理解 霍普分岔
滑动轴承—转子系统Hopf分岔分析计算方法
滑动轴承—转子系统Hopf分岔分析计算方法
袁小阳;朱均
【期刊名称】《航空动力学报》
【年(卷),期】1999(14)2
【摘要】基于Ｈｏｐｆ分岔定性理论、周期系统Ｆｌｏｑｕｅｔ理论，针对流固耦合系统力函数计算特点，并考虑系统规模大小对算法的不同要求，提出了一套新的转子—轴承系统Ｈｏｐｆ分岔分析计算方法。
这套方法主要包括自激周期解计算的边值方法、周期解稳定性判别算法、周期解预测—校正延续算法、自激振动的稳定裕度准则等，可以有效地确定转子—轴承系统Ｈｏｐｆ分岔临界点及分岔方向，可以研究分岔解的发展、变化，包括研究实践中关注的“跳跃”、“迟滞”等典型非线性现象。
【总页数】5页(P166-170)
【关键词】转子;滑动轴承;分岔;Hopf分叉;失稳
【作者】袁小阳;朱均
【作者单位】西安交通大学
【正文语种】中文
【中图分类】TH113.1
【相关文献】
1.四维转子系统的随机稳定性与Hopf分岔分析 [J], 金瑞婕
2.滑动轴承多跨转子系统分岔点预测 [J], 薛禹胜;郑惠萍;范春起
3.非线性转子——密封系统低频失稳机理研究：平衡系统的Hopf分岔 [J], 陈予恕;丁千
4.一类转子系统的非线性随机稳定性及随机Hopf分岔 [J], 邓生文
5.转子-轴承系统油膜失稳的Hopf分岔机理 [J], 汪慰军;杨世锡;吴昭同;曾复;丁启全
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用画面构成分析爱德华·霍普的画面感受
用画面构成分析爱德华·霍普的画面感受爱德华·霍普（Edward Hopper）是20世纪美国最具有影响力和知名度的画家之一，他以其独特的风格和意义深远的作品而闻名于世。
霍普的作品主题涉及城市景观、建筑物、室内场景和人物，他的画面构成和色彩运用充满了独特的情感和表现力，深深地吸引着观众。
在霍普的作品中，画面构成是他表现画面感受的重要手段之一。
画面构成是指作品中各种元素的布局、形式和结构。
在霍普的作品中，画面构成往往简洁明了，但却能够表达出丰富的情感和意义。
下面我们将通过几幅霍普的代表作品，来分析他的画面构成是如何传达出观者的情感和感受的。
首先我们来看霍普的代表作之一《夜鹰》（Nighthawks）。
这幅作品是霍普最著名的作品之一，它展现了一个夜晚的城市咖啡馆，里面坐着几个人，他们或默默地喝着咖啡，或者凝视着空荡荡的街道。
整幅画面的色调暗淡，给人一种孤寂和寂静的感觉。
画面中的几个人物被放置在画面的中心，形成了一个稳定而紧张的构图。
他们的身影虽然孤独，但又在相互之间形成了一种微妙的联系。
霍普通过这种对比和构图的手法，传达出了现代城市社会中人与人之间的疏离和孤独感，观者在面对这幅作品时不禁产生共鸣，感受到了现代生活中的冷漠和无助。
接下来我们来看另一幅霍普的作品《夏日》（Summer Evening）。
这幅作品展示了一个城市公园的景象，远处是高楼林立的城市天际线，而近处则是一片宁静的草坪和几颗树。
画面中的几个人物被放置在画面的左侧，形成了一个稳定而对称的构图。
整幅画面的色调温暖，给人一种宁静和放松的感觉。
霍普通过这样的构图和色彩运用，传达出了城市中的绿地公园所带来的宁静和舒适感，同时也表现了现代城市中对自然和平静的渴望。
观者通过这幅作品能够感受到霍普对自然和城市之间关系的深刻思考，以及对于现代生活中浮躁和压力的反思。
通过以上几幅霍普的代表作品的分析，我们可以看到霍普的画面构成是如何构建他的作品情感和感受的。
用画面构成分析爱德华·霍普的画面感受
用画面构成分析爱德华·霍普的画面感受作者：吴凡来源：《今传媒》2020年第05期摘要：爱德华·霍普（下文简称霍普）是美国重要画家，被评论家称为“垃圾桶画派”。
霍普的画作给人以一种寂寥、孤独的感受，表现出当时一种冷漠，人与人之间互相漠视的社会现象。
本文主要以画面构成的角度来分析霍普的画作，从构图、颜色、人物等方面，阐述霍普如何巧妙地运用这些元素来表达这寂寥空洞的效果。
霍普以美国的街道风景为主要创作对象，在构图上街景建筑的构图都是比较有序的，但霍普运用光影的表现、色调的运用、人物的关系等，来打破这种安定的有序感。
从这样的视觉感受上进行切入，寻找怎样的构成方式更容易让人感觉冷漠、寂寥。
相反，如果想让画面避免出现冷漠、寂寥，就要减少此类画面构成的运用。
关键词：几何图形;光影;色调;沟通中图分类号：J205文献标识码：A文章编号：1672-8122（2020）05-0147-02一、爱德华·霍普画作特点（一）时代背景霍普的一生为1882年7月22日～1967年5月15日。
这个时期的美国经历的大事件有第一次世界大战、美国经济大萧条、第二次世界大战、朝鲜战争、越南战争，以霍普比较具有影响力的画作为例。
《Nighthawks》创作于1942年，二战时期美国宣布对日开战第一年。
《New York Movie》创作于1939年，二战期间。
《Office in a Small City》创作于1953年，朝鲜战争时期。
《Sunlight in a Cafeteria》创作于1958年，第一次世界经融危机。
（二）作画风格霍普5岁起就开始画画，他小时候的油漆盖上写着一张“Would be artist”的字样。
霍普在1891年创作了一幅《Little Boy Looking at the Sea》，就已经有了他之后孤独寂寥风格的雏形了。
画面中那双手向后背着，头微微向下低，站在海浪消失的地方，思索着什么，周遭空无一人，只有一边比较平静的海，天上飘着一朵看似随意的云。
分岔分解定理
分岔分解定理分岔分解定理（又称为分解定理）是指当一个较复杂的问题无法直接推导或解决时，可以将其分解为一系列更简单、更易解决的子问题，然后逐个解决这些子问题，最终得到整个问题的解决方案。
这个定理在数学、计算机科学、物理学等多个领域被广泛应用。
分岔分解定理首次被正式提出可追溯到英国逻辑学家Dag Prawitz于1965年发表的论文中。
他将这个定理应用于直觉主义的证明论，用于证明数学中一些复杂的问题。
之后，这个定理很快在其他学科中广为接受和应用。
分解是指将一个大问题分解为若干个小问题。
这些小问题之间存在关联或依赖关系，而且每个小问题的解决都对大问题的解决具有贡献。
因此，分解的关键在于如何将大问题合理地划分为小问题，并确定它们之间的关系。
分岔是指在解决小问题时，可能会出现多个可能的选择或者路径，即“分岔”。
这些分岔路径可能是相互独立的，也可能是相互依赖的。
在选择分岔路径时，需要根据具体情况和目标选择最佳的路径。
分解阶段和分岔阶段不是线性进行的，而是相互交替的。
在分解阶段，将大问题分解为小问题；在分岔阶段，解决小问题时可能会出现多个分岔路径。
不断交替进行分解和分岔，最终得到问题的解决方案。
分岔分解定理的应用非常广泛。
在数学中，复杂的定理可以通过将其分解为若干简单的命题逐个证明来得到证明。
在计算机科学中，复杂的算法可以通过将其分解为若干个子程序逐个实现来得到实现。
在物理学中，复杂的物理过程可以通过将其分解为若干个基本过程逐个分析来得到解释。
分岔分解定理的好处是能够将复杂的问题分解为若干简单的子问题，从而降低了解决问题的难度。
而且在解决子问题时可以采取不同的分岔路径，从而有可能得到更优的解决方案。
此外，这个定理也增加了问题的可扩展性和可重用性，即子问题的解决方案可以应用于其他类似的问题。
然而，分岔分解定理也存在一些限制。
首先，分解的结果和分岔路径的选择依赖于问题的具体情况，有时并不是很明确或者容易确定。
其次，虽然分解后的子问题更简单，但在实际解决中可能需要考虑子问题之间的关系和依赖性，增加了问题的复杂性和难度。
用画面构成分析爱德华·霍普的画面感受
用画面构成分析爱德华·霍普的画面感受爱德华·霍普（Edward Hopper）是20世纪美国最著名的现实主义画家之一，他的作品以孤独的城市景观和孤独的人物为主题，展现了现代社会中的孤独和沉寂。
他的画面构成技巧独特，通过精准的视角和光影的处理，营造出独特的画面感受。
本文将通过分析霍普的几幅代表作品，探讨他的画面感受构成。
首先要讨论的是霍普的《荷顿车站》（Automat）这幅作品。
在这幅作品中，霍普通过精准的构图和对光影的处理，营造出一种孤独和孤寂的氛围。
整个画面几乎是用单一的冷色调来构成的，让人感觉到一种冷漠和孤独。
画中的女性是这幅作品的主角，在一个散发着孤独的自动餐厅里，她一个人坐在桌子前，低头看着手中的咖啡杯，表情平静而冷漠。
这种独特的画面构成使人不由自主地沉浸在这种孤独和寂寥的氛围中，可以清晰地感受到画面中的情感和内心独白。
最后要讨论的是霍普的《日出之后》（Cape Cod Morning），这幅作品呈现了一个宁静的海滩景观。
在画面中，一位女性身穿着红色的外套坐在沙滩上，她的背影和沙滩上的房屋交相衬映，整个画面呈现出一种宁静和孤独的氛围。
画面中的光影处理和构图精准，让人感受到一种有别于《夜鹰》和《荷顿车站》的孤独和沉静。
这种画面感受构成让人感受到一种内心的平静和安宁，表达了霍普对于自然与人的和谐共生的向往和追求。
霍普通过他独特的画面构成技巧营造出了一种独特的画面感受。
通过精准的构图、光影处理和色彩搭配，他创造了一种充满孤独和沉寂的氛围。
这种独特的画面感受构成使他的作品充满了对于现代社会中人与人之间孤独和冷漠的寓意，让人在观赏他的作品时不由自主地沉浸感受到其中所蕴含的情感和内在寓意。
霍普的作品不仅仅展现了他对于孤独和沉寂的关注，更代表了他对于内心世界的探索和对于人性的无尽追求。
不同图灵模作用的几种斑图
不同图灵模作用的几种斑图白占国;董丽芳【摘要】Mechanisms of pattern formation and pattern selection with different Turing modes interaction are investigated by using a two-layer coupled CIMA model. It is shown that hexagonal superlattice and simple hexagon arise respectively in subsysteml and subsystem 2 under the condition that two subsystems locate at supercritical or subcritical bifurcation point. Both of them in two subsystems cannot interact when the two Turing modes are supercritical and one simple stripe pattern in each of sub-systems emerges spontaneously. The identical 'bean' patterns is selected in the two subsystems when two Turing modes are subcriticl. In addition, the bifurcation types of the Turing modes also affect the spatial symmetry of the e-merging patterns in system.%采用双层耦合的CIMA模型,研究了不同图灵模相互作用时斑图的选择、形成机制.结果表明:当2个子系统分别处在超临界和次临界分岔点附近时,超临界图灵模和次临界图灵模相互作用产生耦合,得到六边形和超六边斑图；当2个子系统激发的图灵模均为超临界模时,二者之间不发生耦合,每个子系统各自形成简单的条纹斑图；当2个子系统激发的图灵模均为次临界模时,2个模产生相互作用,系统最终选择完全相同的“豆角”斑图.此外,图灵模的分岔类型还改变斑图的空间对称性.【期刊名称】《河北大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(032)002【总页数】4页(P140-143)【关键词】图灵模;超点阵;超临界和次临界【作者】白占国;董丽芳【作者单位】河北大学物理科学与技术学院,河北保定071002;河北大学物理科学与技术学院,河北保定071002【正文语种】中文【中图分类】O461.2斑图（pattern）是一种典型的非线性自组织现象［1－2］，广泛地存在于自然界，也可以在不同的实验室系统中进行研究.其研究内容涉及物理学、数学、化学、生态学等各个学科，而且在心脏病的防治、材料处理和局域生长以及等离子体光子晶体等方面具有广阔的应用前景，近年来引起人们极大的兴趣.国内外学者在实验［3－7］、尤其是理论上［8－14］做了大量的研究，得到了种类丰富的斑图.例如，杨灵法等人［8－10］研究了系统处在超临界和次临界分岔时的超点阵斑图和叠加斑图的形成机理和空间共振条件.发现三波共振和相同的对称性对超点阵斑图的形成起着重要作用.Fineberg等人［11－12］研究了次临界图灵模与一个流体表面的超临界法拉第波之间的相互作用，结果表明该系统出现的自组织四边形和多种超点阵斑图都是由多个非线性的波矢构成，而且不同空间模峰值同时发生是三波共振的必要条件.Bachir小组［13］和Epstein小组［14］分别得到零模与不同空间模的相互作用，及超临界模与MASK模相互作用时的图灵斑图.从以往的研究看，前人工作大多集中研究超临界模和次临界模的相互作用，对2个图灵模均为超临界或次临界研究较少.为了进一步理解斑图形成和选择的物理机制，推进非线性科学的发展、加快其实际应用的进程，研究系统处于不同分岔点时图灵模之间的相互作用尤为重要.本工作针对此现状，采用双层耦合的CIMA模型，细致研究2个子系统激发3种分岔类型的图灵模相互作用时斑图的形成机理.采用双层耦合的CIMA模型［14］，在无量纲条件下方程可写成如下表达式：其中，i）为系统的局部动力学.式中u和v分别表示变量活化子与禁阻子，Du和D v为二变量的扩散系数，a和b是系统的控制参数，此方程组存在均匀定态解通过作线性稳定性分析得到：当控制参数b＞b H＝3a25－a125时，系统出现霍普分岔，当的条件下，系统处于图灵空间，该模型包含2个子系统：系统1（u1，v1）和系统2（u2，v2），α和β为2个子系统之间活化子和禁阻子的耦合强度，本文固定控制参量a＝15，b＝9，并选取合适的参数使2个子系统均在图灵空间，研究2个图灵模的相互作用.其他条件选择格点数为128×128，时间步长和空间步长分别为0.01和1单位进行数值模拟.图1是超临界与次临界分岔点耦合系统的色散关系及出现的斑图.从系统的色散关系（如图1a所示）可以看出，子系统1处于超临界分岔点，激发超临界图灵模k1，振幅较大为基模又叫主动模，占主导地位；子系统2则处于次临界分岔点，产生1个次临界图灵模k2，振幅较小，是次谐振模，又称从动模，二者具有不同空间尺度.超临界图灵模k1是不稳定的，在次临界图灵模k2作用下，激发出1个新的图灵模k3，三者满足三波共振关系k1＋k2＝k3，使2子系统之间发生非线性共振.长波模调制短波模，在子系统1出现超六边斑图（如图1b所示），子系统2仍然呈现简单的大点六边形斑图，如图1c所示.观察超六边的傅里叶谱发现，超点阵能量的空间分布较大点六边形更为复杂，包含3个不同空间尺度的波矢.通过调节控制参量，使得k2模由次临界的稳定模穿过虚轴变为超临界的不稳定模，子系统2经历一个非平衡相变，原来稳定的不动点变为不稳定的焦点，这种不稳定的焦点叫动力学系统的“排斥子”［1］.2个“排斥子”互相排斥，导致2个子系统不发生耦合，如图2所示.2个超临界模k1和k2之间没有相互作用，每个子系统各自出现简单的条纹斑图，而非六边形斑图.继续调节系统的控制参量，使2个不稳定的超临界模变为稳定的次临界模，考察其相互作用时对系统斑图的影响，如图3所示.从图3a可以看出，此时，2个子系统的不动点均是稳定的，都是“吸引子”.2个图灵模地位相当，二者互相竞争，相互影响，2个子系统之间出现较强的耦合现象，并且相互调制，最终出现完全相同的“豆角”斑图，即当系统处于次临界／次临界分岔点时图灵模的作用与前面2种情况均不相同.比较图1、图2和图3发现，2个子系统是否能够耦合及耦合强度的大小，敏感依赖其图灵模分岔类型：当系统处于超临界与次临界分岔点时，由于耦合作用，子系统1出现超六边斑图，子系统2则不受耦合因素影响，仍然呈现简单斑图；当2子系统激发的图灵模均为超临界模时，层与层之间不发生耦合；如果2子系统激发的图灵模均为次临界模时，2个模地位相当，二者互相竞争，相互影响，使得2个子系统强烈耦合.此外，斑图的空间对称性也因图灵模分岔类型的不同而改变，其中当系统处于超临界分岔点时系统选择的斑图空间对称性最低，是条纹对称性；次临界分岔点次之，为类四边形对称，当2个子系统分别处于超临界与次临界分岔点时，系统形成的斑图空间对称性最高，具有六边形对称性.通过对双层耦合的反应扩散方程进行线性稳定性分析，得到系统的分岔条件，选择不同的控制参数，使2个子系统分别处于超临界和次临界、超临界和超临界、次临界和次临界3种不同分岔点，在随机的初始条件下模拟了斑图选择和时空演化.模拟结果表明，不同图灵模的相互作用在斑图的选择和形成过程中起着重要作用.当2个子系统激发的图灵模分别为超临界模和次临界模时，长波模调制短波模，二者相互作用使2个子系统发生耦合，满足三波共振条件，子系统1出现超六边斑图，同时子系统2出现简单六边.2个子系统是否能够耦合，敏感依赖其图灵模分岔类型：如果2子系统激发的图灵模均为超临界模时，层与层之间不发生耦合，每层内部满足空间共振条件，每个子系统各自形成不同尺度空间的简单条纹斑图；值得注意的是，当2个图灵模均为次临界模时，2个模地位相当，其相互作用不同于前面2种情况，二者互相竞争，相互影响，使得2个子系统最终选择完全相同的“豆角”斑图模式.此外，还发现，图灵模的分岔类型还改变斑图的空间对称性.本结果对深刻理解斑图形成和选择的物理机制，推动斑图动力学的发展具有一定意义.【相关文献】［1］欧阳颀.非线性科学与斑图动力学导论［M］.北京：北京大学出版社，2010：130－131. OUYANG Q.Nonlinear science and instroduction of pattern dynamics［M］.Beijing：Peking University Press，2010：130－131.［2］CROSS M C，HOHENBERG P C.Pattern formation outside of equilibrium［J］.Rev Mod Phys，1993，65（3）：851－1086.［3］董丽芳，谢伟霞，赵海涛，等.氩气／空气介质阻挡放电中超六边斑图［J］.物理学报，2009，58：4806－4811.DONG Lifang，XIE Weixia，ZHAO Haitao，et al.Experimental study on self－organized hexagonal superlattice pattern in dielectric barrier discharge in argon／air［J］.Acta Phys Sin，2009，58：4806－4811.［4］董丽芳，赵海涛，谢伟霞，等.介质阻挡放电中四边形超晶格斑图的实验研究［J］.物理学报，2008，57：5768－5772.DONG Lifang，ZHAO Haitao，XIE Weixia，et al.Experimental investigation of square superlattice pattern formation in a dielectric barrier discharge［J］.Acta Phys Sin，2008，57：5768－5772.［5］贺亚峰，董丽芳，尹增谦，等.介质阻挡放电中斑图的傅里叶分析［J］.河北大学学报：自然科学版，2003，23（2）：137－140.HE Yafeng，DONG Lifang，YIN Zengqian，et al.Fourier analysis of patterns in dielectric barrier dischage［J］.Journal of Hebei University：Natural Science Edition，2003，23（2）：137－140.［6］宋倩，董丽芳，李媛媛，等.超六边形斑图的4种形成途径［J］.河北大学学报：自然科学版，2010，30（4）：371－374.SONG Qian，DONG Lifang，LI Yuanyuan，et al.Four pathway to formed hexagonal supperlattice［J］.Journal of Hebei University：Natural Science Edition，2010，30（4）：371－374.［7］李媛媛，董丽芳，宋倩，等.超点阵斑图形成前放电丝时空特征［J］.河北大学学报：自然科学版，2010，30（6）：643－646.LI Yuanyuan，DONG Lifang，SONG Qian，et al.Spatial and temporal characteristic of filaments before formed patterns［J］.Journal of Hebei University：Natural Science Edition，2010，30（6）：643－646.［8］YANG L F，DOLNIK M，ZHABOTINSKY A M，et al.Turing patterns beyond hexagons and stripes［J］.Chaos，2006，16：037114.［9］YANG L F，DOLNIK M，ZH ABOTINSKY A M，et al.Spatial resonances and superposition patterns in a reaction－diffusion model with interaction Turing modes ［J］.Phys Rev Lett，2002，88：208303.［10］BERENSTEIN I，YANG L F，DOLNIK M，et al.Dynamic mechanism of photochemical induction of Turing superlattices in the chlorine dioxide－iodine－malonic acid reaction－diffusion system［J］.J Phys Chem A，2005，109：5382－5387.［11］EPSTEIN T，FINEBERG J.Necessary conditions for mode interactions in parametrically excited waves［J］.Phys Rev Lett，2008，100：134101.［12］ARBELL H，FINEBERG J.Pattern formation in two－frequency forced parametric waves［J］.Phys Rev E，2002，65：036224.［13］BACHIR M，METENS S，BORCKMANS P，et al.Formation of rhombic and superlattice patterns in bistable systems［J］.Europhys Lett，2001，54：612－618. ［14］LENGYEL I，EPSTEIN I R.Modeling of Turing structures in the chlorite－iodide－malonic－acid－starch reaction system［J］.Science，1991，251：650－652.。
第6章_混沌与分岔
BIT
PEMC
混沌与分岔的起源与发展
分岔现象最早来源于1729年Musschenbrock对压杆失稳实 验的观察，这种分岔现象在固体力学中称屈曲。 1834年雅可比首次提出分岔这个术语。 1885年，庞卡莱提出旋转液体星平衡图形的演化过程的分 岔理论。固体力学的屈曲和流体力学的转捩一直是分岔研 究的重要动力。 20世纪30年代，范德波、安德罗诺夫等在非线性振动研究 中发现大量的分岔现象。 以后在很长时间内，分岔的研究主要集中在应用领域，直 到20世纪60年代，微分动力系统、突变、奇异性、非线性 分析等方面逐渐形成了现代数学理论。
BIT
PEMC
混沌的特点
几种典型的混沌吸引子
Chen’s 吸引子
Lorenz 吸引子
Rossler 吸引子
BIT
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混沌现象举例
机床切削金属时或打印机机头因冲击而引起的 混沌振动
正常的脑电波则近乎随机讯号，其脑电图曲线 代表的就是典型的混沌现象 单摆是我们熟知的确定性运动的典型，但当角 度大到一定程度并有驱动力和阻力时也居然能 够进入混沌状态 湍流、三体问题、蝴蝶效应、昆虫繁衍
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PEMC
混沌现象举例--蝴蝶效应 1961年美国气象学家洛伦兹利用他的一台老爷计算机，根据他导出的描述
气象演变的非线性动力学方程进行长期气象预报的模拟数值计算，探讨准 确进行长期天气预报的可能性。
有一次，洛伦兹为了检验上一次的计算结果，决定再算一遍。但他不是从 上一次计算时的最初输入的数据开始验算，而是以一个中间结果作为验算 的输入数据。他发现，经过一段重复过程后，计算开始偏离上次的结果， 甚至大相径庭。就好比一个计算结果预报几个月后的某天是晴空万里，另 一个计算结果则告诉你这一天将电闪雷鸣！后来洛伦兹发现两次计算的差 别只是第二次输入中间数据时将原来的0.506127省略为0.506。洛伦兹意识 到，因为他的方程是非线性的，非线性方程不同于线性方程，线性方程对 初值的依赖不敏感，而非线性方程对初值的依赖极其敏感。正是初始条件 的微小误差导致了计算结果的巨大偏离。由此洛伦兹断言：准确地作出长 期天气预报是不可能的。 对此，洛伦兹作了个形象的比喻：一只蝴蝶在巴西扇动一下翅膀会在美国 的得克萨斯州引起一场龙卷风，这就是蝴蝶效应。
一类具有扩散的捕食系统的Hopf分岔分析
一类具有扩散的捕食系统的Hopf分岔分析
张伟伟;柳亚娟
【期刊名称】《洛阳理工学院学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2013(023)001
【摘要】动力系统有着其复杂的一面,分岔是一种常见的重要的非线性现象,并与其他非线性现象(如混沌、突变、分形等)密切相关；不同类型的捕食者-食饵模型已经得到了广泛的研究和长足的发展,因此无论是从生物学家还是数学家来说考虑二者的动力学关系和分岔现象都是十分有意义的.本文研究了一类具有扩散的捕食系统,在Neumann边界条件下考虑扩散捕食系统的稳定性和Hopf分岔,通过中心流形定理和规范型理论,得到了在一定的条件下系统有一族实得周期解,当参数足够小时,在某一点发生分岔；当线性算子的所有特征值都有非零实部时,周期解是稳定的,否则是不稳定的.
【总页数】6页(P79-84)
【作者】张伟伟;柳亚娟
【作者单位】兰州交通大学数理与软件工程学院,甘肃兰州730070
【正文语种】中文
【中图分类】O22
【相关文献】
1.一类具有收获率和比率的时滞阶段结构的扩散捕食系统的多重正周期解 [J], 秦发金
2.一类具有修正Leslie-Gower功能性反应的扩散捕食系统的持久性与绝灭性 [J], 杨文生
3.一类具有B-D反应项的扩散捕食系统的稳定性和Turing模式 [J], 陈平; 胡广平
4.一类具有扩散和时滞的Leslie-Gower反应捕食系统的动力学分析 [J], 蒲武军
5.一类具有脉冲的反应扩散捕食系统的动力学分析 [J], 蒲武军
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霍普夫分岔的条件
霍普夫分岔的条件
霍普夫分叉（Hopf bifurcation）是动力系统理论中的一个概念，用于描述系统在参数变化时的稳定性变化情况。
分叉的条件取决于系统的特定方程和参数设置，但通常可以通过线性稳定性分析来确定。
一般来说，霍普夫分叉发生的条件包括：
1.周期解的出现：系统的平衡解（稳定点）失稳，并且周期解开始出现。
2.特征值交叉：随着参数的变化，系统特征值的实部从负值变为正值，导致系统的稳定性改变。
3.特征值的纯虚部分极点通过单位圆：这表示随着参数的变化，系统特征值的虚部增大，最终穿过了单位圆，使得系统从稳定状态变为周期解。
霍普夫分叉是动力系统理论中一个重要的现象，它描述了系统从静态到动态行为的转变，对于理解复杂系统的稳定性和动态行为具有重要意义。
霍普夫分岔的条件
霍普夫分岔的条件全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：霍普夫分岔（Hopf Bifurcation）是一种在动力系统理论中非常重要的现象，它描述了当系统参数发生改变时，系统可能从稳定状态变为周期解的过程。
霍普夫分岔现象在物理、生物、经济等领域都有广泛的应用，对于理解复杂系统的行为具有重要意义。
霍普夫分岔的条件是一个系统必须具备的特定条件，只有满足这些条件系统才会出现霍普夫分岔。
在数学上，霍普夫分岔的条件主要有两种情况：一是系统的特征值以纯虚数的形式相遇，并且发生分岔。
这种情况通常在二维系统或三维系统中出现，系统的特征值在实空间中不相交，在虚空间中相遇并且交错。
当特征值相交的时候，系统出现分岔，从一个稳定状态变为周期解。
霍普夫分岔的条件是非常严格的，系统必须满足特定的数学条件才会出现这种现象。
霍普夫分岔的研究对于理解复杂系统的行为具有深远的意义，可以帮助人们预测系统的行为和变化趋势。
在实际应用中，通过对系统参数进行调节，可以引发霍普夫分岔，从而实现系统状态的转变和控制。
第二篇示例：霍普夫分岔是一种在动力系统中经常出现的现象，即系统的行为在某些参数值发生微小改变时，可能会出现质的转变。
这种现象在分岔理论中扮演了重要角色，可以帮助我们理解复杂系统的行为。
在这篇文章中，我们将讨论霍普夫分岔的条件以及其在自然界和工程领域中的应用。
霍普夫分岔的条件可以通过动态系统的微分方程来描述。
考虑一个一维非线性动态系统，其状态变量为x，系统的演化由下面的微分方程描述：dx/dt = f(x,μ)其中f是系统的动力学方程，μ是系统的参数。
在某些参数值μ0附近，系统可能会产生霍普夫分岔。
分岔点通常是一个不稳定的定点，当系统的参数值超过这一点时，系统的行为将发生质的变化。
霍普夫分岔的条件可以用下面的公式来描述：f'(x*) = 0, f''(x*) ≠ 0其中x*是分岔点，f'(x*)和f''(x*)分别是系统在x*处的一阶和二阶导数。
3.1-分岔
4.霍夫型分岔
分岔分析
1/(2t C) 0
/(1 Ce2t ) 0
参数μ从负变到正，从焦点
产生出极限环,这种分岔称
霍夫分岔。分岔点位于μ=0。
4.霍夫型分岔
极限环
Hopf 分岔有超临界和亚临界的区别
二 平方映射与倍周期分岔
1. 平方映射 2. 平方映射的不动点及其稳定性 3. 平方映射的周期解
第 n 代数量: Nn 第 n+1 代数量: Nn1
A 如不考虑生存环境对种群生存的影响，第 n 代与第 n+1代有
如下关系：
Nn1 RN n
当 R >1，种群数量将线性地无限制增长。
1．平方映射
平方映射导出—生态平衡方程
B 种群受环境制约，数量有最大限额 N0 ，种群繁殖空间 N 0 N n ，第 n 代与第 n+1代关系
数学模型
dx
dt dy
y x[ (x 2 x y[ (x 2
y 2 )] y 2 )]
dt
引入极坐标
x2 y2
x cos
y
sin
求导
d
dt
(
2
)
d 1
dt
代入原方程
令正弦余弦系数 相等
dx
dt dy
d
dt
d
cos cos
sin cos
dt dt
Nn1 KNn (N0 Nn )
N n1
N n (1
Nn N0
)
K N0
xn1 xn (1 xn )
xn Nn / N0
1.平方映射
平方映射计算
方程展开 xn1 xn (1 xn ) xn xn2
交流电机驱动弹性连杆式振动机械的Sommerfeld效应分析
第 36 卷第 5 期2023 年10 月振 动 工 程 学 报Journal of Vibration EngineeringVol. 36 No. 5Oct. 2023交流电机驱动弹性连杆式振动机械的Sommerfeld效应分析陈晓哲，刘俊岐，钟山，李凌轩（东北大学秦皇岛分校控制工程学院，河北秦皇岛066004）摘要: 针对一类由交流电机驱动的弹性连杆式振动机械，研究了该非理想振动系统中的Sommerfeld效应。
基于拉格朗日方程，引入交流电机的数学模型，建立了该振动系统的机电耦合动力学方程。
应用平均法，推导了系统一次近似解析解及稳态运动时的电机运动方程。
根据一次稳定性判别法，获得该系统的三个稳定性条件。
通过对理论结果进行数值分析发现，交流电机驱动的非理想振动系统必须考虑机电耦合作用，因为其幅频特性曲线也具有硬式非线性特征。
对存在转速跳跃现象的案例进行分析发现，其产生原因均是电机运动方程本身是超越方程，存在多根现象。
需要将参数代入稳定性条件判断哪个状态是稳定的。
上述理论结果通过时域仿真得到了验证。
对质量、主振刚度、传动刚度、偏心半径和电机阻尼等系统参数进行了定量的数值讨论，可以为该类振动机械参数设计提供依据。
关键词: 非理想振动系统；非线性跳跃；机电耦合；交流电机中图分类号: TH113.1 文献标志码: A 文章编号: 1004-4523（2023）05-1266-07DOI：10.16385/ki.issn.1004-4523.2023.05.010引言在人类生产活动中所应用的机械设备都是由各式各样的内燃机和电动机等原动机来提供动力输出的。
受能量守恒限制，所有的原动机能够提供的动力都是有限的，统称这类提供有限动力的原动机为非理想原动机［1］。
在一般机械系统研究中，因电机部分与机械部分无运动耦合关系，往往不考虑机械部分的运动对原动机的影响。
但是在振动系统中，由于系统振动运动的变化速度与原动机转速同频，系统的振动运动会显著影响原动机的旋转运动，进而形成一种机电耦合作用［2］。
电磁辐射下PR电路分岔分析与Hopf分岔控制
电磁辐射下PR电路分岔分析与Hopf分岔控制
张莉
【期刊名称】《河北师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2024(48)2
【摘要】电磁辐射对各种非线性系统振荡电路有着重要的影响,但是目前还无法精确给出磁场对振荡电路的影响关系式.根据电学基本定律,通过引入磁控忆阻器建立了电磁辐射下PR振荡电路模型,基于理论分析与数值模拟相结合的方法,研究了新模型的平衡点分布与分岔动力学行为,结果表明,所建立的电路模型存在多值平衡区域,有着丰富的Hopf分岔行为,通过计算第一Lyapunov系数判别相应的分岔类型.同时基于Washout滤波器研究了Hopf分岔类型的控制,并与数值模拟相结合验证了上述的理论分析结果,从而揭示电磁辐射下PR振荡电路有着丰富的动力学行为.【总页数】10页(P119-128)
【作者】张莉
【作者单位】兰州工业学院基础学科部
【正文语种】中文
【中图分类】O193;O415.5
【相关文献】
1.一个类Lorenz系统的Hopf分岔分析及分岔控制
2.新的四维超混沌系统的Hopf分岔分析与分岔控制
3.一类电机系统的分岔分析与Hopf分岔控制
4.碰撞振
动系统四阶共振下的Hopf分岔和次谐分岔5.互联网双时滞TCP-RED模型Hopf 分岔和Fold分岔的数值分析
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稳定性模型食饵捕食者模型课件
m
捕食者的死亡率。
03
稳定性模型食饵捕食者模 型的求解方法
解析解法
公式推导
通过数学公式推导，直接得出模型在 各种参数下的解。
适用范围
适用于模型简单、参数较少的情况， 但可能不适用于复杂模型。
数值解法
迭代计算
01
通过迭代的方式逐步逼近模型的解。
精度控制
02
可以控制计算的精度，以适应不同的需求。
适用范围
模型定义
稳定性模型食饵捕食者模型是 一种生态学数学模型，用于描 述捕食者和食饵之间的相互作 用关系。
该模型由两个微分方程组成， 分别描述了食饵和捕食者的种 群动态。
通过分析该模型的平衡点和稳 定性，可以了解种群数量的变 化规律和生态系统的稳定性。
模型背景
该模型是在20世纪20年代由 美国生态学家洛特卡和沃尔特 拉提出的，用于研究种群数量
捕食者种群的增长率可用以下方程表示
dP/dt = P*(aN/H - m)
模型参数解释
K
环境最大容纳量，表示在理想 环境下，食饵种群的最大数量 。
H
捕食者的半饱和常数，表示捕 食者达到最大捕食效率时所需 要的食物量。
r
食饵种群的内在增长率，表示 在没有环境限制的情况下，食 饵种群的增长速度。
a
捕食效率，表示单位时间内， 一个捕食者能够捕获的食饵数 量。
通过分析系统的数学模型 ，可以确定分岔的类型和 发生条件。
05
稳定性模型食饵捕食者模 型的改进与扩展
模型参数调整
调整捕食率
通过实验数据或观察，对捕食者 对食饵的捕食率进行更精确的估 计和调整，以提高模型的预测精 度。
调整死亡率
根据环境和物种特性，调整食饵 和捕食者的死亡率，使模型更符 合实际情况。
心脏搏动模型的Hopf分岔
Ｈｏ ｐｆ ｂｉ ｆ ｕ ｒ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｔ ｏ ｍｏ ｄｅ ｌ ｓ ｏ ｆ ｒ ｅ ａ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｏ ｆ ｈｕ ｍａ ｎ ｈ ｅ ａ ｒ ｔ
Ｌ Ｉ Ｉ ｉ — ｊ ｉ ｅ ，Ｆ ＥＮＧ Ｙｕ ，Ｌ Ｉ Ｕ Ｙｏ ｎ ｇ — ｊ ｉ ａ ｎ
岔 周 期 解 及 其 稳 定 性 态 ；最 后 借 助 数 值 模 拟验 证 了理 论 分 析 结 果 ．
关 键 词 ：心 脏 搏 动 模 型 ；稳 定性 ；Ｈｏ ｐ ｆ 分 岔 ；周 期 解 ；复规 范 型 理 论 中图 分 类 号 ：（ ）１ ５ ７ ． １ ３ 文 献 标 志 码 ：Ａ 文 章 编 号 ：１ ０ ０ １ ９ ８ ８ Ｘ（ ２ ０ １ ７ ） ０ ４ — ０ ０ １ ２ 一 Ｏ ５
（ Ｇｕａ ｎ ｇｘｉ Ｃｏｌ ｌ ｅ ｇ ｅｓ ａ ｎｄ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｉ ｅ ｓ Ｋｅ ｙ Ｌａ ｂｏｒ ａ ｔ ｏｒ ｙ ｏｆ Ｃｏ ｍ ｐｌ ｅ ｘ Ｓｙ ｓ ｔ ｅ ｍ Ｏ ｐｔ ｉ ｍｉ ｚ ａ ｔ ｉ ｏｎ ａ ｎｄ Ｂｉ ｇ Ｄａ ｔ ａ Ｐｒ ｏｃ ｅ ｓ ｓ ｉ ｎ ｇ，
Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ： ｍ ｏ ｄｅ ｌ ｓ ｏｆ ｒ ｅ ａ ｃ ｔ ｉ ｏｎ ｓ ｏｆ ｈｕ ｍａ ｎ ｈｅ ａ ｒ ｔ ；ｓ ｔ ａ ｂｉ ｌ ｉ ｔ ｙ； Ｈ ｏ ｐｆ ｂｉ ｆ ｕｒ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ； ｐｅ ｒ ｉ ｏ ｄｉ ｃ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ； ｃ ｏ ｍｐ ｌ ｅ ｘ ｎ ｏｒ ｍａ ｌ ｆ ｏ ｒ ｍ ｔ ｈｅ ｏｒ ｙ
用画面构成分析爱德华·霍普的画面感受
用画面构成分析爱德华·霍普的画面感受爱德华·霍普（Edward Hopper）是美国现实主义画家，以其独特的画面构成和独特的情绪表达而著称。
他的作品通过精心构图和色彩运用来传达寂寥、孤独、无助等情感，让观者深入思考人类存在和社会关系的问题。
下面就从画面构成的角度分析一下爱德华·霍普的画面感受。
霍普的画面构成非常精致和凝练。
他善于运用简洁的线条和形状来创造清晰且具有隐喻意义的画面。
他常常选择孤独的主题，将人物置于空旷的背景中，与周围环境形成鲜明的对比，凸显出人类存在的孤独感。
比如《夜话》中的女子独自坐在吧台前，背景是一片空无一人的酒吧街景，整个画面呈现出寂寥和无助的情感。
他对角度的运用也非常独特，同时展现出宽阔和狭窄的空间，让观者感受到距离感和压迫感。
比如《办公室里的夏天》中，窗外的拱形建筑与屋内表现出的孤独办公室形成了强烈的对比，给人一种空无一人的感觉。
霍普的色彩运用非常独特。
他常常运用冷色调和明暗对比来塑造画面的气氛。
他用冷色调如蓝、绿等来表达孤独和冷漠的情感，同时运用明暗对比来增强画面的戏剧性和张力。
比如《拿饮料的夏娃》中，女性的身体用冷色调渲染，给人一种孤独、冷漠的感觉；而窗外的阳光则是明亮的黄色，形成了明暗对比，增强了画面的视觉冲击力。
霍普还善于运用暗示性的色彩来传达画面的情感。
比如《抒情的结局》中，整个画面都是暗淡的色调，给人一种阴郁和绝望的感觉，暗示着这个场景的不幸结局。
霍普的画面感受非常丰富和复杂。
他的作品常常反映了人类的内心和社会关系的冷漠。
他通过凝视和注视的表达来传达人类存在的孤独感和沟通的困难。
比如《夜鹰》中，凝视的人物给人一种拒人于千里之外的感觉，暗示着人类之间的疏离和隔阂。
他的作品还常常通过画面中的小细节来反映社会的弊端和个体的无助。
比如《电话亭》中，雨中的女子孤独地站在电话亭前，画面中的电话亭如同一个牢笼，暗示着现代社会中人们沟通的困境和束缚。
极限环
第五讲 分叉（分岔）非线性动力系统随着其控制参数的变化，其运动形态，如平衡点的稳定性、数目、拓扑轨道等也发生变化，就是分岔，该变化处的参数值就是分岔点0u 。
3.1 分岔的条件一维微分方程： 通常分叉点（00,u x ）是方程的解，不仅通过此点稳定性发生改变，即0=∂∂x F ，而且该点参数u 依赖x 的关系不是唯一的，即0=∂∂u F ，那么分叉点满足⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂=0|0|0)()0,0()0,0(0,0u x u x uF x F u x F 例子：),()(2u x F x u x x≡-= 显然，对于实空间，,0<u 不动点为0*=x ，此时0|3*2<=-=∂∂u x u xF x ， 因此不动点为0*=x 附近的扰动是渐近减小的，不动点0*=x 是稳定的。
而对于0>u ，有三个平衡点u x x ±==**0不动点为0*=x 时0|3*2>=-=∂∂u x u xF x ， 因此不动点为0*=x 附近的扰动是渐近增大的，不动点0*=x 是不稳定的。
不动点为u x ±=*时02|3*2<-=-=∂∂u x u xF x ， 因此不动点u x ±=*是稳定的。
我们用实线表示稳定，虚线表示不稳定，如上图所示，当经过分岔点（0,0）时，原来不动点的稳定性发生了改变，而且又出现了新的平衡点，形状像叉子，因此称为叉式分岔。
在分叉点（00,u x ）=（0,0），满足条件⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂=0|0|0)()0,0()0,0(0,0u x u x uF xF u x F 。
二维微分方程⎩⎨⎧==),(),(y x G yy x F x 有Jacobi 矩阵),(**y x y G x Gy F x F A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂= 其特征值为可以表示为 ])det(4)()([212A A Tr A Tr -±=λ)(A Tr 是矩阵的迹，det 是行列式值，随着二者的变化，系统的解和稳定性发生改变，其条件是0),(0),(****==y x G y x F0|)det(),,(0**=u y x A 例子：⎩⎨⎧-Ω====])cos()[sin(),(),(22w x x y x G yy y x F x 首先看不动点)0,0(),(**=y x ，Jacobi 矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-Ω=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂=01022),(**w y G x Gy F x F A y x 其特征值为222w -Ω=λ，当w <Ω，特征值为共轭虚根，因此（0,0）点为稳定的中心，而w >Ω，特征值为异号的实根，是不稳定的鞍点。
分岔与混沌
3 典型实例
2016/4/3
机械系统与振动国家重点实验室
13
典型实例
3.1 叉型分岔
典型实例是
x x3 x( x2 ) x
（1）
上式中，x 是实数， 是可正可负的参数，令 x =0，可知方程(1)的定态平衡 解是
x 0, x 0和 x ,
•中心流形法
•李雅普诺夫-施密特约化（LS约化）
•幂级数法 •摄动法 •Shilnikov法 •数值法
机械系统与振动国家重点实验室
21
奇异性理论方法
奇异性研究可微映射的退化性和分类，首先将分叉问题化 为较简单的范式（Normal Form）进行识别和分类，再通 过“普适开折”得到一般扰动下可能出现的所有分叉性态， 随后讨论分叉图的保持性和转迁集等。可以处理：静态分 叉、Hopf分叉和退化Hopf分叉。 对于高维问题，理论上可借助LS约化方法降维，然后再应 用奇异性方法。 该方法参考：
2016/4/3
机械系统与振动国家重点实验室
10
十分明显，叉型分岔和鞍-结分岔是实分岔， 而霍普分岔是复分岔，不论哪一种分岔，它 们在分岔点均满足：
d [Re( ( )] 0 d
2016/4/3
机械系统与振动国家重点实验室
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2.静态分岔和动态分岔 静态分岔，研究当参数发生变化时，平衡点数目和 稳定性如何发生变化，如叉形分岔和鞍结分岔等； 动态分岔，主要是指解的类型发生变化，如由平衡 点变为周期解（Hopf分岔），周期解的分岔（倍周 期分岔）等。 3. 局部分岔和全局分岔 局部分岔研究某个不动点附近动力系统的拓扑结构 如何发生变化。全局分岔则分析向量场的大范围的 拓扑结构。静态分岔和Hopf分岔都属于局部分岔 ，而其它的分岔则属于全局分岔。局部分岔是全局 分岔分析的一个重要内容。一般来说，完整的全局 分岔分析是十分困难的，甚至是不可能的，所以对 局部分岔的研究就显得尤为重要。 机械系统与振动国家重点实验室
半导体激光器hopf分岔曲线
半导体激光器Hopf分岔曲线近年来，半导体激光器的研究逐渐成为了焦点。
其中，Hopf分岔曲线作为半导体激光器振荡模式转变的重要理论基础，吸引了众多学者的关注。
本文将会对半导体激光器Hopf分岔曲线的背景和相关理论进行介绍，并分析其在半导体激光器研究领域的应用。
一、Hopf分岔理论的发展1. Hopf分岔的概念在动力系统理论中，Hopf分岔是超临界分岔的一种特殊类型，用于描述系统中平衡点的稳定性变化和极限环的产生。
Hopf分岔可将系统从平衡状态转变成周期运动状态，具有重要的理论意义。
2. Hopf分岔的研究历程Hopf分岔理论最早由数学家Eberhard Hopf于1942年提出，并在后续的研究中得到不断深化和完善。
随着对非线性动力系统的研究，Hopf分岔理论逐渐被引入到各个领域，包括半导体激光器的研究中。
二、半导体激光器Hopf分岔曲线的特点1. 半导体激光器的基本结构半导体激光器是一种利用半导体材料发光原理制造的光源，其基本结构包括活性层、波导和反射镜等部分。
通过激发活性层，可以产生一束高度相干的激光光。
2. Hopf分岔对半导体激光器的影响在半导体激光器中，Hopf分岔曲线描述了激光振荡模式从连续振荡到间歇振荡的转变过程。
通过对Hopf分岔曲线的研究，可以深入理解半导体激光器的振荡特性和稳定性。
三、半导体激光器Hopf分岔曲线的研究进展1. 数值模拟方法通过建立适当的数学模型，可以对半导体激光器的Hopf分岔曲线进行数值模拟和分析。
数值模拟方法可以帮助研究人员深入理解系统的动力学特性，并预测Hopf分岔发生的条件和参数范围。
2. 实验验证和应用除了数值模拟，实验验证也是研究半导体激光器Hopf分岔曲线的重要手段。
通过实验观测半导体激光器的振荡模式转变，可以验证理论模型的准确性，并为实际工程应用提供支持。
四、半导体激光器Hopf分岔曲线的应用前景1. 光通信领域半导体激光器在光通信领域具有重要应用价值，而Hopf分岔曲线的研究可以帮助优化激光器的振荡特性和频率稳定性，提高光通信系统的信号传输质量和稳定性。
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4.2.1 Hopf 分岔定理
当参数变化时，系统的行为在稳定的平衡点和稳定的极限环之间切换，这种动力学演化过程称为Hopf 分岔。
该分岔由Hopf 于1942年进行了严格的理论证明，即Hopf 分岔定理。
Hopf 分岔定理：假定系统为)(x f x
μ= ，其中n x R ∈为状态变量，R μ∈为系统参数，当0μμ=时，系统有平衡点()00,μx ，且满足：
(1)00()x D f x μ除了有一对共轭的纯虚数特征根外，其余特征根实部均不为0； (2)()()0Re 0d d d μμλμμ==≠ (4-1)
则系统在平衡点()00,μx 处发生Hopf 分岔，产生平衡点和极限环之间的状态演化过程。
Hopf 分岔包含2种情况，
● 极限环在参数μ大于分岔值μ0的范围内存在，称为超临界
(supercritical)Hopf 分岔，如图4.3(a)所示；
● 极限环在参数μ小于分岔值μ0的范围内存在，称为亚临界
(subcritical)Hopf 分岔，如图4.3(b)所示。
(a) 超临界Hopf 分岔
(b) 亚临界Hopf 分岔
图4.3 Hopf 分岔图
Fig.4.3 Hopf bifurcation
Hopf 分岔的基本概念可以用移相式RC 正弦振荡器来说明，RC 正弦振荡器如图4.4所示，其中放大器转移特性为：
3333)(mv kv v g v o +-== (4-2) A R R
R C C C v +-v 2+-v 3+-v +-
图4.4 RC 正弦振荡器
Fig.4.4 RC sinusoidal oscillator
当电路中放大器的线性电压放大倍数k >29时，振荡器中将产生稳定的周期振荡，振荡频率06f ≈3个动态元件(电容)，我们可分别以3个电容电压为状态变量列出状态方程为：
112021233231(2)1(2)1()dv v v v dt RC dv v v v dt RC dv v v dt RC ⎫=-++⎪⎪⎪=-+⎬⎪⎪=-⎪⎭
(4-3)
代入放大器的转移特性，并令t RC
τ=
将时间归一化后，则有非线性状态方程： 311233212332322dv v v kv mv d dv v v v d dv v v d τττ⎫=-+-+⎪⎪⎪=-+⎬⎪⎪=-⎪⎭
(4-4) 令上式等于0，可得相点(v 1，v 2，v 3)＝(0，0，0)是该电路唯一的平衡点。
在平衡点处对方程进行线性化，得系数矩阵为：
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=11012112joc k A (4-5) 则特征方程为：
016523=++++k λλλ (4-6) 当k ＝29时，λ1＝－5
，2,3λ=±k ＝29时，平衡点为非双曲平衡点；
当k ＝28 (＜29)时，λ1＜0，2,3()()a k j k λω=±，且a (k )＜0，ω(k )＞0，此时平衡点为渐近稳定双曲平衡点，系统状态变量的时域波形如图4.5(a)所示；
当k ＞29时，λ1＜0，2,3()()a k j k λω=±，但a (k )＞0，即平衡点为不稳定双曲平衡点，系统产生一个稳定的极限环，系统状态变量的时域波形如图 4.5(b)所示。
由此可知，k ＝29是分岔临界值，当k 从k ＜29增加经过k ＝29到k ＞29时，相图的定性性质发生了质的变化。
除平衡点的稳定性质变化外，还从平衡点分岔出极限环，即产生周期振荡，由Hopf 分岔定理证明，该分岔为超临界Hopf 分岔。
(a) 稳定的平衡点，k＝28，m＝1
(b)稳定的极限环，k＝30，m＝1
图4.5 系统状态变量的时域波形图
Fig.4.5 The time-domain waveforms of state variables
4.2.2 电力电子中的Hopf分岔
并联Boost变换器、滞环电流模式控制的Cuk变换器都可以产生Hopf分岔运动[102]。
和倍周期分岔不同，Hopf分岔属于慢标度分岔，需要建立变换器的平均模型来进行理论分析。
根据平均模型可得到系统的雅可比矩阵，然后再根据Jacobian矩阵的特征值来判断平衡点的稳定性。
由于变换器经过Hopf分岔产生了极限环，该极限环周期与变换器内在周期可能存在不可通约的情况，即系统中存在两个比值为无理数的周期，所以Hopf分岔后将可能产生准周期的情况。
这种变换器中的Hopf分岔通向混沌的路径如图4.6所示。
周期极限环准周期混沌
图4.6 Hopf 分岔通向混沌的道路
Fig.4.6 The route to chaos via hopf bifurcation。