《复变函数》第1章

《复变函数》(第四版)
第13页
例4 求下列方程所表示的曲线 1) | z + i | = 2 ; 2) | z － 2i | = | z +2 | ; 3) Im( i z ) 4.
解: 1) 几何上看 | z + i | = | z －(－i ) | = 2 : 与点－i
的距离为2的点轨迹, 即中心为(－i ),半径为2的圆.
x — 实轴 y — 虚轴

(2) z = x + iy ↔ 向量OP
P(x, y)
( 向量表示法 )
y
r


模 z | OP | r x2 y 2
o
x
由此: 复数的加减法可用向量的三角形法则和平
行四边形法则.
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《复变函数》(第四版)
第7页
结论: z | z | ,
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《复变函数》(第四版)
第3页
(3) 除法: z z1 x1 iy1 ( x1 iy1 )( x2 iy2 )
z2 x2 iy2 ( x2 iy2 )( x2 iy2 )

x1x2 y1 y2 x22 y22
i
x2 y1 x1 y2 x22 y22
3
3
23
23
arg z
23 6
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《复变函数》(第四版)
第10页
书 P.7
例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式:
解: 1) 1) z 12 2i
2) z sin i cos
5
5
r
12 4 4,
z 4(
12 2 i ) 44
y x
来确定:
arctan
y x

0)可由Arc
tan
y x
的主值
x 0， — 在第一、四象限
arg
z



2
arctan
y x


x

0，y

0
x

0，y
0 0
——二象限 ——二象限

其中
例:
2arctan
z = －3 + 3i
y x

x 0，y 0
变函数中只有唯一的无穷远点∞. (这样才能
与复球面一一对应)
2. 引入唯一无穷远点∞在理论上有重要意义. ∞
可以作为复平面的唯一的边界点. 在扩充的复
平面上, 直线可看成是一个圆.
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《复变函数》(第四版)
第17页
§3 复数的乘幂与方根
1. 乘积与商
z1 r1ei1 ,
z2 r2ei2
4(
3 1 i ). 22
cos 3 ,
2
sin 1
2

5.
6
(或

arctan 2
12
arctan
3
3
5
6
∴
∵ z 在第三象限 ) 三角式: z 4[cos(
5
)

i
sin(

5
)]
6
6
指数式: z 4 e65i
实部：x = Re(z) 虚部：y = Im(z)
纯虚数：z = iy ( y ≠ 0 )
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《复变函数》(第四版)
第2页
共轭复数： x iy x iy
z=0 x=y=0
z1= x1 + iy1 , z2= x2 + iy2 , z1 = z2 x1 = x2 , y1 = y2
z1 z2
r1ei1
r2ei2
r r ei (12 ) 12
Th1. | z1z2 || z1 | | z2 | ,
z r e 2
2 i (2 1 )
z1 r1
Arg ( z1
z2 ) Arg
z1

Arg
z2
(两端可能值相等, 即集相等 )
Th2. z2 | z2 | ,
z2 3 4i
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第5页
例2
设
z 1 3i , i 1i
求 Re(z), Im(z)与z z .
解:
z

i ii
3i(1 i) i ( 3 3 i)
(1 i)(1 i)
22
3 2
1i 2
Re(z) 3 , Im( z) 1 ,
t (x2 t ( y2
x1 ) y1 )
z1 z z2
得复数形式的参数方程
o
z z1 t (z2 z1) ( t )
解法二: 如图, z －z1与z2 －z1共线
z z1 t (z2 z1)
即 z z1 t (z2 z1)
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2
2
zz

32 2

1 2 2

5 2
.
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第6页
§2 复数的几何意义
1. 复平面, 复数的其它表示法
(1) z = x + iy ↔ 点( x, y ) ( 几何表示法 )
直角坐标平面 xoy 点与复数对应复平面.
复数的运算满足交换律、结合律和分配律.
(4) 共轭复数性质
i) z1 z2 z1 z2 , ii) z z ;
Hale Waihona Puke Baidu
z1z2 z1 z2 ,
z1 z1 z2 z2
;
iii) z z Re(z)2 Im( z)2 ;
iv) z z 2 Re(z) , z z 2i Im( z) .
(1 2
3i)(1 i) 2
(1 3) (1 3)i y
22 22
Z3
Z2

z3
3 2
3 1 2
3i
/3
0 Z1
x
Z3
类似
由 z3

z1

e

3
i
(
z2

z1 )，可得
(书P14 图1.8)
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z3
3 2
3 1 2
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《复变函数》(第四版)
第16页
规定: | ∞| = +∞
α≠∞, α + ∞ = ∞ + α = ∞
α－∞ = ∞－α = ∞
α ·∞ = ∞ ·α = ∞
0,

,

（ 中 可为）.
0
0
无特殊说明, 平面仍指有限平面.
注:1.在高等数学中, ∞可以分为+∞和－∞. 而在复
(左焦点) (右焦点)
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《复变函数》(第四版)
第15页
2. 复球面
任取一与复平面切于原点的球面, 原点称球面的南极, 过原点 且垂直平面的直线与球面的交点称为球面的北极.
连接平面上任一点与球面北极的直线段与球面有一个交点, 又在平面上引入一个假想点∞与球面北极对应, 构成扩充复平面 与球面点的一一对应, 即复数与球面上的点的一一对应, 球面称 为复球面.
倍.
特别:
i z1
——对
z1
实行一次旋转变换,
旋转角

2
.
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第19页
例1 已知正三角形的两个顶点为 z1= 1 与 z2 = 2 + i , 求它的另一个顶点.
解: 设 z3 = x + yi 方法一:

| |
z1 z2

z3 z3
|| ||
z2 z2

2 arg
z




(图示)
3 .
(或arg z

arctan( 1)
3

24
arctan1
4

4

)
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4
《复变函数》(第四版)
第9页
(3) 三角表示法 z x iy r (cos i sin )
(4) 指数表示法 由欧拉公式 ei cos i sin

z1 z1
| |
⇒
(x 1)2 y2 2

(x

2)2

(y
1) 2

2
⇒

x y

3 1
2
3 3

2
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《复变函数》(第四版)
第20页
续上页例 1
方法二:
z2

z1绕
z1旋转

3
或( )得
3
z3

z1
z3 z1 e3i (z2 z1 )
代数推导: 设 z = x + iy
则 | x + (y + 1)i | = 2
(见书P10 图1.5)
x2 + (y + 1)2 = 4
解: 2) | z － 2i | = | z +2 | —— 到点 2i 和－2 距离
相等的点轨迹 : 连结2i 和－2 的线段的垂直平分线.
| x +(y－2)i | = | (x +2) + yi |
3 i
z e 10
例2. 见书 P.8 … ( 自阅 )
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《复变函数》(第四版)
第12页
平面图形与复数形式方程
例3 通过两点 z1= x1+iy1与z2= x2+iy2的直线的方程
解法一: 由过两点(x1, y1), (x2, y2)的直线的参数方程
x

y

x1 y1
无穷多个, 相差2kπ .
辐角主值: 0 arg z
0
Arg z arg z 2k
k = 0, ±1, ±2, ……
当z = 0时, | z | = 0 , 而辐角不确定.
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第8页
Arg z的主值arg z (z
arc
tan
x2 +(y－2)2 = (x +2)2 + y2 y = －x
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第14页
续上页例 4
解: 3) Im( i z ) 4 Im( i x yi ) 4 1－y = 4 y = －3
问: | z +3 | + | z +1 | = 4 中 z 的轨迹? 到定点 z = －3和 z = －1的距离和为常数—— 椭圆.
设 z1
( x1x2 y1 y2 ) i ( x2 y1 x1 y2 )
z1= 5－5i , z2= －3 + 4i , 求 7 1i
z1 与 z2
z1 z2

z2 5 5
z1 7 1 i ( z1 5 5i )
z2 5 5
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《复变函数》(第四版)
第4页
证 z1z2 z1 z2 .
z1z2 ( x1 iy1 )( x2 iy2 )
( x1x2 y1 y2 ) i ( x2 y1 x1 y2 )
z1 z2 ( x1 iy1 )(x2 iy2 )
P.4
例1
解:
得
z rei
例 求 z cos i sin 和
3
3
的辐角主值.
z sin i cos
3
3
解: z
cos
i sin

cos(
)
i sin(
)
, arg
z


3
3
3
3
3
z sin i cos cos( ) i sin( ) ,
z z z 2 z2 ,
x z , y z , | z | x y ,
z1 z2 z1 z2 (两边之和大于第三边) z1 z2 | z1 | | z2 | (两边之差小于第三边)
辐角: Arg z ( z 0 )
tan( Arg z) y x
复变函数
（第四版）
电子教案
中山大学公共卫生学院 刘素芳 邓卓燊 编写
第一章 复数与复变函数
复变函数——自变量为复数的函数. 复变函数研究的中心对象: 解析函数． 复变函数论又称为解析函数论．
§1 复数及其代数运算
1.复数的概念
i — 虚数单位
i 2 =－1
复数：z = x + iy (或 z = x + yi ), x, y 为实数
z1 | z1 |
Arg
z2 z1


Arg
z2

Arg
z1
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《复变函数》(第四版)
第18页
几何意义:
z1·z2 : z1 逆时针旋转一个角度arg z2 , 并伸长
| z1| 到 | z2| 倍.
z2 : z1
z2
顺时针旋转一个角度arg
z1
,并伸长 |
1 z1|
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《复变函数》(第四版)
第11页
续上页例 1
解: 2)
z sin i cos cos( ) i sin( )
5
5
25
25
cos 3 i sin 3
10
10
三角式: z cos 3 i sin 3
10
10
指数式:
注意：任意两个复数不能比较大小.
2. 复数的代数运算
z1= x1 + iy1 , z2= x2 + iy2 , (1) 加(减)法:
z1 ± z2 ( x1 ± x2 ) + i ( y1 ± y2 )
(2) 乘= 法: 按多项式法则相乘
z1 ·z2 ( x1+ iy1 )( x2+ iy2 ) = = ( x1 x2 － y1 y2 ) + i( x2 y1+ x1 y2 )