高考数学大一轮复习第五章平面向量第3讲平面向量的数量积及其应用课件理新人教版

(2)法一 如图所示，根据已知得，D→F＝34A→C， 所以A→F＝A→D＋D→F＝12A→B＋34A→C，B→C＝A→C－A→B， 则A→F·B→C＝12A→B＋34A→C·(A→C－A→B) ＝12A→B·A→C－12A→B2＋34A→C2－34A→C·A→B ＝34A→C2－12A→B2－14A→C·A→B ＝34－12－14×1×1×cos 60°＝18. 故选 B.
考点一 平面向量的数量积及在平面几何中的应用
【例 1】 (1)(2015·四川卷)设四边形 ABCD 为平行四边形，|A→B|＝
6，|A→D|＝4，若点 M，N 满足B→M＝3M→C，D→N＝2N→C，则A→M·N→M
等于( )
A.20
B. 15
C.9
D.6
(2)(2016·天津卷)已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D，
(2)法一 如图，D→E·C→B＝(D→A＋A→E)· C→B＝D→A·C→B＋A→E·C→B＝D→A2＝1， D→E·D→C＝(D→A＋A→E)·D→C
＝D→A·D→C＋A→E·D→C
＝A→E·D→C＝|A→E|·|D→C|≤|D→C|2＝1.
法二 以射线AB，AD为x轴，y轴的正
方向建立平面直角坐标系，
(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的
运算结果是向量.( )
(4)若 a·b＞0，则 a 和 b 的夹角为锐角；若 a·b＜0，则 a 和 b 的
夹角为钝角.Fra Baidu bibliotek )
(5)a·b＝a·c(a≠0)，则 b＝c.( )
解析 (1)两个向量夹角的范围是[0，π]. (4)若a·b>0，a和b的夹角可能为0；若a·b<0，a和b的夹角可能为π. (5)由a·b＝a·c(a≠0)得|a||b|·cos〈a，b〉＝|a||c|·cos〈a，c〉，所以 向量b和c不一定相等. 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)×
法三 由图知，无论 E 点在哪个位置， D→E在C→B方向上的投影都是 CB＝1， ∴D→E·C→B＝|C→B|·1＝1. 当 E 运动到 B 点时，D→E在D→C方向上 的投影最大即为 DC＝1， ∴(D→E·D→C)max＝|D→C|·1＝1. 答案 (1)－2 (2)1 1
考点二 平面向量的夹角与垂直
2.(2015·全国Ⅱ卷)向量a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，则(2a＋b)·a等
于( )
A.－1
B.0
C.1
D.2
解析 因为a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，所以2a＋b＝2(1，－1)
＋(－1，2)＝(1，0)，得(2a＋b)·a＝(1，0)·(1，－1)＝1，选C.
答案 C
3.(2017·济南模拟)已知向量 a，b，其中|a|＝ 3，|b|＝2， 且(a－b)⊥a，则向量 a 和 b 的夹角是________.
【训练 2】 (1)(2016·全国Ⅲ卷)已知向量B→A＝12， 23，B→C＝

23，12，则∠ABC＝(
)
A.30°
B.45° C.60° D.120°
(2)(2016·全国Ⅰ卷)设向量 a＝(m，1)，b＝(1，2)，且|a＋b|2
＝|a|2＋|b|2，则 m＝________.
知识梳理 1.平面向量数量积的有关概念
(1)向量的夹角：已知两个非零向量 a 和 b，记O→A＝a，O→B＝b， 则∠AOB＝θ(0°≤θ ≤180°)叫做向量 a 与 b 的夹角. (2)数量积的定义：已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹角为 θ， 则数量__|a_|_|b_|_c_o_s_θ_叫做 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 a·b，即 a·b ＝_|_a_||b_|_c_o_s_θ_，规定零向量与任一向量的数量积为 0，即 0·a＝0. (3)数量积的几何意义：数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方 向上的投影__|_b_|c_o_s_θ___的乘积.
【例2】 (1)(2016·全国Ⅱ卷)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，
且(a＋b)⊥b，则m＝( )
A.－8
B.－6
C.6
D.8
(2)若向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b与c
的夹角为钝角，则k的取值范围是________.
解析 (1)由题知a＋b＝(4，m－2)，
则 A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)， 设 E(t，0)，t∈[0，1]， 则D→E＝(t，－1)，C→B＝(0，－1)， 所以D→E·C→B＝(t，－1)·(0，－1)＝1. 因为D→C＝(1，0)，所以D→E·D→C＝(t，－1)·(1，0)＝t≤1， 故D→E·D→C的最大值为 1.
3.平面向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律). (2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律). (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
诊断自测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT展示
(1)两个向量的夹角的范围是0，π2.(
)
(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.( )
解析 (1)法一 因为A→E＝A→B＋B→E＝A→B＋13B→C＝ A→B＋13(A→C－A→B)＝23A→B＋13A→C，B→D＝B→A＋A→D＝ －A→B＋12A→C.因为 AB⊥AC，所以A→B·A→C＝0，
所以A→E·B→D＝23A→B＋13A→C·－A→B＋12A→C＝ －23|A→B|2＋16|A→C|2＝－23×22＋16×22＝－2. 法二 建立如图所示的平面直角坐标系，则 A(0，0)，B(2， 0)，D(0，1)，E43，23，所以A→E＝43，23，B→D＝(－2，1)， 所以A→E·B→D＝43，23·(－2，1)＝43×(－2)＋23×1＝－2.

所以A→F·B→C＝18，－5 8 3·(1，0)＝18. 故选 B.
答案 (1)C (2)B
规律方法 (1)求两个向量的数量积有三种方法：利用定 义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义. (2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利 用向量的加减运算或数量积的运算律化简再运算.但一定 要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.
法二 建立如图所示的平面直角坐标系.
则 B－12，0，C12，0，

A0，

23，所以B→C＝(1，0).
易知 DE＝12AC，∠FEC＝∠ACE＝60°，
则 EF＝14AC＝14，所以点 F 的坐标为18，－ 83，
则A→F＝18，－5
8
3，
【训练 1】 (1)(2017·湖北八校联考)在 Rt△ABC 中，∠A＝90°， AB＝AC＝2，点 D 为 AC 的中点，点 E 满足B→E＝13B→C，则A→E·B→D ＝________. (2)已有正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边上的动点，则 D→E·C→B的值为________；D→E·D→C的最大值为________.
解析 (1)由题意可得 a·b＝|a|·|b|cosπ3＝3， 所以|2a－3b|＝ （2a－3b）2＝ 4|a|2＋9|b|2－12a·b＝
16＋81－36＝ 61，故选 B.
(2)设 D(x，y)，由|C→D|＝1，得(x－3)2＋y2＝1， 向量O→A＋O→B＋O→D＝(x－1，y＋ 3)， 故|O→A＋O→B＋O→D|＝ （x－1）2＋（y＋ 3）2的最大值为圆 (x－3)2＋y2＝1 上的动点到点(1，－ 3)距离的最大值，其最 大值为圆(x－3)2＋y2＝1 的圆心(3，0)到点(1，－ 3)的距离加 上圆的半径，即 （3－1）2＋（0＋ 3）2＋1＝1＋ 7.
第3讲 平面向量的数量积及其应用
最新考纲 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义； 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量 积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运 用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面 向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几 何问题；6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些 实际问题.
因为(a＋b)⊥b，所以(a＋b)·b＝0，
即4×3＋(－2)×(m－2)＝0，解之得m＝8，故选D.
(2)∵2a－3b 与 c 的夹角为钝角，∴(2a－3b)·c<0， 即(2k－3，－6)·(2，1)<0，解得 k＜3. 又若(2a－3b)∥c， 则 2k－3＝－12，即 k＝－92. 当 k＝－92时，2a－3b＝(－12，－6)＝－6c， 此时 2a－3b 与 c 反向，不合题意. 综上，k 的取值范围为－∞，－92∪－92，3. 答案 (1)D (2)－∞，－92∪－92，3
2.平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ 为向量 a，b 的夹角. (1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2. (2)模：|a|＝ a·a＝ x21＋y21. (3)夹角：cos θ＝|aa|·|bb|＝ x12x＋1xy2＋12·yx1y22＋2 y22. (4)两非零向量 a⊥b 的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. (5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当 a∥b 时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ x21＋y21· x22＋y22.
解析
(1)|B→A|＝1，|B→C|＝1，cos∠ABC＝|B→B→AA|··B|→B→CC|＝
3 2.
由〈B→A，B→C〉∈[0°，180°]，得∠ABC＝30°. (2)由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2， 得 a⊥b，所以 m×1＋1×2＝0，得 m＝－2.
答案 (1)A (2)－2
考点三 平面向量的模及其应用
E 分别是边 AB，BC 的中点，连接 DE 并延长到点 F，使得 DE
＝2EF，则A→F·B→C的值为( )
A.－58
1
1
11
B.8
C.4
D. 8
解析 (1)取A→B，A→D为一组基底.∵B→M＝3M→C，∴A→M＝A→B＋ B→M＝A→B＋34B→C＝A→B＋34A→D，N→M＝C→M－C→N＝－14A→D＋13A→B， ∴A→M·N→M＝14(4A→B＋3A→D)·112(4A→B－3A→D) ＝418(16A→B2－9A→D2)＝418(16×62－9×42)＝9，选 C.
规律方法 (1)根据平面向量数量积的性质：若 a，b 为非零向量，
cos θ＝|aa|·|bb|(夹角公式)，a⊥b⇔a·b＝0 等，可知平面向量的数
量积可以用来解决有关角度、垂直问题. (2)数量积大于 0 说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等 于 0 说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于 0 且两向量 不共线时两向量的夹角为钝角.
【例 3】 (1)(2017·云南统一检测)已知平面向量 a 与 b 的夹角等
于π3，若|a|＝2，|b|＝3，则|2a－3b|＝(
)
A. 57 B. 61 C.57 D.61
(2)在平面直角坐标系中，O 为原点，A(－1，0)，B(0， 3)，
C(3，0)，动点 D 满足|C→D|＝1，则|O→A＋O→B＋O→D|的最大值是 ________.
解析 ∵|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2 ＝4＋2|a||b|cos 23π＋1＝4－2＋1＝3， ∴|a＋b|＝ 3.
答案 3
5.(必修4P104例1改编)已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝ 120°，则向量b在向量a方向上的投影为________. 解析 由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cos θ ＝4×cos 120°＝－2. 答案 －2
解析 因为(a－b)⊥a，所以(a－b)·a＝|a|2－|a||b|·cos〈a，
b〉＝3－2 3×cos〈a，b〉＝0，解得 cos〈a，b〉＝ 23，
由于〈a，b〉∈[0，π].则向量 a，b 的夹角为π6.
答案
π 6
4.(2016·石家庄模拟)已知平面向量 a，b 的夹角为23π，|a|＝2， |b|＝1，则|a＋b|＝________.