2015年考研数学(一)真题及答案
2015年考研数学一真题及答案解析
2015年考研数学一真题及答案解析22015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：18小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上。
(1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2(D) 3【答案】（C ）【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。
因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选（C ）.3(2)设211()23=+-xxy ex e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=xy ay by ce 的一个特解，则( )(A) 3,2,1=-==-a b c(B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c(D)3,2,1===a b c【答案】（A ）【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.【解析】由题意可知，212xe 、13xe -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,1为特征方程20r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =⨯=，从而原方程变为32xy y y ce '''-+=，再将特解xy xe =代入得1c =-.故选45y x=，y =围成的平面区域，函数(),f x y 在D 上连续，则(),Df x y dxdy =⎰⎰( )(A) ()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r rdrπθπθθθθ⎰⎰(B)()34cos ,sin d f r r rdr ππθθθ⎰(C) ()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r drπθπθθθθ⎰⎰(D) ()34cos ,sin d f r r drππθθθ⎰【答案】（B ）【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分【解析】先画出D 的图形，6所以(,)Df x y dxdy =⎰⎰sin 23142sin 2(cos ,sin )d f r r rdrπθπθθθθ⎰⎰，故选（B ）(5) 设矩阵21111214A a a ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，21b d d ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，若集合{}1,2Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件为( )(A) ,a d ∉Ω∉Ω (B) ,a d ∉Ω∈Ω (C) ,a d ∈Ω∉Ω (D),a d ∈Ω∈Ω【答案】D 【解析】2211111111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)A b ad a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭，7由()(,)3r A r A b =<，故1a =或2a =，同时1d =或2d =。
2015考研数学(一二三)真题(含答案)
由 4xy 1得， 4r2 cos sin 1, r 1
2sin 2
o
x
故
D
4
1
3
r
2sin
1
1
f (x, y)dxdy
3
而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故 nan (x 1)n 的收敛区间还是 (0, 2) . n1
因而 x 3 与 x 3 依次为幂级数 nan (x 1)n 的收敛点，发散点.故选（B）. n1
【解析二】注意条件级数 an 条件收敛等价于幂级数 an xn 在 x 1处条件收敛，
2
3
(A) a 3,b 2,c 1
(B) a 3,b 2, c 1
(C) a 3,b 2,c 1
(D) a 3,b 2, c 1
【答案】（A）
【解析一】由特解 y 1 e2x (x 1)ex 1 e2x 1 ex xex 可知,
2015 年全国硕士研究生入学 统一考试
数学（一、二、三） 试题及解析
山东考研辅导专家 苏老师
2015 年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试题
一、选择题:1 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的, 请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上.
(1)设函数 f (x) 在 , 内连续，其中二阶导数 f (x) 的图形如图所示，则曲线 y f (x) 的拐点的个
数为 ( )
考研数学一真题2015年
考研数学一真题2015年(总分：150.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数f(x)在(-∞，+∞)内连续，其二阶导函数f"(x)的图形如图所示，则曲线y=f(x)的拐点的个数为______。
（分数：4.00）A.0B.1C.2 √D.3解析：[考点] 拐点的判定。
[解析] 若曲线函数在拐点处有二阶导数，则在拐点处二阶导数异号(由正变负或由负变正)或不存在。
因此，由f"(x)由的图形可得，曲线y=f(x)存在两个拐点，故选C项。
2.______。
（分数：4.00）A.a=-3，b=2，c=-1 √B.a=3，b=2，c=-1C.a=-3，b=2，C=1D.a=3，b=2，C=1解析：[考点] 二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——由已知解来确定微分方程的系数。
[解析] 由题意可知，为二阶常系数齐次微分方程y"+ay"+by=0的解，所以由常系数齐次微分方程的解与其特征方程根的关系知2，1为特征方程r 2 +ar+b=0的根，从而a=-(1+2)=-3，b=1×2=2，从而原方程变为y"-3y"+2y=ce x，再将特解y=xe x代入得c=-1，故选A项。
3.若级数条件收敛，则和x=3______。
（分数：4.00）A.收敛点，收敛点B.收敛点，发散点√C.发散点，收敛点D.发散点，发散点解析：[考点] 幂级数的收敛半径、收敛区间，幂级数的性质。
[解析] 已知条件收敛，即x=2为幂级数的条件收敛点，所以的收敛半径为1，收敛区间为(0，2)。
因幂级数与其导数的收敛区间相同，故的收敛区间还是(0，2)，则与x=3依次为幂级数的收敛点，发散点，故选B项。
4.设D是第一象限由曲线2xy=1，4xy=1与直线y=x，围成的平面区域，函数f(x，y)在D上连续，则=______。
A．B．C．D．（分数：4.00）A.B. √C.D.解析：[考点] 将二重积分化成极坐标系下的累次积分和极坐标变换。
历年考研数学一真题及答案（1987-2015）
历年考研数学⼀真题及答案（1987-2015）历年考研数学⼀真题1987-20151987年全国硕⼠研究⽣⼊学统⼀考试数学(⼀)试卷⼀、填空题(本题共5⼩题,每⼩题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)当x =_____________时,函数2x y x =?取得极⼩值. (2)由曲线ln y x =与两直线e 1y x =+-及0y =所围成的平⾯图形的⾯积是_____________.1x =(3)与两直线 1y t =-+2z t=+及121111x y z +++==都平⾏且过原点的平⾯⽅程为_____________. (4)设L为取正向的圆周229,x y +=则曲线积分2(22)(4)Lxy y dx xx dy -+-? = _____________.(5)已知三维向量空间的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),===ααα则向量(2,0,0)=β在此基底下的坐标是_____________.⼆、(本题满分8分)求正的常数a 与,b 使等式201lim 1sin x x bx x →=-?成⽴.三、(本题满分7分)(1)设f 、g 为连续可微函数,(,),(),u f x xy v g x xy ==+求,.u v x x(2)设矩阵A和B满⾜关系式2,+AB =A B 其中301110,014??=A 求矩阵.B四、(本题满分8分)求微分⽅程26(9)1y y a y ''''''+++=的通解,其中常数0.a >五、选择题(本题共4⼩题,每⼩题3分,满分12分.每⼩题给出的四个选项中,只有⼀个符合题⽬要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设2()()lim1,()x af x f a x a →-=--则在x a =处 (A)()f x 的导数存在,且()0f a '≠ (B)()f x 取得极⼤值(C)()f x 取得极⼩值 (D)()f x 的导数不存在 (2)设()f x 为已知连续函数0,(),s t I t f tx dx =?其中0,0,t s >>则I 的值(A)依赖于s 和t (B)依赖于s 、t 和x(C)依赖于t 、x ,不依赖于s (D)依赖于s ,不依赖于t(3)设常数0,k >则级数21(1)n n k n n∞=+-∑(A)发散 (B)绝对收敛(C)条件收敛 (D)散敛性与k 的取值有关(4)设A 为n 阶⽅阵，且A 的⾏列式||0,a =≠A ⽽*A 是A 的伴随矩阵，则*||A 等于(A)a (B)1a(C)1n a - (D)na六、（本题满分10分）求幂级数1112n nn x n ∞-=∑ 的收敛域，并求其和函数.七、（本题满分10分）求曲⾯积分2(81)2(1)4,I x y dydz y dzdx yzdxdy ∑=++--??其中∑是由曲线13()0z y f x x ?=≤≤?=?=??绕y 轴旋转⼀周⽽成的曲⾯,其法向量与y 轴正向的夹⾓恒⼤于.2π⼋、（本题满分10分）设函数()f x 在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每⼀个,x 函数()f x 的值都在开区间(0,1)内,且()f x '≠1,证明在(0,1)内有且仅有⼀个,x 使得().f x x =九、（本题满分8分）问,a b 为何值时,现线性⽅程组123423423412340221(3)2321x x x x x x x x a x x b x x x ax +++=++=-+--=+++=-有唯⼀解,⽆解,有⽆穷多解?并求出有⽆穷多解时的通解.⼗、填空题(本题共3⼩题,每⼩题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设在⼀次实验中,事件A 发⽣的概率为,p 现进⾏n 次独⽴试验,则A ⾄少发⽣⼀次的概率为____________;⽽事件A ⾄多发⽣⼀次的概率为____________.(2)有两个箱⼦,第1个箱⼦有3个⽩球,2个红球, 第2个箱⼦有4个⽩球,4个红球.现从第1个箱⼦中随机地取1个球放到第2个箱⼦⾥,再从第2个箱⼦中取出1个球,此球是⽩球的概率为____________.已知上述从第2个箱⼦中取出的球是⽩球,则从第⼀个箱⼦中取出的球是⽩球的概率为____________. (3)已知连续随机变量X 的概率密度函数为221(),xx f x-+-=则X 的数学期望为____________,X 的⽅差为____________.⼗⼀、（本题满分6分）设随机变量,X Y 相互独⽴,其概率密度函数分别为()X f x =101x ≤≤其它,()Y f y = e 0y -00y y >≤, 求2Z X Y=+的概率密度函数.1988年全国硕⼠研究⽣⼊学统⼀考试数学(⼀)试卷⼀、(本题共3⼩题,每⼩题5分,满分15分)(1)求幂级数1(3)3nnn x n ∞=-∑的收敛域. (2)设2()e ,[()]1x f x f x x ?==-且()0x ?≥,求()x ?及其定义域.(3)设∑为曲⾯2221x y z ++=的外侧,计算曲⾯积分333.I x dydz y dzdx z dxdy ∑=++??⼆、填空题(本题共4⼩题,每⼩题3分,满分12分.把答案填在题中横线上) (1)若21()lim (1),tx x f t t x→∞=+则()f t '= _____________.(2)设()f x 连续且31(),x f t dt x -=?(7)f =_____________. (3)设周期为2的周期函数,它在区间(1,1]-上定义为()f x =22x1001x x -<≤<≤,则的傅⾥叶()Fourier 级数在1x =处收敛于_____________.(4)设4阶矩阵234234[,,,],[,,,],==A αγγγB βγγγ其中234,,,,αβγγγ均为4维列向量,且已知⾏列式4,1,==A B 则⾏列式+A B = _____________.三、选择题(本题共5⼩题,每⼩题3分,满分15分.每⼩题给出的四个选项中,只有⼀个符合题⽬要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设()f x 可导且01(),2f x '=则0x ?→时,()f x 在0x 处的微分dy 是(A)与x ?等价的⽆穷⼩ (B)与x同阶的⽆穷⼩(C)⽐x ?低阶的⽆穷⼩ (D)⽐x ?⾼阶的⽆穷⼩ (2)设()y f x =是⽅程240y y y '''-+=的⼀个解且00()0,()0,f x f x '>=则函数()f x 在点0x 处(A)取得极⼤值 (B)取得极⼩值(C)某邻域内单调增加 (D)某邻域内单调减少 (3)设空间区域2222222212:,0,:,0,0,0,x y z R z x y z R x y z Ω++≤≥Ω++≤≥≥≥则24xdv dv ΩΩ=(B)124ydv ydv ΩΩ=(C)124zdv zdv ΩΩ=(D)124xyzdv xyzdv ΩΩ=(4)设幂级数1(1)n n n a x ∞=-∑在1x =-处收敛,则此级数在2x =处(A)条件收敛 (B)绝对收敛(C)发散 (D)收敛性不能确定(5)n 维向量组12,,,(3)s s n ≤≤ααα线性⽆关的充要条件是(A)存在⼀组不全为零的数12,,,,s k k k 使11220s s k k k +++≠ααα(B)12,,,s ααα中任意两个向量均线性⽆关(C)12,,,s ααα中存在⼀个向量不能⽤其余向量线性表⽰(D)12,,,s ααα中存在⼀个向量都不能⽤其余向量线性表⽰四、(本题满分6分)设()(),x y u yf xg yx=+其中函数f 、g 具有⼆阶连续导数,求222.u u x y x x y+?五、(本题满分8分)设函数()y y x =满⾜微分⽅程322e ,x y y y '''-+=其图形在点(0,1)处的切线与曲线21y x x =--在该点处的切线重合,求函数().y y x =六、（本题满分9分）设位于点(0,1)的质点A 对质点M 的引⼒⼤⼩为2(0kk r>为常数,r 为A 质点与M 之间的距离),质点M 沿直线y =(2,0)B 运动到(0,0),O 求在此运动过程中质点A 对质点M 的引⼒所作的功.七、（本题满分6分）已知,=AP BP 其中100100000,210,001211==--B P 求5,.A A⼋、（本题满分8分）已知矩阵20000101x =??A 与20000001y ??=-B 相似. (1)求x 与.y (2)求⼀个满⾜1-=PAP B的可逆阵.P九、（本题满分9分）设函数()f x 在区间[,]a b 上连续,且在(,)a b 内有()0,f x '>证明:在(,)a b 内存在唯⼀的,ξ使曲线()y f x =与两直线(),y f x a ξ==所围平⾯图形⾯积1S 是曲线()y f x =与两直线(),y f x b ξ==所围平⾯图形⾯积2S 的3倍.⼗、填空题(本题共3⼩题,每⼩题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设在三次独⽴试验中,事件A 出现的概率相等,若已知A ⾄少出现⼀次的概率等于19,27则事件A 在⼀次试验中出现的概率是____________.(2)若在区间(0,1)内任取两个数,则事件”两数之和⼩于65”的概率为____________.(3)设随机变量X 服从均值为10,均⽅差为0.02的正态分布,已知22(),(2.5)0.9938,u xx du φφ-==?则X 落在区间(9.95,10.05)内的概率为____________.⼗⼀、（本题满分6分）设随机变量X 的概率密度函数为21(),(1)X f x x π=-求随机变量1Y =-的概率密度函数().Y f y1989年全国硕⼠研究⽣⼊学统⼀考试数学(⼀)试卷⼀、填空题(本题共5⼩题,每⼩题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)已知(3)2,f '=则0(3)(3) lim2h f h f h→--= _____________. (2)设()f x 是连续函数,且10()2(),f x x f t dt =+?则()f x =_____________.(3)设平⾯曲线L为下半圆周y =则曲线积分22()Lxy ds +?=_____________.(4)向量场div u在点(1,1,0)P 处的散度div u =_____________.(5)设矩阵300100140,010,003001==A I 则矩阵1(2)--A I =_____________.⼆、选择题(本题共5⼩题,每⼩题3分,满分15分.每⼩题给出的四个选项中,只有⼀个符合题⽬要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)当0x >时,曲线1sin y x x =(A)有且仅有⽔平渐近线 (B)有且仅有铅直渐近线(C)既有⽔平渐近线,⼜有铅直渐近线 (D)既⽆⽔平渐近线,⼜⽆铅直渐近线(2)已知曲⾯224z x y =--上点P 处的切平⾯平⾏于平⾯2210,x y z ++-=则点的坐标是(A)(1,1,2)- (B)(1,1,2)-(C)(1,1,2) (D)(1,1,2)-- (3)设线性⽆关的函数都是⼆阶⾮齐次线性⽅程的解是任意常数,则该⾮齐次⽅程的通解是(A)11223c y c y y ++ (B)1122123()c y c y c c y +-+(C)1122123(1)c y c y c c y +--- (D)1122123(1)c y c y c c y ++--(4)设函数2(),01,f x x x =≤<⽽1()sin ,,n n S x b n x x π∞==-∞<<+∞∑其中12()sin ,1,2,3,,n b f x n xdx n π==? 则1()2S -等于(A)12- (B)14-(C)14(D)12(5)设A 是n 阶矩阵,且A 的⾏列式0,=A 则A 中 (A)必有⼀列元素全为0 (B)必有两列元素对应成⽐例(C)必有⼀列向量是其余列向量的线性组合 (D)任⼀列向量是其余列向量的线性组合三、(本题共3⼩题,每⼩题5分,满分15分) (1)设(2)(,),z f x y g x xy =-+其中函数()f t ⼆阶可导,(,)g u v 具有连续⼆阶偏导数,求2.zx y(2)设曲线积分2()c xy dx y x dy ?+?与路径⽆关,其中()x ?具有连续的导数,且(0)0,?=计算(1,1)2(0,0)()xy dx y x dy ?+?的值.(3)计算三重积分(),x z dv Ω+其中Ω是由曲⾯z =与z =所围成的区域.四、(本题满分6分)将函数1()arctan 1x f x x+=-展为x 的幂级数.五、(本题满分7分)设0()sin ()(),xf x x x t f t dt =--?其中f 为连续函数,求().f x六、（本题满分7分）证明⽅程0ln exx π=-?在区间(0,)+∞内有且仅有两个不同实根.七、（本题满分6分）问λ为何值时,线性⽅程组13x x λ+= 123422x x x λ++=+1236423x x x λ++=+有解,并求出解的⼀般形式. ⼋、（本题满分8分）假设λ为n 阶可逆矩阵A 的⼀个特征值,证明 (1)1λ为1-A 的特征值.(2)λA为A 的伴随矩阵*A 的特征值.九、（本题满分9分）设半径为R 的球⾯∑的球⼼在定球⾯2222(0)x y z a a ++=>上,问当R 为何值时,球⾯∑在定球⾯内部的那部分的⾯积最⼤?⼗、填空题(本题共3⼩题,每⼩题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知随机事件A 的概率()0.5,P A =随机事件B 的概率()0.6P B =及条件概率(|)0.8,P B A =则和事件A B 的概率()P A B =____________.(2)甲、⼄两⼈独⽴地对同⼀⽬标射击⼀次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知⽬标被命中,则它是甲射中的概率为____________.(3)若随机变量ξ在(1,6)上服从均匀分布,则⽅程210x x ξ++=有实根的概率是____________.⼗⼀、（本题满分6分）设随机变量X 与Y 独⽴,且X 服从均值为1、标准差(均⽅差)的正态分布,⽽Y 服从标准正态分布.试求随机变量23Z X Y =-+的概率密度函数.1990年全国硕⼠研究⽣⼊学统⼀考试数学(⼀)试卷⼀、填空题(本题共5⼩题,每⼩题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)2x t =-+(1)过点(1,21)M -且与直线 34y t =-垂直的平⾯⽅程是_____________.1z t =-(2)设a 为⾮零常数,则lim()x x x a x a→∞+-=_____________.(3)设函数()f x =111x x ≤>,则[()]f f x =_____________.(4)积分2220e y x dx dy -??的值等于_____________. (5)已知向量组1234(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),(4,5,6,7),====αααα则该向量组的秩是_____________.⼆、选择题(本题共5⼩题,每⼩题3分,满分15分.每⼩题给出的四个选项中,只有⼀个符合题⽬要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()f x 是连续函数,且e ()(),xx F x f t dt -=?则()F x '等于(A)e (e )()x x f f x ---- (B)e (e )()x x f f x ---+(C)e (e )()x x f f x ---(D)e (e )()x x f f x --+ (2)已知函数()f x 具有任意阶导数,且2()[()],f x f x '=则当n 为⼤于2的正整数时,()f x 的n 阶导数()()n f x 是(A)1![()]n n f x + (B)1[()]n n f x +(C)2[()]n f x(D)2![()]n n f x(3)设a 为常数,则级数21sin()[n na n∞=∑ (A)绝对收敛 (B)条件收敛(C)发散 (D)收敛性与a 的取值有关 (4)已知()f x 在0x =的某个邻域内连续,且0()(0)0,lim2,1cos x f x f x→==-则在点0x =处()f x (A)不可导 (B)可导,且(0)0f '≠(C)取得极⼤值 (D)取得极⼩值(5)已知1β、2β是⾮齐次线性⽅程组=AX b 的两个不同的解1,α、2α是对应其次线性⽅程组=AX 0的基础解析1,k 、2k 为任意常数,则⽅程组=AX b 的通解(⼀般解)必是(A)1211212()2k k -+++ββααα(B)1211212()2k k ++-+ββααα(C)1211212()2k k -+++ββαββ(D)1211212()2k k ++-+ββαββ三、(本题共3⼩题,每⼩题5分,满分15分)(1)求120ln(1).(2)x dx x +-?(2)设(2,sin ),z f x y y x =-其中(,)f u v 具有连续的⼆阶偏导数,求2.zx y(3)求微分⽅程244e x y y y -'''++=的通解(⼀般解).四、(本题满分6分)求幂级数0(21)n n n x ∞=+∑的收敛域,并求其和函数.五、(本题满分8分) 求曲⾯积分2SI yzdzdx dxdy =+??其中S 是球⾯2224x y z ++=外侧在0z ≥的部分.六、（本题满分7分）设不恒为常数的函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,在开区间(,)a b 内可导,且()().f a f b =证明在(,)a b 内⾄少存在⼀点,ξ使得()0.f ξ'>七、（本题满分6分）设四阶矩阵1100213401100213,0011002100010002--?==?-B C 且矩阵A 满⾜关系式1()-''-=A E C B C E其中E 为四阶单位矩阵1,-C 表⽰C 的逆矩阵,'C 表⽰C 的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵.A⼋、（本题满分8分）求⼀个正交变换化⼆次型22212312132344448f x x x x x x x x x =++-+-成标准型.九、（本题满分8分）质点P 沿着以AB 为直径的半圆周,从点(1,2)A 运动到点(3,4)B 的过程中受变⼒F作⽤(见图).F的⼤⼩等于点P 与原点O 之间的距离,其⽅向垂直于线段OP 且与y 轴正向的夹⾓⼩于.2π求变⼒F质点P 所作的功.⼗、填空题(本题共3⼩题,每⼩题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知随机变量X 的概率密度函数1()e ,2xf x x -=-∞<<+∞ 则X 的概率分布函数()F x =____________.(2)设随机事件A 、B 及其和事件的概率分别是0.4、0.3和0.6,若B 表⽰B 的对⽴事件,那么积事件AB 的概率()P AB =____________.(3)已知离散型随机变量X 服从参数为2的泊松()Poisson 分布,即22e {},0,1,2,,!k P X k k k -=== 则随机变量32Z X =-的数学期望()E Z =____________.⼗⼀、（本题满分6分）设⼆维随机变量(,)X Y 在区域:01,D x y x <<<内服从均匀分布,求关于X 的边缘概率密度函数及随机变量21Z X =+的⽅差().D Z1991年全国硕⼠研究⽣⼊学统⼀考试数学(⼀)试卷⼀、填空题(本题共5⼩题,每⼩题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设 21cos x t y t=+=,则22d ydx =_____________.(2)由⽅程xyz +=所确定的函数(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分dz =_____________.已知两条直线的⽅程是1212321:;:.101211x y z x y zl l ---+-====-则过1l 且平⾏于2l 的平⾯⽅程是_____________.(4)已知当0x →时123,(1)1ax +-与cos 1x -是等价⽆穷⼩,则常数a =_____________.(5)设4阶⽅阵52002100,00120011??=-??A 则A的逆阵1-A =_____________.⼆、选择题(本题共5⼩题,每⼩题3分,满分15分.每⼩题给出的四个选项中,只有⼀个符合题⽬要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)曲线221e 1ex x y --+=(A)没有渐近线 (B)仅有⽔平渐近线(C)仅有铅直渐近线 (D)既有⽔平渐近线⼜有铅直渐近线 (2)若连续函数() f x 满⾜关系式20()()ln 2,2tf x f dt π=+?则()f x 等于(A)e ln 2x(B)2e ln 2x(C)eln 2x+(D)2eln 2x+(3)已知级数12111(1)2,5,n n n n n a a ∞∞--==-==∑∑则级数1n n a ∞=∑等于(A)3 (B)7 (C)8 (D)9 (4)设D 是平⾯xoy 上以(1,1)、(1,1)-和(1,1)--为顶点的三⾓形区域1,D 是D 在第⼀象限的部分,则(cos sin )Dxy x y dxdy +??等于(A)12cos sin D x ydxdy ?? (B)12D xydxdy ??(C)14(cos sin )D xy x y dxdy +?? (D)0(5)设n 阶⽅阵A 、B 、C 满⾜关系式,=ABC E 其中E 是n 阶单位阵,则必有(A)=ACB E (B)=CBA E(C)=BAC E (D)=BCA E三、(本题共3⼩题,每⼩题5分,满分15分) (1)求20lim .x π+→(2)设n是曲⾯222236x y z ++=在点(1,1,1)P 处的指向外侧的法向量,求函数u =在点P 处沿⽅向n的⽅向导数.(3)22(),x y z dv Ω++其中Ω是由曲线 220yz x ==绕z 轴旋转⼀周⽽成的曲⾯与平⾯4z =所围城的⽴体.四、(本题满分6分)过点(0,0)O 和(,0)A π的曲线族sin (0)y a x a =>中,求⼀条曲线,L 使沿该曲线O 从到A 的积分3(1)(2)Ly dx x y dy +++?的值最⼩.五、(本题满分8分)将函数()2(11)f x x x =+-≤≤展开成以2为周期的傅⾥叶级数,并由此求级数211n n∞=∑的和.六、（本题满分7分）设函数()f x 在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且1233()(0),f x dx f =?证明在(0,1)内存在⼀点,c 使()0.f c '=七、（本题满分8分）已知1234(1,0,2,3),(1,1,3,5),(1,1,2,1),(1,2,4,8)a a ===-+=+αααα及(1,1,3,5).b =+β(1)a 、b 为何值时,β不能表⽰成1234,,,αααα的线性组合?(2)a 、b 为何值时,β有1234,,,αααα的唯⼀的线性表⽰式?写出该表⽰式.⼋、（本题满分6分）设A 是n 阶正定阵,E 是n 阶单位阵,证明+A E 的⾏列式⼤于1.九、（本题满分8分）在上半平⾯求⼀条向上凹的曲线,其上任⼀点(,)P x y 处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ 长度的倒数(Q 是法线与x 轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x 轴平⾏.⼗、填空题(本题共2⼩题,每⼩题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)若随机变量X 服从均值为2、⽅差为2σ的正态分布,且{24}0.3,P X<<=则{0}P X <=____________.(2)随机地向半圆0y a <<为正常数)内掷⼀点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的⾯积成正⽐,则原点和该点的连线与x 轴的夹⾓⼩于4π的概率为____________.⼗⼀、（本题满分6分）设⼆维随机变量(,)X Y 的密度函数为(,)f x y =(2)2e 0,00 x y x y -+>>其它求随机变量2Z X Y =+的分布函数.1992年全国硕⼠研究⽣⼊学统⼀考试数学(⼀)试卷⼀、填空题(本题共5⼩题,每⼩题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)设函数()y y x =由⽅程e cos()0x yxy ++=确定,则dydx=_____________.(2)函数222ln()u x y z =++在点(1,2,2)M -处的梯度grad Mu=_____________.(3)设()f x =211x-+ 00x x ππ-<≤<≤,则其以2π为周期的傅⾥叶级数在点x π处收敛于_____________. (4)微分⽅程tan cos y y x x'+=的通解为y=_____________.(5)设111212121212,n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b =??A 其中0,0,(1,2,,).i i a b i n ≠≠= 则矩阵A的秩()r A =_____________.⼆、选择题(本题共5⼩题,每⼩题3分,满分15分.每⼩题给出的四个选项中,只有⼀个符合题⽬要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)当1x →时,函数1211e 1x x x ---的极限。
2015年考研数学真题答案(数一)
a b k
1 1 2 1 3
f ( x ) 定义域 I 上的导数大于零， 若对任意的
x0
I
， 曲线 y
f ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处
的切线与直线
x
x0 及 x 轴所围成的区域的面积为
4 ，且 f (0)
2 ，求 f ( x ) 的表达式 .
0 0
1 0
1 0
x Ax
y ( Q AA) y
T
T
2y1
2
y2
2
y3 ，故选 (A)
2
A, B 为任意两个随机事件，则 P ( AB) P ( A) P ( B) P( A) 2 P ( B)
（ B）
P ( AB)
P ( A) P( B ) P ( A) 2 P( B )
（ C）
P ( AB)
（ D）
.
[ u( x) v( x)]'= u '( x)v( x)
( Ⅱ ) 设函数
u1 ( x), u2 ( x )...un ( x) 可导， f ( x)
n
3 、若级数
n 1
a n 条件收敛，则 x
3与 x
3 依次为幂级数
n 1
nan x 1 的：
（ A）收敛点，收敛点 （ C）发散点，收敛点 【答案】 (B) 【考点】级数的敛散性 【难易度】★★★ 【详解】因为
n 1
（ B）收敛点，发散点 （ D）发散点，发散点
an 条 件 收 敛 ， 故 x
2 为幂级 数
P( AB)
【答案】 (C) 【考点】 【难易度】★★ 【详解】
2000-2017年历年考研数学一真题(答案 解析)
历年考研数学一真题1987-2017（答案+解析）（经典珍藏版）最近三年+回顾过去最近三年篇（2015-2017）2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分．１．设函数()f x 在(,)-∞+∞上连续，其二阶导数()f x ''的图形如右图所示，则曲线()y f x =在(,)-∞+∞的拐点个数为（A）0（B）1（C）2（D）3【详解】对于连续函数的曲线而言，拐点处的二阶导数等于零或者不存在．从图上可以看出有两个二阶导数等于零的点，以及一个二阶导数不存在的点0x =．但对于这三个点，左边的二阶导数等于零的点的两侧二阶导数都是正的，所以对应的点不是拐点．而另外两个点的两侧二阶导数是异号的，对应的点才是拐点，所以应该选（C）2．设21123(x x y e x e =+-是二阶常系数非齐次线性微分方程x y ay by ce '''++=的一个特解，则（A）321,,a b c =-==-（B）321,,a b c ===-（C）321,,a b c =-==（D）321,,a b c ===【详解】线性微分方程的特征方程为20r ar b ++=，由特解可知12r =一定是特征方程的一个实根．如果21r =不是特征方程的实根，则对应于()xf x ce =的特解的形式应该为()xQ x e ，其中()Q x 应该是一个零次多项式，即常数，与条件不符，所以21r =也是特征方程的另外一个实根，这样由韦达定理可得213212(),a b =-+=-=⨯=，同时*xy xe =是原来方程的一个解，代入可得1c =-应该选（A）３．若级数1nn a∞=∑条件收敛，则33,x x ==依次为级数11()nn n na x ∞=-∑的（Ａ）收敛点，收敛点（Ｂ）收敛点，发散点(Ｃ）发散点，收敛点（Ｄ）发散点，发散点【详解】注意条件级数1nn a∞=∑条件收敛等价于幂级数1n nn ax ∞=∑在1x =处条件收敛，也就是这个幂级数的收敛为1，即11limn n na a +→∞=，所以11()n n n na x ∞=-∑的收敛半径111lim()nn n na R n a →∞+==+，绝对收敛域为02(,)，显然33x x ==依次为收敛点、发散点，应该选（B）４．设D 是第一象限中由曲线2141,xy xy ==与直线3,y x y ==所围成的平面区域，函数(,)f x y 在D 上连续，则(,)Df x y dxdy =⎰⎰（）（Ａ）1321422sin sin (cos ,sin )d f r r rdrπθπθθθθ⎰⎰（Ｂ）1231422sin sin (cos ,sin )d f r r rdrπθπθθθθ⎰⎰（Ｃ）1321422sin sin (cos ,sin )d f r r drπθπθθθθ⎰⎰（Ｄ）1231422sin sin (cos ,sin )d f r r drπθπθθθθ⎰⎰【详解】积分区域如图所示，化成极坐标方程：221212122sin cos sin sin xy r r r θθθθ=⇒=⇒=⇒=221141412222sin cos sin sin xy r r r θθθθ=⇒=⇒=⇒=也就是D：432sin sin r ππθθθ⎧<<⎪⎪⎨<<22所以(,)Df x y dxdy =⎰⎰1231422sin sin (cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰，所以应该选（B）．5．设矩阵2211111214,A a b d a d ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若集合{}12,Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件是（A）,a d ∉Ω∉Ω（B）,a d ∉Ω∈Ω（C）,a d ∈Ω∉Ω（D）,a d ∈Ω∈Ω【详解】对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换：22221111111111111201110111140311001212(,)()()()()B A b ad a d a d a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪==→--→-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭方程组无穷解的充分必要条件是3()(,)r A r A b =<，也就是120120()(),()()a a d d --=--=同时成立，当然应该选（D）．6．设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为2221232y y y +-，其中()123,,P e e e =，若()132,,Q e e e =-，则123(,,)f x x x 在x Qy =下的标准形为（A）2221232y y y -+（B）2221232y y y +-（C）2221232y y y --（D）2221232y y y ++【详解】()()132123100100001001010010,,,,Q e e e e e e P ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，100001010T TQ P ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭211T T T Tf x Ax y PAPy y y⎛⎫⎪=== ⎪ ⎪-⎝⎭所以100100100210001001001100010010010101T T Q AQ P AP ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ ⎪⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝故选择（A）．7．若,A B 为任意两个随机事件，则（）（A）()()()P AB P A P B ≤（B）()()()P AB P A P B ≥（C）2()()()P A P B P AB +≤（D）2()()()P A P B P AB +≥【详解】()(),()(),P A P AB P B P AB ≥≥所以2()()()P A P B P AB +≤故选择（C）．8．设随机变量,X Y 不相关，且213,,EX EY DX ===，则2(())E X X Y +-=（）（A）3-（B）3（C）5-（D）5【详解】222225(())()()()E X X Y E X E XY EX DX EX EXEY EX +-=+-=++-=故应该选择（D）．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）9．20ln(cos )limx x x→=【详解】200122ln(cos )tan lim lim x x x x x x →→-==-．10．221sin cos x x dx x ππ-⎛⎫+=⎪+⎝⎭⎰．【详解】只要注意1sin cos xx+为奇函数，在对称区间上积分为零，所以22202214sin .cos x x dx xdx x ππππ-⎛⎫+== ⎪+⎝⎭⎰⎰11．若函数(,)z z x y =是由方程2cos ze xyz x x +++=确定，则01(,)|dz =．【详解】设2(,,)cos zF x y z e xyz x x =+++-，则1(,,)sin ,(,,),(,,)z x y z F x y z yz x F x y z xz F x y z e xy'''=+-==+且当01,x y ==时，z =，所以010101001010010010(,)(,)(,,)(,,)|,|,(,,)(,,)y x z z F F z zx y F F ''∂∂=-=-=-=∂∂''也就得到01(,)|dz =.dx -12．设Ω是由平面1x y z ++=和三个坐标面围成的空间区域，则23()dxdydz x y z Ω++=⎰⎰⎰．【详解】注意在积分区域内，三个变量,,x y z 具有轮换对称性，也就是dxdydz dxdydz dxdydzx y z ΩΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰11212366314()dxdydz dxdydz ()zD x y z z zdz dxdy z z dz ΩΩ++===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰13．n 阶行列式20021202002212-=-．【详解】按照第一行展开，得1111212122()()n n n n n D D D +---=+--=+，有1222()n n D D -+=+由于1226,D D ==，得11122222()n n n D D -+=+-=-．14．设二维随机变量(,)X Y 服从正态分布10110(,;,;)N ，则{}0P XY Y -<=．【详解】由于相关系数等于零，所以X ，Y 都服从正态分布，1101~(,),~(,)X N Y N ，且相互独立．则101~(,)X N -．{}{}{}{}1111101001001022222(),,P XY Y P Y X P Y X P Y X -<=-<=<->+>-<=⨯+⨯=三、解答题15．（本题满分10分）设函数1()ln()sin f x x a x bx x =+++，3()g x kx =在0x →时为等价无穷小，求常数,,a b k 的取值．【详解】当0x →时，把函数1()ln()sin f x x a x bx x =+++展开到三阶的马克劳林公式，得233332331236123()(())(())()()()()x x f x x a x o x bx x x o x a aa xb x x o x =+-+++-+=++-+++由于当0x →时，(),()f x g x 是等价无穷小，则有10023a ab a k ⎧⎪+=⎪⎪-+=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得，11123,,.a b k =-=-=-16．（本题满分10分）设函数)(x f y =在定义域I 上的导数大于零，若对任意的0x I ∈，曲线)(x f y =在点00(,())x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积恒为4，且02()f =，求()f x 的表达式．【详解】)(x f y =在点00(,())x f x 处的切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+令0y =，得000()()f x x x f x =-'曲线)(x f y =在点00(,())x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积为00000142()()(()()f x S f x x x f x =--='整理，得218y y '=，解方程，得118C x y =-，由于02()f =，得12C =所求曲线方程为84.y x=-17．（本题满分10分）设函数(,)f x y x y xy =++，曲线223:C x y xy ++=，求(,)f x y 在曲线C 上的最大方向导数．【详解】显然11,f f y x x y∂∂=+=+∂∂．(,)f x y x y xy =++在(,)x y 处的梯度()11,,f f gradf y x x y ⎛⎫∂∂==++ ⎪∂∂⎝⎭(,)f x y 在(,)x y 处的最大方向导数的方向就是梯度方向，最大值为梯度的模gradf =所以此题转化为求函数2211(,)()()F x y x y =+++在条件223:C x y xy ++=下的条件极值．用拉格朗日乘子法求解如下：令2222113(,,)()()()L x y x y x y xy λλ=++++++-解方程组22212021203()()x y F x x y F y y x x y xy λλλλ⎧'=+++=⎪⎪'=+++=⎨⎪++=⎪⎩，得几个可能的极值点()11112112,,(,),(,),(,)----，进行比较，可得，在点21,x y ==-或12,x y =-=处，方向导数取到最大，3.=18．（本题满分10分）（1）设函数(),()u x v x 都可导，利用导数定义证明(()())()()()()u x v x u x v x u x v x '''=+；（2）设函数12(),(),,()n u x u x u x 都可导，12()()()()n f x u x u x u x = ，写出()f x 的求导公式．【详解】（1）证明：设)()(x v x u y =)()()()(x v x u x x v x x u y -++=∆∆∆()()()()()()()()u x x v x x u x v x x u x v x x u x v x =+∆+∆-+∆++∆-vx u x x uv ∆∆∆)()(++=xu x u x x v x u x y ∆∆∆∆∆∆∆)()(++=由导数的定义和可导与连续的关系00'limlim[()()]'()()()'()x x y u uy v x x u x u x v x u x v x x x x∆→∆→∆∆∆==+∆+=+∆∆∆（2）12()()()()n f x u x u x u x = 1121212()()()()()()()()()()n n nf x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u ''''=+++ 19．（本题满分10分）已知曲线L的方程为z z x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，起点为0()A ，终点为00(,)B ，计算曲线积分2222()()()Ly z dx z x y dy x y dz ++-+++⎰．【详解】曲线L的参数方程为cos ,cos x ty t z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩起点0()A 对应2t π=，终点为00(,)B 对应2t π=-．22222222()()()cos )(cos )))(cos )cos Ly z dx z x y dy x y dzt t d t t d t t d tππ-++-+++=+++-⎰⎰2202sin .tdt ππ==20．（本题满分11分）设向量组123,,ααα为向量空间3R 的一组基，113223332221,,()k k βααβαβαα=+==++．（1）证明：向量组123,,βββ为向量空间3R 的一组基；（2）当k 为何值时，存在非零向量ξ，使得ξ在基123,,ααα和基123,,βββ下的坐标相同，并求出所有的非零向量.ξ【详解】（1）()12312321020201(,,),,k k βββααα⎛⎫⎪=⎪ ⎪+⎝⎭，因为201210224021201kk k k ==≠++，且123,,ααα显然线性无关，所以123,,βββ是线性无关的，当然是向量空间3R 的一组基．（2）设非零向量ξ在两组基下的坐标都是123(,,)x x x ，则由条件112233112233x x x x x x αααβββ++=++可整理得：1132231320()()x k x x k ααααα++++=，所以条件转化为线性方程组()1321320,,k k x ααααα++=存在非零解．从而系数行列式应该等于零，也就是12312310110101001002020(,,)(,,k k k k αααααα⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭由于123,,ααα显然线性无关，所以10110020k k=，也就是0k =．此时方程组化为()112121312230,,()x x x x x x ααααα⎛⎫⎪=++= ⎪ ⎪⎝⎭，由于12,αα线性无关，所以13200x x x +=⎧⎨=⎩，通解为1230x C x x C ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭，其中C 为任意常数．所以满足条件的0C C ξ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭其中C 为任意不为零的常数．21．（本题满分11分）设矩阵02313312A a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭相似于矩阵12000031B b -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．（1）求,a b 的值；（2）求可逆矩阵P ，使1P AP -为对角矩阵．【详解】（1）因为两个矩阵相似，所以有trA trB =，A B =．也就是324235a b a a b b +=+=⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩．（2）由2120050150031()()E B λλλλλλ--=-=--=--，得A，B 的特征值都为12315,λλλ===解方程组0()E A x -=，得矩阵A 的属于特征值121λλ==的线性无关的特征向量为12231001.ξξ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；解方程组50()E A x -=得矩阵A 的属于特征值35λ=的线性无关的特征向量为3111ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭令()123231101011,,P ξξξ--⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，则1100010005.P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭22．（本题满分11分）设随机变量X 的概率密度为22000ln ,(),x x f x x -⎧>=⎨≤⎩对X 进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记Y 为次数．求Y 的分布函数；（1）求Y 的概率分布；（2）求数学期望.EY 【详解】（1）X 进行独立重复的观测，得到观测值大于3的概率为313228()ln x P X dx +∞->==⎰显然Y 的可能取值为234,,,且2211117171234888648()(),,,,k k k P Y k C k k ---⎛⎫⎛⎫==⨯⨯=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（2）设22322221111()()(),()n n n n n n x S x n n xx x x x x ∞∞∞-===''''⎛⎫⎛⎫''=-====< ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑∑∑2221717116648648()()()k k n E Y kP Y k k k S -∞∞==⎛⎫⎛⎫===-== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑23．（本题满分11分）设总体X 的概率密度为1110,(;),x f x θθθ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其他其中θ为未知参数，12,,,n X X X 是来自总体的简单样本．（1）求参数θ的矩估计量；（2）求参数θ的最大似然估计量．【详解】（1）总体的数学期望为111112()()E X xdx θθθ==+-⎰令()E X X =，解得参数θ的矩估计量：21ˆX θ=-．（2）似然函数为12121110,,,,()(,,,;),n nn x x x L x x x θθθ⎧≤≤⎪-=⎨⎪⎩其他显然()L θ是关于θ的单调递增函数，为了使似然函数达到最大，只要使θ尽可能大就可以，所以参数θ的最大似然估计量为12ˆmin(,,,).nx x x θ=--..--2016年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选前的字母填在答题纸指定位置上。
2015年考研数学一真题与答案解析
2021 年全国硕士研究生入学统一考试数学〔一〕试题一、选择题：18小题，每题4分，共32分。
以下每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上。
(1)设函数f(x)在,内连续，其中二阶导数f(x)的图形如下列图，那么曲线yf(x)的拐点的个数为()(A)0(B)1(C)2(D)3【答案】〔C〕【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。
因此，由f(x)的图形可得，曲线yf(x)存在两个拐点.应选〔C〕.(2)设112xxye(x)e是二阶常系数非齐次线性微分方程23xyaybyce的一个特解，那么()(A)a3,b2,c1(B)a3,b2,c1(C)a3,b2,c1(D)a3,b2,c1【答案】〔A〕【分析】此题考察二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和构造来求解，也就是下面演示的解法.【解析】由题意可知，122xe、13xe为二阶常系数齐次微分方程yayby0的解，所以2,1为特征方程20rarb的根，从而a(12)3，b122，从而原方程变为x y3y2yce，再将特解xyxe代入得c1.应选〔A〕(3)假设级数a条件收敛，那么x3与x3依次为幂级数nn na(x1)的()nn1n1(A)收敛点，收敛点(B)收敛点，发散点(C)发散点，收敛点(D)发散点，发散点【答案】〔B〕【分析】此题考察幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质。
【解析】因为a条件收敛，即x2为幂级数nna(x1)的条件收敛点，所以nna(x1)nn1n1n1的收敛半径为1，收敛区间为(0,2)。
而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故nna(x1)的收nn1敛区间还是(0,2)。
因而x3与x3依次为幂级数nna(x1)的收敛点，发散点.应选〔B〕。
2015考研数学(一)14年真题详解及解题技巧
考生注意事项 考生必须严格遵守各项考场规则 考生在考试开考 分钟后不得入场 交卷出场时间不得早于考试结束前 分钟 交卷结束后不得再进考场续考也不得在考场附近逗留或交谈 答题前应按准考证上的有关内容填写答题纸上的 考生姓名 报考单位 考生编 号 等信息 答案必须按要求写在答题纸上 书写部分必须用 蓝 黑色字迹钢笔圆珠笔或签字笔在答题纸上作答字迹要清楚 考试结束后将答题纸一并装入原试卷袋中试卷交给监考人员
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2015年考研数学一真题及答案(完整版)
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题2015年考研数学一真题及答案（完整版）一、选择题:1 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】（C ）【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。
因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选（C ）. (2)设211()23=+-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则 ( )(A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c【答案】（A ）【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.【解析】由题意可知，212x e 、13xe -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,12015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题为特征方程20r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =⨯=，从而原方程变为32x y y y ce '''-+=，再将特解x y xe =代入得1c =-.故选（A ）(3) 若级数1∞=∑n n a条件收敛，则 3=x 与3=x 依次为幂级数1(1)∞=-∑nnn na x 的 ( )(A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 【答案】（B ）【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质. 【解析】因为1nn a∞=∑条件收敛，即2x =为幂级数1(1)nn n a x ∞=-∑的条件收敛点，所以1(1)nn n a x ∞=-∑的收敛半径为1，收敛区间为(0,2).而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故1(1)nnn na x ∞=-∑的收敛区间还是(0,2).因而3x =与3x =依次为幂级数1(1)nnn na x ∞=-∑的收敛点，发散点.故选（B ）.(4) 设D 是第一象限由曲线21xy =，41xy =与直线y x =，3y x =围成的平面区域，函数(),f x y 在D 上连续，则(),Df x y dxdy =⎰⎰ ( )(A)()13sin2142sin2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(B)()1sin 23142sin 2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(C)()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题(D)()1sin 23142sin 2cos ,sin d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰【答案】（B ）【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分 【解析】先画出D 的图形，所以(,)Df x y dxdy =⎰⎰1sin23142sin2(cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰，故选（B ）(5) 设矩阵21111214A a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，21b d d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若集合{}1,2Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件为 ( )(A) ,a d ∉Ω∉Ω (B) ,a d ∉Ω∈Ω (C) ,a d ∈Ω∉Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω 【答案】D【解析】2211111111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)A b ad a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭，由()(,)3r A r A b =<，故1a =或2a =，同时1d =或2d =。
2015~2016年考研数学(一)真题含答案详解
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (2)设211()23=+-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则( )(A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c(C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c(3) 若级数1∞=∑nn a条件收敛，则 3=x 与3=x 依次为幂级数1(1)∞=-∑n n n na x 的 ( )(A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点(4) 设D 是第一象限由曲线21xy =，41xy =与直线y x =，3y x =围成的平面区域，函数(),f x y 在D 上连续，则(),Df x y dxdy =⎰⎰ ( )(A)()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(B)()sin 23142sin 2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(C)()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r drπθπθθθθ⎰⎰(D)()34cos ,sin d f r r dr ππθθθ⎰(5) 设矩阵21111214A a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，21b d d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若集合{}1,2Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件为 ( )(A) ,a d ∉Ω∉Ω (B) ,a d ∉Ω∈Ω (C) ,a d ∈Ω∉Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω(6)设二次型()123,,f x x x 在正交变换为=x Py 下的标准形为2221232+-y y y ，其中()123,,=P e e e ，若()132,,=-Q e e e ，则()123,,f x x x 在正交变换=x Qy 下的标准形为( )(A) 2221232-+y y y(B) 2221232+-y y y(C) 2221232--y y y(D) 2221232++y y y(7) 若A,B 为任意两个随机事件，则 ( ) (A) ()()()≤P AB P A P B (B) ()()()≥P AB P A P B(C) ()()()2≤P A P B P AB (D) ()()()2≥P A P B P AB(8)设随机变量,X Y 不相关，且2,1,3===EX EY DX ，则()2+-=⎡⎤⎣⎦E X X Y ( )(A) 3- (B) 3 (C) 5- (D) 5二、填空题：9:14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 20ln cos lim_________.x xx→=(10)22sin ()d ________.1cos x x x x ππ-+=+⎰(11)若函数(,)=z z x y 由方程cos 2+++=xe xyz x x 确定，则(0,1)d ________.z=(12)设Ω是由平面1++=x y z 与三个坐标平面平面所围成的空间区域，则(23)__________.x y z dxdydz Ω++=⎰⎰⎰(13) n 阶行列式20021202___________.00220012-=-L LM M OM M L L(14)设二维随机变量(,)x y 服从正态分布(1,0;1,1,0)N ，则{0}________.P XY Y -<=三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分) 设函数()ln(1)sin =+++f x x a x bx x ，3()=g x kx ，若()fx 与()g x 在0→x 是等价无穷小，求,,a b k 的值.(16)(本题满分10分) 设函数()f x 在定义域I 上的导数大于零，若对任意的0x I ∈，由线()=y f x 在点()()0,x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积恒为4，且()02f =，求()f x 的表达式.(17)(本题满分10分) 已知函数(),=++fx y x y xy ，曲线C ：223++=x y xy ，求(),f x y 在曲线C 上的最大方向导数.(18)(本题满分 10 分)（I ）设函数()()u x ,v x 可导，利用导数定义证明u x v x u x v x u x v x '''=+[()()]()()()() （II ）设函数()()()12n u x ,u x ,,u x L 可导，n f x u x u x u x =L 12()()()()，写出()f x 的求导公式.(19)(本题满分 10 分)已知曲线L的方程为,z z x ⎧=⎪⎨=⎪⎩起点为()A，终点为()0,B ，计算曲线积分()()2222d d ()d LI y z x z x y y x y z =++-+++⎰.(20) (本题满11分)设向量组1,23,ααα内3R 的一个基，113=2+2k βαα，22=2βα，()313=++1k βαα.（I ）证明向量组1β2β3β为3R 的一个基;（II ）当k 为何值时，存在非0向量ξ在基1,23,ααα与基1β2β3β下的坐标相同，并求所有的ξ.(21) (本题满分11 分)设矩阵02313312a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A 相似于矩阵12000031b -⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭B =.(I) 求,a b 的值；（II ）求可逆矩阵P ，使1-P AP 为对角矩阵..(22) (本题满分11 分) 设随机变量X 的概率密度为()2ln 2,0,0,0.xx f x x -⎧>⎪=⎨≤⎪⎩对X 进行独立重复的观测,直到2个大于3的观测值出现的停止.记Y 为观测次数. (I)求Y 的概率分布; (II)求EY(23) (本题满分 11 分)设总体X 的概率密度为：x f x θθθ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩1,1,(,)10,其他. 其中θ为未知参数，12n x ,x ,,x L 为来自该总体的简单随机样本. (I)求θ的矩估计量. (II)求θ的最大似然估计量.答案解析（1）【答案】（C ）【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号.因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选（C ）.（2）【答案】（A ）【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.【解析】由题意可知，212x e 、13x e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,1为特征方程20r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =⨯=，从而原方程变为32x y y y ce '''-+=，再将特解xy xe =代入得1c =-.故选（A ）（3）【答案】（B ）【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质.【解析】因为1nn a∞=∑条件收敛，即2x =为幂级数1(1)nn n a x ∞=-∑的条件收敛点，所以1(1)nn n a x ∞=-∑的收敛半径为1，收敛区间为(0,2).而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故1(1)nnn na x ∞=-∑的收敛区间还是(0,2).因而x =3x =依次为幂级数1(1)n n n na x ∞=-∑的收敛点，发散点.故选（B ）.（4）【答案】（B ）【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分 【解析】先画出D 的图形，所以(,)Df x y dxdy =⎰⎰34(cos ,sin )d f r r rdr ππθθθ⎰，故选（B ） （5）【答案】(D)【解析】2211111111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)A b ad a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭，由()(,)3r A r A b =<，故1a =或2a =，同时1d =或2d =.故选（D ） （6）【答案】(A)【解析】由x Py =，故222123()2T T T f x Ax y P AP y y y y ===+-. 且200010001TP AP ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.由已知可得:100001010Q P PC ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭故有200()010001T T TQ AQ C P AP C ⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭所以222123()2T T T f x Ax y Q AQ y y y y ===-+.选（A ） （7）【答案】(C)【解析】由于,AB A AB B ⊂⊂，按概率的基本性质，我们有()()P AB P A ≤且()()P AB P B ≤，从而()()()2P A P B P AB +≤≤，选(C) .（8）【答案】(D)【解析】22[(2)](2)()()2()E X X Y E X XY X E X E XY E X +-=+-=+-2()()()()2()D X E X E X E Y E X =++⋅-23221225=++⨯-⨯=，选(D) .（9）【答案】12-【分析】此题考查型未定式极限，可直接用洛必达法则，也可以用等价无穷小替换. 【解析】方法一：2000sin ln(cos )tan 1cos lim lim lim .222x x x xx x x x x x →→→--===-方法二：2222200001ln(cos )ln(1cos 1)cos 112lim lim lim lim .2x x x x x x x x x x x x →→→→-+--====- （10）【答案】2π4【分析】此题考查定积分的计算，需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简.【解析】22202sin 2.1cos 4x x dx xdx x ππππ-⎛⎫+== ⎪+⎝⎭⎰⎰（11）【答案】dx -【分析】此题考查隐函数求导.【解析】令(,,)cos 2zF x y z e xyz x x =+++-，则(,,)1sin ,,(,,)z x y z F x y z yz x F xz F x y z e xy '''=+-==+又当0,1x y ==时1z e =，即0z =.所以(0,1)(0,1)(0,1,0)(0,1,0)1,0(0,1,0)(0,1,0)y x z z F F zz xF yF ''∂∂=-=-=-=''∂∂，因而(0,1).dzdx =-（12）【答案】14【分析】此题考查三重积分的计算，可直接计算，也可以利用轮换对称性化简后再计算. 【解析】由轮换对称性，得1(23)66zD x y z dxdydz zdxdydz zdz dxdy ΩΩ++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，其中z D 为平面z z =截空间区域Ω所得的截面，其面积为21(1)2z -.所以 112320011(23)66(1)3(2).24x y z dxdydz zdxdydz z z dz z z z dz ΩΩ++==⋅-=-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（13）【答案】122n +- 【解析】按第一行展开得1111200212022(1)2(1)220220012n n n n n D D D +----==+--=+-L L LL L221222(22)2222222n n n n D D ---=++=++=+++L 122n +=-（14）【答案】12【解析】由题设知，~(1,1),~(0,1)X N Y N ，而且X Y 、相互独立，从而{0}{(1)0}{10,0}{10,0}P XY Y P X Y P X Y P X Y -<=-<=-><+-<>11111{1}{0}{1}{0}22222P X P Y P X P Y =><+<>=⨯+⨯=. （15）【答案】,,.a b k =-=-=-11123【解析】法一：原式()3ln 1sin lim1x x a x bx xkx →+++=()()2333330236lim 1x x x x x a x o x bx x o x kx→⎛⎫⎛⎫+-+++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==()()234331236lim1x a a b a x b x x x o x kx→⎛⎫++-+-+ ⎪⎝⎭== 即10,0,123a aa b k+=-==111,,23a b k ∴=-=-=-法二：()3ln 1sin lim1x x a x bx xkx →+++=21sin cos 1lim13x ab x bx x x kx →++++==因为分子的极限为0，则1a =-()212cos sin 1lim16x b x bx x x kx→--+-+==，分子的极限为0，12b =-()022sin sin cos 13lim 16x b x b x bx xx k →----+==，13k =- 111,,23a b k ∴=-=-=-（16）【答案】f x x=-8()4. 【解析】设()f x 在点()()00,x f x 处的切线方程为：()()()000,y f x f x x x '-=-令0y =，得到()()000f x x x f x =-+'，故由题意，()()00142f x x x ⋅-=，即()()()000142f x f x f x ⋅='，可以转化为一阶微分方程，即28y y '=，可分离变量得到通解为：118x C y =-+，已知()02y =，得到12C =，因此11182x y =-+；即()84f x x =-+.（17）【答案】3【解析】因为(),f x y 沿着梯度的方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模.()()',1,',1x y f x y y f x y x =+=+，故(){},1,1gradf x y y x =++此题目转化为对函数(),g x y =在约束条件22:3C x y xy ++=下的最大值.即为条件极值问题.为了计算简单，可以转化为对()()22(,)11d x y y x =+++在约束条件22:3C x y xy ++=下的最大值.构造函数：()()()()2222,,113F x y y x x y xy λλ=++++++-()()()()222120212030x y F x x y F y y x F x y xy λλλ'⎧=+++=⎪'=+++=⎨⎪'=++-=⎩，得到()()()()12341,1,1,1,2,1,1,2M M M M ----. ()()()()12348,0,9,9d M d M d M d M====3=.（18）【解析】（I ）0()()()()[()()]limh u x h v x h u x v x u x v x h→++-'=0()()()()()()()()limh u x h v x h u x h v x u x h v x u x v x h→++-+++-=0()()()()lim ()lim ()h h v x h v x u x h u x u x h v x h h→→+-+-=++ ()()()()u x v x u x v x ''=+（II ）由题意得12()[()()()]n f x u x u x u x ''=L121212()()()()()()()()()n n n u x u x u x u x u x u x u x u x u x '''=+++L L L L（19）【答案】π2【解析】由题意假设参数方程cos cos x y z θθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，ππ:22θ→-π22π2[cos )sin 2sin cos (1sin )sin ]d θθθθθθθθ--++++⎰π222π2sin cos (1sin )sin d θθθθθθ-=+++⎰π220sin d π2θθ==（20）【答案】 【解析】(I)证明：()()()()12313213123,,2+2,2,+1201,,020201k k k k βββαααααααα=+⎛⎫⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭20121224021201k k k k ==≠++ 故123,,βββ为3R 的一个基. （II ）由题意知，112233112233,0k k k k k k ξβββαααξ=++=++≠即()()()1112223330,0,1,2,3i k k k k i βαβαβα-+-+-=≠=()()()()()()()11312223133113223132+22++10+2+0k k k k k k k k k k ααααααααααααα-+-+-=++=有非零解即13213+2,,+0k k ααααα=即101010020k k=，得k=0 11223121300,0k k k k k k ααα++=∴=+=11131,0k k k ξαα=-≠（21）【解析】(I) ~()()311A B tr A tr B a b ⇒=⇒+=++23120133001231--=⇒--=-A B b a14235-=-=⎧⎧∴⇒⎨⎨-==⎩⎩a b a a b b (II)023100123133010123123001123A E C ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--=+--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭()123112*********---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭CC 的特征值1230,4λλλ===0λ=时(0)0-=E C x 的基础解系为12(2,1,0);(3,0,1)ξξ==-T T5λ=时(4)0-=E C x 的基础解系为3(1,1,1)ξ=--TA 的特征值1:1,1,5λλ=+A C令123231(,,)101011ξξξ--⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭P ，1115-⎛⎫ ⎪∴= ⎪ ⎪⎝⎭P AP（22）【解析】(I) 记p 为观测值大于3的概率，则313228()ln x p P X dx +∞-=>==⎰， 从而12221171188n n n P Y n C p p p n ---==-=-{}()()()()，23,,n =L 为Y 的概率分布； (II) 法一:分解法:将随机变量Y 分解成=Y M N +两个过程,其中M 表示从1到()n n k <次试验观测值大于3首次发生，N 表示从1n +次到第k 试验观测值大于3首次发生.则M Ge n p ~(,)，N Ge k n p -(,):(注：Ge 表示几何分布)所以11221618E Y E M N E M E N p p p =+=+=+===()()()(). 法二:直接计算22212221777711288888n n n n n n n E Y n P Y n n n n n ∞∞∞---====⋅==⋅-=⋅--+∑∑∑(){}()()()()[()()()]记212111()()n n S x n n xx ∞-==⋅--<<∑，则2113222211n n n n n n S x n n xn xx x ∞∞∞--==='''=⋅-=⋅==-∑∑∑()()()()()，12213222111()()()()()n n n n xS x n n xx n n x xS x x ∞∞--===⋅-=⋅-==-∑∑，2222313222111()()()()()nn n n x S x n n x xn n xx S x x ∞∞-===⋅-=⋅-==-∑∑，所以212332422211()()()()()x x S x S x S x S x x x-+=-+==--，从而7168E Y S ==()().（23）【解析】(I)11112()(;)E X xf x dx x dx θθθθ+∞-∞+==⋅=-⎰⎰， 令()E X X =，即12X θ+=，解得$1121ni i X X X n θ==-=∑,为θ的矩估计量；(II) 似然函数11110,()(;),n ni i i x L f x θθθθ=⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪==-⎨⎝⎭⎪⎩∏其他， 当1i x θ≤≤时，11111()()nni L θθθ===--∏，则1ln ()ln()L n θθ=--. 从而dln d 1L nθθθ=-()，关于θ单调增加， 所以$12min nX X X θ={,,,}L 为θ的最大似然估计量. 2016年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若反常积分()11badx x x +∞+⎰收敛，则（ ）()()()()11111111A a bB a bC a a bD a a b <>>><+>>+>且且且且（2）已知函数()()21,1ln ,1x x f x x x -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则()f x 的一个原函数是（ ）()()()()()()()()()()()()()()()()22221,11,1ln 1,1ln 11,11,11,1ln 11,1ln 11,1x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x ⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨-≥+-≥⎪⎪⎩⎩⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨++≥-+≥⎪⎪⎩⎩（3）若()()222211y x y x =+-=++是微分方程()()y p x y q x '+=的两个解，则()q x =（ ）()()()()()()2222313111xx A x x B x x C D x x +-+-++（4）已知函数(),0111,,1,2,1x x f x x n n n n ≤⎧⎪=⎨<≤=⎪+⎩K ，则（ ） （A ）0x =是()f x 的第一类间断点 （B ）0x =是()f x 的第二类间断点 （C ）()f x 在0x =处连续但不可导 （D ）()f x 在0x =处可导 （5）设A ，B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是（ ） （A ）TA 与TB 相似 （B ）1A -与1B -相似（C ）T A A +与T B B +相似 （D ）1A A -+与1B B -+相似（6）设二次型()222123123121323,,444f x x x x x x x x x x x x =+++++，则()123,,2f x x x =在空间直角坐标下表示的二次曲面为（ ）（A ）单叶双曲面 （B ）双叶双曲面 （C ）椭球面 （C ）柱面（7）设随机变量()()0,~2>σσμN X ，记{}2σμ+≤=X P p ，则（ ）（A ）p 随着μ的增加而增加 （B ）p 随着σ的增加而增加 （C ）p 随着μ的增加而减少 （D ）p 随着σ的增加而减少（8）随机试验E 有三种两两不相容的结果321,,A A A ，且三种结果发生的概率均为31，将试验E 独立重复做2次，X 表示2次试验中结果1A 发生的次数，Y 表示2次试验中结果2A 发生的次数，则X 与Y 的相关系数为（ ）二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）()__________cos 1sin 1ln lim200=-+⎰→x dt t t t xx（10）向量场()()zk xyj i z y x z y x A ++++=,,的旋度_________=rotA（11）设函数()v u f ,可微，()y x z z ,=由方程()()y z x f x y z x ,122-=-+确定，则()_________1,0=dz（12）设函数()21arctan axxx x f +-=，且()10''=f ，则________=a （13）行列式1000100014321λλλλ--=-+____________.（14）设12,,...,n x x x 为来自总体()2,Nμσ的简单随机样本，样本均值9.5x =，参数μ的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8，则μ的置信度为0.95的双侧置信区间为______.三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）已知平面区域()(),221cos ,22D r r ππθθθ⎧⎫=≤≤+-≤≤⎨⎬⎩⎭，计算二重积分Dxdxdy ⎰⎰.（16）（本题满分10分）设函数()y x 满足方程'''20,y y ky ++=其中01k <<.()I 证明：反常积分0()y x dx +∞⎰收敛；()II 若'(0)1,(0)1,y y ==求0()y x dx +∞⎰的值.（17）（本题满分10分）设函数(,)f x y 满足2(,)(21),x y f x y x e x-∂=+∂且(0,)1,tf y y L =+是从点(0,0)到点(1,)t 的光滑曲线，计算曲线积分(,)(,)()tL f x y f x y I t dx dy x y∂∂=+∂∂⎰，并求()I t 的最小值（18）设有界区域Ω由平面222=++z y x 与三个坐标平面围成，∑为Ω整个表面的外侧，计算曲面积分()zdxdyydzdx dydz xI 3212+-+=⎰⎰∑（19）（本题满分10分）已知函数()f x 可导，且(0)1f =，10'()2f x <<，设数列{}n x 满足1()(1,2...)n n x f x n +==，证明：（I ）级数11()n n n xx ∞+=-∑绝对收敛；（II ）lim n n x →∞存在，且0lim 2n n x →∞<<.（20）（本题满分11分）设矩阵1112221,11112 A a B aa a--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭当a为何值时，方程AX B=无解、有唯一解、有无穷多解？（21）（本题满分11分）已知矩阵011230000A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭（I ）求99A（II ）设3阶矩阵23(,,)B ααα=满足2B BA =，记100123(,,)B βββ=将123,,βββ分别表示为123,,ααα的线性组合。
205年考研数一真题及答案解析(完整版)
2015年考研数学（一）试题解析一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】（C ）【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号.因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选（C ）.(2)设211()23=+-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则( )(A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c【答案】（A ）【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.【解析】由题意可知，212x e 、13x e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,1为特征方程20r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =⨯=，从而原方程变为32x y y y ce '''-+=，再将特解x y xe =代入得1c =-.故选（A ）(3) 若级数1∞=∑n n a 条件收敛，则 3=x 与3=x 依次为幂级数1(1)∞=-∑n n n na x 的( )(A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 【答案】（B ）【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质.【解析】因为1n n a ∞=∑条件收敛，即2x =为幂级数1(1)n n n a x ∞=-∑的条件收敛点，所以1(1)nn n a x ∞=-∑的收敛半径为1，收敛区间为(0,2).而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故1(1)nn n na x ∞=-∑的收敛区间还是(0,2).因而3x =与3x =依次为幂级数1(1)n n n na x ∞=-∑的收敛点，发散点.故选（B ）.(4) 设D 是第一象限由曲线21xy =，41xy =与直线y x =，3y x =围成的平面区域，函数(),f x y 在D 上连续，则(),Df x y dxdy =⎰⎰ ( )(A) ()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(B)()1sin 23142sin 2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(C) ()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰(D) ()1sin 23142sin 2cos ,sin d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰【答案】（B ）【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分 【解析】先画出D 的图形，所以(,)Df x y dxdy =⎰⎰1sin 23142sin 2(cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰，故选（B ）xyo(5) 设矩阵21111214A a a ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，21b d d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若集合{}1,2Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件为 ( )(A) ,a d ∉Ω∉Ω (B) ,a d ∉Ω∈Ω (C) ,a d ∈Ω∉Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω【答案】(D)【解析】2211111111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)A b ad a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭，由()(,)3r A r A b =<，故1a =或2a =，同时1d =或2d =.故选（D ）(6)设二次型()123,,f x x x 在正交变换为=x Py 下的标准形为2221232+-y y y ，其中()123,,=P e e e ，若()132,,=-Q e e e ，则()123,,f x x x 在正交变换=x Qy 下的标准形为( )(A) 2221232-+y y y(B) 2221232+-y y y(C) 2221232--y y y(D) 2221232++y y y【答案】(A)【解析】由x Py =，故222123()2T T T f x Ax y P AP y y y y ===+-. 且200010001TP AP ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.由已知可得:100001010Q P PC ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭故有200()010001T T TQ AQ C P AP C ⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭所以222123()2T T T f x Ax y Q AQ y y y y ===-+.选（A ） (7) 若A,B 为任意两个随机事件，则 ( )(A) ()()()≤P AB P A P B (B) ()()()≥P AB P A P B(C) ()()()2≤P A P B P AB (D) ()()()2≥P A P B P AB【答案】(C)【解析】由于,AB A AB B ⊂⊂，按概率的基本性质，我们有()()P AB P A ≤且()()P AB P B ≤，从而()()()()()2P A P B P AB P A P B +≤⋅≤，选(C) .(8)设随机变量,X Y 不相关，且2,1,3===EX EY DX ，则()2+-=⎡⎤⎣⎦E X X Y ( ) (A) 3- (B) 3 (C) 5- (D) 5 【答案】(D)【解析】22[(2)](2)()()2()E X X Y E X XY X E X E XY E X +-=+-=+- 23221225=++⨯-⨯=，选(D) .二、填空题：9:14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.(9) 20ln cos lim_________.x xx→= 【答案】12-【分析】此题考查0型未定式极限，可直接用洛必达法则，也可以用等价无穷小替换.【解析】方法一：2000sin ln(cos )tan 1cos lim lim lim .222x x x xx x x x x x →→→--===- 方法二：2222200001ln(cos )ln(1cos 1)cos 112lim lim lim lim .2x x x x x x x x x x x x →→→→-+--====- (10) 22sin ()d ________.1cos xx x xππ-+=+⎰【答案】2π4【分析】此题考查定积分的计算，需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简.【解析】22202sin 2.1cos 4x x dx xdx xππππ-⎛⎫+== ⎪+⎝⎭⎰⎰(11)若函数(,)=z z x y 由方程cos 2+++=x e xyz x x 确定，则(0,1)d ________.z=【答案】dx -【分析】此题考查隐函数求导.【解析】令(,,)cos 2z F x y z e xyz x x =+++-，则 又当0,1x y ==时1z e =，即0z =.所以(0,1)(0,1)(0,1,0)(0,1,0)1,0(0,1,0)(0,1,0)y x z z F F zzxF yF ''∂∂=-=-=-=''∂∂，因而(0,1).dzdx =-(12)设Ω是由平面1++=x y z 与三个坐标平面平面所围成的空间区域，则(23)__________.x y z dxdydz Ω++=⎰⎰⎰【答案】14【分析】此题考查三重积分的计算，可直接计算，也可以利用轮换对称性化简后再计算.【解析】由轮换对称性，得1(23)66zD x y z dxdydz zdxdydz zdz dxdy ΩΩ++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，其中z D 为平面z z =截空间区域Ω所得的截面，其面积为21(1)2z -.所以112320011(23)66(1)3(2).24x y z dxdydz zdxdydz z z dz z z z dz ΩΩ++==⋅-=-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (13) n 阶行列式20021202___________.00220012-=-L LM M OM M L L【答案】122n +-【解析】按第一行展开得(14)设二维随机变量(,)x y 服从正态分布(1,0;1,1,0)N ，则{0}________.P XY Y -<=【答案】 12【解析】由题设知，~(1,1),~(0,1)X N Y N ，而且X Y 、相互独立，从而 11111{1}{0}{1}{0}22222P X P Y P X P Y =><+<>=⨯+⨯=.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分) 设函数()ln(1)sin =+++f x x a x bx x ，3()=g x kx ，若()f x 与()g x 在0→x 是等价无穷小，求,,a b k 的值.【答案】,,.a b k =-=-=-11123【解析】法一：原式()3ln 1sin lim1x x a x bx xkx→+++= 即10,0,123a aa b k+=-== 法二：()3ln 1sin lim1x x a x bx xkx→+++= 因为分子的极限为0，则1a =-()212cos sin 1lim16x b x bx x x kx→--+-+==，分子的极限为0，12b =-()022sin sin cos 13lim 16x b x b x bx xx k →----+==，13k =- (16)(本题满分10分) 设函数()f x 在定义域I 上的导数大于零，若对任意的0x I ∈，由线()=y f x 在点()()00,x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积恒为4，且()02f =，求()f x 的表达式.【答案】f x x=-8()4. 【解析】设()f x 在点()()00,x f x 处的切线方程为：()()()000,y f x f x x x '-=-令0y =，得到()()000f x x x f x =-+'，故由题意，()()00142f x x x ⋅-=，即()()()000142f x f x f x ⋅='，可以转化为一阶微分方程，即28y y '=，可分离变量得到通解为：118x C y =-+，已知()02y =，得到12C =，因此11182x y =-+； 即()84f x x =-+.(17)(本题满分10分)已知函数(),=++f x y x y xy ，曲线C ：223++=x y xy ，求(),f x y 在曲线C 上的最大方向导数.【答案】3【解析】因为(),f x y 沿着梯度的方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模.()()',1,',1x y f x y y f x y x =+=+，故(){},1,1gradf x y y x =++，模为()()2211y x +++，此题目转化为对函数()()()22,11g x y y x =+++在约束条件22:3C x y xy ++=下的最大值.即为条件极值问题.为了计算简单，可以转化为对()()22(,)11d x y y x =+++在约束条件22:3C x y xy ++=下的最大值.构造函数：()()()()2222,,113F x y y x x y xy λλ=++++++-()()()()222120212030x y F x x y F y y x F x y xy λλλ'⎧=+++=⎪'=+++=⎨⎪'=++-=⎩，得到()()()()12341,1,1,1,2,1,1,2M M M M ----. 所以最大值为93=. (18)(本题满分 10 分)（I ）设函数()()u x ,v x 可导，利用导数定义证明u x v x u x v x u x v x '''=+[()()]()()()() （II ）设函数()()()12n u x ,u x ,,u x L 可导，n f x u x u x u x =L 12()()()()，写出()f x 的求导公式.【解析】（I ）0()()()()[()()]limh u x h v x h u x v x u x v x h→++-'=（II ）由题意得(19)(本题满分 10 分)已知曲线L 的方程为222,,z x y z x ⎧=--⎪⎨=⎪⎩起点为()0,2,0A ，终点为()0,2,0-B ，计算曲线积分()()2222d d ()d LI y z x z x y y x y z =++-+++⎰.【答案】2π2【解析】由题意假设参数方程cos 2sin cos x y z θθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，ππ:22θ→-(20) (本题满11分)设向量组1,23,ααα内3R 的一个基，113=2+2k βαα，22=2βα，()313=++1k βαα.（I ）证明向量组1β2β3β为3R 的一个基;（II ）当k 为何值时，存在非0向量ξ在基1,23,ααα与基1β2β3β下的坐标相同，并求所有的ξ.【答案】【解析】(I)证明： 故123,,βββ为3R 的一个基.（II ）由题意知，112233112233,0k k k k k k ξβββαααξ=++=++≠即()()()1112223330,0,1,2,3i k k k k i βαβαβα-+-+-=≠=即13213+2,,+0k k ααααα=即10110020k k=，得k=0(21) (本题满分11 分)设矩阵02313312a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A 相似于矩阵12000031b -⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭B =. (I) 求,a b 的值；（II ）求可逆矩阵P ，使1-P AP 为对角矩阵.. 【解析】(I) ~()()311A B tr A tr B a b ⇒=⇒+=++(II)023100123133010123123001123A E C ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=--=+--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭C 的特征值1230,4λλλ===0λ=时(0)0-=E C x 的基础解系为12(2,1,0);(3,0,1)ξξ==-T T 5λ=时(4)0-=E C x 的基础解系为3(1,1,1)ξ=--T A 的特征值1:1,1,5λλ=+A C令123231(,,)101011ξξξ--⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭P ， (22) (本题满分11 分) 设随机变量X 的概率密度为()2ln 2,0,0,0.xx f x x -⎧>⎪=⎨≤⎪⎩对X 进行独立重复的观测,直到2个大于3的观测值出现的停止.记Y 为观测次数.(I)求Y 的概率分布; (II)求EY【解析】(I) 记p 为观测值大于3的概率，则313228()ln x p P X dx +∞-=>==⎰，从而12221171188n n n P Y n C p p p n ---==-=-{}()()()()，23,,n =L 为Y 的概率分布； (II) 法一:分解法:将随机变量Y 分解成=Y M N +两个过程,其中M 表示从1到()n n k <次试验观测值大于3首次发生，N 表示从1n +次到第k 试验观测值大于3首次发生.则M Ge n p ~(,)，N Ge k n p -(,):(注：Ge 表示几何分布)所以11221618E Y E M N E M E N p p p =+=+=+===()()()(). 法二:直接计算22212221777711288888n n n n n n n E Y n P Y n n n n n ∞∞∞---====⋅==⋅-=⋅--+∑∑∑(){}()()()()[()()()]记212111()()n n S x n n x x ∞-==⋅--<<∑，则2113222211n n n n n n S x n n xn xx x ∞∞∞--==='''=⋅-=⋅==-∑∑∑()()()()()， 12213222111()()()()()n n n n xS x n n xx n n x xS x x ∞∞--===⋅-=⋅-==-∑∑， 2222313222111()()()()()nn n n x S x n n x xn n xx S x x ∞∞-===⋅-=⋅-==-∑∑， 所以212332422211()()()()()x x S x S x S x S x x x-+=-+==--，从而7168E Y S ==()().(23) (本题满分 11 分)设总体X 的概率密度为：其中θ为未知参数，12n x ,x ,,x L 为来自该总体的简单随机样本. (I)求θ的矩估计量.(II)求θ的最大似然估计量.【解析】(I)11112()(;)E X xf x dx x dx θθθθ+∞-∞+==⋅=-⎰⎰， 令()E X X =，即12X θ+=，解得$1121ni i X X X n θ==-=∑,为θ的矩估计量；(II) 似然函数11110,()(;),nni i i x L f x θθθθ=⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪==-⎨⎝⎭⎪⎩∏其他， 当1i x θ≤≤时，11111()()nni L θθθ===--∏，则1ln ()ln()L n θθ=--. 从而dln d 1L nθθθ=-()，关于θ单调增加， 所以$12min nX X X θ={,,,}L 为θ的最大似然估计量. 文档内容由经济学金融硕士考研金程考研网 整理发布。
2015年考研数学一真题与解析
2015年考研数学一真题一、选择题 1 — 8小题•每小题4分，共32分.1 •设函数f(X )在(」：，•：：)上连续，其二阶导数 「(X )的图形如右 图所示，则曲线 、二f(x)在(」：，•：：)的拐点个数为(A )0( B )1( C ) 2( D )3【详解】对于连续函数的曲线而言，拐点处的二阶导数等于零或者不存在•从图上可以看出有两个二阶导 数等于零的点，以及一个二阶导数不存在的点 X 二0 •但对于这三个点，左边的二阶导数等于零的点的两侧二阶导数都是正的，所以对应的点不是拐点•而另外两个点的两侧二阶导数是异号的，对应的点才是拐 点，所以应该选(C )11 2.设ye 2x (x )e x 是二阶常系数非齐次线性微分方程\ ay ： by = ce x 的一个特解，则23(A ) a = -3, b = 2, c = -1 (B ) a = 3, b = 2,c = -1 (C ) a - -3, b = 2, c = 1(D ) a= 3,b = 2,c = 1【详解】线性微分方程的特征方程为 r 2 ar b = 0 ,由特解可知r, =2 —定是特征方程的一个实根.如 果r 2 =1不是特征方程的实根，则对应于 f (x)二ce x 的特解的形式应该为 Q(x)e x ，其中Q(x)应该是 个零次多项式，即常数，与条件不符，所以r 2 -1也是特征方程的另外一个实根，这样由韦达定理可得a =-(2 1^ -3,b = 2 1-2，同时y* =xe x 是原来方程的一个解，代入可得c = -1应该选(A )□03 •若级数a a n 条件收敛，则nd(0,2)，显然 x -3 ,x =3依次为收敛点、发散点，应该选(B )4 .设D 是第一象限中由曲线 2xy =1,4xy = 1与直线y = x, y 二.3x 所围成的平面区域，函数f (x, y)在QOx = 3,x 二3依次为级数7 na n (x-1)n 的n T(A)收敛点，收敛点 (E)收敛点，发散点 (C)发散点，收敛点(D)发散点，发散点cd【详解】注意条件级数 a a n 条件收敛等价于幕级数nACO' a n x n 在x 二1处条件收敛，也就是这个幕级数的 n d□0-1，所以a na n (x-1)n 的收敛半径n=1RJmna n (n 1)a n 1二1，绝对收敛域为立，当然应该选(D ).Q= ei ，-e 3,e 2，则 f(X 1 ,x ?, x 3)在 x = Qy 下的标准形为222(A) 2y 1 - y 2y32 丄 22(B) 2 y 1 y 2 一 y 31 1 1 1、1 1 11 、1 1 1 1 、 12 a d T 0 1 a-1 d -1 T 0 1 a-1 d-1 订 4 2 adJ1° 3 a 2 -1d 2T 」1° 0 (a-1)(a- 2)(d_1)(d_ 2 ”【详解】对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换: B =(A,b)二 (a _1)(a _2) = 0,(d _ 1)(d _ 2) = 0同时成 方程组无穷解的充分必要条件是 r(A)二r(A, b) 3，也就是 D 上连续，则 f(x,y)dxdy=() DJi(A) 3dr sin ^ f(rcoB,rsin^)rdr (B)3dr ~4 2sin 2 1si ；2r f(rcos ,rsinv)rdr2 sin 2r Tt1:dr 甲 f(rcos ,rsin 日)dr ■4 2^n2 -d【详解】积分区域如图所示，(C) (D) 「3 dr41；sin 2 r 1 ■'2sin 2 71f (r cos ,rsinv )dr化成极坐标方程: 4 xy =1 = 也就是D :2r 2sin v cosv 4r 2 sin v cos" JI < —3=1 ==1 =< /sin 二JT1_-_ 1Jsin 2B1___________ —2 sin 2=—r2 sin 2r所以.1.1 f(x, y)dxdy 二 3 dr.響2二 f (r cosr, rsinv)rdr ，所以应该选(B )•"1 1 1、『1、 5.设矩阵A =1 2 a ,b = dJ 42a丿2 2>Ax 二b 有无穷多解的充分必要(A )a",dF(B)1, d - 'J6 .设二次型 f (洛，x 2, x 3)在正交变换 x 二Py 下的标准形为2y" yl~ y 3，其中P 丸耳叵鸟，若D4 2sin 2,若集合门-「1,2，则线性方程组 条件是(A ) P(AB)辽 P(A)P(B)(B ) P(AB) _ P(A)P(B)(C) P(AB) J (A )P(B)(D) P(AB)_P(A )P(B)【详解】P(A) _ P(AB), P(B) _ P(AB),所以 P(AB) 一出…旦故选择ln(cosx) 9. lim 2—x x 2 3【详解】只要注意sinx为奇函数，在对称区间上积分为零,1 + cosx2 2【详解】Q f 二 x T Ax c2 2 22 y i- y 2 - y 3（2=y T PAPy (1 0 0、n 0 0、[1 00 '0 1 =P0 1,Q T= 0 0 -1 <0-1 °」1° -1 °丿1 °」(D )—e i , _e 3 ,e 2 ~ ei , e2,e3P TTy小 22 22屮目2 y 3广1 0、0 0、广10 0、广2广1 0、z2所以Q T AQ = 0 0 -1 P T AP0 0 1 = 0 0 -1 10 0 1=-11° 1 °」<° -1 °」<° 1 °」k一1」<° -1 °>故选择（A ）.7.若A,B 为任意两个随机事件，则（)二 y&设随机变量X,Y 不相关,且 EX = 2,EY =1, DX =3，则 E(X(X Y - 2))(A) -3(B)(C )-5(D) 5【详解】E(X(X Y -2))-2 EX = 5故应该选择（D ）. 二、填空题（本题共 6小题,每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）C ).I 详解】l x m o 常x 102 x10.2二sinx-2 1 cosx11.若函数 z=z(x, y)是由方程 e z • xyz x • cosx = 2 确定，则 dz |(o,n :- 【详解】设 F (x, y, z^ e z xyz x cosx - 2，则zF x (x, y,z) =yz 1 -sinx,F y (x, y,z) = xz,F z (x, y,z) =e xy也就得到 dz |(o ,1)=_dx. 12 .设i ］是由平面x y1和三个坐标面围成的空间区域，则iii(x 2y 3z)dxdydz = _______________ . Q【详解】注意在积分区域内，三个变量 x, y,z 具有轮换对称性，也就是111 xdxdydz 二 ydxdydz 二 zdxdydz Q Q Q1 1 21JJJ (x + 2y+ 3z)dxdydz = 6川zdxdydz = 6J zdzjjdxdy= 3J z(1 -z) dz=-五五D ；42 0III 0 2-1 2III 0 213. n 阶行列式+ ++*=III 2 20 0 III -1 2【详解】按照第- 「行展开， 得D n = 2D n 」+ (- 1)n *2(-1)n 」= 2D n 」+2，有 D n + 2 = 2( % j + 2)由于D^2,D 2=6 , 得 D n =2 2 (Dr +2)_2 = 2n * -2 . 14•设二维随机变量(X,Y)服从正态分布 N(1,0;1,1; 0)，则 P XY Y :: 0^二______________________ 【详解】由于相关系数等于零，所以 X , Y 都服从正态分布， X ~ N(1,1),Y ~ N(0,1)，且相互独立.则 X -1 ~ N(0,1).P "：XY Y ：： 0； ^P Y(X 一1)：： 0 •； = P0,X -1 0? P 〈Y 0,X 一1：：0^=丄---2 2 2 2 2三、解答题15.(本题满分10分)设函数f (x^ x a ln(V x) bxsinx , g(x)二kx 3在x — 0时为等价无穷小，所以兀2i JI Tsinx1 cosx dx 二 2【xdx 「且当x =0, y =1时,z =- 0,所以 .:z.x1( 0,1)-F 「(0,1,0) _ 1 cz F ；(0,1,0) F z (0,1,0)「, ：y (k F z (0,1,0)求常数a,b,k的取值.【详解】当X— 0时，把函数f(x)二x a ln(1 x) bxsin x展开到三阶的马克劳林公式，得2 3 .x x 3 1 3o(x 3))f(x)二x a(x o(x )) bx(x x2 3 6a 2 a 3 3=(1 a)x (-― b)x2(―)x3 o(x3)2 3由于当X-. 0时，f(x), g(x)是等价无穷小，则有1 1解得，a _ _1,b_ -一，k _ __.2 316.(本题满分10分)设函数y二f ( x)在定义域|上的导数大于零，若对任意的x0• I，曲线目二f ( x)在点(x0, f ( x0))处的切线与直线x =x°及x轴所围成区域的面积恒为4，且f(0) = 2，求f (x)的表达式.【详解】y二f(x)在点(X。
2015考研数学一真题及答案解析
的最值.
构造拉格朗日函数 F (x, y, λ) = (1 + y)2 + (1 + x)2 + λ(x 2 + y 2 + xy − 3)
∂F
令
∂∂Fx
∂y
= =
2(1 + 2(1 +
x) + 2λx + λy y) + 2λy + λx
= =
0 0 可得 (1,1), (−1,−1)
, (2,−2), (−1,2)
( D)
3 π
dθ
sin 2θ 1
f (r cosθ , r sinθ )dr
4
2sin 2θ
4
2sin 2θ
【答案】B
【解析】由 y = x 得，θ = π 4
由 y = 3x 得，θ = π 3
由 2xy = 1得， 2r2 cosθ sin=θ 1,=r
1 sin 2θ
由 4xy = 1得， 4r2 cosθ sin=θ 1,=r
(Π)
{ } = f ' (x) u1(x) ⋅[u2 (x)un (x)] '
= u1' (x) ⋅[u2 (x)un (x)] + u1(x) ⋅[u2 (x)un (x)]'
{ } = u1' (x) ⋅u2 (x)un (x) + u1(x) ⋅ u2 (x) ⋅[u3(x)un (x)] '
（A） a ∉ Ω, d ∉ Ω （B） a ∉ Ω, d ∈ Ω （C） a ∈ Ω, d ∉ Ω （D） a ∈ Ω, d ∈ Ω
【答案】D
1 1 1 1
1 1