初等概率论习题课讲义

初等概率论习题课讲义

专题一. 一些组合计数模式在古典概率问题中的应用.

1．

多组组合模式 有n 个不同元素，要把它们分为k 个不同的组，使得各组依次有

121

,,...,()k

k i i n n n n n ==∑个元素，则一共有

12!

!!...!

k n n n n 种不同分法.

2.不尽相异元素的排列模式 有n 个元素，属于k 个不同的类，同类元素之间不可辨认，各类元素分别有121

,,...,(

)k

k i i n n n n n ==∑个，要把它们排成一列，则一共有

12!

!!...!

k n n n n 种不同

排法.

3.分球入盒问题

第一类 有n 个不同的小球，要把它们分入k 个不同的盒子，使得各盒依次有

121

,,...,()k

k i i n n n n n ==∑个小球，则一共有多少种不同分法？（注意此问题的两个特征：小

球不同，盒子也不同）（

12!

!!...!

k n n n n ）

第二类 有n 个相同的小球，要把它们分入k 个不同的盒子，一共有多少种不同分法？

（1） 允许空盒出现；（1n

n k C +-） （2） 不允许空盒出现.（11k n C --）

第三类 有n 个不同的小球，要把它们分入k 个相同的盒子，使得第i k 个盒子有i n 个小球，

1

1

,m

m

i

i i i i k

k n k n ====∑∑，则一共有多少种不同分法？（

1

1

!

(!)

(!)

i

m

k i

i m

i

i n n k ==∏∏）

4.大间距组合问题 设从数集{}1,2,...,n 中选出k 个不同的数11...k j j n ≤≤≤≤， 使之满足条件1(2,3,...,)i i j j m i k -->=，m 为正整数，且(1)k m n -<，求出不同的取法数目.（(1)k

n k m C --）

5.相异元素的圆排列和项链数 将n 个不同元素不分首尾排成一圈，称为n 个相异元素的圆排列，则其排列总数为多少？（(1)!n -）

项链数：将n 粒不同珠子用线串成一副项链，则得到的不同项链数为多少？ （n=1或2时为1，n>2时为(1)!n -／２）

６.有限集合计数的容斥原理： 1

1

1

1...(1)n

n

n

n

k k

i j k k k k i j n

A A

A A A ===≤<≤⋃=

-

⋂++-⋂∑∑

.

（注意和概率论中加法公式进行类比和区分） 习题：

1.设有 10只猫和4头猪随机地站成一行，求每两头猪之间都至少间隔两只猫的概率.

2.将n 条手杖都截成一长一短两部分，然后将所得的2n 个小段随机分成n 对，每对连接成一条新的手杖，求以下事件的概率：

（1）这2n 个小段全部被重新组成原来的手杖； （2）均为长的部分和短的部分连接.

3.找零钱问题：设有一台自动售票机销售地铁车票，票价为5元。有2n 个乘客排队购票，每人手中只有5元或10元两种面值的人民币（每人只可能拥有这两种面值中的一种，且拥有哪一种是随机的）.设一开始自动售票机内没有任何人民币，则这2n 个乘客可以顺利购票的概率为多大？所谓顺利购票，就是自动售票机在售票过程中不会出现不能找零的情形.

专题二 概率性质应用之几何概率二三谈

1. 设平面上画有一族间距为a 的平行直线，向平面上随机抛掷一个直径为l 的半圆形均匀

钢片，其中l a <，试求塑料片与直线相交的概率？

2. 向画满间隔为a 的平行直线的桌面上任意投放一个三角形，假定三角形三边长123,,l l l 均

小于a ，试求此三角形与某直线相交的概率.

专题三 概率性质应用之解决抽象证明题及计算题

1. 已知：()()(),,c c c P AB P A P B C AB C A B =⊃⊃,证明：()()().P AC P A P C ≥

2. 设12,,...,n A A A 为事件，而m B 表示12,,...,n A A A 中恰有m 个事件发生.证明：

.0()(1)n m

k m m m k m k k P B C S -++==-∑其中，11...(...)k i k k i i i i n

S P A A ≤<<≤=

∑

.

3. 证明对任意n 个事件12,,...,n A A A ，都有1

1

()()1n

n

k k

k k P A P A n ==⋂≥

-+∑.

4. 证明：对于事件A,B ，关系式22221

()()()()4

c c c c

P AB P A B P B A P A B +++=

的充分必要条件是11()(),().24

P A P B P AB ===

5. 证明：事件12,,...,n A A A 相互独立的充要条件是下列2n

个等式成立：

^^^^^^1212(...)()()...()n n P A A A P A P A P A =，其中^

i A 取i A 或c i A .