可靠性习题解答

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4
Rt 1 1 e t


n
由题知λ=0.001 次／h，t=100h，代人上式 当，n=2 时， Rt 1 1 e 当 n=3 时， R t 1 1 e

0.001100 2

0.990914

0.001100 3
0.999138
(2)当组成元件的寿命服从指数分布时，2／3 表决系统的可靠度为
Rt 3e 2 t 2e 3t
代人数据计算，得系统在 t=100h 的可靠度为
Rt 3e 20.001100 2e 30.001100 0.974558
比较可见：并联系统的可靠度高于 2／3 表决系统。因此，2／3 表决系统需有两个元件 同时正常工作，系统才能正常工作，而并联系统，只要有一个元件正常工作，系统即可正常 工作。 2.14 一液压系统由三个串联的子系统组成，且知其寿命服从指敷分布。子系统的平均寿 命分别为 MTBF=400h，480h，600h，求整个系统的平均寿命 MTBFs 为多少? 答：因为， MTBF=1／λ， 故各子系统的失效率分别为λ1=1／400， λ2=1／480， λ3=1 ／600 子系统寿命服从指数分布的串联系统，其平均寿命为
0.3679
t
m
MTTF R t dt e
0 0
dt e
0

t 10
0 .5
dt 20 年
2.5
设某产品的寿命服从μ=5、σ=1 的对数正态分布，试求 t=150h 的可靠度和失效率。 答：计算标准正态变量
MTBFS
1
S

1

i 1
n

i
1 160 1 1 1 400 480 600
2.15 某型飞机有 4 台发动机，左侧和右侧各两台，当任一侧的两台均发生故障时飞机 丧失正常功能。若只考虑发动机故障，试：1)建立飞机的故障树，2)求最小割集，3)若发动 机的可靠度均为 0.99，求飞机的可靠度。 答： (1)左侧两台发动机故障以 A、B 表示，左侧两台发动机都故障以 G2 表示；右侧两台发 动机故障以 C、D 表示，右侧两台发动机都故障以 G2 表示。飞机的故障树如图 2-1 所示。
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1.为什么要重视和研究可靠性? 可靠性设计是近年来得到迅速发展和广泛应用的一种现代设计方法。 它将概率论和数理 统计应用于工程设计， 仅解决了传统设计不能处理的一些问题， 而且能有效地提高产品设计 水平和质量，降低产品的成本。可靠性设计的观点和方法已经成为产品质量的保证、性能保 证、产品责任预防等不可缺少的依据和手段。因此，它是提高我国工程技术人员掌握现代设 计方法所必须掌握的一个重要内容。 2.简述可靠性的定义和要点。 可靠性的定义为： “产品在规定的条件下和规定的时间内， 完成规定功能的能力” 。 可见。 这一定义涉及三个”规定”和一个“能力” ： (1) 在“规定的条件” 下产品的性能如何。这是说，产品的可靠性受使用条件(如温度、 介质、负载等)的制约； (2)在“规定的时间”内产品的性能如何?说明可靠性随时间而变化； (3) 产品是否能完成“规定功能” 。规定功能是指产品的技术性能指标，如精度、稳定 性等。 (4)在规定的条下、规定的时间和规定的功能下，某一产品可能完成任务，也可能完不 成任务。即，可能具有这个能力。也可能没有这个能力，这是一个随机事件。随机事件可用 慨定量地描述。因此，在可靠性研究中，度量产品是否具有规定功能的能力，就用概率这一 尺度。定义： “产品在规定的条件下和规定的时间内，完成规定功能的概率，称做产品的可 靠度” 。显然，可靠度是产品可靠性的概率度量。 2.3 一批圆轴，已知直径尺寸服从正态分布， 均值为 12.90mm， 标准差为 0.05mm。 若规定， 直径不超过 15mm 即为合格品，1)试计算该批圆轴的废品率是多少? 2)如要保证有 95%的 合格率，则直径的合格尺寸应为多大? 答：(1)计算标准正态变量 z=(x-μ)／σ 由题知 x=15mm, μ=14.90mm, σ=0.05mm,代入上式计算,得 z=(x-μ)／σ=(15-12.90)／0.05=2 查教材 表 2-3.得到对应 z 的φ(z)=0.97725，故直径不超过 15mm 的废品率为 F=1-R==1-φ(z)=1-0.97725=0.0227 (2)设直径的合格尺寸上限为 x 由教材 表 2-3 反查对应φ(z)=0.95 的 z 值，z=1.645，代人上式 (x-12.99)／0.05=1.645 则 x=14.98225 mm。 即要保证有 95％的合格率，直径的合格尺寸应小于 14.98225mm。 2.4 有一大批同类型的继电器，其首次发生故障的时间服从威布尔分布，参数 m=0.5，η =10 年。继电器无故障残存到下述时间的概率： 1)1 年，2)5 年，3)10 年，4)继电器的 MTTF 是多少? 答：继电器无故障残存的概率，即可靠度为
2.13 一并联系统，其组成元件的失效率均为 0.001 次／h.当组成系统的单元数为 n=2 或 n=3 时，求系统在 t=100h 时的可靠度，并与 2／3 表决系统的可靠度作比较。 答：(1)当组成元件的寿命服从指数分布时，其可靠度为
1
1
Rt e t
因此，由这些元件组成的并联系统的可靠度为
Rt RS t n
1
0.99
1 10
0.99899
2.12 10 个相同元件组成并联系统，若要求系统可靠度在 0.99 以上，问每个元件的可 靠度至少应为多少? 答：此为等同分配的并联系统，故每个元素的可靠度至少应为
Rt 1 1 RS t n 1 1 0.9910 0.36904
RS C R 1 R
i r i n i
n
n i
式中 Cn
i
n! n r !r!
由题知 n=4,r=3,R=0.9 ，代人上式，计算得 RS=0.9477 2.11 10 个相同元件组成串联系统，若要求系统可靠度在 0.99 以上，问每个元件的可 靠度至少应为多少? 答；此为等同分配的串联系统，故每个元素的可靠度至少应为
2
3 10
2
展开上式得 d 382887.9 d 2.864939 10
3
解得 d 280894和 d 101993
3 3
分别代入联接方程，验算后取 d 280894 ，舍去 d 101993
3 3
故有 d 46.7 mm 。轴的直径应为 d=μd±3σd=μd±3Cdμd=46.7±2.802mm 2.9 已知零件的应力和强度均服从正态分布，且知从μ s=500MPa ，μ r=800MPa ，σ r 可靠性习题解答(共 6 页)
3
=64MPa,又知确定上述参数的样本最分别为 ns=35，nr=20.试求置信度分别为 90%和 95%时， 零件的可靠度下限。 答：计算可靠性系数
z
r s r2 s2

800 500 64 2 50 2
3.6938
计算有效样本容量
50 2 1 1 41.7816 nc 60 2 50 2 s2 20 1 35 1 nr 1 n s 1
T WT
式中 WT
d 3
16
--抗弯截面系数。
上述各量均为服从正态分布的随机变量，且轴径的变异系数 Cd=0.02.故有

WT
, WT


16
d , d 3 d 3 ,3 d 2 0.02 d 0.196349 d 3 ,0.011781 d 3
z
ln t y
y

ln 150 5 5.0106 5 0.0106 1 1
查教材 表 2-3 可得φ(z)= φ(0.0106)≈0.504 因此，该产品在 t=150h 的可靠度为 R(150)=1-φ(0.01)=1-0.504=0.496 2.6 已知某发动机零件的应力和强度均，服从正态分布，μs=350MPa，σs=40Mh，μ r=820Mh，σr =80MPa。试计算该零件的可靠度。又假设零件的热处理不好，使零件强度的 标准差增大为σr=150MPa，试求零件的可靠度。 答：(1)零件的可靠性系数
z
r s r s
2 2

820 350 8 s
2 2
5.2547
查教材 表 2-6，得该零件的可靠度 R=0.9999。 (2)当 t=150MPa 时，可靠性系数变为
z
r s r s
2 2

820 350 150 2 40 2
3.027
由教材 表 2-6 可见，当材料强度的标准差增大时，零件的可靠度 R=0.99865,可见零件 的可靠度急剧下降。

150 200
r 15
2
2
3.091
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2
展开上式，并整理得 r 36,6628, r 6.05498
2
因此，要使可靠度不低于 0.999，强度的最大容许标准差为 r 6,0548 2.8 设计一个一端固定兰端承受转矩的实心轴。已知转矩为了 T=N(μT，σT)=(11300Nm， 1130Nm) ，许用切应力为τ =N( μτ，στ )=(342.6MPa ， 32.5MPa) 。设计要求可靠度为 R=0.999，试求轴的直径。 答：计算扭转应力 r
d
1
3 2
11300000 2 0.011781 d

3 2
0.196349 1130000
d
6711503
d 3
代人联接方程，首先由教材 表 2-7 查得，R=0.999 时 u=3.091。故有
u
2 2
57550586 344.6 3 d 3.091 2 6711503 2 34.5 3 d
2.7 已知强度和应力均服从对数正态分布，且知μr=150MPa，μs=100MPa，σs =15MPa， 试问强度的最大容许标准差为多大，方能使可靠度不低于 0.999%。 答：由教材 表 2-7 可查得，R=0.999 时的可靠度系数μ=3.091，代人联接方程
z
r s r s
2 2
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1
Rt e
t
m
代入数值R1 e R5 e
5 10
0 .5
1 10
0.5
0.7289,
0.4931,
0.5
R10 e
10 10
16
代人扭转应力表达式及扭转应力的均值和标准差为
, T , T

WT
, WT
0.196349

11300000,1130000
3 d
,0wk.baidu.com011781 d
3
MPa
3 2 2


57550586
d 3
0.011781
图 2-1 飞机的故障树 (2)根据最小割集定义得到，其最小割集是[A，B]，[C，D]和两个集。 (3)已知发动机的可靠度均为 0.99，即其失效概率为 P(A)= P(B)= P(C)= P(D)= 1-R=1-0.99=0.01 可靠性习题解答(共 6 页)
2

2 r 2 r
s
2 2

60

2
由教材图 4-10(a)和图 2-10(b)分别查出置信度为 90％和 95％时，零件的可靠度下限为 RL=0.999 和 RL=0.995 2.10 某系统由 4 个相同元件并联组成，系统若要正常工作，必须有 3 个以上元件处于工作 状态，已知每个元件的可靠度 R=0.9，求系统的可靠度。 答：该系统为 3／4 表决系统。其可靠度按下式计算