计量地理学第四章——线性规划和多目标规划
4.2线性规划ppt课件
目录
• 线性规划简介 • 线性规划的求解方法 • 线性规划的软件实现 • 线性规划案例分析 • 线性规划的优化策略
01
线性规划简介
线性规划的定义
线性规划是数学优化技术的一种 ，它通过将问题转化为线性方程 组，并寻找满足一定约束条件的 解，以实现目标函数的最优解。
线性规划问题通常由决策变量、 约束条件和目标函数三部分组成
运输问题
总结词
运输问题是在物流和供应链管理中常见的线性规划应用，旨在优化运输成本和时 间。
详细描述
运输问题通常涉及多个起点、终点和运输方式，需要考虑运输成本、时间、容量 和路线等约束条件。通过线性规划方法，可以找到最优的运输方案，使得总运输 成本最低或运输时间最短。
投资组合优化问题
总结词
投资组合优化问题是在金融领域中常见的线性规划应用，旨 在实现风险和收益之间的平衡。
对偶问题在理论研究和实际应用中都 具有重要的意义，可以用于求解一些 特殊类型的问题，如运输问题、分配 问题等。
对偶问题具有一些特殊的性质，如对 偶变量的非负性、对偶问题的最优解 与原问题的最优解之间的关系等。
初始解的确定
初始解的确定是线性规划求解过程中的 一个重要步骤，一个好的初始解可以大
大减少迭代次数，提高求解效率。
。
决策变量是问题中需要求解的未 知数，约束条件是限制决策变量 取值的条件，目标函数是要求最
大或最小的函数。
线性规划的数学模型
线性规划的数学模型通常由一 组线性不等式和等式约束以及 一个线性目标函数组成。
线性不等式和等式约束条件可 以用来表示各种资源和限制条 件。
目标函数是决策变量的线性函 数，表示要优化的目标。
目标规划
第二节
目标规划
一、目标规划的数学模型
• 优先等级和权系数
目标等级因子Pk 是正的常数，Pk >> Pk+1 , k=1,2, …,L-1。 主次的重要程度不同，用优先等级因子Pk 来表示第k等级 目标。 同一优先等级下的目标的相对重要性，赋以不同的加权系 数w。
• 例如(优先等级)
第一个目标是实现利润最大，其优先级为P1 ； 第二个目标是充分利用设备台时，但尽量少加班，其优先 级为P2 ； 第三个目标：甲的产量不少于3，乙的产量比甲多2，优先 级为P3 。
第二节
目标规划
【例1 】某车间生产甲、乙两种产品。每种产品均需经过相同 的两道工序，所需的加工时间见下表，甲乙两种产品的价格分 别为200元/千克和 370元/千克，他们的利润分别为30元/千克 和80元/千克。Ⅰ、Ⅱ两道工序每天的最大生产能力分别为30 小时和24小时。试确定生产方案，使在一天内的产值和利润尽 可能高。
资源 设备 单位产品利润
产品
甲
4 5
乙
3 4
现有资源
24
第一节
多目标规划
解： 设 x1 、 x2 分别表示甲、乙两种产品的产量，则
可建立线规划模型如下：
Max Z= 5x1+4x2
4x1+3x2 ≤ 24 x1，x2 ≥ 0 假设： 该工厂根据市场需求或合同规定，希望尽量
扩大甲产品的生产；减少乙产品的产量。这时又 增加了二个目标，则可建立如下的模型：
式中，Max表示决策人的偏好是每个属性的值越大越好。如果对 某个属性，决策人的偏好是其值越小越好，则在该属性的前加上 负号即可；x∈RN为N维的决策变量；{f1(x), f2(x), …, fn(x)}代表 决策问题的 n个目标函数。记R={x | gi(x) ≤0, i=1, …, m, x∈RN}为 多目标规划的可行解集。
多目标规划
主办方在会议开始前对所有参会的100位代 主办方在会议开始前对所有参会的100位代 100 表旅游意向进行了调查， 表旅游意向进行了调查，充分考虑这些代表的 意愿，为主办方设计代表们合适的旅游路线， 意愿，为主办方设计代表们合适的旅游路线， 使他们在会议结束后的10 10天时间内花最少的钱 使他们在会议结束后的10天时间内花最少的钱 游尽可能多的地方。 游尽可能多的地方。 目标一：宾客参观意愿满意度尽可能高 目标一： 目标二： 目标二：宾客所花费用尽可能少 目标三： 目标三：宾客游尽可能多的景点
实例3： 实例 ：计算机公司生产计划 某计算机公司生产三种型号的笔记本电 脑A,B,C。这三种笔记本电脑需要在复杂的装 。 配线上生产，生产1台 配线上生产，生产 台A,B,C型号的笔记本电脑 型号的笔记本电脑 分别需要5,8,12小时。 小时。 分别需要 小时 公司装配线正常的生产时间是每月1700 公司装配线正常的生产时间是每月 小时。公司营业部门估计A,B,C三种笔记本电 小时。公司营业部门估计 三种笔记本电 脑的利润分别是每台1000,1440,2520元，而公 脑的利润分别是每台 元 司预测这个月生产的笔记本电脑能够全部售出。 司预测这个月生产的笔记本电脑能够全部售出。
多目标线性规划
主讲人： 主讲人：罗得文 2010 .4 .26
多目标规划是数学规划的一个分支。 多目标规划是数学规划的一个分支。 研究多于一个的目标函数在给定区域上的最优化 上的最优化。 研究多于一个的目标函数在给定区域上的最优化。又称多 多于一个的目标函数 目标最优化。 目标最优化。通常记为 MOP(multi-objective programming)。 。 在很多实际问题中，例如经济、管理、军事、科学和工程 在很多实际问题中， 例如经济、 管理、 军事、 设计等领域， 设计等领域，衡量一个方案的好坏往往难以用一个指标来 判断，而需要用多个目标来比较， 判断，而需要用多个目标来比较，而这些目标有时不甚协 甚至是矛盾的。因此有许多学者致力于这方面的研究。 调，甚至是矛盾的。因此有许多学者致力于这方面的研究。 1896年法国经济学家 V. 帕雷托最早研究不可比较目标的优 年法国经济学家 帕雷托最早研究不可比较目标的优 年法国 化问题，之后， 冯 诺伊曼 诺伊曼、 库恩、 塔克、 化问题，之后，J.冯诺伊曼、H.W.库恩、A.W.塔克、A.M. 库恩 塔克 数学家做了深入的探讨， 日夫里翁等数学家做了深入的探讨 但是尚未有一个完全 日夫里翁等数学家做了深入的探讨，但是尚未有一个完全 令人满意的定义。 令人满意的定义。
线性规划PPT课件
基解：令所为 有 0， 非求 基出 变的 (1量 .2)的 满解 足 称为基解。
基可行解与可行 足基 (1.3)： 的满 基解称为基可 对应基可行解的 为基 可， 行称 基。基 显可 然 解的数目 基解的数 C目 nm
基本最优解与最优基 满： 足(1.1) 的基可行解称为基本 优最 解，
对应m,如果 B是矩A中 阵的一 mm个 阶非奇异 (|B子 |0)矩 ,则阵 称 B是线性规 题的一个基。
基向量与非基向B量 中： 的基 列向量称为，基向 矩阵A中除B之外各列即为非，基 A中 向共 量 有nm个非基向量。
基变量与非基 基变 向P量 j量 对： 应与 的xj变 称量 为基变量；否 基则 变称 量为 。非
将文件存储并命名后，选择菜单 “Solve” 并对提示 “ DO RANGE(SENSITIVITY)ANALYSIS? ”回答“是”，即 可得到如下输出：
“资源” 剩余 为零的约束为 紧约束（有效 约束）
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1)
3360.000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
可行解 基 解
基可行解
1.4 线性规划问题的图解法
下面结合例1的求解来说明图解法步骤。
例1
max Z 4 x1 3 x2
2 x1 3 x2 24
s. t 3 x1 2 x2 26
x2
x1, x2 0
Q3(6,4)
第一步：在直角坐标系中分
别作出各种约束条件，求出
3x1+2x2=26
Q2(6,4)
B
条 件
3x1 100
x1,x2 0
l3:3x1 100 l4
l4:x10,l5:x200
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结
1.线性规划的有关概念：
①线性约束条件：
在上述问题中，不等式组是一组变量x，y 的约束条件，这组约束条件都是关于x，y的一次不等式，故又称线性约束条件．
②线性目标函数：
关于x，y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式，叫线性目标函数．
③线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
④可行解、可行域和最优解：
满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．
2.用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：
（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；
（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；
（3）在可行域内求目标函数的最优解
3.解线性规划实际问题的步骤：
（1）将数据列成表格；
（2）列出约束条件与目标函数；
（3）根据求最值方法：①画：画可行域；
②移：移与目标函数一致的平行直线；③求：求最值点坐标；④答；求最值；?
（4）验证.
4.两类主要的目标函数的几何意义:
（1）-----直线的截距；
（2）-----两点的距离或圆的半径；
（3）-----直线的斜率。
线性规划、多目标线性规划读书笔记
《多目标线性规划模型》的读书笔记一、线性规划（一）线性规划的概述线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提高经济效果是人们不可缺少的要求，而提高经济效果一般通过两种途径：一是技术方面的改进，例如改善生产工艺，使用新设备和新型原材料.二是生产组织与计划的改进，即合理安排人力物力资源.线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最好.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。
满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。
决策变量、约束条件、目标函数是线性规划的三要素.（二）线性规划问题的数学模型的一般形式：（1）列出约束条件及目标函数（2）画出约束条件所表示的可行域（3）在可行域内求目标函数的最优解及最优值一般地，假设线性规划数学模型中，有m 个约束，有n 个决策变量xj, j=1,2…,n ，目标函数的变量系数用cj 表示, cj 称为价值系数。
约束条件的变量系数用aij 表示，aij 称为工艺系数。
约束条件右端的常数用bi 表示，bi 称为资源限量。
则线性规划数学模型的一般表达式可写成为了书写方便，上式也可写成：在实际中一般xj ≥0,但有时xj ≤0或xj 无符号限制。
关于上述模型有两点需要加以说明。
第一任何一个实际问题，严格的说都是非线性的。
那么，是问题的什么特性能容许我们做出线性性质的假定。
这一点是建立模型时应当明确的。
第二，在有些模型中还要求决策变量取整数值，在线性规划的范围内来处理这一问题，通常是将连续最优解通过四舍五入取整。
当变量的最优值都比较大时，这种做法可行。
要想得到精确的112211112211211222221122m ax (m in )(,)(,)(,)0,1,2,,n n n n n n m m m n n m j Z c x c x c x a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b x j n=++++++≤=≥⎧⎪+++≤=≥⎪⎪⎨⎪+++≤=≥⎪≥=⎪⎩或或或11m ax (m in )(,)1,2,,0,1,2,,n j j j n ij j i j j Z c x a x b i n x j n ===⎧≤=≥=⎪⎨⎪≥=⎩∑∑或整数最优解，则需应用整数规划的解法。
§4线性规划方法
东部的江苏、上海、浙江三省市的 Z 值在 0.05 的显著性水平下显著，天津的 Z 值在 0.1 的显著性水平下显著。而东部上海、 江浙等发达省市趋于为一些相邻经济发展 水平相对较高的省份所包围，东部发达地 区的空间集聚分布特征也显现出来。
以（Wz,z）为坐标，进一步绘制Moran散点图
可以发现，多数省份位于第一和第三象限内，为正
zi ( xi x )
z T [ z1 , z 2 ,, z n ]
z j (x j x)
则全局Moran指数I的计算公式也可以进一步 写成：
n I S0
w
i 1 j 1
n
n
ij
( xi x )(x j x )
i
(x
i 1
n
x)
2
n S0
w
2 ( x x ) i i j
可进一步写成
I i
nzi wij z j
j
z z
T
z i wij z j
j
式中：其中 zi 和 z j 是经过标准差标准化的观测值。
局部Moran指数检验的标准化统计量为：
Z (I i ) I i E(I i ) VAR( I i )
2002
0.5013
4.5326
0.0000
从表中可以看出，在1998-2002年期间，中 国大陆 31 个省份人均 GDP 的全局 Moran 指数均 为正值；在正态分布假设之上，对 Moran 指数 检验的结果也高度显著。这就是说，在 19982002年期间，中国大陆31个省份人均 GDP存在 着显著的、正的空间自相关，也就是说各省份 人均GDP水平的空间分布并非表现出完全的随 机性，而是表现出相似值之间的空间集聚，其 空间联系的特征是：较高人均 GDP水平的省份 相对地趋于和较高人均 GDP水平的省份相邻， 或者较低人均GDP水平的省份相对地趋于和较 低人均GDP水平的省份相邻。
线性规划讲义
线性规划讲义标题：线性规划讲义引言概述：线性规划是一种数学优化技术，用于在给定约束条件下最大化或者最小化线性目标函数。
它在各种领域中都有广泛的应用，如生产计划、资源分配、运输问题等。
本文将详细介绍线性规划的基本概念、解题方法以及实际应用。
一、线性规划的基本概念1.1 线性规划的定义：线性规划是一种数学方法，用于寻觅一个线性函数的最大值或者最小值，同时满足一组线性等式或者不等式的约束条件。
1.2 线性规划的基本要素：线性规划包括目标函数、约束条件和决策变量三个基本要素。
目标函数用于描述要最大化或者最小化的目标，约束条件描述了问题的限制条件，决策变量是需要确定的未知数。
1.3 线性规划的标准形式：线性规划问题通常被转化为标准形式，即最小化目标函数，同时满足一组线性等式和不等式约束条件。
二、线性规划的解题方法2.1 图形法：图形法是线性规划的基本解法之一，通过在坐标系中画出约束条件和目标函数的等高线图，找到最优解的方法。
2.2 单纯形法：单纯形法是一种高效的线性规划求解算法，通过逐步挪移顶点，找到最优解的方法。
2.3 对偶理论：对偶理论是线性规划的重要理论基础，通过对原问题的对偶问题进行求解，可以得到原问题的最优解。
三、线性规划的应用3.1 生产计划：线性规划可以用于制定最优的生产计划，以最大化利润或者最小化成本。
3.2 资源分配：线性规划可以匡助企业合理分配资源，以达到最优的效益。
3.3 运输问题：线性规划可以解决运输问题，如货物运输路线的最优规划和运输成本的最小化。
四、线性规划的工具4.1 MATLAB：MATLAB是一种常用的数学建模工具，可以用于解决线性规划问题。
4.2 Excel：Excel也可以用于线性规划问题的建模和求解，通过插件或者函数实现。
4.3 Gurobi：Gurobi是一种专业的线性规划求解器，可以高效地解决大规模线性规划问题。
五、线性规划的发展趋势5.1 混合整数线性规划：混合整数线性规划是线性规划的扩展，将决策变量限制为整数，适合于更多实际问题。
第1节多目标规划问题
第1节多目标规划问题第1节多目标规划问题一、线性规划的局限性第一,线性规划是在一组线性约束条件下,寻求某一项目标(如产量、利润或成本等)的最优值。
而实际问题中往往要考虑多个目标的决策问题。
第二,线性规划最优解存在的前提条件是可行域为非空集,否则,线性规划无解。
然而实际问题中,有时可能出现资源条件满足不了管理目标要求的情况,此时,仅做出无解的结论是没有意义的。
现实中,也有可能各个目标相互矛盾,根本找不出一个全部目标都满足的解,但是在决策时,也必须找出一个满意的解。
第三,线性规划问题中的约束条件是不分主次、同等对待的,是一律要满足的“硬约束”,而在实际问题中,多个目标和多个约束条件并不一定是同等重要的,而是有轻重缓急和主次之分;有近期目标,也有远期目标;有定量的,也有定性的;有互相补充的,也有互相对立的,对这样复杂的决策问题,线性规划方法就无能为力了。
第四,线性规划的最优解可以说是绝对意义的最优,但很多实际情况只需(或只能)找出满意解。
上述原因限制了线性规划的应用范围。
目标规划就是在解决以上问题的研究中应运而生,它能更确切地描述和解决经济管理中的许多实际问题。
二、多目标规划的提出[例4—1]对于例1—1的生产计划问题,问如何安排甲、乙产品的产量,使企业利润为最大?解设生产甲产品的产量为x1,乙产品的产量为x2,该问题的线性规划模型可以表示为: maxZ=3x1+5x2s.t.假设该厂根据市场需求或合同规定,希望尽量扩大产品甲的生产量,减少产品乙的生产,这时又增加了两个目标,则可建立如下的模型:maxZ1=3x1+5x2maxZ2=x1minZ3=x2s.t.容易看出,这是一个具有三个目标的线性规划模型,这些目标之间一般是相互矛盾的。
从上述例子不难得出,多目标线性规划模型的原始一般形式如下:max(min)Z1=c11x1+c12x2+…+c1n x nmax(min)Z2=c21x1+c22x2+…+c2n x n……max(min)Z l=c l1x1+c l2x2+…+c ln x n式中,有n个决策变量,m个约束条件,l个目标函数。
决策理论(线性规划与目标规划)详解
在历史上，由线性规划引申出的很多概念，启发了最优化理论 的核心概念，诸如“对偶”、“分解”、“凸性”的重要性及 其一般化等。同样的，在微观经济学和商业管理领域，线性规 划被大量应用于解决收入极大化或生产过程的成本极小化之类 的问题。
二、线性规划问题及其数学模型
2.1 问题的提出及模型建立
在生产管理和经营活动中经常提出一类问题，即如何合 理利用有限的人力、物力、财力等资源，以便得到更好 的经济效果。
例：某工厂在计划内要安排生产甲，乙两种产品，已知 成产单位产品所需的设备台时及A,B两种原材料的消耗， 如下表：
甲
设备
1
原材料A
Q2 (4,2)
Q1 4
Z=2x1+3x2
从图解法中直观地见到 ，当线性规划问题的可 行性域非空时，它是有 界或无界凸多边形。若 线性规划问题存在最优 解，它一定在有界可行 域的某个顶点得到；若 在两个顶点同时得到最 优解，则它们连线上的 任意一点都是最优解， 即有无穷多最优解。
x1
简单地说，这也算线性 规划的几何意义。
（3）都有一个要求达到的目标，它可以用决策变量及其 有关的价值系数构成的线性函数（称为目标函数）来表示。 按照问题的不同，要求的目标函数实现最大化或最小化。
满足以上三个条件的数学模型称为线性规划的数学模型。 其一般形式如下：
二、线性规划问题及其数学模型
一般形式：
目标函数： max(min) z = c1x1+c2x2+···+cnxn 满足约束条件： a11x1+a12x2+···+a1nxn≤(=, ≥)b1
多目标规划
指标往往相互矛盾（诸如资源可供 量与利润，利润与污染程度等）， 使得多目标规划问题往往没有线性 规划意义下的最优解，只能给出统 筹兼顾各方面要求的一个满意解。
在上例中，如果利润指标与污染指标的重 要程度不同，比如：利润指标比污染指标 重要10 倍， 那么，目标函数就将写成min(10 + ) 如果利润指标和污染指标的重要程度是不 能通过数值来比较的，比如我们要求在尽 量降低污染指标的前提下去追求最大利润， 则目标函数可以形式化地写成min(k1 +k2 )。式中的k1k2,不代表具体的数值， k1＞＞＞k2，表示远远地大于k2。
多目标规划的特点是：引人正、负偏差变 量, 以及优先因子和权系数∀正偏差变量d+ 表示考察变量值超过目标值的部分;而负偏 差变量d-则表示考察变量值少于目标值的 部分,并且d+ ·d-恒等于0。 并且规划问题常常有多个考察目标, 而达到 这些目标的优先次序又有所不同, 用P 表示 优先程度, 且P >P (i= 1 , 2 ,…,n)。当同一 优先级有多个考察目标时, 以权系数区别不 同目标之间的差别。
应用领域
多目标规划在资源分配、计划编制、生产调 度等方面有一定的应用。
通过建立多目标规划模型，可以 解决供应商的选择问题（1、分析各供应商评价
标准的优先次序；2、建立多目标规划模型）
优化供应链的绩效 开发供应链的渠道 拓展市场需求 ……
多目标规划的研究趋势
( 1) 长期以来, 多目标规划的算法一直受到特 别重视, 目前尚未出现可以用来解决所有多目 标规划问题的统一算法, 算法及其收敛性的研 究将是一个长期的研究方向。
存在，当约束方程中有矛盾方程时， 线性规划问题就无可行解，为了防止 出现这种现象，可以设想将约束“放 松” 引入偏差变量的概念： 正偏差 是超出现有资源的部分， 负偏差 是现有资源使用后剩余部分。
第4章 多目标规划
目标函数：Min S=P1d1++P2d2-+2 P3d4-+ P3d5+P4d41++ P5d3-+ P5d3++2P6d4++ P6d5+ 约束方程： 50X1+30X2+ d1-- d1+=4600 X1 2X1 + + d2-- d2+=80 X2 + d3-- d3+=100 X2+ d4-- d4+=180 d4++ d41-- d41+=20
多目标规划解的概念：
•若多目标规划问题的解能使所 有的目标都达到，就称该解为 多目标规划的最优解；
•若解只能满足部分目标，就称 该解为多目标规划的次优解；
•若找不到满足任何一个目标的 解，就称该问题为无解。
例4-4：（例4-1）一个企业需要 同一种原材料生产甲乙两种产品， 它们的单位产品所需要的原材料 的数量及所耗费的加工时间各不 相同，从而获得的利润也不相同 （如下表）。那么，该企业应如 何安排生产计划，才能使获得的 利润达到最大？
（A生产线加班时间限制在15小时内）
X1
+ d3-- d3+=45
（充分利用A的工时指标）
X2+ d4-- d4+=45
（充分利用B的工时指标）
X1,X2,di-, di+
0(i=1,2,3,4)
A，B的产量比例2：1.5 = 4:3
目标函数：
Min
S=P1d1-+P2d2++4 P3d3-+3 P3d4X1 + d2-- d2+= 60
《多目标规划》课件
约束条件
01
约束条件是限制决策变量取值范围的限制条件，通常表示为决 策变量的不等式或等式。
02
在多目标规划中，约束条件可能包括资源限制、技术限制、经
济限制等。
约束条件的处理需要考虑其对目标函数的综合影响，以确定最
03
优解的范围。
决策变量
01 决策变量是规划问题中需要确定的未知数，通常 表示为数学符号或参数。
多目标规划的算法改进与优化
混合整数多目标规划算法
结合整数规划和多目标规划的优点，解决具有离散变量的 多目标优化问题。
进化算法
借鉴生物进化原理，通过种群进化、基因突变等方式寻找 多目标优化问题的Pareto最优解。
梯度下降法
利用目标函数的梯度信息，快速找到局部最优解，提高多 目标规划的求解效率。
多目标规划在实际问题中的应用前景
特点
多目标遗传算法能够处理多个相互冲突的目标函数，提供一组非劣解集供决策者选择。 它具有较强的全局搜索能力和鲁棒性，适用于复杂的多目标优化问题。
注意事项
多目标遗传算法需要合理设置遗传参数和选择策略，以确保求解的有效性和准确性。
04
多目标规划案例分析
生产计划优化案例
总结词
生产计划优化案例主要展示多目标规划在生产计划方面的应 用，通过合理安排生产计划，降低成本并提高生产效率。
《多目标规划》课件
• 多目标规划概述 • 多目标规划的基本概念 • 多目标规划的常用方法 • 多目标规划案例分析 • 多目标规划的未来发展与展望
目录
01
多目标规划概述
定义与特点
定义
多目标规划是一种决策方法，旨在同 时优化多个目标函数，并考虑多个约 束条件。
特点
笔记--多目标规划
处理多目标规划的方法1.约束法 1.1原理约束法又称主要目标法，它根据问题的实际情况．确定一个目标为主要目标，而把其余目标作为次要目标，并根据决策者的经验给次要的目标选取一定的界限值，这样就可以把次要目标作为约束来处理，从而就将原有多目标规划问题转化为一个在新的约束下，求主要目标的单目标最优化问题。
假设在p 个目标中，()1f x 为主要目标，而对应于其余（p-1）个目标函数()i f x 均可以确定其允许的边界值：(),2,3,...,ii i af b i p ≤≤=x 。
这样我们就可以将这()1p -个目标函数当做最优化问题的约束来处理，于是多目标规划问题转化称为单目标规划问题SP 问题：公式1()()()1min s.t.0(1,2,...,)(2,3,...,)i j j j f g i m a f b j p ⎧⎪≥=⎨⎪≤≤=⎩x x x上述问题的可行域为()(){}|0,1,2,...,;,2,3,...,i j j j R g i m a f b j p '=≥=≤≤=x x x2.评价函数法其基本思想就是将多目标规划问题转化为一个单目标规划问题来求解，而且该单目标规划问题的目标函数是用多目标问题的各个目标函数构造出来的，称为评价函数，例如若原多目标规划问题的目标函数为F(x)，则我们可以通过各种不同的方式构造评价函数h(F(x))，然后求解如下问题：()()min s.t.h R⎧⎪⎨∈⎪⎩F x x 求解上述问题之后，可以用上述问题的最优解x *作为多目标规划问题的最优解，正是由于可以用不同的方法来构造评价函数，因此有各种不同的评价函数方法，下面介绍几种常用的方法。
评价函数法中主要有：理想点法、平方和加权法、线性加权和法、乘除法、最大最小法2.1理想点法考虑多目标规划问题：()()V-mins.t.0(1,2,...,)i g i m ⎧⎨≥=⎩F x x ，首先分别求解p 个单目标规划问题：()()min(1,2,...,)s.t.0(1,2,...,)i j f i p g j m ⎧=⎪⎨≥=⎪⎩x x令各个问题的最优解为*(1,2,...,)ii p =x ，而其目标函数值可以表示为：()*min ,1,2,...,i i Rf f i p ∈==x x其中：(){}|0(1,2,...,)jR g j m =≥=x x一般来说，不可能所有的*(1,2,...,)ii p =x 均相同，故其最优值*(1,2,...,)i f i p =组成的向量0***12[]T pfff =F 并不属于多目标规划的象集，所以0F 是一个几乎不可能达到理想点。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
目标：用料最少
一、 线性规划的数学模型
（一）线性规划数学模型
以上例子表明，线性规划问题具有以下特征： ①每一个问题都用一组未知变量（x1，x2，…，xn）表示某一规 划方案，其一组定值代表一个具体的方案，而且通常要求这些未 知变量的取值是非负的。
②每一个问题的组成部分：一是目标函数，按照研究问题的不同， 常常要求目标函数取最大或最小值；二是约束条件，它定义了一 种求解范围，使问题的解必须在这一范围之内。
二 线性规划的标准形式
（二）化为标准形式的方法
2.约束方程化为标准形式的方法
若第k个约束方程为不等式，即
ak1 x1 ak 2 x2 akn xn ()bk
引入松弛变量 x nk 0, K个方程改写为：
ak1 x1 ak 2 x2 akn xn () xnk bk
则目标函数标准形式为：
非负约束
xij 0(i 1,2,, m; j 1,2,, n)
mn
z
cij xij min
i1 j1
目标：总运费最小
一、 线性规划的数学模型
（一）线性规划模型之实例 资源利用问题 假设某地区拥有m种资源，其中，第i种资源在规
划期内的限额为bi(i=1，2，…，m)。这m种资源可用 来生产n种产品，其中，生产单位数量的第j种产品需 要 消 耗 的 第 i 种 资 源 的 数 量 为 aij(i=1 ， 2 ， … ， m ； j=1,2, …,n)，第j种产品的单价为cj(j=1，2， …，n)。 试问如何安排这几种产品的生产计划，才能使规划期 内资源利用的总产值达到最大?
一、 线性规划的数学模型
（一）线性规划模型之实例
资源利用问题
设第j种产品的生产数量为xj(j=1，2，…，n)，则上述资源问题就是：
求一组实数变量xj(j=1，2，…，n)，使其满足
n
aij x j
bi (i 1,2,, m)
j1
x j 0
( j 1,2,, n)
资源限额约束 非负约束
n
A [B ,N ] B [P1,P2, ,Pm ] N [pm 1,pm 2, ,pn ]
C [C B ,C N ] C B [c1,c2, ,cm ] C N [cm 1,cm 2, ,cn ]
X [X B ,X N ] x B [x1,x 2, ,x m ]T x N [xm 1,xm 2, ,xn ]T
第一步，找出初始可行基，建立初始单纯形表。
第二步，判别检验所有的检验系数。
（1）如果所有的检验系数b0 j 0( j 1,2,, n) ，则由最优性判定定理知， 已获最优解，即此时的基本可行解就是最优解。
（2）若检验系数中，有些为正数，但其中某一正的检验系数所对应的 列向量的各分量均非正，则线性规划问题无解。
n
Z c j x j max(min) j 1
一、 线性规划的数学模型
（一）线性规划数学模型
化为矩阵形式
AX≤(≥，＝)b
X≥0
Z=CX→max(min)
b [b1, b2 ,, bm ]T C [c1, c2 ,, cn ]
a11 a12 a1n
A
a21
a22
a
2n
am1
（一）线性规划的解
如果X B [x1, x2 ,, xm ]T是方程组 BX B b 的解，则
X [x1, x2,, xm ,0,0,,0]T就是方程组式 maxZ CX 的一个解，它称
之为对应于基B的基本解，简称基解。 满足非负约束条件的基本解，称为基本可行解。对应于基本可 行解的基，称为可行基。
0
C
CB B 1
B A
1
A
Z X
CBBB1b1b
在上式中，称系数矩阵
CB B 1b B 1b
1 0
C
CB B 1
B A
1
A
或
CB B 1b B 1b
C
CB B 1
B 1 A
A
为对应于基B的单纯形表，记为T(B).
四 线性规划问题的求解方法——单纯形法
(二) 单纯形法的计算步骤
1 线性规划及其单纯形求解方法 2 多目标规划及其求解技术 3 目标规划模型
第一节 线性规划及其单纯形求解方法
线性规划的数学模型 线性规划的标准形式 线性规划的解及其性质 线性规划问题的求解方法——单纯形法
一、 线性规划的数学模型
（一）线性规划模型之实例
线性规划研究的两类问题：
▲某项任务确定后，如何统筹安排，以最少的人力、物力和财 力去完成该项任务； ▲面对一定数量的人力、物力和财力资源，如何安排使用，使 得完成的任务最多。它们都属于最优规划的范畴。
第四章 线性规划 与多目标规划
数学规划是运筹学中发展较快、应用较广和 比较成熟的一个分支。它在实际应用中日益广泛 与深入,已经被广泛地应用到工业、农业、商业与 交通运输规划，工程技术的优化设计，以及企业 管理等各个领域。
在地理学领域，数学规划，作为传统的计量 地理学方法之一，是解决有关规划、决策和系统 优化问题的重要手段。
一、 线性规划的数学模型
（一）线性规划模型之实例
运输问题
设xij表示由产地i供给销地j 的物资数量，求一组实值变量
xij(i=1，2，…，m；j=1，2，…，n)，使其满足：
销地需求量约束
m
xij
b j ( j 1,2,, n)
i1
产地产量约束
n
xij
ai (i 1,2,, m)
j1
am2
amn
二 线性规划的标准形式
（一）线性规划的标准形式
在讨论与计算时，需要将线性规划问题的数学模型转化为标准 形式，即在约束条件：
a11x1 a12 x2 a1n xn b1 a21x1 a22 x2 a2n xn b2 am1x1 am2 x2 amn xn bm
若
min
bi 0 bis
bis
0
br 0 brs
则确定brs为主元项。
第四步，在基B中调进Ps，换出Pjr，得到一个新的基
第五步，在单纯形表上进行初等行变换，使第s列向量变为单位向
量，又得一张新的单纯形表。
第六步，转入上述第二步。
四 线性规划问题的求解方法——单纯形法
例1：用单纯形方法求解线性规划问题
x1 3x2 12 2x1 x2 9 x1 0, x2 0 max Z 2x1 3x2 解：首先引入松弛变量x3 、x4，把原问题化为标准形式：
x1 3x2 x3 12 2x1 x2 x4 9 x1, x2 , x3 , x4 0 max Z 2x1 3x2
四 线性规划问题的求解方法——单纯形法
三 线性规划的解及性质
（一）线性规划的解
三 线性规划的解及性质
（二）线性规划解的性质
凸集和顶点
凸集：若连接n维点集S中的任意两点X(1)和X(2)之间的线 段仍在S中，则S为凸集。 顶点：若凸集S中的点X(0)不能成为S中任何线段的内点， 则称X(0)为S的顶点或极点。
三 线性规划的解及性质
（二）线性规划解的性质
具体步骤如下：
（3）若检验系数中，有些为正数，且它们所对应的列向量中有正的分 量，则需要换基、进行迭代运算。
四 线性规划问题的求解方法——单纯形法
（二）单纯形法的计算步骤
第三步，选主元。 在所有大于零的检验数中选取最大的一个b0s， 对应的非基变量为xs,对应的列向量为 ps [b1s , b2s ,, bms ]T
a11 a12 a1m
B
a21
a22
a2m
[ P1 ,
P2
,,
Pm
]
am1
am2
amm
则称Pj ( j 1,2,, m)为基向量，与基向量相对应的向量 x j ( j 1,2,, m)为基变 量，而其余的变量 xi ( j m 1, m 2,, n)为非基变量。
三 线性规划的解及性质
xj≥0（j = 1，2，…，n） 下，求一组未知变量xj（j = 1，2，…，n）的值，使
n
Z c j x j max j 1
二 线性规划的标准形式
（一）线性规划的标准形式
n
max Z c j x j
j 1
n
aij x j
bi (i 1,2,, m)
或
j1
x
j
0(
j
1,2,n)
A [ p1, p2 ,, pn ]
Pj [a1j , a2 j ,, amj ]T ( j 1,2,, n)
三 线性规划的解及性质
（一）线性规划的解
基本解与基本可行解
Pj [a1j , a2 j ,, amj ]T ( j 1,2பைடு நூலகம், n)
如果B是A中的一个阶的非奇异子阵，则称B为该线性规划问题的一个基。
一、 线性规划的数学模型
（一）线性规划模型之实例 运输问题
假设某种物资（譬如煤炭、钢铁、石油等）有m个产地，n 个销地。第i产地的产量为ai（i=1，2，…，m），第j 销地的需 求量为bj(j=1, 2，…，n)，它们满足产销平衡条件
m
n
ai
bj
i 1
j 1
如果产地i到销地j的单位物资的运费为Cij，要使总运费达 到最小，可这样安排物资的调运计划：
n
n
Z c j x j c j x j o xnk
j 1
j 1
三 线性规划的解及性质
（一）线性规划的解
可行解 满足约束条件（即满足线性约束和非负约束）的一组
变量为可行解。所有可行解组成的集合称为可行域。
最优解 使目标函数最大或最小化的可行解称为最优解。