主讲人：黄冈中学高级教师 汤彩仙

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主讲人：黄冈中学高级教师汤彩仙

2008高考考前数学专题讲座

高考中的创新题型的解题策略

主讲人：黄冈中学高级教师汤彩仙

一、复习策略

数学的创新题是相对于传统命题方式而言的，这类题目没有明确的条件或结论，或解题方向不明，自由度大，具有相当大的不确定性，需要通过对问题的观察、分析、类比、归纳等处理过程方能解决，其难度大，要求高，是训练和考查学生的数学思维能力，分析问题和解决问题能力的好题型，数学创新题以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，为高层次思维创造了条件，是挖掘、提练数学思想方法，充分展示应用数学思维方法的良好载体，所以在高考中所占的比重会越来越大。

在高考中的创新题型一般分为三类：第一类是定义信息型创新题；第二类是情景创新题，第三类是类比型创新题，第四类是跨学科型创新题。

二、典例剖析

题型一：定义信息型创新

定义信息型创新题是近几年出现的新题型，因此此类型的背景新颖、构思巧妙，且又能有效地区别学生的思维品质和学习潜力，所以备受师生的青睐，解答这类问题通常分为三大步骤：（1）对新定义进行信息提取，确定归纳的方向；（2）对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法；（3）对定义中提取的知识进行转换，有效的输出，其中对定义信息的提取和化归是解题的关键，也是解题的难点。

例1．（06年广东卷）对于任意的两个实数对和，规定：，当且仅当；运算“”为：；运算“”为：，设，若，则

（）

A．B．C．D．

思路分析：按定义求出p，q的值．

解：由得，

所以，故选B．

例2.(06年上海)如图，平面中两条直线和相交于点O，对于平面上任意一点M，若p、q分别是M到直线和的距离，则称有序非负实数对（p，q）是点M的“距离坐标”．已知常数p≥0，q≥0，给出下列命题：

①若p＝q＝0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有1个；

②若pq＝0，且p＋q≠0，则“距离坐标”为（p，q）的点有且仅有2个；

上述命题中，正确命题的个数是（）

A.0

B.1

C.2

D.3

思路分析：（p，q）的个数就是到直线l

1的距离为p的直线与到直线l

2

的距离为q的直线的交点的个数，作出满

足条件的直线即可．

解：选（D）

①正确，此点为点O；②正确，注意到p，q为常数，由p，q中必有一个为零，另一个非零，从而可知有且仅有2个点，这两点在其中一条直线上，且到另一直线的距离为q（或p）；③正确，四个交点为与直线l

1

相距为p的两条平行线和与直线l2相距为q的两条平行线的交点．

点评：概念型创新题特点是首先给出一个定义，然后根据定义提出一系列问题．解决此类问题，先要认真理解题目给出的定义，把握定义的本质，在此基础上按定义处理问题．

例3．（07年福建卷）中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等．

如果集合A中元素之间的一个关系“~”满足以下三个条件：

（1）自反性：对于任意，都有；

（2）对称性：对于，若，则有；

（3）传递性：对于，若，，则有．

则称“~”是集合的一个等价关系．例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）．请你再列出三个等价关系：______．

解：答案不唯一，如“图形的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的充要条件”等等.

例4．（06年福建卷）对于直角坐标平面内的任意两点A(x

1，y

1

)、B(x2，y2)，定义它们之间的一种“距离”：‖

AB‖=|x1－x2|＋|y1－y2|．给出下列三个命题：

①若点C在线段AB上，则‖AC‖＋‖CB‖=‖AB‖;

②在△ABC中，若∠C=90°，则‖AC‖2＋‖CB‖2=‖AB‖2；

③在△ABC中，‖AC‖＋‖CB‖>‖AB‖．

其中真命题为___________.

解：对于直角坐标平面内的任意两点，定义它们之间的一种“距离”：‖AB‖=|x

1－x

2

|＋|y1－y2|，

①若点C在线段AB上，设C点坐标为(x

0，y

)，x0在x1、x2之间，y0在y1、y2之间，则

=

③在中，

>=

∴命题①③成立，而命题②在中，若则明显不成立．

则应填①③.

例5．（07北京）已知集合，其中，由中的元素构成两个相应的集合：

，．

其中是有序数对，集合S和T中的元素个数分别为m和n．若对于任意的，总有，则称集合A具有性质P．

（I）检验集合与是否具有性质P，并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T；

（II）对任何具有性质P的集合A，证明：；

（III）判断m和n的大小关系，并证明你的结论．

（I）解：集合不具有性质P．集合具有性质P，其相应的集合S和T是，

．

（II）证明：首先，由A中元素构成的有序数对共有个．因为，所以；

又因为当时，时，，所以当时，

．

从而，集合T中元素的个数最多为，即．

（III）解：m=n，证明如下：

（1）对于，根据定义，，，且，从而．

如果与是S的不同元素，那么与中至少有一个不成立，

从而与中也至少有一个不成立．

故与也是T的不同元素．

可见，S中元素的个数不多于T中元素的个数，即，

（2）对于，根据定义，，，且，从而．

如果与是T的不同元素，那么与中至少有一个不成立，

从而与中也不至少有一个不成立，

故与也是S的不同元素．

可见，T中元素的个数不多于S中元素的个数，即，

由（1）（2）可知，．

例6．设、R，常数．定义运算“”：．

（1）若求动点轨迹C的方程；

（2）若，不过原点的直线l与x轴、y轴的交点分别为T、S，并且与(1)中轨迹C交于不同的两点P、Q ，试求的取值范围；

（3）设是平面上的任一点，定义、