中考二次函数的存在性问题全总结(解析版)

中考二次函数的存在性问题全总结
【典例分析】
【考点1】二次函数与相似三角形问题
【例1】已知抛物线23y ax bx =++与x 轴分别交于(3,0)A -，(1,0)B 两点，与y 轴交于点C ．
（1）求抛物线的表达式及顶点D 的坐标； （2）点F 是线段AD 上一个动点． ①如图1，设AF k AD =
，当k 为何值时，2
CF AD =1
. ②如图2，以A ，F ，O 为顶点的三角形是否与ABC ∆相似？若相似，求出点F 的坐标；若不相似，请说明理由．
【答案】（1）2
23y x x =--+，D 的坐标为(1,4)-；（2）
①1
2
k =；②以A ，F ，O 为顶点的三角形与ABC ∆
相似，F 点的坐标为618,
55⎛⎫
- ⎪⎝⎭
或(2,2)-．
【解析】(1)将A 、B 两点的坐标代入二次函数解析式，用待定系数法即求出抛物线对应的函数表达式，可求得顶点D(1,4)-；
(2)①由A 、C 、D 三点的坐标求出AC 32=DC 2=
，AD 5=，可得ΔACD 为直角三角形，若
1
CF AD 2
=
，则点F 为AD 的中点，可求出k 的值； ②由条件可判断DAC OBC ∠∠=，则OAF ACB ∠∠=，若以A ，F ，O 为顶点的三角形与ΔABC 相似，可分两种情况考虑：当AOF ABC ∠∠=或AOF CAB 45∠∠︒==时，可分别求出点F 的坐标． 【详解】(1)
抛物线2
y ax bx 3=++过点A(3,0)-，B(1,0)，
933030a b a b -+=⎧∴⎨++=⎩，解得：12a b =-⎧⎨=-⎩
，
∴抛物线解析式为2y x 2x 3=--+；
()2
2y x 2x 3x 14=--+=-++， ∴顶点D 的坐标为(1,4)-；
(2)①
在Rt ΔAOC 中，OA 3=，OC 3=，
222AC OA OC 18∴=+=，
()D 1,4-，()C 0,3，()A 3,0-，
222CD 112∴=+=， 222AD 2420∴=+=，
222AC CD AD ∴+=，
ΔACD ∴为直角三角形，且ACD 90∠︒=，
1
CF AD 2
=
， ∴F 为AD 的中点，
AF 1
AD 2
∴
=， 1k 2
∴=；
②在Rt ΔACD 中，DC 21
tan ACD AC 3
32∠===， 在Rt ΔOBC 中，OB 1
tan OCB OC 3
∠=
=， ACD OCB ∠∠∴=， OA OC =，
OAC OCA 45∠∠︒∴==，
FAO ACB ∠∠∴=，
若以A ，F ，O 为顶点的三角形与ΔABC 相似，则可分两种情况考虑： 当AOF ABC ∠∠=时，ΔAOF ΔCBA ∽，
OF BC ∴，
设直线BC 的解析式为y kx b =+，
03k b b +=⎧∴⎨=⎩，解得：33k b =-⎧⎨=⎩
，
∴直线BC 的解析式为y=3x+3-，
∴直线OF 的解析式为y=3x -，
设直线AD 的解析式为y=mx+n ，
430k b k b -+=⎧∴⎨-+=⎩，解得：26
k b =⎧⎨=⎩， ∴直线AD 的解析式为y=2x 6+，
263y x y x =+⎧∴⎨=-⎩，解得：65
185x y ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，
618F ,55⎛⎫
∴- ⎪⎝⎭
．
当AOF CAB 45∠∠︒==时，ΔAOF ΔCAB ∽，
CAB 45∠︒=， OF AC ∴⊥，
∴直线OF 的解析式为y=x -，
26y x y x =-⎧∴⎨=+⎩，解得：22
x y =-⎧⎨=⎩， ()F 2,2∴-，
综合以上可得F 点的坐标为618,
55⎛⎫
- ⎪⎝⎭
或(2,2)-． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质和直角三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
【变式1-1】如图，抛物线2y 2ax x c =++经过(1,0)A -，B 两点，且与y 轴交于点(0,3)C ，抛物线与
直线1y x =--交于A ，E 两点． （1）求抛物线的解析式；
（2）坐标轴上是否存在一点Q ，使得AQE ∆是以AE 为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．
（3）P 点在x 轴上且位于点B 的左侧，若以P ，B ，C 为顶点的三角形与ABE ∆相似，求点P 的坐标．
【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）存在，()40Q ，或()04-，，理由见解析；（3）3
p 05⎛⎫ ⎪⎝⎭，
或9p 02⎛⎫- ⎪⎝⎭
，． 【解析】（1）将A 、C 的坐标代入2
y 2ax x c =++求出a 、c 即可得到解析式；
（2）先求出E 点坐标，然后作AE 的垂直平分线，与x 轴交于Q ，与y 轴交于Q'，根据垂直平分线的性质可知Q 、与A 、E ，Q'与A 、E 组成的三角形是以AE 为底边的等腰三角形，设Q 点坐标(0,x)，Q'坐标(0,y)，根据距离公式建立方程求解即可；
（3）根据A 、E 坐标，求出AE 长度，然后推出∠BAE=∠ABC=45°，设()p 0m ，
，由相似得到PB AB
BC AE
=或PB AE
BC AB
=，建立方程求解即可．
【详解】（1）将(1,0)A -，(0,3)C 代入2
y 2ax x c =++得：
203a c c -+=⎧⎨=⎩，解得1
3
a c =-⎧⎨
=⎩ ∴抛物线解析式为2y 23=-++x x （2）存在，理由如下：
联立y 1x =--和2y x 2x 3=-++，
2
y 123x y x x =--⎧⎨=-++⎩，解得10x y =-⎧⎨=⎩或4
5x y =⎧⎨=-⎩
∴E 点坐标为(4,-5)，
如图，作AE 的垂直平分线，与x 轴交于Q ，与y 轴交于Q'，
此时Q 点与Q'点的坐标即为所求， 设Q 点坐标(0,x)，Q'坐标(0,y)， 由QA=QE ，Q'A= Q'E 得：
()()()
22
1405--=-++x x ()()
()()
22
22
010045++-=
-++y y 解得4x =，4y =
故Q 点坐标为()40，
或()04-， （3）∵(1,0)A -，()45E -，
∴()
2
2145=52=
--+AE
当2230x x -++=时，解得1x =-或3 ∴B 点坐标为(3,0)， ∴3OB OC ==
∴45ABC ∠=︒，4AB =，32BC =，
由直线1y x =--可得AE 与y 轴的交点为(0,-1)，而A 点坐标为(-1,0) ∴∠BAE=45°
设()p 0m ，
则3m BP =-， ∵PBC ∆和ABE ∆相似 ∴
PB AB BC AE =或PB AE BC AB =，即343252m -=或352432
m -=
解得3
5m =
或92
m =-， ∴3p 05
⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
或9p 02
⎛⎫- ⎪⎝⎭
，． 【点睛】本题考查二次函数的综合问题，是中考常见的压轴题型，熟练掌握待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质，以及相似三角形的性质是解题的关键．
【变式1-2】如图，已知抛物线1
(2)()y x x m m
=-
+-(m ＞0)与x 轴相交于点A ，B ，与y 轴相交于点C ，且点A 在点B 的左侧.
（1）若抛物线过点（2，2），求抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在一点H ，使AH+CH 的值最小，若存在，求出点H 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在第四象限内，抛物线上是否存在点M ，使得以点A ，B ，M 为顶点的三角形与△ACB 相似？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）211242
y x x =-
++；（2）点H 的坐标为（1，3
2）；（3）当m=222+时，在第四象限内
抛物线上存在点M ，使得以点A ，B ，M 为顶点的三角形与△ACB 相似. 【解析】 分析：
（1）把点（2，2）代入1
(2)()?(0)y x x m m m
=-
+->中，解出m 的值即可得到抛物线的解析式； （2）由（1）中所得解析式求出点A 、B 、C 的坐标，由题意可知，点A 、B 关于抛物线的对称轴对称，这样连接BC 与对称轴的交点即为所求的点H ，根据B 、
C 的坐标求出直线BC 的解析式即可求得点H 的坐标；
（3）由解析式1
(2)()?(0)y x x m m m
=-
+->可得点A 、B 、C 的坐标分别为（-2，0）、（m ，0）和（0，2），如下图，由图可知∠ACB 和∠ABM 是钝角，因此存在两种可能性：①当△ACB ∽△ABM ，②△ACB ∽△MBA ，分这两种情况结合题中已知条件进行分析解答即可. 详解：
（1）把点（2，2）代入抛物线， 得2=()()1
222m m
-
+-. 解得m=4.
∴抛物线的解析式为()()2111
y x 2x 4x x 2442
=-+-=-++. （2）令211
y x x 2042
=-
++=，解得12x 2x 4=-=，. 则A （-2，0），B （4，0）.
对称轴x=-121124=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭. ∵ 211
y x x 242
=-++中当x=0时，y=2，
∴点C 的坐标为（0，2）.
∵点A 和点B 关于抛物线的对称轴对称，
∴连接BC 与对称轴的交点即为点H ，此时AH+CH 的值最小， 设直线BC 的解析式为y=kx+b ，
把B （4，0），C （0，2）代入得：402k b b +=⎧⎨=⎩ ，解得：1
22k b ⎧
=-⎪⎨⎪=⎩ ，
∴直线BC 的解析式为y=1
x 22
-
+. ∵当x=1时，y=1122-⨯+=3
2
.
∴点H 的坐标为（1，3
2
）.
（3）假设存在点M ，使得以点A ，B ，M 为顶点的三角形与△ACB 相似. 如下图，连接AC ，BC ，AM ，BM ，过点M 作MN ⊥x 轴于点N ，
由图易知，∠ACB 和∠ABM 为钝角， ①当△ACB ∽△ABM 时，有
AC AB =AB
AM
，即2AB AC?AM =. ∵A （-2，0），C （0，2），即OA=OC=2， ∴∠CAB=∠BAM=o 45.
∵MN ⊥x 轴，∴∠BAM=∠AMN=45°， ∴AN=MN.
∴可设M 的坐标为：（x ，-x-2）（x ＞0）， 把点M 的坐标代入抛物线的解析式，得：-x-2=()()1
x 2x m m
-+-. 化简整理得：x=2m ，
∴点M 的坐标为：（2m ，-2m-2）. ∴()()
)22
2m 22m 222m 1++--=+.
∵2AB AC?AM =，AC=22AB=m+2， ∴())2
m 22222m 1+=+. 解得：m=222±. ∵m ＞0， ∴m=222+.
②当△ACB ∽△MBA 时，有
AB MA =CB
BA
，即2AB CB?MA =. ∵∠CBA=∠BAM ，∠ANM=∠BOC=o 90， ∴△ANM ∽△BOC ，∴MN AN =CO
BO
. ∵BO=m ，设ON=x ， ∴
2MN x +=2m ，即MN=2
m
（x+2）.
令M （x ，()2
x 2m
-
+）
（x ＞0）， 把M 点的坐标代入抛物线的解析式，
得()2x 2m -
+=()()1
x 2x m m
-+-.
解得x=m+2.即M （m+2，()2
m 4m
-+）.
∵2AB CB?MA =，CB=2m 4AN m 4+=+，，MN=()2
m 4m
+， ∴()()()2
2
2
22
4m 4m 2m 4?m 4m ++=+++
. 化简整理，得16=0，显然不成立.
综上所述，当m=222+时，在第四象限内抛物线上存在点M ，使得以点A ，B ，M 为顶点的三角形与△ACB 相似.
点睛：本题是一道二次函数和几何图形综合的题目，解题的要点有以下两点：（1）“知道点A 、B 是关于抛物线的对称轴对称的，连接BC 与对称轴的交点即为所求的点H”是解答第2小题的关键；（2）“能根据题意画出符合要求的图形，知道∠ACB 和∠ABM 为钝角，结合题意得到存在：①当△ACB ∽△ABM ，②△ACB ∽△MBA 这两种可能情况”是解答第3小题的关键. 【考点2】二次函数与直角三角形问题
【例2】如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠的顶点坐标为()2,1-，图象与y 轴交于点()0,3C ，与x 轴
交于A 、B 两点．
()1求抛物线的解析式；
()2设抛物线对称轴与直线BC 交于点D ，连接AC 、AD ，求
ACD 的面积；
()3点E 为直线BC 上的任意一点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线交于点F ，问是否存在点E 使
DEF 为
直角三角形？若存在，求出点E 坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)2
2
(2)143y x x x =--=-+ ;(2)2;(3)见解析. 【解析】（1）可设抛物线解析式为顶点式，把C 点坐标代入可求得抛物线解析式；
（2）由抛物线解析式可求得A 、B 坐标，利用待定系数法可求得直线BC 解析式，利用对称轴可求得D 点坐标，则可求得AD 2、AC 2和CD 2，利用勾股定理的逆定理可判定△ACD 为直角三角形，则可求得其面积； （3）根据题意可分∠DFE=90°和∠EDF=90°两种情况，当∠DFE=90°时，可知DF ∥x 轴，则可求得E 点纵坐标，代入抛物线解析式可求得E 点坐标；当∠EDF=90°时，可求得直线AD 解析式，联立直线AC 和抛物线解析式可求得点E 的横坐标，代入直线BC 可求得点E 的坐标． 【详解】解：()1∵抛物线的顶点坐标为()2,1-， ∴可设抛物线解析式为()2
(2)10y a x a =--≠，
把()0,3C 代入可得2
(02)13a --=，解得1a =，
∴抛物线解析式为22(2)143y x x x =--=-+；
()2在243y x x =-+中，令0y =可得2430x x -+=，解得1x =或3x =，
∴()1,0A ，()3,0B ，
设直线BC 解析式为3y kx =+，把()3,0B 代入得：330k +=，解得1k =-， ∴直线BC 解析式为3y x =-+，
由()1可知抛物线的对称轴为2x =，此时231y =-+=， ∴()2,1D ，
∴22AD =，210AC =，28CD =， ∵222AD CD AC +=，
∴ACD 是以AC 为斜边的直角三角形， ∴11
222222
ACD
S
AD CD =
⋅==； ()3由题意知//EF y 轴，则90
FED OCB ∠=∠≠，
∴DEF 为直角三角形，分90DFE ∠=和90EDF ∠=两种情况， ①当90DFE ∠=时，即//DF x 轴，则D 、F 的纵坐标相同， ∴F 点纵坐标为1，
∵点F 在抛物线上，
∴2431x x -+=，解得22x =E 的横坐标为22 ∵点E 在直线BC 上，
∴当22x =312y x =-+=-22x =-312y x =-+=+ ∴E 点坐标为(22,12或(22,12-； ②当90EDF ∠=时， ∵()1,0A ，()2,1D ， ∴直线AD 解析式为1y x =-， ∵直线BC 解析式为3y x =-+， ∴AD BC ⊥，
∴直线AD 与抛物线的交点即为E 点，
联立直线AD 与抛物线解析式有2431x x x -+=-，解得1x =或4x =， 当1x =时，32y x =-+=，当4x =时，31y x =-+=-， ∴E 点坐标为()1,2或()4,1-，
综上可知存在满足条件的点E ，其坐标为(
22,12或(22,12+或()1,2或()4,1-． 【点睛】考查了待定系数法求函数解析式，利用已知的顶点坐标，列出方程组，可以求出函数解析式.
【变式2-1】如图，经过x 轴上(10)(30)A B -，，
，两点的抛物线2(1)4y m x m =--（0m <）交y 轴于点C ，设抛物线的顶点为D ，若以DB 为直径的⊙G 经过点C ，求解下列问题：
（1）用含m 的代数式表示出C D ，的坐标； （2）求抛物线的解析式；
（3）能否在抛物线上找到一点Q ，使BDQ △为直角三角形？如能，求出Q 点的坐标，若不能，请说明理由。

【答案】（1）点C 的坐标为(03)C m ，-,点D 的坐标为(14)m -，；（2）
抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++；（3）满足题意的Q 点有三个：(03)，
、3924⎛⎫
- ⎪⎝⎭，和 11524⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 【解析】 【试题分析】
（1）()2
14y m x m =--是顶点式，则顶点D 的坐标为()03C m -，
,当x=0,则y=-3m,即点C 的坐标为()03C m -，；
（2）连接CD 、 BC ，过点D 作DE y ⊥轴于E ，如图①所示:根据直径所对的圆周角是直角，得
90DCB ∠=︒ ,出现“一线三等角模型”，得DEC COB ∽根据相似三角形的性质 得：
DE EC
CO OB
=
133
m m -=-即
，解得1m =-，则抛物线的解析式为2
23y x x =-++. （3）分三种情况分类讨论：90BQD ∠=︒ （图①）显然Q 与C 点重合，点Q 坐标为()03Q ，
；DBQ ∠=90︒（图②）作QF y ⊥轴于F ，DH x ⊥轴于H ，
根据两角对应相等，两三角形相似，得Rt Rt DHB BFQ ∽，DH HB
BF FQ
=，则••DH FQ BF HB =，由于点Q 坐标()
223k k k -++，，则()
()242323k k k --=-，解得：3
2
k =- 由32k =-
得Q 坐标： 3924Q ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
，
；BDQ ∠=90︒（图③）延长DQ 交y 轴于M ，作DE y ⊥轴于E ，DH x ⊥轴于H ,同理可证：DEM DHB ∽，则
DE EM DH HB =，即142EM =,得1
2
EM =，点M 的坐标为702⎛⎫ ⎪⎝⎭
，，设DM 所在的直线解析式为y=kx+b,用待定系数法，把M 702⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，和D （1,4）代入得：
724
b k b ⎧=⎪
⎨
⎪+=⎩ 解得：17,22k b == 则直线DM 的解析式为1722y x =
+ ,把17
22
y x =+代入223y x x =-++得：22310x x -+=，解得，12x =
，最后把12x =代入1722y x =+ 得154y =
,点Q 的坐标为11524⎛⎫
⎪⎝⎭
， 综上述，Q 点有三个：()03，
、3924⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，和 11524⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 【试题解析】
（1）∵y ()2
14m x m =--是顶点式
∴点D 的坐标为()1
4m -， 当x=0时，y= -3m
点C 的坐标为()03C m -，
（2） 连接CD 、 BC ，过点D 作DE y ⊥轴于E ，如图①所示： ∵BD 是⊙G 的直径 ∴∠DCB=090 ∴∠ECD+∠BCO=090 ∵∠ECD+∠EDC=090 ∴∠BCO=∠EDC ∵∠DEC=∠BOC=090∴
DEC COB ∽ DE EC CO OB ∴
= 133
m
m -∴=- 21m ∴= 1m =± ∵0m <∴1m =-
∴抛物线的解析式为223y x x =-++
（3）能在抛物线上找到一点Q ，使△BDQ 为直角三角形
很明显，点C 即在抛物线上，又在⊙G 上，90BCD ∠=︒，这时Q 与C 点重合
点Q 坐标为()03Q ，
如图②，若DBQ ∠为90︒，作QF y ⊥轴于F ，
DH x ⊥轴于H
同理可证：Rt Rt DHB BFQ ∽ ∴
DH HB
BF FQ
= ∴••DH FQ BF HB =
∵点Q 坐标(
)
2
23k k k -++，
∴()
()2
42323k k k --=-
化简得：22390k k --=,解得：3k =（不合题意，舍去），3
2
k =- 由32k =-
得Q 坐标： 3924Q ⎛⎫
-- ⎪⎝
⎭， 若BDQ ∠为90︒,如图③，延长DQ 交y 轴于M ，
作DE y ⊥轴于E ，DH x ⊥轴于H ,同理可证：DEM DHB ∽ ∴
DE EM
DH HB
=
则
142EM =
,得12EM =，点M 的坐标为702⎛⎫
⎪⎝⎭
， 设DM 所在的直线解析式为y=kx+b,把M 702⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，和D （1,4）代入得：
724
b k b ⎧=⎪
⎨
⎪+=⎩ 解得：17,22k b == ∴直线DM 的解析式为1722y x =+ ,把17
22
y x =+代入223y x x =-++得：22310x x -+= 解为：1x =（不合题意，舍去），1
2
x =，
把12x =
代入1722y x =+ 得154y =
,点Q 的坐标为11524⎛⎫
⎪⎝⎭
， 综合上述，满足题意的Q 点有三个：()03，
、3924⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，和 11524⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
【方法点睛】本题目是一道二次函数的综合题，涉及到顶点坐标，与坐标轴的交点，一线三等角证相似，并且多次运用相似三角形的对应边成比例，直角三角形的确定（3种情况分类讨论），难度较大.
【变式2-2】已知抛物线221y x x m =-+-与x 轴只有一个交点，且与y 轴交于A 点，如图，设它的顶
点为B ．
（1）求m 的值；
（2）过A 作x 轴的平行线，交抛物线于点C ，求证：△ABC 是等腰直角三角形；
（3）将此抛物线向下平移4个单位后，得到抛物线y '，且与x 轴的左半轴交于E 点，与y 轴交于F 点，
如图．请在抛物线y'上求点P，使得△EFP是以EF为直角边的直角三角形？
【答案】（1）m = 2；（2）证明见解析；（3）满足条件的P点的坐标为（10
3
，
13
9
）或（
7
3
，
20
9
-）．
【解析】
试题分析：（1）根据抛物线与x轴只有一个交点可知△的值为0，由此得到一个关于m的一元一次方程，解此方程可得m的值；
（2）根据抛物线的解析式求出顶点坐标，根据A点在y轴上求出A点坐标，再求C点坐标，根据三个点的坐标得出△ABC为等腰直角三角形；
（3）根据抛物线解析式求出E、F的坐标，然后分别讨论以E为直角顶点和以F为直角顶点P的坐标．试题解析：（1）∵抛物线y=x2-2x+m-1与x轴只有一个交点，
∴△=（-2）2-4×1×（m-1）=0，
解得，m=2；
（2）由（1）知抛物线的解析式为y=x2-2x+1=（x-1）2，易得顶点B（1，0），
当x=0时，y=1，得A（0，1）．
由1=x2-2x+1，解得，x=0（舍）或x=2，所以C点坐标为：（2，1）．
过C作x轴的垂线，垂足为D，则CD=1，BD=x D-x B=1．
∴在Rt△CDB中，∠CBD=45°，2．
同理，在Rt△AOB中，AO=OB=1，于是∠ABO=45°，2．
∴∠ABC=180°-∠CBD-∠ABO=90°，AB=BC，
因此△ABC是等腰直角三角形；
（3）由题知，抛物线C′的解析式为y=x2-2x-3，
当x=0时，y=-3；
当y=0时，x=-1或x=3，
∴E（-1，0），F（0，-3），即OE=1，OF=3．
第一种情况：若以E点为直角顶点，设此时满足条件的点为P1（x1，y1），作P1M⊥x轴于M．
∵∠P1EM+∠OEF=∠EFO+∠OEF=90°，
∴∠P1EM=∠EFO，得Rt△EFO∽Rt△P1EM，
则11 3
PM OE
EM OF
＝＝，即EM=3P1M．∵EM=x1+1，P1M=y1，
∴x1+1=3y1①
由于P1（x1，y1）在抛物线C′上，则有3（x12-2x1-3）=x1+1，
整理得，3x12-7x1-10=0，解得，
x1＝10
3
，或x2=-1（舍去）
把x1＝10
3
代入①中可解得，
y1=13
9
．
∴P1（10
3
，
13
9
）．
第二种情况：若以F点为直角顶点，设此时满足条件的点为P2（x2，y2），作P2N⊥y轴于N．
同第一种情况，易知Rt △EFO ∽Rt △FP 2N ， 得
21
3
FN OE P N OF ＝＝，即P 2N=3FN ． ∵P 2N=x 2，FN=3+y 2， ∴x 2=3（3+y 2）②
由于P 2（x 2，y 2）在抛物线C′上， 则有x 2=3（3+x 22-2x 2-3），
整理得3x 22-7x 2=0，解得x 2=0（舍）或x 2＝
7
3
． 把x 2＝
10
3代入②中可解得， y 2＝−209．
∴P 2（73
，−209）．
综上所述，满足条件的P 点的坐标为：（103，139）或（73
，−20
9）. 【考点3】二次函数与等腰三角形问题
【例3】如图，已知：二次函数y ＝x 2+bx+c 的图象与x 轴交于A ，B 两点，其中A 点坐标为（﹣3，0），
与y 轴交于点C ，点D （﹣2，﹣3）在抛物线上． （1）求抛物线的表达式；
（2）抛物线的对称轴上有一动点P ，求出PA+PD 的最小值；
（3）若抛物线上有一动点M ，使△ABM 的面积等于△ABC 的面积，求M 点坐标．
（4）抛物线的对称轴上是否存在动点Q ，使得△BCQ 为等腰三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）y ＝x 2+2x ﹣3；（2）32（3）点M 的坐标为（﹣17，3），（﹣7，3），（﹣2，﹣3）；（4）存在；点Q 的坐标为（﹣16），（﹣16），（﹣1，0），（﹣1，﹣6），（﹣1，﹣1）． 【解析】（1）由点A ，D 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B 的坐标，连接BD ，交抛物线的对称轴于点P ，由抛物线的对称性及两点之间线段最短可得出此时PA+PD 取最小值，最小值为线段BD 的长度，再由点B ，D 的坐标，利用两点间的距离公式可求出PA+PD 的最小值；
（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C 的坐标，设点M 的坐标为（x ，x 2+2x-3），由△ABM 的面积等于△ABC 的面积可得出关于x 的一元二次方程，解之即可求出点M 的坐标；
（4）设点Q 的坐标为（-1，m ），结合点B ，C 的坐标可得出CQ 2，BQ 2，BC 2，分BQ=BC ，CQ=CB 及QB=QC 三种情况，找出关于m 的一元二次（或一元一次）方程，解之即可得出点Q 的坐标． 【详解】解：（1）将A （﹣3，0），D （﹣2，﹣3）代入y ＝x 2+bx+c ，得：
930423b c b c -+⎧⎨-+-⎩＝＝，解得：2
3
b c =⎧⎨
=-⎩， ∴抛物线的表达式为y ＝x 2+2x ﹣3． （2）当y ＝0时，x 2+2x ﹣3＝0， 解得：x 1＝﹣3，x 2＝1， ∴点B 的坐标为（1，0）．
连接BD ，交抛物线的对称轴于点P ，如图1所示．
∵PA＝PB，
∴此时PA+PD取最小值，最小值为线段BD的长度．
∵点B的坐标为（1，0），点D的坐标为（﹣2，﹣3），
∴BD22
--+--2
(21)(30)
∴PA+PD的最小值为2．
（3）当x＝0时，y＝x2+2x﹣3＝﹣3，
∴点C的坐标为（0，﹣3）．
设点M的坐标为（x，x2+2x﹣3）．
∵S△ABM＝S△ABC，
∴|x2+2x﹣3|＝3，即x2+2x﹣6＝0或x2+2x＝0，
解得：x1＝﹣17，x2＝﹣7，x3＝﹣2，x4＝0（舍去），
∴点M的坐标为（﹣17，3），（﹣7，3），（﹣2，﹣3）．
（4）设点Q的坐标为（﹣1，m）．
∵点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，﹣3），
∴CQ2＝（﹣1﹣0）2+[m﹣（﹣3）]2＝m2+6m+10，BQ2＝（﹣1﹣1）2+（m﹣0）2＝m2+4，BC2＝（0﹣1）2+（﹣3﹣0）2＝10．
分三种情况考虑（如图2所示）：
①当BQ ＝BC 时，m 2+4＝10， 解得：m 16，m 26，
∴点Q 1的坐标为（﹣16），点Q 2的坐标为（﹣16）； ②当CQ ＝CB 时，m 2+6m+10＝10， 解得：m 3＝0，m 4＝﹣6，
∴点Q 3的坐标为（﹣1，0），点Q 4的坐标为（﹣1，﹣6）； ③当QB ＝QC 时，m 2+4＝m 2+6m+10， 解得：m 5＝﹣1，
∴点Q 5的坐标为（﹣1，﹣1）．
综上所述：抛物线的对称轴上存在动点Q ，使得△BCQ 为等腰三角形，点Q 的坐标为（﹣16），（﹣1，6），（﹣1，0），（﹣1，﹣6），（﹣1，﹣1）．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、两点间的距离公式、三角形的面积、等腰三角形的性质以及解一元二次（或一元一次）方程，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）利用两点之间线段最短，找出点P 的位置；（3）利用两三角形面积相等，找出关于x 的一元二次方程；（4）分BQ=BC ，CQ=CB 及QB=QC 三种情况，找出关于m 的方程．
【变式3-1】如图，抛物线32++=bx ax y 与x 轴交于点A （1，0）和B （3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线的对称轴交x 轴于点E ，点F 是位于x 轴上方对称轴上一点，FC ∥x 轴，与对称轴右侧的抛物线交于点C ，且四边形OECF 是平行四边形，求点C 的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△OCP 是等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）342
+-=x x y ；（2）C （4，3）；（3）P （221，或（2 21，或（2 3+21，或（2 321，．
【解析】
试题分析：（1）把点A 、B 的坐标代入函数解析式，解方程组求出a 、b 的值，即可得解；
（2）根据抛物线解析式求出对称轴，再根据平行四边形的对角线互相平分求出点C 的横坐标，然后代入函数解析式计算求出纵坐标，即可得解；
（3）设AC 、EF 的交点为D ，根据点C 的坐标写出点D 的坐标，然后分①O 是顶角，②C 是顶角，③P 是顶角三种情况讨论．
试题解析：（1）把点A （1，0）和B （3，0）代入32
++=bx ax y 得，
⎩⎨⎧=++=++033903b a b a ，解得⎩⎨
⎧-==4
1b a ，所以，抛物线的解析式为342
+-=x x y ； （2）抛物线的对称轴为直线x=2，
∵四边形OECF 是平行四边形∴点C 的横坐标是4， ∵点C 在抛物线上，∴334442
=+⨯-=y ， ∴点C 的坐标为（4，3）；
（3）∵点C 的坐标为（4，3），∴OC 的长为5， ①点O 是顶角顶点时，OP=OC=5，
∵2
2
2
EP OE OP +=，OE=2∴
21252
2=-=EP ，
所以，点P 的坐标为（2，21）或（2，-21）；
②点C 是顶角顶点时，CP=OC=5，同理求出PF=21，所以，PE=213±， 所以，点P 的坐标为（2，321+）或（2， 321-）； ③点P 是顶角顶点时，点P 在OC 上，不存在.
综上所述，抛物线的对称轴上存在点P （2，21）或（2，-21）或（2，321+）或（2， 321-），使△OCP 是等腰三角形． 考点：二次函数综合题．
【变式3-2】如图，抛物线
与直线相交于两点，且抛
物线经过点
.
（1）求抛物线的解析式； （2）点是抛物线上的一个动点（不与点
、点
重合），过点
作直线
轴于点
，交直线
于点.
①当
时，求点坐标；
② 是否存在点
使
为等腰三角形，若存在请直接写出点
的坐标，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）y=﹣x 2+4x+5；（2）①P 点坐标为（2，9）或（6，﹣7）；②（
，
）或（4+
，﹣4
﹣8）或（4﹣，4﹣8）或（0，5）．
【解析】
试题分析：（1）由直线解析式可求得B 点坐标，由A 、B 、C 三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）①可设出P点坐标，则可表示出E、D的坐标，从而可表示出PE和ED的长，由条件可知到关于P
点坐标的方程，则可求得P点坐标；
②由E、B、C三点坐标可表示出BE、CE和BC的长，由等腰三角形的性质可得到关于E点坐标的方程，可求得E点坐标，则可求得P点坐标．
试题解析：（1）∵点B（4，m）在直线y=x+1上，
∴m=4+1=5，
∴B（4，5），
把A、B、C三点坐标代入抛物线解析式可得，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+4x+5；
（2）①设P（x，﹣x2+4x+5），则E（x，x+1），D（x，0），
则PE=|﹣x2+4x+5﹣（x+1）|=|﹣x2+3x+4|，DE=|x+1|，
∵PE=2ED，
∴|﹣x2+3x+4|=2|x+1|，
当﹣x2+3x+4=2（x+1）时，解得x=﹣1或x=2，但当x=﹣1时，P与A重合不合题意，舍去，
∴P（2，9）；
当﹣x2+3x+4=﹣2（x+1）时，解得x=﹣1或x=6，但当x=﹣1时，P与A重合不合题意，舍去，
∴P（6，﹣7）；
综上可知P点坐标为（2，9）或（6，﹣7）；
②设P（x，﹣x2+4x+5），则E（x，x+1），且B（4，5），C（5，0），
∴BE=|x﹣4|，CE=，
BC=，
当△BEC为等腰三角形时，则有BE=CE、BE=BC或CE=BC三种情况，
当BE=CE时，则|x﹣4|=，解得x=，此时P点坐标为（，）；
当BE=BC时，则|x﹣4|=，解得x=4+或x=4﹣，此时P点坐标为（4+，﹣4﹣8）或（4﹣，4﹣8）；
当CE=BC时，则=，解得x=0或x=4，当x=4时E点与B点重合，不合题意，舍去，此时P点坐标为（0，5）；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（，）或（4+，﹣4﹣8）或（4﹣，4﹣8）或（0，5）．
考点：二次函数综合题．
【考点4】二次函数与平行四边形问题
【例4】如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴相交于（0，﹣3
2），
顶点为P．
（1）求抛物线解析式；
（2）在抛物线是否存在点E，使△ABP的面积等于△ABE的面积？若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）坐标平面内是否存在点F，使得以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形？直接写出所有符合条件的点F的坐标，并求出平行四边形的面积．
【答案】（1）y=1
2
x2+x﹣
3
2
（2）存在，（﹣1﹣22）或（﹣2，2）（3）点F的坐标为（﹣1，2）、
（3，﹣2）、（﹣5，﹣2），且平行四边形的面积为8
【解析】（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，把（﹣3，0），（1，0），（0，3
2
）代入求出a、b、c的值即可；
（2）根据抛物线解析式可知顶点P的坐标，由两个三角形的底相同可得要使两个三角形面积相等则高相等，根据P点坐标可知E点纵坐标，代入解析式求出x的值即可；（3）分别讨论AB为边、AB为对角线两种情况求出F点坐标并求出面积即可；
【详解】（1）设抛物线解析式为y=ax 2+bx+c ，将（﹣3，0），（1，0），（0，3
2）代入抛物线解析式得09a-3b+c 0a+b+c 3
2c ⎧
⎪=⎪=⎨⎪⎪=-
⎩
，
解得：a=12
，b=1，c=﹣3
2
∴抛物线解析式：y=12
x 2+x ﹣3
2
（2）存在． ∵y=
12
x 2+x ﹣32=1
2（x+1）2﹣2
∴P 点坐标为（﹣1，﹣2）
∵△ABP 的面积等于△ABE 的面积， ∴点E 到AB 的距离等于2， 设E （a ，2）， ∴
12
a 2+a ﹣3
2=2
解得a 1=﹣1﹣22，a 2=﹣1+22
∴符合条件的点E 的坐标为（﹣1﹣22，2）或（﹣1+22，2） （3）∵点A （﹣3，0），点B （1，0）， ∴AB =4
若AB 为边，且以A 、B 、P 、F 为顶点的四边形为平行四边形 ∴AB ∥PF ，AB=PF=4 ∵点P 坐标（﹣1，﹣2）
∴点F 坐标为（3，﹣2），（﹣5，﹣2） ∴平行四边形的面积=4×2=8
若AB 为对角线，以A 、B 、P 、F 为顶点的四边形为平行四边形 ∴AB 与PF 互相平分
设点F （x ，y ）且点A （﹣3，0），点B （1，0），点P （﹣1，﹣2）
∴
311
22
002
22
x
y
-+-+
⎧
=
⎪⎪
⎨
+-+
⎪=
⎪⎩
，
∴x=﹣1，y=2
∴点F（﹣1，2）
∴平行四边形的面积=1
2
×4×4=8
综上所述：点F的坐标为（﹣1，2）、（3，﹣2）、（﹣5，﹣2），且平行四边形的面积为8．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的几何应用，分类讨论并熟练掌握数形结合的数学思想方法是解题关键.
【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线，经过A（0，﹣4），B（，0），C （，0）三点，且．
（1）求b，c的值；
（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形；
（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．
【答案】（1），；（2）D（，）；（3）存在一点P（﹣3，4），使得四边形BPOH为菱形，不能为正方形．
【解析】
试题分析：（1）把A（0，﹣4）代入可求c，运用根与系数的关系及，可求出b；
（2）因为菱形的对角线互相垂直平分，故菱形的另外一条对角线必在抛物线的对称轴上，满足条件的D点，就是抛物线的顶点；
（3）由四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，可得PH垂直平分OB，求出OB的中点坐标，代入抛物线
解析式即可，再根据所求点的坐标与线段OB的长度关系，判断是否为正方形即可．
试题解析：（1）∵抛物线，经过点A（0，﹣4），∴c=﹣4，
又∵由题意可知，、是方程的两个根，∴，，由已知得，∴，∴，∴，解得：，当b=时，抛物线与x轴的交点在x轴的正半轴上，不合题意，舍去．∴b=；
（2）∵四边形BDCE是以BC为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D必在抛物线的对称轴上，又
∵=，∴抛物线的顶点（，）即为所求的点D；
（3）∵四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，点B的坐标为（﹣6，0），根据菱形的性质，点P必是直线x=﹣3与抛物线的交点，∴当x=﹣3时，=4，∴在抛物线上存在一点P（﹣3，4），使得四边形BPOH为菱形．
四边形BPOH不能成为正方形，因为如果四边形BPOH为正方形，点P的坐标只能是（﹣3，3），但这一点不在抛物线上．
考点：1．二次函数综合题；2．探究型；3．存在型；4．压轴题．
【变式4-2】如图，抛物线与直线交于，两点，直线
交轴与点，点是直线上的动点，过点作轴交于点，交抛物线于点.
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接，，当四边形是平行四边形时，求点的坐标；
(3)①在轴上存在一点，连接，，当点运动到什么位置时，以为顶点的四边形是矩形？求出此时点的坐标；
②在①的前提下，以点为圆心，长为半径作圆，点为上一动点，求的最小值.
【答案】(1) y=﹣x2﹣2x+4；(2) G（﹣2，4）；(3)①E（﹣2，0）．H（0，﹣1）；②55
2
．
【解析】
试题分析:（1）利用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）先利用待定系数法求出直线AB的解析式，进而利用平行四边形的对边相等建立方程求解即可；（3）①先判断出要以点A，E，F，H为顶点的四边形是矩形，只有EF为对角线，利用中点坐标公式建立方程即可；
②先取EG的中点P进而判断出△PEM∽△MEA即可得出PM=AM，连接CP交圆E于M，再求出点P 的坐标即可得出结论．
试题解析：（1）∵点A（﹣4，﹣4），B（0，4）在抛物线y=﹣x2+bx+c上，
∴
1644
4
b c
c
--+=-
⎧
⎨
=
⎩
，
∴
2
4
b
c
=-
⎧
⎨
=
⎩
，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+4；
（2）设直线AB的解析式为y=kx+n过点A，B，∴，
∴，
∴直线AB的解析式为y=2x+4，
设E（m，2m+4），
∴G（m，﹣m2﹣2m+4），
∵四边形GEOB是平行四边形，
∴EG=OB=4，
∴﹣m2﹣2m+4﹣2m﹣4=4，
∴m=﹣2，
∴G（﹣2，4）；
（3）①如图1，
由（2）知，直线AB的解析式为y=2x+4，
∴设E（a，2a+4），
∵直线AC：y=﹣x﹣6，
∴F（a，﹣a﹣6），
设H（0，p），
∵以点A，E，F，H为顶点的四边形是矩形，
∵直线AB的解析式为y=2x+4，直线AC：y=﹣x﹣6，
∴AB⊥AC，
∴EF为对角线，
∴（﹣4+0）=（a+a），（﹣4+p）=（2a+4﹣a﹣6），∴a=﹣2，P=﹣1，
∴E（﹣2，0）．H（0，﹣1）；
②如图2，
由①知，E（﹣2，0），H（0，﹣1），A（﹣4，﹣4），
∴EH=，AE=2，
设AE交⊙E于G，取EG的中点P，∴PE=，
连接PC交⊙E于M，连接EM，
∴EM=EH=，
∴=，
∵=，
∴，
∵∠PEM=∠MEA，
∴△PEM∽△MEA，
∴，
∴PM=AM，
∴AM+CM的最小值=PC，
设点P（p，2p+4），
∵E（﹣2，0），
∴PE2=（p+2）2+（2p+4）2=5（p+2）2，
∵PE=，
∴5（p+2）2=，
∴p=﹣或p=﹣（由于E（﹣2，0），所以舍去），
∴P（﹣，﹣1），
∵C（0，﹣6），
∴PC=，
即：AM+CM=．
考点：二次函数综合题．
【达标训练】
一、单选题
1．将抛物线y=﹣2x2﹣1向上平移若干个单位，使抛物线与坐标轴有三个交点，如果这些交点能构成直角三角形，那么平移的距离为（）
A．3
2
个单位B．1个单位
C．1
2
个单位D2个单位
【答案】A
【解析】
试题分析设抛物线向上平移a （a ＞1）个单位，使抛物线与坐标轴有三个交点， 且这些交点能构成直角三角形，
则有平移后抛物线的解析式为：y=﹣2x 2﹣1+a ，AM=a ， ∵抛物线y=﹣2x 2﹣1与y 轴的交点M 为（0，﹣1），即OM=1， ∴OA=AM ﹣OM=a ﹣1，
令y=﹣2x 2﹣1+a 中y=0，得到﹣2x 2﹣1+a=0， 解得：x=±
12a -，∴B （﹣12a -，0），C （12a -，0），即BC=21
2
a -， 又△ABC 为直角三角形，且B 和C 关于y 轴对称，即O 为BC 的中点，
∴AO=
1
2
BC ，即a ﹣1=12a -，两边平方得：（a ﹣1）2=
，
∵a ﹣1≠0，∴a ﹣1=12，解得：a=32
． 故选A
【考点】二次函数图象与几何变换．
2．如图，抛物线2y x 2x 3=-++与y 轴交于点C ，点(0,1)D ，点P 是抛物线上的动点，若PCD 是以CD 为底的等腰三角形，则tan CDP ∠的值为（ ）．
A ．
12
2
或
12
2
- B ．21+或21-
C ．
212+或
21
2
- D ．12+或12-
【答案】B 【解析】
作CD 中垂线交抛物线于1P ，2P （1P 在2P 左侧），交y 轴于点E ;连接P 1D ,P 2D .
易得(0,3)C (0,1)D (0,2)E ． ∴122P P y y ==，1DE =．
将2y =代入2y x 2x 3=-++中得112x =212x =． ∴121PE =，221P E =． ∴1
1tan 21PE CDP ED =∠，22tan 21P E CDP ED
=∠． 故选B.
当△PCD 是以CD 为底的等腰三角形时,则P 点在线段CD 的垂直平分线上,由C 、D 坐标可求得线段CD 中点的坐标,从而可以知道P 点的纵坐标,代入抛物线解析式可求得P 点坐标. 二、填空题
3．如图，抛物线21y x =-的顶点为C ，直线1y x =+与抛物线交于A ，B 两点．M 是抛物线上一点，过M 作MG x ⊥轴，垂足为G ．如果以A ，M ，G 为顶点的三角形与ABC 相似，那么点M 的坐标是________．
【答案】()4,15，()2,3-，47,39⎛⎫
⎪⎝⎭
． 【解析】根据抛物线的解析式，易求得A （-1，0），D （1，0），C （0，-1）；则△ACD 是等腰直角三角形，由于AP ∥DC ，可知∠BAC=90°；根据D 、C 的坐标，用待定系数法可求出直线DC 的解析式，而AB ∥DC ，则直线AB 与DC 的斜率相同，再加上A 点的坐标，即可求出直线AB 的解析式，联立直线AB 和抛物线的解析式，可求出B 点的坐标，即可得出AB 、AC 的长．在Rt △ABC 和Rt △AMG 中，已知了∠BAC=∠AGM=90°，若两三角形相似，则直角边对应成比例，据此可求出M 点的坐标． 【详解】易知：A(−1,0),D(1,0),C(0,−1) ； 则OA=OD=OC=1 ，
∴△ADC 是等腰直角三角形， ∴∠ACD=90 °2 ； 又∵AB ∥DC ， ∴∠BAC=90 ° ；
易知直线BD 的解析式为y=x −1 ，
由于直线AB ∥DC, 可设直线AB 的解析式为y=x+b, 由于直线AB 过点A(−1,0) ； 则直线AB 的解析式为：y=x+1 ， 联立抛物线的解析式：21
1y x y x =+⎧⎨
=-⎩ ， 解得23x y =⎧⎨
=⎩ ,1
0x y =-⎧⎨=⎩
； 故B(2,3) ； ∴()
2
2213++2；
Rt △BAC 和Rt △AMG 中,∠AGM=∠PAC=90 ° , 且2 : 2 =3:1 ；
若以A. M 、G 三点为顶点的三角形与△BCA 相似，则AG:MG=1:3 或3:1 ；
设M 点坐标为(m,m 2−1),(m<−1或m>1)
则有：MG=m 2−1，AG=|m+1| ；
①当AM:MG=1:3 时,m 2−1=3|m+1|,m2−1=±(3m+3)；
当m 2−1=3m+3时,m 2−3m−4=0,解得m=1( 舍去) ，m=4 ；
当m 2−1=−3m−3时,m 2 +3m+2=0, 解得m=−1(舍去) ，m=−2；∴M 1 (4,15),M 2(−2,3)；
②当AM:MG=3:1 时,3(m 2−1)=|m+1|,3m2−3=±(m+1)；
当3m 2−3=m+1时,3m 2−m−4=0,解得m=−1(舍去),m=4
3
；
当3m 2−3=−m−1时,3m 2+m−2=0,解得m=−1(舍去),m=2
3
( 舍去) ；
∴M 3 (4
3
,
7
9
).
故符合条件的M 点坐标为：(4,15),(−2,3), (4
3
,
7
9
).
故答案为：:(4,15),(−2,3), (4
3
,
7
9
).
【点睛】本题考查了二次函数，解题的关键是熟练的掌握二次函数的性质与应用.
4．如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．当△PAC为直角三角形时点P的坐标．
【答案】（3，5）或（7
2
，
11
2
）．
【解析】
试题分析：由于P点不可能为直角顶点，因此就只有两种情况：若A为直角顶点，过A作AB的垂线与抛物线的交点即为C点，过C作y轴的平行线与AB的交点即为P点；若C为直角顶点，过A作x轴的平行线与抛物线的另一个交点即为C点，过C作y轴的平行线与AB的交点即为P点．。