泰勒公式的几种证明及应用

泰勒公式的几种证明及应用

摘要：泰勒公式是高等数学中的重要公式，它在理论上和使用上都有很重要的作用.本文将运用分析法或数学归纳法对带有佩亚诺型余项、拉格朗日型余项、积分型余项这三种带有不同型余项的泰勒公式进行简单易懂的证明，从而能更好地理解泰勒公式的内容及性质.在深刻理解的基础上，对泰勒公式在高等数学中有关近似计算及误差估计、求极限、研究函数的极值问题、证明等式或不等式和关于界的估计等方面的应用给予一定的介绍，然后分别给出例题.

关键词：泰勒公式 佩亚诺型余项 拉格朗日型余项 积分型余项 应用

Several Proofs and Applications of Taylor Formula

Abstract: Taylor formula is an important formula in higher mathematics, it plays a very important role in

theoretical and methodological. In order to better understand the content and nature of Taylor formula, this article will use the method of analysis or mathematical induction to prove three different kinds of Taylor formula with remainder terms: Peano remainder term, Lagrange remainder term, and Integral remainder term. On the basis of deep understanding, then the article gives some introductions about the applications of Taylor formula in these aspects: approximate calculation and error estimation, work out limit, research problem of function’s extreme value, the proving of equality or inequality, and about boundary estimate, also supported by examples.

Keywords: Taylor formula; Peano remainder term; Lagrange remainder term; Integral remainder term;

application

1. 引言

大家都知道，多项式函数是各类函数中结构较简单、计算较方便的一种，用多项式逼近函数是近似计算和理论分析的一个重要内容.可以看到用00()()()f x f x x x '+-这个)(0x x -的一次多项式近似代替)(x f 且求其在0x 附近的函数值是很方便的，但是

它的精确度往往并不能满足我们的实际需求，这就要求我们能够找到一个关于

)(0x x -的n 次多项式.由此，著名数学家泰勒在1912年7月给其老师梅钦的信中提

出了著名的定理——泰勒定理，用泰勒公式可以很好地解决用多项式近似代替某些较复杂函数这类复杂的问题.

2.泰勒公式的证明

泰勒公式有几种不同的形式，在这里我们将对三种带有不同型余项的泰勒公式给予逻辑严谨、简单易懂的证明. 2.1带有佩亚诺型余项的泰勒公式

定理1[1] 若函数f 在点o x 存在直至n 阶导数，则有

()()()()()()()()()()()()

2000000002!

!

n n n f x f x f x f x f x x x x x x x o x x n '''=+-+-+

+-+-

证：设

()()()()()()()()2

00000002!

!

n n n f x f x T f x f x x x x x x x n '''=+-+-+

+-

（1） ()()n n R f x T x =- ()0()n

n Q x x x =-

现在只要证 ()

()0lim

0n x x n

R x Q x →=

由关系式（1）可知()()(

)

()0000

n n n n R x R x R x '====

并易知()()(

)

()10000,n n n n Q x Q x Q x -'==

== ()()0!n n Q x n =

因为()()0n f x 存在，所以在点o x 的某邻域()0U x 内f 存在1n -阶导函数.于是，当

()0x U x ︒∈且0x x →时，允许接连使用洛必达法则1-n 次，得 到 ()()()

()(

)

()()

()00

11lim lim lim n n n n n x x x x x x n n

n R x R x R x Q x Q x Q x --→→→'==

=' (

)

()()()()()()()()

110000lim

12n n n x x f x f x f x x x n n x x --→---=--

()()()()()

()0110001lim !n n n x x f x f x f x n x x --→⎡⎤-=-⎢

⎥-⎢⎥⎣⎦

0= 所以有

()()()()()()()()()()()

2

000000002!

!

n n n f x f x f x f x f x x x x x x x o x x n '''=+-+-+

+-+-

则此式得证.

2.2带有拉格朗日型余项的泰勒公式

定理2[2] 设函数f 在某个包含0x 的开区间),(b a 中有1到n +1阶的各阶导数，则

(),x a b ∀∈，有

()()()()()()()()()2

00000002!

!

n n f x f x f x f x f x x x x x x x n '''=+-+-+

+-

()()

()()

11

01!

n n f x x n ξ+++

-+ （2）

其中ξ是介于0x 与x 之间的某个点，当0x 固定之后，ξ只与x 有关. 证：(2)式可以改写成

()()()()()()(

)

()

()

2

00000002!!

n n

f x f x f x f x f x x x x x x x n ⎡⎤

'''-+-+-+

+-⎢⎥

⎢⎥⎣

⎦

()

()()()1101!n n f x x n ξ++=-+ 或者

()

()

()

()(1)1

01!

n n n R x f n x x ξ++=+-. （3） 为了证明（3）式，我们对于（3）式左端连续运用柯西中值定理（已推出

()()(

)

()0000n n n n R x R x R x '==

==）

： ()

()

()()

()

()()()

011

1

00101n n n

n n n

R x R x R x R x x x x n x ξξ++'-=

=

--+-

()()()()

()()()1021

102011n

n n

n

n R R x R n x

n n x ξξξξ-''''-=

=

+-+-

()()()()

201

201n

n n R R x n n x ξξ-''''-=

=

+-