(完整版)《实变函数》第二章点集

第二章点集(总授课时数8 学时)

教学目的：欧氏空间R n上的测度与积分是本课程的主要研究对象.本节讨论欧氏空间

上的若干拓扑概念.通过本节的学习,可以熟悉欧氏空间上的开集,闭集和Borel集, Cantor 集等常见的集, 为后面的学习打下基础.

本章要点由R n上的距离给出邻域, 内点, 聚点的定义,从而给出开集, 闭集的定义. 由开集生成一个- 代数引入Borel 集. Cantor 集是一个重要的集, 它有一些很特别的性质. 应使学生深刻理解本节介绍的各种集的概念并熟练应用. 充分利用几何图形的直观,可以帮助理解本节的内容.

本章难点Borel 集、Cantor 集的性质.

授课时数8学时

本章先介绍R n中的距离、极限、邻域、区间及其体积等基本概念，然后定义了内点、聚点、外点、边界点、开集、闭集等特殊点和集，并讨论了开集与闭集的性质及其构造. 最

后介绍了聚点原理、有限覆盖定理.

§1 度量空间，n 维欧氏空间

教学目的1、深刻理解R n中的距离、邻域、点列收敛等概念，弄清它们在刻划不同类型的点及点集中的作用.

2、理解距离的性质、点到集合的距离、两集合之间的距离、集合的直径等概念，理解有界集、无界集、区间及区间的体积等概念.

3 、了解邻域的四条性质.

本节要点度量空间的概念.

本节难点度量空间的概念.

授课时数2学时

、度量空间

定义1：设X 为一非空集合，d ：X X R 为一映射，且满足

1) d(x, y) 0 ，d(x, y) 0 x y (正定性)

2) d(x, y) d(y,x) (对称性)

3)d(x, y) d(x,z) d(z, y) (三角不等式)

则称 (X,d) 为度量空间 例 1：

欧氏空间 (R n ,d), 其中 d(x,y)

离散空间 (X,d)，其中 d(x,y)

3) C a,b 空间( C a,b 表示闭区间 a,b 上实值连续函数全体 ), 其中

d(x,y) m a a t x b |x(t) y(t)|

atb

邻域

定义2： 称集合｛P | d(P,P 0) ｝为P 0 的 邻域，并记为U (P 0 , ). P 0称为邻域的中 心， 称为邻域的半径 . 在不需要特别指出是什么样的半径时，也简称为 P 0的邻域，并记为

U(P 0).

不难看出：点列 { P m }收敛于 P 0的充分必要条件是对任意

0，存在 N ，当

m N 时有： P m U(P 0) .

容易验证邻域具有下面的基本性质：

1) P U (P)；

2) 对于 U 1(P)和U 2(P) ， 如果存在 P U 1(P) U 2(P)，则存在

U 3(P) U 1(P) U 2(P)

3) 对于 Q U(P)，存在 U(Q) U(P)；

4) 对于 Q P ，存在 U (Q)和U(P)满足 U(Q) U(P)

定义 3： 两个非空的点集 A,B 间的距离定义为

d A,B inf d P,Q

P A,Q B

如果 A,B 中至少有一个是空集，则规定 d A,B 0；若 B X ，则记

d A,B d A,X

显然，若 A B ，则 d A,B 0 。

1) 2)

定义 4： 一个非空的点集 E 的直径定义为：

E sup d P,Q

P,Q E

若 E ，则称 E 为有界集。

n

X 1 X 2 L X n 或

A i

i1 n

定义6： 若I

I i ，其中 I i a i ,b i 为直线上的区间， 则称I 为n 维欧氏空间 R n

i1

中的区间；如果所有 I i 都是开（闭、左开右闭、左闭右开 ）区间，则称 I 是开（闭、左开右闭、 左闭右开 ）区间。如果所有的 I i 都是直线上的有界区间， 则称 I 是R n

中的有界区间； 如果至 少有一个 I i 是直线上的无界区间，则称 I 是 R n

中的无界区间 .

注： R 2

中的有界区间即矩形， R 3

中的区间即长方体， 因此 R n

中的区间有时也称为 “长 方体” .

显然， E 为有界集的充要条件是存在有界区间 I E 或 E 为有界集的充要条件是存在

有界邻域 E 0 U(x 0, )

定义

7：

n

i i i i

I I ,

I a ,b i1

,称 I

n

（b i a i

） 为区间 I 的“体

积”，即 i1

n

I

I i

. 当然，这里约定 0

0 0， 当 a 0时， a

a .

i1

区间体积即长方体体积＝长×宽×高，因此规定 R n

中的区间体积＝ n 个边长的乘积，既是 合理的又是自然 .

§2、聚点、内点、界点

教学目的 1、深刻理解内点、外点、界点、聚点、孤立点的概念，弄清它们的区别与联系

.

2 、理解并掌握开核、 导集、闭包、边界及孤立点集等概念， 对一个已知的点集 E ， 会

求这些相关的点集 .

当 E 时，规定

0 。显然， E 0 E 至多只有一个元素。

定义 5： 称 X 1,X 2,L ,X n | X i

A i ,i 1,2,L ,n 为集合 A i 的直积，记为

注： R 1 中的区间体积即区间的长度， R 2 中的区间体积即矩形面积＝长×宽， R 3中的