初等概率论习题课讲义

初等概率论习题课讲义
专题一. 一些组合计数模式在古典概率问题中的应用.
1．
多组组合模式 有n 个不同元素，要把它们分为k 个不同的组，使得各组依次有
121
,,...,()k
k i i n n n n n ==∑个元素，则一共有
12!
!!...!
k n n n n 种不同分法.
2.不尽相异元素的排列模式 有n 个元素，属于k 个不同的类，同类元素之间不可辨认，各类元素分别有121
,,...,(
)k
k i i n n n n n ==∑个，要把它们排成一列，则一共有
12!
!!...!
k n n n n 种不同
排法.
3.分球入盒问题
第一类 有n 个不同的小球，要把它们分入k 个不同的盒子，使得各盒依次有
121
,,...,()k
k i i n n n n n ==∑个小球，则一共有多少种不同分法？（注意此问题的两个特征：小
球不同，盒子也不同）（
12!
!!...!
k n n n n ）
第二类 有n 个相同的小球，要把它们分入k 个不同的盒子，一共有多少种不同分法？
（1） 允许空盒出现；（1n
n k C +-） （2） 不允许空盒出现.（11k n C --）
第三类 有n 个不同的小球，要把它们分入k 个相同的盒子，使得第i k 个盒子有i n 个小球，
1
1
,m
m
i
i i i i k
k n k n ====∑∑，则一共有多少种不同分法？（
1
1
!
(!)
(!)
i
m
k i
i m
i
i n n k ==∏∏）
4.大间距组合问题 设从数集{}1,2,...,n 中选出k 个不同的数11...k j j n ≤≤≤≤， 使之满足条件1(2,3,...,)i i j j m i k -->=，m 为正整数，且(1)k m n -<，求出不同的取法数目.（(1)k
n k m C --）
5.相异元素的圆排列和项链数 将n 个不同元素不分首尾排成一圈，称为n 个相异元素的圆排列，则其排列总数为多少？（(1)!n -）
项链数：将n 粒不同珠子用线串成一副项链，则得到的不同项链数为多少？ （n=1或2时为1，n>2时为(1)!n -／２）
６.有限集合计数的容斥原理： 1
1
1
1...(1)n
n
n
n
k k
i j k k k k i j n
A A
A A A ===≤<≤⋃=
-
⋂++-⋂∑∑
.
（注意和概率论中加法公式进行类比和区分） 习题：
1.设有 10只猫和4头猪随机地站成一行，求每两头猪之间都至少间隔两只猫的概率.
2.将n 条手杖都截成一长一短两部分，然后将所得的2n 个小段随机分成n 对，每对连接成一条新的手杖，求以下事件的概率：
（1）这2n 个小段全部被重新组成原来的手杖； （2）均为长的部分和短的部分连接.
3.找零钱问题：设有一台自动售票机销售地铁车票，票价为5元。

有2n 个乘客排队购票，每人手中只有5元或10元两种面值的人民币（每人只可能拥有这两种面值中的一种，且拥有哪一种是随机的）.设一开始自动售票机内没有任何人民币，则这2n 个乘客可以顺利购票的概率为多大？所谓顺利购票，就是自动售票机在售票过程中不会出现不能找零的情形.
专题二 概率性质应用之几何概率二三谈
1. 设平面上画有一族间距为a 的平行直线，向平面上随机抛掷一个直径为l 的半圆形均匀
钢片，其中l a <，试求塑料片与直线相交的概率？
2. 向画满间隔为a 的平行直线的桌面上任意投放一个三角形，假定三角形三边长123,,l l l 均
小于a ，试求此三角形与某直线相交的概率.
专题三 概率性质应用之解决抽象证明题及计算题
1. 已知：()()(),,c c c P AB P A P B C AB C A B =⊃⊃,证明：()()().P AC P A P C ≥
2. 设12,,...,n A A A 为事件，而m B 表示12,,...,n A A A 中恰有m 个事件发生.证明：
.0()(1)n m
k m m m k m k k P B C S -++==-∑其中，11...(...)k i k k i i i i n
S P A A ≤<<≤=
∑
.
3. 证明对任意n 个事件12,,...,n A A A ，都有1
1
()()1n
n
k k
k k P A P A n ==⋂≥
-+∑.
4. 证明：对于事件A,B ，关系式22221
()()()()4
c c c c
P AB P A B P B A P A B +++=
的充分必要条件是11()(),().24
P A P B P AB ===
5. 证明：事件12,,...,n A A A 相互独立的充要条件是下列2n
个等式成立：
^^^^^^1212(...)()()...()n n P A A A P A P A P A =，其中^
i A 取i A 或c i A .
专题四 灵活应用概率性质与思想解决一些杂题 1. 证明恒等式：
()(1)()...211....1(1)(2)(1)...(1)A a A a A a A a A
A A A A a a a
-----⋅+
+++=----+其中,A a >是两个正整数.
2. 证明恒等式: 0
1
2.2
N
k
N N k k k C +==∑
3. 证明组合恒等式: 1
21
210
4n
n k k
n n k k C
C -+-===∑∑.
4．引理1 Euler 恒等式：111
()1(1)
s s n p
s n p
ζ∞
===-∑∏（下标p 代表所有素数）（回顾高中数论知识，这定理该怎么证明？）；
引理2 2211(2)6n n
πζ∞
===
∑.（回顾初等微积分学，这级数怎么求和？） 由以上两个引理证明：从正整数中随机地选取两数，此两数互素的概率为2
6π.
课后自测题：
1.教材22页例3中，若将条件中甲有n+1枚硬币也改为n枚，再求甲掷出的正面数多于
乙掷出的正面数的概率.
2.在一次选举中，候选人A得到n张选票而候选人B得到m张选票，其中n>m，假定选
票的一切排列次序都是等可能的，证明：在计票过程中，A的票数始终领先的概率为（n-m）/(n+m).
3.有r个人（r>1）做传球游戏，从某甲开始，每次持球者均等可能地传给其余r-1个人中的任意一个，求下列事件的概率：
（1）传了n次，球没有回到甲的手中；
（2）传了n（n<r-1）次，没有人接过两次球（甲开始时持球算作已经接球一次）；
（3）第n次仍由甲传出.。