加减消元法 解二元一次方程组
加减消元法解二元一次方程组教学设计
重点：会用加减法解二元一次方程组。
难点：灵活运用加减消元法的技巧，把“二元”转化为“一元”。
七、教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课温故而知新1、解二元一次方程组的基本思想是什么？2、代入消元法解方程组的一般步骤：个别提问复习旧知，引入新课。
讲授新课第一站——发现之旅认真观察此方程组中未知数y的系数有什么特点，还有没有其它的解法,并尝试一下能否求出它的解。
第二站——探究之旅分析：观察方程组中的两个方程，未知数x的系数相等，都是2。
把两个方程两边分别相减，就可以消去未知数x，同样得到一个一元一次方程。
解:由①-②得:-8y=8 解得 y=-1把y＝-1代入①，得：x=1所以原方程组的解是分析：根据y的系数特点，让学生分组探索出两方程相减能否达到消元的目的，若不能，要怎样做，从而引出加法消元法。
解:由①+②得:5x=10 x=2把x＝2代入①，得： y=3让学生在练习本写出解题过程（比比看，谁写的又对又快）。
引导学生观察相同未知数的系数特点。
培养学生从观察和思考问题的能力。
通过知识框架的构建，对方程组的解有一个新的认识，让学生学会学习知识的新方法，培养学生概括知识的能力。
⎩⎨⎧=+=+40222yxyx257,23 1.x yx y-=⎧⎨+=-⎩3521,2511.x yx y+=⎧⎨-=-⎩类比应用、闯关练习3x+2y＝8 2m－3n＝54x+3y＝－4 4m+3n＝75x－3y＝4x+6y＝3课知识小结加减消元法解方程组的基本思想是什么？前提条件是什么？基本思想:加减消元二元----- 一元前提条件：同一未知数的系数互为相反数或相等系数相反--------相加系数相等---------相减加减消元法解方程组的一般步骤：变形——加减(消元)——求解——写解（提醒）方程组变形的依据：等式的基本性质。
总结归纳学以致用作业1、必做题： P98习题8.2第3题及配套练习。
2、选做题： P98习题8.2第5题。
5.2-加减消元法解二元一次方程组
6 7y 9 7y 96 7y 3 3 y 7
联系上面的解法，想一想怎样解方程组
3x 5 y 21 2 x 5 y 11
① + ②
① ②
异加
4x 5 y 3 2 x 5 y 1
① － ②
①
② 同减
3x 5 y 21 2 x 5 y -11
6x-5y=17②
1. 用加减法解方程组
应用（B ）
A.①-②消去y B.①-②消去x C. ②- ①消去常数项 D. 以上都不对
3x+2y=13
2.方程组
3x-2y=5
消去y后所得的方程是（B ）
A.6x=8 B.6x=18 C.6x=5 D.x=18
三、指出下列方程组求解过程中有错误步骤， 并给予订正： 7x－4y＝4 ①
加减法
(4)
9x-5y=1 6x-7y=2
加减法
⑴ 如果方程组的两个方程中某一未知数的系数相等或者 互为相反数时，把两个方程的两边分别 相减或相加 ， 消去一个未知数，得到一元一次方程，解这个方程得一 个未知数的值。将求得的未知数代入其中一个方程得另 一个未知数的值，从而解得方程组的解。同减异加 ⑵如果方程组中某一未知数系数绝对值均不相等时，把 一个或两个方程两边 乘以一个适当的数 ， 使两个方程 中某一未知数的系数绝对值相等，从而化为上述类型方 程组求解。 特别的，当一个方程中某未知数的系数是另一个方程同 一未知数的系数 的倍数时 ，加减消元法比较合适。
(口算或在草稿纸上进行笔算),即把求得的解代入 每一个方程看是否成立.
1、根据等式性质填空: <1>若a=b,那么a±c= b±c ( .等式性质1) 思考:若a=b,c=d,那么a+c=b+d吗? <2>若a=b,那么ac= bc . (等式性质2)
加减消元法解二元一次方程组课件
变方程组中方程的形 式，即得到与原方程 组同解的且某未知数 系数的绝对值相等的 新的方程组，从而为
把y ＝2代入①，
解得: x＝3
x 1
所以原方程组的解是
y
1
加减消元法解方程组 创造条件．
补充练习： 用加减消元法解方程组：
x
x 2
1 y 1 32 1 y2
4
① ②
解：由①×6，得
2x+3y=4 ③
特点: 同一个未知数的系数相同或互为相反数
基本思路: 加减消元: 二元
一元
主要步骤： 加减
消去一个元
求解
分别求出两个未知数的值
写解
写出原方程组的解
例4. 用加减法解方程组:
2x 3y 12 ① 3x 4 y 17 ②
分析：
对于当方程组中两方 程不具备上述特点时， 必须用等式性质来改
解：①×3得6x+9y=36 ③ ②×2得 6x+8y=34 ④ ③-④得: y=2
6x-5y=17②
A.①-②消去y B.①-②消去x
B. ②- ①消去常数项 D. 以上都不对
3x+2y=13
2.方程组
消去y后所得的方程是（B）
3x-2y=5
A.6x=8 B.6x=18 C.6x=5 D.x=18
三、指出下列方程组求解过程 中有错误步骤，并给予订正：
7x－4y＝4 ①
5x－4y＝－4 ② 解:①－②，得
3x 5y 21 ① 小丽 2x 5y -11 ②
分析（：3x ＋ 5y）+（2x － 5y）＝21
+ (－11)
①左边 + ② 左边 = ① 右边 +
加减消元法解二元一次方程组的步骤
加减消元法解二元一次方程组的步骤解二元一次方程组听上去可能有点吓人，但实际上，只要掌握了加减消元法，问题就迎刃而解了。
这里我来带大家一步步深入了解这个方法，别担心，过程并不会让你感到枯燥或难以接受，相反，绝对能让你觉得简单又有趣。
1. 了解方程组1.1 什么是二元一次方程组？二元一次方程组就是包含两个变量（通常是 (x) 和 (y)）的方程组。
比如，[。
begin{cases}2x + 3y = 74x y = 1end{cases}]这里，你可以看到，两个方程都是一次的，说明最高的幂次是1。
1.2 加减消元法的目标是什么？加减消元法的终极目标就是通过加法或减法，把一个方程中的某个变量消掉，从而只剩下一个变量，这样就能轻松解出这个变量的值了。
2. 加减消元法步骤2.1 选择合适的方程并准备消元选择两个方程中的任何一个，重点是选择要消除哪个变量。
假设我们要消除 (y)，首先需要使两个方程中 (y) 的系数相同。
举个例子，如果我们选择上面给出的方程组，要消去 (y)，我们可以将第一个方程乘以1，第二个方程乘以3，使得 (y) 的系数相同（3 和 3），然后就可以通过加减来消去 (y)。
2.2 进行加减消元按照步骤进行加减消元，将第一个方程与第二个方程相加或相减。
例如，乘以3后，方程组变成：[begin{cases}2x + 3y = 712x 3y = 3end{cases}]将两个方程相加，得到：[(2x + 3y) + (12x 3y) = 7 + 3。
]这就化简为：[14x = 10]从中可以得出 (x = frac{10}{14} = frac{5}{7})。
2.3 求解另一个变量得到 (x) 的值后，我们将这个值代回任意一个原始方程，解出 (y)。
例如，将 (x = frac{5}{7}) 代入第一个方程：[2 left(frac{5}{7}right) + 3y = 7。
]解这个方程，得到 (y) 的值为 (frac{34}{7})。
用加减消元法解二元一次方程组
用加减消元法解二元一次方程组
加减消元法是一种同时解决多个方程的技术，是乘法消元法的一种，通过加减来解决方程的系数使之变为0，是解决线性方程组的一种简单有效的方法。
一、定义：
加减消元法是指用一组线性方程组，利用加减法，将系数相同的项加减消去，形成新的方程，以求出未知数的值。
二、步骤：
（1）首先把给定的二元一次方程组先写出来，格式要明确；
（2）把所有未知数自然地从小到大排列，写成一个矩阵形式；
（3）开始消元，从矩阵左下角（也可以从右上角）开始，将每行的首项的系数都变为1，同时将原有的等式的右边也作适当的系数改变；
（4）之后将相同系数的相邻项进行加减，消去其中一项；
（5）一直重复上述步骤，最终形成有关未知数的线性矩阵形式，然后
就可以求出未知数的值。
三、原理：
加减消元法的原理可以表述为：使用加减操作、乘除操作，将所有未知数归约至一行，从而解得一组方程组的解。
也就是将，原矩阵中，有关某个未知数的项的系数变为0，从而消除掉它，最终形成只有最后一个未知数的矩阵，再将这个未知数带入原等式中即可求得最后的未知数的值。
四、简单例题：
求解下列方程组：
3x+2y=7
x-y=1
解：
设方程组的右边如下：
（7）（1）
将左边也写出来：
（3 2）（1 -1）
将未知数y的系数项由+2变为-2，即多一步变换3x-2y=7，右边为：（7）（-1）
由此将右边的-1和1相加消去，即得到：
d）（7）
（3 0）
联立上下两个方程可解出：x=2, y=1
从而得 2x+2y=7 的解为：x=2, y=1。
3.3.4 二元一次方程组的解法——加减消元法
知2－讲
化简，得x＋y＝3 ③，①－②，
得－x＋y＝－1④，联立③和④，得 x+y 3,
③＋④，得2y＝2，解得y＝1. ③－④，得2x＝4，解得x＝2.
x+y 1,
所以原方程组的解是
x 2,
y
1.
(来自《点拨》)
总结
知2－讲
解轮换对称方程组的步骤： ①两式相加； ②两式相减； ③把新得的两个方程联立，解这个方程组．
知2－讲
x 6,
y
6.
（来自《点拨》）
例4
解方程组
x
2
y
x
3
y
6,
知2－讲
导引：先将方程组2化 x简 y， 再3x用加3 y减 2法4.解方程组．
解：将原方程组化简，得 5x+y 36,①
①×5，得25x＋5y＝180x.③ 5,
解法一:（消去x) 将①×2,得8x+2y=28.③ ②-③，得y= 2. 把y =2代入①，得4x + 2 = 14. x = 3.
知1－讲
所以
解法二: （消去y)x请 同3, 学们自己完成.
y
2.
（来自教材）
例3
解方程组：4x+2y 5, ① 5x 3y 9. ②
y
24.②
③－②，得26x＝156，解得x＝6.
把x＝6代入①，得y＝6.
所以原方程组的解是知2－讲源自x 6, y
6.
(来自《点拨》)
总结
知2－讲
每个二元一次方程组均可采用代入法或加减法求解，但是 在解题中我们应根据方程组的特点灵活选用最恰当的方法， 使计算过程简单，一般地，当化简后的方程组存在一个方 程的某个未知数的绝对值是1或有一个方程的常数项是0时， 用代入法；当两个方程中的某一个未知数系数的绝对值相 等或成倍数关系时，用加减法．
二元一次方程组的解法之加减消元法
3x 45 8
解得 y 3 写解 解得 x 4
x 1
因此原方程组的解是
y
3
x 4
因此原方程组的解是
y
5樂见
牛刀小试
解下列方程组：
3x 2 y 8 ① （1）6x 5y 47 ②
2x 3y 12 ① （2） 3x 4 y 1Βιβλιοθήκη ②樂 见巩固练习
用加减法解下列方程时，你认为先消哪个未知数 比较简单，填写消元的过程.
2m 3n 1 ① 选择消 n
（1） 5m 3n 4 ② 将方程 ②－① 进行消元
5m 3n 2 ① 选择消 m
（2） 5m 3n 4 ② 将方程 ①+② 进行消元
樂 见
5x 4 y 23 ① 选择消 y
（3） 3x 2 y 15 ② 将方程②×2－① 进行消元
7m 3n 1 ① 选择消 n
（1）6x 5y 9
②
3x 4y 8 ① （2）4x 3y 1 ②
方程①×4 方程②×3
归纳
6x 9y 33 ③
6x 5y 9
②
12x 16y 32 ③ 12x 9y 3 ④
当程的方的方程两程组边的的都系两乘数（能x（个以相或不方一 同或互能程个或y为）使不适互相的两能当为反直的相系个接数反数数方用（数）相程加不，呢等中减为那？消零么元）就时， 可，使以可变用将形加方后减
七年级下册
二元一次方程组的解 法
——加减消元法
樂 见
回顾思考
代入法解二元一次方程组一般步骤：
<1>变 ——用含有一个未知数的代数式表示另 一个未知数,写成y=ax+b或x=ay+b；
<2>代——把变形后的方程代入到另一个方程
8.2.3二元一次方程组解法——加减消元法
元一次方程。
归纳
两个二元一次方程中同一未知数的系 数相反或相等时，把这两个方程的两边分 别相加或相减，就能消去这个未知数， 得到一个一元一次方程。这种方法叫做
加减消元法，简称加减法。
练习：解方程组:
3x 5 y 5 3x 4 y 23
3x 7 y 9 4 x 7 y 5
例2：
2 x 4 y 3 4x 3 y 1
1 x 2 y 1
例1 解方程组：
3x 4 y 16 5x 6 y 33
① ②
做 一 做
x 2 y 9 1. 3 x 2 y -1 5 x 2 y 25 2. 3 x 4 y 15 2 x 5 y 3. 3 x 2 y 2 x 3 y 4. 3 x 2 y 8 5 6 -2
归纳1
两个二元一次方程中同一未知数的 系数相等时，把这两个方程的两边分别 相减，就能消去这个未知数，得到一个 一元一次方程。
问题2 解方程组：
3x 7 y 9 4 x 7 y 5
① ②
归纳2
两个二元一次方程中同一未知数的系
数相反时，把这两个方程的两边分别相
加，就能消去这个未知数，得到一个一
8.2 二元一次方程组 的解法
请用代入法解二元一次方程组：
x y 22 2 x + y 40
① ②
x y 22 ① 2 x + y 40 ② y ② ①可消去未知数 ，得 解：
x 18
把 x 18 代入 ① ，得
y4
① - ② 可以吗？
归纳
用加减法解二元一次方程组 的条件是某个未知数的系数 绝对 2）用加减法的基本步骤是什么？
7.2.2 加减消元法解二元一次方程组
所以m＝13， 所以x＋y＝13， 解得x＝－13，
n＝－1，
x－y＝－1， y＝23.即 Nhomakorabea方程组的解为
x＝－13，
y＝23.
14 已知实数 m，n 满足 m＋n＝5，且98mm＋＋89nn＝＝2120k，－13， 求 k 的值. 三名同学分别提出了以下三种不同的解题思路： 甲同学：先解关于 m，n 的方程组 98mm＋＋89nn＝＝2120k，－13，再求 k 的值.
【答案】 D
10 若3xm＋2n y8与－2x2y 3m＋4n是同类项，则m－n的值为 ___5___.
【点拨】 由题意得m3m＋＋2n4n＝＝2，8，解得mn＝＝－4，1， 则 m－n＝4－(－1)＝5.
11 已知方程组23xx＋ －125y＋y－203＝ ＝00，的解也是关于 x，y 的方 程 ax＋y＝4 的一个解，求 a 的值. 解：解方程组23xx＋－125y＋y－230＝＝00，，得xy＝＝1－，6，
将xy＝＝1－6，代入 ax＋y＝4，
得－6a＋1＝4，解得 a＝－12.
12 已知关于 x，y 的二元一次方程组xx＋－yy＝＝35m－＋m3. ， (1)若 x，y 互为相反数，求 m 的值；
解：若x，y互为相反数，则x＋y＝0， 所以3m＋3＝0，解得m＝－1.
(2)若x是y的2倍，求原方程组的解.
将 x＝5 代入①，得 10－3y＝－2，解得 y＝4.
所以方程组的解为xy＝＝45.，
3x－2y＝5， (2)y＋3x＝11.
解：3y＋x－3x2＝y＝115.，②①②－①，得 3y＝6，解得 y＝2. 将 y＝2 代入①，得 3x－2×2＝5，解得 x＝3. 所以原方程组的解是xy＝＝23.，
消元——解二元一次方程组--加减消元法
8.2(2)消元——解二元一次方程组--加减消元法一．【知识要点】1.解二元一次方程组的基本思想：消元2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法.加减消元法.整体构造法3.基本步骤：（1）“造同”（即将某一个未知数的系数通过“同乘”的方式构成“绝对值相同型”）；（2）加减消元求解；（3）结论二．【经典例题】1.用加减消元法解方程组()5361322x y x y -=⎧⎨-=-⎩①② （2）1340.30.4 1.6x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩ （3）4(x y 1)3(1y)2223x y --=--⎧⎪⎨+=⎪⎩三．【题库】【A 】1.若7172x y a b -与22313x y a b +-是同类项，则x=______,y=________ 2．已知方程组5,1mx n my n +=⎧⎨-=⎩的解是1,1.x y =⎧⎨=⎩，则m ，n 的值是（ ） （A ）1,2.m n =⎧⎨=⎩ （B ）1,2.m n =-⎧⎨=-⎩ （C ）2,3.m n =⎧⎨=⎩ （D ）3,2.m n =⎧⎨=⎩【B 】1.加减消元法解下列二元一次方程组。
（1）⎩⎨⎧-=-=+12392y x y x （2）⎩⎨⎧=+=+15432525y x y x()3533123x y x y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩ （4)⎩⎨⎧=--=-01383272n m n m()341655633x y x y +=⎧⎨-=⎩ ()23563212x y x y -=-⎧⎨+=⎩()8+973717374x y x y =⎧⎨-=⎩①②()23183424()3(2)17x y x y x y ⎧-=⎪⎨⎪--+=⎩()3259429m n m n -=⎧⎨+=⎩()35710425x y x y -=⎧⎨+=⎩()651111447x y x y -=⎧⎨--=⎩【C 】1.加减消元法解下列二元一次方程组。
()()()413121223x y yxy--=--⎧⎪⎨+=⎪⎩（2）()()⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+6322432y x y x y x y x2.解方程组231367x y x y +=⎧⎨-=⎩①②，用加减消元法消去y ，变形正确的是（ ）A.⨯①2-②B.3⨯⨯①-②2C.+⨯①2②D.3+⨯⨯①②23.用加减法解方程组()()⎪⎩⎪⎨⎧=+=+2431322b a b a ，最简单的方法是（ ）。
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8.2 消元——用加减法解二元一次方程组
教学设计
教材分析
学生是在学过代入消元法解二元一次方程组基础上学习本节内容，初步知道“消元”解决二元一次方程组是核心，其中蕴含着“转化”思想，而本节课学习加减消元法深化对“消元’理解，拓展对二元一次方程的解法。
教学目标：
（1）知识与技能：会用加减消元法求未知数系数相等或相反数的二元一次方程组的解。
（2）过程与方法：通过探究二元一次方程组的解法，经历用加减法把“二元”转化为“一元”的过程，体会消元的思想。
（3）情感态度与价值观：让学生在探究中感受数学知识的实际用价值，养成良好的学习习惯。
教学重难点
重点：用加减法解二元一次方程组
难点：两个方程相减消元时，对被减得方程各项符号要做变号处理。
教学方法：本节课采用“小组合作探究”的教学法。
学情分析
我所任教的班级学生基础一般，本节课主要围绕重点，打好基础。
结合学校采取的小组合作学习，他们已经具备了一定的合作探索能力和交流思维能力。
大多数学生性格比较活泼,他们希望自己的能力得
到周围人的肯定，但是对于七年级的学生来说，他们独立分析问题的能力和灵活应用的能力还有待提高，很多时候还需要教师的点拨、引导和归纳。
因此，我遵循学生的认识规律，由浅入深，适时引导，调动学生的积极性，并适当地给予表扬和鼓励，借此增强他们的自信心。
教学过程
一、知识回顾
1、温故而知新：复习等式的性质
2、解二元一次方程组的基本思想：要把二元一次方程组转化一元一次方程.
3、用代入法解方程的步骤
4、用代入法解方程 认真观察此方程组中y 的系数有什么特点，并根据特点你想到什么解题方法？课上探究：能否有其他方法解答。
（设计目的;这部分是学生在课前已经完成，这样可以巩固上节课的内容，同时能为本节课学习做一个铺垫）
二、探究新知
例1： 认真观察此方程组中y 的系数有什么特点，并根据特点你想到什么解题方法？
例2： 认真观察此方程组中x 的系数有什么特点，并根据特点你想到什么解题方法？
⎩⎨⎧=-=+99
123345567
123321y x y x ⎩⎨⎧=-=+2343553y x y x ⎩⎨⎧=-=+99
123345567
123321y x y x ⎩⎨⎧=-=+99123345567123321y x y x
设计目的：利用引导性的问题，可引发学生对问题的思考，促使学生明确讨论目标，并促进学生运用已有的知识去发现和获取新的知识。
增强他们对学习的自信心。
小结：
1.当某一个未知数的系数相同时，则选择用相减消去这个未知数。
2.当某一个未知数的系数互为相反数时，则选择用相加消去这个未知数。
（设计目的：通过总结，让学生了解利用加减消元法解二元一次方程组的基本思路。
为下面解决复杂的二元一次方程组提供策略。
） 让学生自己讨论如何解决，再师生共同解决，规范解题的格式。
（设计目的：组织学生观察、思考、探究、小组合作交流，展示等方式培养了学生综合能力，活跃了课堂气氛。
巡视帮助学生释疑解难，让学生受到重视。
同时也培养了学生的合作精神和激发了学习热情）
练习1:用加减法解下列方程组：
（设计目的：通过练习巩固某一个未知数系数相同或相反时解决问题的步骤，增加学生的积极性，给学生提供展现自我才华的机会。
巩固所学知识，为下面探讨较为复杂的二元一次方程组做铺垫。
）
例3：
⎩⎨⎧=+=+3
42134y x y x
例4： 小结：用加减法解同一个未知数的系数不相等，也不互为相反数，且不成整数倍的二元一次方程组时，把一个（或两个）方程的两边乘以适当的数，使两个方程中某一未知数的系数相等或互为相反数从而化为例题1、例题2方程组求解．
（设计目的：让学生通过合作交流，讨论得出解较为复杂的二元一次方程组的加减消元法的思路，从而他们加深对转化的数学思想的理解，同时也培养了学生分析问题和解决问题的能力。
在整个探讨的过程中也增强了学生的信心，学生有了发现的乐趣和成功的喜悦，增强自信心。
）
小结：
(1)加减消元法解二元一次方程组的基本思想是什么?
(2)用加减消元法解二元一次方程组的主要步骤有哪些?
找出-------同一个未知数的系数相同或互为相反数
加减-------消去一个元
求解-------分别求出两个未知数的值
写解-------写出方程组的解
三、巩固练习
⎩⎨⎧=-=+33
6516
43y x y x
设计目的：梳理本节课的主要内容，巩固所学的知识。
作业： 必做作业：用加减消元法解二元一次方程组
掌握要求更高一层，为学有余力的同学提供进一步思考的平台． 教学反思：
本节课的主要目的是：让学生进一步经历“消元”的过程， 体会到“消元思想”的实质是“化未知为已知”——把未知的、复杂的问题转化为已知的、简单的问题逐一解决，从而找到解决问题的办法。
从而知道解决二元一次方程的主要方法是消元：加减法消元和代入法消元。
本节课我采用的方法是先让学生自己观察，再小组合作交流出解决问题的方法，老师只是引导、点拨。
本节课开始从一个典型的、特殊的方程组入手先用代入消元解决，引入新课，由方程组的未知数系数“相等”或“相反”到 “再到一般的所有方程组，层层递进，逐一解决，经历了由特殊到一般的思维过程，提高了”加减法“消元思想的认识，知道了用加减法解二元一次方程组的条件和步骤。
在讲课过程中，大部分学生能积极思考并理解，尽管我有意识的放慢了讲课节奏，但还是有少数学生跟不上，尤其是在 “系数的最小公倍数”问题上，还有几个学生不知道最小公倍数是什么意思，阻碍他们对本节课的学习，这需要在课下业余时间给予辅导。
整节课的各个环节安排还是很紧凑的，学生的积极性、参与性还是比较高的。
⎩⎨⎧-=+=-156356y x y x。