平面基本力系
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平面力偶系
F
（A）
第二章 平面基本力系
B
（B）
F
29
力偶系的平衡
思考题：结构如图所示，已知各杆均作用一个主动力偶 M， 确定各个铰链约束力的方向（不计构件自重）
A
M
O
M B
第二章 平面基本力系
30
力偶系的平衡
例:求当系统平衡时,力偶 M1, M2 应满足的关系。
研究BD
研究AC
C
M1 D
B
M1
D
NB
MO (Fn ) Fn h Fnr cos
78.93 N m
解法二
r
或根据合力矩定理，将
O
力Fn分解为圆周力F 和径向 F
力Fr , 则力Fn对轴心O的矩
MO Fn MO (F) MO (Fr ) MO (F) Fnr cos
Fn Fr
第二章 平面基本力系
9
例题
力对点之矩
水平梁AB受三角形分布的载荷作用，如图所示。
载荷的最大集度为q， 梁长l。试求合力作用线的位置。
q
A
Bx
第二章 平面基本力系
10
例题
力对点之矩
F
q A
dx x
h l
第二章 平面基本力系
解： 在梁上距A端为x的微段 dx上，作用力的大小为q’ dx，
其中q’ 为该处的载荷集度 ，
i 1
第二章 平面基本力系
6
三、力矩的解析表达式
Mo(F)= xFy-yFx
x、y是力F作用点A的坐标， 而Fx 、 Fy是力F在x、y轴的投影，
计算时用代数量代入。
合力FR对坐标原点之矩的解析表达式
平面基本力系
第二章平面基本力系平面汇交力系和平面力偶系是两种最简单、最基本的力系，是研究一切复杂力系的基础。
本章研究平面基本力系的合成与平衡问题。
§2.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法1. 平面汇交力系合成的几何法、力多边形法则平面力系中，各力作用于同一点的力系称为平面共点力系，共点力系是汇交力系的特殊情形。
设某刚体受一平面汇交力系作用，如图2.1a所示。
根据力的可传性定理，可将各力沿其作用线移至汇交点A，形成一等效的共点力系，如图2.1b所示。
图为合成此力系，可根据力的平行四边形法则，逐步两两合成各力，最后得到一个通过汇交点A的合力F R。
用此方法可求平面汇交力系的合力，但求解过程比较繁琐。
用力多边形法则可比较简单地求出平面汇交力系的合力。
任取一点a为起点，先作力三角形求出F1与F2的合力F R1，再作力三角形合成F R1与F3得F R2，最后合成F R2与F4得合力F R，如图2.1c所示。
多边形abcde称为此平面汇交力系的力多边形，矢量ae称为力多边形的封闭边。
封闭边矢量ae 即表示此汇交力系的合力F R，合力的作用线仍通过原汇交点A，如图2.1b 中的F R。
以上求汇交力系合力的方法，称为力多边形法则。
若任意改变各分力矢的作图顺序，可得到形状不同的力多边形，但其合力矢的大小、指向均不变，如图2.1d所示。
结论：平面汇交力系可合成为一合力，合力的大小、方向由各分力矢的矢量和所决定，合力的作用线通过汇交点。
即有∑==+++=n i i n R FF F F F 121（2.1） 2. 平面汇交力系平衡的几何条件平面汇交力系的作用效果可以用其合力来代替，所以平面汇交力系平衡的充分必要条件是：该力系的合力为零，即 0F F n 1i i R ==∑=（2.2）从几何角度看，汇交力系平衡时力多边形中最后一力的终点应与第一力的起点重合，此时力多边形自行封闭。
所以，平面汇交力系平衡的充分必要条件是：该力系的力多边形自行封闭。
3.平面一般力系
个力和力偶还可以继续合成为一个合力FR，其作用 线离O点的距离为 d MO，/ F利R 用主矩的转向来 确定合力FR的作用线在简化中心的哪一侧。
FR′
FR
FR′
FR
Mo
O Mo O d O
O d
(2)若 FR 0，M，O 则 0原力系简化为一个力。在这种情 况下，附加力偶系平衡，主矢即为原力系的合力FR
必然为零。因此，FR 0，M O 0 就是平面一般力
系平衡的必要与充分条件。
由此可 得平面 一般力 系的平 衡方程 为：
Fx 0 Fy 0
M
O
(
F
)
0
例1：求图示梁支座
y
F
的约束反力。已知 ： Fy
F 2kN a 2m A
Fx
解:取梁为研究对象。
a
a
受力图如图示。建
F
FB
Bx
3.平面一般力系
定义：作用在物体上的各力的作用线都在同一
平面内，既不相交于一点又不完全平行，这样
的力系称为平面一般力系。如图起重机横梁。
FAy
FT
FAx
G
Q
平面一般力系的简化 1.力的平移定理
F′
= O d F A
F″
F′
OM d A
M F，F Fd M O F
因此：作用于刚体上的力，可平移到刚体上的 任意一点，但必须附加一力偶，其附加力偶矩 等于原力对平移点的力矩。
例3: 如图所示一三铰拱桥。左右两半拱通过铰链C
联接起来，通过铰链A、B与桥基联接。已知 G=40kN，P=10kN。试求铰链A、B、C三处的约
束反力。
3m
解:取整体为研究对象 画出受力图，并建立 如图所示坐标系。列 平衡方程
第四章 平面力系
第四章
平面力系
认识平面力系
§4-1 平面任意力系向平面内一点简化
一 、 力线的平移 作用于刚体上的力 F 的作用线可等效地 平移到任意一点 O ，但须附加一力偶，此附 加力偶等于原力对 O 点的矩。
F’ M O F
F”
d
逆过程：
平面内的一个力和一个
力偶总可以等效地被同 平面内的一个力替换， 但作用线平移一段距离
3 1 N B P qa 4 2
NB ·4 a － M － P ·2 a － q ·2 a ·a = 0
∑X = 0 , ∑Y = 0 ,
XA = 0
YA － q ·2a － P + NB = 0
P 3 YA qa 4 2
∑X = 0， F F sin 60°－3lq/2 －XA=0 XA = 316.4 kN ∑Y = 0，Fcos 60 °－P + YA = 0 YA = -100 kN ∑MA( F ) = 0， M A －3 l 2 q / 2 － M + 3 l Fsin60°－ F l sin 30°= 0 MA = -789.2 kNm
例3-2
A
， , 求该力系向
1m
F1 2 ( N)
1m
解：
1 X F1 2 F3 0 1 Y F2 F1 2 0
F1
F2
B
1m
D
3m C
M
F3
1m
即，主矢 R’= 0 , 这样可知主矩与简化中心 D 的位置无关，以 B 点为简化中心有： MD = MB = M - F3×1 = 1 N m ，主矩 MD = 1 N m
X
i 1 N
N
i
平面力系
认识平面力系
§4-1 平面任意力系向平面内一点简化
一 、 力线的平移 作用于刚体上的力 F 的作用线可等效地 平移到任意一点 O ，但须附加一力偶，此附 加力偶等于原力对 O 点的矩。
F’ M O F
F”
d
逆过程：
平面内的一个力和一个
力偶总可以等效地被同 平面内的一个力替换， 但作用线平移一段距离
3 1 N B P qa 4 2
NB ·4 a － M － P ·2 a － q ·2 a ·a = 0
∑X = 0 , ∑Y = 0 ,
XA = 0
YA － q ·2a － P + NB = 0
P 3 YA qa 4 2
∑X = 0， F F sin 60°－3lq/2 －XA=0 XA = 316.4 kN ∑Y = 0，Fcos 60 °－P + YA = 0 YA = -100 kN ∑MA( F ) = 0， M A －3 l 2 q / 2 － M + 3 l Fsin60°－ F l sin 30°= 0 MA = -789.2 kNm
例3-2
A
， , 求该力系向
1m
F1 2 ( N)
1m
解：
1 X F1 2 F3 0 1 Y F2 F1 2 0
F1
F2
B
1m
D
3m C
M
F3
1m
即，主矢 R’= 0 , 这样可知主矩与简化中心 D 的位置无关，以 B 点为简化中心有： MD = MB = M - F3×1 = 1 N m ，主矩 MD = 1 N m
X
i 1 N
N
i
第二章 平面力系
第二章
平面力系
§2-1 一般概念
一.力系分类
平面力系（汇交力系、平行力系、一般力系） 空间力系
二.工程实例 在工程地质和工程建筑物中，常遇到
的一些平面力系问题，如：
铁路绗架、水坝、坝基 空间问题一般简化为平面问题处理
W1
W2
1m
§2-2 平面汇交力系的合成与分解
一、二力合成 1、几何法：已知作用在物体上的两个力，F1、F2 ，它们
5.力偶在任意坐标轴上的投影恒等于零.
§2-6 平面力系的合成
一、力的平移定理 作用在物体上的力可以平移到任意点，但必须附加上
一力偶，其矩大小等于此力对新作用点之矩。
M B M B (F ) F d （2 - 10）
二、平面任意力系向已知点简化（如下图）
1、简化方法：
2、简化结果：
主矢 FR Fi 主矩 M O M O (F i) （2 - 11）
P 2 10m
BT T
W1 R
N W2
T
P2
解：可以用解析法和图解法解此题 答案：Ｔ=7500KN，N=21500KN
§2-8 平面一般力系平衡条件和方程式
一、平面任意力系的平衡条件（充要条件）
R0， M00 二、平面任意力系平衡方程式 主矢
必有 主矩
R ( F x)2( F y)20
Fx 0
主矢与简化中心无关，主矩与简化中心有关
三、平面任意力系的合成
1、力和力偶合成一个力 2、合力矩定理：
平面力系的合力，对该平面任一点之矩，等于各分力 对同一点之矩的代数和。
n
M0 R m0(Fi) i1
3、简化结果分析，四种情况有三种结果
§2-7 重心
平面力系
§2-1 一般概念
一.力系分类
平面力系（汇交力系、平行力系、一般力系） 空间力系
二.工程实例 在工程地质和工程建筑物中，常遇到
的一些平面力系问题，如：
铁路绗架、水坝、坝基 空间问题一般简化为平面问题处理
W1
W2
1m
§2-2 平面汇交力系的合成与分解
一、二力合成 1、几何法：已知作用在物体上的两个力，F1、F2 ，它们
5.力偶在任意坐标轴上的投影恒等于零.
§2-6 平面力系的合成
一、力的平移定理 作用在物体上的力可以平移到任意点，但必须附加上
一力偶，其矩大小等于此力对新作用点之矩。
M B M B (F ) F d （2 - 10）
二、平面任意力系向已知点简化（如下图）
1、简化方法：
2、简化结果：
主矢 FR Fi 主矩 M O M O (F i) （2 - 11）
P 2 10m
BT T
W1 R
N W2
T
P2
解：可以用解析法和图解法解此题 答案：Ｔ=7500KN，N=21500KN
§2-8 平面一般力系平衡条件和方程式
一、平面任意力系的平衡条件（充要条件）
R0， M00 二、平面任意力系平衡方程式 主矢
必有 主矩
R ( F x)2( F y)20
Fx 0
主矢与简化中心无关，主矩与简化中心有关
三、平面任意力系的合成
1、力和力偶合成一个力 2、合力矩定理：
平面力系的合力，对该平面任一点之矩，等于各分力 对同一点之矩的代数和。
n
M0 R m0(Fi) i1
3、简化结果分析，四种情况有三种结果
§2-7 重心
平面力系
即：投影轴不能与矩心A、B两点的连线相垂直。
18
§2.2 平面力系的平衡方程及其应用
三矩式:
M M M
A
B
C
( F ) 0 ( F ) 0 ( F ) 0
附加条件：矩心A、B、C三点不能在一条直线上。
问题：在应用平面力系三矩式平衡方程时，矩心A、B、C三点为什么要
满足附加条件？
③RA方向不定可用正交分力YA, XA
表示;
④ YA, XA, MA为固定端约束反力;
⑤ YA, XA限制物体平动,MA为限制 转动。
9
一、简化结果分析 简化结果： 主矢 ① ②
F 'R ，主矩 MO ，下面分别讨论。
F=0 ' R ， MO =0，则力系平衡,下节专门讨论。
=0, F ' RMO≠0 即简化结果为一合力偶, MO=M 此
(与简化中心位置无关)
[因主矢等于各力的矢量和]
7
大小：
方向规定
（转动效应） 简化中心： (与简化中心有关) （因主矩等于各力对简化中心取矩的代数和） 固定端（插入端）约束
在工程中常见的
雨搭
车刀
8
固定端（插入端）约束
说明
①认为Fi这群力在同一平面内; ② 将Fi向A点简化得一力和一力偶;
1
第2章
平面力系
平面任意力系：各力的作用线在同一平面内，既不汇交为一点
又不相互平行的力系叫∼。
[例]
力系向一点简化： 把复杂的未知力系（平面任意力系）变成简单的已知
力系（平面汇交力系和平面力偶系）
2
※平面力系的分类 1.平面汇交力系：各个力的作用线都汇交于一点。
2．平面平行力系：各个力的作用线都相互平行。
第二章平面力22系
FB
C
5a
5a
4）联立求解：
A 5a D x
FA
5 F, 2
FD
F 2
FA
FD
FA为负值，说明图中所假设的指向与其实际指向
相反，FD为正值，说明图中所假设的指向与其实
际指向相同。
第三节 平面力偶系的合成与平衡
一、 力偶和力偶矩
1、力偶——大小相等的二反向平行力。
d
⑴、作用效果：引起物体的转动。
力矩的概念
例题
力矩的性质
例题：图中，如作用于扳手上的力F = 200 N，l = 0.40 m，α= 60°，试计算力F→ 对点O之矩。
解：
MO(F ) = - F ·d = - F ·l sinα= - 200×0.40×sin 60° N·m= - 69.3 N·m
y
Fy 0, FB cos 600 FC cos 300 - Q 0
5）联立求解： FB =15kN , FC 26kN
A x
Q
练习2
水平力F 作用在门式刚架的B点，如图所示，刚
架的自重忽略不计。试求A、D两处的约束力。
B
F
C
a
A
D
2a
练习2
水平力F 作用在门式刚架的B点，如图2.12a所示，
用扳手拧一螺母，使扳手连同螺母绕点O（实为绕通过点O 而垂直于图面的轴）转动。
由经验得知，力的数值愈大，螺母拧得愈紧；力的作用线 离螺母中心愈远，拧紧螺母愈省力。用钉锤拔钉子也有类 似的情况。许多这样的事例，使我们获得如下概念：力F→ 使物体绕点O转动的效应，不仅与力的大小有关，而且还与 点O到力的作用线的垂直距离d有关。故要用乘积Fd来度量 力的转动效应。
《建筑力学》第三章平面一般力系
VS
产生条件
摩擦力的产生需要满足三个条件，即接触 面粗糙、接触面间有正压力和物体间有相 对运动或相对运动趋势。
考虑摩擦时物体平衡问题解决方法
01
02
03
静力学方法
通过受力分析，列出平衡 方程，考虑摩擦力对物体 平衡的影响。
动力学方法
分析物体的运动状态，根 据牛顿第二定律列出动力 学方程，考虑摩擦力对物 体运动的影响。
静定结构特性分析
1 2 3
内力与外力关系
静定结构的内力与外力之间存在一一对应的关系， 即外力的变化会直接导致内力的变化。
变形与位移
在荷载作用下，静定结构会产生变形和位移，但 变形和位移的大小与材料的力学性质有关，与结 构的超静定性无关。
稳定性分析
静定结构在受到微小扰动后，能够自动恢复到原 来的平衡状态，具有良好的稳定性。
求解未知数
通过解平衡方程，求解出未知 的力或力矩。
确定研究对象
根据问题要求，确定需要研究 的物体或物体系统。
列平衡方程
根据平面任意力系的平衡条件， 列出物体系统的平衡方程。
校验结果
将求解结果代入原方程进行校 验，确保结果的正确性。
05 静定结构内力计算
静定结构基本概念和分类
静定结构定义
静定结构是指在外力作用下，其反力和内力都可以用静力学平衡方程求解，且解答唯一确定的结构。
02 平面汇交力系分析
汇交力系几何法求解合力
几何法概念
利用力的平行四边形法则或三角形法则求解汇交力系的合 力。
求解步骤
首先确定各分力的方向和大小，然后选择合适的几何图形 （如平行四边形或三角形）进行力的合成，最后根据图形 求解合力的大小和方向。
注意事项
第二章 平面基本力系
例2-3
已知：图示平面共点力系；
求：此力系的合力. 解：用解析法
FRx F ix F1 cos 30 F2 cos 60 F3 cos 45 F4 cos 45 129.3N
FRy F iy F1 sin 30 F2 sin 60 F3 sin 45 F4 sin 45 112.3N
M 2 F2d
Mn Fn d
M n Fnd
= =
=
F F F F
R 1 2
n
F F F F
R 1 2 n
=
=
=
M FRd F1d F2d Fnd M1 M 2 M n
M Mi Mi
2 2 FR FRx FRy 171.3N
FRx cos θ 0.7548 FR
FRy cos β 0.6556 FR
θ 40.99 , β 49.01
例2-4 已知： 系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小，P=20kN；
求：系统平衡时，杆AB、BC受力.
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
一、多个汇交力的合成—— 力多边形规则
FR1 F1 F2
3 FR 2 FR1 F3 Fi i 1
3 FR 2 FR1 FR 3 Fi
FR1 F1 F2
M 2 F2d2 F4d
F F3 F4 F F3 F4 M1(F1, F'1)， M2(F2, F'2) M Fd ( F3 F4 )d F3d F4d M1 M 2
02平面基本力系
固定螺柱 A 和 B 的距离 l=200 mm 。求两个光滑螺柱所受的水平力。 解：选工件为研究对象，进行受力分析，假设受力如图：
FA
M1
A
列平衡方程:
M3
m F l M
A
1
M 2 M3 0
M2
解得
FA FB 200N
B
FB
因为力偶只能与力偶平衡，所以，力FA与FB构成一力偶，故FA= FB。
y
解：如图建立坐标系，则
F1
80㎜
F2 B
X Y
F1 0 100
F2 30 40
F3 50 0
Σ 80 140
A
60㎜
C
F3
x
2 2
所以： FR
X Y 161.2N Y arctan 7 60.26 arctan 4 X
图a所示是汽车制动机构的一部分。司机踩到制动蹬上的力 F=212 N，a = 45。当平衡时，DA铅直，BC水平，试求拉杆BC所受的力。 已知EA=24 cm， DE=6 cm点E在铅直线DA上 ，又B、C 、D都是光滑铰链， 机构的自重不计。 解： 取制动蹬ABD作为研究对象,进行受
M
A d
解：以梁为研究对象，进行受力分析，假
B
M
设受力如图。 列平衡方程得：
A
YA
B
NB
m M N d 0
B
所以:
M YA N B d
梁上除作用有力偶 M 外，还有反力YA，NB 。因为力偶只能与力偶平衡， 所以 YA=NB。
例题 9 如图所示的工件上作用有三个力偶。M1=M2=10 N.m， M3=20 N.m；
FA
M1
A
列平衡方程:
M3
m F l M
A
1
M 2 M3 0
M2
解得
FA FB 200N
B
FB
因为力偶只能与力偶平衡，所以，力FA与FB构成一力偶，故FA= FB。
y
解：如图建立坐标系，则
F1
80㎜
F2 B
X Y
F1 0 100
F2 30 40
F3 50 0
Σ 80 140
A
60㎜
C
F3
x
2 2
所以： FR
X Y 161.2N Y arctan 7 60.26 arctan 4 X
图a所示是汽车制动机构的一部分。司机踩到制动蹬上的力 F=212 N，a = 45。当平衡时，DA铅直，BC水平，试求拉杆BC所受的力。 已知EA=24 cm， DE=6 cm点E在铅直线DA上 ，又B、C 、D都是光滑铰链， 机构的自重不计。 解： 取制动蹬ABD作为研究对象,进行受
M
A d
解：以梁为研究对象，进行受力分析，假
B
M
设受力如图。 列平衡方程得：
A
YA
B
NB
m M N d 0
B
所以:
M YA N B d
梁上除作用有力偶 M 外，还有反力YA，NB 。因为力偶只能与力偶平衡， 所以 YA=NB。
例题 9 如图所示的工件上作用有三个力偶。M1=M2=10 N.m， M3=20 N.m；
建筑力学 平面力系
1.力在直角坐标轴上的投影方法
投影公式
Fx＝ F cos Fy＝ F sin
投影的正负号规定如下：从投影的起点a到终点b的指
向与坐标轴的正向一致时，该投影取正号；与坐标轴
的正向相反时取负号。 如下图 (a)中，F在x，y轴上的投
影均为正， (b)中，F在x，y轴上的投影均为负。
y
y
Fy Fy
b'
B
F
β
α
b'
B
F
β
α
a' A
a' A
x
x
O
a Fx
b
O
a Fx
b
(a)
(b)
结论：
（1）当力与坐标轴垂直时，力在该轴上的投影为零； （2）当力与坐标轴平行时，其投影的绝对值与该力的大小相等； （3）当力平行移动后，在坐标轴上的投影不变。
2.力的投影计算
例：试求图中各力在 x、y轴上的投影。已知 F1= 100 N，F2= 150 N， F3= F4= 200 N。 解：Fx1= F1cos 45°= 100 ×0.707 = 70.7 N Fy1= F1sin 45°= 100 ×0.707 = 70.7 N Fx2= -F2cos 30°= -150 ×0.866 = -129.9 N
Fy2= F2sin 30°= 150 ×0.5 = 75 N Fx3= F3cos 60°= 200 ×0.5 = 100 N Fy3= -F3sin 60°= -200 ×0.866
= -173.2 N Fx4= F4cos 90°=0 Fy4= -F4sin 90°= -200 ×1= -200 N
概述
平面力系是指力的作用在全在同一平面内的力系。平面力系 可分为：平面汇交力系、平面平行力系、平面力偶系和平面 任意力系。 平面汇交力系：力的作用线全在同一平面内，且全汇交于 一点的力系。（如下图所示）
第四章 平面一般力系
刚体上的全部力在y轴上的投影代数和等于0
刚体上的全部力对任意点的力矩代数和等于0
X 0, Y 0, mo ( F ) 0.
3、左边平衡方程是从平衡条件直接推 出的，是平衡方程的基本形式。 称为“一矩式”
4、二力矩方程
X 0 （或 Y 0） , m A ( F ) 0, mB ( F ) 0.
主矩：
M0
M 0 ( Fi )
F1 1 F3 3 M F3 sin 30 2 2kNm
3.4 d 2
M 0 2kNm d 0.59m FR 3.4kN
例、 三角形分布载荷.计算其合力作用线的位置 关于载荷（主动力）分类
集中力：当载荷分布面积较小， 近似认为载荷作用与一个“点”， 这种力称为“集中力” 单位是：N， kN 分布力：当载荷分布面积较大，而不能 简化为集中力，就称分布力 分布力又分为“面分布力”和“线分布 力” 面分布力：分布在一定面积上， 又有均匀和不均匀分布 单位：
M (F ) 0 F y 0,
A
Q(6 2) P 2 W (12 2) FB 4 0
Q P W FA FB 0
解得：
FA 210 kN, FB 870 kN
FA FB
33
(2)当P1=0.5P1时，求轨道A、B给起重机轮子的反力？
所以：
M M O ( F1 ) M O ( F2 ) M O ( Fi )
与简化中心的选择有关
固定端（插入端）约束
雨搭
车刀
固定端约束限制了物体的移动和转动。因而完全被固定
12
固定端（插入端）约束的约束反力：
《平面力系》PPT课件_OK
解力三角形：
FN
F
cos
又：
cos
R2
(Rh)2 R
1 R
h(2Rh)
FN
FR h (2R h)
9
2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
再研究球，受力如图： 作力三角形
解力三角形：
P FN sin
又sin
Rh R
FN FN
FNB= 0时为
球离开地面
P FN sin
F R R h P F(Rh)
（2）力偶对作用面内任一点的矩，与矩心的位置无关。
力偶对点O的矩为Mo（F，F′）,则
M o (F , F ) M o (F ) M o (F ) F(x d) Fx Fd
力偶矩是一个代数量，其绝对值等于力的 大小与力偶臂的乘积，正负号表示力偶的 转向：一般以逆时针转向为正，反之为负。
记为M（F，F′） 简记为M。
2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
[例] 已知 P=2kN ，求CD所受的力和A处的约束反力。
解：①以AB杆为研究对象 ②画受力图 ③列平衡方程求解
F x 0 RA cos SCD cos 450 0
F y 0 PRAsin SCD sin450 0
tan EB 0.4 1
AB 1.2 3
M Fd 2 AABC
力偶矩的单位：N·m。
Fix 0 Fiy 0
称为平面汇交力系的平衡方程。
14
2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
例：如图所示，重物P=20kN，用钢丝绳挂在支架的滑轮 上，钢丝绳的另一端缠绕在铰车D上。杆AB与BC铰接，并 以铰链A、C与墙连接。如两杆和滑轮的自重不计，并忽略 摩擦和滑轮的大小，试求平衡时杆AB和BC所受的力。
平面一般力系
0
q
B C
ql qlxC = 2
2
x dx
xC
l
l xC = 2
24
[例] 已知：q， a , P=qa, M=Pa，求：A、B两点的支座反力？ 解：① 选AB梁为研究对象。 q P A M 2a a B FAx A M ② 画受力图 FAy
q P
FB B
e 列平衡方程，求未知量。
∑ M A (Fi ) = 0
FRA
③FRA方向不定可用正交 分力FAx, FAy表示;
④ FAx, FAy, MA为固定端约束反力;
FAy
FAx
13
平面固定端约束
=
14
（2） 简化结果分析 • 合力矩定理
' 简化结果： 主矢 FR ，主矩 MO ，是否为零分别讨论。
①
FR′ ≠ 0 M O = 0
合力，作用线过简化中心
15
平衡
19
§ 4-3 平面任意力系的平衡条件与平衡方程 §4-3
′ =0， MO =0，力系平衡 FR ′ =0 平面汇交力系平衡 FR
MO =0 平面力偶系平衡 平面任意力系平衡的充要条件为：
平面任意力系 的平衡方程
′ 和主矩 MO 都等于零 力系的主矢 FR
FR ' = ( ∑ Fx ) + ( ∑ F y ) = 0
解：⑴ ①首先考虑满载时，起 重机不向右翻倒的最小Q为：
∑M
FA FB
B
(F ) = 0
Q(6 + 2) + P ⋅ 2 −W (12− 2) − FA (2 + 2) = 0
限制条件： 解得：
FA ≥ 0
Q ≥ 75 kN
q
B C
ql qlxC = 2
2
x dx
xC
l
l xC = 2
24
[例] 已知：q， a , P=qa, M=Pa，求：A、B两点的支座反力？ 解：① 选AB梁为研究对象。 q P A M 2a a B FAx A M ② 画受力图 FAy
q P
FB B
e 列平衡方程，求未知量。
∑ M A (Fi ) = 0
FRA
③FRA方向不定可用正交 分力FAx, FAy表示;
④ FAx, FAy, MA为固定端约束反力;
FAy
FAx
13
平面固定端约束
=
14
（2） 简化结果分析 • 合力矩定理
' 简化结果： 主矢 FR ，主矩 MO ，是否为零分别讨论。
①
FR′ ≠ 0 M O = 0
合力，作用线过简化中心
15
平衡
19
§ 4-3 平面任意力系的平衡条件与平衡方程 §4-3
′ =0， MO =0，力系平衡 FR ′ =0 平面汇交力系平衡 FR
MO =0 平面力偶系平衡 平面任意力系平衡的充要条件为：
平面任意力系 的平衡方程
′ 和主矩 MO 都等于零 力系的主矢 FR
FR ' = ( ∑ Fx ) + ( ∑ F y ) = 0
解：⑴ ①首先考虑满载时，起 重机不向右翻倒的最小Q为：
∑M
FA FB
B
(F ) = 0
Q(6 + 2) + P ⋅ 2 −W (12− 2) − FA (2 + 2) = 0
限制条件： 解得：
FA ≥ 0
Q ≥ 75 kN
平面力系
平衡方程其他形式：
证明：
F
F
F
F
Od A = O d A
=
mO A
F
F F F
m Fd m0F
§3–2
§2–7 力线平移定理
二、几个性质：
1、当力线平移时，力的大小、方向都不改变，但附
加力偶的矩的大小与正负一般要随指定O点的位
置的不同而不同。
2、力线平移的过程是可逆的，即作用在同一平面内 的一个力和一个力偶，总可以归纳为一个和原力 大小相等的平行力。
中心。
F1
F2
A1 O
A2
A3
F1
=
F2
m1
m2
O
m3
=
F3
F3
R
O
LO
§2–8 平面任意力系的简化•主矢与主矩
共点力系F1、 F2、 F3的合成结果为一作用点在 点O 的力R。这个力矢R 称为原平面任意力系的主矢。
R F1 F2 F3
F1 F2 F3
1 2 3 3 1 0.768
y
F2
60°
A
22
B
F3
2m
R Rx2 Ry2 0.794
cosR、x Rx 0.614
R
R , x 526'
cosR、y Ry 0.789
R
R , y 3754'
F1
A
B F2
C
F3
D
R
F4
E
§2–2 共点力系合成与平衡的几何法
F1
A
B F2
R
C
F3
D
F4
证明：
F
F
F
F
Od A = O d A
=
mO A
F
F F F
m Fd m0F
§3–2
§2–7 力线平移定理
二、几个性质：
1、当力线平移时，力的大小、方向都不改变，但附
加力偶的矩的大小与正负一般要随指定O点的位
置的不同而不同。
2、力线平移的过程是可逆的，即作用在同一平面内 的一个力和一个力偶，总可以归纳为一个和原力 大小相等的平行力。
中心。
F1
F2
A1 O
A2
A3
F1
=
F2
m1
m2
O
m3
=
F3
F3
R
O
LO
§2–8 平面任意力系的简化•主矢与主矩
共点力系F1、 F2、 F3的合成结果为一作用点在 点O 的力R。这个力矢R 称为原平面任意力系的主矢。
R F1 F2 F3
F1 F2 F3
1 2 3 3 1 0.768
y
F2
60°
A
22
B
F3
2m
R Rx2 Ry2 0.794
cosR、x Rx 0.614
R
R , x 526'
cosR、y Ry 0.789
R
R , y 3754'
F1
A
B F2
C
F3
D
R
F4
E
§2–2 共点力系合成与平衡的几何法
F1
A
B F2
R
C
F3
D
F4
第二章 平面力系
F1 + F2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ Fn
Rx = ∑ X k
k =1 n
n
R y = ∑ Yk
k =1
— 合力投影定理
则：
2 R = Rx2 + R y
Ry Rx cos(R , i ) = ,cos(R , j ) = R R
4、平面汇交力系的平衡方程 RX= ∑X=0 RY =∑Y =0 ∑X=0 ∑Y =0 解析条件的应用 平面汇交力系的平衡方程
X 2 = − F2 cos θ 2 Y2 = − F2 sin θ 2
cos(F , i ) =
(2) 平面汇交力系合成的解析法 求合力 R（R=Rxi+Ryj )可先求Rx，Ry。 已知： R = 则 ：
⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞ Rx ⋅ i + R y ⋅ j = ⎜ ∑ X k ⎟ ⋅ i + ⎜ ∑ Yk ⎟ ⋅ j ⎝ k =1 ⎠ ⎝ k =1 ⎠
第二章 平面力系
平面力系：各力作用线位于同一平面。 平面汇交力系 平面力偶系 平面平行力系 平面任意力系
§2-1、平面汇交力系
平面汇交力系：各力作用线位于同一平面且汇交于一点。
问题举例：
FAy
Q
FA
O B
Q
A
FAx
FC
C
1、平面汇交力系合成的几何法
R123
F2
F3
R12 F2
R
F3
A3
A2 A1
r
h
A
2、合力矩定理与力矩的解析表达式 合力矩定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩 等于力系中各分力对同一点 的矩的代数和。 即 ： 若F1+F2+……+Fn=R，则： MO（R）=
第二章 平面基本力系
平衡方程
Fx 0 Fy 0
第一节 平面汇交力系
例2-1 圆筒形容器重量为G，置于托轮A、B
上，如图所示，试求托轮对容器的约束反力。
第一节 平面汇交力系
解：取容器为研究对象,画受力图 容器自重G
托轮对容器是光 滑面约束，其约束 反力为FNA和FNB
FNA
FNB G
第一节 平面汇交力系
B F
a C
Fx
O
Fx
x
Fx=±Fcosa
Fy=±Fsina
y
b1
C
Fy
a1 B
Fx
A
F a
Fy
O
Fx
x
F Fx2 Fy2
tana Fy / Fx
第一节 平面汇交力系
2．合力投影定理
ad=ab+bc-cd 即 Fx=F1x+F2x+F3x Fy=F1y+F2y+F3y
第一节 平面汇交力系
c) 只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变,可 以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短, 而不改变力偶对刚体的作用。
d) 力偶对其作用面内任一点之矩恒为常数，且等 于力偶矩，与矩心的位置无关。
第三节 平面力偶系
二. 平面力偶系的合成和平衡条件
1.平面力偶系的合成 平面力偶系：作用在物体上同一平面内的若干力偶的总称。
M o (Fn ) Fn h Fn r cosa
2）合力矩定理 将力Fn分解为切向力Ft和法(径)向力Fr， 即
Fn Ft Fr
由合力矩定理得：
M o (Fn ) M o (Ft ) M o (Fr ) Ft r 0
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l
F’
讨论： 约束力是否一定在水平方向？
例2－4
M
三铰拱约束反力
C
C FC
C M
A
B
-FC FB
B
(a)
C M
A
FA
h
C
-FC M
C A B
h
B FB
(b)
FA
FC A
长为 l=4 m的简支梁的两端A、B 处作 用有两个力偶，大小各为M1 =16 N· m，M2 = 4 N· m， 转向如图。试求A、B支座的约束力。
E
F4
例 题 2- 1
水平梁AB中点C作用着力F，其大小等于20 kN，方向与梁 的轴线成60º 角，支承情况如图所示，试求固定铰链支座A和 活动铰链支座B的约束力。梁的自重不计。
A
C
a a
B
30º
解：1. 取梁AB作为研究对象。
2. 画出受力图。 3. 作出相应的力三角形。
60º
30º
4. 由力三角形中量出： FA = 17.0 kN
FB = 10 kN
平面汇交力系合成的解析法
1. 合力投影定理 力在坐标轴上的投影
b´ y
B
Fx F cos Fy F cos
Fy
a´
F
b x
A
a
O
Fx
结论：力在某轴上的投影，等于力的模乘以力与该轴正向间 夹角的余弦。
反之，当投影Fx，Fy 已知时，则可求出力 F 的大小和方向：
F2 O1 r O1 r
F2 F (a) (b)
F Fx2 Fy2
Fy Fx cos , cos F F
合力投影定理
合力在任一轴上的投影，等于它的各分力在同一轴上的 投影的代数和。
F x= F1x+ F2x+ + Fnx = Fx
FR FRx i FRy j
平衡方程
FRx Fix FRy Fiy
例 题 2- 2
•如图所示是汽车制动机构的 一部分。已知司机踩到制动 蹬上的力F=212 N，θ = 45。 当平衡时，DA铅直，BC水平， 试求拉杆 BC 所受的力。已知 EA=24 cm， DE=6 cm点E在 铅直线DA上 ，又B ，C ，D 都是光滑铰链，机构的自重 不计。
14
解： (1).取制动蹬ABD作为 研究对象，画出受力图。 应用三力平衡汇交的条件得到 (2) 列平衡方程
M
性质3 推论
M
平面力偶系的合成与平衡
M Mi 0
思考：力偶矩与力对点之矩的异同之处？
力对点的矩与力偶矩的区别
相同处：力矩的量纲与力偶矩的相同。 牛顿•米（N • m） 不同处：力对点的矩可随矩心的位置改变而改变，但 一个力偶的矩是常量。
问题:两者的作用效果相同吗?自做实验观察
联系： 力偶中的两个力对任一点的之和是常量，等 于力偶矩。
刚 体 静 力 学
第二章 平面基本力系
§2–1 平面汇交力系
平面力系的基本类型 平面汇交力系的合成
第二章 平面基本力系
1. 平面力系的基本类型
汇交力系 —— 各力的作用线均汇交于一点的力系。
共点力系 —— 各力均作用于同一点的力系。
力 偶 —— 作用线平行、指向相反而大小相等的两个力。
平面力系 —— 各力的作用线都在同一平面内的力系。否则
工
程
实
例
问题:用一只手不行吗?会发生什么结果?
力偶 —— 大小相等的二用效果：引起物体的转动。
⑵ 力和力偶是静力学的二基本要素。 力偶特性一：
力偶中的二个力，既不平衡，也不可能合成为一个力。 力偶特性二： 力偶只能用力偶来代替（即只能和另一力偶等效），因 而也只能与力偶平衡。
§2–2 平面力偶系的合成 与平衡条件
力矩与力偶 平面内力偶的等效定理 平面力偶系的合成 平面力偶系的平衡条件
力对点之矩
B 实例
O d
F
A
1.力对点的矩
力F 的大小乘以该力作用线与某点O间距离d， 并加上适当正负号，称为F 对O点的矩。简称力矩。
力矩的表达式 O — 矩心， d —力臂。 MO（F ) =±Fd
z
F2 F2′
y
O F1
x F1′
思考题 2- 2 如图所示，在物体上作用有两力偶(F1,F1′)和 (F2,F2′)其力多边形封闭。问该物体是否平衡？为 什么？
F1
F1 F2' F1
′
F2
F2' F1′
F2
思考题 2- 3 图示圆盘由O点处的轴承支持，在力偶M 和力 F 的作用下处于平衡。能不能说力偶被力F 所平衡？ 为什么？ 思考题 2- 4 力矩和力偶有什么联 系？又有什么区别？
M1 A M1 B M2
60
例 题 2- 5
M2 B
A
FA
FB
4m
d
解：作AB梁的受力图。AB梁上作用有二个力偶 组成的平面力偶系，在A、B 处的约束力也必须组成 一个同平面的力偶（FA ，FB ）才能与之平衡。
例 题 2- 6
由平衡方程
得
A
M1 B 4m M1 A B
M2
60
∑M =0
-M1+ M2+FB l cos60º =0
i 1
n
F1
A F2
A
F1
B
F2
C
F3
D
F4
F3 FR
FR
E
F4
共点力系平衡的充分必要几何条件为：
该力系的力多边形自行闭合，即力系中各力的矢量和于零。
F 0
F5 A
F4 F1
A
F1 F2
B
F2
C
F3
D
F3
F5
E
F4
比较下面两力多边形
F2
F1
A
B
C
F3
D A
F1
B
F2
C
F3
D
F5
E
F4
F5
性质1 力偶不能简化为一个合力。（不能用一个力平衡）
性质2 力偶对任意一点之矩为常量。（与矩心无关） 性质3 力偶矢量是自由矢量。（在刚体内平移外效应不变）
性质1 公理 性质2 证明
F
B
rAB A rB rA
O
F’ M rA F rB F (rA rB ) F rAB F M ( F , F ) F’ h F
例2－3 图示群钻工件上作用有若干个力偶。 已知力偶矩分别为 M1= 18N· m，M2= 20 N· m， 固定螺栓的距离 l = 200mm。求螺栓的约束力。
解： 取工件为研究对象 外载荷
F’ F A M2 M1 M2 B F M1
M= 2M1+ 2M2 = 76N· m Fl=M F = M / l = 38kN
B
MO（F ) =±Fd
力矩的正负号规定 当有逆时针转动的趋向时，力F对 O点的矩取正值；反之，取负值。
O d
F
A
力矩的值也可由三角形OAB面积的2倍表示 MO（F ) =±2ΔOAB面积
2.力矩的性质 （1）力F的作用点沿作用线移动，不改变力对点O的矩。 （2）当力通过矩心时，此力对于矩心的力矩等于零。 （3）互成平衡的力对同一点的矩之和等于零。
为空间力系。 共点力系 平面力系的类型
力 偶 系
任意力系
平面汇交力系 平面内所有作用力的作用线汇交 于同一点。
平面汇交力系的合成
力的多边形规则
平面汇交力系的合成结果 平面汇交力系可简化为一合力，其合力的大小与方向等 于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点。
· · + Fn Fi 矢量的表达式： FR= F1+ F2+ F3+ ·
O
y
A
F
Fx 0 ， F
y
FB F cos q FD cos 0 FD sin F sin q 0
DE 1 OE 4
q
FB
B
x
0，
FD
D
已知 sin
FB 750N
15
求解平面汇交力系平衡问题的一般步骤： (1)弄清题意，明确已知量和待求量； (2)恰当选取研究对象，明确所研究的物体； (3)正确画出研究对象的受力图（主动力，约束力， 二力构件等）； (4)合理选取坐标系，列平衡方程并求解； (5)对结果进行必要的分析和讨论。
M O F
思考题 2- 5 两轮半径同为 r ，一轮在轮缘上受一大小为F 的力作用，另一轮在轮缘上受两个方向相反、大小 都是F/2 的力作用，各轮上的力对轮心的矩是否相 同？
F/2 O1
r
O1
r
F/2 F (a) (b)
思考题 2- 6 图中所示两轮在图示主动力作用下能否处于平 衡？为什么？若不能平衡，可否再在轮上加一个力 使之平衡？如何加？
FRx Fix 0 FRy Fiy 0
思考题
应用解析法求解平面汇交力系平衡问题，取不同的直
角坐标系时，所求合力是否相同？
应用解析法求解平面汇交力系平衡问题时，所取的投
影轴是否一定要互相垂直？
力沿两轴分力的大小和在该两轴上的投影大小相等吗？
y Fy
Fy
O
F
x Fx Fx
力偶臂
—— 力偶中两个力的作用线之间的 距离。 —— 力偶中任何一个力的大小与力 偶臂d 的乘积，加上适当的正 负号。
F2
d
F1