序关系

• 定义4.7.9 设X,≼为偏序集，如果X的每一个非空子集存在最小 元，则偏序集X,≼叫做良序集。偏序关系≼称为X上的良序关系。
• 类似例4.31可以证明自然数集合N上的小于等于关系是偏序 关系，而自然数集合的每一个非空子集都存在最小数。所以自然 数集合上的小于等于关系N,R≤是良序集。
定义4.7.7设X,≼是偏序集，BX，如果存在B的一个上 界(下界)b，对B的任意一个上界(下界)y，都有b≼y(y≼b)， 则称b是B的最小上界(最大下界)。也叫上确界(下确界)。 记为LUB B (GLB B)。
4.7.2全序关系与良序集关系
定义4.7.8 设X,≼为偏序集，如果xX，yX， 都有x≼y或y≼x，则称偏序集X,≼为全序集，也称为线 序集。偏序关系≼称为X上的全序关系或线序关系。
用列举法将R表示为：
R=2,2,2,6,2,10,2,30,5,5,5,10,
5,15,5,30,6,6,6,30,10,10,10,30,
15,15,15,30,30,30 6和10盖住了2；但30没有盖住了2，因为2,6R和 6,30R。 10和15盖住了5；但30没有盖住了5，因为5,10R和10,30R。 30盖住了6、10和15。
证明：设X=a1,a2,…,an，X,≼是全序集。下证X,≼是良序集。 设B是X的任意子集。因为X是有限集，所以B也是有限集，且B中任意 两个元素有关系≼。用以下方法可以找出B的最小元：
①取B的两个元素x和y，由于X,≼是全序集，必有x≼y或y≼x，如果 是前者选x；如果是后者选y。记为a。
②再在B中取没有选过的元素b，则a≼b或b≼a，若为前者选a；若为 后者选b。记为a′。
这个工作一直进行下去，直到B中的元素选完。记最后选出来的元素 为c，因为关系≼是传递的，所以c是B的最小元。所以X,≼是良序集。
当B=X时，B的极大元(极小元)称为偏序集X,≼的极 大元(极小元)。
①孤立点既是极大元又是极小元。
②极大元和极小元不惟一。有限集合B的极大元和极 小元一定存在。
③在哈斯图中，如果集合B的某个元素不存在B的其它 元素从上(下)方与其相通，则该元素就是B的极大元(极小 元)。
定义4.7.5 设X,≼是偏序集，BX，bB，如果对任意
设X,≼是偏序集，它的盖住关系COV X是惟一的。所 以可以利用盖住关系做一图，表示该偏序集X,≼。这个 图叫做哈斯图。偏序集X,≼的哈斯图的画法如下：
① 用“∘”表示X中的每一个元素。 ② 如果 x≼y，则将x画在y的下方。 ③ 若x,yCOV X，则在x和y间画一条直线。
例4.27中
序关系
• 4.7序关系
4.7.1偏序关系与哈斯图 定义4.7.1 设RX×X，如果R是自反的，反对称的和传递的，则称R是X 上的偏序关系。记为≼。
二重组X,≼称为偏序集。如果x,y≼，记为x≼y，读作x小 于等于y。
定义4.7.2 设X,≼为偏序集，对X中的元素x和y，如果x≼y，x≠y 且没有X中的其它元素z使x≼z和z≼y，则称y盖住了x。
• 定理4.7.2 每一个良序集，一定是全序集。
• 证明：设X,≼是良序集，x和y是X中的任意两个元素，显 然x,yX，由良序集的定义知，集合x，y必有最小元，即x是 最小元或y是最小元，如果x是最小元，则有x≼y。如果y是最小元， 则有y≼x。所以X,≼是全序集。
定理4.7.3 有限全序集，一定是良序集。
xB，都有 x≼b(b≼x)，则称b是B的最大元(最小元)。
当B=X时，B的最大元(最小元)称为偏序集X,≼的 最大元(最小元)。
定理4.7.1 设X, ≼是偏序集，BX，如果B有最大元(最小元)，则必惟 一。
证明：设a，b都是B的最大元，由a是B的最大元得b≼a，由b是B的 最大元得a≼b，因为≼是反对称的，所以a=b。即B的最大元惟一。
偏序集A, R的盖住关系 COV A =2,6,2,10,5,10,5,15,
6,30,10,30,15,.7.4 设X,≼是偏序集，BX，bB，如果B中没有 任何元素x满足x≠b且b≼x(x≼b)，则称b是B的极大元(极小 元)
并且记COV A={<x,y>|x,yA;y盖住x}
【例4.27】设A=2,5,6,10,15,30，A上的整除关系R定义如下： R=x,yxA∧yA∧x整除y
验证R是A上的偏序关系，分析哪些元素盖住了另一些元素， 哪些元素没有盖住了另一些元素。
解：因为A的任何元素都能整除它自己，所以R是自反的；当x整除y 且y整除x时，一定有x=y，所以R 是反对称的；当x整除y且y整除z，x 一定整除z，所以R 是传递的。即R是A上的偏序关系。
类似地可证明最小元惟一。
从以上例题和定理4.7.1可以得出以下结论： ①最大元和最小元不一定存在。如果存在，一定惟一。
②在哈斯图中，如果集合B的某个元素向下(上)通向B的所有元素， 则该元素就是B的最大元(最小元)。
定义4.7.6 设X,≼是偏序集，BX，bX，对任意xB， 都有 x≼b(b≼x)，则称b是B的上界(下界)。