟?(3)若按(2)中的最迟时间服用第二次药,则第二次服药后3小时,该病人每毫升血液中的含药量为多少微克(精确到0.1微克)?20.(12分)已知一次函数f(x)满足:f(1)=2,f(2)=3, (1)求f(x)的解析式;(2)判断函数g(x)=-1+lg f 2(x)在区间[0,9]上零点的个数.21.(12分)截止到2009年底,我国人口约为13.56亿,若今后能将人口平均增长率控制在1%,经过x 年后,我国人口为y 亿.(1)求y 与x 的函数关系式y =f(x);(2)求函数y =f(x)的定义域;(3)判断函数f(x)是增函数还是减函数?并指出函数增减的实际意义.22.(12分)某厂生产某种零件,每个零件的成本为40元,出厂单价定为60元.该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过100个时,每多订购一个,订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元,但实际出厂单价不能低于51元.(1)当一次订购量为多少个时,零件的实际出厂单价恰降为51元?(2)设一次订购量为x 个,零件的实际出厂单价为P 元,写出函数的表达式; (3)当销售商一次订购500个零件时,该厂获得的利润是多少元?如果订购1000个,利润又是多少元?(工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-成本)答案1.B [由1+1x =0,得1x=-1,∴x =-1.]2.B [由题意x 0为方程x 3=(12)x -2的根,令f (x )=x 3-22-x,∵f (0)=-4<0,f (1)=-1<0,f (2)=7>0, ∴x 0∈(1,2).]3.B [设1月份产值为a ,增长率为x ,则aP =a (1+x )11, ∴x =11P -1.]4.A [对于①③在函数零点两侧函数值的符号相同,故不能用二分法求.] 5.C [解析式为S =f (t ) =⎩⎪⎨⎪⎧12t ·2t 0≤t ≤112×1×2+t -1×21<t ≤2=⎩⎪⎨⎪⎧t 20≤t ≤12t -11<t ≤2∴在[0,1]上为抛物线的一段,在(1,2]上为线段.]6.B [根据配制前后溶质不变,有等式a %x +b %y =c %(x +y ),即ax +by =cx +cy ,故y =c -a b -cx .] 7.B [设职工原工资为p ,平均增长率为x , 则p (1+x )6=8p ,x =68-1=2-1=41%.]8.A [L (Q )=4Q -1200Q 2-Q -200=-1200(Q -300)2+250,故总利润L (Q )的最大值是250万元,这时产品的生产数量为300.]9.B [∵x =0时,b x无意义,∴D 不成立. 由对应数据显示该函数是增函数,且增幅越来越快, ∴A 不成立. ∵C 是偶函数,∴x =±1的值应该相等,故C 不成立. 对于B ,当x =0时,y =1, ∴a +1=1,a =0;当x =1时,y =b =2.02,经验证它与各数据比较接近.]10.B [可把每5年段的时间视为一个整体,将点(1,8.6),(2,10.4),(3,12.9)描出,通过拟合易知它符合二次函数模型.]11.C [令f (x )=2x 3+3x -3,f (0)<0,f (1)>0,f (0.5)<0,f (0.75)>0,f (0.625)<0,∴方程2x 3+3x -3=0的根在区间(0.625,0.75)内, ∵0.75-0.625=0.125<0.25,∴区间(0.625,0.75)内的任意一个值作为方程的近似根都满足题意.]12.C [操作次数为n 时的浓度为(910)n +1,由(910)n +1<10%,得n +1>-1lg 910=-12lg3-1≈21.8,∴n ≥21.] 13.(0,0.5) 0.25解析 根据函数零点的存在性定理. ∵f (0)<0,f (0.5)>0,∴在(0,0.5)存在一个零点,第二次计算找中点,即0+0.52=0.25. 14.(1,+∞)解析 函数f (x )的零点的个数就是函数y =a x与函数y =x +a 交点的个数,如下图,由函数的图象可知a >1时两函数图象有两个交点,0<a <1时两函数图象有唯一交点,故a >1.15.a (1-b %)n解析 第一年后这批设备的价值为a (1-b %);第二年后这批设备的价值为a (1-b %)-a (1-b %)·b %=a (1-b %)2; 故第n 年后这批设备的价值为a (1-b %)n. 16.(0,1]解析 设x 1,x 2是函数f (x )的零点,则x 1,x 2为方程x 2-2x +b =0的两正根,则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0x 1+x 2=2>0x 1x 2=b >0,即⎩⎪⎨⎪⎧4-4b ≥0b >0.解得0<b ≤1.17.解 (1)依题意得y =5x +10(1200-x ) =-5x +12000,0≤x ≤1200. (2)∵1200×65%≤x ≤1200×85%, 解得780≤x ≤1020,而y =-5x +12000在[780,1 020]上为减函数, ∴-5×1020+12000≤y ≤-5×780+12000. 即6900≤y ≤8100,∴国庆这天停车场收费的金额范围为[6 900,8 100]. 18.解 (1)依题意:y =a ·0.9x,x ∈N *. (2)依题意:y ≤13a ,即:a ·0.9x≤a3,0.9x≤13=0.91log 30.9,得x ≥log 0.913=-lg32lg3-1≈-0.47710.9542-1≈10.42.答 通过至少11块玻璃后,光线强度减弱到原来的13以下.19.解 (1)当0≤t <1时,y =8t ;当t ≥1时,⎩⎪⎨⎪⎧ka =8,ka 7=1.∴⎩⎪⎨⎪⎧a =22,k =8 2.∴y =⎩⎪⎨⎪⎧8t , 0≤t <1,8222t,t ≥1.(2)令82·(22)t≥2,解得t ≤5. ∴第一次服药5小时后,即第二次服药最迟应当在当天上午11时服药. (3)第二次服药后3小时,每毫升血液中含第一次所服药的药量为y 1=82×(22)8=22(微克);含第二次服药后药量为y 2=82×(22)3=4(微克),y 1+y 2=22+4≈4.7(微克). 故第二次服药再过3小时,该病人每毫升血液中含药量为4.7微克. 20.解 (1)令f (x )=ax +b ,由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧a +b =22a +b =3,解得a =b =1,所以f (x )=x +1(x ∈R ).(2)∵g (x )=-1+lg f 2(x )=-1+lg (x +1)2在区间[0,9]上为增函数,且g (0)=-1<0,g (9)=-1+lg102=1>0,∴函数g (x )在区间[0,9]上零点的个数为1个. 21.解 (1)2009年底人口数:13.56亿. 经过1年,2010年底人口数:13.56+13.56×1%=13.56×(1+1%)(亿). 经过2年,2011年底人口数:13.56×(1+1%)+13.56×(1+1%)×1% =13.56×(1+1%)2(亿). 经过3年,2012年底人口数:13.56×(1+1%)2+13.56×(1+1%)2×1% =13.56×(1+1%)3(亿).∴经过的年数与(1+1%)的指数相同.∴经过x年后人口数为13.56×(1+1%)x(亿).∴y=f(x)=13.56×(1+1%)x.(2)理论上指数函数定义域为R.∵此问题以年作为时间单位.∴此函数的定义域是{x|x∈N*}.(3)y=f(x)=13.56×(1+1%)x.∵1+1%>1,13.56>0,∴y=f(x)=13.56×(1+1%)x是增函数,即只要递增率为正数,随着时间的推移,人口的总数总在增长.22.解(1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时,一次订购量为x0个,则x0=100+60-510.02=550.因此,当一次订购量为550个时,每个零件的实际出厂价恰好降为51元.(2)当0<x≤100时,P=60;当100<x<550时,P=60-0.02·(x-100)=62-x50;当x≥550时,P=51.所以P=f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧60,0<x≤10062-x50,100<x<550,51,x≥550(x∈N).(3)设销售商的一次订购量为x个时,工厂获得的利润为L元,则L=(P-40)x=⎩⎪⎨⎪⎧20x,0<x≤10022x-x250,100<x<550,11x,x≥550(x∈N).当x=500时,L=6000;当x=1000时,L=11000.因此,当销售商一次订购500个零件时,该厂获得的利润是6000元;如果订购1000个,利润是11000元.测试卷二(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.设方程|x 2-3|=a 的解的个数为m ,则m 不可能等于( )A .1B .2C .3D .42.将进货单价为80元的商品按90元一个售出时,能卖出400个,已知该商品每个涨价1元,其销售量就减少20个,为了赚得最大利润,售价应定为( )A .每个110元B .每个105元C .每个100元D .每个95元3.今有一组实验数据如下表,现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律,其中最接近的一个是( )A .y =log 2tB .y =12C .y =t 2-12D .y =2t -24.某商场对顾客实行购物优惠活动,规定一次购物付款总额: (1)如果不超过200元,则不给予优惠;(2)如果超过200元但不超过500元,则按标价给予9折优惠;(3)如果超过500元,其500元内的按第(2)条给予优惠,超过500元的部分给予7折优惠.某人两次去购物,分别付款168元和423元,假设他去一次购买上述同样的商品,则应付款是( )A .413.7元B .513.7元C .548.7元D .546.6元5.方程x 2+ax -2=0在区间[1,5]上有解,则实数a 的取值范围为( )A .(-235,+∞) B .(1,+∞) C .[-235,1]D .(-∞,-235]6.设f(x)是区间[a ,b]上的单调函数,且f(a)f(b)<0,则方程f(x)=0在区间[a ,b]( )A .至少有一实根B .至多有一实根C .没有实根D .必有唯一实根7.方程x 2-(2-a)x +5-a =0的两根都大于2,则实数a 的取值范围是( )A .a<-2B .-5<a<-2C .-5<a≤-4D .a>4或a<-48.四人赛跑,其跑过的路程f(x)和时间x 的关系分别是:f 1(x)=12x ,f 2(x)=14x ,f 3(x)=log 2(x +1),f 4(x)=log 8(x +1),如果他们一直跑下去,最终跑到最前面的人所具有的函数关系是( )A .f 1(x)=12xB .f 2(x)=14xC .f 3(x)=log 2(x +1)D .f 4(x)=log 8(x +1)9.函数f(x)=ln x -2x的零点所在的大致区间是( )A .(1,2)B .(2,3)C .(e,3)D .(e ,+∞)10.已知f(x)=(x -a)(x -b)-2的两个零点分别为α,β,则( )A .a<α<b<βB .α<a<b<βC .a<α<β<bD .α<a<β<b11.设f(x)是连续的偶函数,且当x>0时是单调函数,则满足f(2x)=f(x +1x +4)的所有x之和为( )A .-92B .-72C .-8D .812.在某种金属材料的耐高温实验中,温度随着时间变化的情况由微机记录后再显示的图象如图所示.现给出下面说法:①前5分钟温度增加的速度越来越快; ②前5分钟温度增加的速度越来越慢; ③5分钟以后温度保持匀速增加; ④5分钟以后温度保持不变. 其中正确的说法是( )A .①④B .②④C .②③D .①③二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧log 2x x>03xx≤0,且关于x 的方程f(x)+x -a =0有且只有一个实根,则实数a 的取值范围是______________.14.要建造一个长方体形状的仓库,其内部的高为3m ,长与宽的和为20m ,则仓库容积的最大值为________.15.已知函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧2x-1, x>0,-x 2-2x ,x≤0.若函数g(x)=f(x)-m 有3个零点,则实数m 的取值范围为________.16.若曲线|y|=2x+1与直线y =b 没有公共点,则b 的取值范围是________. 三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)讨论方程4x 3+x -15=0在[1,2]内实数解的存在性,并说明理由.18.(12分)(1)已知f(x)=23x-1+m 是奇函数,求常数m 的值; (2)画出函数y =|3x-1|的图象,并利用图象回答:k 为何值时,方程|3x-1|=k 无解?有一解?有两解?19.(12分)某出版公司为一本畅销书定价如下: C(n)=⎩⎪⎨⎪⎧12n ,1≤n≤24,n ∈N *,11n ,25≤n ≤48,n ∈N *,10n ,n ≥49,n ∈N *,这里n 表示定购书的数量,C (n )是定购n 本书所付的钱数(单位:元).若一本书的成本价是5元,现有甲、乙两人来买书,每人至少买1本,两人共买60本,问出版公司最少能赚多少钱?最多能赚多少钱?20.(12分)是否存在这样的实数a,使函数f(x)=x2+(3a-2)x+a-1在区间[-1,3]上与x轴恒有一个交点,且只有一个交点?若存在,求出范围;若不存在,请说明理由.21.(12分)已知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x-3-a,如果函数y=f(x)在区间[-1,1]上有零点,求实数a的取值范围.22.(12分)我国是水资源比较贫乏的国家之一,各地采用价格调控等手段以达到节约用水的目的.某市用水收费标准是:水费=基本费+超额费+定额损耗费,且有如下三条规定:①若每月用水量不超过最低限量m立方米时,只付基本费9元和每户每月定额损耗费a 元;②若每月用水量超过m立方米时,除了付基本费和定额损耗费外,超过部分每立方米付n元的超额费;③每户每月的定额损耗费a不超过5元.(1)求每户每月水费y(元)与月用水量x(立方米)的函数关系式;(2)该市一家庭今年第一季度每月的用水量和支付的费用如下表所示:m,n,a的值.答案1.A [在同一坐标系中分别画出函数y1=|x2-3|和y2=a的图象,如图所示.可知方程解的个数为0,2,3或4,不可能有1个解.] 2.D [设售价为x 元,则利润y =[400-20(x -90)](x -80)=20(110-x )(x -80)=-20(x 2-190x +8800) =-20(x -95)2+4500.∴当x =95时,y 最大为4500元.]3.C [当t =4时,y =log 24=2,y =12log 4=-2,y =42-12=7.5,y =2×4-2=6.所以y =t 2-12适合,当t =1.99代入A 、B 、C 、D4个选项,y =t 2-12的值与表中的1.5接近,故选C.]4.D [购物超过200元,至少付款200×0.9=180(元),超过500元,至少付款500×0.9=450(元),可知此人第一次购物不超过200元,第二次购物不超过500元,则此人两次购物总金额是168+4230.9=168+470=638(元).若一次购物,应付500×0.9+138×0.7=546.6(元).]5.C [令f (x )=x 2+ax -2,则f (0)=-2<0, ∴要使f (x )在[1,5]上与x 轴有交点,则需要⎩⎪⎨⎪⎧f 1≤0f 5≥0,即⎩⎪⎨⎪⎧a -1≤023+5a ≥0,解得-235≤a ≤1.]6.D [∵f (a )·f (b )<0,∴f (x )在区间[a ,b ]上存在零点,又∵f (x )在[a ,b ]上是单调函数,∴f (x )在区间[a ,b ]上的零点唯一,即f (x )=0在[a ,b ]上必有唯一实根.]7.C [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥02-a2>2f 2>0,解得-5<a ≤-4.]8.B [在同一坐标系下画出四个函数的图象,由图象可知f 2(x )=14x 增长的最快.]9.B [f (2)=ln2-22=ln2-1<1-1=0,f (3)=ln3-23>1-23=13>0.故零点所在区间为(2,3).]10.B [设g (x )=(x -a )(x -b ),则f (x )是由g (x )的图象向下平移2个单位得到的,而g (x )的两个零点为a ,b ,f (x )的两个零点为α,β,结合图象可得α<a <b <β.]11.C [∵x >0时f (x )单调且为偶函数, ∴|2x |=|x +1x +4|,即2x (x +4)=±(x +1). ∴2x 2+9x +1=0或2x 2+7x -1=0. ∴共有四根.∵x 1+x 2=-92,x 3+x 4=-72,∴所有x 之和为-92+(-72)=-8.]12.B [因为温度y 关于时间t 的图象是先凸后平行直线,即5分钟前每当t 增加一个单位增量Δt ,则y 随相应的增量Δy 越来越小,而5分钟后y 关于t 的增量保持为0.故选B.]13.(1,+∞)解析 由f (x )+x -a =0, 得f (x )=a -x ,令y =f (x ),y =a -x ,如图,当a >1时,y =f (x )与y =a -x 有且只有一个交点, ∴a >1. 14.300m 3解析 设长为x m ,则宽为(20-x )m ,仓库的容积为V , 则V =x (20-x )·3=-3x 2+60x,0<x <20,由二次函数的图象知,顶点的纵坐标为V 的最大值. ∴x =10时,V 最大=300(m 3). 15.(0,1)解析 函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x-1, x >0,-x 2-2x ,x ≤0的图象如图所示,该函数的图象与直线y =m 有三个交点时m ∈(0,1),此时函数g (x )=f (x )-m 有3个零点.16.[-1,1]解析 分别作出两个函数的图象,通过图象的交点个数来判断参数的取值范围.曲线|y |=2x +1与直线y =b 的图象如图所示,由图象可得:如果|y |=2x+1与直线y =b 没有公共点,则b 应满足的条件为b ∈[-1,1].17.解 令f (x )=4x 3+x -15, ∵y =4x 3和y =x 在[1,2]上都为增函数. ∴f (x )=4x 3+x -15在[1,2]上为增函数,∵f (1)=4+1-15=-10<0,f (2)=4×8+2-15=19>0, ∴f (x )=4x 3+x -15在[1,2]上存在一个零点, ∴方程4x 3+x -15=0在[1,2]内有一个实数解. 18.解 (1)∵f (x )=23x -1+m 是奇函数,∴f (-x )=-f (x ),∴23-x -1+m =-23x -1-m .∴2·3x1-3x +m =21-3x -m , ∴23x -11-3x+2m =0. ∴-2+2m =0,∴m =1.(2)作出直线y =k 与函数y =|3x-1|的图象,如图.①当k <0时,直线y =k 与函数y =|3x-1|的图象无交点,即方程无解;②当k =0或k ≥1时,直线y =k 与函数y =|3x-1|的图象有唯一的交点,所以方程有一解;③当0<k <1时,直线y =k 与函数y =|3x-1|的图象有两个不同的交点,所以方程有两解.19.解 设甲买n 本书,则乙买(60-n )本(不妨设甲买的书少于或等于乙买的书),则n ≤30,n ∈N *.①当1≤n ≤11且n ∈N *时,49≤60-n ≤59,出版公司赚的钱数f (n )=12n +10(60-n )-5×60=2n +300; ②当12≤n ≤24且n ∈N *时,36≤60-n ≤48, 出版公司赚的钱数f (n )=12n +11(60-n )-5×60=n +360;③当25≤n ≤30且n ∈N *时,30≤60-n ≤35, 出版公司赚的钱数f (n )=11×60-5×60=360. ∴f (n )=⎩⎪⎨⎪⎧2n +300, 1≤n ≤11,n ∈N *,n +360,12≤n ≤24,n ∈N *,360,25≤n ≤30,n ∈N *.∴当1≤n ≤11时,302≤f (n )≤322; 当12≤n ≤24时,372≤f (n )≤384; 当25≤n ≤30时,f (n )=360.故出版公司最少能赚302元,最多能赚384元. 20.解 若实数a 满足条件, 则只需f (-1)f (3)≤0即可.f (-1)f (3)=(1-3a +2+a -1)(9+9a -6+a -1)=4(1-a )(5a +1)≤0,所以a ≤-15或a ≥1.检验:(1)当f (-1)=0时a =1, 所以f (x )=x 2+x .令f (x )=0,即x 2+x =0,得x =0或x =-1. 方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故a ≠1. (2)当f (3)=0时a =-15,此时f (x )=x 2-135x -65.令f (x )=0,即x 2-135x -65=0,解得,x =-25或x =3.方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故a ≠-15.综上所述,a ∈(-∞,-15)∪(1,+∞).21.解 当a =0时,函数为f (x )=2x -3,其零点x =32不在区间[-1,1]上.当a ≠0时,函数f (x )在区间[-1,1]分为两种情况: ①函数在区间[-1,1]上只有一个零点,此时:⎩⎪⎨⎪⎧Δ=4-8a -3-a ≥0f -1·f 1=a -5a -1≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ=4-8a -3-a =0-1≤-12a ≤1,解得1≤a ≤5或a =-3-72.②函数在区间[-1,1]上有两个零点,此时⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0-1<-12a <1f -1f 1≥0,即⎩⎪⎨⎪⎧8a 2+24a +4>0-1<-12a<1a -5a -1≥0.解得a ≥5或a <-3-72.综上所述,如果函数在区间[-1,1]上有零点,那么实数a 的取值范围为(-∞,-3-72]∪[1,+∞). 22.解 (1)依题意,得y =⎩⎪⎨⎪⎧9+a ,0<x ≤m , ①9+n x -m +a ,x >m .②其中0<a ≤5.(2)∵0<a ≤5,∴9<9+a ≤14.由于该家庭今年一、二月份的水费均大于14元,故用水量4立方米,5立方米都大于最低限量m 立方米.将⎩⎪⎨⎪⎧x =4,y =17和⎩⎪⎨⎪⎧x =5,y =23分别代入②,得⎩⎪⎨⎪⎧17=9+n 4-m +a , ③23=9+n 5-m +a .④③-④,得n =6.代入17=9+n (4-m )+a ,得a =6m -16. 又三月份用水量为2.5立方米,若m <2.5,将⎩⎪⎨⎪⎧x =2.5,y =11代入②,得a =6m -13,这与a =6m -16矛盾.∴m ≥2.5,即该家庭三月份用水量2.5立方米没有超过最低限量.将⎩⎪⎨⎪⎧x =2.5,y =11代入①,得11=9+a ,由⎩⎪⎨⎪⎧a =6m -16,11=9+a ,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =2,m =3.∴该家庭今年一、二月份用水量超过最低限量,三月份用水量没有超过最低限量,且m =3,n =6,a =2.。

高中数学必修一第三章《函数的应用》单元测试题(含答案)

高中数学必修一第三章《函数的应用》单元测试题(含答案)

高中数学必修一第三章单元测试题《函数的应用》(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.函数f(x)的图象如图所示,函数f(x)零点的个数为( )A.1个B.2个C.3个D.4个2.若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象为连续不断的一条曲线,则下列说法正确的是( )A.若f(a)f(b)>0,不存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0B.若f(a)f(b)<0,存在且只存在一个实数c∈(a,b)使得f(c)=0C.若f(a)f(b)>0,有可能存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0D.若f(a)f(b)<0,有可能不存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0【补偿训练】下列函数中能用二分法求零点的是( )3.已知方程x=3-lgx,下列说法正确的是( )A.方程x=3-lgx的解在区间(0,1)内B.方程x=3-lgx的解在区间(1,2)内C.方程x=3-lgx的解在区间(2,3)内D.方程x=3-lgx的解在区间(3,4)内4.已知f(x)唯一的零点在区间(1,3),(1,4),(1,5)内,那么下面命题错误的是( )A.函数f(x)在(1,2)或[2,3]内有零点B.函数f(x)在(3,5)内无零点C.函数f(x)在(2,5)内有零点D.函数f(x)在(2,4)内不一定有零点5.设x0是方程lnx+x=4的解,则x在下列哪个区间内( )A.(3,4)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)6.下列方程在区间(0,1)存在实数解的是( )A.x2+x-3=0B.x+1=0C.x+lnx=0D.x2-lgx=07.函数f(x)=3x-log2(-x)的零点所在区间是( )A. B.(-2,-1)C.(1,2)D.【补偿训练】在下列区间中,函数f(x)=e x+4x-3的零点所在的区间为( )A. B.C. D.【解析】选C.将选项代入f(x)=e x+4x-3.8.某种型号的手机自投放市场以来,经过两次降价,单价由原来的2000元降到1280元,则这种手机的价格平均每次降低的百分率是( )A.10%B.15%C.18%D.20%9.向高为H的圆锥形漏斗注入化学溶液(漏斗下方口暂时关闭),注入溶液量V与溶液深度h的函数图象是( )10.若方程a x-x-a=0有两个解,则a的取值范围是( )A.(1,+∞)B.(0,1)C.(0,+∞)D.∅【补偿训练】函数f(x)=+k有两个零点,则( )A.k=0B.k>0C.0≤k<1D.k<011.若函数f的零点与g=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25,则f可以是( )A.f=4x-1B.f=(x-1)2C.f=e x-1D.f=ln12.如图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距80km的两城镇间旅行的函数图象,由图可知:骑自行车者用了6小时,沿途休息了1小时,骑摩托车者用了2小时,根据这个函数图象,推出关于这两个旅行者的如下信息:①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时,晚到1小时;②骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动;③骑摩托车者在出发了1.5小时后,追上了骑自行车者.其中正确信息的序号是( )A.①②③B.①③C.②③D.①②二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.(2015·南昌高一检测)用“二分法”求方程x3-2x-5=0在区间[2,3]内的实根,取区间中点=2.5,那么下一个有根的区间是.为x14.已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)-k=0有唯一一个实数根,则实数k的取值范围是.【补偿训练】若函数f(x)=|7x-1|-k有两个零点,则实数k的取值范围是.15.若函数f(x)=lgx+x-3的近似零点在区间(k,k+1)(k∈Z)内,则k= .16.定义在R上的偶函数y=f(x),当x≥0时,y=f(x)是单调递减的,f(1)·f(2)<0,则y=f(x)的图象与x轴的交点个数是.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2015·杭州高一检测)已知函数f(x)的图象是连续的,有如下表格,判断函数在哪几个区间上有零点.x -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2f(x) -3.51 1.02 2.37 1.56 -0.38 1.23 2.77 3.45 4.8918.(12分)设f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab的两个零点分别是-3,2.(1)求f(x).(2)当函数f(x)的定义域为[0,1]时,求其值域.19.(12分)用二分法求方程2x+x-8=0在区间(2,3)内的近似解.(精确度为0.1,参考数据:22.5≈5.657,22.25≈4.757,22.375≈5.187,22.4375≈5.417,22.75≈6.727)20.(12分)已知二次函数f(x)的图象过点(0,3),它的图象的对称轴为x=2,且f(x)的两个零点的平方和为10,求f(x)的解析式.21.(12分)(2015·徐州高一检测)在经济学中,函数f(x)的边际函数为Mf(x),定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x),某公司每月最多生产100台报警系统装置,生产x台的收入函数为R(x)=3000x-20x2(单位:元),其成本函数为C(x)=500x+4000(单位:元),利润的函数等于收入与成本之差.求出利润函数p(x)及其边际利润函数Mp(x);判断它们是否具有相同的最大值;并写出本题中边际利润函数Mp(x)最大值的实际意义.22.(12分)A地某校准备组织学生及学生家长到B地进行社会实践,为便于管理,所有人员必须乘坐在同一列火车上;根据报名人数,若都买一等座单程火车票需17010元,若都买二等座单程火车票且花钱最少,则需11220元;已知学生家长与教师的人数之比为2∶1,从A到B的火车票价格(部分)如下表所示:(1)参加社会实践的老师、家长与学生各有多少人?(2)由于各种原因,二等座火车票单程只能买x张(x小于参加社会实践的人数),其余的须买一等座火车票,在保证每位参与人员都有座位坐的前提下,请你设计最经济的购票方案,并写出购买火车票的总费用(单程)y与x之间的函数关系式.(3)请你做一个预算,按第(2)小题中的购票方案,购买单程火车票至少要花多少钱?最多要花多少钱?高中数学必修一第三章单元测试题《函数的应用》(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2015·洛阳高一检测)函数f(x)的图象如图所示,函数f(x)零点的个数为( )A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选D.由图象知与x轴有4个交点,则函数f(x)共有4个零点.2.(2015·宜昌高一检测)若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象为连续不断的一条曲线,则下列说法正确的是( )A.若f(a)f(b)>0,不存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0B.若f(a)f(b)<0,存在且只存在一个实数c∈(a,b)使得f(c)=0C.若f(a)f(b)>0,有可能存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0D.若f(a)f(b)<0,有可能不存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0【解析】选C.f(a)f(b)<0时,存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0,f(a)f(b)>0时,可能存在实数c ∈(a,b)使得f(c)=0.【补偿训练】下列函数中能用二分法求零点的是( )【解析】选C.在A中,函数无零点,在B和D中,函数有零点,但它们在零点两侧的函数值的符号相同,因此它们都不能用二分法来求零点.而在C中,函数图象是连续不断的,且图象与x轴有交点,并且其零点两侧的函数值异号,所以C中的函数能用二分法求其零点.3.已知方程x=3-lgx,下列说法正确的是( )A.方程x=3-lgx的解在区间(0,1)内B.方程x=3-lgx的解在区间(1,2)内C.方程x=3-lgx的解在区间(2,3)内D.方程x=3-lgx的解在区间(3,4)内【解析】选C.2<3-lg2,3>3-lg3,又f(x)=x+lgx-3在(0,+∞)上是单调递增的,所以方程x=3-lgx 的解在区间(2,3)内.4.(2015·长沙高一检测)已知f(x)唯一的零点在区间(1,3),(1,4),(1,5)内,那么下面命题错误的是( )A.函数f(x)在(1,2)或[2,3]内有零点B.函数f(x)在(3,5)内无零点C.函数f(x)在(2,5)内有零点D.函数f(x)在(2,4)内不一定有零点【解析】选C.f(x)唯一的零点在区间(1,3),(1,4),(1,5)内,则区间(1,3)内必有零点,(2,5)内不一定有零点,(3,5)内无零点,所以选C.5.(2015·临川高一检测)设x0是方程lnx+x=4的解,则x在下列哪个区间内( )A.(3,4)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)【解析】选D.令f(x)=lnx+x-4,由于f(2)=ln2+2-4<0,f(3)=ln3+3-4>0,f(2)·f(3)<0,又因为函数f(x)在(2,3)内连续,故函数f(x)在(2,3)内有零点,即方程lnx+x=4在(2,3)内有解.6.(2015·新余高一检测)下列方程在区间(0,1)存在实数解的是( )A.x2+x-3=0B.x+1=0C.x+lnx=0D.x2-lgx=0【解题指南】先从好判断的一次方程、二次方程入手,不好求解的利用函数图象的交点进行判断.【解析】选C.x2+x-3=0的实数解为x=和x=,不属于区间(0,1);x+1=0的实数解为x=-2,不属于区间(0,1);x2-lgx=0在区间(0,1)内无解,所以选C,图示如下:7.(2015·郑州高一检测)函数f(x)=3x-log2(-x)的零点所在区间是( )A. B.(-2,-1)C.(1,2)D.【解题指南】本题如果注意到定义域可排除C,D选项,用f(a)·f(b)<0去验证B选项即可得到答案.【解析】选B.f(x)=3x-log2(-x)的定义域为(-∞,0),所以C,D不能选;又f(-2)·f(-1)<0,且f(x)在定义域内是单调递增函数,故零点在(-2,-1)内.【补偿训练】在下列区间中,函数f(x)=e x+4x-3的零点所在的区间为( )A. B.C. D.【解析】选C.将选项代入f(x)=e x+4x-3.检验f f=(-2)(-1)<0,且f(x)=e x+4x-3的图象在上连续不断,故选C.8.某种型号的手机自投放市场以来,经过两次降价,单价由原来的2000元降到1280元,则这种手机的价格平均每次降低的百分率是( )A.10%B.15%C.18%D.20%【解析】选D.设平均每次降低的百分率为x,则2000(1-x)2=1280,解得x=0.2,故平均每次降低的百分率为20%.9.向高为H的圆锥形漏斗注入化学溶液(漏斗下方口暂时关闭),注入溶液量V与溶液深度h的函数图象是( )【解析】选A.注入溶液量V随溶液深度h的增加增长越来越快,故选A.10.若方程a x-x-a=0有两个解,则a的取值范围是( )A.(1,+∞)B.(0,1)C.(0,+∞)D.∅【解析】选A.画出y1=a x,y2=x+a的图象知a>1时成立.【补偿训练】函数f(x)=+k有两个零点,则( )A.k=0B.k>0C.0≤k<1D.k<0【解析】选D.在同一平面直角坐标系中画出y1=和y2=-k的图象:由图象知,-k>0即k<0.11.(2015·福州高一检测)若函数f的零点与g=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25,则f可以是( )A.f=4x-1B.f=(x-1)2C.f=e x-1D.f=ln【解析】选A.f=4x-1的零点为x=,f=(x-1)2的零点为x=1,f=e x-1的零点为x=0,f=ln的零点为x=.现在我们来估算g=4x+2x-2的零点,因为g(0)= -1,g=1,g<0,且g(x)在定义域上是单调递增函数,所以g(x)的零点x∈,又函数f的零点与g=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25,只有f=4x-1的零点适合.12.如图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距80km的两城镇间旅行的函数图象,由图可知:骑自行车者用了6小时,沿途休息了1小时,骑摩托车者用了2小时,根据这个函数图象,推出关于这两个旅行者的如下信息:①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时,晚到1小时;②骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动;③骑摩托车者在出发了1.5小时后,追上了骑自行车者.其中正确信息的序号是( ) A.①②③ B.①③ C.②③ D.①②【解析】选A.由图象可得:①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时,晚到1小时,正确;②骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动,正确;③骑摩托车者在出发了1.5小时后,追上了骑自行车者,正确.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.(2015·南昌高一检测)用“二分法”求方程x3-2x-5=0在区间[2,3]内的实根,取区间中点为x=2.5,那么下一个有根的区间是.【解析】令f(x)=x3-2x-5,f(2.5)·f(2)<0所以下一个有根的区间是(2,2.5).答案:(2,2.5)14.已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)-k=0有唯一一个实数根,则实数k的取值范围是.【解析】关于x的方程f(x)-k=0有唯一一个实数根,等价于函数y=f(x)与y=k的图象有唯一一个交点,在同一个平面直角坐标系中作出它们的图象.由图象可知实数k的取值范围是[0,1)∪(2,+∞).答案:[0,1)∪(2,+∞)【补偿训练】若函数f(x)=|7x-1|-k有两个零点,则实数k的取值范围是.【解析】函数f(x)=|7x-1|-k有两个零点,等价于方程k=|7x-1|有两个不等实根,即函数y=|7x-1|的图象与y=k的图象有两个公共点,结合图象知0<k<1.答案:(0,1)15.若函数f(x)=lgx+x-3的近似零点在区间(k,k+1)(k∈Z)内,则k= .【解题指南】由lgx+x-3=0,可得lgx=-x+3,令y1=lgx,y2=-x+3,结合两函数的图象,可大体判断零点所在的范围,然后结合零点的存在性定理来进行判断.【解析】由lgx+x-3=0,可得lgx=-x+3,令y1=lgx,y2=-x+3,结合两函数的图象,可大体判断零点在(1,3)内,又因为f(2)=lg2-1<0,f(3)=lg3>0,f(x)=lgx+x-3是单调递增函数,所以k=2. 答案:216.定义在R上的偶函数y=f(x),当x≥0时,y=f(x)是单调递减的,f(1)·f(2)<0,则y=f(x)的图象与x轴的交点个数是.【解析】f(1)·f(2)<0,y=f(x)在区间(1,2)内有一个零点,由偶函数的对称性知,在区间(-2,-1)内也有一个零点,所以共有2个零点.答案:2三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2015·杭州高一检测)已知函数f(x)的图象是连续的,有如下表格,判断函数在哪几个区间上有零点.x -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 f(x) -3.51 1.02 2.37 1.56 -0.38 1.23 2.77 3.45 4.89 【解析】因为函数的图象是连续不断的,并且由对应值表可知f·f<0,f·f(0)<0,f·f<0,所以函数f在区间(-2,-1.5),(-0.5,0)以及(0,0.5)内有零点.18.(12分)设f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab的两个零点分别是-3,2.(1)求f(x).(2)当函数f(x)的定义域为[0,1]时,求其值域.【解析】(1)因为f(x)的两个零点分别是-3,2,所以即解得a=-3,b=5,f(x)=-3x2-3x+18.(2)由(1)知f(x)=-3x2-3x+18的对称轴x=-,函数开口向下,所以f(x)在[0,1]上为减函数,f(x)的最大值f(0)=18,最小值f(1)=12,所以值域为[12,18].19.(12分)用二分法求方程2x+x-8=0在区间(2,3)内的近似解.(精确度为0.1,参考数据:22.5≈5.657,22.25≈4.757,22.375≈5.187,22.4375≈5.417,22.75≈6.727)【解析】设函数f(x)=2x+x-8,则f(2)=22+2-8=-2<0,f(3)=23+3-8=3>0,所以f(2)·f(3)<0,说明这个函数在区间(2,3)内有零点x0,即原方程的解.用二分法逐次计算,列表如下:区间中点的值中点函数近似值(2,3) 2.5 0.157(2,2.5) 2.25 -0.993(2.25,2.5) 2.375 -0.438(2.375,2.5) 2.437 5 -0.145 5由表可得x0∈(2,2.5),x0∈(2.25,2.5),x0∈(2.375,2.5),x0∈(2.4375,2.5).因为|2.4375-2.5|=0.0625<0.1,所以方程2x+x-8=0在区间(2,3)内的近似解可取为2.4375.20.(12分)(2015·潍坊高一检测)已知二次函数f(x)的图象过点(0,3),它的图象的对称轴为x=2,且f(x)的两个零点的平方和为10,求f(x)的解析式.【解题指南】设出解析式,利用根与系数的关系求出未知量.【解析】设二次函数为f(x)=ax2+bx+c(a≠0).由题意知:c=3,-=2.设x1,x2是方程ax2+bx+c=0的两根,则+=10,所以(x1+x2)2-2x1x2=10,所以-=10,所以16-=10,所以a=1.代入-=2中,得b=-4.所以f(x)=x2-4x+3.21.(12分)(2015·徐州高一检测)在经济学中,函数f(x)的边际函数为Mf(x),定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x),某公司每月最多生产100台报警系统装置,生产x台的收入函数为R(x)=3000x-20x2(单位:元),其成本函数为C(x)=500x+4000(单位:元),利润的函数等于收入与成本之差.求出利润函数p(x)及其边际利润函数Mp(x);判断它们是否具有相同的最大值;并写出本题中边际利润函数Mp(x)最大值的实际意义.【解析】p(x)=R(x)-C(x)=-20x2+2500x-4000,x∈[1,100],x∈N,所以Mp(x)=p(x+1)-p(x)=[-20(x+1)2+2500(x+1)-4000]-(-20x2+2500x-4000),=2480-40x,x∈[1,100],x∈N;所以p(x)=-20+74125,x∈[1,100],x∈N,故当x=62或63时,p(x)max=74120(元),因为Mp(x)=2480-40x为减函数,当x=1时有最大值2440.故不具有相等的最大值.边际利润函数取最大值时,说明生产第二台机器与生产第一台的利润差最大.22.(12分)A地某校准备组织学生及学生家长到B地进行社会实践,为便于管理,所有人员必须乘坐在同一列火车上;根据报名人数,若都买一等座单程火车票需17010元,若都买二等座单程火车票且花钱最少,则需11220元;已知学生家长与教师的人数之比为2∶1,从A到B的火车票价格(部分)如下表所示:运行区间公布票价学生票上车站下车站一等座二等座二等座A B 81(元) 68(元) 51(元)(1)参加社会实践的老师、家长与学生各有多少人?(2)由于各种原因,二等座火车票单程只能买x张(x小于参加社会实践的人数),其余的须买一等座火车票,在保证每位参与人员都有座位坐的前提下,请你设计最经济的购票方案,并写出购买火车票的总费用(单程)y与x之间的函数关系式.(3)请你做一个预算,按第(2)小题中的购票方案,购买单程火车票至少要花多少钱?最多要花多少钱?【解析】(1)设参加社会实践的老师有m人,学生有n人,则学生家长有2m人,若都买二等座单程火车票且花钱最少,则全体学生都需买二等座火车票,依题意得:解得则2m=20,答:参加社会实践的老师、家长与学生各有10人、20人与180人.(2)由(1)知所有参与人员总共有210人,其中学生有180人,①当180≤x<210时,最经济的购票方案为:学生都买学生票共180张,(x-180)名成年人买二等座火车票,(210-x)名成年人买一等座火车票. 所以火车票的总费用(单程)y与x之间的函数关系式为:y=51×180+68(x-180)+81(210-x),即y=-13x+13950(180≤x<210).②当0<x<180时,最经济的购票方案为:一部分学生买学生票共x张,其余的学生与家长、老师一起购买一等座火车票共(210-x)张.所以火车票的总费用(单程)y与x之间的函数关系式为:y=51x+81(210-x),即y=-30x+17010(0<x<180).(3)由(2)小题知,当180≤x<210时,y=-13x+13950,由此可见,当x=209时,y的值最小,最小值为11233元,当x=180时,y的值最大,最大值为11610元.当0<x<180时,y=-30x+17010,由此可见,当x=179时,y的值最小,最小值为11640元,当x=1时,y的值最大,最大值为16980元.所以可以判断按(2)小题中的购票方案,购买单程火车票至少要花11233元,最多要花16980元.。

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高一数学必修一第三章测试题及答案:函数的应用数学在科学发展和现代生活生产中的应用非常广泛,小编准备了高一数学必修一第三章测试题及答案,具体请看以下内容。

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设U=r,A={x|x0},b={x|x1},则AUb=()A{x|01} b.{x|0c.{x|x0}D.{x|x1}【解析】 Ub={x|x1},AUb={x|0【答案】 b2.若函数y=f(x)是函数y=ax(a0,且a1)的反函数,且f(2)=1,则f(x)=()A.log2xb.12xc.log12xD.2x-2【解析】 f(x)=logax,∵f(2)=1,loga2=1,a=2.f(x)=log2x,故选A.【答案】 A3.下列函数中,与函数y=1x有相同定义域的是()A.f(x)=lnxb.f(x)=1xc.f(x)=|x|D.f(x)=ex【解析】∵y=1x的定义域为(0,+).故选A.【答案】 A4.已知函数f(x)满足:当x4时,f(x)=12x;当x4时,f(x)=f(x+1).则f(3)=()A.18b.8c.116D.16【解析】 f(3)=f(4)=(12)4=116.【答案】 c5.函数y=-x2+8x-16在区间[3,5]上()A.没有零点b.有一个零点c.有两个零点D.有无数个零点【解析】∵y=-x2+8x-16=-(x-4)2,函数在[3,5]上只有一个零点4.【答案】 b6.函数y=log12(x2+6x+13)的值域是()A.rb.[8,+)c.(-,-2]D.[-3,+)【解析】设u=x2+6x+13=(x+3)2+44y=log12u在[4,+)上是减函数,ylog124=-2,函数值域为(-,-2],故选c.7.定义在r上的偶函数f(x)的部分图象如图所示,则在(-2,0)上,下列函数中与f(x)的单调性不同的是()A.y=x2+1b.y=|x|+1c.y=2x+1,x0x3+1,x0D.y=ex,x0e-x,x0【解析】∵f(x)为偶函数,由图象知f(x)在(-2,0)上为减函数,而y=x3+1在(-,0)上为增函数.故选c.【答案】 c8.设函数y=x3与y=12x-2的图象的交点为(x0,y0),则x0所在的区间是()A.(0,1)b.(1,2)c(2,3)D.(3,4)【解析】由函数图象知,故选b.【答案】 b9.函数f(x)=x2+(3a+1)x+2a在(-,4)上为减函数,则实数a 的取值范围是()A.a-3b.a3c.a5D.a=-3【解析】函数f(x)的对称轴为x=-3a+12,要使函数在(-,4)上为减函数,只须使(-,4)(-,-3a+12)即-3a+124,a-3,故选A.10.某新品牌电视投放市场后第1个月销售100台,第2个月销售200台,第3个月销售400台,第4个月销售790台,则下列函数模型中能较好反映销量y与投放市场的月数x之间的关系的是()A.y=100xb.y=50x2-50x+100c.y=502xD.y=100log2x+100【解析】对c,当x=1时,y=100;当x=2时,y=200;当x=3时,y=400;当x=4时,y=800,与第4个月销售790台比较接近.故选c. 【答案】 c11.设log32=a,则log38-2log36可表示为()A.a-2b.3a-(1+a)2c.5a-2D.1+3a-a2【解析】 log38-2log36=log323-2log3(23)=3log32-2(log32+log33)=3a-2(a+1)=a-2.故选A.【答案】 A12.已知f(x)是偶函数,它在[0,+)上是减函数.若f(lgx)f(1),则x的取值范围是()A.110,1b.0,110(1,+)c.110,10D.(0,1)(10,+)【解析】由已知偶函数f(x)在[0,+)上递减,则f(x)在(-,0)上递增,f(lgx)f(1)01,或lgx0-lgx1110,或0或110x的取值范围是110,10.故选c.【答案】 c二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.请把正确答案填在题中横线上)13.已知全集U={2,3,a2-a-1},A={2,3},若UA={1},则实数a的值是________.【答案】 -1或214.已知集合A={x|log2x2},b=(-,a),若Ab,则实数a的取值范围是(c,+),其中c=________.【解析】 A={x|0【答案】 415.函数f(x)=23x2-2x的单调递减区间是________.【解析】该函数是复合函数,可利用判断复合函数单调性的方法来求解,因为函数y=23u是关于u的减函数,所以内函数u=x2-2x的递增区间就是函数f(x)的递减区间.令u=x2-2x,其递增区间为[1,+),根据函数y=23u是定义域上的减函数知,函数f(x)的减区间就是[1,+).【答案】 [1,+)16.有下列四个命题:①函数f(x)=|x||x-2|为偶函数;②函数y=x-1的值域为{y|y③已知集合A={-1,3},b={x|ax-1=0,ar},若Ab=A,则a的取值集合为{-1,13};④集合A={非负实数},b={实数},对应法则f:求平方根,则f是A到b的映射.你认为正确命题的序号为:________. 【解析】函数f(x)=|x||x-2|的定义域为(-,2)(2,+),它关于坐标原点不对称,所以函数f(x)=|x||x-2|既不是奇函数也不是偶函数,即命题①不正确;函数y=x-1的定义域为{x|x1},当x1时,y0,即命题②正确;因为Ab=A,所以bA,若b=,满足bA,这时a=0;若b,由bA,得a=-1或a=13.因此,满足题设的实数a的取值集合为{-1,0,13},即命题③不正确;依据映射的定义知,命题④正确.【答案】②④三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2-3x-10的两个零点为x1,x2(x1【解析】 A={x|x-2,或x5}.要使Ab=,必有2m-1-2,3m+25,3m+22m-1,或3m+22m-1,解得m-12,m1,m-3,或m-3,即-121,或m-3.18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2+2ax+2,x[-5,5].(1)当a=-1时,求f(x)的最大值和最小值;(2)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数.【解析】 (1)当a=-1时,f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x[-5,5].由于f(x)的对称轴为x=1,结合图象知,当x=1时,f(x)的最小值为1,当x=-5时,f(x)的最大值为37.(2)函数f(x)=(x+a)2+2-a2的图象的对称轴为x=-a,∵f(x)在区间[-5,5]上是单调函数,-a-5或-a5.故a的取值范围是a-5或a5.19.(本小题满分12分)(1)计算:27912+(lg5)0+(2764)-13;(2)解方程:log3(6x-9)=3.【解析】 (1)原式=25912+(lg5)0+343-13=53+1+43=4.(2)由方程log3(6x-9)=3得6x-9=33=27,6x=36=62,x=2.经检验,x=2是原方程的解.20.(本小题满分12分)有一批影碟机(VcD)原销售价为每台800元,在甲、乙两家商场均有销售,甲商场用下面的方法促销:买一台单价为780元,买两台单价为760元,依次类推,每多买一台单价均减少20元,但每台最低不低于440元;乙商场一律按原价的75%销售,某单位需购买一批此类影碟机,问去哪家商场购买花费较少?【解析】设购买x台,甲、乙两商场的差价为y,则去甲商场购买共花费(800-20x)x,由题意800-20x440.118(xN).去乙商场花费80075%x(xN*).当118(xN*)时y=(800-20x)x-600x=200x-20x2,当x18(xN*)时,y=440x-600x=-160x,则当y0时,1当y=0时,x=10;当y0时,x10(xN).综上可知,若买少于10台,去乙商场花费较少;若买10台,甲、乙商场花费相同;若买超过10台,则去甲商场花费较少.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=lg(1+x)-lg(1-x).(1)求函数f(x)的定义域;(2)判断函数f(x)的奇偶性;【解析】 (1)由1+x0,1-x0,得-1函数f(x)的定义域为(-1,1).(2)定义域关于原点对称,对于任意的x(-1,1),有-x(-1,1),f(-x)=lg(1-x)-lg(1+x)=-f(x)f(x)为奇函数.22.(本小题满分14分)设a0,f(x)=exa+aex是r上的偶函数.(1)求a的值;(2)证明:f(x)在(0,+)上是增函数.【解析】 (1)解:∵f(x)=exa+aex是r上的偶函数,f(x)-f(-x)=0.exa+aex-e-xa-ae-x=0,即1a-aex+a-1ae-x=01a-a(ex-e-x)=0.由于ex-e-x不可能恒为0,当1a-a=0时,式子恒成立.又a0,a=1.(2)证明:∵由(1)知f(x)=ex+1ex,在(0,+)上任取x1f(x1)-f(x2)=ex1+1ex1-ex2-1ex2=(ex1-ex2)+(ex2-ex1)1ex1+x2.∵e1,0ex1+x21,(ex1-ex2)1-1ex1+x20,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x)在(0,+)上是增函数.高中是人生中的关键阶段,大家一定要好好把握高中,小编为大家整理的高一数学必修一第三章测试题及答案,希望大家喜欢。

人教版高中数学必修第一册第三单元《函数概念与性质》检测(含答案解析)(2)

人教版高中数学必修第一册第三单元《函数概念与性质》检测(含答案解析)(2)

一、选择题1.已知函数()y f x =的部分图象如图所示,则函数()y f x =的解析式可能为( )A .()()()sin 222x xf x x -=⋅+ B .()()()sin 222x xf x x -=⋅- C .()()()cos 222xxf x x -=⋅+ D .()()()cos 222xxf x x -=⋅-2.已知()2xf x x =+,[](),M a b a b =<,(){}4,N yy f x x M ==∈∣,则使得MN 的实数对(),a b 有( )A .0个B .1个C .2个D .3个3.已知函数()x xf x e e -=-,则不等式()()2210f x f x +--<成立的一个充分不必要条件为( ) A .()2,1- B .()0,1 C .1,12⎛⎫-⎪⎝⎭D .()1,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭4.设()f x 为定义在R 上的函数,函数()1f x +是奇函数.对于下列四个结论:①()10f =;②()()11f x f x -=-+; ③函数()f x 的图象关于原点对称;④函数()f x 的图象关于点()1,0对称; 其中,正确结论的个数为( ) A .1B .2C .3D .45.函数y x=的值域是( ) A .11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B .[]0,1C .10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .[)0,+∞6.已知()f x 为奇函数,且当0x >时,()2f x x =-,则1()2f -的值为( )A .52- B .32- C .32 D .527.若函数()f x 同时满足:①定义域内存在实数x ,使得()()0f x f x ⋅-<;②对于定义域内任意1x ,2x ,当12x x ≠时,恒有()()()12120x x f x f x -⋅->⎡⎤⎣⎦;则称函数()f x 为“DM 函数”.下列函数中是“DM 函数”的为( )A .()3f x x =B .()sin f x x =C .()1x f x e-=D .()ln f x x =8.已知32()2f x x ax ax =++,对任意两个不等实数12,[1,)x x ∈+∞,都有()()2112120x f x x f x x x ->-,则a 的取值范围( )A .2a ≥-B .2a ≤-C .4a ≥-D .4a ≤-9.函数()||f x x x a =-在区间(0,1)上既有最大值又有最小值,则实数a 的取值范围是( )A .[2,0)-B .2]C .,12⎫⎪⎪⎣⎭D .2,1)10.已知2()log (1)f x x =-,若()2120f x x -+-<,则x 的取值范围为( )A .(,0)(1,)-∞⋃+∞B .11,22⎛ ⎝⎭C .115,01,22⎛⎫⎛+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭D .(1,0)(1,2)-11.已知函数()3()log 91xf x x =++,则使得()2311log 10f x x -+-<成立的x 的取值范围是( )A .0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B .(,0)(1,)-∞⋃+∞C .(0,1)D .(,1)-∞12.若函数2()|2|f x x a x =+-在(0,)+∞上单调递增,则实数a 的取值范围是( ) A .[]4,0- B .(],0-∞C .(],4-∞-D .(,4][0,)-∞-+∞13.设函数()()212131log 1313x xe e xf x x --=++++,则做得()()31f x f x ≤-成立的x 的取值范围是( ) A .1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B .1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C .11,,42⎛⎤⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ D .11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦14.已知()22,02,0x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩,则不等式()()3f f x ≤的解集为( )A .](,3-∞-B .)3,⎡-+∞⎣C.(-∞D.)+∞15.已知()f x 是定义在R 上的偶函数,且满足下列两个条件: ①对任意的1x ,[]24,8x ∈,且12x x ≠,都有()()12120f x f x x x ->-;②x ∀∈R ,都有()()8f x f x +=.若()7a f =-,()11b f =,()2020c f =,则a ,b ,c 的大小关系正确的是( ) A .a b c <<B .b a c <<C .b c a <<D .c b a <<二、填空题16.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,()()1f x x x =+.则函数的解析式为__________17.已知定义在R 上的偶函数()f x 在区间[)0,+∞内单调递减,且()10f -=,则使不等式(1)0f x x+≤成立的x 的取值范围是_________. 18.设函数()3,111,1x x f x x x x <⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩,,则不等式()()26f x f x ->-的解集为____________.19.幂函数()223mm f x x --=在0,上单调递减且为偶函数,则整数m 的值是______.20.如果函数f (x )=(2)1,1,1x a x x a x -+<⎧⎨≥⎩满足对任意12x x ≠,都有()()1212f x f x x x -->0成立,那么实数a 的取值范围是________.21.设奇函数f (x )在(0,+∞)上为增函数,且f (1)=0,则不等式()()f x f x x--<0的解集为________.22.如果方程24x +y |y |=1所对应的曲线与函数y =f (x )的图象完全重合,那么对于函数y =f (x )有如下结论:①函数f (x )在R 上单调递减;②y =f (x )的图象上的点到坐标原点距离的最小值为1; ③函数f (x )的值域为(﹣∞,2];④函数F (x )=f (x )+x 有且只有一个零点. 其中正确结论的序号是_____.23.已知()f x 是R 上的偶函数,且在[0,)+∞单调递增,若(3)(4)f a f -<,则a 的取值范围为____.24.设函数()222cos 2()x x e f x x e ππ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=+的最大值为M ,最小值为m ,其中e 为自然对数的底数,则2020(1)M m +-的值为________. 25.设函数()()21ln 11f x x x=+-+,则使得()()12f x f x >-成立的x 的取值范围为_____________.26.已知()f x 为偶函数,当0x ≥时,1cos ,[0,]2()121,(,)2x x f x x x π⎧∈⎪⎪=⎨⎪-∈+∞⎪⎩,则不等式1(1)2f x -≤的解集为__________.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.B 解析:B 【分析】根据奇偶性排除AD ,根据图象过原点排除C ,从而可得答案. 【详解】由图可知函数图象关于y 轴对称,且图象过原点, 对于A , ()()()()()()sin 222sin 222xx x x f x x x f x ---=-⋅+=-⋅+=-,()y f x =是奇函数,图象关于原点对称,不合题意,排除A ; 对于C ,()()00cos02220f =⋅+=≠,不合题意,排除C ;对于D ,()()()()()()cos 222cos 222xx x x f x x x f x ---=-⋅-=-⋅-=-,()y f x =是奇函数,图象关于原点对称,不合题意,排除D ; 故选:B. 【点睛】方法点睛:函数图象的辨识可从以下方面入手:(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置. (2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势; (3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性; (4)从函数的特征点,排除不合要求的图象.2.D解析:D 【分析】 先判断函数()2xf x x =+是奇函数,且在R 上单调递增;根据题中条件,得到()()44f a a f b b a b ⎧=⎪=⎨⎪<⎩,求解,即可得出结果. 【详解】 因为()2xf x x =+的定义域为R ,显然定义域关于原点对称, 又()()22x xf x f x x x --==-=--++, 所以()f x 是奇函数, 当0x ≥时,()21222x x f x x x x ===-+++显然单调递增;所以当0x <时,()2xf x x =-+也单调递增; 又()00f =,所以函数()2xf x x =+是连续函数; 因此()2xf x x =+在R上单调递增; 当[],x M a b ∈=时,()()()44,4y f x f a f b =∈⎡⎤⎣⎦,因为(){}4,N yy f x x M ==∈∣,所以为使M N ,必有()()44f a af b b a b ⎧=⎪=⎨⎪<⎩,即4242aa ab b b a b⎧=⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪<⎪⎩,解得22a b =-⎧⎨=⎩或20a b =-⎧⎨=⎩或02a b =⎧⎨=⎩, 即使得M N 的实数对(),a b 有()2,2-,()2,0-,()0,2,共3对.故选:D. 【点睛】 关键点点睛:求解本题的关键在于先根据函数解析式,判断函数()f x 是奇函数,且在R 上单调递增,得出[],x M a b ∈=时,()4y f x =的值域,列出方程,即可求解.3.B解析:B 【分析】根据解析式可判断出()f x 是定义在R 的增函数且是奇函数,不等式可化为()()221f x f x <+,即得221x x <+,解出即可判断.【详解】可得()f x 的定义域为R ,x y e =和x y e -=-都是增函数,()f x ∴是定义在R 的增函数,()()x x f x e e f x --=-=-,()f x ∴是奇函数,则不等式()()2210f xf x +--<化为()()()2211f x f x f x <---=+,221x x ∴<+,解得112x -<<,则不等式成立的充分不必要条件应是1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭的真子集, 只有B 选项满足. 故选:B. 【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式,解题的关键是判断出()f x 是增函数且是奇函数,从而将不等式化为()()221f xf x <+求解.4.C【分析】令()()1g x f x =+,①:根据()00g =求解出()1f 的值并判断;②:根据()g x 为奇函数可知()()g x g x -=-,化简此式并进行判断;根据()1y f x =+与()y f x =的图象关系确定出()f x 关于点对称的情况,由此判断出③④是否正确. 【详解】令()()1g x f x =+,①因为()g x 为R 上的奇函数,所以()()0010g f =+=,所以()10f =,故正确; ②因为()g x 为R 上的奇函数,所以()()g x g x -=-,所以()()11f x f x -+=-+,即()()11f x f x -=-+,故正确;因为()1y f x =+的图象由()y f x =的图象向左平移一个单位得到的,又()1y f x =+的图象关于原点对称,所以()y f x =的图象关于点()1,0对称,故③错误④正确,所以正确的有:①②④, 故选:C. 【点睛】结论点睛:通过奇偶性判断函数对称性的常见情况:(1)若()f x a +为偶函数,则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称; (2)若()f x a +为奇函数,则函数()y f x =的图象关于点(),0a 成中心对称.5.C解析:C 【分析】令t =,转化为21ty t =+,0t ≥,根据均值不等式求解即可. 【详解】令t =,则0t ≥,当0t =时,0y =, 当0t ≠时,2110112t y t t t <==≤=++,当且仅当1t =时,即2x =时等号成立, 综上102y ≤≤, 故选:C关键点点睛:注意含根号式子中,经常使用换元法,利用换元法可简化运算,本题注意均值不等式的使用,属于中档题.6.C解析:C 【分析】根据函数为奇函数可知1122f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,然后根据0x >时()f x 的解析式可求解出12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值,则12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值可求. 【详解】因为()f x 为奇函数,所以1122f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 又因为1132222f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,所以113222f f ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 故选:C. 【点睛】关键点点睛:解答本题的关键是利用奇偶性的定义将计算12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值转化为计算12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值,从而根据已知条件完成求解.7.A解析:A 【分析】根据题意函数定义域关于原点对称且函数值有正有负,且为定义域内的单调递增函数,通过此两点判定即可. 【详解】解:由定义域内存在实数x 有()()0f x f x ⋅-<,可得函数定义域关于原点对称且函数值有正有负,排除D 、C.由②得“DM 函数”为单调递增函数,排除B. 故选:A 【考点】确定函数单调性的四种方法: (1)定义法:利用定义判断;(2)导数法:适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数;(3)图象法:由图象确定函数的单调区间需注意两点:一是单调区间必须是函数定义域的子集;二是图象不连续的单调区间要分开写,用“和”或“,”连接,不能用“∪”连接; (4)性质法:利用函数单调性的性质,尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时,需先确定简单函数的单调性.8.C解析:C 【分析】首先变形条件,得到函数()()f xg x x=在[)1,+∞单调递增,利用二次函数的单调性,求a 的取值范围.【详解】[)12,1,x x ∈+∞,不等式两边同时除以12x x ()()()()12211212121200f x f x x f x x f x x x x x x x --∴>⇔>--, 即函数()()f x g x x=在[)1,+∞单调递增,()22g x x ax a =++, 函数的对称轴是4a x =-,则14a-≤,解得:4a ≥-.故选:C 【点睛】关键点点睛:本题的关键是原式等价为()()121212f x f x x x x x ->-,从而通过构造函数,确定函数的单调性,转化为二次函数的单调性解决问题.9.D解析:D 【分析】转化条件为22,(),x ax x af x x ax x a ⎧-≥=⎨-+<⎩,结合二次函数的图象与性质,作出分段函数的图象,数形结合结合可得()0112a a f f <<⎧⎪⎨⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎩,即可得解. 【详解】由题意,函数22,(),x ax x af x x x a x ax x a ⎧-≥=-=⎨-+<⎩,函数2y x ax =-+的图象开口朝下,对称轴为2ax =, 函数2y x ax =-的图象开口朝上,对称轴为2a x =,当0a =时,22,0(),0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩,函数在R 上单调递增,不合题意;当0a <时,作出函数图象,如图,易得函数在区间(0,1)上无最值; 当0a >,作出函数图象,如图,若要使函数()f x 在区间(0,1)上既有最大值又有最小值,则()0112a a f f <<⎧⎪⎨⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎩即2201122a a a a <<⎧⎪⎨⎛⎫-≤-+ ⎪⎪⎝⎭⎩,解得2221a ≤<; 综上,实数a 的取值范围是[222,1). 故选:D. 【点睛】关键点点睛:解决本题的关键是利用二次函数的性质作出分段函数()f x 的图象,结合图象数形结合即可得解.10.C解析:C【分析】首先判断函数的单调性和定义域,再解抽象不等式. 【详解】函数()f x 的定义域需满足210240x x x ->⎧⎨-+≥⎩,解得:1x >,并且在区间()1,+∞上,函数单调递增,且()22f =, 所以()()()2212012f x x f x x f -+-<⇔-+<,即221112x x x x ⎧-+>⎨-+<⎩,解得:1x <<0x <<.故选:C 【点睛】关键点点睛:本题的关键是判断函数的单调性和定义域,尤其是容易忽略函数的定义域.11.C解析:C 【分析】令21t x x =-+,则3()1log 10f t -<,从而33log (91)1log 10tt ++-<,即可得到133log (91)log (91)1t t ++<++,然后构造函数3()log (91)t g t t =++,利用导数判断其单调性,进而可得23114x x ≤-+<,解不等式可得答案 【详解】令21t x x =-+,则221331()244t x x x =-+=-+≥, 3()1log 10f t -<,所以33log (91)1log 10tt ++-<, 所以133log (91)log (91)1t t ++<++,令3()log (91)tg t t =++,则9ln 929'()11(91)ln 391t tt t g t ⨯=+=+++,所以90t >,所以'()0g t >, 所以()g t 在3[,)4+∞单调递增, 所以由()(1)g t g <,得314t ≤<, 所以23114x x ≤-+<,解得01x <<, 故选:C 【点睛】关键点点睛:此题考查不等式恒成立问题,考查函数单调性的应用,解题的关键是换元后对不等式变形得133log (91)log (91)1t t ++<++,再构造函数3()log (91)tg t t =++,利用函数的单调性解不等式.12.A解析:A 【分析】将()f x 写成分段函数的形式,根据单调性先分析每一段函数需要满足的条件,同时注意分段点处函数值关系,由此求解出a 的取值范围. 【详解】因为2()|2|f x x a x =+-,所以222,2()2,2x ax a x f x x ax a x ⎧+-≥=⎨-+<⎩,当()212f x x ax a =+-在[)2,+∞上单调递增时,22a-≤,所以4a ≥-, 当()222f x x ax a =-+在()0,2上单调递增时,02a≤,所以0a ≤, 且()()12224f f ==,所以[]4,0a ∈-, 故选:A. 【点睛】思路点睛:根据分段函数单调性求解参数范围的步骤: (1)先分析每一段函数的单调性并确定出参数的初步范围; (2)根据单调性确定出分段点处函数值的大小关系; (3)结合(1)(2)求解出参数的最终范围.13.D解析:D 【分析】先判断()f x 是偶函数且在0,上递减,原不等式转化为31x x ≥-,再解绝对值不等式即可. 【详解】()()()211221133111log 13log 131313x x xxe e e exxf x x x ---⎛⎫=+++=+++ ⎪++⎝⎭,()121311log 1,,313x xe e xy x y y -⎛⎫=+== ⎪+⎝⎭在0,上都递减所以()f x 在0,上递减,又因为()()()()121311log 1313x xe e xf x x f x ----⎛⎫-=+-++= ⎪+⎝⎭,且()f x 的定义域为R ,定义域关于原点对称, 所以()f x 是偶函数, 所以()()()()313131f x f x f x f x x x ≤-⇔≤-⇔≥-,可得113142x x x x -≤-≤⇒≤≤,x 的取值范围是11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 故选:D. 【点睛】将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点,解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性,根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反,奇函数在对称区间单调性相同),然后再根据单调性列不等式求解.14.C解析:C 【分析】先解()3f t ≤,再由t 的范围求x 的范围. 【详解】0t ≥时,2()03f t t =-≤<满足题意,0t <时,2()23f t t t =+≤,31t -≤≤,∴30t -≤<综上满足()3f t ≤的t 的范围是3t ≥-,下面解不等式()3f x ≥-,0x ≥时,2()3f x x =-≥-,解得x ≤∴0x ≤≤, 0x <时,2()23f x x x =+≥-,2(1)20x ++≥,恒成立,∴0x <,综上x ≤故选:C 【点睛】思路点睛:本题考查解函数不等式,由于是分段函数,因此需要分类讨论,而原不等式是复合函数形式,因此解题时可把里层()f x 作为一个未知数t (相当于换元),求得()3f t ≥-的解,再由t 的范围求出()f x t =中t 的范围.分类讨论必须牢记,否则易出错.15.D解析:D 【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系,即可得到结论. 【详解】解:由①对任意的1x ,[]24,8x ∈,且12x x ≠,都有()()12120f x f x x x ->-可得()f x 在[]4,8上单调递增,根据偶函数的对称性可知,()f x 在[]8,4--上单调递减,且函数周期为8,()7a f =-,()()()1135b f f f ===-,()()()202044c f f f ===-,故a b c >>. 故选:D. 【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性周期性的综合运用,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力.二、填空题16.【分析】设得到化简即得解【详解】设所以因为函数是定义在R 上的奇函数所以所以所以函数的解析式为故答案为:【点睛】方法点睛:求奇偶函数在对称区间的解析式一般利用代入法求解析式解析:(1)0()=(1)0x x x f x x x x +≥⎧⎨-<⎩【分析】设0,x <得到()2f x x x -=-+,化简即得解.【详解】设0,0x x <∴->,所以()()21f x x x x x -=--=-+,因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数, 所以()2f x x x -=-+,所以()2(1)f x x x x x =-+=-.所以函数的解析式为(1)0()=(1)0x x x f x x x x +≥⎧⎨-<⎩. 故答案为:(1)0()=(1)0x x x f x x x x +≥⎧⎨-<⎩【点睛】方法点睛:求奇偶函数在对称区间的解析式,一般利用代入法求解析式.17.【分析】先由定义域为R 的偶函数在区间内单调递减且画出的草图结合图象对进行等价转化解不等式即可【详解】由题意可知在区间内为增函数函数的图象可看作是由的图象向左平移1个单位长度得到的作出和的大致图象如图 解析:[)()2,00,-⋃+∞【分析】先由定义域为R 的偶函数()f x 在区间[)0,+∞内单调递减,且()10f -=,画出()f x 的草图,结合图象对(1)0f x x+≤进行等价转化,解不等式即可. 【详解】由题意可知()f x 在区间(),0-∞内为增函数,函数()1y f x =+的图象可看作是由()y f x =的图象向左平移1个单位长度得到的,作出()y f x =和()1y f x =+的大致图象,如图所示.不等式(1)0f x x+≤可化为: ()010x f x <⎧⎨+≥⎩,当0x <时()10f x +≥,观察图象,得20x -≤<; ()010x f x >⎧⎨+≤⎩,当0x >时()10f x +≤,观察图象,得0x >; 所以不等式的解集为[)()2,00,-⋃+∞ 故答案为:[)()2,00,-⋃+∞. 【点睛】常见解不等式的类型:(1)解一元二次不等式用图象法或因式分解法; (2)分式不等式化为标准型后利用商的符号法则; (3)高次不等式用穿针引线法; (4)含参数的不等式需要分类讨论.18.【分析】先判断函数是增函数于是可把函数不等式转化为自变量的关系进而可得原不等式的解集【详解】当时单调递增且;当时单调递增且所以函数在上单调递增于是等价于则解得故答案为:【点睛】本题考查函数单调性的判 解析:()2,3-【分析】先判断函数()f x 是增函数,于是可把函数不等式转化为自变量的关系,进而可得原不等式的解集. 【详解】当1x <时,()f x x =单调递增,且()1f x <; 当1≥x 时,31()1f x x x=-+单调递增,且()1f x ≥. 所以函数()f x 在R 上单调递增. 于是()()26f xf x ->-等价于26xx ->-,则260x x --<,()()320x x -+<,解得23x -<<. 故答案为:()2,3-. 【点睛】本题考查函数单调性的判断与应用.遇到函数不等式问题,要利用单调性转化为自变量的关系再求解.判断分段函数的单调性,一定要关注对分段间隔点处的情况.19.1【分析】根据幂函数的定义与性质列不等式求出的取值范围再验证是否满足条件即可【详解】幂函数在上单调递减所以的整数值为0或12;当时不是偶函数;当时是偶函数;当时不是偶函数;所以整数的值是1故答案为:解析:1 【分析】根据幂函数的定义与性质,列不等式求出m 的取值范围,再验证是否满足条件即可. 【详解】 幂函数223()mm f x x --=在(0,)+∞上单调递减,所以2230m m --<,13m -<<,m 的整数值为0或1,2;当0m =时,3()-=f x x 不是偶函数; 当1m =时,4()f x x -=是偶函数; 当2m =时,3()-=f x x 不是偶函数; 所以整数m 的值是1. 故答案为:1. 【点睛】本题主要考查了幂函数的定义与性质的应用问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20.【分析】先由条件判断出在R 上是增函数所以需要满足和单调递增并且在处对应的值大于等于对应的值解出不等式组即可【详解】对任意都有>0所以在R 上是增函数所以解得故实数a 的取值范围是故答案为:【点睛】本题考解析:3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】先由条件判断出()y f x =在R 上是增函数,所以需要满足(2)1y a x =-+和xy a = 单调递增,并且在1x =处x y a =对应的值大于等于(2)1y a x =-+对应的值,解出不等式组即可. 【详解】对任意12x x ≠,都有()()1212f x f x x x -->0,所以()y f x =在R 上是增函数,所以201(2)11a a a a->⎧⎪>⎨⎪-⨯+≤⎩,解得322a ≤<,故实数a 的取值范围是3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 故答案为:3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查含有参数的分段函数根据单调性求参数范围问题,需要满足各部分单调并且在分段处的函数值大小要确定,属于中档题.21.(-10)∪(01)【分析】首先根据奇函数f(x)在(0+∞)上为增函数且f(1)=0得到f(-1)=0且在(-∞0)上也是增函数从而将不等式转化为或进而求得结果【详解】因为f(x)为奇函数且在(0解析:(-1,0)∪(0,1) 【分析】首先根据奇函数f (x )在(0,+∞)上为增函数,且f (1)=0,得到f (-1)=0,且在(-∞,0)上也是增函数,从而将不等式转化为0()0x f x >⎧⎨<⎩或0()0x f x <⎧⎨>⎩,进而求得结果.【详解】因为f (x )为奇函数,且在(0,+∞)上是增函数,f (1)=0, 所以f (-1)=-f (1)=0,且在(-∞,0)上也是增函数. 因为()()f x f x x --=2·()f x x<0, 即0()0x f x >⎧⎨<⎩或0()0x f x <⎧⎨>⎩解得x ∈(-1,0)∪(0,1).故答案为:(-1,0)∪(0,1). 【点睛】该题考查的是有关函数的问题,涉及到的知识点有函数奇偶性与单调性的应用,属于简单题目.22.②④【分析】根据题意画出方程对应的函数图象根据图像判断函数单调性值域最值以及函数零点个数的判断数形结合即可选择【详解】当y≥0时方程y|y|=1化为(y≥0)当y <0时方程y|y|=1化为(y <0)解析:②④ 【分析】根据题意,画出方程对应的函数图象,根据图像判断函数单调性、值域、最值以及函数零点个数的判断,数形结合即可选择. 【详解】当y ≥0时,方程24x +y |y |=1化为2214x y +=(y ≥0),当y <0时,方程24x +y |y |=1化为2214x y -=(y <0).作出函数f (x )的图象如图:由图可知,函数f (x )在R 上不是单调函数,故①错误; y =f (x )的图象上的点到坐标原点距离的最小值为1,故②正确; 函数f (x )的值域为(﹣∞,1],故③错误;双曲线2214x y -=的渐近线方程为y 12=±,故函数y =f (x )与y =﹣x 的图象只有1个交点, 即函数F (x )=f (x )+x 有且只有一个零点,故④正确. 故答案为:②④. 【点睛】本题考查函数单调性、值域以及零点个数的判断,涉及椭圆和双曲线的轨迹绘制,以及数形结合的数学思想,属综合中档题.23.【分析】由偶函数的性质将不等式表示为再由函数在区间上的单调性得出与的大小关系解出不等式即可【详解】函数是上的偶函数所以由得函数在区间上单调递增得解得因此实数的取值范围是故答案为【点睛】本题考查函数不 解析:17a -<<【分析】由偶函数的性质()()f x fx =将不等式表示为()()34f a f -<,再由函数()y f x =在区间[)0,+∞上的单调性得出3a -与4的大小关系,解出不等式即可. 【详解】函数()y f x =是R 上的偶函数,所以()()f x f x =,由()()34f a f -<,得()()34fa f -<,函数()y f x =在区间[)0,+∞上单调递增,34a ∴-<,得434a -<-<, 解得17a -<<,因此,实数a 的取值范围是()1,7-,故答案为()1,7-. 【点睛】本题考查函数不等式的求解,对于这类问题,一般要考查函数的奇偶性与单调性,将不等式转化为()()12f x f x <(若函数为偶函数,可化为()()12fx f x <),结合单调性得出1x 与2x 的大小(或1x 与2x 的大小)关系,考查推理能力与分析问题的能力,属于中等题.24.1【分析】函数然后根据奇偶性的性质可求解然后得出的值【详解】函数令则即为奇函数故所以所以故答案为:【点睛】本题考查函数的奇偶性及应用难度一般灵活转化是关键解析:1 【分析】 函数()()22sin 21x exf x x e π+=++,然后根据奇偶性的性质可求解M m +,然后得出2020(1)M m +-的值.【详解】函数()()()2222222cos sin 22x x e x x e ex f x x e x e πππ⎛⎫-++ ⎪+++⎝⎭==++ ()22sin 21x ex x eπ+=++, 令()()22sin 2x ex g x x e π+=+,则()()()()2222sin 2sin 2x ex x exg x g x x e x eππ+---===-++, 即()g x 为奇函数,故()()max min 0g x g x +=所以()()max min 112M m g x g x +=+++=,所以()202011M m +-=.故答案为:1. 【点睛】本题考查函数的奇偶性及应用,难度一般,灵活转化是关键.25.【分析】根据条件判断函数的奇偶性和单调性结合函数的奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可【详解】则是偶函数当函数为增函数则等价与所以平方得所以所以即不等式的解集为故答案为:【点睛】本题主要考查解析:113x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【分析】根据条件判断函数的奇偶性和单调性,结合函数的奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可. 【详解】()()()()2211ln 1ln 111f x x x f x x x -=+--=+-=++,则()f x 是偶函数, 当0x ≥函数()f x 为增函数, 则()()12f x f x >-等价与()()12fx f x >-,所以12x x >-,平方得22144x x x -+>,所以23410x x -+<,所以113x <<,即不等式的解集为113x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭, 故答案为:113x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题主要考查不等式的求解,结合条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键,难度中等.26.【解析】当时由即则即当时由得解得则当时不等式的解为则由为偶函数当时不等式的解为即不等式的解为或则由或解得:或即不等式的解集为点睛:本题是一道关于分段函数的应用的题目考查了不等式的求解以及函数的图象问 解析:4712{|}3443x x x ≤≤≤≤或 【解析】当102x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,时,由()1 2f x =,即1 2cos x π= 则 3x ππ=,即13x =当12x >时,由()1 2f x =,得121?2x -=,解得3 4x = 则当0x ≥时,不等式()12f x ≤的解为1334x ≤≤ 则由()f x 为偶函数∴当0x <时,不等式()12f x ≤的解为3143x -≤≤- 即不等式()12f x ≤的解为1334x ≤≤或3143x -≤≤- 则由13134x ≤-≤或31143x -≤-≤- 解得:4734x ≤≤或1243x ≤≤ 即不等式()112f x -≤的解集为4712{|}3443x x x ≤≤≤≤或 点睛:本题是一道关于分段函数的应用的题目,考查了不等式的求解以及函数的图象问题.先求出当0x ≥时,不等式()12f x ≤的解,然后利用函数的奇偶性求出整个定义域()12f x ≤的解,即可得到结论.。

人教A版数学必修一,第三章 函数的应用, 单元测试,(后附含答案)

人教A版数学必修一,第三章 函数的应用, 单元测试,(后附含答案)

XX 学年度学校XX 月考卷一、单项选择(注释)1、已知函数:①y =2x;②y =log 2x;③y =x -1;④.则下列函数图象(在第一象限部分)从左到右依次与函数序号的正确对应顺序是( )A.②①③④B.②③①④C.④①③②D.④③①②2、若则当x>1时,a 、b 、c 的大小关系是 ( )A.B. C. D.3、设函数f(x)=x 3+bx +c 是[-1,1]上的增函数,且,则方程f (x)=0在区间[-1,1]上( ) A .可能有3个实数根 B .可能有2个实数根 C .有唯一实数根 D .没有实数根4、函数在下列哪个区间一定存在零点( ) A . B . C . D .5、设函数与的图象的交点为,则所在的区间是( )A. B. C. D.21x y =2232a ,,log ,3xb xc x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭a b c <<c b a <<c a b <<a c b <<11<022f f ⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()lg 2f x x x =+-(0,1)(1,2)(2,3)(3,4)3x y =xy ⎪⎭⎫⎝⎛=21()00,y x 0x ()1,0()2,1()3,26、设函数,用二分法求方程 的近似根过程中,计算得到,则方程的根落在区间 ( )A .B .C .D . 7、函数的零点所在的大致区间是( )A .B .C .D .8、已知函数在上的图像是连续不断的一条曲线, 在用二分法研究函数的零点时, 第一次计算得到数据:,根据零点的存在性定理知存在零点 , 第二次计算 , 以上横线处应填的内容为( ) A . B . C . D .9、已知函数,设,且函数F(x)的零点均在区间内,圆的面积的最小值是( ) A.B.C.D.11、设的大小关系为( )A. B. C. D. 12、函数的零点所在的大致区间是( ) A. B. C. D.()4,33()48f x x x =+-3480x x +-=(1)0,(3)0f f <>(1,1.5)(1.5,2)(2,2.5)(2.5,3)()y f x =R ()y f x =()()0.50,00f f -<>∈0x ()()1,0,0.25f --()()0.5,0,0.75f --()()1,0.5,0.75f ---()()0.5,0,0.25f --120172016,log log a b c ===,,a b c a b c >>a c b >>b a c >>c b a >>()()2ln 1f x x x=+-()0,1()1,2()2,e ()3,4A.1.2B.1.3C.1.4D.1.5二、填空题(注释)13、 已知函数,若函数有两不同的零点,则实数的取值范围是_________.14、已知函数,若方程f (x )+f (2﹣x )=t 恰有4个不同的实数根,则实数t的取值范围是 .15、汽车在匀速行驶过程中,汽油平均消耗率(即每小时的汽油耗油量,单位:)与汽车行驶的平均速度(单位:)之间满足:,若定义“汽油的使用率最高”为每千米汽油平均消耗量最少(单位:),则汽油的使用率最高时,汽车速度是 。

最新人教版高中数学必修第一册第三单元《函数概念与性质》检测(有答案解析)

最新人教版高中数学必修第一册第三单元《函数概念与性质》检测(有答案解析)

一、选择题1.设()f x 为定义在R 上的函数,函数()1f x +是奇函数.对于下列四个结论:①()10f =;②()()11f x f x -=-+; ③函数()f x 的图象关于原点对称; ④函数()f x 的图象关于点()1,0对称; 其中,正确结论的个数为( ) A .1B .2C .3D .42.已知函数()()2265m m m f x x-=--是幂函数,对任意1x ,()20,x ∈+∞,且12x x ≠,满足()()12120f x f x x x ->-,若a ,b R ∈,且0a b +>,则()()f a f b +的值( )A .恒大于0B .恒小于0C .等于0D .无法判断3.已知幂函数2242()(1)mm f x m x -+=-在(0,)+∞上单调递增,函数()2xg x t =-,任意1[1,6)x ∈时,总存在2[1,6)x ∈使得()()12f x g x =,则t 的取值范围是( )A .128t <<B .128t ≤≤C .28t >或1t <D .28t ≥或1t ≤4.已知函数(1)f x +为偶函数,()f x 在区间[1,)+∞上单调递增,则满足不等式(21)(3)f x f x ->的x 的解集是( )A .31,5⎛⎫- ⎪⎝⎭B .3(,1),5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭C .1(,1),5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D .11,5⎛⎫- ⎪⎝⎭5.已知函数()312xx f x x x e e=-+-+,其中e 是自然对数的底数,若()()2120f a f a -+≤则实数a 的取值范围是( )A .11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B .[]1,2-C .(]1,1,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭D .(][),21,-∞-+∞6.已知()f x 是定义在R 上的奇函数,若12,x x R ∀∈,且12x x ≠,都有()()()()12120x x f x f x -->成立,则不等式()()2120x f x x -->的解集是( )A .()(),11,2-∞ B .()()0,11,+∞C .()(),01,2-∞D .()()0,12,⋃+∞7.已知函数()f x 的定义域为,(4)R f x +是偶函数,(6)3f =,()f x 在(,4]-∞上单调递减,则不等式(24)3f x -<的解集为( ) A .(4,6)B .(,4)(6,)-∞⋃+∞C .(,3)(5,)-∞⋃+∞D .(3,5)8.定义在R 上的奇函数()f x 满足()10f =,且对任意的正数a 、b (ab ),有()()0f a f b a b -<-,则不等式()202f x x -<-的解集是( )A .()()1,12,-+∞B .()(),13,-∞-+∞C .()(),13,-∞+∞ D .()(),12,-∞-+∞9.已知函数()2sin tan 1cos a x b xf x x x +=++,若()10100f =,则()10f -=( )A .100-B .98C .102-D .10210.已知2()log (1)f x x =-,若()2120f x x -+-<,则x 的取值范围为( )A .(,0)(1,)-∞⋃+∞B.⎝⎭C.115,01,22⎛⎫⎛+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D .(1,0)(1,2)-11.定义在[]1,1-的函数()f x 满足下列两个条件:①任意的[1,1]x ∈-都有()()f x f x -=-;②任意的,[0,1]m n ∈,当m n ≠,都有()()0f m f n m n-<-,则不等式(12)(1)0f x f x -+-<的解集是( )A .10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B .12,23⎛⎤⎥⎝⎦C .11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D .20,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭12.设函数1,()0,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数,则下列结论正确的是( ) A .()D x 的值域为[0,1] B .()D x 是偶函数 C .()(3.14)D D π>D .()D x 是单调函数13.函数3e e x xxy -=+(其中e 是自然对数的底数)的图象大致为( )A .B .C .D .14.现有下列四个结论中,其中正确结论的个数是( ) ①幂函数()k yx k Q =∈的图象与函数1y x =的图象至少有两个交点;②函数()30xy k k =⋅>(k 为常数)的图象可由函数3xy =的图象经过平移得到;③函数11(0)312xy x x ⎛⎫=+≠⎪-⎝⎭是偶函数; ④函数21lg ||x y x +=无最大值,也无最小值;A .1个B .2个C .3个D .4个15.关于函数1()lg 1xf x x-=+,有下列三个命题: ①对于任意(1,1)x ∈-,都有()()f x f x -=-;②()f x 在(1,1)-上是减函数;③对于任意12,(1,1)x x ∈-,都有121212()()()1x x f x f x f x x ++=+; 其中正确命题的个数是( ) A .0B .1C .2D .3二、填空题16.若函数()21f x x a x =--是区间[0,)+∞上的严格增函数,则实数a 的取值范围是____.17.已知定义在R 上的偶函数()f x 在区间[)0,+∞内单调递减,且()10f -=,则使不等式(1)0f x x+≤成立的x 的取值范围是_________. 18.函数()f x =___________.19.函数()22(1)221x xx f x x -++-=+,在区间[]2019,2019-上的最大值为M ,最小值为m .则M m +=_____.20.已知()f x =2243,023,0x x x x x x ⎧-+≤⎨--+<⎩不等式()(2)f x a f a x +>-在[a ,a +1]上恒成立,则实数a 的取值范围是________.21.幂函数()()2231mm f x a x --=-(),a m N ∈为偶函数,且在()0,∞+上是减函数,则a m +=____.22.设函数2()21k f x x x =-+(120191,,1,2,3,,2019k x k k k +⎡⎤∈-=⎢⎥⎣⎦)的值域依次是1232019,,,,A A A A ,则1232019A A A A ⋂⋂⋂⋂=__________.23.函数()22f x x x =-,[]2,2x ∈-的最大值为________.24.设f (x )为定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f (x )=2x +2x +m ,则f (﹣1)=_______. 25.已知2()y f x x =+是奇函数,且f (1)1=,若()()2g x f x =+,则(1)g -=___. 26.已知f (x )是R 上的奇函数,当x ≥0时,f (x )=x 2﹣5x ,则f (x ﹣1)>f (x )的解集为_____.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.C 解析:C 【分析】令()()1g x f x =+,①:根据()00g =求解出()1f 的值并判断;②:根据()g x 为奇函数可知()()g x g x -=-,化简此式并进行判断;根据()1y f x =+与()y f x =的图象关系确定出()f x 关于点对称的情况,由此判断出③④是否正确. 【详解】令()()1g x f x =+,①因为()g x 为R 上的奇函数,所以()()0010g f =+=,所以()10f =,故正确;②因为()g x 为R 上的奇函数,所以()()g x g x -=-,所以()()11f x f x -+=-+,即()()11f x f x -=-+,故正确;因为()1y f x =+的图象由()y f x =的图象向左平移一个单位得到的,又()1y f x =+的图象关于原点对称,所以()y f x =的图象关于点()1,0对称,故③错误④正确,所以正确的有:①②④, 故选:C. 【点睛】结论点睛:通过奇偶性判断函数对称性的常见情况:(1)若()f x a +为偶函数,则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称; (2)若()f x a +为奇函数,则函数()y f x =的图象关于点(),0a 成中心对称.2.A解析:A 【分析】利用幂函数的定义求出m ,利用函数的单调性和奇偶性即可求解. 【详解】∵函数()()2265m m m f x x-=--是幂函数,∴25=1m m --,解得:m = -2或m =3. ∵对任意1x ,()20,x ∈+∞,且12x x ≠,满足()()12120f x f x x x ->-,∴函数()f x 为增函数, ∴260m ->, ∴m =3(m = -2舍去) ∴()3=f x x 为增函数.对任意a ,b R ∈,且0a b +>, 则- a b >,∴()()()f a f b f b >-=- ∴()()0f a f b +>. 故选:A 【点睛】(1)由幂函数的定义求参数的值要严格按照解析式,x 前的系数为1; (2)函数的单调性和奇偶性是函数常用性质,通常一起应用.3.B解析:B 【分析】先根据幂函数定义解得m ,再根据单调性进行取舍,根据任意存在性将问题转化为对应函数值域包含问题,最后根据函数单调性确定对应函数值域,根据值域包含关系列不等式解得结果. 【详解】由题意22(1)1420m m m ⎧-=⎨-+>⎩,则0m =,即()2f x x =,当[)11,6x ∈时, ()[)11,36f x ∈, 又当[)21,6x ∈时, ()[)22,64g x t t ∈--,∴216436t t -≤⎧⎨-≥⎩,解得128t ≤≤,故选:B . 【点睛】对于方程任意或存在性问题,一般转化为对应函数值域包含关系,即1212,,()()()x x f x g x y f x ∀∃=⇒=的值域包含于()y g x =的值域; 1212,,()()()x x f x g x y f x ∃∃=⇒=的值域与()y g x =的值域交集非空.4.A解析:A 【分析】根据题意,分析可得()f x 的图象关于直线1x =对称,结合函数的单调性可得(21)(3)f x f x ->等价于|22||31|x x ->-,两边平方解得x 的取值范围,即可得答案.【详解】因为函数(1)f x +为偶函数,所以(1)y f x =+的图象关于直线0x =对称, 因为(1)y f x =+的图象向右平移1个单位得到()y f x =的图象, 则()y f x =的图象关于直线1x =对称, 又因为()f x 在区间[1,)+∞上单调递增, 所以()f x 在区间(],1-∞上单调递减,所以()f x 的函数值越大,自变量与1的距离越大, ()f x 的函数值越小,自变量与1的距离越小,所以不等式(21)(3)f x f x ->等价于|22||31|x x ->-, 两边平方()()()()2222315310x x x x ->-⇒-+<, 解得315x -<<, 即不等式的解集为31,5⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故选:A .【点睛】方法点睛:函数的三个性质:单调性、奇偶性和周期性,在高考中一般不会单独命题,而是常将它们综合在一起考查,其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合,并结合奇偶性求函数值,多以选择题、填空题的形式呈现,函数的单调性与奇偶性相结合,注意函数的单调性及奇偶性的定义,以及奇、偶函数图象的对称性.5.C解析:C 【分析】求导判断函数()312xxf x x x e e =-+-+的单调性,再利用定义判断函数的奇偶性,根据单调性与奇偶性求解即可. 【详解】根据题意,()2132xx f x x e e'=-+--,因为当且仅当0x =时,()213220x x f x x e e -'=-+-≤-=,所以函数()f x 在R 上单调递减;又()3311()220x xx xf x f x x x e x x e e e ---+=-++-+-+=,所以函数()f x 为奇函数,()()2120f a f a -+≤,则()()212f a f a -≤-,因为函数()f x 为奇函数,()()212f a f a -≤-,又因为函数()f x 在R 上单调递减,所以212a a -≥-,可得1a ≤-或12a ≥. 故选:C. 【点睛】对于求值或范围的问题,一般先利用导数得出区间上的单调性,再利用定义判断奇偶性,再利用其单调性脱去函数的符号“f ”,转化为解不等式组的问题,若()f x 为偶函数,则()()()f x f x f x -==.6.C解析:C 【分析】根据条件先判断出()f x 的单调性,根据单调性得到()f x 取值的特点,根据1x -与0的关系,采用分类讨论的方法解不等式,从而求解出解集. 【详解】因为12,x x R ∀∈,且12x x ≠,都有()()()()12120x x f x f x -->成立,所以()f x 为R 上增函数,又因为()f x 为R 上奇函数,所以0x <时,()0f x <;0x >时,()0f x >;0x =时,()0f x =;当10x -=时,1x =,此时()()2012x f x x --=,不符合条件;当10x ->时,因为()()2120x f x x -->,所以22010x x x ⎧->⎨->⎩,解得0x <;当10x -<时,因为()()2120x f x x -->,所以22010x x x ⎧-<⎨-<⎩,解得12x <<;所以()()2120x f x x -->的解集为()(),01,2-∞,故选:C. 【点睛】结论点睛:可直接判断函数单调性的几种变形形式: (1)已知12,x x D ∀∈(D 为函数定义域),且12x x ≠,都有()()()()12120x x f x f x -->或()()12120f x f x x x ->- 成立,则()f x 为单调递增函数;(2)已知12,x x D ∀∈(D 为函数定义域),且12x x ≠,都有()()()()12120x x f x f x --<或()()12120f x f x x x -<- 成立,则()f x 为单调递增函数.7.D解析:D 【分析】由题知函数()f x 的图象关于直线4x =对称,则有()f x 在[4,)+∞上单调递增,且有(6)(2)3f f ==,再利用单调性解不等式即可得结果.【详解】因为(4)f x +是偶函数,所以函数()f x 的图象关于直线4x =对称,则(6)(2)3f f ==. 因为()f x 在(,4]-∞上单调递减,所以()f x 在[4,)+∞上单调递增, 故(24)3f x -<等价于224x <-6<,解得35x <<. 故选:D 【点睛】关键点睛:本题的关键是能得出函数()f x 的图象关于直线4x =对称,进而判断出函数的单调性来,要求学生能够熟悉掌握函数性质的综合应用.8.C解析:C 【分析】易知函数()f x 在()0,∞+上单调递减,令2t x =-,将不等式()0f t t<等价为()00t f t >⎧⎨<⎩或()00t f t <⎧⎨>⎩,进一步求出答案. 【详解】∵对任意的正数a 、b (ab ),有()()0f a f b a b-<-,∴函数()f x 在()0,∞+上单调递减, ∴()f x 在(),0-∞上单调递减. 又∵()10f =,∴()()110f f -=-= 令2t x =-所以不等式()0f t t <等价为()00t f t >⎧⎨<⎩或()00t f t <⎧⎨>⎩∴1t >或1t <-, ∴21x ->或21x -<-, ∴3x >或1x <,即不等式的解集为()(),13,-∞⋃+∞. 故选:C. 【点睛】本题考查抽象函数的单调性和奇偶性以及不等式的知识点,考查逻辑思维能力,属于基础题.9.D解析:D 【分析】令()()21g x f x x =--,根据奇偶性定义可判断出()g x 为奇函数,从而可求得()()10101g g -=-=,进而求得结果.【详解】令()()2sin tan 1cos a x b xg x f x x x+=--=()()()()()sin tan sin tan cos cos a x b x a x b xg x g x x x-+---∴-===--()g x ∴为奇函数又()()210101011g f =--=- ()()10101g g ∴-=-=即()()2101011f ----= ()10102f ∴-=本题正确选项:D 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求解函数值的问题,关键是能够通过构造函数的方式得到奇函数,利用奇函数的定义可求得对应位置的函数值.10.C解析:C 【分析】首先判断函数的单调性和定义域,再解抽象不等式. 【详解】函数()f x 的定义域需满足210240x x x ->⎧⎨-+≥⎩,解得:1x >, 并且在区间()1,+∞上,函数单调递增,且()22f =, 所以()()()2212012f x x f x x f -+-<⇔-+<,即221112x x x x ⎧-+>⎨-+<⎩,解得:1x <<0x <<.故选:C 【点睛】关键点点睛:本题的关键是判断函数的单调性和定义域,尤其是容易忽略函数的定义域.11.D解析:D 【分析】根据题意先判断函数()f x 的奇偶性与单调性,然后将不等式变形得(12)(1)f x f x -<-,再利用单调性和定义域列出关于x 的不等式求解. 【详解】根据题意,由①知函数()f x 为奇函数,由②知函数()f x 在[0,1]上为减函数,所以可得函数()f x 在[]1,1-是奇函数也是减函数,所以不等式(12)(1)0f x f x -+-<,移项得(12)(1)f x f x -<--,变形(12)(1)f x f x -<-,所以11121x x -≤-<-≤,得203x ≤<. 故选:D. 【点睛】 本题考查的是函数单调性与奇偶性的综合问题,需要注意:(1)判断奇偶性:奇函数满足()()f x f x -=-;偶函数满足()()f x f x -=; (2)判断单调性:增函数()[]1212()()0x x f x f x -->;1212()()0f x f x x x ->-;减函数:()[]1212()()0x x f x f x --<;1212()()0f x f x x x -<-;(3)列不等式求解时需要注意定义域的问题.12.B解析:B 【分析】计算函数值域为{}0,1A 错误,根据偶函数定义知B 正确,()0D π=,(3.14)1D =,C 错误,()()011D D ==,故D 错误,得到答案. 【详解】根据题意:()D x 的值域为{}0,1,A 错误; 当x 为有理数时,x -为有理数,()()D x D x =-,当x 为无理数时,x -为无理数,()()D x D x =-,故函数为偶函数,B 正确; ()0D π=,(3.14)1D =,C 错误;()()011D D ==,故D 错误.故选:B. 【点睛】本题考查了分段函数的值域,奇偶性和单调性,意在考查学生对于函数性质的综合应用.13.A解析:A 【分析】由函数的奇偶性排除B ;由0x >的函数值,排除C ;由当x →+∞时的函数值,确定答案. 【详解】由题得函数的定义域为R ,因为3()()x xxf x f x e e ---==-+,所以函数是奇函数,所以排除B ;当0x >时,()0f x >,所以排除C ;当x →+∞时,()0f x →,所以选A . 故选:A 【点睛】方法点睛:根据函数的解析式找图象,一般先找图象的差异,再用解析式验证得解.14.A解析:A 【分析】①举反例说明命题为假;②应该是伸缩变换,可以判断出命题为假;③由奇偶函数的定义判断处函数为偶函数,可得命题为真; ④将函数变形,由均值不等式的性质可得最小值,可得命题为假. 【详解】解:①取幂函数2y x ,显然与1y x=仅有一个交点,所以①不正确;②函数()30xy k k =⋅>(k 为常数)的图象可由函数3xy =的图象经过伸缩得到,所以②不正确;③设()y f x =,由()()()3111,0312231xxxx f x x x +⎛⎫=+=≠ ⎪--⎝⎭,定义域关于原点对称, 则()()()()()()3131231231x x xxx x f x f x ---++-===--,()f x ∴是偶函数,故③正确;④函数215lg lg ||||||x y x x x ⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭,而lg y u =在定义域上单调递增,所以函数21lg ||x y x +=有最小值无最大值,所以④不正确. 故选:A . 【点睛】本题考查指对幂函数的性质,属于基础题.15.D解析:D 【分析】当(1,1)x ∈-时,函数1()1xf x lgx-=+恒有意义,代入计算()()f x f x -+可判断①;利用分析法,结合反比例函数及对数函数的单调性和复合函数“同增异减”的原则,可判断②;代入分别计算12()()f x f x +和1212()1x x f x x ++,比照后可判断③. 【详解】 解:1()1xf x lgx-=+,当(1,1)x ∈-时, 1111()()()101111x x x xf x f x lg lg lg lg x x x x+-+--+=+===-+-+,故()()f x f x -=-,即①正确; 12()(1)11x f x lglg x x -==-++,由211y x=-+在(1,1)-上是减函数,故()f x 在(1,1)-上是减函数,即②正确; 12121212121212121211111()()()11111x x x x x x x x f x f x lglg lg lg x x x x x x x x ----+--+=+==+++++++; 12121212121212121212111()1111x x x x x x x x x x f lg lg x x x x x x x x x x +-+++--==+++++++,即③正确故三个结论中正确的命题有3个 故选:D . 【点睛】本题以命题的真假判断为载体考查了函数求值,复合函数的单调性,对数的运算性质等知识点,属于中档题.二、填空题16.【分析】首先将函数写成分段函数的形式再分解函数的单调性列不等式求解【详解】要使函数在单调递增则在单调递增且在单调递增以及在分界点处即得解得:故答案为:【点睛】关键点点睛:本题的第一个关键是去绝对值第 解析:[]0,2【分析】首先将函数写成分段函数的形式,再分解函数的单调性,列不等式求解. 【详解】()22,1,1x ax a x f x x ax a x ⎧-+≥=⎨+-<⎩,要使函数()f x 在[)0,+∞单调递增,则2y x ax a =-+在[)1,+∞单调递增,且2y x ax a =+-在[)0,1单调递增,以及在分界点处a a -≤,即得1202a aa a ⎧≤⎪⎪⎪-≤⎨⎪-≤⎪⎪⎩,解得:02a ≤≤. 故答案为:[]0,2 【点睛】关键点点睛:本题的第一个关键是去绝对值,第二个关键是根据分段函数的单调性列不等式,每段都是增函数,以及在分界点处的不等式.17.【分析】先由定义域为R 的偶函数在区间内单调递减且画出的草图结合图象对进行等价转化解不等式即可【详解】由题意可知在区间内为增函数函数的图象可看作是由的图象向左平移1个单位长度得到的作出和的大致图象如图 解析:[)()2,00,-⋃+∞【分析】先由定义域为R 的偶函数()f x 在区间[)0,+∞内单调递减,且()10f -=,画出()f x 的草图,结合图象对(1)0f x x+≤进行等价转化,解不等式即可. 【详解】由题意可知()f x 在区间(),0-∞内为增函数,函数()1y f x =+的图象可看作是由()y f x =的图象向左平移1个单位长度得到的,作出()y f x =和()1y f x =+的大致图象,如图所示.不等式(1)0f x x+≤可化为: ()010x f x <⎧⎨+≥⎩,当0x <时()10f x +≥,观察图象,得20x -≤<; ()010x f x >⎧⎨+≤⎩,当0x >时()10f x +≤,观察图象,得0x >; 所以不等式的解集为[)()2,00,-⋃+∞ 故答案为:[)()2,00,-⋃+∞. 【点睛】常见解不等式的类型:(1)解一元二次不等式用图象法或因式分解法; (2)分式不等式化为标准型后利用商的符号法则; (3)高次不等式用穿针引线法; (4)含参数的不等式需要分类讨论.18.【分析】根据函数的解析式有意义列出不等式求解即可【详解】因为所以即解得所以函数的定义域为故答案为:【点睛】本题主要考查了给出函数解析式的函数的定义域问题考查了对数函数的性质属于中档题 解析:(0,2)【分析】根据函数的解析式有意义列出不等式求解即可. 【详解】 因为()21log f x x=-所以21log 00x x ->⎧⎨>⎩,即2log 10x x <⎧⎨>⎩解得02x <<,所以函数的定义域为(0,2), 故答案为:(0,2) 【点睛】本题主要考查了给出函数解析式的函数的定义域问题,考查了对数函数的性质,属于中档题.19.【分析】可将原函数化为可设可判断为奇函数再根据奇函数与最值性质进行求解即可【详解】因为设所以;则是奇函数所以在区间上的最大值为即在区间上的最小值为即∵是奇函数∴则故答案为:2【点睛】本题主要考查奇函 解析:2【分析】可将原函数化为()2222+11x x x f x x -+-=+,可设()22221x xx g x x -+-=+,可判断()g x 为奇函数,再根据奇函数与最值性质进行求解即可. 【详解】因为()222(1)22222=+111x x x xx x f x x x --++-+-=++ 设()[]()22222019,20191x xx g x x x -+-=∈-+,, 所以()()()()2222222211x xx x x x g x g x x x ---+-+--==-=-+-+ ; 则()g x 是奇函数,所以()f x 在区间[]2019,2019-上的最大值为M ,即()1max M g x =+,()f x 在区间[]2019,2019-上的最小值为m ,即()min 1m g x =+,∵()g x 是奇函数,∴()()max min 0g x g x +=, 则()()22max min M m g x g x +=++= . 故答案为:2. 【点睛】本题主要考查奇函数的性质,利用奇函数最值性质进行转化是解决本题的关键.属于中档题.20.(-∞-2)【分析】讨论分段函数各区间上单调递减且在处连续可知在R 上单调递减结合在aa +1上恒成立根据单调性列不等式求参数范围即可【详解】二次函数的对称轴是x =2∴该函数在(-∞0上单调递减即在(-解析:(-∞,-2) 【分析】讨论分段函数()f x 各区间上单调递减,且在3x =处连续可知()f x 在R 上单调递减,结合()(2)f x a f a x +>-在[a ,a +1]上恒成立,根据单调性列不等式求参数范围即可【详解】二次函数2143y x x =-+的对称轴是x =2∴该函数在(-∞,0]上单调递减,即在(-∞,0]上13y ≥同理,函数2223y x x =--+在(0,+∞)上单调递减,即在(0,+∞)上23y <∴分段函数()f x 在3x =处连续,()f x 在R 上单调递减由()(2)f x a f a x +>-有2x a a x +<-,即2x < a 在[a ,a +1]上恒成立 ∴2(a +1) < a ,解得a <-2 ∴实数a 的取值范围是(-∞,-2) 故答案为:(-∞,-2) 【点睛】本题考查了函数的单调性,确定分段函数在整个定义域内的单调性,再利用单调性和不等式恒成立的条件求参数范围21.3【分析】由幂函数为偶函数且在(0+∞)上是单调递减函数可得m2-2m-3<0且m2-2m-3为偶数m ∈Z 且解出即可【详解】∵幂函数为偶函数且在上是减函数∴且为偶数且解得12且只有时满足为偶数∴故答解析:3 【分析】由幂函数()()2231mm f x a x --=-(),a m N ∈为偶函数,且在(0,+∞)上是单调递减函数,可得m 2-2m -3<0,且m 2-2m -3为偶数,m ∈Z ,且1=1a -.解出即可. 【详解】∵幂函数()()2231mm f x a x --=-(),a m N ∈为偶函数,且在()0,∞+上是减函数,∴2230m m --<,且223m m --为偶数,m N ∈,且1=1a -. 解得13m -<<,0m =,1,2, 且=2a ,只有1m =时满足223=4m m ---为偶数. ∴1m =.3a m +=故答案为:3. 【点睛】本题考查幂函数的性质,根据幂函数性质求参数值,可根据幂函数性质列不等式和等式,求解即可,属于基础题.22.【分析】求出二次函数的对称轴判断函数的最小值与最大值然后求解值域的交集即可【详解】函数的对称轴为开口向上所以函数的最小值为函数()的值域依次是它们的最小值都是函数值域中的最大值为:当即时此时所以值域解析:2220190,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】求出二次函数的对称轴,判断函数的最小值与最大值,然后求解值域的交集即可. 【详解】函数()221k f x x x =-+的对称轴为1x =,开口向上,所以函数的最小值为()10f =,函数2()21k f x x x =-+(120191,,1,2,3,,2019k x k k k +⎡⎤∈-=⎢⎥⎣⎦)的值域依次是1232019,,,,A A A A ,它们的最小值都是0,函数值域中的最大值为:当12019111k k k +⎛⎫--=-⎪⎝⎭,即1010k =时,此时111010x =-, 所以,值域中的最大值中的最小值为22112019111101010101010f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以,212320192010220190,1010A A A A A ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦. 故答案为:2220190,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查二次函数的性质,函数的最值,考查分析问题解决问题的能力,涉及集合的交集计算,属于基础题.23.8【分析】首先画出的图象根据图象即可求出函数的最大值【详解】函数的图象如图所示:由图可知故答案为:【点睛】本题主要考查利用函数的图象求最值熟练画出函数图象为解题的关键属于中档题解析:8 【分析】首先画出()f x 的图象,根据图象即可求出函数的最大值. 【详解】函数()f x 的图象如图所示:由图可知,max ()(2)44=8f x f =-=+. 故答案为:8 【点睛】本题主要考查利用函数的图象求最值,熟练画出函数图象为解题的关键,属于中档题.24.【分析】由函数是上的奇函数求得得到当时函数再由即可求解【详解】由题意因为函数是上的奇函数则解得即当时函数又由故答案为:【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用以及函数值的求解其中解答中熟练应用函数的 解析:3-【分析】由函数()f x 是R 上的奇函数,求得1m =-,得到当0x ≥时,函数()221x f x x =+-,再由()()11f f -=-,即可求解. 【详解】由题意,因为函数()f x 是R 上的奇函数,则()002200f m =+⨯+=,解得1m =-,即当0x ≥时,函数()221xf x x =+-,又由()()111(2211)3f f -=-=-+⨯-=-.故答案为:3-. 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用,以及函数值的求解,其中解答中熟练应用函数的奇偶性是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.25.-1【解析】试题解析:-1 【解析】 试题因为2()y f x x =+是奇函数且(1)1f =,所以,则,所以.考点:函数的奇偶性.26.【分析】根据函数f (x )是R 上的奇函数和已知条件得出函数和的解析式在同一坐标系中做出和的图像求出交点的坐标根据不等式的解集可以理解为将的图象向右平移一个单位长度后所得函数的图象在函数的图象上方部分的 解析:{23}x x -<<【分析】根据函数f (x )是R 上的奇函数和已知条件得出函数()f x 和()1f x -的解析式,在同一坐标系中做出()f x 和()1f x -的图像,求出交点的坐标,根据不等式(1)()f x f x ->的解集可以理解为将()f x 的图象向右平移一个单位长度后所得函数()1f x -的图象在函数()f x 的图象上方部分的点对应的横坐标取值的集合,由图示可得出解集.【详解】当0x <时, 0x ->,所以 ()()22()55f x x x x x -=--⨯-=+, 又f (x )是R 上的奇函数,所以 2()()5f x f x x x =--=--,所以225,0()5,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩,所以()()()()22151,1(1)151,1x x x f x x x x ⎧---≥⎪-=⎨----<⎪⎩,即2276,1(1)34,1x x x f x x x x ⎧-+≥-=⎨--+<⎩, 做出()f x 和()1f x -的图像如下图所示,不等式(1)()f x f x ->的解集可以理解为将()f x 的图象向右平移一个单位长度后所得函数()1f x -的图象在函数()f x 的图象上方部分的点对应的横坐标取值的集合, 由22576,x x x x -=-+得3,x =所以()3,6A -,由22534x x x x --=--+得2x =-,所以()2,6B -, 所以不等式(1)()f x f x ->的解集为{23}x x -<<. 故答案为:{23}x x -<<.【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求得对称区间上的解析式,图像的平移,以及运用数形结合的思想求解不等式,关键在于综合熟练地运用函数的奇偶性,解析式的求法,图像的平移,以及如何在图像上求出不等式的解集等一些基本能力,属于中档题.。

人教版高中数学必修第一册第三单元《函数概念与性质》测试卷(包含答案解析)(2)

人教版高中数学必修第一册第三单元《函数概念与性质》测试卷(包含答案解析)(2)

一、选择题1.定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()()f xy f x f y =+,当0x y <<时,都有()()f x f y >,且112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则不等式()()32f x f x -+-≥-的解集为( )A .[)1,0-B .[)4,0-C .(]3,4D .[)(]1,03,4-2.意大利著名天文学家伽利略曾错误地猜测链条自然下垂时的形状是抛物线.直到1690年,雅各布·伯努利正式提出该问题为“悬链线”问题并向数学界征求答案.1691年他的弟弟约翰·伯努利和菜布尼兹、惠更斯三人各自都得到了正确答案,给出悬链线的数学表达式——双曲余弦函数:()coshxf x c a c a =+=2xx aae e a -++⋅(e 为自然对数的底数).当0c ,1a =时,记(1)p f =-,12m f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,(2)n f =,则p ,m ,n 的大小关系为( ).A .p m n <<B .n m p <<C .m p n <<D .m n p <<3.对于实数a 和b ,定义运算“*”:,,,.b a b a b a a b ≤⎧*=⎨>⎩设()f x x =,()224g x x x =--+,则()()()M x f x g x =*的最小值为( )A .0B .1C .2D .34.已知()f x 为奇函数,且当0x >时,()2f x x =-,则1()2f -的值为( )A .52- B .32- C .32D .525.已知函数(1)f x +为偶函数,()f x 在区间[1,)+∞上单调递增,则满足不等式(21)(3)f x f x ->的x 的解集是( )A .31,5⎛⎫- ⎪⎝⎭B .3(,1),5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭C .1(,1),5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D .11,5⎛⎫- ⎪⎝⎭6.定义在R 上的奇函数()f x 满足()10f =,且对任意的正数a 、b (ab ),有()()0f a f b a b -<-,则不等式()202f x x -<-的解集是( )A .()()1,12,-+∞B .()(),13,-∞-+∞C .()(),13,-∞+∞ D .()(),12,-∞-+∞7.已知函数()2sin tan 1cos a x b xf x x x +=++,若()10100f =,则()10f -=( )A .100-B .98C .102-D .1028.函数f (x )的值域为( ) A .[-43,43] B .[-43,0] C .[0,1]D .[0,43] 9.已知函数()3()log 91xf x x =++,则使得()2311log 10f x x -+-<成立的x 的取值范围是( ) A.0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B .(,0)(1,)-∞⋃+∞C .(0,1)D .(,1)-∞10.已知函数3()201920191x x f x x -=-++,则关于x 的不等式(21)(2)2f x f x -+>的解集为( )A .1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B .1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C .1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D .1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭11.函数1()lg f x x=+ ) A .(0,2] B .(0,2) C .(0,1)(1,2]⋃D .(,2]-∞12.设函数()()212131log 1313x xe e xf x x --=++++,则做得()()31f x f x ≤-成立的x 的取值范围是( ) A .1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B .1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C .11,,42⎛⎤⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ D .11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦13.若函数()314,025,0xx f x x x x ⎧⎛⎫+≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--+>⎩,,当[],1x m m ∈+时,不等式()()2-<+f m x f x m 恒成立,则实数m 的取值范围是( )A .(),4-∞-B .(),2-∞-C .()2,2-D .(),0-∞14.现有下列四个结论中,其中正确结论的个数是( ) ①幂函数()k yx k Q =∈的图象与函数1y x =的图象至少有两个交点;②函数()30xy k k =⋅>(k 为常数)的图象可由函数3xy =的图象经过平移得到;③函数11(0)312xy x x ⎛⎫=+≠⎪-⎝⎭是偶函数; ④函数21lg ||x y x +=无最大值,也无最小值;A .1个B .2个C .3个D .4个15.函数2222(1)ln 2(1)x y x x +=-⋅+的部分图象是( )A .B .C .D .二、填空题16.已知函数()()23log 440f x ax x =-+>在x ∈R 上恒成立,则a 的取值范围是_________.17.已知a R ∈,函数229()f x x a a x =++-在区间[3,1]--上的最大值10,则a 的取值范围是__________.18.定义在[0,)+∞上的函数()y f x =满足:(1)(2)0f =;(2)当02x <<时,()0f x ≠;(3)任意的,0x y >总有()(())()f x y f x f y f y +=⋅⋅成立.则1(3)2f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________.19.函数22y x x c =--在[]0,a 上的最大值为b ,则b a -最小值为__________.20.已知函数()()11xf x x x =>-,())2g x x x ≥,若存在函数()(),F x G x 满足:()()()()()(),G x F x f x g x g x f x =⋅=,学生甲认为函数()(),F x G x 一定是同一函数,乙认为函数()(),F x G x 一定不是同一函数,丙认为函数()(),F x G x 不一定是同一函数,观点正确的学生是_________.21.设f (x )为定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f (x )=2x +2x +m ,则f (﹣1)=_______. 22.设函数()f x 在定义域(0,+∞)上是单调函数,()()0,,xx f f x e x e ⎡⎤∀∈+∞-+=⎣⎦,若不等式()()f x f x ax '+≥对()0,x ∈+∞恒成立,则实数a 的取值范围是______. 23.函数()f x 是定义在R 上的偶函数,且()21f =-,对任意的x ∈R 都有()()2f x f x =--,则()2020f =_________.24.已知函数()()()()22sin 1R f x x x x x a a =--++∈在区间[]1,3-上的最大值与最小值的和为18,则实数a 的值为______.25.已知()f x 为偶函数,当0x ≥时,1cos ,[0,]2()121,(,)2x x f x x x π⎧∈⎪⎪=⎨⎪-∈+∞⎪⎩,则不等式1(1)2f x -≤的解集为__________. 26.已知函数1()22x x f x =-,则满足()()2560f x x f -+>的实数x 的取值范围是________.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.A 解析:A 【分析】采用赋值法,令1x y ==求得()10f =,同理可求()21f =-,()42f =-; 化()()32f x f x -+-≥-为()()234f x x f -≥,再结合单调性解不等式得结果.【详解】令1x y ==,得()()121f f =即()10f =,令12x =,2y =则()()1122f f f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭得()21f =-,令2x y ==,()()()4222f f f =+=-,所以由()()32f x f x -+-≥-得()()234f x x f -≥;又因为函数()f x 的定义域为()0,∞+,且0x y <<时,都有()()f x f y >,所以203034x x x x ->⎧⎪->⎨⎪-≤⎩ 即0314x x x <⎧⎪<⎨⎪-≤≤⎩所以10x -≤<, 即不等式()()32f x f x -+-≥-的解集为[)1,0-. 故选:A 【点睛】思路点晴:抽象函数往往通过赋值法来解决问题.2.C解析:C 【分析】先利用导数证明函数()f x 在区间0,上单调递增,再结合单调性比较大小即可.【详解】由题意知,()2x x e e f x -+=,21()22x x x xe e ef x e--+-'== 当0x >时,()0f x '>,即函数()f x 在区间0,上单调递增1(1)(1)2e ef f -+-==10122<<<,1(1)(2)2f f f ⎛⎫∴<< ⎪⎝⎭,即m p n << 故选:C 【点睛】关键点睛:解决本题的关键是利用导数证明函数()f x 的单调性,再结合单调性比较大小.3.B解析:B 【分析】由题意可得()()()()()()()()()g x f x g x M x f x g x f x f x g x ⎧≤⎪=*=⎨>⎪⎩,通过解不等式得出()()2241,1,2x x x M x x x ⎧⎤--+∈⎪⎥⎪⎣⎦=⎨⎛-⎪∈-∞⋃+∞ ⎪ ⎝⎭⎩,作出函数()M x 的图象,根据函数图象可得答案. 【详解】由条件有()()()()()()()()()g x f x g x M x f x g x f x f x g x ⎧≤⎪=*=⎨>⎪⎩当0x ≥时,()224g x x x x =--+≥,得到01x ≤≤, 即01x ≤<时,()()f x g x <,当1x >时,()()f x g x > 当0x <时,()224g x x x x =--+≤-,得117x --≤即当117x --≤时,()()f x g x >,当1170x --<<时,()()f x g x <所以()()211724,1117,1,x x x M x x x ⎧⎡⎤----+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎛⎫--⎪∈-∞⋃+∞ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩作出函数()M x 的图象,如图所示,由图可得,当1x =时,()M x 有最小值1 故选:B4.C解析:C 【分析】根据函数为奇函数可知1122f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,然后根据0x >时()f x 的解析式可求解出12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值,则12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值可求. 【详解】因为()f x 为奇函数,所以1122f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 又因为1132222f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,所以113222f f ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 故选:C.关键点点睛:解答本题的关键是利用奇偶性的定义将计算12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值转化为计算12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值,从而根据已知条件完成求解.5.A解析:A 【分析】根据题意,分析可得()f x 的图象关于直线1x =对称,结合函数的单调性可得(21)(3)f x f x ->等价于|22||31|x x ->-,两边平方解得x 的取值范围,即可得答案.【详解】因为函数(1)f x +为偶函数,所以(1)y f x =+的图象关于直线0x =对称, 因为(1)y f x =+的图象向右平移1个单位得到()y f x =的图象, 则()y f x =的图象关于直线1x =对称, 又因为()f x 在区间[1,)+∞上单调递增, 所以()f x 在区间(],1-∞上单调递减,所以()f x 的函数值越大,自变量与1的距离越大, ()f x 的函数值越小,自变量与1的距离越小,所以不等式(21)(3)f x f x ->等价于|22||31|x x ->-, 两边平方()()()()2222315310x x x x ->-⇒-+<, 解得315x -<<, 即不等式的解集为31,5⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故选:A . 【点睛】方法点睛:函数的三个性质:单调性、奇偶性和周期性,在高考中一般不会单独命题,而是常将它们综合在一起考查,其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合,并结合奇偶性求函数值,多以选择题、填空题的形式呈现,函数的单调性与奇偶性相结合,注意函数的单调性及奇偶性的定义,以及奇、偶函数图象的对称性.6.C解析:C 【分析】易知函数()f x 在()0,∞+上单调递减,令2t x =-,将不等式()0f t t<等价为()00t f t >⎧⎨<⎩或()00t f t <⎧⎨>⎩,进一步求出答案.∵对任意的正数a 、b (ab ),有()()0f a f b a b-<-,∴函数()f x 在()0,∞+上单调递减, ∴()f x 在(),0-∞上单调递减. 又∵()10f =,∴()()110f f -=-= 令2t x =-所以不等式()0f t t <等价为()00t f t >⎧⎨<⎩或()00t f t <⎧⎨>⎩∴1t >或1t <-, ∴21x ->或21x -<-, ∴3x >或1x <,即不等式的解集为()(),13,-∞⋃+∞. 故选:C. 【点睛】本题考查抽象函数的单调性和奇偶性以及不等式的知识点,考查逻辑思维能力,属于基础题.7.D解析:D 【分析】令()()21g x f x x =--,根据奇偶性定义可判断出()g x 为奇函数,从而可求得()()10101g g -=-=,进而求得结果.【详解】令()()2sin tan 1cos a x b xg x f x x x+=--=()()()()()sin tan sin tan cos cos a x b x a x b xg x g x x x-+---∴-===--()g x ∴为奇函数又()()210101011g f =--=- ()()10101g g ∴-=-=即()()2101011f ----= ()10102f ∴-=本题正确选项:D 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求解函数值的问题,关键是能够通过构造函数的方式得到奇函数,利用奇函数的定义可求得对应位置的函数值.8.C【解析】令cos ,[0,π]x θθ=∈,则sin 1()()cos 2f xg θθθ-==-的几何意义是单位圆(在x 轴及其上方)上的动点(cos ,sin )M θθ与点(2,1)A 连线的斜率k ,由图象,得01k ≤≤,即函数()f x 的值域为[0,1],故选C.点睛:本题考查利用三角代换、直线的斜率公式求函数的值域,解决本题的关键有两个,21x -sin 1cos 2θθ--的形式联想到过两点的直线的斜率公式,充分体现了代数、三角函数、解析几何间的有机结合.9.C解析:C 【分析】令21t x x =-+,则3()1log 10f t -<,从而33log (91)1log 10tt ++-<,即可得到133log (91)log (91)1t t ++<++,然后构造函数3()log (91)t g t t =++,利用导数判断其单调性,进而可得23114x x ≤-+<,解不等式可得答案 【详解】令21t x x =-+,则221331()244t x x x =-+=-+≥, 3()1log 10f t -<,所以33log (91)1log 10tt ++-<,所以133log (91)log (91)1t t ++<++,令3()log (91)tg t t =++,则9ln 929'()11(91)ln 391t tt t g t ⨯=+=+++,所以90t >,所以'()0g t >, 所以()g t 在3[,)4+∞单调递增, 所以由()(1)g t g <,得314t ≤<,所以23114x x ≤-+<,解得01x <<, 故选:C 【点睛】关键点点睛:此题考查不等式恒成立问题,考查函数单调性的应用,解题的关键是换元后对不等式变形得133log (91)log (91)1t t ++<++,再构造函数3()log (91)tg t t =++,利用函数的单调性解不等式.10.A解析:A 【分析】可知()f x 在R 上是单调递增函数,且()()2f x f x +-=,则不等式等价于(21)(2)f x f x ->-,解出即可.【详解】3()201920191x x f x x -=-++,()f x ∴在R 上是单调递增函数,()3201920191x x f x x ---=+-,()()2f x f x ∴+-=,则()()222f x f x -=-,(21)(2)2f x f x -+>,(21)2(2)(2)f x f x f x ->-=-∴,212x x ∴->-,解得14x >, 故不等式的解集为1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 故选:A. 【点睛】本题考查抽象函数不等式的求解,解题的关键是判断出函数的单调性,得出()()2f x f x +-=,将不等式化为(21)(2)f x f x ->-求解. 11.C解析:C 【分析】对数的真数大于零,分母不为零,偶次根式要求被开方式大于等于零,依据以上三点,列不等式求解. 【详解】欲使函数有意义,则0lg 020x x x >⎧⎪≠⎨⎪-≥⎩,即012x x x >⎧⎪≠⎨⎪≤⎩解得()(]0,11,2x ∈⋃故选:C . 【点睛】方法点睛:该题考查的是有关求函数定义域的问题,在求解的过程中,注意: (1)对数要求真数大于0; (2)分式要求分母不等于0; (3)偶次根式要求被开方式大于等于0.12.D解析:D 【分析】先判断()f x 是偶函数且在0,上递减,原不等式转化为31x x ≥-,再解绝对值不等式即可. 【详解】()()()211221133111log 13log 131313x x xxe e e e xxf x x x ---⎛⎫=+++=+++ ⎪++⎝⎭,()121311log 1,,313x xe e xy x y y -⎛⎫=+== ⎪+⎝⎭在0,上都递减所以()f x 在0,上递减,又因为()()()()121311log 1313x xe e xf x x f x ----⎛⎫-=+-++= ⎪+⎝⎭,且()f x 的定义域为R ,定义域关于原点对称, 所以()f x 是偶函数, 所以()()()()313131f x f x f x f x x x ≤-⇔≤-⇔≥-,可得113142x x x x -≤-≤⇒≤≤,x 的取值范围是11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 故选:D. 【点睛】将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点,解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性,根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反,奇函数在对称区间单调性相同),然后再根据单调性列不等式求解.13.B解析:B 【分析】先判断函数的单调性,然后解答不等式,在恒成立的条件下求出结果 【详解】依题意得:函数()314,025,0xx f x x x x ⎧⎛⎫+≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--+>⎩,在x ∈R 上单调递减, 因为()()2-<+f m x f x m ,所以2m x x m ->+,即2x m <,在[],1x m m ∈+上恒成立,所以2(1)m m +<,即2m <-,故选B . 【点睛】本题考查了函数的单调性的应用,结合函数的单调性求解不等式,需要掌握解题方法14.A解析:A 【分析】①举反例说明命题为假;②应该是伸缩变换,可以判断出命题为假;③由奇偶函数的定义判断处函数为偶函数,可得命题为真; ④将函数变形,由均值不等式的性质可得最小值,可得命题为假. 【详解】 解:①取幂函数2y x ,显然与1y x=仅有一个交点,所以①不正确;②函数()30xy k k =⋅>(k 为常数)的图象可由函数3xy =的图象经过伸缩得到,所以②不正确;③设()y f x =,由()()()3111,0312231x xxx f x x x +⎛⎫=+=≠ ⎪--⎝⎭,定义域关于原点对称, 则()()()()()()3131231231x x x x x x f x f x ---++-===--,()f x ∴是偶函数,故③正确;④函数215lg lg ||||||x y x x x ⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭, 而lg y u =在定义域上单调递增,所以函数21lg ||x y x +=有最小值无最大值,所以④不正确. 故选:A . 【点睛】本题考查指对幂函数的性质,属于基础题.15.C解析:C 【详解】函数()()22221ln 21x y x x +=-⋅+是偶函数,排除AD;且222222(1)2,02(1)x x x x ++≥+∴≤+ 当01,0,10.x y x y <<>==时当时, 排除B,选C.点睛:这个题目考查的是由函数的解析式画函数的图象;一般这种题目是排除法来做的;先找函数的定义域,值域,看是否和解析式相符;再看函数的对称性,奇偶性,看两者是否相符;还有可以判断函数的极限值.二、填空题16.【分析】由题意把函数在上恒成立转化为对上恒成立列不等式解得a 的范围【详解】恒成立即恒成立所以时显然不成立当时得所以故答案为:【点睛】(1)求参数的范围是常见题型之一处理的方法有两种:①不分离参数直接解析:4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】由题意,把函数()()23log 440f x ax x =-+>在x ∈R 上恒成立转化为2430ax x -+>对x ∈R 上恒成立,列不等式解得a 的范围. 【详解】()()23log 440f x x x α=-+>恒成立,即()2233log 44log 1430ax x ax x -+>⇔-+>恒成立,所以0a =时显然不成立.当0a ≠时()0Δ16120a a >⎧⎨=-<⎩得43a <,所以4,3a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭. 故答案为:4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【点睛】(1)求参数的范围是常见题型之一,处理的方法有两种:①不分离参数,直接求最大值或最小值,解不等式;②分离参数法.(2)解指、对数型的不等式,通常化为同底的结构,利用函数的单调性解不等式.17.【分析】求出的范围后根据绝对值的性质根据最大值得不等关系可得的范围【详解】时当且仅当时等号成立又或时所以而的最大值为10所以的最大值为所以解得故答案为:【点睛】关键点点睛:本题考查函数的最值掌握绝对 解析:[8,)-+∞【分析】 求出229x x+的范围后根据绝对值的性质根据最大值得不等关系,可得a 的范围. 【详解】[3,1]x ∈--时,2[1,9]x ∈,2296x x +≥=,当且仅当23x =时等号成立, 又1x =-或3x =-时,22910x x +=,所以229610a x a a x+≤++≤+, 而()f x 的最大值为10,所以229x a x ++的最大值为10a +, 所以100610a a a +≥⎧⎨+≤+⎩,解得8a ≥-.故答案为:[8,)-+∞. 【点睛】关键点点睛:本题考查函数的最值.掌握绝对值的性质是解题关键.当0a b >≥时,a b >,当0a b 时,a b <,当0a b >>时,0a b +>,则a b >,0a b +<时,a b <.18.【分析】先令求得再令可得结合已知条件可得从而可得答案【详解】解:令则由得因为所以令则因为当时;所以所以所以所以故答案为:【点睛】关键点点睛:此题考查抽象函数求值问题解题的关键是结合已知条件正确赋值令解析:43【分析】先令1,2x y ==,求得(3)0f =,再令31,22x y ==,可得311(())()(2)222f f f f ⋅=,结合已知条件可得1()2f ,从而可得答案 【详解】解:令1,2x y ==,则由()(())()f x y f x f y f y +=⋅⋅得((2))(2)(12)f f f f ⋅=+, 因为(2)0f =,所以(3)0f =,令31,22x y ==,则311(())()(2)222f f f f ⋅=, 因为(2)0f =,当02x <<时,()0f x ≠;所以31(())0(2)22f f f ==, 所以31()222f =,所以14()23f =, 所以14(3)23f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 故答案为:43【点睛】关键点点睛:此题考查抽象函数求值问题,解题的关键是结合已知条件正确赋值,令31,22x y ==,则311(())()(2)222f f f f ⋅=,由(2)0f =,当02x <<时,()0f x ≠,可得31()222f =,从而得14()23f = 19.【分析】对称轴是因此的最大值在中取得然后分类讨论当时在中取得时在中取得求出然后作差根据不等式的性质求得的最大值【详解】设的对称轴是显然的最大值在中取得当时时此时若即时若时若时若即时时取等号若即时时取解析:32-【分析】22()2(1)1g x x x c x c =--=---,对称轴是1x =,因此()g x 的最大值在(0)g ,(1)g ,()g a 中取得.然后分类讨论,当02a <<时,在(0)g ,(1)g 中取得,2a ≥时,在(1)g ,()g a 中取得.求出b ,然后作差b a -,根据不等式的性质求得b a -的最大值. 【详解】设22()2(1)1g x x x c x c =--=---,(0)g c =-,(1)1g c =--,2()2g a a a c =--,()g x 的对称轴是1x =,显然()y g x =的最大值在(0)g ,(1)g ,()g a 中取得.当02a <<时,10c --≥,1c ≤-时,(0)b g c c ==-=-,此时b a c a -=--121>-=-,10c --<,若1c c --≤-,即112c -<≤-时,(0)b g c c ==-=-,13222b ac a -=-->-=-, 若1c c -->-,12c >-时,(1)111b g c c c ==--=+=+,1311222b ac a -=+->--=-,若2a ≥时,若212c a a c --≤--,即2212a a c --≤时,22()22b g a a a c a a c ==--=--,222221(2)3333222a a ab a a ac a a -----=--≥--=≥-,2a =时取等号,若212c a a c -->--,即2212a a c -->时,(1)11b gc c ==--=+1c =+,222141311222a a a ab ac a a ---+-=+->+-=≥-,2a =时取等号.综上所述,b a -的最小值是32-. 故答案为:32-. 【点睛】方法点睛:本题考查绝对值的最大值问题,解题关键是求出最大值b ,方法是分类讨论,由于有绝对值符号,引入二次函数2()2g x x x c =--后确定b 只能在(0)g ,(1)g ,()g a 中取得.然后分类讨论求得最大值.才可以作差b a -得其最小值.20.甲【分析】由题意求出的解析式依据两函数为同一函数的条件:定义域和对应关系相同即可得出结论【详解】解得所以故答案为:甲【点睛】本题主要考查两函数为同一函数的条件:定义域和对应关系相同;正确求出两函数的解析:甲 【分析】由题意求出()(),F x G x 的解析式,依据两函数为同一函数的条件:定义域和对应关系相同,即可得出结论. 【详解】()()11xf x x x =>-,())2g x x =≥, ()()11xf x x x ∴=>-, ())21x F x x x ∴==≥-,()()()G x g x f x =, ())21G x x x x ∴=≥-, 解得())2G x x =≥,所以()())2F x G x x ==≥.故答案为:甲 【点睛】本题主要考查两函数为同一函数的条件:定义域和对应关系相同;正确求出两函数的解析式和定义域是求解本题的关键;属于易错题;21.【分析】由函数是上的奇函数求得得到当时函数再由即可求解【详解】由题意因为函数是上的奇函数则解得即当时函数又由故答案为:【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用以及函数值的求解其中解答中熟练应用函数的 解析:3-【分析】由函数()f x 是R 上的奇函数,求得1m =-,得到当0x ≥时,函数()221x f x x =+-,再由()()11f f -=-,即可求解. 【详解】由题意,因为函数()f x 是R 上的奇函数,则()002200f m =+⨯+=,解得1m =-,即当0x ≥时,函数()221xf x x =+-,又由()()111(2211)3f f -=-=-+⨯-=-.故答案为:3-. 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用,以及函数值的求解,其中解答中熟练应用函数的奇偶性是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.22.【分析】先利用换元法求出然后再用分离变量法借助函数的单调性解决问题【详解】解:由题意可设则∵∴∴∴∴由得∴对恒成立令则由得∴在上单调递减在单调递增∴∴故答案为:【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的 解析:(],21e -∞-【分析】先利用换元法求出()f x ,然后再用分离变量法,借助函数的单调性解决问题. 【详解】解:由题意可设()xf x e x t -+=,则()xf x e x t =-+,∵()xf f x e x e ⎡⎤-+=⎣⎦,∴()ttf t e t t e e =-+==,∴1t =,∴()1xf x e x =-+,∴()1xf x e '=-,由()()f x f x ax '+≥得11x x e x e ax -++-≥,∴21x e a x≤-对()0,x ∈+∞恒成立,令()21xe g x x =-,()0,x ∈+∞,则()()221'x e x g x x-=, 由()'0g x =得1x =,∴()g x 在()0,1上单调递减,在()1,+∞单调递增, ∴()()121g x g e ≥=-, ∴21a e ≤-,故答案为:(],21e -∞-. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的最值,考查利用函数的单调性解决恒成立问题,属于中档题.23.1【分析】根据题意由函数的奇偶性分析可得进而可得即函数是周期为4的周期函数据此可得(4)(2)即可得答案【详解】根据题意函数是定义在上的偶函数对任意的都有则即函数是周期为4的周期函数故答案为:1【点解析:1 【分析】根据题意,由函数的奇偶性分析可得()(2)f x f x =--,进而可得()(2)(4)f x f x f x =--=-,即函数()f x 是周期为4的周期函数,据此可得(2020)(44504)f f f =+⨯=(4)f =-(2),即可得答案.【详解】根据题意,函数()f x 是定义在R 上的偶函数,对任意的x ∈R ,都有()(2)f x f x =--,则()(2)f x f x =--,∴()(2)(4)f x f x f x =--=-,即函数()f x 是周期为4的周期函数,(2020)(44504)(4)(2)1f f f f =+⨯==-=,故答案为:1 【点睛】本题考查抽象函数的求值,涉及函数的奇偶性、周期性的性质以及应用,注意分析函数的周期.24.8【分析】利用换元法令则所以原函数变为令则函数为奇函数且推出进而求出的值【详解】令则所以原函数变为令则函数为奇函数且所以所以因为为奇函数所以所以所以故答案为:8【点睛】此题考查函数的奇偶性的应用考查解析:8 【分析】利用换元法令1t x =-,则[]2,2t ∈-,所以原函数变为()21sin 1y t t t a =-+++,令()()21sin g t t t t =-+,[]2,2t ∈-,则函数g t 为奇函数且()1y g t a =++,推出()()max min 0g t g t +=,()()max min 2218g t g t a +=+=,进而求出a 的值【详解】令1t x =-,则[]2,2t ∈-,所以原函数变为()21sin 1y t t t a =-+++,令()()21sin g t t t t =-+,[]2,2t ∈-,则函数g t 为奇函数且()1y g t a =++,所以()()max max 1f x g t a =++,()()min min 1f x g t a =++, 所以()()()()max min max min 22f x f x g t g t a +=+++. 因为g t 为奇函数,所以()()max min 0g t g t +=,所以()()max min 2218g t g t a +=+=,所以8a =.故答案为:8 【点睛】此题考查函数的奇偶性的应用,考查换元法的应用,属于基础题25.【解析】当时由即则即当时由得解得则当时不等式的解为则由为偶函数当时不等式的解为即不等式的解为或则由或解得:或即不等式的解集为点睛:本题是一道关于分段函数的应用的题目考查了不等式的求解以及函数的图象问 解析:4712{|}3443x x x ≤≤≤≤或 【解析】当102x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,时,由()1 2f x =,即1 2cos x π= 则 3x ππ=,即1 3x =当12x >时,由()1 2f x =,得121?2x -=,解得3 4x = 则当0x ≥时,不等式()12f x ≤的解为1334x ≤≤ 则由()f x 为偶函数∴当0x <时,不等式()12f x ≤的解为3143x -≤≤-即不等式()12f x ≤的解为1334x ≤≤或3143x -≤≤- 则由13134x ≤-≤或31143x -≤-≤- 解得:4734x ≤≤或1243x ≤≤ 即不等式()112f x -≤的解集为4712{|}3443x x x ≤≤≤≤或 点睛:本题是一道关于分段函数的应用的题目,考查了不等式的求解以及函数的图象问题.先求出当0x ≥时,不等式()12f x ≤的解,然后利用函数的奇偶性求出整个定义域()12f x ≤的解,即可得到结论. 26.【分析】根据题意由奇函数的定义可得函数为奇函数由函数单调性的性质可得函数在上为减函数;据此可得解可得的取值范围即可得答案【详解】解:根据题意函数即函数为奇函数又由在上为减函数在上增函数与则函数在上为 解析:(2,3)【分析】根据题意,由奇函数的定义可得函数()f x 为奇函数,由函数单调性的性质可得函数()f x 在R 上为减函数;据此可得()()()22560(5)6f x x f f x x f -+>⇒->-22(5)(6)56f x x f x x ⇒->-⇒-<-,解可得x的取值范围,即可得答案. 【详解】解:根据题意,函数1()22x x f x =-,11()2(2)()22x xx xf x f x ---=-=--=-,即函数()f x 为奇函数, 又由12x y =在R 上为减函数,2x y =-在R 上增函数与,则函数()f x 在R 上为减函数, 则()()2560f x x f -+>()2(5)6f x x f ∴->-2(5)(6)f x x f ∴->- 256x x ∴-<-,解可得:23x <<, 即x 的取值范围为(2,3); 故答案为:(2,3) 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用,关键是得到关于x 的不等式,属于基础题.。

新人教版高中数学必修第一册第三单元《函数概念与性质》测试(答案解析)

新人教版高中数学必修第一册第三单元《函数概念与性质》测试(答案解析)

一、选择题1.已知()f x 是R 上的奇函数,()g x 是R 上的偶函数,且32()()231f x g x x x x +=+++,则(1)(2)f g +=( )A .5B .6C .8D .102.已知m R ∈,若函数()||x m f x e +=对任意x ∈R 满足()()20212120f x f x -=-,则不等式()1ln ln 2f x f e x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭的解集是( ) A .[)1,,e e⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦B .1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .[)10,,e e⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦D .[),e +∞3.定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()()f xy f x f y =+,当0x y <<时,都有()()f x f y >,且112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则不等式()()32f x f x -+-≥-的解集为( )A .[)1,0-B .[)4,0-C .(]3,4D .[)(]1,03,4-4.若奇函数()f x 在区间[]3,6上是增函数,且在区间[]3,6上的最大值为7,最小值为-1,则()()263f f -+-的值为( ) A .5 B .-5C .13D .-135.奇函数()f x 在(0)+∞,内单调递减且(2)0f =,则不等式(1)()0x f x +<的解集为( ) A .()()(),21,02,-∞--+∞ B .()()2,12,--+∞C .()(),22,-∞-+∞D .()()(),21,00,2-∞--6.已知定义在R 上的函数()f x ,满足()()()3f m n f m f n +=+-,且0x >时,()3f x <,则下列说法不正确的是( )A .()()6f x f x +-=B .()y f x =在R 上单调递减C .若()10f =,()()22190f x x f x ++--->的解集()1,0-D .若()69f =-,则123164f ⎛⎫= ⎪⎝⎭7.意大利著名天文学家伽利略曾错误地猜测链条自然下垂时的形状是抛物线.直到1690年,雅各布·伯努利正式提出该问题为“悬链线”问题并向数学界征求答案.1691年他的弟弟约翰·伯努利和菜布尼兹、惠更斯三人各自都得到了正确答案,给出悬链线的数学表达式——双曲余弦函数:()coshxf xc a c a =+=2xx aae e a -++⋅(e 为自然对数的底数).当0c ,1a =时,记(1)p f =-,12m f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,(2)n f =,则p ,m ,n 的大小关系为( ).A .p m n <<B .n m p <<C .m p n <<D .m n p <<8.若函数()f x 同时满足:①定义域内存在实数x ,使得()()0f x f x ⋅-<;②对于定义域内任意1x ,2x ,当12x x ≠时,恒有()()()12120x x f x f x -⋅->⎡⎤⎣⎦;则称函数()f x 为“DM 函数”.下列函数中是“DM 函数”的为( )A .()3f x x =B .()sin f x x =C .()1x f x e-=D .()ln f x x =9.设函数()f x 的定义域为R ,()()112f x f x +=,当(]0,1x ∈时,()()1f x x x =-.若存在[),x m ∈+∞,使得()364f x =有解,则实数m 的取值范围为( ) A .1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B .3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C .9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D .11,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦10.定义在R 上的奇函数()f x 满足当0x <时,3(4)f x x =+,则(1),(2),()f f f π的大小关系是( ) A .(1)(2)()f f f π<< B .(1)()(2)f f f π<< C .()(1)(2)f f f π<<D .()(2)(1)f f f π<<11.函数()22368f x x x x =--+-( )A .35,5⎡⎤⎣⎦B .[]1,5C .2,35⎡⎣D .35,35⎡⎣12.已知函数()22x f x =-,则函数()y f x =的图象可能是( )A .B .C .D .13.已知函数1212log ,18()2,12x x x f x x ⎧+≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩,若()()()f a f b a b =<,则b a -的取值范围为( ) A .30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B .70,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C .90,8⎛⎤ ⎥⎝⎦D .150,8⎛⎤⎥⎝⎦14.现有下列四个结论中,其中正确结论的个数是( ) ①幂函数()k yx k Q =∈的图象与函数1y x =的图象至少有两个交点;②函数()30xy k k =⋅>(k 为常数)的图象可由函数3xy =的图象经过平移得到;③函数11(0)312xy x x ⎛⎫=+≠⎪-⎝⎭是偶函数; ④函数21lg ||x y x +=无最大值,也无最小值;A .1个B .2个C .3个D .4个15.关于函数1()lg 1xf x x-=+,有下列三个命题: ①对于任意(1,1)x ∈-,都有()()f x f x -=-;②()f x 在(1,1)-上是减函数;③对于任意12,(1,1)x x ∈-,都有121212()()()1x x f x f x f x x ++=+; 其中正确命题的个数是( ) A .0B .1C .2D .3二、填空题16.设()xf x a x =+,若()36f =,则不等式()()21f x f x ->的解集为____________.17.已知函数()()23log 440f x ax x =-+>在x ∈R 上恒成立,则a 的取值范围是_________.18.对于正整数k ,设函数[][]()k f x kx k x =-,其中[]a 表示不超过a 的最大整数,设24()()()g x f x f x =+,则()g x 的值域为_________.19.已知函数()f x 为定义在R 上的奇函数,对任意x ∈R 都有(3)()f x f x +=-,当3,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,()2f x x =-,则(100)f 的值为_______. 20.设2,0()1,0x x f x x -⎧≤=⎨>⎩,则满足()()1 2f x f x +<的实数x 的取值范围是__________.21.已知函数()f x 是定义在R 上的单调函数,且对任意的实数x ,有()34xf f x ⎡⎤-=⎣⎦,则满足4()0f x x->的x 的取值范围为__________.22.研究函数())f x a b c =<<<,得到如下命题:①此函数图象关于y 轴对称;②此函数存在反函数;③此函数在()0,a 上为增函数;④此函数有最大值ab c+和最小值0; 你认为其中正确的是_______(写出所有正确的编号).23.已知()f x =2243,023,0x x x x x x ⎧-+≤⎨--+<⎩不等式()(2)f x a f a x +>-在[a ,a +1]上恒成立,则实数a 的取值范围是________.24.已知11()x x f x e e x --=-+,则不等式()(63)2f x f x +-≤的解集是________. 25.设奇函数f (x )在(0,+∞)上为增函数,且f (1)=0,则不等式()()f x f x x--<0的解集为________.26.设函数()f x 在定义域(0,+∞)上是单调函数,()()0,,xx f f x e x e ⎡⎤∀∈+∞-+=⎣⎦,若不等式()()f x f x ax '+≥对()0,x ∈+∞恒成立,则实数a 的取值范围是______.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.D 解析:D 【分析】先由()f x 是R 上的奇函数,()g x 是R 上的偶函数,且32()()231f x g x x x x +=+++,得到32()()231f x g x x x x -+-=-+-+,求出()f x 和()g x ,再求(1)(2)f g +【详解】因为32()()231f x g x x x x +=+++,所以32()()231f x g x x x x -+-=-+-+.又()f x 是奇函数,()g x 是偶函数,所以32()()231f x g x x x x -+=-+-+,则32()23,()1f x x x g x x =+=+,故(1)(2)5510f g +=+=.故选:D 【点睛】 函数奇偶性的应用:(1)一般用()()f x f x =-或()()f x f x =-;(2)有时为了计算简便,我们可以对x 取特殊值: (1)(1)f f =-或(1)(1)f f =-.2.C解析:C 【分析】先判断函数为偶函数,根据奇偶性求得0m =,将原不等式化为ln x e e ≥,等价于ln 1x ≥,进而可得答案.【详解】设2021x t -=,()()()()20212120f x f x f t f t -=-⇒=-, 所以()||x m f x e+=是偶函数,则||||x m x m e e +-+=恒成立,即()()2240x m x m x m x m mx +=-+⇔+=-+⇔=对任意x ∈R 恒成立, 所以0m =⇒()||x f x e =,因为11lnln ln x x x-==-, 所以()1ln ln 2f x f e x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭即为()()ln ln 2f x f x e +-≥,()()ln 2ln 2ln xf x e f x e ee ≥⇒≥⇒≥,因为xy e =为增函数,所以可得ln 1x ≥,则ln 1x ≥或ln 1x ≤-, 解得x e ≥或10x e <≤, 即不等式()1ln ln 2f x f e x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭的解集是[)10,,e e ⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦,故选:C. 【点睛】方法点睛:已知函数的奇偶性求参数,主要方法有两个,一是利用:(1)奇函数由()()+0f x f x -= 恒成立求解,(2)偶函数由()()0f x f x --= 恒成立求解;二是利用特殊值:奇函数一般由()00f = 求解,偶函数一般由()()110f f --=求解,用特殊法求解参数后,一定要注意验证奇偶性.3.A【分析】采用赋值法,令1x y ==求得()10f =,同理可求()21f =-,()42f =-; 化()()32f x f x -+-≥-为()()234f x x f -≥,再结合单调性解不等式得结果.【详解】令1x y ==,得()()121f f =即()10f =,令12x =,2y =则()()1122f f f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭得()21f =-,令2x y ==,()()()4222f f f =+=-,所以由()()32f x f x -+-≥-得()()234f x x f -≥;又因为函数()f x 的定义域为()0,∞+,且0x y <<时,都有()()f x f y >,所以203034x x x x ->⎧⎪->⎨⎪-≤⎩ 即0314x x x <⎧⎪<⎨⎪-≤≤⎩所以10x -≤<, 即不等式()()32f x f x -+-≥-的解集为[)1,0-. 故选:A 【点睛】思路点晴:抽象函数往往通过赋值法来解决问题.4.D解析:D 【分析】先利用条件找到()31f =-,(6)7f =,再利用()f x 是奇函数求出(3)f -,(6)f -代入即可. 【详解】由题意()f x 在区间[]3,6上是增函数, 在区间[]3,6上的最大值为7,最小值为1-, 得()31f =-,(6)7f =,()f x 是奇函数,(3)2(6)(3)2(6)12713f f f f ∴-+-=--=-⨯=-.故答案为:13-. 【点睛】本题主要考查利用函数的单调性求最值,关键点是利用函数的奇偶性先求函数值,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.5.A【分析】由已知可作出函数的大致图象,结合图象可得到答案. 【详解】因为函数()f x 在(0)+∞,上单调递减,(2)0f =, 所以当(02)x ∈,时,()0f x >,当(2)x ∈+∞,,()0f x <, 又因为()f x 是奇函数,图象关于原点对称,所以()f x 在()0-∞,上单调递减,(2)0f -=, 所以当(20)x ∈-,时,()0f x <,当2()x ∈-∞-,时,()0f x >, 大致图象如下,由(1)()0x f x +<得10()0x f x +>⎧⎨<⎩或10()0x f x +<⎧⎨>⎩,解得2x >,或10x -<<,或2x <-, 故选:A. 【点睛】本题考查了抽象函数的单调性和奇偶性,解题的关键点是由题意分析出()f x 的大致图象,考查了学生分析问题、解决问题的能力.6.D解析:D 【分析】构造函数()()3g x f x =-,验证函数()g x 的奇偶性可判断A 选项的正误;判断函数()g x 的单调性可判断B 选项的正误;利用函数()g x 的单调性解不等式()()22190f x x f x ++--->,可判断C 选项的正误;计算出()24g =-,求出116g ⎛⎫⎪⎝⎭的值,可求得116f ⎛⎫⎪⎝⎭的值,可判断D 选项的正误. 【详解】构造函数()()3g x f x =-,由()()()3f m n f m f n +=+-可得()()()g m n g m g n +=+.对于A 选项,取0m n ==,可得()()020g g =,()00∴=g ,取n m =-,则()()()00g g m g m =+-=,()()g m g m ∴-=-,则函数()g x 为奇函数,所以,()()()()60g x g x f x f x +-=+--=,可得()()6f x f x +-=,A 选项正确; 对于B 选项,由已知条件可知,当0x >时,()()30g x f x =-<.任取1x 、2x R ∈且12x x >,所以,()()()()()1212120g x x g x g x g x g x -=+-=-<,()()12g x g x ∴<,所以,函数()()3g x f x =-为R 上的减函数,所以,函数()f x 为R 上的减函数,B 选项正确; 对于C 选项,()10f =,可得()()1133g f =-=-,由()()22190f x x f x ++--->,可得()()22130g x x g x ++--->,即()()()21311g xx g g +->=-=-,211x x ∴+-<-,可得20x x +<,解得10x -<<.C 选项正确; 对于D 选项,()()()()()663124232g f g g g =-=-=+=,()24g ∴=-,()()112214324216g g g g ⎛⎫⎛⎫=====- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,111316168fg ⎛⎫⎛⎫∴-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 因此,123168f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,D 选项错误. 故选:D. 【点睛】方法点睛:利用定义证明函数单调性的方法:(1)取值:设1x 、2x 是所给区间上的任意两个值,且12x x <;(2)作差变形:即作差()()12f x f x -,并通过因式分解、配方、有理化等方法,向有利于判断符号的方向变形;(3)定号:确定差()()12f x f x -的符号; (4)下结论:判断,根据定义得出结论. 即取值→作差→变形→定号→下结论.7.C解析:C 【分析】先利用导数证明函数()f x 在区间0,上单调递增,再结合单调性比较大小即可.【详解】由题意知,()2x x e e f x -+=,21()22x x x xe e ef x e--+-'== 当0x >时,()0f x '>,即函数()f x 在区间0,上单调递增1(1)(1)2e ef f -+-==10122<<<,1(1)(2)2f f f ⎛⎫∴<< ⎪⎝⎭,即m p n << 故选:C 【点睛】关键点睛:解决本题的关键是利用导数证明函数()f x 的单调性,再结合单调性比较大小.8.A解析:A 【分析】根据题意函数定义域关于原点对称且函数值有正有负,且为定义域内的单调递增函数,通过此两点判定即可. 【详解】解:由定义域内存在实数x 有()()0f x f x ⋅-<,可得函数定义域关于原点对称且函数值有正有负,排除D 、C.由②得“DM 函数”为单调递增函数,排除B. 故选:A 【考点】确定函数单调性的四种方法: (1)定义法:利用定义判断;(2)导数法:适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数;(3)图象法:由图象确定函数的单调区间需注意两点:一是单调区间必须是函数定义域的子集;二是图象不连续的单调区间要分开写,用“和”或“,”连接,不能用“∪”连接; (4)性质法:利用函数单调性的性质,尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时,需先确定简单函数的单调性.9.D解析:D 【分析】 根据()()112f x f x +=,可知()()112f x f x =-,可得函数解析式并画出函数图象,由图象可得m 的取值范围. 【详解】 根据()()112f x f x +=,可知()()112f x f x =-,又当(]0,1x ∈时,()()110,4f x x x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦,所以(]1,2x ∈时,(]10,1x -∈,()()111(1)(1)20,228f x f x x x ⎡⎤=-=--∈⎢⎥⎣⎦, (]2,3x ∈时,(]11,2x -∈,()()111(1)(2)30,4416f x f x x x ⎡⎤=-=--∈⎢⎥⎣⎦, (]3,4x ∈时,(]12,3x -∈,()()111(1)(3)40,2832f x f x x x ⎡⎤=-=--∈⎢⎥⎣⎦,即3()64f x <恒成立, 可画出函数图象,当(]2,3x ∈时,13(2)(3)464x x --=,解得94x =或114x =, 故若存在[),x m ∈+∞,使得()364f x =有解,则实数114m ≤,故选:D.10.A解析:A 【分析】根据函数奇偶性先将0x >时的解析式求解出来,然后根据0x >时函数的单调性比较出(1),(2),()f f f π的大小关系.【详解】当0x >时,0x -<,所以()43f x x -=-+,又因为()f x 为奇函数,所以()()43f x f x x -=-=-+,所以()43f x x =-,显然0x >时,()43f x x =-是递增函数,所以()()()12f f f π<<,故选:A. 【点睛】思路点睛:已知函数奇偶性,求解函数在对称区间上的函数解析式的步骤: (1)先设出对称区间上x 的取值范围,然后分析x -的范围; (2)根据条件计算出()f x -的解析式;(3)根据函数奇偶性得到()(),f x f x -的关系,从而()f x 在对称区间上的解析式可求.11.A解析:A 【详解】由()()2223682x 31x 3f x x x x =---+-=----,知2680x x -+-≥,解得[]2,4.x ∈令()2t 231x 3x =----,则()21x 323x t --=--.,即为()2y 1x 3=--和y 23x t =--两函数图象有交点,作出函数图象,如图所示:由图可知,当直线和半圆相切时t 最小,当直线过点A(4,0)时,t 最大. 3t 114-=+,解得35t =±35t =-当直线过点A(4,0)时,2430t ⨯--=,解得t 5=.所以t 35,5⎡⎤∈⎣⎦,即() 35,5f x ⎡⎤∈⎣⎦.故选A.12.B解析:B 【分析】先将函数化成分段函数的形式,再根据函数在不同范围上的性质可得正确的选项. 【详解】()22,12222,1x xxx f x x ⎧-≥=-=⎨-<⎩易知函数()y f x =的图象的分段点是1x =,且过点()1,0,()0,1,又()0f x ≥,故选:B . 【点睛】本题考查函数图象的识别,此类问题一般根据函数的奇偶性、单调性、函数在特殊点处的函数的符号等来判别,本题属于基础题.13.B解析:B 【分析】根据分段函数的单调性以及()()()f a f b a b =<,可得11,128a b ≤<≤≤且122log 2b a +=,令122log 2b a k +==,则24k <≤,然后用k 表示,a b ,再作差,构造函数,并利用单调性可求得结果. 【详解】因为函数()f x 在1[,1)8上递减,在[1,2]上递增,又()()()f a f b a b =<, 所以11,128a b ≤<≤≤,且122log 2b a +=,令122log 2b a k +==,则24k <≤,所以212k a -⎛⎫= ⎪⎝⎭,2log b k =,所以221log 2k b a k -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,设函数221()log 2x g x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭,(2,4]x ∈,∵()g x 在(]2,4上单调递增, ∴(2)()(4)g g x g <≤,即70()4g x <≤, ∴70,4b a ⎛⎤-∈ ⎥⎝⎦,故选:B . 【点睛】关键点点睛:根据分段函数的单调性以及()()()f a f b a b =<得到11,128a b ≤<≤≤,且122log 2b a +=是解题关键.属于中档题.14.A解析:A 【分析】①举反例说明命题为假;②应该是伸缩变换,可以判断出命题为假;③由奇偶函数的定义判断处函数为偶函数,可得命题为真; ④将函数变形,由均值不等式的性质可得最小值,可得命题为假. 【详解】 解:①取幂函数2y x ,显然与1y x=仅有一个交点,所以①不正确;②函数()30xy k k =⋅>(k 为常数)的图象可由函数3xy =的图象经过伸缩得到,所以②不正确;③设()y f x =,由()()()3111,0312231xxxx f x x x +⎛⎫=+=≠ ⎪--⎝⎭,定义域关于原点对称, 则()()()()()()3131231231x x xxx x f x f x ---++-===--,()f x ∴是偶函数,故③正确;④函数215lg lg ||||||x y x x x ⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭, 而lg y u =在定义域上单调递增,所以函数21lg ||x y x +=有最小值无最大值,所以④不正确. 故选:A . 【点睛】本题考查指对幂函数的性质,属于基础题.15.D解析:D 【分析】当(1,1)x ∈-时,函数1()1xf x lgx-=+恒有意义,代入计算()()f x f x -+可判断①;利用分析法,结合反比例函数及对数函数的单调性和复合函数“同增异减”的原则,可判断②;代入分别计算12()()f x f x +和1212()1x x f x x ++,比照后可判断③. 【详解】 解:1()1xf x lgx-=+,当(1,1)x ∈-时, 1111()()()101111x x x xf x f x lglg lg lg x x x x+-+--+=+===-+-+,故()()f x f x -=-,即①正确;12()(1)11x f x lglg x x -==-++,由211y x=-+在(1,1)-上是减函数,故()f x 在(1,1)-上是减函数,即②正确; 12121212121212121211111()()()11111x x x x x x x x f x f x lglg lg lg x x x x x x x x ----+--+=+==+++++++; 12121212121212121212111()1111x x x x x x x x x x f lg lg x x x x x x x x x x +-+++--==+++++++,即③正确 故三个结论中正确的命题有3个 故选:D . 【点睛】本题以命题的真假判断为载体考查了函数求值,复合函数的单调性,对数的运算性质等知识点,属于中档题.二、填空题16.【分析】先由解出a 讨论的单调性利用函数单调性解不等式即可【详解】因为且所以解得在R 上单增可化为:解得:不等式的解集为故答案为:【点睛】利用单调性解不等式通常用于:(1)分段函数型不等式;(2)复合函 解析:()1,+∞【分析】先由()36f =,解出a ,讨论()xf x a x =+的单调性,利用函数单调性解不等式即可.【详解】因为()xf x a x =+,且()36f =,,所以33a =,解得1a =>.()(),ln 1x x f x f a x a x a =+∴=+'ln 0,ln 111,x x a a a a a >∴>∴>+,()x f x a x ∴=+在R 上单增.()()21f x f x ->可化为:21x x ->解得:1x >.不等式()()21f x f x ->的解集为()1,+∞ 故答案为:()1,+∞ 【点睛】利用单调性解不等式通常用于: (1)分段函数型不等式;(2)复合函数型不等式;(3)抽象函数型不等式;(4)解析式较复杂的不等式;17.【分析】由题意把函数在上恒成立转化为对上恒成立列不等式解得a 的范围【详解】恒成立即恒成立所以时显然不成立当时得所以故答案为:【点睛】(1)求参数的范围是常见题型之一处理的方法有两种:①不分离参数直接解析:4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】由题意,把函数()()23log 440f x ax x =-+>在x ∈R 上恒成立转化为2430ax x -+>对x ∈R 上恒成立,列不等式解得a 的范围. 【详解】()()23log 440f x x x α=-+>恒成立,即()2233log 44log 1430ax x ax x -+>⇔-+>恒成立,所以0a =时显然不成立.当0a ≠时()0Δ16120a a >⎧⎨=-<⎩得43a <,所以4,3a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭.故答案为:4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【点睛】(1)求参数的范围是常见题型之一,处理的方法有两种:①不分离参数,直接求最大值或最小值,解不等式;②分离参数法.(2)解指、对数型的不等式,通常化为同底的结构,利用函数的单调性解不等式.18.【分析】先由题中条件得到讨论四种情况再判断的周期性即可得出结果【详解】由题意当时此时;当时此时;当时此时;当时此时;又所以是以为周期的函数因此的值域为故答案为:【点睛】关键点点睛:求解本题的关键在于 解析:{}0,1,3,4【分析】先由题中条件,得到[][][]()246g x x x x =+-,讨论10,4x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭,11,42x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭,13,24x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭,3,14x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭四种情况,再判断()g x 的周期性,即可得出结果. 【详解】由题意,[][][][][][][]()2244246g x x x x x x x x =-+-=+-, 当10,4x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时,120,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭,[)40,1x ∈,此时()0000g x =+-=; 当11,42x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时,12,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭,[)41,2x ∈,此时()0101g x =+-=; 当13,24x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时,321,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭,[)42,3x ∈,此时()1203g x =+-=;当3,14x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时,32,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭,[)43,4x ∈,此时()1304g x =+-=; 又[][][][][][](1)224461224466g x x x x x x x +=+++-+=+++--[][][]246()x x x g x =+-=,所以()g x 是以1为周期的函数,因此()g x 的值域为{}0,1,3,4. 故答案为:{}0,1,3,4 【点睛】 关键点点睛:求解本题的关键在于根据一个单位区间内,x 的不同取值,确定[]x ,[]2x ,[]4x 的不同取值情况,结合函数的周期性,即可求解.19.【分析】本题首先可根据得出函数是周期为的周期函数则然后根据函数是奇函数得出最后根据当时求出的值即可得出结果【详解】因为所以即函数是周期为的周期函数则因为函数为定义在上的奇函数所以因为当时所以故答案为 解析:2【分析】本题首先可根据(3)()f x f x +=-得出函数()f x 是周期为6的周期函数,则(100)(4)(1)f f f ==-,然后根据函数()f x 是奇函数得出(1)(1)f f -=-,最后根据当3,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时()2f x x =-求出(1)f -的值,即可得出结果. 【详解】因为(3)()f x f x +=-,所以(6)(3)f x f x +=-+, 即(6)()f x f x +=,函数()f x 是周期为6的周期函数, 则(100)(6164)(4)f f f =⨯+=,(4)(1)f f =-,因为函数()f x 为定义在R 上的奇函数,所以(1)(1)f f -=-, 因为当3,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时()2f x x =-,所以(1)2(1)2f -=-⨯-=, 故答案为:2. 【点睛】关键点点睛:本题考查函数周期性的判断与应用,考查函数奇偶性的应用,若函数()f x 满足()()f x f x k =+,则函数()f x 是周期为k 的周期函数,奇函数满足()()f x f x -=-,考查化归与转化思想,是中档题.20.【分析】画出图像结合图像判断题出函数的单调性即可求解【详解】作出函数的图像如图满足解得故答案为:【点睛】方法点睛:该不等式的求解利用的是函数的单调性用数形结合法解决更为直观 解析:(),0-∞【分析】画出2,0()1,0x x f x x -⎧≤=⎨>⎩图像,结合图像判断题出函数的单调性,即可求解(1)(2)f x f x +<.【详解】作出函数2,0()1,0x x f x x -⎧≤=⎨>⎩的图像如图,满足(1)(2)f x f x +<2021x x x <⎧∴⎨<+⎩,解得0x <. 故答案为:(),0-∞. 【点睛】方法点睛:该不等式的求解利用的是函数的单调性,用数形结合法解决更为直观.21.【分析】根据题意可得为定值设为c 根据题意可求得c 的值即可得的解析式根据的单调性及即可求得答案【详解】因为是定义在R 上的单调函数且所以对于任意x 为定值设为c 即所以又所以c=1即设因为与都为单调递增函数 解析:(1,)+∞【分析】根据题意可得()3xf x -为定值,设为c ,根据题意,可求得c 的值,即可得()f x 的解析式,根据()g x 的单调性及(1)0g =,即可求得答案. 【详解】因为()f x 是定义在R 上的单调函数,且()34x f f x ⎡⎤-=⎣⎦,所以对于任意x ,()3xf x -为定值,设为c ,即()3xf x c -=,所以()3()4x f f x f c ⎡⎤-==⎣⎦,又()34cf c c =+=, 所以c=1,即()31xf x =+,设44()1()3x g x f x x x +=-=-, 因为3xy =与4y x=-都为单调递增函数, 所以()g x 为单调递增函数,且(1)3140g =+-=, 所以4()301xg x x+=->的取值范围为(1,)+∞, 故答案为:(1,)+∞ 【点睛】解题的关键是根据单调性,得到()3xf x -为定值,求得()f x 的解析式,再解不等式,考查分析理解,计算求值的能力,属中档题.22.①④【分析】直接利用函数的定义域和函数的奇偶性判断①②进一步利用函数的单调性和函数的对称轴的应用求出函数的最值和单调区间从而判定③④【详解】解:函数由于整理得则:由于函数为偶函数函数的图象关于y 轴对解析:①④ 【分析】直接利用函数的定义域和函数的奇偶性判断①②,进一步利用函数的单调性和函数的对称轴的应用求出函数的最值和单调区间从而判定③④. 【详解】解:函数()(0)||||f x a b c x b x c =<<<++-,由于220a x -≥,整理得a x a -≤≤.则:()||||f x x b x c b c==++-+. 由于函数为偶函数,函数的图象关于y 轴对称,所以函数不存在反函数,存在反函数的函数的前提该函数具有单调性.故①正确②错误.因为22y a x =-在()0,a 上为减函数,所以()f x 在()0,a 上为减函数,故故③错误;可知()f x 在[],0a -单调递增,()0,a 单调递减,且为偶函数,则()f x 在0x =出取得最大值ab c+,在x a =±处取得最小值0,故④正确. 故答案为:①④. 【点睛】本题考查函数性质的应用,属于基础题.23.(-∞-2)【分析】讨论分段函数各区间上单调递减且在处连续可知在R 上单调递减结合在aa +1上恒成立根据单调性列不等式求参数范围即可【详解】二次函数的对称轴是x =2∴该函数在(-∞0上单调递减即在(-解析:(-∞,-2) 【分析】讨论分段函数()f x 各区间上单调递减,且在3x =处连续可知()f x 在R 上单调递减,结合()(2)f x a f a x +>-在[a ,a +1]上恒成立,根据单调性列不等式求参数范围即可【详解】二次函数2143y x x =-+的对称轴是x =2∴该函数在(-∞,0]上单调递减,即在(-∞,0]上13y ≥同理,函数2223y x x =--+在(0,+∞)上单调递减,即在(0,+∞)上23y <∴分段函数()f x 在3x =处连续,()f x 在R 上单调递减由()(2)f x a f a x +>-有2x a a x +<-,即2x < a 在[a ,a +1]上恒成立 ∴2(a +1) < a ,解得a <-2 ∴实数a 的取值范围是(-∞,-2) 故答案为:(-∞,-2) 【点睛】本题考查了函数的单调性,确定分段函数在整个定义域内的单调性,再利用单调性和不等式恒成立的条件求参数范围24.【分析】先构造函数得到关于对称且单调递增再结合对称性与单调性将不等式转化为即可求解【详解】构造函数那么是单调递增函数且向左移动一个单位得到的定义域为且所以为奇函数图象关于原点对称所以图象关于对称不等 解析:[2,)+∞【分析】先构造函数111()()1(1)x x g x f x e x e--=-=-+-,得到()g x 关于(1,0)对称,且单调递增,再结合对称性与单调性将不等式()(63)2f x f x +- 转化为34x x -即可求解. 【详解】构造函数111()()1(1)x x g x f x e x e --=-=-+-,那么()g x 是单调递增函数,且向左移动一个单位得到1()(1)xxh x g x e x e =+=-+, ()h x 的定义域为R ,且1()()x x h x e x h x e-=--=-, 所以()h x 为奇函数,图象关于原点对称,所以()g x 图象关于(1,0)对称. 不等式()(63)2f x f x +- 等价于()1(63)10f x f x -+--, 等价于()(63)0()[2(63)](34)g x g x g x g x g x +-∴--=-,结合()g x 单调递增可知342x x x -∴, 所以不等式()(63)2f x f x +- 的解集是[2,)+∞.故答案为:[2,)+∞. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用,考查函数的对称性的应用,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.25.(-10)∪(01)【分析】首先根据奇函数f(x)在(0+∞)上为增函数且f(1)=0得到f(-1)=0且在(-∞0)上也是增函数从而将不等式转化为或进而求得结果【详解】因为f(x)为奇函数且在(0解析:(-1,0)∪(0,1) 【分析】首先根据奇函数f (x )在(0,+∞)上为增函数,且f (1)=0,得到f (-1)=0,且在(-∞,0)上也是增函数,从而将不等式转化为0()0x f x >⎧⎨<⎩或0()0x f x <⎧⎨>⎩,进而求得结果.【详解】因为f (x )为奇函数,且在(0,+∞)上是增函数,f (1)=0, 所以f (-1)=-f (1)=0,且在(-∞,0)上也是增函数. 因为()()f x f x x --=2·()f x x<0, 即0()0x f x >⎧⎨<⎩或0()0x f x <⎧⎨>⎩解得x ∈(-1,0)∪(0,1).故答案为:(-1,0)∪(0,1). 【点睛】该题考查的是有关函数的问题,涉及到的知识点有函数奇偶性与单调性的应用,属于简单题目.26.【分析】先利用换元法求出然后再用分离变量法借助函数的单调性解决问题【详解】解:由题意可设则∵∴∴∴∴由得∴对恒成立令则由得∴在上单调递减在单调递增∴∴故答案为:【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的 解析:(],21e -∞-【分析】先利用换元法求出()f x ,然后再用分离变量法,借助函数的单调性解决问题. 【详解】解:由题意可设()xf x e x t -+=,则()xf x e x t =-+,∵()xf f x e x e ⎡⎤-+=⎣⎦,∴()ttf t e t t e e =-+==,∴1t =,∴()1xf x e x =-+, ∴()1xf x e '=-, 由()()f x f x ax '+≥得11x x e x e ax -++-≥, ∴21x e a x≤-对()0,x ∈+∞恒成立, 令()21xe g x x =-,()0,x ∈+∞,则()()221'x e x g x x-=, 由()'0g x =得1x =,∴()g x 在()0,1上单调递减,在()1,+∞单调递增,∴()()121g x g e ≥=-,∴21a e ≤-,故答案为:(],21e -∞-.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的最值,考查利用函数的单调性解决恒成立问题,属于中档题.。

最新人教版高中数学必修第一册第三单元《函数概念与性质》测试(含答案解析)

最新人教版高中数学必修第一册第三单元《函数概念与性质》测试(含答案解析)

一、选择题1.已知函数()y f x =的部分图象如图所示,则函数()y f x =的解析式可能为( )A .()()()sin 222x xf x x -=⋅+ B .()()()sin 222x xf x x -=⋅- C .()()()cos 222xxf x x -=⋅+ D .()()()cos 222xxf x x -=⋅-2.已知定义域为R 的函数()f x 在[)2,+∞单调递减,且(4)()0f x f x -+=,则使得不等式()2(1)0f x x f x +++<成立的实数x 的取值范围是( ) A .31x -<<B .1x <-或3x >C .3x <-或1x >D .1x ≠-3.已知m R ∈,若函数()||x m f x e +=对任意x ∈R 满足()()20212120f x f x -=-,则不等式()1ln ln2f x f e x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭的解集是( ) A .[)1,,e e ⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦ B .1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .[)10,,e e⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦D .[),e +∞4.已知函数()()2265m m m f x x-=--是幂函数,对任意1x ,()20,x ∈+∞,且12x x ≠,满足()()12120f x f x x x ->-,若a ,b R ∈,且0a b +>,则()()f a f b +的值( )A .恒大于0B .恒小于0C .等于0D .无法判断5.对于实数a 和b ,定义运算“*”:,,,.b a b a b a a b ≤⎧*=⎨>⎩设()f x x =,()224g x x x =--+,则()()()M x f x g x =*的最小值为( )A .0B .1C .2D .36.函数()f x 对于任意x ∈R ,恒有()12f x f x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭,那么( ) A .可能不存在单调区间 B .()f x 是R 上的增函数 C .不可能有单调区间D .一定有单调区间7.定义在R 上的奇函数()f x 满足()20210f =且对任意的正数a ,b (ab ),有()()0f a f b a b -<-,则不等式()0f x x<的解集是( )A .()()2021,02021,-+∞B .()()2021,00,2021-C .()(),20212021,-∞-+∞ D .()(),20210,2021-∞-8.已知函数()f x 是定义在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上的单调函数,且11()()2f x f f x x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦,则(1)f 的值为( ) A .1B .2C .3D .49.已知()f x 是定义在R 上的奇函数,若12,x x R ∀∈,且12x x ≠,都有()()()()12120x x f x f x -->成立,则不等式()()2120x f x x -->的解集是( )A .()(),11,2-∞B .()()0,11,+∞C .()(),01,2-∞D .()()0,12,⋃+∞10.给出定义:若1122m x m -<≤+(其中m 为整数),则m 叫做离实数x 最近的整数,记作{}{},x x m =即.在此基础上给出下列关于函数的四个命题:①11()22f -=;②(3.4)0.4f =-;③11()()44f f -<;④()y f x =的定义域是R ,值域是11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦;则其中真命题的序号是 ( ) A .①②B .①③C .②④D .③④第II 卷(非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明参考答案11.定义在[]1,1-的函数()f x 满足下列两个条件:①任意的[1,1]x ∈-都有()()f x f x -=-;②任意的,[0,1]m n ∈,当m n ≠,都有()()0f m f n m n-<-,则不等式(12)(1)0f x f x -+-<的解集是( )A .10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B .12,23⎛⎤⎥⎝⎦C .11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D .20,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭12.已知函数()()2lg 1f x x x =-+,若函数()f x 在开区间()(),1t t t +∈R 上恒有最小值,则实数t 的取值范围为( ). A .3111,,2222⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B .1113,,2222⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C .11,22⎛⎫-⎪⎝⎭ D .13,22⎛⎫⎪⎝⎭13.已知定义在R 上的函数()f x 满足()(2)f x f x =-,()()0f x f x +-=,且在[0,1]上有1()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则(2020.5)f =( )A .116-B .116C .14D .1214.已知函数1212log ,18()2,12x x x f x x ⎧+≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩,若()()()f a f b a b =<,则b a -的取值范围为( ) A .30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B .70,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C .90,8⎛⎤ ⎥⎝⎦D .150,8⎛⎤⎥⎝⎦15.现有下列四个结论中,其中正确结论的个数是( ) ①幂函数()k yx k Q =∈的图象与函数1y x =的图象至少有两个交点;②函数()30xy k k =⋅>(k 为常数)的图象可由函数3xy =的图象经过平移得到;③函数11(0)312xy x x ⎛⎫=+≠⎪-⎝⎭是偶函数; ④函数21lg ||x y x +=无最大值,也无最小值;A .1个B .2个C .3个D .4个二、填空题16.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,()()1f x x x =+.则函数的解析式为__________17.已知定义在R 上的偶函数()f x 满足:()()4f x f x +=-,对1x ∀,2[0,2]x ∈,当12x x ≠时,()()12120f x f x x x -<-,且()10f =,则不等式()0f x >在[2019,2023]上的解集为______.18.已知函数()f x 为定义在R 上的奇函数,对任意x ∈R 都有(3)()f x f x +=-,当3,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,()2f x x =-,则(100)f 的值为_______. 19.函数22y x x c =--在[]0,a 上的最大值为b ,则b a -最小值为__________.20.已知函数2()2f x x x =-,()2(0)g x ax a =+>,若对任意1[1,2]x ∈-,总存在2[1,2]x ∈-,使得()()12f x g x =,则实数a 的取值范围是_____.21.幂函数()223mm f x x --=在0,上单调递减且为偶函数,则整数m 的值是______.22.定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)()f x f x +=-,且当[1,0)x ∈-时1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭则()2log 8f =_________.23.已知函数()f x =ln 2x x +,则()232f x -<的解集为_____.24.已知2()y f x x =+是奇函数,且f (1)1=,若()()2g x f x =+,则(1)g -=___. 25.已知甲、乙两地相距150 km ,某人开汽车以60 km/h 的速度从甲地到达乙地,在乙地停留一小时后再以50 km/h 的速度返回甲地,把汽车距甲地的距离s 表示为时间t 的函数,则此函数的表达式为__________.26.定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=-,且在[]2,0-上是减函数,下面是关于()f x 的判断:①()f x 是以2为周期的函数;②()0f 是函数的最大值;③()f x 在[]2,3上是减函数;④()f x 的图像关于直线2x =对称.其中正确的命题的序号是____________(注:把你认为正确的命题的序号都填上)【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.B 解析:B 【分析】根据奇偶性排除AD ,根据图象过原点排除C ,从而可得答案. 【详解】由图可知函数图象关于y 轴对称,且图象过原点, 对于A , ()()()()()()sin 222sin 222xx x x f x x x f x ---=-⋅+=-⋅+=-,()y f x =是奇函数,图象关于原点对称,不合题意,排除A ;对于C ,()()000cos02220f =⋅+=≠,不合题意,排除C ;对于D ,()()()()()()cos 222cos 222xxxxf x x x f x ---=-⋅-=-⋅-=-,()y f x =是奇函数,图象关于原点对称,不合题意,排除D ; 故选:B. 【点睛】方法点睛:函数图象的辨识可从以下方面入手:(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置. (2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势; (3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性; (4)从函数的特征点,排除不合要求的图象.2.C解析:C 【分析】由(4)()0f x f x -+=得到()f x 关于(2,0)对称,再由()f x 在[)2,+∞单调递减得到()f x 在R 上单调递减,利用单调性可得答案. 【详解】(4)()0f x f x -+=,则()f x 关于(2,0)对称,因为()f x 在[)2,+∞单调递减,所以()f x 在R 上单调递减, 所以(1)(3)f x f x +=--,由()2(1)0f x x f x +++<得()2(3)0f x x f x +--<, 所以()2(3)f x x f x +<-,所以23x x x +>-,解得1x >或3x <-. 故选:C . 【点睛】思路点睛:利用函数的单调性和奇偶性比较函数值大小的思路: (1)先根据奇偶性将自变量转变至同一单调区间; (2)根据单调性比较同一单调区间内的函数值的大小关系;(3)再结合奇偶性即可判断非同一单调区间的函数值大小,由此得到结果.3.C解析:C 【分析】先判断函数为偶函数,根据奇偶性求得0m =,将原不等式化为ln x e e ≥,等价于ln 1x ≥,进而可得答案.【详解】设2021x t -=,()()()()20212120f x f x f t f t -=-⇒=-,所以()||x m f x e+=是偶函数,则||||x m x m e e +-+=恒成立,即()()2240x m x m x m x m mx +=-+⇔+=-+⇔=对任意x ∈R 恒成立, 所以0m =⇒()||x f x e =,因为11lnln ln x x x-==-, 所以()1ln ln2f x f e x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭即为()()ln ln 2f x f x e +-≥, ()()ln 2ln 2ln xf x e f x e ee ≥⇒≥⇒≥,因为xy e =为增函数,所以可得ln 1x ≥,则ln 1x ≥或ln 1x ≤-, 解得x e ≥或10x e<≤, 即不等式()1ln ln 2f x f e x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭的解集是[)10,,e e ⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦,故选:C. 【点睛】方法点睛:已知函数的奇偶性求参数,主要方法有两个,一是利用:(1)奇函数由()()+0f x f x -= 恒成立求解,(2)偶函数由()()0f x f x --= 恒成立求解;二是利用特殊值:奇函数一般由()00f = 求解,偶函数一般由()()110f f --=求解,用特殊法求解参数后,一定要注意验证奇偶性.4.A解析:A 【分析】利用幂函数的定义求出m ,利用函数的单调性和奇偶性即可求解. 【详解】∵函数()()2265m m m f x x-=--是幂函数,∴25=1m m --,解得:m = -2或m =3. ∵对任意1x ,()20,x ∈+∞,且12x x ≠,满足()()12120f x f x x x ->-,∴函数()f x 为增函数, ∴260m ->, ∴m =3(m = -2舍去) ∴()3=f x x 为增函数.对任意a ,b R ∈,且0a b +>,则- a b >,∴()()()f a f b f b >-=- ∴()()0f a f b +>. 故选:A 【点睛】(1)由幂函数的定义求参数的值要严格按照解析式,x 前的系数为1; (2)函数的单调性和奇偶性是函数常用性质,通常一起应用.5.B解析:B 【分析】由题意可得()()()()()()()()()g x f x g x M x f x g x f x f x g x ⎧≤⎪=*=⎨>⎪⎩,通过解不等式得出()()2241,x x x M x x x ⎧⎤--+∈⎪⎥⎪⎣⎦=⎨⎛⎪∈-∞⋃+∞ ⎪ ⎝⎭⎩,作出函数()M x 的图象,根据函数图象可得答案. 【详解】由条件有()()()()()()()()()g x f x g x M x f x g x f x f x g x ⎧≤⎪=*=⎨>⎪⎩当0x ≥时,()224g x x x x =--+≥,得到01x ≤≤, 即01x ≤<时,()()f x g x <,当1x >时,()()f x g x > 当0x <时,()224g x x x x =--+≤-,得x ≤即当12x -≤时,()()f x g x >,当102x -<<时,()()f x g x <所以()()2241,1,2x x x M x x x ⎧⎤--+∈⎪⎥⎪⎣⎦=⎨⎛⎫-⎪∈-∞⋃+∞ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩作出函数()M x 的图象,如图所示,由图可得,当1x =时,()M x 有最小值1 故选:B6.A解析:A 【分析】根据题意,举出两个满足()12f x f x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭的例子,据此分析选项可得答案. 【详解】根据题意,函数()f x 对于任意x ∈R ,恒有()12f x f x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭, 则()f x 的解析式可以为:()2,1 1.51,0.510,00.5x f x x x ⎧⎪<≤⎪⎪=<≤⎨⎪<≤⎪⎪⎩,满足()12f x f x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭,不是增函数,没有单调区间,也可以为()f x x =,满足()12f x f x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭, 是增函数,其递增区间为R ,则()f x 可能存在单调区间,也可能不存在单调区间, 则A 正确;BCD 错误; 故选:A. 【点睛】关键点睛:本题考查函数单调性的定义,构造反例是解决本题的关键.7.C解析:C 【分析】首先判断函数在()0,∞+的单调性,然后根据函数是奇函数,可知函数在(),0-∞的单调性和零点,最后结合函数的零点和单调性,求解不等式. 【详解】对任意的正数a ,b (ab ),有()()0f a f b a b-<-,()f x ∴在()0,∞+上单调递减,定义在R 上的奇函数()f x 满足()20210f =,()f x ∴在(),0-∞单调递减,且()()202120210f f -=-=, ()0f x x <等价于()00x f x >⎧⎨<⎩ 或()00x f x <⎧⎨>⎩, 解得:2021x >或2021x <-, 所以不等式解集是()(),20212021,-∞-+∞.故选:C 【点睛】方法点睛:一般利用函数奇偶性和单调性,解抽象不等式包含以下几点: 若函数是奇函数,首先确定函数在给定区间的单调性,然后将不等式转化为()()12f x f x <的形式,最后运用函数的单调性去掉“f ”,转化为一般不等式求解;若函数是偶函数,利用偶函数的性质()()()f x f x f x -==,将不等式()()12f x f x <转化为()()12f x f x <,再利用函数在[)0,+∞的单调性,去掉“f ”,转化为一般不等式求解.8.A解析:A 【分析】采用赋值法,在11()()2f x f f x x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦中,分别令1x =和1x a =+,联立两个式子,根据函数的单调性可解. 【详解】解:根据题意知,设(1)0f a =≠, 令1x =,则[]1(1)(1)12f f f +=,则()112af a +=,()112f a a+=, 令1x a =+,则11(1))21(1f a f f a a ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦+, 所以()11121f a f a a ⎛⎫+== ⎪+⎝⎭, 又因为函数()f x 是定义在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上的单调函数,所以11121a a +=+,2210a a --=,所以1a =或12a =-(舍去),()11f =.故选:A. 【点睛】思路点睛:抽象函数求函数值问题一般是换元法或者赋值法,再结合函数的性质解方程即可.9.C解析:C 【分析】根据条件先判断出()f x 的单调性,根据单调性得到()f x 取值的特点,根据1x -与0的关系,采用分类讨论的方法解不等式,从而求解出解集. 【详解】因为12,x x R ∀∈,且12x x ≠,都有()()()()12120x x f x f x -->成立,所以()f x 为R 上增函数,又因为()f x 为R 上奇函数,所以0x <时,()0f x <;0x >时,()0f x >;0x =时,()0f x =;当10x -=时,1x =,此时()()2012x f x x --=,不符合条件;当10x ->时,因为()()2120x f x x -->,所以22010x x x ⎧->⎨->⎩,解得0x <;当10x -<时,因为()()2120x f x x -->,所以22010x x x ⎧-<⎨-<⎩,解得12x <<;所以()()2120x f x x -->的解集为()(),01,2-∞,故选:C. 【点睛】结论点睛:可直接判断函数单调性的几种变形形式: (1)已知12,x x D ∀∈(D 为函数定义域),且12x x ≠,都有()()()()12120x x f x f x -->或()()12120f x f x x x ->- 成立,则()f x 为单调递增函数;(2)已知12,x x D ∀∈(D 为函数定义域),且12x x ≠,都有()()()()12120x x f x f x --<或()()12120f x f x x x -<- 成立,则()f x 为单调递增函数.10.B解析:B 【解析】111()(1)222f -=---= ;111()(0)444f -=--=-,111()(0)444f =-=,所以11()()44f f -<; (3.4) 3.430.4f =-=;()y f x = 的定义域是R ,值域是11(,]22- ,所以选B.点睛:解决新定义问题,关键是明确定义含义,正确运用定义进行运算.对于抽象的概念,可先列举一些具体的数值进行理解与归纳.本题易错点在区间端点是否可取上,难点在于整数的确定.11.D解析:D 【分析】根据题意先判断函数()f x 的奇偶性与单调性,然后将不等式变形得(12)(1)f x f x -<-,再利用单调性和定义域列出关于x 的不等式求解. 【详解】根据题意,由①知函数()f x 为奇函数,由②知函数()f x 在[0,1]上为减函数,所以可得函数()f x 在[]1,1-是奇函数也是减函数,所以不等式(12)(1)0f x f x -+-<,移项得(12)(1)f x f x -<--,变形(12)(1)f x f x -<-,所以11121x x -≤-<-≤,得203x ≤<. 故选:D. 【点睛】本题考查的是函数单调性与奇偶性的综合问题,需要注意:(1)判断奇偶性:奇函数满足()()f x f x -=-;偶函数满足()()f x f x -=;(2)判断单调性:增函数()[]1212()()0x x f x f x -->;1212()()0f x f x x x ->-; 减函数:()[]1212()()0x x f x f x --<;1212()()0f x f x x x -<-;(3)列不等式求解时需要注意定义域的问题.12.A解析:A 【分析】根据函数的奇偶性和单调性,求出最小值取得的条件,结合开区间位置求解参数的取值范围. 【详解】由题210x x -+>恒成立,所以()()2lg 1f x x x =-+定义域为R ,()()()()2lg 1f x x x f x -=---+=,所以()()2lg 1f x xx =-+为定义在R 上的偶函数,当220,11x y x x x x ≥=-+=-+在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减,在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭单调递增,所以()()2lg 1f x x x =-+在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减,在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭单调递增, 在1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦单调递减,在1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增,1122f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以函数()()2lg 1f x x x =-+在12x =和12x =-处均取得最小值,若函数()f x 在开区间()(),1t t t +∈R 上恒有最小值, 则112t t <-<+或112t t <<+, 解得:3111,,2222t ⎛⎫⎛⎫∈--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选:A13.D解析:D 【分析】由已知条件可知()f x 为奇函数且周期为4,利用函数的周期,结合其区间解析式即可求(2020.5)f 的值.【详解】由()()0f x f x +-=知:()()f x f x -=-,即()f x 为奇函数, ∵()(2)f x f x =-,有(2)()()f x f x f x +=-=-, ∴(4)(2)()f x f x f x +=-+=,故()f x 为周期为4的函数,在[0,1]上有1()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以121111(2020.5)(4505)()()2242f f f =⨯+===, 故选:D 【点睛】本题考查了函数的性质,根据函数的奇偶性、周期性以及区间解析式求函数值,属于基础题.14.B解析:B 【分析】根据分段函数的单调性以及()()()f a f b a b =<,可得11,128a b ≤<≤≤且122log 2b a +=,令122log 2b a k +==,则24k <≤,然后用k 表示,a b ,再作差,构造函数,并利用单调性可求得结果.【详解】因为函数()f x 在1[,1)8上递减,在[1,2]上递增,又()()()f a f b a b =<,所以11,128a b ≤<≤≤,且122log 2b a +=,令122log 2b a k +==,则24k <≤, 所以212k a -⎛⎫= ⎪⎝⎭,2log b k =,所以221log 2k b a k -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,设函数221()log 2x g x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭,(2,4]x ∈,∵()g x 在(]2,4上单调递增, ∴(2)()(4)g g x g <≤,即70()4g x <≤, ∴70,4b a ⎛⎤-∈ ⎥⎝⎦,故选:B . 【点睛】关键点点睛:根据分段函数的单调性以及()()()f a f b a b =<得到11,128a b ≤<≤≤,且122log 2b a +=是解题关键.属于中档题.15.A解析:A 【分析】①举反例说明命题为假;②应该是伸缩变换,可以判断出命题为假;③由奇偶函数的定义判断处函数为偶函数,可得命题为真; ④将函数变形,由均值不等式的性质可得最小值,可得命题为假. 【详解】 解:①取幂函数2y x ,显然与1y x=仅有一个交点,所以①不正确;②函数()30xy k k =⋅>(k 为常数)的图象可由函数3xy =的图象经过伸缩得到,所以②不正确;③设()y f x =,由()()()3111,0312231xxxx f x x x +⎛⎫=+=≠ ⎪--⎝⎭,定义域关于原点对称,则()()()()()()3131231231x x xxx x f x f x ---++-===--,()f x ∴是偶函数,故③正确;④函数215lg lg ||||||x y x x x ⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭, 而lg y u =在定义域上单调递增,所以函数21lg ||x y x +=有最小值无最大值,所以④不正确. 故选:A . 【点睛】本题考查指对幂函数的性质,属于基础题.二、填空题16.【分析】设得到化简即得解【详解】设所以因为函数是定义在R 上的奇函数所以所以所以函数的解析式为故答案为:【点睛】方法点睛:求奇偶函数在对称区间的解析式一般利用代入法求解析式解析:(1)0()=(1)0x x x f x x x x +≥⎧⎨-<⎩【分析】设0,x <得到()2f x x x -=-+,化简即得解.【详解】设0,0x x <∴->,所以()()21f x x x x x -=--=-+,因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数, 所以()2f x x x -=-+,所以()2(1)f x x x x x =-+=-.所以函数的解析式为(1)0()=(1)0x x x f x x x x +≥⎧⎨-<⎩.故答案为:(1)0()=(1)0x x x f x x x x +≥⎧⎨-<⎩【点睛】方法点睛:求奇偶函数在对称区间的解析式,一般利用代入法求解析式.17.【分析】先分析得到函数在上单调递减周期再得到当时即得解【详解】因为对当时所以在上单调递减而由偶函数得当时;又可得周期因为所以当时;于是的解集为故答案为:【点睛】方法点睛:对于函数的问题的研究一般从函解析:(2019,2021)【分析】先分析得到函数()f x 在[0,2]上单调递减,周期4T=,再得到当(1,1)x ∈-时,()0f x >,即得解.【详解】因为对1x ∀,2[0,2]x ∈,当12x x ≠时,()()12120f x f x x x -<-,所以()f x 在[0,2]上单调递减,而()10f =, 由偶函数得当(1,1)x ∈-时,()0f x >; 又()()()4f x f x f x +=-=可得周期4T =,因为[2019,2023]x ∈,所以当(2019,2021)x ∈时,()0f x >; 于是()0f x >的解集为(2019,2021). 故答案为:(2019,2021) 【点睛】方法点睛:对于函数的问题的研究,一般从函数的单调性、奇偶性和周期性入手,再研究求解.18.【分析】本题首先可根据得出函数是周期为的周期函数则然后根据函数是奇函数得出最后根据当时求出的值即可得出结果【详解】因为所以即函数是周期为的周期函数则因为函数为定义在上的奇函数所以因为当时所以故答案为 解析:2【分析】本题首先可根据(3)()f x f x +=-得出函数()f x 是周期为6的周期函数,则(100)(4)(1)f f f ==-,然后根据函数()f x 是奇函数得出(1)(1)f f -=-,最后根据当3,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时()2f x x =-求出(1)f -的值,即可得出结果. 【详解】因为(3)()f x f x +=-,所以(6)(3)f x f x +=-+, 即(6)()f x f x +=,函数()f x 是周期为6的周期函数, 则(100)(6164)(4)f f f =⨯+=,(4)(1)f f =-,因为函数()f x 为定义在R 上的奇函数,所以(1)(1)f f -=-, 因为当3,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时()2f x x =-,所以(1)2(1)2f -=-⨯-=,故答案为:2. 【点睛】关键点点睛:本题考查函数周期性的判断与应用,考查函数奇偶性的应用,若函数()f x 满足()()f x f x k =+,则函数()f x 是周期为k 的周期函数,奇函数满足()()f x f x -=-,考查化归与转化思想,是中档题.19.【分析】对称轴是因此的最大值在中取得然后分类讨论当时在中取得时在中取得求出然后作差根据不等式的性质求得的最大值【详解】设的对称轴是显然的最大值在中取得当时时此时若即时若时若时若即时时取等号若即时时取解析:32-【分析】22()2(1)1g x x x c x c =--=---,对称轴是1x =,因此()g x 的最大值在(0)g ,(1)g ,()g a 中取得.然后分类讨论,当02a <<时,在(0)g ,(1)g 中取得,2a ≥时,在(1)g ,()g a 中取得.求出b ,然后作差b a -,根据不等式的性质求得b a -的最大值. 【详解】设22()2(1)1g x x x c x c =--=---,(0)g c =-,(1)1g c =--,2()2g a a a c =--,()g x 的对称轴是1x =,显然()y g x =的最大值在(0)g ,(1)g ,()g a 中取得.当02a <<时,10c --≥,1c ≤-时,(0)b g c c ==-=-,此时b a c a -=--121>-=-,10c --<,若1c c --≤-,即112c -<≤-时,(0)b g c c ==-=-,13222b ac a -=-->-=-, 若1c c -->-,12c >-时,(1)111b g c c c ==--=+=+,1311222b ac a -=+->--=-,若2a ≥时,若212c a a c --≤--,即2212a a c --≤时,22()22b g a a a c a a c ==--=--,222221(2)3333222a a ab a a ac a a -----=--≥--=≥-,2a =时取等号,若212c a a c -->--,即2212a a c -->时,(1)11b gc c ==--=+1c =+,222141311222a a a ab ac a a ---+-=+->+-=≥-,2a =时取等号.综上所述,b a -的最小值是32-. 故答案为:32-. 【点睛】方法点睛:本题考查绝对值的最大值问题,解题关键是求出最大值b ,方法是分类讨论,由于有绝对值符号,引入二次函数2()2g x x x c =--后确定b 只能在(0)g ,(1)g ,()g a 中取得.然后分类讨论求得最大值.才可以作差b a -得其最小值.20.【分析】由题可知在区间上函数的值域为值域的子集从而求出实数的取值范围【详解】函数的图象开口向上对称轴为时的最小值为最大值为的值域为为一次项系数为正的一次函数在上单调递增时的最小值为最大值为的值域为对 解析:[3,)+∞【分析】由题可知,在区间[]1,2-上函数1()f x 的值域为2()g x 值域的子集,从而求出实数a 的取值范围. 【详解】函数()22f x x x =-的图象开口向上,对称轴为1x =,∴[]11,2x ∈-时,()f x 的最小值为(1)1f =-,最大值为(1)3f -=,1()f x 的值域为[1,3]-.()2(0)g x ax a =+>为一次项系数为正的一次函数,在[]1,2-上单调递增,∴[]11,2x ∈-时,()g x 的最小值为(1)2g a -=-+,最大值为(2)22g a =+,2()g x 的值域为[2,22]a a -++.对任意1[1,2]x ∈-,总存在2[1,2]x ∈-,使得()()12f x g x =,∴在区间[]1,2-上,函数1()f x 的值域为2()g x 值域的子集,∴212230a a a -+≤-⎧⎪+≥⎨⎪>⎩解得3a ≥ 故答案为:[3,)+∞. 【点睛】本题考查函数的值域,考查分析解决问题的能力,解题的关键是对“任意”、“存在”的正确理解,确定两个函数值域之间的关系.21.1【分析】根据幂函数的定义与性质列不等式求出的取值范围再验证是否满足条件即可【详解】幂函数在上单调递减所以的整数值为0或12;当时不是偶函数;当时是偶函数;当时不是偶函数;所以整数的值是1故答案为:解析:1 【分析】根据幂函数的定义与性质,列不等式求出m 的取值范围,再验证是否满足条件即可. 【详解】 幂函数223()mm f x x --=在(0,)+∞上单调递减,所以2230m m --<,13m -<<,m 的整数值为0或1,2;当0m =时,3()-=f x x 不是偶函数; 当1m =时,4()f x x -=是偶函数; 当2m =时,3()-=f x x 不是偶函数; 所以整数m 的值是1. 故答案为:1. 【点睛】本题主要考查了幂函数的定义与性质的应用问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.22.2【分析】利用确定函数的周期再结合偶函数性质求值【详解】用x+1代换x 得即f(x+2)=f(x)f(x)为周期函数T=2又是偶函数所以故答案为:2【点睛】本题考查由函数的周期性和奇偶性求函数值属于中解析:2 【分析】 利用()()1f x f x +=-确定函数的周期,再结合偶函数性质求值.【详解】用x +1代换x ,得[]()()(1)+1(+1)f x f x f x f x +=-=--=⎡⎤⎣⎦,即f (x +2)=f (x ),f (x )为周期函数,T =2,又 2log 83=, ()f x 是偶函数,所以()()()()121log 831122f f f f -⎛⎫===-== ⎪⎝⎭,故答案为:2. 【点睛】本题考查由函数的周期性和奇偶性求函数值,属于中档题.函数()f x 若满足()()f x a f x +=-,1()()f x a f x +=等时,则此函数为周期函数,且2a 是它的一个周期.23.【分析】可判断出函数在上单调递增将不等式化为可得出解出即可【详解】因为单增单增所以函数在区间上单增而==等价于所以即解得或即的解集为故答案为:【点睛】解函数不等式:首先根据函数的性质把不等式转化为的 解析:()()2,33,2--【分析】可判断出函数()f x 在()0,∞+上单调递增, 将不等式化为()()231f x f -<,可得出2031x <-<,解出即可.【详解】因为ln y x =单增,2x y =单增,所以函数()f x 在区间()0,∞+上单增. 而()1f =1ln12+=()22,32f x -<等价于()()231f x f -<,所以2031x <-<,即234x <<,解得23x -<<-或32x <<. 即()232f x -<的解集为()()2,33,2--.故答案为:()()2,33,2--.【点睛】解函数不等式:首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式,然后根据函数的单调性去掉“f ”,转化为具体的不等式(组),此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内24.-1【解析】试题解析:-1 【解析】 试题因为2()y f x x =+是奇函数且(1)1f =,所以,则,所以.考点:函数的奇偶性.25.【分析】算出该人从甲地到乙地所用时间和从乙地返回到甲地所用时间即可得到本题函数的定义域将其分为三段再结合各个时间段上该人的运动状态可得汽车离甲地的距离距离(千米)与时间(小时)的函数表达式【详解】根解析:60,0 2.5,150,2.5 3.5,32550,3.5 6.5t t s t t t ≤≤⎧⎪=<<⎨⎪-≤≤⎩【分析】算出该人从甲地到乙地所用时间和从乙地返回到甲地所用时间,即可得到本题函数的定义域,将其分为三段,再结合各个时间段上该人的运动状态,可得汽车离甲地的距离距离s (千米)与时间t (小时)的函数表达式.【详解】根据题意此人运动的过程分为三个时段, 当0 2.5t ≤≤时,60s t =; 当2.5 3.5t <<时,150s =;当3.5 6.5t ≤≤时,()15050 3.532550t t t =--=-.综上所述,60,0 2.5,150,2.5 3.5,32550,3.5 6.5.t t s t t t ≤≤⎧⎪=<<⎨⎪-≤≤⎩故答案为60,0 2.5,150,2.5 3.5,32550,3.5 6.5.t t s t t t ≤≤⎧⎪=<<⎨⎪-≤≤⎩【点睛】本题考查分段函数应用题,求函数表达式,着重考查基本初等函数的应用和分段函数的理解等知识,属于基础题.26.③④【分析】根据函数的周期性及对称性判断各个选项即可得解;【详解】解:所以函数是以4为周期的函数故①错误;偶函数在上是减函数在上是增函数在上最小值为是以4为周期的函数是函数的最小值故②错误;在上是减解析:③④ 【分析】根据函数的周期性及对称性判断各个选项即可得解; 【详解】 解:(2)()f x f x +=-,(4)(2)()f x f x f x ∴+=-+=,所以函数()f x 是以4为周期的函数,故①错误;偶函数()f x 在[2-,0]上是减函数,()f x ∴在[0,2]上是增函数,∴在[2-,2]上,最小值为(0)f ,()f x 是以4为周期的函数,(0)f ∴是函数的最小值,故②错误;()f x 在[2-,0]上是减函数,()f x ∴在[2,4]上是减函数,故③正确; (2)()(2)f x f x f x -+=--=+,()f x ∴的图象关于直线2x =对称,即④正确.故答案为:③④. 【点睛】本题考查函数的周期性,偶函数在对称区间上单调性相反这一结论,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.。

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2018-2019学年必修一第三章训练卷
函数的应用(二)
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.函数9
lg y x x
=-的零点所在的区间大致是( ) A .()8,9
B .()9,10
C .()12,13
D .()14,15
2.若函数f (x )在[a ,b ]上连续,且同时满足f (a )·f (b )<0,()02a b f a f +⎛⎫
⋅> ⎪⎝⎭.
则( ) A .f (x )在,2a b a +⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上有零点 B .f (x )在,2a b b +⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上有零点
C .f (x )在,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣
⎦上无零点 D .f (x )在,2a b b +⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上无零点
3.三个变量y 1,y 2,y 3随着变量x 的变化情况如下表:
x 1 3 5 7 9 11 y 1 5 135 625 1715 3645 6655 y 2 5 29
245
2189
19685 177149 y 3
5
6.10 6.61 6.985
7.2
7.4
则关于x A .y 1,y 2,y 3
B .y 2,y 1,y 3
C .y 3,y 2,y 1
D .y 1,y 3,y 2
4.下列图象所表示的函数中,能用二分法求零点的是( )




订不密封
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
5.对于函数f (x )在定义域内用二分法的求解过程如下:f (2014)<0,f (2015)<0,
f (2016)>0,则下列叙述正确的是( ) A .函数f (x )在(2014,2015)内不存在零点 B .函数f (x )在(2015,2016)内不存在零点
C .函数f (x )在(2015,2016)内存在零点,并且仅有一个
D .函数f (x )在(2014,2015)内可能存在零点 6.已知x 0是函数()1
21x f x x
=+-的一个零点.若()101,x x ∈,()20,x x ∈+∞, 则( )
A .f (x 1)<0,f (x 2)<0
B .f (x 1)<0,f (x 2)>0
C .f (x 1)>0,f (x 2)<0
D .f (x 1)>0,f (x 2)>0
7.二次函数f (x )=ax 2+bx +c (x ∈R)的部分对应值如下表:
A .(-3,-1)和(2,4)
B .(-3,-1)和(-1,1)
C .(-1,1)和(1,2)
D .(-∞,-3)和(4,+∞)
8.某研究小组在一项实验中获得一组关系y 、t 之间的数据,将其整理得到如图所示的散点图,下列函数中,最能近似刻画y 与t 之间关系( )
A .y =2t
B .y =2t 2
C .y =t 3
D .y =log 2t
9.某厂原来月产量为a ,一月份增产10%,二月份比一月份减产10%,设二月份产量为b ,则( ) A .a >b
B .a <b
C .a =b
D .无法判断
10.设a ,b ,k 是实数,二次函数f (x )=x 2+ax +b 满足:f (k -1)与f (k )异号,()1f k +与f (k )异号.在以下关于f (x )的零点的说法中,正确的是( ) A .该二次函数的零点都小于k B .该二次函数的零点都大于k
C .该二次函数的两个零点之间差一定大于2
D .该二次函数的零点均在区间(k -1,k +1)内。

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