射频与微波基础知识

γ =
(R +
jωL )(G + jωC ) = α + jβ
称为传输常数(propagation constant)
β即为相位常数;α称为衰减常数，表示传输线的衰减特性，单位为(Np/m)，
Np与dB的关系为1dB=8.686Np
ΓL = V0− V0+
第二章
表示传输线在负载端（x=0）的反射系数
[ [
]
]
[
]
8
第二章
Z. Q. LI
传输线(Transmission Lines)
¾ 相速和特征阻抗
─ 相速：定义为行波上某一相位点的传播速度(Phase velocity)，对于一个正 弦波 cos(ωt-βx)，一定相位可表示为ωt-βx=constant，于是相位速度
vp =
ω dx ω = = = dt β ω LC
第二章
Z. Q. LI
4
传输线(Transmission Lines)
¾传输线电路模型：L、C、R、G分布系统
x
x + Δx
R——两根导线每单位长度具有的电阻， 其单位为Ω/m。 L——两根导线每单位长度具有的电感， 其单位为H/m。 G——每单位长度导线之间具有的电导， 其单位为S/m。 C——每单位长度导线之间具有的电容， 其单位为F/m。
¾ 一个熟悉的例子
RS=50Ω 5V
5.0 2.5 5.0 2.5 50 I(mA) vp z=l
第二章
Z0=50Ω l
Open
V vp z V vp z
Output V 5.0 2.5 t 5.0 2.5 Input V
z
Z. Q. LI
T=l/vp
2T
t
13
传输线(Transmission Lines)
第二章 射频与微波基础知识
¾ 传输线 ¾ 传输线阻抗变换 ¾ 二端口网络与S参数 ¾ Smith圆图 ¾ 阻抗匹配
第二章
Z. Q. LI
1
传输线(Transmission Lines)
¾ 分布(distributed)系统与集总(lumped)系统
─ 环路电压和节点电流定律在任何时候都成立吗？ 当然，如果模型正确的话。 ─ 任何电路、元器件、连接线本质上都是分布系统，在某些条件下它们 的分布特性可以被忽略，正如在某些条件下微积分可以简化为四则运算 ─ 对于一条长度为l的低损耗连接线和波长为λ的信号
I ( x + Δx )
I ( x)
R1
L1
G
V ( x)
x
R2
L2
V ( x + Δx)
x + Δx
第二章
Z. Q. LI
5
传输线(Transmission Lines)
¾ 无损耗传输线上的电压和电流
∂ ⎧ v ( x, t ) = LΔx i ( x, t ) + v ( x + Δx, t ) ⎪ ⎪ ∂t ⎨ ⎪i ( x , t ) = C Δ x ∂ v ( x + Δ x , t ) + i ( x + Δ x , t ) ⎪ ∂t ⎩
d ⎧ j ω LI ( x ) = − V( x) ⎪ ⎪ dx ⎨ ⎪ j ω CV ( x ) = − d I ( x ) ⎪ dx ⎩
⎧ d2 V ( x) + β 2V ( x) = 0 ⎪ 2 ⎪ dx ⎨ 2 ⎪ d I ( x) + β 2 I ( x) = 0 ⎪ ⎩ dx 2
其中
1 LC
但是我们知道, v p = λf 因而
λ ─ 传输线特征阻抗(Z0)：定义为入射电压和入射电流的比值
V + (x ) ωL L Z0 = + = = β C I (x )
β=
2π
在没有反射波的情况下，传输线上任意一点的输入阻抗为特征阻抗。 由于无限长传输线没有反射波，因此其输入阻抗等于特征阻抗。
L L
(1 + Γ e γ ) = Z (1 + Γ e (1 − Γ e γ ) (1 − Γ e
−2 d −2 d 0 L L
−2 jβd
−2 j d
)=Z β )
(Z L + jZ 0 tan βd ) 0 (Z 0 + jZ L tan βd )
¾ (电压)驻波比
+ − + ⎧ ⎪Vmax = V ( x ) max = V0 + V0 = V0 (1 + Γ L ) ⎨ + − + ⎪ 0 − V0 = V0 (1 − Γ L ) ， ⎩Vmin = V ( x ) min = V
β = ω LC
称为波的相位常数，单位为rad/m，它表示了在一 定频率下行波相位沿传输线的变化情况。
Z. Q. LI 7
第二章
传输线(Transmission Lines)
方程的通解：
⎧V ( x ) = V0+ e − j β x + V0− e j β x = V + ( x ) + V − ( x ) ⎪ ⎨ β ⎡ = I + ( x) − I − ( x) V0+ e − j β x − V0− e j β x ⎤ ⎪I ( x ) = ⎣ ⎦ ωL ⎩
∂ ⎧ v( x + Δ x , t ) − v( x , t ) =L − i( x , t ) ⎪ ⎪ Δx ∂t ⎨ ⎪ − i( x + Δ x , t ) − i( x , t ) = C ∂ v ( x + Δ x , t ) ⎪ Δx ∂t ⎩
∂ v( x , t ) ⎧ ∂ i( x , t ) L = − ⎪ ⎪ ∂t ∂x ⎨ ⎪ c ∂ v ( x , t ) = − ∂ i( x , t ) ⎪ ∂t ∂x ⎩
入射电压： V + ( x ) = V0+ e − jβx
I +( x ) = 入射电流：
V − ( x ) = V0−e jβx 反射电压：
βV0− jβx 反射电流： I (x)= e ωL
−
βV0+ − jβx e ωL
对它们进行相量域到时间域的反变换可得电压和电流的时域表达式：
⎧ v ( x , t ) = Re V ( x ) e j ω t = V 0+ cos( ω t − β x ) + V 0− cos( ω t + β x ) ⎪ ⎨ β jω t V 0+ cos( ω t − β x ) − V 0− cos( ω t + β x ) = ⎪ i ( x , t ) = Re I ( x ) e ωL ⎩
第二章
⎧ ∂2 ∂2 v ( x , t ) = L C 2 v ( x , t ) 具有波动方程形式，对其求 ⎪ ⎪ ∂x 2 ∂t ⎨ 2 解可得电压和电流关于时间t 2 ⎪ ∂ i ( x , t ) = LC ∂ i ( x , t ) 和坐标x的函数。 ⎪ ∂t 2 ⎩ ∂x 2
Z. Q. LI 6
Z. Q. LI 11
传输线(Transmission Lines)
─ 特征阻抗不再是一个实数
─ 当R<<ωL, G<<ωC时，β 和Z0近似于无损耗的情况 ─ 对应的时间函数表示为
v( x, t ) = Re[V ( x)e jωt ] = Re[V0+ e −α x e − j ( β x −ωt ) + V0− eα x e j ( β x +ωt ) ] i ( x, t ) = Re[ I ( x)e
• 当l << 0.1λ，连线可以看成理想的电路连接线(阻抗为0的集总系统) • 当l > 0.1λ，我们认为它是一个分布系统——传输线
¾ IC Design需要传输线知识吗？
─ 空气中1GHz信号的波长为30cm，芯片的尺寸以mm计，因此在这个频 段附近(lower GHz)的RFIC内部通常还不需要考虑传输线效应 ─ 空气中10GHz信号的波长为3cm，芯片的尺寸以mm计，不能满足l << 0.1λ条件，需要考虑传输线效应
Z in (− d
第二章
)=
Z0
(e γ (e γ
d d
+ Γ L e − γd − Γ L e − γd
)= )
Z0
(1 + Γ (1 − Γ
e − 2γd − 2γd Le
L
) )
15
Z. Q. LI
传输线(Transmission Lines)
传输线无损耗 γ = α + jβ = jβ
Z (d ) = Z in (− d ) = Z 0
V (x ) e − γx + Γ L e γx Z in (x ) = = Z 0 − γx I (x ) e − Γ L e γx
( (
) )
1 + ΓL ) ( Z in ( 0 ) = Z 0 =Z (1 − Γ L ) L
ΓL =
Z L − Z0 Z L + Z0
¾ 在距负载 d 处无损耗传输线的阻抗为
第二章
Z. Q. LI
14
传输线(Transmission Lines)
¾ 反射系数 传输线在x处的反射系数用Γ(x)表示，坐标原点定义在负载处
V Γ (x ) = V
(x ) = + (x )
−
V 0− e γ x = Γ L e 2γx + − γx V0 e
其中 Γ L ¾ 输入阻抗
V 0− = + = Γ (0 ) V0